（基础数学专业论文）hopf微分以及二维球面到自身的特征映射的不存在性的直接证明.pdf

中文摘要 摘要：本论文分为两部分，前半部分从h o p f 猜想出发，讨论前人在研究 h o p f 猜想的过程中提出的h o p f 微分，研究h o p f 微分的构造起源、 构造过程，其作用，结合活动标架法，详细给出用活动标架法证明 h o p f 微分。关于如2 的系数觑2 关于z 全纯的步骤。后半部分讨论球 面之间的九特征映射，讨论五特征映射，：s 2 一s 2 的不存在性， 并给出一个新的证明。此法可推广到_ 及s 4 斗的特征映射 的情形。 关键词：h o p f 微分、活动标架法、疋特征映射 分类号：0 1 8 6 1 a b s t r a c t a b s t r a c t ：t h i sp a p e rh a st w op a r t s ，t h ef i r s tp a r td i s c u s s e s h o p fc o n j e c t u r eo f 孤i m m e r s e ds l l r f a c ei nr 3 i ts t u d i e st h eo r i g i n s p r o c e s s e sa n df u n c t i o n s o fh o p fd i f f e r e n t i a l i tg i v e sap r o o ft h a t 膏a 2i sa n a l y s t i eb yu s i n g t h em o v i n gf l a r t l em e t h o d ，w h e r e 疗a 2i st h ec o e f f i c i e n to fd z 2i n 中， 西i s h o p f d i f f e r e n t i a l t h es e c o n dp a r td i s c u s s e s 以- e i g e n m a p b e t w e e ns p h e r es u r f a c a 络i ta l s od i s c u s s e s t h e 如e i g e n m a p 厂： s 2 一s 2 w ep r o v e t h a ts u c he i g e n m a pd o e s n te x i s t o u rp r o o fi sd i r e c t a n dn e w o u rm e t h o d 啪b e g e n e r a l i z c d t ot h ee a s e ，：s 4 a n d s 4 专 k e y w o r d s ：h o p fd i f f e r e n t i a l ，m o v i n gf l a l n em e t h o d ，五一e i g e n m a p c l a s s n o ：0 1 8 6 1 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 导师签名： 签字日期：年月日签字e t 期：年月日 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：签字e t 期： 年月日 2 j e 瘟奎煎右堂硒芏位i 佥室 塾谢 致谢 本论文的工作是在我的导师吴发恩教授的悉心指导下完成的，吴发恩教授严 谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢三年来 吴老师对我的关心和指导。 吴教授悉心指导我们完成了实验室的科研工作，在学习上和生活上都给予了 我很大的关心和帮助，在此向吴发恩老师表示衷心的谢意。 吴教授对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此表示衷心的 感谢。 在实验室工作及撰写论文期问，姜伟、霍磊磊等同学对我论文中的研究工作 给予了热情帮助，在此向他们表达我的感激之情。 另外也感谢我的父母，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。 1 预备知识 曲线： r ：( 口，b ) _ e 2 ( e ) 称为正则曲线，如果： ，g - - 现在考虑s 上的一条曲线，0 和) 嵋) ) ，它的切向量为 办( f 7 ) d t ：“( ，) + ( f ) 一- “v ，下r 7v ， 曲线在a f 为原 点的e 3 的一个标架，这些标架的全体称为参数曲面s 的自然标架( 场) 。 更一般地，曲面s 上的活动标架( 场) 是指以曲面上的点为原点的e 3 的坐标 系 r ( “，力；五 ，v ) ，而 ，而 ，v ) ) ，其中玉，而，而是曲面s 上的处处线性无关的 向量场，即( 而，而，五) o 。简单的说曲面s 的一个活动标架就是曲面s 的每一个点 给了e 3 的一组标架，一般的我们要求( 五，而，毛) 0 以保证这些标架均为正向的， 特别，如果“，屯，x 3 为单位正交标架，则称 ，0 ，v ) ； ，v ) ，x z ( u ，吐似，v ) ) 为曲面 s 的正交( 活动) 标架。 韭五蔓0 匣右翔兰僮监奎 2 羞壬丛q p 邀瓮 2 3 前人的结果 2 3 1w e n t e 的部分构造过程 假设石：d c r 2 - - - ，r 是一个常平均曲率曲面日的等距浸入，贝j j x ( u ，”首先满足f 2 】 ，= d x 。d x = e ( a u 2 + 舻) ( 3 1 ) 这里我们使用传统的e = g = k 1 2 和f - - ( x ) = o 。 第二基本形式也给出： i i = 弋d x d 善) = 工( 幽) 2 + 2 m d u d v + n ( d r ) 20 2 ) 上= - - ( 毛毛) = ( 毛善) m = t 夤) = 一，缶) = ( k 善) n = ( 缶) = ( k 善) 这里毒= 毛a 猩a 巧l 是由映射出，功决定的单位向量，由这个映射我们有 ( 口逑= 与毛= ( l n - m 2 ) ( 6 ) 日= ( 毛+ 屯) 2 = + n ) 2 e( 3 3 ) 这里气，乞是主曲率，k 是高斯曲率，胃是平均曲率，在这个体系下， m a i n a r d i c o d a z z i 方程为 0 ) t m = e ：- i ( b ) 一乜= 一e h( 3 4 ) 然而，将e h = + 0 1 2 代入( 3 4 ) 可得到： ( 口) 【( 上一) 2 l + m = 矾 ( 6 ) f ( 三一 o 2 。一j j i 毛= - e h ， ( 3 5 ) 因此，如果为常数，我们就得到 矿( w ) = ( l - n ) 2 - i m ( 3 6 ) 是w = u + i v 的复杂解析函数，它可以被写为 j 妒( w ) j _ k 一七2 i e 2( 3 7 ) 6 我们假设j 0 ，v ) 是一个浸入，使得e 0 现在我们进一步假设工m ，v ) 是尺2 到月3 的双周期浸入，则妒( w ) 是一个c 上的双周 期解析函数，因此是一个常数。 7 i e 塞銮道太堂亟堂焦论塞2 羞王丛q e 邀盆 2 3 2h o p f 微分与h o p f 定理 设z 是的曲面，a 是的l a p l a c e 算子【3 】。 命题3 1 设r 是曲面的位置向量，则 a = r = 2 h n ， 其中h 是曲面的平均曲率，n 是曲面的单位法向量场。 证明取q ，e 2 ，巳是z 的正交标架，设口e 是一个常向量，令，= ，则 矿= zw l + 正w 2 其中石岛，口 ，石e 2 ，a ，w 、w 2 是相应的微分形式。依照：的定义，有 d r , = 联+ 五。= 石。w i + z ：比 以= 职+ z m ：= 五l h + 厶w 2 f = z 。+ 厶 但是利用曲面的结构方程， 叼= 哳+ 五w 2 1 = + 五j = 2 + 3 + w z l 岛，口 m 3 = ( 1w l + 2 w 2 ) ， 所以z 1 = i 。同理，厶= k 。因此我们有z f = 2 h ，g a a 的任意性可得a z r = 2 h e l ，证毕。 设z = h + f v 是z 的局部等温坐标，的度量为 d s 2 = a 2 ( d u 2 + 如2 ) = a 2 d 泣( 3 8 ) 利用命题3 1 ，我们可以求曲面在参数z ，手下的坐标( ，；，h ) 的运动方程。 因为 1 = i = 丢( 一 - 2 i ) 注意这里内积 关于复数也是线性的，所以0 ，是等温坐标等价于 = 0 ( 3 9 ) 或者 = 0 同时不难求出在等温参数z = + i v 下， 则q 是一个在的局部定义的复函数。 对( 3 9 ) ( 3 1 1 ) 式求微分，有 = 0 = 他 = 一 = - q = - - - - b ，白为一等日 = 0 据此，可以得到标架 ，_ = ( 唧) 。，则杰= 1 可写成口触1 。= 1 ，当f _ l ，2 ，3 得到 彦竺j 箸! i a i l + 4 a 4 a z z 一4 a 1 2 = 1 【- 一 = 解得口l i = 4 。= ， 口1 ：= ， n ：= 击( 1 1 ，o ) ， 岛22 老1 ，- 1 ，o ) 口b ：= 圭”2 ，1 ，o ，o ) ， 口i 鬲= 圭 1 ，- 2 ，_ l ，0 o ) 由a a a “i = 1 ，得到 g ，, p l 2 j q 3 2 = 0 ，锄= 3 类似地，考虑点 得到 f 口l l + 4 a 2 2 + 码】一4 q 2 + 2 a , 3 4 = 4 【q i + 4 a 2 2 + r 一4 a 1 2 2 q 3 + 4 a 2 ，= 4 n ，= 去( 1 ，o ，1 ) n 32 万【1 ，o ，1 ) 如= 西1 ( 0 l ，1 )如2 西o l ，1 ) 瓦= 万1 ( 1 ，o ，一1 ) 岛，5 万一1 ) 瓦= 西1 ( 0 , 1 , - 1 )如2 万 ) 口i 加= 三( - 2 1 ，o l ，o ) 口k = 扣，0 ，o 1 1 4 q l + 吗2 + 口“一4 q 2 4 口1 4 + 2 a 拍= 4 1 4 q l + 口2 2 + 钆一4 a 1 2 + 4 0 1 4 一知2 4 = 4 f 口i i + 呸2 + q 5 + 2 q z + 2 0 1 5 + 2 a z 5 = 4 【口i i + + 吩j + 2 a 1 2 2 a , ，一2 a 拈= 4 等2 一2 a u = 0 口“= 3 4 1 5 + 2 j = 0 口3 ，= 3 n 2 ( 口) = c o s o ，s i n o ，o ) 1 6 a i n ：= 3 s i n 20 一l r 一1 ，s i n o c o s o ，0 ，o ) 由a 血= 1 ，得到 ( 3 s i n 20 - 1 ) 2 a i - + a 2 2 + ( s i n o c o s 0 ) 2 a 3 ，- 2 ( 3 s i n 2l 蛔2 + 2 s i n o c o s 0 ( 3 s i n 2 0 - 1 ) a , 3 2 s i n o c o s o a 2 3 - - 1 口一0 ，得到另一个等式，将它们相减，得到 2 s i n o c o s 0 ( 3 s i n 2 口一1 ) 4 1 3 - 2 s i n o c o s o a 2 3 = o 当s i n 2 0 0 时， ( 3 s i n 2 0 - 1 ) a 1 ，一= o 由0 的任意性 a 1 3 = = 0 同理，考虑 一k a ：l a k ( 唧= 1 ， 取 局3 l j = t c o s 伊，u ，锄f ， 岛3 ( d = o c o s o ，s i n o 口i n ，( 毋= 一1 ，3 s i n 20 1 ，o , s i n o c o s o ，o 口i 助( = 3 c o s 20 1 ，3 s i n 20 一i ，0 , 0 ，s i n o c o s o 得到 q = a u = 0 a t 5 = a 2 5 2 0 9 3 = 击( 1 1 1 ) 吼：= 去( 1 ，l ，- 1 ) 吼22 万1 ，1 一1 ， 吼，= 去( 1 ，1 1 ) 勤= , 3 ( 一l ，l ，1 ) 口i 。= 扣o 1 l ，1 ) 1 7 口i = ； o ，o 1 ，1 ，一1 ) 口乙= ； o ，o ，一1 ，l ，一1 ) 叱= ； o ，o ，1 ，吐l 由a a a l= 1 ，得到 q j 4 1 2 ，g d m b ：冀高三篇苫9 b a 3 3 + a ”o + ”a 5 5 + 2 2 。( - a ”嘞+ a 3 5 - a 4 瑚5 ) = 9 将后三个方程依次减第一个方程 i + 码5 = 0 口+ 口4 5 = 0 【呜，+ - - 0 j = 吗5 = a ”= 0 = 争一= ( 口o ) k ；一1 0 00 36 三一10 0 0 63 0 0300 0 0 030 0 0 0 03 由前面知 = = = 0 j 4 j - 1 4 | _ k j - i o ，它们又两两垂直，所以它们线性无关，此时必有4 ：0 ， 此与h i = 去矛盾 因此不存在五特征映射，：s 2 寸s 2 。 j 8 j l 瘟塞煎太堂硒堂位论塞 窆耋塞越 参考文献 川i 彭家戴 微分几何第一版高等教育出版杜2 0 0 2 年7 1 7 2 【2 w e n t e h c c o u n t e r e x a m p l e t oa c o n j e c t u r eo f h h o p f p a c i f i cj