（计算机科学与技术专业论文）二次曲线精度的节点计算方法.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：妇牲红 日 期：；0 0 3 1 0 ，占 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：幽邑红 导师签名： 山东大学硕士学位论文 摘要 随着c a d 技术、计算机图形学的发展，样条函数得到广泛的发展和深入研 究，成为构造参数曲线、曲面的一种非常重要的方法之一。用样条函数方法构造 的参数曲线，具有构造简单、易于计算且具有良好的力学背景等特点，而被应用 于生产实践、计算机辅助设计等许多领域，并占有非常重要的地位。在用样条函 数方法构造参数曲线时，需知道每个数据点处的参数值即节点值，而实际应用中， 参数值在很多情况下是无法预知的，因此构造参数样条曲线的第一步是为每个数 据点确定节点值，而节点的选取方法将直接影响所构造的曲线的插值精度和形 状，所以构造样条参数曲线的关键问题是如何选取节点。 目前常用的节点选取方法有：均匀参数化法、累加弦长参数化法、向心参数 化法和修正弦长参数化法( 福利参数化法) 。虽然以上4 种方法在实际中得到广泛 应用，但其插值多项式的最高精度都是线性的。而在实际应用中，使用最多的是 二次或三次多项式曲线曲面，其插值精度应为二次或三次多项式，因此上述4 种方法的不足之处在与其插值精度较低。本文提出了一种计算插值节点的新方 法，该方法具有二次曲线的插值精度。 文中所介绍的计算插值节点的方法，在平面五点可唯一地确定一条二次曲线 为基础，首先利用二次曲线的理论计算平面上任意给定的五个数据点所对应的参 数，即通过坐标轴的平移、旋转将二次曲线的一般方程按其类型一椭圆、双曲线 及抛物线，化简为在新坐标系中的标准方程，进而将二次曲线的标准方程转换为 相应的参数方程，从而确定每个数据点所对应的参数值。以上述二次曲线方程参 数化理论为基础上，本文提出利用数据点的参数值确定与之相应的插值节点的新 山东大学硕士学位论文 方法。诧方法较好克服了匕述几种节点选取方法静不足，往播值精度提高为二次 多项式精度，剥用该方法选取捶值节点可以提高擂值益线的精度。 本文农第二章中分别按二次鞠线的三糖不嗣类型，详缓论涯了将二次曲线方 程转换为参数方程的计算过程。为新方法的提出提供了理论依据；第三章中在讨 论了平面五点可唯确定一条二次曲线的基础上，提出了计算播值节点的新方 法，具体介绍了将平面上任意五个数据点参数化的过程，并以此为基础给出实现 这一过程的算法。文中最纛以具体斡数摇点为键，慰毅方法积累臻弦长法在诗算 插值节点时产生的误差进行了比较，结果表明新方法具有较高的精度。 美键词：二次秘线；节点；参数曲线：插值。 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t a st h ed e v e l o p m e n to ft h ec a d ，c o m p u t e rg r a p h i c ，s p l i n ef u n c t i o nh a v eb e e n w i d e l yu s e di nm a n ya r e a so fs c i e n t i f i cc o m p u t a t i o n ，e n g i n e e r i n gd e s i g n a n dc a d d u et ot h e i rg o o dp r o p e r t i e ss u c ha sl o c a lc o n t r o lc a p a b i l i t y ，s m a l ls t r a i ne n e r g y a n d n u m e r i c a ls t a b i l i t y i tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nc o n s t r u c t i n gap a r a m e t r i cc u r v e u s i n gs p l i n ef u n c t i o nm e t h o dt oc o n s t r u c tap a r a m e t r i cc u r v er e q u i r e sa s s i g n i n ga k n o t ，w h i c hu s u a l l yc a nn o tb ep r e d i c t e di na p p l i c a t i o n t oe a c hd a t ap o i n t s ot h e f i r s ts t e po f c o n s t r u c t i n ga p a r a m e t r i cs p l i n ec h i v ei st h es e l e c t i o no f p a r u m e t r i ck n o t s t h em e t h o dt od e t e r m i n ek n o t sw i l la f f e c tt h ep r e c i s i o na n ds h a p eo fp a r a m e t r i cc u r v e i n t e r p o l a t i o n h e n c et h ek e yi s s u ei nc o n s t r u c t i n gap a r a m e t r i cc l l r v eu s i n gs p l i n e m e t h o d i st h es e l e c t i o no f p a r a m e t r i ck n o t s p r e s e n t l yt h e r ea r ef o u rp o p u l a rm e t h o d si nu s ef o rc h o o s i n gk n o t sl o c a t i o n s ， n a m e l y , u r i f o r mp a r a m e t e r i z a t i o n ( u n i f o r m m e t h o 曲a c c u m u l a t e dc h o r dl e n g t h m e t h o dc e n t r i p e t a l m o d e l ,a n d够n e l yi n v a r i a n t p a r a m e t r i z a t i o n m e t h o d ( f o l e y n i e l s o nm e t h o 硼a s 髓a sr e p r o d u c t i o nd e g r e ei sc o n c e m e d n o n eo f t h e s em e t h o d p r o v i d e s ar e p r o d u c t i o n d e g r e eh i g h e rt h a no n e a c t u a l l y , a n i n t e r p o l a t i o ns c h e m ei ss a i dt oh a v ep a r a m e t r i cp o l y n o m i a lr e p r o d u c t i o nd e g r e eo f ni f i tr e p r o d u c e sap a r a m e t r i cp o l y n o m i a lo fd e g r e ena sl o n ga st h ed a t ap o i n t sa l et a k e n f r o mt h i sp a r a m e t r i cp o l y n o m i a l q u a d r a t i ca n dc u b i cp o l y n o m i a lc u r v ea r et h em o s t f r e q u e n t l yu s e di nv a r i o u sa p p l i c a t i o n s t h e ys h o u l dh a v eq u a d r a t i co rc u b i c r e p r o d u c t i o nd e g r e e s ot h e s em e t h o d sc a nn o tg u a r a n t e eg o o da p p r o x i m a t i o nb e c a u s e t h e i rl o w e rr e p r o d u c t i o n d e g r e e i n t h i s p a p e r , w ep r e s e n tan e wm e t h o df o r d e t e r m i n i n gk n o t si np a r a m e t r i cc u r v ei n t e r p o l a t i o n t h i sm e t h o dh a saq u a d r a t i c p o l y n o m i a lr e p r o d u c t i o no f t w o b a s i n go nt h et h e o r yo f5d a t ap o i n t si nap l a n ec a nd e t e r m i n eaq u a d r a t i cc u r v e u n i q u e l ya n dt h et h e o r yo fq u a d r m i cc u r v e f i r s t l y , t h r o u g hs h i f t i n ga n dt u r n i n gt h e c o o r d i n a t es y s t e m ，w et r a n s f o r m e dt h ee q u a t i o no fq u a d r m i cc h i v et os t a n d a r d e q u a t i o ni nn e wc o o r d i n a t es y s t e ma c c o r d i n gt h ed e f e r e n c es h a p eo fq u a d r a t i cc u r v e ( e l l i p s e ，h y p e r b o l a ，a n dp a r a b o l a ) s e c o n d l y ，w ec h a n g e dt h es t a n d a r de q u a t i o nt o i i l 东大学硕士学位论文 p a r a m e t r i ce q u a t i o t ) o fq u a d r a t i cc u r v e s ow ec a i ld e t e m f i n ep a r a m e t e ro fe v e r yd a t a p o i n t s t h e n ，u s i n gt h en e wm e t h o dp r e s e n t e di nt h i sp a p e r , w ea s s i o o a e dak n o tt o e a c hd a t ap o i n t t h i sm e t h o dc a ni m p r o v eq u a d r a t i cp o l y n o m i a lr e p r o d u c t i o nt ot w o u s i n gt h i sm e t h o dt od e t e r m i n ep a r a m e t r i ck n o t sc a ne n h a n c et h ep r e c i s i o no f p a r a m e t r i cc u r v ei n t e r p o l a t i o n t h er e m a i n i n gp a r to ft h i sp a p e ri sa r r a n g e da sf o l l o w s i ns e c t i o n2 ，a c c o r d i n gt o t h et y p eo fq u a d r a t i cc u r v e ，p r o v e dt h ep r o c e s so fc h a n g i n gq u a d r a t i cc u r v ee q u a t i o n i n t op a r a m e t r i ce q u a t i o nr e s p e c t i v e l y i t st h eb a s i ct h e o r yo ft h i sp a p e r am e t h o dt o c h o o s ek n o t sf o ra g i v e ns e to f p l a n a rp o i n t si sg i v e ni ns e c t i o n3 ，a n dt h ea l g o r i t h mi s i n c l u d e di nt h i ss e c t i o n t h ec o m p a r i s o no ft h en e wm e t h o dw i t ht h ec h o r dl e n g t hi s p e r f o r m e d i ns e c t i o n4 t h ec o n c l u s i o ns h o w st h en e wm e t h o dh a st h eb e t t e r p r e c i s i o n k e yw o r d s ：q u a d r a t i cc u r v e ；k n o t s ；p a r a m e t r i cc u r v e ；i n t e r p o l a t i o n 6 山东大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 样条函数 样条函数的概念是美国数学家i j s c h o e n b e r g 在1 9 4 6 年首先提出的 i l ，他所 定义的一种b 样条函数，尽管有十年的时间未受到重视，但从6 0 年代开始， 随着电子计算机技术的迅速发展，图形学的兴起以及数据拟合、函数逼近在生产 实验中的广泛应用，样条函数才引起人们的重视，并得到了深入的研究，现已迅 速发展成为一门成熟的学科。 在各种不同的应用中，如计算机图形学、图像处理、模式识别、计算机辅助 设计等许多领域，模拟构造一个图像或物体的外形，经常需要用到参数曲线的插 值技术1 2 1 。而参数曲线的构造通常采用样条函数方法。样条函数方法构造参数 曲线曲面图形或物体的模型，具有构造简单、易于计算且有良好的力学背景等特 性，例如它的局部调整性能使得对样条函数进行局部修改时，不会引起样条形状 变化的远距离传播，即如果只变动某一控制点，曲线上只有相应的一段发生变化， 而其它部分均不变动，这就为设计曲线时修改某一局部的形状带来了方便：由于 样条函数具有较小张力，则采用样条函数构造的几何图形比较光滑，从而使设计 的益线曲线图行能够更好地模拟真实的物体和图像。由于样条函数具有以上特 点，因而广泛应用于科学计算，工程设计，计算机辅助设计等许多方面，成为构 造曲线蓝面的主要方法之一。在样条函数的应用中，二次样条函数、三次样条函 数由于具有最佳逼近性质和很强的收敛性等成为构造插值曲线和曲面的最主要 的方法。 1 2 数据点的参数化 用样条函数构造曲线可以采用构造插值曲线和参数样条曲线两种方法，其中 构造插值曲线时，曲线的连续性基本可以满足实际应用的需要，特别是在小挠度 的情况下，插值曲线的精度和形状都是非常理想的。对大挠度曲线和任意平面数 据点，则需推广采用样条函数方法构造参数样条曲线，这时就需要知道每个数据 点所对应的参数值即节点值。而在实际应用中，参数值在很多情况下是无法预知 的，因此构造参数样条曲线的第一步是为每个数据点确定相应的节点值，即对给 定数据点的参数化。 出奎奎兰翌圭兰竺笙苎 采用适当的节点的选取方法对于构造参数样条曲线是非常重要的，它将直接 影响所构造的曲线的插值精度和形状4 。6 。事实上，选取适当的节点可以减少插 值曲线的能量，避免出现“摆动”和“环”，并可以提高睦线的插值精度。在构 造样条参数曲线时，当曲线的端点条件确定后，能够决定参数样条曲线插值精度 的因素只有节点，如果指定的节点值是精确的，给定适当的端点条件后，n 次样 条函数曲线具有的最高多项式插值精度应为n 次多项式。因此，构造参数样条曲 线的关键问题是如何选择节点。 1 3 目前常用的选取节点的方法 目前常用的节点选取方法有：均匀参数化法、累加弦长参数化法4 1 、向心 参数化法f2 1 和修正弦长参数化法2 1 ( 福利参数化法) 。用均匀参数化法确定节 点，由于其方法太简单，因而当数据点在空间上分布不均匀时，所得到的结果不 太理想；累加弦长法在构造参数曲线时得到了广泛的应用描”1 ，其基本思想是 曲线的累加弦长近似等于其累加弧长，并且在许多文献中都证明了累加弦长参数 基本可以代替累加弧长参数，因而在构造参数曲线时可以用弦长参数确定插值节 点h 击 ，但有的文献中已经证明：如果以三次参数曲线的弦长为参数，则所构造 的曲线为一条直线【l “。在上述两种方法出现之后的几年中，人们为了改进确定 节点的方法，进行了许多的探索和努力，、先后提出了向心参数化法和修正弦长 参数化法。向心参数化法是利用弦长平方根的累加作为参数来确定节点的，这种 方法在实际中也已有了一些应用 1 7 , 1 8 1 ，结果看上去还比较令人满意：用修正弦长 法确定节点时，每对节点的间距不仅由相应数据点的弦长决定，还与两个相邻的 弦长、以及连接两数据点的弦分别与两相邻的弦的夹角有关。但是利用这两种方 法通常并不能得到比累) j t l 弦长法更好的近似【s 】。 虽然以上四种方法在实际中得到广泛的应用。但其插值多项式的最高精度 都是线性的。在实际应用中，使用最多的是二次多项式或三次多项式曲线曲面， 所以睦线曲面应具有二次或三次多项式的插值精度，因此上述4 种方法的插值精 度较低。 1 4 本文所作的工作 本文在参考了国内外有关样条函数、数据点参数化、二次曲线等方面的文章 后，提出了一种计算插值节点的新方法。该方法的基本思想是：任意给定的平面 山东大学硕士学位论文 上的五个数据点可唯一确定一条二次曲线，根据二次曲线方程的系数可以判断出 二次曲线的类型抛物线、椭圆或双曲线，针对不同类型的二次曲线采用不同的 方法将其化简，并变换为相应的二次曲线参数方程，从而为每个数据点确定了一 个参数值，再利用所得到的参数值确定每个数据点所对应的插值节点。该方法具 有二次多项式的插值精度，较好克服了目前常用选取节点方法存在的插值精度较 低的不足。 本文共分五章，第一章引言，介绍了有关样条函数、数据点参数化的相关理 论，阐明了选题的方向、目的意义，并简单介绍了所采用的方法；第二章中分别 按二次曲线的三种不同类型，详细论证了将二次曲线方程转换为参数方程的计算 过程，为新方法的提出提供了理论依据；第三章中提出了计算插值节点的新方法， 介绍了用新方法将数据点参数化的方法与步骤，并给出相应的算法；第四章以具 体数据点为例，分别计算了本文所述方法与累加弦长法在计算插值节点时产生的 误差；第五章对本文所提出的二次曲线精度的节点计算方法进行了总结，并指出 今后工作中应解决的问题和努力方向。 第二章二次曲线的一般理论及参数表示 本文在本章中讨论二次曲线的一般理论及其参数表示，要解决的主要问题 为： ( 1 ) 怎样直接根据二次曲线方程的系数来判断所给曲线的类别： ( 2 ) 怎样根据二次曲线方程的系数确定曲线的形状和位置，即求出所给 曲线的中心，轴线、椭圆的长短半轴或双曲线的实虚半轴，以及抛 物线的焦点参数等； ( 3 ) 怎样将二次曲线方程化简为标准方程及其参数表示。 2 1 二次曲线及其分类 2 1 1 二次曲线的定义 在平面直角坐标系中，含x ，y 的二次方程所表示的曲线称为一般二次曲线 可由下列方程所确定 a x 2 + 2 b x y + c y 2 + 2 d x + 2 e y + f = 0 ( 2 1 1 ) 9 山东大学硕士学位论文 其中4 ，b ，c 不同时为零。 2 1 2 二次曲线的分类及其标准方程 二次曲线分为椭圆类、双曲线类、抛物线类三种，不同类型的二次曲线对应 不同的标准方程，它们分别为： ( 一) 椭圆类 薯弓= -n扫 暑+ 等。小。d 事+ 鲁= 。口 d ( 二) 双曲线 事一吾= -口d ；a 一争d ( 三) 抛物线 ( 6 ) 1 ，2 2 口r ：0 ( 椭圆或圆) ( 虚椭圆或虚圆) ( 点椭圆，两条相交虚直线) ( 双曲线) ( 两条相交直线) ( 抛物线) ( 7 ) y 2 d 2 = 0 ，口0 ( 两条平行线) ( 8 ) y 2 + 日2 = 0 ( 两条平行虚直线) ( 9 ) y 2 = 0 ( 两条重合的直线) 当一般二次曲线方程中x y 项的系数b = 0 时，可用配平方法求出坐标轴平移 的公式，使( 2 1 1 ) 式在新坐标系中化简为上述九种标准方程之一。 当b 0 时，可以用转轴的方法，把所给图形的方程( 2 1 1 ) 化为缺少x y 项的方程，即划归前例，但是这样计算较繁琐。为了计算方便，引入下列记号： 方程( 2 1 1 ) 可写为 f ( x ，y ) 三a x 2 + 2 b x y + c y 2 + 2 d x + 2 e y + f ：0 1 0 山东大学硕士学位论文 引入 则 f 。( x ，y ) = a x + b y + o f 2 ( x ，y ) = b x + c y + e ， r ( x ，y ) = d x + e y + f ( 2 1 2 ) f ( x ，y ) = x 巧( x , y ) + y f 2 ( x ，y ) + b ( x ，y ) ( 2 1 3 ) 把f ( x ，y ) 中的二次项记为 e ( x ，_ y ) = a x 2 + 2 b x y + 2 ( 2 1 4 ) 此外，对每一条二次曲线引入记号i ，6 ，a 分别表示： i = a + c 艿= ， ：l ：c b 纠 l d ef 上n z j i ) 的i g 号，在后面几节中讨论二次曲线化简的过程中将得到应用。 在确定了新坐标轴的位置和所给曲线( 2 1 1 ) 在新坐标系中的标准方程以 后，就不难得出所给益线的图形，并可讨i 金- e n 状。 2 1 3 二次曲线的参数方程 上述9 种二次曲线的标准方程中的椭圆、双曲线、抛物线可以表示为参数方 程形式，其中： ( 一) 椭圆： ( 二) 双曲线：j 拧嬲f ly = 6 辔善 f f 吣 洫 c s 口 6 i i = r y ，。l 山东大学硕士学位论文 2 2 二次曲线的中心 讨论二次曲线的中心，必须先考虑二次曲线和直线的交点问题， 这涉及解二次方程问题，即使是实系数的二次方程，它的根也可能出 现虚数。因复数的四则运算规律和实数相同，所以虽然点的坐标里可 以出现虚数，但下面还是只讨论实系数方程所表示的曲线。 2 2 1 二次曲线和直线的交点 设已给一条二次曲线 a x 2 + 2 b x y + 2 + 2 d x + 2 e y + f = 0 ( 2 2 1 ) 和一条直线 j 持粕+ x t( 2 2 2 ) 【y = y o + n 其中m o 位o ，y o ) 为直线上一个点，口= x ，y 是直线的方向矢量，为求直线和二 次髓线的交点，将式( 2 2 2 ) 代入( 2 2 i ) ，整理后的得含t 的一个方程式 ( a x 2 + 2 b x y + c y 2 弦2 + 2 x ( a x o + 最y o + d ) + y ( 擞o + c o + e ) p + a x ；+ 2 b x o y o + c d + 2 d z o + 2 e y o + f = 0 利用上节中式( 2 1 2 ) 和( 2 1 4 ) 可得 伊( x ，r ) t 2 + 2 【弘( x o , y o ) + r f 2 ( 。o ，y o ) t + f ( ，y o ) = 0 ( 2 2 3 ) 若能从以上方程中解出t ，则t 的每个值代入式( 2 2 2 ) 就得出直线和二次曲线的 一个交点。 下面分两种情况进行讨论 ( 1 ) 当妒( x ，y ) o ，这时( 2 2 3 ) 是t 的二次方程，它的判别式为 q = x f i ( x o ，y o ) + r f 2 ( x o ，y o ) 】2 一伊( z ，y ) f ( x o ，y o ) ( 2 2 4 ) 9目一2 线物抛 山东太学硕士学位论文 其取值又可分为三种情况： 1 ) q 0 ，方程( 2 2 3 ) 有两个不同的实根，即直线( 2 2 2 ) 与二次 曲线( 2 2 1 ) 交于两个不同的实点。 ( 2 ) 当妒( x ，y ) = 0 ，可能出现三种情况： 1 ) x f i ( x o , y o ) 十y f 2 ( x o , y o ) 0 ，这时( 2 2 3 ) 是t 的一次方程，有唯 一的一个实根，直线( 2 2 2 ) 与二次曲线( 2 2 1 ) 有唯一的一个实 交点。 2 ) x f l ( x o , y o ) + ，码( 。o ，y o ) = 0 ，但f ( x o ，蛳) 0 ，这时( 2 2 3 ) 是 矛盾方程，直线( 2 2 2 ) 和二次曲线( 2 2 1 ) 没有交点。 3 ) x f l ( x o , y o ) + y f 2 ( x o , y o ) = 0 ，f ( x o ，y o ) = 0a 这时( 2 2 3 ) 成为。t _ u 等式，即直线上的任何点都在二次曲线上，因此整条直线都是二次曲 线的组成部分， 今后，将满足妒( ，l ，) = 0 的方向弦，y 叫做二次曲线( 2 2 1 ) 的渐近方向， 否则叫做非渐近方向。 2 2 2 二次曲线的中心 二次曲线的中心，就是这条二次曲线关于它对称的一点，即如果一点是一条 二次曲线的中。f l , ，则这条二次曲线任何经过这点的弦都被这点所平分。二次曲线 的弦是指二次曲线上两个点所决定的线段。 经过点m o ( 。o ，y o ) ，沿任意非渐近 x ，y ) 的直线与二次曲线( 2 2 1 ) 相交于 点m l 和m 2 ，则点m o 是弦m i m 2 的中点的充要条件是 生变查兰筌主兰垒丝兰 蠲( x 0 ，y o ) + 觋( 。o ，y o ) = 0 由此可以证得： 点s ( x o ，y o ) 是二次曲线( 2 2 1 ) 的中心的充要条件是 五( 如，y o ) = 4 x o + 甄+ d 。0( 2 2 5 ) l f 2 ( x o ，y o ) = b x o + c y o + e = 0 当二次曲线由式( 2 2 1 ) 给定后，要求出它的中心，只需求解方程组( 2 2 5 ) 即可。若艿= a c b 2 0 ，则由式( 2 2 5 ) 可解出x 0 , y o ，得 x 02 i da l i e b i y o2 骨 医c i ( 2 2 6 ) 就是所给二次曲线唯一的一个中心坐标。 又若占= o ，即丢= 旦c ，则当百a = 石b = 詈时，方程组( 2 2 5 ) 有无穷多 解，这时直线a x + 毋+ d = 0 ( 或b x + 9 + e = 0 ) 上所有的点都是中心( 即有 一条中心直线) 。 如果兰b = 暑尝，则式( 2 2 5 ) 为矛盾方程组，这时没有中心。 综上所述，可得当占0 时，所给二次曲线( 2 2 1 ) 恰好只有一个中心，且中 心的坐标由式( 2 2 ，5 ) 给出。当艿= 0 时，所绘二次益线没有中心，或有一条中 心直线。 把j 0 ( 有唯一中心) 的二次曲线叫做有心二次曲线， 当艿0 时，如果把坐标轴平移使坐标原点与中心s ( x o ，y o ) 重合，则二次曲 线方程可得到简化，这时坐标变换公式为 舻x + x o ( 2 2 7 ) 【y = y + y o 代入方程( 2 2 1 ) ，得到在新坐标系中的方程为 a ( x + 粕) 2 + 2 b ( x + ) ( y + 蜘) + c ( y + 蛳) 2 + 2 d ( x + ) + 2 e ( y + 如) + f = 0 剧l“兰引lh叫 旧e m 旧 一 ，当变盔主翌圭耋堡兰苎 整理合并得 其中 d x 2 + 2 b x y + ( y 2 + 2 d z + 2 占y + f = 0 ( 2 2 8 ) a a b b c = c d = a x o + b y o + d = f t ( x o ，y o ) ， ( 2 2 9 ) e = b x o + c y o + e = f 2 ( x o ，y o ) f = a + 2 丑y o + 5 + 2 d x o + 2 点功+ f = f ( x o ，y d ) 因s ( x o ，y o ) 为曲线中心，所以d 1 = e = 0 ，为了根据原方程的系数计算式( 2 2 8 ) 系数，我们利用式( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 得 f = 嗣+ 2 肋+ 嘲+ 2 d x o + 2 蛾+ f = x o ( , x o + 8 y o + d ) + y o ( b x o + c y o + e ) + d x o + e y o + f = d x o 七z y o + f = 5 所以式( 2 2 8 ) 通过坐标轴平移变换可写成 a x 2 + 2 肋坳。+ 舍= o 2 3 有心二次曲线的化简 下面将讨论二次曲线方程的进一步的简化问题。 ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) 山东大学硕士学位论文 2 3 1 有心二次曲线方程的简化 坐标轴经平移后，使有心二次曲线的中心与新坐标系的原点0 重合时，曲 线的方程化为 a x 2 + 2 戤，y ，+ c y 2 + 会：o ( 2 3 1 ) d 当上式中b 0 时，可以再转轴进一步把方程( 2 3 1 ) 化简，消去x y 项。 设坐标轴旋转角a ，就得到一新的坐标系x o y 。 设所给曲线上的任一点m 在x o y 坐标系中的坐标为m ( 一，y ) ，在新坐标系 x o y 中的坐标为m ( x ”，y ”) ，则点m 的两组坐标之间应适合坐标变换 以此代入式( 2 3 1 ) 得 a ( x ”c o s 6 z 一y ”s i n a ) 2 + 2 b ( x ”c o s d y ”s i n a ) ( x ”s i n a + y ”c o s t 2 ) + c ( x s i n a + y c o s a ) 2 + 舍= o 加以整理，上式即可写作 爿工”2 + 2 b z ”y + 一y ”2 + f = 0 爿t = a c o s 2 口+ 2 b c o s 口s i n d + c s i n 2 口( 2 3 3 ) b = 一一c o s 口s i n 口+ b ( c o s 2 口一s i n 2 口1 + c s i n a c o s a c = a s i n 2 d 一2 b s i n d c o s d + c c o s 2 口 f t ：一a j 如果我们能够选择a ，使b 0 ，那么所给曲线在x o y 坐标系中的方程就可 简化为： 4 x ”2 + c t v ”2 + 一a 0( 2 3 4 ) 。 j 下面分两步来讨论。 6 )232( 以 以 m 吣 s c ” 一 + 口 口 ；3 洫 c s f = i l f y ，、l 山东大学硕士学位论文 第一步，证明使b = 0 的o r 存在，即是要证明下列方程 一a c o s a s i n a + b ( c o s 2 g t 一s i n 2 a ) + c s i n a c o s a = 0 ( 2 3 5 ) 如果b 0 ，取口= 0 ，既不用转轴。如果b = 0 ，利用三角学中倍角公式，式 ( 2 3 5 ) 可化简为 c t 9 2 c t = 1 a - f c 由余切的取值范围知，显然这样的口一定存在。 则得： 即 为了求出图形的对称轴，我们以s i n a c o s f 2 通除式( 2 3 5 ) ，并令 赶= t g 口，k 2 = t g ( a + 詈) = 一c t g a 一4 + b f k 2 一k 1 ) + c = 0 两+ 砭= 等，白如一1 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 对一0 ，坐标系，k i 和砭中一个是x ”轴的斜率，另一个是y ”轴的斜率。由于 一轴和，轴分别与原坐标系中的x 轴和y 轴平行且同向，所以k i 和k 2 也是x ”轴 和少轴在原坐标系x o y 中的斜率。但从式( 2 3 4 ) 知道x ”轴和y ”轴是所给曲线 的对称轴，这样，就得到求所给二次曲线对称轴在原坐标系中斜率的一种方法。 假如再求出中心，就可立即写出这两条轴线( 对称轴) 在原坐标系中的方程。 第二步，求式( 2 3 4 ) 中的系数a 和c 。从( 2 3 3 ) 式并利用式( 2 3 7 ) ， 我们有 a ，= a c o s 2 口+ 2 b s i n 口c o s 口+ c s i n 2 口 = 彳+ 2 b s i n g c o s a + f c a ) s i n 2 口 = 4 + 2 b s i n q c o s a + b ( k 1 + k 2 ) s i n 2 口 = a + 2 b s i n 口c o s 口+ b ( s i n 口t 一一j ! ；里竺) s i n 2 a c o s 口s m 口 ：+ b ( s i n 口c o s 口+ ! ! ! ：旦) c o s 口 = a + b t g 口 = a + b k j( = c b k 2 ) ( 23 8 a ) 同理可推得 c = a b c t g o ： = a + b k 2( = c b 1 ) ( 2 3 8 b ) ( 2 3