（环境工程专业论文）基于可靠性的给水管网扩建改造的优化.pdf

摘要 本文对“基于可靠性的给水管网扩建改造的优化”进行了深入的研究。在保证供 水可靠性的前提下，以一定年限内管网投资与运行管理费用总和最小为目标，对现有 管网给出扩建改造部分的管径。 本文对可靠性理论作了系统论述，根据给水管网的特点，提出将给水管网可靠性 分为“结构可靠性”和“水力可靠性”两个层次，并且着重研究了给水管网结构可靠 性。在结构可靠性的研究中，首次将图论的相关理论引入给水管网可靠度的计算，具 体分析了其计算方法、设计了计算流程：组件可用度系统最小路不交化处理 系统可靠度。据此，本文建立了基于可靠性的给水管网扩建改造优化的数学模型， 并根据模型的非线性离散化特点寻求出适宜的解法，直接求解出规格化的优化管径。 根据模型及解法，作者设计并编写了计算机程序，并用实际管网进行了考核计算 和分析，效果令人满意。 关键词：给水管网组件可用度结构可靠度水力可靠度 a b s t r a c t a d e e pr e s e a r c hi sm a d eo n ”r e l i a b i l i t y b a s e de x p a n s i o n - t r a n s f o r m a t i o no p t i m i z a t i o n o fw a t e rd i s t r i b u t i o nn e t w o r k ”i nt h i sp a p e r o nt h eb a s i so fw a t e rs u p p l yr e l i a b i l i t y , t h e e x p a n s i o n - t r a n s f o r m a t i o np i p e s i z e sa r eg i v e nt om a k et h et o t a lc o s to fi n v e s t m e n ta n d o p e r a t i o n m i n i m u mi nac e r t a i np e r i o d t h et h e o r yo fr e l i a b i l i t yi s s y s t e m a t i c a l l yp r e s e n t e di n t h i s p a p e r a c c o r d i n gt o t h e p e c u l i a r h i e so fw a t e rd i s t r i b u t i o nn e t w o r k ，t h ev i e w p o i n td i v i d i n gt h er e l i a b i l i t yo fw a t e r d i s t r i b u t i o nn e t w o r ki n t os t r u c t u r a lr e l i a b i l i t ya n dh y d r a u l i cr e l i a b i l i t yi sp u tf o r w a r d i nt h e r e s e a r c ho fs t r u c t u r a lr e l i a b i l i t y , g r a p ht h e o r yi si n t r o d u c e dr t r s t t yi n t oc a l c u l a t i n go fw a t e r d i s t r i b u t i o nn e t w o r kr e l i a b i l i t y , m e t h o da n dd e s i g ni s a n a l y z i n gc o n c r e t e l y ：s u b a s s e m b l y a v a i l a b i l i t y - - s y s t e m m i n i m u mp a t h d i s j o i n t e d d i s p o s a l - - s y s t e mr e l i a b i l i t y t h e n a m a t h e m a t i c a lm o d e lf o r r e l i a b i l i t y - b a s e de x p a n s i o n - t r a n s f o r m a t i o no p t i m i z a t i o no f w a t e r d i s t r i b u t i o nn e t w o r ki ss e tu pw i t ht h es o l u t i o nf o u n d e da n ds t a n d a r do p t i m a lp i p es i z e sa r e g a i n e dd i r e c t l y a c c o r d i n gt ot h em o d e l sa n dt h es o l u t i o n ，t h ea u t h o rd e s i g n e da n dc o m p l i e dc o m p u t e r p r o g r a m st h e n t h ea u t h o rp u tap r a c t i c a ln e t w o r kf o rc h e c k i n ga n da n a l y z i n g ，w h i c ht u r n e d o u tas a t i s f a c t o r yr e s u l t k e y w o r d s ：w a t e r d i s t r i b u t i o nn e t w o r k s u b a s s e m b l ya v a i l a b i l i t y s t r u c t u r a lr e l i a b i l i t y h y d r a u l i cr e l i a b i l i t y 第一章前言 第一章前言 1 1 课题的提出及研究意义 城市给水系统在国民经济和人民生活中占有重要地位，其作为国民经济全局性、 先导性基础产业，目前己成为城市经济可持续发展的主要制约因素之。作为城市基 础设施之一，给水系统担负着向用户输送生产和生活用水的任务。随着经济的发展， 人口的增长，人民生活水平的提高和用水设施的改善，使得城市用水量逐年增加，城 市给水管网也经历了从无到有，从4 , n 大不断新建、扩建、改建逐步发展的历程。目 前，为了充分保证供应用户所需的水量和水压，全国各个城市每年都要投入相当数量 的资金用于现有给水输配系统的扩建改造。以给水管网为例，在整个给水工程投资中， 不仅管网部分的造价比重约占6 0 一8 0 ，而且还涉及到每年大量的供水能量消耗。 城市给水管网在运行过程中，由于各种自然因素( 如：土壤松动、管道内、外部 腐绌、管道老化、低温等) 和人为因素( 如：道路交通负载，水压过高，道路施工、 开挖和管道产品、施工质量及水锤等) 的影响，会发生爆管和漏损等事故，不仅造成 巨大经济损失，而且使得系统供水功能遭到破坏，给居民生活和工业生产带来不便。 因此有必要在进行给水管网扩建改造的过程中考虑供水可靠性这一因素，使给水系统 更好地完成其功能。 可靠性问题是随着科学技术的发展而产生的。从本世纪4 0 年代起，技术装备的 复杂化和大规模系统的出现，促进了可靠性问题的研究。自s o 年代以来，可靠性理 论和应用都得到了蓬勃发展。近年来，在各个学科当中开展的可靠性问题的研究也越 来越受到人们的重视。城市给水系统是社会生产的基础结构，显然，其可靠性对保证 社会生产和生活的正常运行有着举足轻重的影响。实际上，目前绝大多数城市都采用 环状管网供水，在有输水管的城市给水系统中，通常铺设两条以上的输水管，并且在 两条管道之间加设连络管。这些都是通过增加系统的冗余度来提高系统的可靠性，但 是这些考虑都只是从定性的角度考虑了给水管网可靠性问题，而目前这方面的系统 的、定量化的研究尚很少见。因此，如何通过定量分析建立给水管网的可靠性模型， 进而在给水系统的扩建改造优化设计中充分考虑这一因素，从而为设计人员、管理人 员和领导提供科学的决策依据，显然就具有极为重要的理论和现实意义。 近年来由于系统工程、最优化理论、可靠性理论、电子计算机等新技术和新工具 的逐渐成熟和迅速发展，使得利用计算机进行“基于可靠性的给水管网扩建改造优化 计算”的研究成为可能。 本文具体研究“基于可靠性的给水管网扩建改造优化”，以一定年限内管网投资 第一章前言 与运行管理费用总和最小为目标，结合整个管网可靠度的优化模型，通过优化解法给 出原有管网扩建改造部分的优化管径。 卜2 国内外研究动态 在国外，给水管网的优化设计自四十年代开始，从经典的拉格朗日条件极值理论 到现代的运筹学理论的研究与应用，许多研究者采用了不同的优化方法，对管网进行 了研究比较，取得了实质性的进展。例如，j a c o b i 利用梯度搜索技术，将梯度方向与 随机方向及经验方向结合起来进行最优搜索；w a t a n a t a d a 采用非线性规划法，通过引 入罚因子，利用罚函数将有约束的非线性规划问题转化成一系列无约束的最优问题； 这些优化方法通过相应的简化和处理都可以较好地应用于给水管网的优化设计。另外 也有人将广义简约梯度法和罚函数法相结合，对复杂的多种负荷下的管网系统进行优 化设计。从实际运用中发现，胁c p 程序作为一种求解工程中约束非线性混合离散变量 优化设计问题的新算法，对模型中的目标函数和约束条件的形式要求不高，计算结果 又能获得离散的标准管径，在给水管网的优化设计中得到了广泛地使用。近几年来一 些非确定性的优化方法，如神经网络法，遗传算法，爬山法，模拟淬火法等也逐渐发 展起来，并被应用在给水系统的优化设计中。如a n g u srs i m p s o n 、g r a e m ec d a n d y 和l a u r e n c ej m u r p h y ( 1 9 9 4 ) 运用遗传算法研究了管径优化问题。 从七十年代起，国外在城市给水系统方面开始研究如何应用可靠性工程提高供水 的可靠性的问题。1 9 7 7 年美国戴姆林、沙米尔、阿拉德等首次提出了如何评价供水可 靠性的问题。1 9 8 1 年美国j a w w a 杂志发表一篇名为“给水可靠性”论文。早期的给水 系统可靠性研究大都停留在理论研究和系统分析上，没有很好地与工程实际结合起 来，因此发展较为缓慢。经过二十多年的发展，可靠性仍然是给水系统所面临的最具 挑战性、还未解决的课题。在可靠性的研究中，有两个急待解决的中心问题，即：最 合适的可靠性评价方法；可接受的可靠度标准。目前，对于给水系统的可靠性还没有 一个很好的定义，对于两个中心问题还没有很好的解决办法。因此，许多研究者采用 不同的方法，从不同的角度对给水系统的可靠性进行定性分析。众多的研究可分为两 个层次，一个是从给水系统的拓扑结构出发的可靠性，一个是从给水系统的水力条件 出发的可靠性。g o u l t e r 和c o a l s ( 1 9 8 6 ) 、g e r m a n o p o u l o u s ( 1 9 8 6 ) 、w a g n e r ( 1 9 8 8 a 、b ) 、 o r m s b e e 和k e s s l e r ( 1 9 9 0 ) 等都集中于结构可靠性方面，另外一些研究都集中于水力 可靠性方面，如b e i m 和h o b b s ( 1 9 8 8 ) 、l a n s e y ( 1 9 8 9 ) 、d u a n 和m a y s ( 1 9 9 0 ) 、b a o 和 m a y s ( 1 9 9 0 ) 等。 w a l s k i 和p e l l i c i a ( 1 9 8 2 ) ，0 k a y ( 1 9 8 2 ) 将可靠度加入到管道维修和更新的 第一章前言 决策中，获得成功。随后可靠性和优化技术、决策理论相结合的应用研究在给水系统 的设计中逐渐发展起来。m a y s ( 1 9 8 9 ) 首次将可靠度计算引入给水管网的非线性优化模 型，随后出现的优化模型包括了几种不同的可靠度评价方法，如c u l l i n a n e 于1 9 9 2 年提出的可用度概念、s u 于1 9 8 9 年提出的最小割集法。f u ji w a r a 和t u n g ( 1 9 9 1 ) 提出一种两级优化程序，其中的可靠度约束用组件故障率代替。p a r k 和l i e b m a n ( 1 9 9 3 ) 把“组件容错”概念结合进最小费用优化模型。最近，o s f e l d 和s h a m i r ( 1 9 9 6 ) 提出 了一种新的基于给水系统可靠性的优化模型，这个模型引入后备存储子系统的概念作 为可靠度约束。这些模型都只是从个或某几个方面考虑了给水系统的可靠性，事实 上，影响给水系统可靠性的因素很多，如组件失效、水力故障及流量变化，即使在非 常小的管网中，也是很难处理的，目前还没有可靠度模型能够包含所有非确定因素并 适用于实际管网。 我国对给水管网优化设计的研究起步较晚，对给水管网可靠性的研究更是只有十 年左右的时间，有关这方面的文献和报道较少。目前还没有确定性的研究成果，计算 程序尚未见到在工程实际中的应用。给水管网优化设计实际上是一个非线性规划问 题，但也有不少研究者试图用线性规划的数学模型来描述这个问题。同济大学的研究 者徐祖信等人在我国给水管网可靠性领域进行了先行、深入的研究，提出了一个水分 配系统以可靠性为基础的线性优化模式鲫，采用逐次线性逼近来求解这个高度非线性 问题。目标函数和约束函数用一级t a y l o r 系列表示，三个计算模式( 恒定流动模拟模 式、可靠性计算模式和线性优化模式) 在优化搜索中交叉联结。较之非线性模式，线 性模式的计算时间减少，可应用于中、大型水分配系统以可靠度为基础的优化设计， 具有较大的实用价值。但是，线性规划法对于目标函数和约束条件的形式有着严格的 要求，目标函数为线性或为可分离的非线性函数，约束条件全部为线性函数。同时， 由非线性规划近似转化为线性规划不能保证获全局最优解，限制了线性优化模式在实 际管网优化中的使用。 我国大多数城市都是在原有管网上逐步改建、扩建发展起来的，而这一特点，往 往又增加了计算的难度。本文拟引用数学规划、图论、计算技术、可靠度理论、程序 设计等多学科理论，在前人已有工作基础上，对城市原有管网的扩建改造优化计算以 及管网可靠度计算进行研究，追求对管网优化设计与可靠度更深层次的认识，对可靠 度理论应用于工程实践进行一些有益的探索。 1 - 3 主要研究内容、方法及目标 给水管网扩建改造与可靠性相结合的优化模型大致有两种模式：( 1 ) 以管网建设 整= 童蔓壹一 和运行费用最小化为目标函数，可靠度作为一个约束条件，求解在保证一定可靠度水 平的前提下使总费用最小；( 2 ) 以可靠度作为目标函数，求解在一定资金约束的前提 下使系统的可靠度最大化。无论采用哪种模式，目前都存在两个问题。一是给水管网 可靠性的研究大都着重于定性描述，虽然对于影响管网可靠性的因素( 包括静态因素 与动态因素) 有比较深入的分析，但都没有提出可行的定量化模型。给水管网多采用 环状供水，因此城市给水管网实际上是一个错综复杂的网络结构，不能简单地将管网 处理成串、并联结构。随着现代图论的快速发展，可以采用图论的手段对管网可靠度 进行分析计算。二是在进行管网扩建改造优化时，通常将管径处理成连续变量，在得 到优化的连续管径后，再将管径规格化，这样得到的近似最优解可能并不是实际的全 局最优解。为解决这个问题，本文采用求解非线性混合离散变量优化的m d c p 算法， 它是以离散复合形算法为基础，配以多种辅助功能的一种组合算法。m d c p 程序的另一 个优点是并不要求初始点可行。如果初始点不可行，程序先自动寻找可行点，然后再 求最优解，无疑给使用者带来方便。 一、研究的内容、方法 l 、管网供水现状的水力分析，判断出需扩建改造的管段。 2 、对任意已知结构的管网，计算出整个管网系统的可靠度。 ( 1 ) 理论方法：从网络的拓扑关系出发，采用图论技术，找出管网系统的最小 路，并结合单管段的可用度，对最小路进行不交化处理，计算出整个管网 系统的可靠度。 ( 2 ) 经验方法：通过截断管段进行水力分析的方法，找出管网系统的最小路， 并结合单管段的可用度，计算出整个管网系统的可靠度。 ( 3 ) 结合实际应用成果对理论方法与经验方法进行对比分析。 3 、建立扩建改造时给水管网的管径优化计算的数学模型，其中，管网的可 靠度作为模型的一个约束条件。 4 、寻求模型的解法，探讨m d c p 方法、原理及优缺点。 5 、编制计算机程序，有效地将可靠度的约束结合进管网优化设计中。 6 、进行实例考核，并分析计算结果。 二、研究目标 i 、对管网进行可靠度分析，设计管网可靠度计算程序，使管网的可靠性指标得 以定量化。 2 、对拟扩建改造的给水管网，以管网的年费用折算值最小为目标，考虑进管网 4 第一章前言 束条件，建立管径优化模型。 3 、选择和确定适合模型的解法。 4 、结合工程实例考核程序，以达到应用。 第二章给水管网可靠性分析 第二章给水管网可靠性分析 一般的，由一些基本组件组成的具有某种特定功能的整体称为系统。系统可靠性 理论的中心问题是要确定复杂系统可靠度与其组件可靠度之间的关系。要研究系统的 可靠度首先就要知道组成系统的各个组件的可靠度、它们之间在运行过程中的相互关 系以及和整体可靠度的关系。因此，本章对给水管网可靠度的研究先从组成管网的各 个组件( 主要是管段1 的可靠度入手，分析管网的结构，找出管网可靠度和组件可靠度 之间的关系式，进而求出整体系统的可靠度。 2 1 可靠性基本原理 1 、可靠度函数 假设取d 个具有相同性质的组件，使它们连续工作直到失效为止，测出它们的 工作时间。我们把工作时间按x t 为一段分成t j ，t 2 ，厶( t z 岛 厶) 时刻，如图2 - 1 所示。 薪 辇 蒜 较 米 图2 - l 失效组件频数直方图 图中的纵坐标是每个单位时间t 内失效的组件数。如在i 段，就是从时刻f 。到 为止，这一单位时间内失效的组件数为4 _ 。由于全部组件为个，在“。t ) 这一 单位时间内，组件发生失效的概率是慨。取某时刻f ，那么在之前的累计 失效的组件总数坛由下列公式求出： 6 第二章给水管网可靠性分析 n 加= ( 2 1 ) l = 1 上式用坐标表示如图2 - 2 ，因此在乙时间内发生失效的概率凡由下式给出： 薪 ：田 扯 鼎 毂 水 ：坠n o ：学 娃“和 f h f i 。“ 图2 - 2 失效组件累计频数直方图 t ( 2 2 ) 当取的试验时间段数越来越多，而单位时间间隔越来越小时，即刀一一，厶t 一口 时，则图2 2 中的折线就趋向于虚线。此时，t 时间内失效组件数趋向于n o ，失效概 率趋近于刑。 根据公式( 2 2 ) 得： 若设 则 邝卜忐掣 7 ( 23 ) ( 2 4 ) 警 f r 半 第二章给水管网可靠性分析 ， f ( f ) 2 j ：f ( t ) d t ( 2 5 ) 公式( 24 ) 中的是以t 为随机变量的概率密度函数，而公式( 2 5 ) 中的刷是其 概率分布函数，称为累积失效分布函数，通常称为不可靠度函数。它具有下式所示的 特征： f ( f ) 2 j 。f ( t ) d t = 1 ( 2 6 ) 若与t 时间内的失效组件数n t ) 相对应，设在t 时间内残存的未失效组件数为 m ，则可靠度函数g ( o 可定义为： 即，= 等 ， 则 札( f ) + ，( f ) = n o ( 2 8 ) 根据式( 2 7 ) ( 2 8 ) 可得： 阶一等 ， ， 根菇式( 2 3 ) ( 2 9 ) 司得： 尺( f ) + f ( f ) = 1 根据式( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 1 0 ) 可得： r ( t ) = 1 一f 邝瑚= f f ( t ) d t 同样也司以把刑表示为： 巾) = - 掣 ( 2 1 0 ) ( 21 1 ) ( 2 1 2 ) 2 、不可维修系统的可靠性特征量 失效率是评价不可维修系统可靠性的一个重要特征量，它表示在某一个时刻的单 位时间内发生失效的概率，用下式定义： 川：一_ 1 盟虚( 2 1 3 ) n ，( f ) a r t 式中删表示当一口时，在时间区间一，t + z 5 砂内的失效组件，m 例表示直到 第二章给水管网可靠性分析 t 时刻为止末失效的残存数。所以如m ) 刀e 以j 表示在区间p ，t + a 砂内t 一口时组件失 效的概率。在式( 2 1 3 ) 中把办( 隍p m 似再除以a c t ，即表示在单位时间内组件发生失效的 概率。由于t 一口，所以 俐实际上为t 时刻的瞬时失效率。 若对公式( 29 ) 进行微分代入式( 21 3 ) 就得 旯( f ) ：一j 坚d r ( t )( 2 1 4 ) n 。( f ) d t 若再将公式( 2 7 ) 代入可得： 加卜南掣 m 由于t = o 时所有组件都是完好的，所以尉砂= 。对公式( 2 1 5 ) 进行积分则得： 一f 五( ，) 防= h i r ( ，) 经变换后可得： 月( f ) = p 。“ ( 2 1 6 ) 根据此式就能确定失效率与可靠度的关系，特别当砸) = 旯( 常数) 时，公式( 2 1 6 ) - 写成 心) = 矿 ( 2 1 7 ) 遮时说组件的可靠度是按指数分布的。根据式( 2 1 2 ) ，( 2 1 5 ) v n - i 将失效率表示为 耻哿 晓 3 、可维修系统的可靠性特征量 在实际运行中，为了使部件经常保持正常工作状态，需要进行维修保养，更换失 效或磨损的组件。对于发生故障的组件，经维修后可以恢复正常工作。可维修系统总 是i e 常和故障交替出现，它的运行周期表现为修复正常一修复的过程。 可维修系统除了具有r ( o ，刷，f ( t ) s l 个特征量以外，还有几个区别于不可维修 部件的特征量： 1 ) 有条件失效强度 御 有条件失效强度，也叫有条件故障率，指在时刻t = o 组件是新的，在f 时刻组件 也是好的情况下，在i t ，+ 4 砂内单位时间组件失效的概率。它和不可维修系统的区别 第二章给水管网可靠性分析 在于，不可维修系统的失效强度是指组件一直工作到t 时刻才发生故障的概率，其间 状态一直是完好的，f 时刻实质上就是组件的寿命期；而可维修系统的失效强度不考 虑t 时刻以前这一段时间内组件是否发生故障或修复，只要在f 时刻组件处于完好状 态即可。 2 ) 有条件修复强度r 有条件修复强度f 砂，也叫修复率，指在时刻t = o ，组件是新的，在f 时刻组件 处于故障状态下，在p ，+ 4 砂内单位时间，组件被修复的概率。不可维修系统不存在 修复问题，因此也就没有该指标。 3 ) 可用度a 可用度a 俐是指组件在规定的条件下，在任意时刻上正常工作的概率。因为可用度 具有瞬时特征，因此又称为瞬时可用度。与可用度相对应的是不可用度，表示组件 在规定的条件下使用时，在任意时刻故障的概率，用q 何表示。 由此可见，在可维修系统中特征量中，f 的含义是不同的。 r 似、v o ) 、f o ) 是修复一故障过程的特征量，这里的f 是指寿命时间，对于f o ) 是指 首次故障时间；a ( o 、q 例、a 似是修复一正常一修复过程的特征量，这里的f 是指 时刻，与组件在f 时刻以前的状态无关。 如果组件的可靠度和维修度均服从指数分布，即： r ( t ) = e 一“q ( t ) = 1 一e 一“ ( 21 9 ) 则可用度满足微分方程 掣：一a 爿( f ) + 1 一彳( ，) 】 ( 22 0 ) 解得： 郇) = 忐+ 击b 一从 ( 2 2 1 ) 2 - 2 系统可靠性分析 系统是由组件按一定的逻辑关系构成的。在研究系统可靠性时，我们首先对所研 究的对象作四点假设： ( 1 1 组件和系统都只有正常和失效两种状态； ( 2 ) 系统的状态完全由系统的逻辑关系和组件的状态决定； ( 3 ) 组件的状态转移率，即故障率九和修复率u 均为常数； ( 4 ) 组件或系统的故障和修复都是相互独立的。 分析系统可靠性可以采用真值表法、全概公式法、最小路法、不交最小路法和卡 1 0 第二章绘水管网可靠性分析 诺图法。本文主要研究了最小路集法求系统的可靠度，在此重点介绍最小路法。 在应用最小路法对系统可靠性进行分析以前，首先应把系统化为其等价的网络 图。为此，要分析清楚系统各个部件之间的结构关系及可靠性功能关系，再把这种可 靠性功能关系用框图表示出来，其中每一框表示组成系统的一个部件。由可靠性框图 出发，只要把每框用弧表示，在各框的连接处标上节点，就可变成相应的网络。 以下假设一个实际系统已经获得了它的网络表示。显而易见，由于网络可以反映 系统部件之间复杂的可靠性关系，因此网络系统是串联、并联或串并联等简单系统的 一种推广。下面给出讨论的问题： 设g 是一个给定的网络，v 。v ：是指定的两个节点。形象地说，我们的基本问题 是求 r = p v i 可以到达v 2 ) ( 22 2 ) 即求从v ，可以到达v 2 的概率。 为了叙述方便，称节点v 。，v ：分别为输入、输出节点，而称事件( v 。可以到达v 2 ) 为系统( 网络) 正常，用s 记之。 由于网络g 是由弧( 即部件) 组成的，每条弧有其寿命，因而某些弧的失效会使 系统失效。所以，基本问题更确切的提法为： 给定网络g 以及每条弧在时刻t ( 取定的常数) 正常工作的概率，求时刻t 由输 入节点v 可以到达输出节点v 2 的概率，亦即求时刻t 系统正常的概率r 。 若网络中的弧在失效后不进行修复，则每条弧在时刻t 正常工作的概率即是其可 靠度，因此r 即是网络系统在时刻t 的可靠度。若网络中的弧在失效后可修复时，每 条弧在时刻t 正常工作的概率即为其可用度，此时所求之r 为网络系统在时刻t 的 可用度。 在讨论最小路法求解网络可用度之前，先给出网络的路及最小路的定义如下： 定义2 1 对于给定网络g ，从指定的节点v ，经过一串弧序列( 或其中的一部分 弧) 可以到达节点v 2 ，则称这个弧序列为从v 。到v 2 的一条路。 定义2 2 对于给定网络g ，从节点v 。到v 2 的弧序列称作一条最小路，若满足 ( a ) 它是一条路； ( b ) 最小性，即从这个弧序列中除去任意一条弧后它即不是从v 。到v 2 的路。 由于系统正常s 这一事件可表为 s = ( v ，可以到达v 2 ) = ( 由v 。至少有一条最小路通到v 2 ) ( 2 2 3 ) 这里最小路通是指组成这条最小路的弧都正常这一事件。因此，若记a i ，a 2 ，a m 为网络的所有最小路，则 第二章给水管网可靠性分析 s = u 4 ， 于是，基本问题的解法原则上归为两步 ( a ) 求网络g 的所有最小路a l ，a ：， a 。； ( b ) 计算概率 r ：尸 阻 l 忙lj 即将求可靠度问题转化为求随机事件和的问题。 从理论上讲，由初等概率论知 ( 2 2 4 ) ( 2 z s ) r = ( 一1 ) 1 p s ) ( 2 2 6 ) l ；i 其中p s ，) = p a a 。) ，i = l ，埘，称为容斥定理。 l s o ，f ( r ( j ，c ；) ) 一l ，表明一条最小路已找到。 一旦r ( i ，c ) 0 ，表明由输入节点i 出发，所有i 下一步能到达的节点都己走遍， 即意味着已求得所有最小路，此时算法终止。其计算框图如图4 3 所示： 图4 3 最小路计算机算法流程图 二、可靠度模块的程序实现 可靠度计算的理论与算法已经在本文第二章论述，在此，结合一个系统网络图 对其程序设计思路进行形象化的描述。 可靠度的算法流程如图4 4 所示，其基本步骤为： 1 )读取数据文件，包括管网拓扑关系基本数据，组件故障率、修复率。 2 )按公式( 2 3 6 ) 、( 2 3 7 ) 计算组件可用度和组件不可用度。 3 )用邻接矩阵法求得任意节点间的所有最小路。 4 )按公式( 2 3 1 ) 将所有最小路分为两部分进行不交化，分别求得长度为n 一1 子集的可靠度r ，( 公式2 3 l 、2 4 0 ) 和长度小于n - t 子集的可靠度r 2 ( 公式 2 3 9 、2 4 0 ) ，r ，与如之和即为系统可靠度r 。 5 )对每个输入节点求加权平均得到各输出节点的系统可靠度，比较各输出节点 的系统可靠度得最小值为管网可靠度。 否 读取输入值 计算各管段可用度 生成广义网络路线阵 指定一水源点为输入节点，一非水源点为输出节点，由 路线阵计算由输入点至输出点最小路 不交化计算系统可靠度 入节点、输出节点都循环计算了 7 i是 求加权平均得指定输出点的系统可靠度 比较得最小值为管网可靠度 输出 图44 可靠度算法流程 第四章给水管网扩建改造的优化程序 系统可靠度r 的计算过程和程序设计比较抽象，可以借助图4 5 所示的网络图g 加以详细描述和分析： 5 图4 5 网络图g 对于网络图g ，首先求得输入、输出节点1 ，2 间的所有最小路 f g ，a b c ，a d g ，f e c ，a b e g ，a d e c ，f d b c 1 ) 长度为n 一1 = 4 的最小路有a b e g ，a d e c ，f d b c ，相应的不交和为 a b c d e f g + a b c d e f g + a b c d e f g 2 ) 化f g + a b c + a d g + f e c 为不交和 1 、选龟 f = y g ( a b c + 俄哲+ 力c ) = ( + g ) ( 口b c + a d g + f e c ) = a b c f 七n d g + a b c g 七c e f g 2 、选a b c f 。= 一一一 f = a b c f ( a d f g + a b c g + c e y g 、 = a c e y g + a b d f g + b c e f g + a c d f g + a b c f g + c e f g = c e f g + a b a f g + a c d f g + a b c y g 3 、选c e y g 4 = 一一一 f = c e f g 姬b d l g 七a c a f g 七a b c ，g 、 = a c d g + a b c e y g + n b d ，g 第四章给水管网扩建改造的优化程序 4 、选a c a f g 1 = ：= 一一 f = a c d f g ( a b c e f g + a b d f g ) = a b c e f g + a b c d f g 5 、选a b c e f g 1 = 一 f = a b c e g a b c a f g = a b c a f g 6 、选a b c a f g ，结束 3 ) 网络g 的最小路的不交和为 s = 豫七a b c f 七c e f g + q c d g 七a b c e g + a b c d f g + a b c d e f g 七a b c d e f g + a b c d e f g 4 ) 相应之可靠度r 为由上式中把字母x 换成气，x 换成q x 得到。 程序设计的问题探讨： l 、针对m d c p 优化程序由于初始点不可行所造成的求解困难求解时间较 长，有时甚至不能成功的问题，对于初始可行点的确定( 本文为扩建改造管 段的初始管径) ，采取预先处理方法，即先根据管网的规模大小，进行规划计 算，在规划值附近选取用于优化程序的初始可行点。 2 、根据最小路不交化方法所进行的管网可靠度计算，对于大型管网，因拓扑关 系复杂，直接导致最小路寻求及不交化计算的繁琐性，使得程序运行时间过 长。为解决这个问题，可以采取两种方法，一种方法是在将给水管网系统转 化为等价的网络图时对其进行简化。文献【3 3 】提出用最优集结方法简化复杂城 市给水管网系统的结构，对于给水管网系统的简化进行了深入的讲解和分析。 另外一种方法是在最小路算法中加入某些判断条件，根据条件对大量的最小 路进行筛选以使计算得到简化。由于最小路的运算过程相对于使用者来说是 黑箱操作，不容易直接对其进行筛选，故本文作者倾向于第一种解决方法。 3 8 第五章实例应用与成果分 第五章实例应用与成果分析 本文应用研究的成果，结合两个工程实例考核分析。工程实例一为某市一小区的 简化管网，便于分析。对于工程实例一分别应用两种算法求解管网可靠度，从结果数 据的分析中探讨可靠度计算方法的优缺点。工程实例二为某市开发区的实际供水管 网，规模较大，通过考核分析实例二，验证基于可靠性的给水管网扩建改造优化的实 用意义。 5 1 实例考核一 本例是某小区的给水简化管网，实际应用情况如下： 一、管网现状 根据该小区管理部门提供的有关资料，该小区给水管网经简化后，共有2 0 个节 点，其中有一个水源点、1 9 个用水点和2 8 条管段，设计供水能力为1 3 1 升秒左右， 全部管段采用d n l 0 0 至d n 5 0 0 的铸铁管铺设。管段及节点编号见附图1 。 二、算法比较 算法一： 从管网的拓扑结构出发计算可靠度，在可靠度计算程序r e l i a f o r 中，首先由 公式( 2 3 6 ) 、( 2 3 7 ) 计算管段可用度和管段不可用度，其中参数 、u 的取值均己 在第二章给出，时间段t 取为5 年。然后，求出管网系统的所有最小路。最后由公式 ( 2 3 1 ) 将管网的所有最小路分为两部分进行不交化，分别求得长度为n l 子集的可 靠度r ，( 公式2 3 0 、2 4 0 ) 和长度小于n 一1 子集的可靠度i i 2 ( 公式2 3 9 、2 4 0 ) ，r 。 与心之和即为管网可靠度。计算结果见附表1 ，系统的可靠度为0 9 9 4 0 。 算法二： 从经验角度出发计算近似可靠度，在可靠度计算程序中，首先由公式( 2 3 6 ) 、 公式( 2 3 7 ) 计算管段可用度和管段不可用度，其中参数 、u 的取值均已在第二章 给出，时间段t 取为5 年。然后，运用枚举法依次截断管网的每根管段，对于每个故 障状态进行一次水力平差，经过多次平差分析，最终找出系统的最小割集。最后由公 式( 2 4 5 ) 、( 2 4 7 ) 计算系统的可靠度。计算结果见附表2 ，系统的可靠度为 99 8 6 4 7 9 e 0 0 1 。 列表将算法一和算法二所求得的可靠度进行比较，见表5 1 第五章实例应用与成果分析 可靠度计算结果比较 表5 1 算法一算法二 l9 9 9 39 9 8 8 29 99 3 9 9 8 8 39 97 69 9 8 8 49 99 2 9 9 8 8 59 98 8 9 9 8 8 69 97 7 9 9 8 7 节 7 9 9 、8 89 9 8 7 点 8 9 9 8 l9 9 8 7 可 9 9 9 7 99 9 8 7 靠 度 1 09 97 0 9 9 8 7 l l9 97 2 ， 9 9 8 7 摹 一 1 2 9 9 7 49 9 8 7 1 3 9 9 4 09 9 8 7 1 49 97 1 9 9 8 7 1 59 95 8 9 9 8 7 1 69 95 0 9 9 8 7 1 79 9 4 9 9 9 8 7 1 89 9 4 4 9 9 8 7 1 99 94 3 1 0 0 0 0 系统可靠度( )9 9 4 09 9 8 6 分析上表我们可以看到，算法一与算法二的计算结果总体上保持一致，说明了两 种算法的内在趋同性，r p - - 者均为管网的静态可靠度计算，只是在最小路的简化方面 采用了不同的方法。分析二者的不同之处，算法一在最小路的简化过程中，考虑到管 网的拓扑结构，即在不交化处理中，并没有破坏管段之间的相互关联关系，认为管段 之间仍然是相互支援、相互制约的。算法二采用近似方法对最小路进行简化，最终的 节点可靠度和系统可靠度实际上是由简化出的若干互不关联的管段的可用度求和而得 到的。分析数据的合理性，算法一的计算结果似乎更为可信，因为从管网水力分析的 角度来说，任意时刻管网都会存在一个最不利点，也就是说管网的各个节点的可靠度 会有差别。 5 - 2 实例考