（基础数学专业论文）有界曲率流形的几何与拓扑.pdf

有界j j j j ，# 淹形舶儿 j 拓扑 摘要 本文：l ：要研究r b m m ”流肜的儿何与拓扑的关系，特别是集中在有界曲率 ，一一一 c 生! 竺墅g 速璺的基本群与儿似鲢的关系另外我们考虑_ 厂有界i j 率非正则空闷 与非紧完备流形具有简单拓扑梨的条件 我们研究了有界曲率c o l l a p s i n g 流形的基本群，证明了在r i c c i 曲率和热轭 半径一致有下界时的广义m a r g n l i s 引理，得到了i i i c c ii l i j 率和共轭半径有一致正 下界时基本群的概多循环定理进一步对 ( i c c i 有一致n ：下界和截曲率p i n c h i n g 的c o l l a p s i n g 流形提j l _ ；了几个猜测 我们还考虑了非正则空间，对一类具有利正则性的( 一光滑l l i e m a , n n 流形， 给m 了在正t o l m n o g o v 曲率下的s y g n e 型定耻的一个简化汪明 对完备非紧i i e m a n n 流形，我们得到r 射线的e x c “s 函数的一些上界估计， 应用这些估玑可以得到完备非紧流形具仃简雎拓扑型的一些充分条件 最后，介绍了俞作的一些工作，包括微分f 司胚巾的i i i r s c h 问题和正l i c c i 曲 率流形1 ：0 0 第一特征值的 i 沁 彳界舢率流n r l j l f , , j 拓扑 2 1 、】j j 8 p a p e j s t u d i e st o p o l o g k ：a 】j j 】v m 、i a n t so f l ij e m a m ) i a nm m ) i f i ) h | s 沁l e r l l l s ( ) f g e o l n e 1 ys t l l l c t l l l p m a j o l f o c u so i li l l ( ，f u n d a m e n t a lg r o u p so f ) o l l l l d e ( 1 c l r v t l ，l l l - ec o l l a p s i n gr i e m m m i m lm a n i f o l d s a n dw t ：a l s o ( ：o n s i ( e l t h ec o n d i t i o n s i l l l ( | e i w h i c ht h ei l o i l r e e 1 t i m s p a t f * j i j l f l c o l l l l ) l ( ：l el j o l l t ；o l l l l ) l t c t 1 t i e l l l a n n h l m a n i f o h l sm a yh a v es i m l ) l et o p t ) h ) i c a lt y p e f i l s t 1 y w ec o n s i d e rf h e c ( ) i b t l ) s + + ( 1 l i ( ：l l l | 1 t l l l l i l l l li l l n n i l , ) h i si l l l ( 1 p rt 1j p1 - 1 i f ，ti c l l r v t g l l i 。el t l l ( i c o n j u g a t er a d i u sw i lhu n i f o z i i i i ) o s i ( i v ej o w e r1 ) o l l l l ( 1 w ep z - 【 “ g e n e r a lm 扎r g u l i sl e l l l l l l 3a tt h i sc t t 4 e ，a l l t it h e n ，at h e o r e l nt ，fa h n 【，s tl l ( l y c y c l i ( ：t y o ft h eh m ( 1 a m e n t a l 露o u l ) si s o b i a i n e d ，w h i c hg l a l i z e st h ew ( ，l - k j fw 1 1 ，h a n ( tt h e n w e 1 ) r o p t ) s e s t ) r n e c o i l j e c t l l l e s c ( ) l l e e l n i n g t h ed i m e n s i o n so ft h e ( h o l l l o v i i ；m s ( h n f fl i m i t st ) f ( ：o l l u l s e d s t ! q l l e l l t ：t ! s ) fr i t m n a l m i t t i ln 1 扎n i f i “kw i t 1 l r i c c ip o s i t i v e l yh m r e l ) o u n d e ( 1n n i f o ) m l y t l l ds f j ( f l o l l l 1 ( ：i l l ，v a t ，n l e l l i n c l l ( ：t 1 w e l l s 【】c o n s i t h j rth t ! 1 1 0 1 1 一r f ；g n l a r h m g t h s 1 ) i ( t j ，e s l ，t ：( ：i a l l y t ) l it l l p c o s n i o o t ir i t j l l l a n n i t l lm a n i h ，h i s as i l i q ) l e1 ) l ( ，( ，ft ，f1 1 i eh i m i l a rv e h i ( ) na tt l l i s c i t s eo ft h ec l a s s i c a ls y g e nt y p e1 1 m o l e 1 1 1 i xo i ) ia i n e d i nt h e ( ：a s et ) f n t l l i c t l l t l p l t t ： ，( h e p x 【：c s sf i t n c t i l ) ra i 咿o i l m p l e l f ： n o n c o i n p a ( ：tr i e m a n n i a n 】n a n i f o h l si x 【j 1 m i t l e r 她s t ) l n ee m i m a t i ) f n 1 ) 1 ) t 口 b o l l l l ( 1 so ft h ee x c e s st i m e i o n “”g i v e n ，a n ( i l yu s i n gt h ei a i t i ( ：a l i ) o i n l t i l e ( j r y ， s o l l l ee o n d i t i o n su n d e r w h i c hth a tl li e m a t m i a nm a n i f i f l sh t t v e s i m l ) l et 0 1 ) o l o g i c a l t y p ea r eo b t a i n e d f i n a l l yw ei n t r o d u c es 0 1 i i d - “，s u i t * i i 卜w t ) 1 k e dw i t ht ) t h e r s w h i ( ：hi t l e “h t m t t h ei l i r s ( ：h p r ( ) b l e mi n l i f t e r c n t i a l1 t ) 1j ) 1 ( ) g y ( 1t 1 j n f i l 甜e i g e n v m l l e ( 】f1 ) o s i t , i 、* ： r i c e ic l l l v e t lm a n i f i ) h 1 8 t f f # l 坤( 讲e 形的儿f 0 “ 4 一 筇一章概述 、 r i e m a l l n 流形的收敛性删论i ( m n n 一在七十i i 代术创立i ：j ( ) j 它综合r a l a n ( 1 l 【) v 综合几何学派的思想以及i i m j 流形的( ! l t e e g e r 有限性定理【l ( ) j 这样一些经典成就，在随后的二| - 多年! ，有着氏足的发展，人大加深了人们对 曲率和拓扑这个几何学的中心问题的理解现在，在这个打向上，对所i i i 有摊曲 率流形( ：o l l a p s i n g 的问题仍然有着巫要的兴趣，其l f i 之一是应f | 】( ：o l l a l j s i u g 结构 研究r i e m a n n 流形的基本群，同伦群，同凋群结构在这方面、有 y a m a g n d f i n l k 蝌“的概非负r i c c ii l l l 率流形的基本群的概幂零结构定理【2 4 3 ， ( ；r o m o v 的有界截曲率i l i e m a n n 流彤的全“j 数有限定理，以及 o n g 的正截 j i i i 率流形的基本群的概循环定理 】，1 4 1 ) 】这样一些重要工作特别指 l j 的是 c h e e g e r f u k a y a 一( 1 r o m o v 的关丁一般有界0 n 率l l i e m a m 流形c o l l a p s i n g 的幂零 纤维化结构定理，已成为我们了解1 c 有限结构的一个麟木：| 二具l l ? j 在另一万而， 山r i e r n a n n 流形的收敛性理论所带来的许多问题刺激了非正则几何学的研究 a l e x a n d r o v 综合几何学派的工作被重新认识和重视在这方面，有许多值得研 究的问题其中的一个重要而基本的问题是非正则空问的拓扑结构当极限空问 不再是正则时，对极限空问甚至是局部的拓扑结构仍然不足很清楚借助于几何 拓扑的结果和a l e x a n d r o v 学派度量几何的技巧，现在已经有一些基本的结果 另一方面，非紧流形的情形十分不同，临界点理论依然是了解非紧流形拓扑型的 为数不多的方法之一本文主要研究这几个方而 在第二章我们介绍了一些必须的基本概念以及一些相关的定理，还包含一点 这个方向的历史综述，我们把r i e m a m 流形的收敛性问题与曲率和拓扑的关系 仃锌f f f j 牢流形的几何刊f f 扑 概括为彳r 限性定理j 概有限一陛定川! 往笫：协f t ，列举r 儿个4 i c 有限性定理作为 例子 从第三章u 丌始介绍作者的1 ：作祚乖章f f j f j 我们研究了有界曲率“，m 1 ) s i n g 流形的基本群，借助于一个在r i c h 曲率和j e 轭半径一致有下界条件下的弱型 t o p o n o g o v 比较定理，得到了存i i i “川i i 率和j 轭半径一致有正下界条件下的一 个广义m a r g u l i s 引理， 3 3 1 广义m a r g u l i s引理 殳m ，足满足i i 记 ( n t ) h c o n j u g a t eh l d i u s ，d i a n l ( j f ) 曼d 的7 2 维l t i u n l a n l i 流形的序列，在 ( ：i o i n o v i - i a u s d o l f f 拓扑下收敛1 ：一个，n 维度量空问x ，则存在 = e ( u ，d ，t t ，x ) ，乇= i ( n ，d ，1 t ，i ，x ) ，u = ( t ) ( 1 i t ，? i ) ，使得对i 之乇，e ，及 1 ) i m ，l i a r ( p , ，) 是概幂零的，j f ：钉一个f - l l ￥_ r 满足f ，( ，p ) ：，】u ，儿，足 多循环长度扎一m 的可解群 以顽记满足r i c ，( ? i 1 ) l l ，t t ，l i j n g 珧l i 7 i ，且c l i a 1 ( 且彳) d 的 全体n 维r i e i n a n i l 流形 n i l i j ：面的结果，我们推广f i , 5 8 1 f l ( 1 f , i 果，得到了： 3 1 8 定理对预巾满足l 丌l ( ，) l 0 9 哪 订界曲率流形的儿何j 于i 扑 一7 一一 q ( a ：) 去l r 非一j i ( 瓜) 仆m l - ( 瓜卜l 灿t ( 届) ) 5 1 2 定理设m 1 足完街i t - ：紧l “f j j m l i 流形糟 - ，”的截曲率k 0 ，则 若截曲率k 一七，对某个常数 。，( ) ，则 叼( ：。茎丽i ，斗厮幽( 西卜瓜丽而丽) 】 这儿口( ) 是p 点出发的射线的t ，x c s f f , i 数， ，t 和s 的含义见5 1 应用这些估计，结合临界点础沦我们得到一些完备非紧流形具有简单拓扑 型的条件 在最后介绍了一些已经发表的合作的j i l l ：，这一章独立于全篇包括关于 s a r d 定理的临界情形i 时正则点集的仆汁以及j e l l i c c i 曲率流形上第一特征值的估 计 打界岫，笨流形的几何! j r i 4 1 、 一8 一一一 第二章有瞅性定删4 j 概订瞅1 哇定理 2 1 ( ；】i t ) v i l a u m h l r | 收敛 本节简要介绍一些基本概念及丛本定圳洋尽的可参看1 4 5 j ( f p e t n r 一一v ， ( ；r ( ) m o v h a n s ( 1 ( ) l f f ( h ) n v e l g e l l c ( , ，o f m e | 1 i ( s i ) “( qp r o c “、d i n g s o fs y l n p o i ai n n l r ( jm n t h e m a t i c sv o l5 4 ，i k l ： ) ，1 5 7 1 ( f f h 鸿熙，陈维桓，黎曼儿何选讲北京人 学出版社1 9 9 0 ) 2 1 1 度量空问的距离与i l m m d o r f f 距离记空间x 上的度量为r 如) ，荇 a 匕x i 己i n t , a ，彳分另0 为a 的内点! - ja 在y q i g i ；l t 包，则对x 的子集仍定义 a ，b 的距离为d ( a ，b ) = i n f d ( r b 6 ) = n 1 ， ，7 若z 为度量空间，则对集合 4 ，bc z ，定义它们的l l a u s d o r f f砸 离为 d n z ( a ，b ) 一i n f e ：ac 日( b ，e ) ，“c8 ( a ，。) ，这! 哩口( 口，e ) 和口( 4 ，f ) 分别为集 合4 ，b 关于度量c ，的e 一邻域 2 1 2 ( 1 r o m o v i l a u s d o r f f 距离汜卿为全体紧度量空问的等距类若 y ，】卿，定义 c t j 。( x ，y ) = i n f e ：存在z 瓤及等距嵌入i ：爿一z ，j ：y z 使得d f l z ( i ( 义) ，j ( y ) ) o ， 使得任意他维r i e m a n n 流形 4 v ，只耍r t ( ，n ) ( ) - l 阻r ( ? ，| l i c ： ，i ! f ? ，l i m - ( ，) d ，蕴涵有限微分同 胚型( a n d e i s o n 一( ：，g 目【2j 1 9 1 1 1 ) 3 ) v o i ( m ) 27 j 0 ，k ( 4 ) 三三( j ，c 1 1 ( ，) 曼d ，蕴涵： 有限同伦型( ( - 1 i o v e , - 。e t e l s e n a 2 jr o s s ) ； 有限同胚型( 1 e r e l a m n 4 ：, j1 9 9 1 ，维数： 时，( m ) v e p e l 1 1 , l , s e l l w u 3 4 j t 9 9 0 ) ； 有限微分同胚型，当维数；即l 时( ( 、”一1 一i m i l _ w , t 3 4 j1 9 9 0 ) ； 4 ) i ( 吖) l a ，t l i a m ( m ) sd ，7 1 1 ( 1 1 ) = 0j i ( ，) 有限，蕴涵有限微分同胚型 ( i e t i l l l l i n t , t s c h m a n n l 4 7 j1 1 1 ，1 j ) 2 3 有牲曲率流彤( ：o l l a p s i n g c o l l a p s i n g 的含义是指流形在( ：1 0 1 1 1 0 、，一i i a u s d o zf f 意义下的收敛序列体积趟 于0 ，或者等价地，极限空问或y , e ) b f l 0 维数发生下降这里的维数是i t a u s , h ) 1 f f 维数事实上，对任意l i e m a , m i 流形，如果不断收缩它的i l i e m a n n 度量，则我 们最后总能得到一个点这是平；l 0 0 t0 1 1 p s i n g 钉界曲率c o l l a p s i n g 是指在 c o l l a p s i n g 过程巾，收敛的流形序列具有一敛有界的曲率( 械曲率或r i c c i 曲率) 有界曲率c o l l a p s i n g 的第一个例予i i im m - 刚n 1 年代初发现，这个发现表明 _ ，界曲舛流肜的j l f l l l 。j 拓扑 奄少在： n - ：nk l i n 桦j l l l m l g 、k z t i l ： r j 的自7 测：紧敛正 一p i n e h i n g 截j i l l 牢n r i e m ，- 流形的单一j i ! 径具i e 1 j 一致下界，足不成立的换言之，奇数维一致有 界正截i f l l 率流形的序列可能发生r o l l a l ) s i n f ( n ：偶数维时，已f l lk l i n g e n l m r g 3 ( i 】 证明k l i n g e n b e r g - s a k a i 猜测足对的，酬i j n ：偶数维时，任何具有6 一p i n c h i n g 一 致有界正截曲率流形的序列在( - r t n n o v 1 1 a u s t l o r f t l 殳敛下鄙不会发生c t 4 | a p s i n g ) 2 3 1 r e r g e r 的例考虑i t o p f 纤维化 ：一3 一酽，其纤维为具平坦度量的 。，1 ，i g m 。= 。s , a 为具标准度量的坼位球，叫。为以。o ! 为底空间，直径为州i 的平 坦，1 为纤维的纤维空间则序列 4 。 在( ：、o l i l o v i h m s , h ，r f f 意义下收敛到q 2 其巾m 的截曲率，f m 满足k 曼4 ，见1 7 j 2 3 2 概平坦流形定理 紧致，l 维r i e m a m t 流形 ，称为f j 哪q ( f ( 1 ) 1 盘果 k 。| t l i n r e ( m ) 。se 当 s 充分小时( 例如e e x p ( - - e x p ( n x p ，户) ) l f ) ，称吖为概平坦流形 g r o m o v 概平坦流形定理【 ) l ， 2 7 j没，魁，t 维紧致f 平坦的流形，川- f = e x p ( - e x p ( e x p ，t , 2 ) ) ，则n ，的万柑覆箍空f 1 i j 魁一个幂零李群 受概平坦流形定理的影响，x , h - i 界胁牢c o l l a p s i n g 流形的更进一步研究导致 了纤维化定理纤维化定理表叫了仃界1 1 1 1 - - 举c o l l a p s i n g 的流形序列在极限空间附 近与极限空间的关系 2 3 3 概平坦纤维化定理 n k w a 纤维化定理1 2 2 j 存在一个常数e ( “，t ，) ，使得当紧致r i e i n t t r t l t 流形 m ”满足l k 。l 茎l ，r i e n m m - 流形满足i k 。l 1 ，i n j 。芝屯及 如”( m ，n ) 一f 。这儿 e 。是一个正数 2 3 4 概二 f 负n l i 率流形的纤维化定理 y ；u n a g u c h i 纤维化定理【f ；( j j 存在一个常数f ( ，“乇) ，使得当紧致t i e m a n n 流 形m ”满足k ”2 1 ，r i m m m ，流形满足 i k 。l 1 ，i n j 。i 及 叱。( m ，2 v ) e 。时，”。( m ”) 包含一个可解正规子群h 满足 h ( m ”) ：1 1 j 茎u 。且1 1 的多循环长度茎即一( ，”) 为概可解的 3 1 2 推论【2 4 】j 只依赖t 。的i e 实数n ，使得当，。维r i e m a n n 流形m ”满 足( i i a m ( m “) 2 f ，。时，则对v 满足p 兰n 的素数p ，；f f b l ( m ”，z ，) _ 这 儿 ，( m ”，z ，) 是且，的第一模pj “数特别，当 ( ，z ，) = n 时，m ”微分同胚 _ j 二，l 维环面，t ” 以卿记满足截曲率k 。 ：，, l i a m ( j , s ) 的全体维l , i e m a n n 流形 n i l jf u k a y a y a m a g u e h i 的方法，结合( ；r o v e ，p m ( ；e r s e , n 等人对度量空问收 敛, l + j - f l q t i ) f 究的工作【： 2 4 j ，【4 5 】，w 1 1 1 y h y a n g 【5 8j 征明了： 3 1 3 定理【5 8 】设贼巾满足h ( a ，。) l 嚷一s 2 ) 当 彳o ，彳2 ) 是相应在欧氏平面巾的满足l 彳o i = i i ，陌l = 1 7 。i ， 么( 侃，彳1 ) = 么( ，仉) 的测地三角形，使得l 彳2 l h l e 3 2 2a l e x a n d r o v 空问，角度，7 l o p o n o g o vi 【l i 率一个a l e x a n d r o v 空间是一 个完备的长度空间，其中任意两点那钉极小长度的曲线连接在非正则的情形， 不能用切线的夹角来定义角度，此时采取所谓的综合儿何定义【8 】设是一个 a l e x a l , d r o v 空间，仉ec 足两条满足7 ( o ) = ( ( o ) = p 的最短线对任意 t ，820 ，i f i t ( t ) ，e ( 8 ) 为，t ，s ) ，则在欧氏平面中与对应的边具有相同长度的三角 形的相应的角度被定义为是7 ( ) ，( ( s ) 的角，记为“( t ，8 ) = 么7 ( ) p e ( s ) ，则当 t ，8 0 时，拄意到“j ( t ，8 ) 是有界的，于是u ( ，s ) = z t ( t ) p ( s ) 存在极限，把其中 的一个极限称为是7 ，( 的角度在这样的角度定义下，对于某个常曲率为k 的2 维空间形式铲( ) 为模型空间，满足t o p o n o g o v 比较定理的a l e x a n d r o v 空间， 我们称在t o p o n o g o v 比较定理意义下截曲率k ，或者，t o p o n o g o v 曲率k ( 有时也称为a l e x a n d r o v 曲率) 应用t o t ) o n o g o v 比较定理，( h ) 、，f ，和i k l ，e r s ( l l 有下面的定理 3 3 1 3 2 3 定理 满足2 墨, l i a m ( m ) s d 的n 维r i e m a n n 流形序列的 ( ：r o i l l o v i i a , u s d o r f f 极限足r o p o i i o g ( ) v i l 率h 维数 的a l e x a n d r o v 空问 有界n 率流；r j f g l j l f i l ll t f f i t b 应川和依j j i f l 完全一样的讨沦，我们可以证f ! f j = 2 4 命题满足r k m ( 7 z 一1 ) ， c o i l 、j u g a t pr a d i u s2 ，i ，d i a m ( m ) d 的 维l i e i n i 、，1 1 1 1 流形序列的( h l ) 、，- t t a u s d o r f f 极限是满足：j 2l 定理中弱型 l o p o n o g o v 比较定期! n 维数1 1 , n qa 1 r ，x a m h l ( ) v 空问 证没收敛序列的极限空l _ i i j 为x 1 i t ( 1 1 o i t i o v 预紧性定理，这样的极限存在 i t l l l l 满足条件的流形的紧致性，则i l ，以选取一个充分a , t r o ，使得： 2 1 定理的 7 i o p o n o g l w 比较定理在任意点的一个、卜径为d v g 数r 的度量球内能够成立于是 我们呵以在这个度量球内应用( h u v c i 饥r ! r 一、郾j 对截曲家有下界流形的极限空 i i i l f l o # l t 应的证明我们只要证n j j 扯这个小度量球内仍然满足：极限空间的每条极 小测地线是收敛序列流形的测地线的极限 没两条正规测地线j ： i , - 目一，r j ：【o ，- l 】一x 满足r j ( 0 ) = q ( o ) = m 它们 分男0 是m 、i l , f l o ；l l ! 规测地线r i ，呓的极限若对某个“( i 】) f ) ，q ( t o ) zr ：。( 如) ，则记 s ；，分别是连接r ；( ) ) 到r 、j ( 一f 。，) 和r ；( “) 的极小测地线由于 l i m r ：砸) ) = l i mc j ( o ) = m ，有l i m h = n , q 4 f = t 。记s 0 的夹角为吼，对充分 人的i ，应川3 2 1 定理的弱型的1 _ ( ) 1 ) c ，l l o g o v 比较定理1 ) 到三角形( s ，s 弑) ， 则对任意小的e ，有l i mo i 7 r e 即l i m6 l = 7 r 又由 l i n ia ( 4 ( 1 ，) ，4 ( 4 ，) ) = d ( q ( t 。) ，q ( 6 ，) ) f ) ，再次应j 玎3 2 1 定理的弱型的 r r 【，1 ，o l l o g ( ，v 比较定理1 ) ，则对充分人的i ，记r ，呓的夹角为哦，一s ：，4 的夹角为 峨则对某个“ 0 ，有晚 “于是，我们可以找到7 ”，使得峨p 再由 ： _ 2 1 定理的弱型的t o p o n o g o v 比较定理2 ) ，当i 充分大时，对任意小的，对某 个d ；f f a ( f f t o ) ，( f 。，) ) d + f ，二j ：是矾q ( 一t o ) ，q ( t ，i ) ) 2 t ( ，这i 兑明，在m 个小度永球i 勺，一嘹极小测地线的r h o l l m i h m s d t ，r f f 极限是唯一的 有界曲率流形的几何与拓扑 一2 0 _ 一。 设。 f ) l 】一x 是一条极小( 短) 测地线，( ( ) ) = ( 1 ) = q d ( p ，q ) = l r = | = f 对每 个有一个i = 如) ，及点列儿， 7 。，使得d ( ，r ：( j 礼) ) 2 。1 ， j = o ， 汜碟= 群= 吼没m ：n 1 1 一m ，足m ，中经由每个一连接p i ，吼 的分段极小测地线，易见，1 i i l l i 仉i = z ，且仉一致收敛到_ l 啊定0 8 s 重复上面的讨论，得到一条 测地线n ：【o ，1 】一x ，n 限制在【i ) 1 】上是极小测地线的极限，且n ( s ) = 以( 8 ) 1 1 二足i l | 前面证明的测地线的极限的唯一性，可以知道，限制在 ( ) 8 】上时，j f 和以 是牛| l 同的 对每个n ，反复使用上面的讨论，则在 一十。时，我们得到c ： 0 ，l 】一x 是眠 巾从n 出发的极小测地线的极限即每条_ ) ( 中的( 短) 极小测地线都是m 。中极小 测地线的极限 考虑从pe 义出发的两条( 短) 极小测地线7 ，仉：【o ，l 】一x ，则由上面的结 论，( p ，仉，) 是尬中极小测地线( n ，7 | ) 的极限特别有 d ( 1 ( 1 ) ，( 1 ) ) = 1 i m d ( 研( 1 ) ，倪( 1 ) ) 没欧氏空问巾相应具有相同边长的三角形 订界率流形的几何与拓扑 一2 1 ( 磊，胃，弼) 收敛到( e 彳l ，瓦) ，容易看到，( e 瓦，瓦) 和( z ) ，仉，) 对应的边长相同， 1 1 13 2 1 定理对三角形偶( t ) i ，7 ：，1 ；) ，( e ，贺，弼) 一致成立，于是对三角形偶 ( p ，7 ，仉) ，( f ，鬲，彳2 ) 3 2 1 定理成立 1 1 1 上而i i f 明的结沦，限制在一个小度量球内1 1 年l l 【：制完全棚同的证明，则在 x 的每个这样的小度量球内具有一致的n 的维数，从而义的每点处都有相同 的s 的维数参见l 酬对任意两点p ，g x ，选取点列 p = 】) 0 m ，氏+ = q 使得d ( p ，扎，) r ，二i ：是，则我们可以得到分段极小的 曲线，y 连接p ，q ，容易看到，由x 的紧致性，在所有这些分段极小的曲线中取艮 度的下确界，则得到连接p ，g 的一条极小长度曲线 1 1 该命题，我们可以证i 蛐3 1 8 定旦i ! 的第一部分 l f 实上，山x 为a l e x a n d r o v 空问，且局斋i ：地t 0 1 ) 0 1 1 0 9 0 v 曲率仃下界( 在整体 1 , 1 可能没有一致的界) ，则在xi i l 侮点的一个充分小的度量邻域内，由 i ) e l w l ，m m 稳定性定理【删，这个度量邻域同胚予该点处的方向空间上的线性锥 j ：足，山i 2 l ，2 j ，x 是一个l “( j “，) 空间，以某个满足p ( 0 ) 一( ) 连续增函数，为 收缩函数的局部几何可缩空 n j ( 1 0 c a lg t ! o l n e t li ( c o i l r a c t i b i l i t y ) 即所有半径充分 小的球f 她，) 在b ( p ，忙) ) l p 是可缩的山二f 足l ( ? ( 沁0 空问，可以用和【5 8 】完全 一样的用i l a u s d o r f f 逼近的方法构造满足条件的映射。，故在此略去，的具体构 造方式及证叫，具体的参见p 2 j 1 【5 于是我们证j j 了定理：j 1 8 的1 ) 曩2 5 注记哥 实上，若只是要求： 1 8 定理的1 ) 的成立，则只需要相当弱的 条件，仪仪 i 三要r i c 。2 ( n t ) h ，和t l i a m ( l ) ，参看1 5 4 1 仍然沿用【5 8 l l l ，的 i , f i ! l 方法是为了构造我们所需要的映射， y , j h l ! l ! j j ： 1 8 定理的第二部分，我们需要心2 j ，1 24 j 的等变i i a t h f f 收敛定理 有界曲率流形的几何0 拓扑 一2 2 一一 这个定理将收敛序列的等埘! 变换腓和极限窀n u 的等距变换群联系起米我们应 门l ( 2 卜的方法来证明下面的引理： 3 2 6弓| 理 设满足l 讯 ，( ? 一1 ) ， n m j u g ；a t er t d i u s 7 i ， t l i a m ( m ) d 且丌】( m ) + o c ，的i t i l m l l l 流形序列 m 。 ( ：r o m c ) v i i m 1 1 ) 1 、f f 意 义下收敛到某个艮度空间( x ，：b ) ，则存在正数i = ，( 7 k ，) ，i i ，? i ) ， t o = w ( n ，d ，h ，7 j ) ，乇= t ，( ，f ，d ，t 1 ，? i ，) 对某个f ，使得当i 三蠢时，有短i l ： 合序列： 0 一k e r f _ 7 1 ( a f _ ) 一7 r l 咩，m ) 一( 】 且( k e l ：r ( x 。，) 】u 这儿，( ：q ，e ) 是包含同态t ：7 f i ( f ，( ) ，投) 一7 r 。( ，c ，) 的像集，的构造同【5 札 证 记1 1 = k e r ：7 1 - i ( a ，t ) 一丌l ( 义，r ) ，f = r ( m 。，f ) ，i l i ( 义，m ) 足 r , a a ( e ) 空间，则由【5 8 j l e n 1 t 。3 3 ，tc1 1 。只需证 ，：f 】的界与i 无关 对僻，。) 上的一个等距变换群o ，记( ? ( ) ) = f ， d ( 口。，) 0 ，可以由( 五( f 4 ) 生成 5 8 l e m m a 3 2 ， 可以找到q 的一个正规子群，l7 使得q f = g 瓯，且对充分大的i ，f 可以 内一7 仁2 ) 生成由于g i 是有限群，故阶：q 1 有限，即有一个与i 无关的 f r y n i l 埤i 讲f 形f 由儿 ：q t t i 4 1 一2 3 。 + o 。，使得：q 】 u 1 ：址我们有 ，；：f i 7 1 ：f 7 j _ f ? ：】 根 据定义，总有q ( 2 e ) c 厂f ，于f7 巾f7 ( 如) 生成，敞可知f 7 c t 于足 h ，：f 】【h 。：7 1 ，肘，有纤维化 ，：m 。一x 记只为纤维，于是由映射序列，一m x 我们有同伦正合序列 ”。( 只) ，7 r 。( f ，) ，7 r ，( 义) + 0 故工：w 1 ( m ) 一丌l ) 为满射，w 1 ( f 。) k e r f i 兰7 1 1 忧) 由纤维是概非负吐率流 r 6 b o ，对维数进行归纳，容易得到f u k a y a y a m a g u c h i 的基本群概幂零定目1 3 1 1 困难的情形是当x 不再是r i e m a n n 流肜的时候基1 ：f 2 4 j 的观察，此时可 以把大范围的纤维化构造转化为对局部的纤维化构造的研究，于是用局部的丛 本群i m 讶，( b ( ，z ，) ，a ：i ) 来取代7 r i ( ) 这里t ：n ，( ? ( ，3 ：，) ，) 一7 r 、( m ，z 。) 是i 【l 包含映射i ：b ( ：q ) 一m 诱导出的擎本群同念，b ( 。o ) 是 f ，中以为半径的测 地球广义m a r g u l i s 可以认为足