（基础数学专业论文）亚纯函数唯一性理论与相关正规族问题的研究.pdf

亚纯函数唯一性理论与相关正规族问题的研究 吕锋 山东大学数学学院，山东，济南，2 5 0 1 0 0 电子邮箱：l v f e n g m a i l s d u e d u a n 中文摘要 上世纪2 0 年代，芬兰数学家r n e v a n l i n n a 建立了该世纪最为重要的数学理论之 一，即复平面c 上的亚纯函数值分布理论，通常因纪念他而被称为n e v a n l i n n a 理论( 1 0 余年后l a h l f 0 1 8 建立了几何形式) 该理论主要有两部分组成，即n e v a n l i n n a 第一及 第二基本定理，前者由p o s s i o n j e n s e n 公式得到，而后者显著的推广了p i c a r d 小定理 该理论不断自我完善和发展，同时广泛的应用到其他的复分析领域，如亚纯函数的唯一 性理论，正规族理论，复动力系统及复微分方程理论等与此同时，鉴于n e v a n l i n n a 理 论的美妙结果，很多杰出数学家创立并且不断完善发展了定义在特殊复流型上的亚纯映 照的值分布理论 在1 9 0 7 年，p m o n t e l 引入了正规族的概念由于在复解析动力系统中的重要地 位，它越来越受重视一个亚纯函数族称为正规的若它的任一序列都存在子列收敛( 按 球距内闭一致收敛) 我们的主要目标是寻找正规的函数族b l o c h 原理在其中起着重要 的指导作用，尽管它一般而言并不成立它说如果有某个性质使得在全平面上只有常数 函数所具有，那么在某一个区域d 上具有该性质的亚纯函数( 或全纯函数) 族就是一个 正规族 复平面c 上的亚纯函数唯一性理论伴随着n e v a n l i n n a 理论的发展而出现。r n e v a n - l i n n a 4 5 】首先给出了著名的n e v a n l i n n a 五值( 四值) 定理，即两个亚纯函数如果分担扩 充复平面上的五个( 四个) 判别的值，则他们相同( 互为线性变换) 这两个定理是唯一 性理论的起点，随后又出现了大量的相关结论，经过几十年的发展逐渐形成了亚纯函数 唯一性理论，最近这一理论被推广到多维的复欧式空间中 本文主要包括作者在导师仪洪勋教授的指导下得到的关于亚纯函数唯一性理论，正 规族理论和多维的亚纯映照的唯一性理论的几个结果论文的结构如下安排 第一章，我们简单介绍n e v a n l i n n a 唯一性理论和一些经常用的符号。 第二章，我们主要讨论复平面上的两个亚纯函数加权分担3 个小函数和一个小函数 对的唯一性问题。我们将b r o s c h 所研究的问题进一步细化，并得到一个定理，同时应用 山东大学博士学位论文 z h a n g 6 0 】的一个引理，我们推导出一个定理它们改进了n e v a n l i n n a 四值定理，b r o s c h 定理及t c a l z a h a r y 的几个结果 1 ，2 ，3 】 第三章，我们继续研究整函数与其导数分担值或多项式的问题通过估计著名的l z a l c m a n s 引理中的砌趋于0 速度和利用正规族理论，我们得到了这一类函数的一个 非常重要的性质，即函数的级为有限的进而我们得到了几个唯一性的定理，它们改进 了r u b e l 和y a n g 4 8 】，l i 和y i 4 0 】的结果作为应用，我们部分解决了r b r i i c k 猜想 事实上，我们证明了其对于一类特殊的函数f = p ( 7 , 2 ) 成立 第四章，我们主要研究了全纯函数与其导数分担集合s 的正规族问题，并且得到 了一个正规定理，它改进了x u 5 3 1 的一个结果同时我们给出例子分别说明定理中的 条件是必要的和集合s 中的元素个数是精确的结合正规族理论，我们用相对简单的 方法重新讨论了l i 和y a n g 4 0 1 在1 9 9 9 年只是利用亚纯函数唯性理论得到的一个定 理 第五章，我们讨论了两个亚纯映射分担g 个超平面或活动超平面的唯一性问题，并 得到两个结果，其部分改进了c h e n 和y a n 发表在中国科学 1 0 】和数学年刊 5 8 】的两 个定理 关键词：亚纯函数；整函数；微分多项式；分担值；亚纯映射；超平面；活动超平面； 正规族 山东大学博士学位论文 t r 一 n1 un l au e n e s so tm e r o m o r d l l l ct u n a tl o n sa n qs o m e r e l a t e dp r o b l e m so fn o r m a lf a m i l i e s f e n gl i i s c h o o lo lm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n 9 ，2 5 0 lo o , p r c h i n a e - m a i h l v f e n g m a i l s d u e d u c n a b s t r a c t v a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，w a sd u et or n e v a n l i n n ai n 1 9 2 0 s ，a n di ng e o m e t r i cf o r mb yl a h l f o r sa b o u tad e c a d el a t e r ，i so n eo ft h em o s t i m p o r t a n ta c h i e v e m e n t si nt h ep r e c e d i n gc e n t u r yt ou n d e r s t a n dt h ep r o p e r t i e so fm e r o - m o r p h i cf u n c t i o n s 。t h et h e o r yi sc o m p o s e do ft w om a i nt h e o r e m s ，w h i c ha r ec a l l e d n e v a n l i n n a sf i r s ta n ds e c o n dt h e o r e m st h a th a db e e ns i g n i f i c a n tb r e a k t h r o u g h si nt h e d e v e l o p m e n to ft h ec l a s s i cf u n c t i o nt h e o r y , s i n c et h en e v a n l i n n a ss e c o n dt h e o r e mg e n e r a l i z e sa n de x t e n d sp i c a r d sf i r s tt h e o r e mg r e a t l y , a n dh e n c ei td e n o t e dt h eb e g i n n i n g o ft h et h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s s i n c et h e n ，n e v a n l i n n at h e o r yh a sb e e nw e l l d e v e l o p e di ni t s e l fa n dw i d e l ya p p l i e dt ot h er e s e a r c h e so ft h eu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n s ，n o r m a lf a m i l i e s ，c o m p l e xd y n a m i c sa n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n se t c m e a n w h i l e ， i nv i e wo ft h eb e a u t yo fn e v a n l i n n at h e o r y , m a n yo u t s t a n d i n gm a t h e m a t i c i a n sf o u n d e d a n dd e v e l o p e dt h ev a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yo fm e r o m o r p h i cm a p p i n g so v e rc e r t a i nc o m p l e xm a n i f o l d s i n19 0 7 ，p m o n t e li n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fn o r m a lf a m i l y i tp l a y sa ni m p o r t a n t r o l ei nc o m p l e xd y n a m i c s af a m i l yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n si sc a l l e dn o r m a li fe v e r y s e q u e n c ei nt h ef a m i l yh a sas u b s e q u e n c ew h i c hc o n v e r g e s ( 1 0 c a l l yu n i f o r m l yw i t hr e s p e c t t ot h es p h e r i c a lm e t r i c ) o u ra i mi st of i n dt h en o r m a lf a m i l i e s o n eg u i d i n gp r i n c i p l e i nt h es t u d yh a sb e e nt h eh e u r i s t i cp r i n c i p l ew h i c hs a y st h a taf a m i l yo ff u n c t i o n s m e r o m o r p h i c ( o rh o l o m o r p h i c ) i nad o m a i na n dp o s s e s s i n gac e r t a i np r o p e r t yi sl i k e l yt o b en o r m a li ft h e r ei sn on o n c o n s t a n tf u n c t i o nm e r o m o r p h i c ( o rh o l o m o r p h i c ) i nt h ep l a n e w h i c hh a st h i sp r o p e r t y t h i si ss o c a l l e db l o c h sp r i n c i p l e i n d e e d ，b l o c h sp r i n c i p l ei s v 山东大学博士学位论文 n o tt r u ei ng e n e r a l ，b u ti ti ss t i l la ni m p o r t a n tg u i d i n gp r i n c i p l ei nt h et h e o r yo fn o r m a l f a m i l y i n1 9 2 9 ，r n e v a n l i n n aa p p l i e dt h ev a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yt oc o n s i d e rt h ec o n d i t i o n su n d e r w h i c ha m e r o m o r p h i cf u n c t i o no fas i n g l ev a r i a b l ec o u l db ed e t e r m i n e da n d d e r i v e dt h ef a m o u sn e v a n l i n n a sf i v e - v a l u ea n df o u r - v a l u et h e o r e m s f r o mt h e no n ，t h e u n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n so fas i n g l ev a r i a b l eh a sb e e nd r a s t i c a l l ys t u d i e db y l o t so fm a t h e m a t i c i a n sa n dg r a d u a l l yc o n s u m m a t e di ni t s e l f ，w h i c hr e c e n t l ye x t e n d e dt o t h o s eo fm e r o m o p h i cm a p p i n g so fs e v e r a lv a r i a b l e s t h e p r e s e n tt h e s i si n v o l v e ss o m er e s u l t so ft h ea u t h o rt h a ti n v e s t i g a t et h en o r m a l i t y o fs o m ec l a s s e so fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n sa n dt h eu n i q u e n e s so fm e r o m o p h i cf u n c t i o n s o v e rca n dc m u n d e rt h eg u i d a n c eo fs u p e r w i s o rp r o f e s s o rh o n g x u ny i t h ed i s s e r t a t i o ni ss t r u c t u r e da sf o l l o w s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eg e n e r a lb a c k g r o u n do fn e v a n l i n n at h e o r ya n ds o m e n o t a t i o n sw h i c ha r ea l w a y su s e di no u rs t u d i e s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h ep r o b l e mo fm e r o m r o p h i cf u n c t i o n so v e rcs h a r i n gt h r e e d i s t i n c tv a l u e sa n dap a i ro fs m a l lf u n c t i o n sw i t hw e i g h t u s i n gal e m m ao fz h a n g 6 0 ， w ep r o v ear e s u l t i n d e e d ，w ei m p r o v et h en e v a n l i n n a sf o u r v a l u et h e o r e m ，b r o s c h s t h e o r e ma n ds o m er e s u l t so fa l z a h a r y 1 ，2 ，3 】 i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t et h eu n i q u e n e s sp r o b l e mo fe n t i r ef u n c t i o n st h a ts h a r e v a l u e so rp o l y n o m i a l sw i t ht h e i rd e r i v a t i v e s b ye s t i m a t i n gt h es i z eo fp n si nt h ef a m o u s l z a l c m a n sl e m m aa n du s i n gt h et h e o r yo fn o r m a lf a m i l y , w ed e d u c et h i sk i n do f f u n c t i o n sh a v ef i n i t eo r d e r ，w h i c hi sa ni m p o r t a n tp r o p e r t y a n dt h e n ，w eo b t a i ns o m e u n i q u e n e s st h e o r e m s ，w h i c hi m p r o v et h er e s u l t sg i v e nb yr u b e la n dy a n g 4 8 】a n dl i a n dy i 4 0 a sa na p p l i c a t i o n ，w ep a r t i a l l ys o l v er b r i i c k sc o n j e c t u r ea n dp r o v et h a t i th o l d sf o rt h es p e c i a lc l a s so ff u n c t i o n sf = 广w i t hn 2 i nc h a p t e r4 ，w eo b t a i nar e s u l to nt h en o r m a l i t yo fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n st h a t s h a r eas e tsw i t ht h e i rd e r i v a t i v e s ，w h i c hi m p r o v e sat h e o r e mo fx u 【5 3 m e a n w h i l e ， s o m ee x a m p l e ss h o wt h a tt h ec o n d i t i o n so ft h er e s u l ta r en e c e s s a r ya n dt h en u m b e r o fe l e m e n t si nt h es e tsi ss h a r p ，r e s p e c t i v e l y u s i n gt h et h e o r yo fn o r m a lf a m i l i e s ， w ea l s op r o v eau n i q u e n e s st h e o r e mw h i c hw a so b t a i n e db yl ia n dy a n g 4 0 】ju s tw i t h n e v a n l i n n at h e o r yi n 1 9 9 9 i nc h a p t e r5 ，w ed e a lw i t ht h eu n i q u e n e s sp r o b l e mo fm e r o m o r p h i cm a p p i n g st h a t s h a r eqh y p e r p l a n e so rm o v i n gt a r g e t so fp ( c ) m e a n w h i l e ，s o m er e s u l t so fc h e na n d v l 山东大学博士学位论文 y a n 1 0 ，5 8 】a r ep a r t i a l l yi m p r o v e d k e yw o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ；e n t i r ef u n c t i o n s ；d i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l s ； s h a r e dv a l u e s ；m e r o m o r p h i cm a p p i n g s ；h y p e r - p l a n e s ；m o v i n gt a r g e t s ；n o r m a lf a m i l i e s 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 日期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名： 导师签名：巧舷日期： 山东大学博士学位论文 第一章预备知识 1 1n e v a n l i n n a 理论的基本结果 我们简单回顾一下n e v a n l i n n a 理论的基本结果和概念n e v a n l i n n a 理论研究的开 端是p o i s s o n - j e n s e n 公式的变形，通过它，r n e v a n l i n n a 引入了亚纯函数的特征函数 设，为复平面上的亚纯函数，定义它的近似函数m ( r ，) ，计数函数y ( r ，) ，精简计 数函数丙( r ，f ) 和特征函数t ( r ，f ) 如下： m ( r ，) ：= g ( r ，f ) ：= g ( r ，f ) ：= t ( r ，f ) ：= 去z 1 0 矿i f ( r d 口) ld o ， 厂r 盟尘堂塑d t + 椰，y ) l 咿，工 、 一 r r 至墨! l 2 掣班+ 瓦( o ，) 1 。g r ，j，一 m ( r ，f ) + g ( r ，厂) ， 其中l o g + z = m a x ( 1 0 9 x ，0 ) 对所有z 0 ，n ( t ，厂) ( - ( z ，厂) ) 表示厂在圆盘f z l t 内极点 的个数，计重数( 不计重数) 。 通过进一步究p o i s s o n j e n s e n 公式，r n e v a n l i n n a 得到了下面的第一基本定理： 定理1 1 ( 第一基本定理) 设f 为亚纯函数对任意一个复数a ，雨。 丁( r ，万1 ) = t ( 吖) + 叩) 后来，他又得到第二基本定理： 定理1 2 ( 第二基本定理) 设f 为非常数亚纯函数，a j ( j = 1 ，2 ，q ) 为q ( 2 ) 个判 别的有穷复数则 m ( r + 善qm ( n 忐) 翊肛帅，) 其中 1 ( r ) = 2 n ( r ，f ) 一( r ，7 ) + n ( r ，1 f ，) 跗= m ( n 手) + 喜qm ( r ，告) 删u 山东大学博士学位论文 为了估计第二基本定理中的s ( r ，) ，我们需要下面的对数导数引理，证明见 2 7 】 引理1 1 设，为非常数亚纯函数如果厂的级 p ：= l i i ，n 8 。u p l o g + 矿t ( r , f )，+ o 。 ”5 o 仇( n 芋) = 。( 1 0 9 r ) ，c r 一， 如果，的级无穷，则 钾他( r ，手) = 。( 1 0 9 ( r t ( r ，) ) ) ，( r 哼。，r 簪e ) ， 其中e 为测度有穷的集合 应用定理1 1 和引理1 1 ，第二基本定理可改写为如下更为实用的形式： 定理1 3 设厂为非常数亚纯函数，a j ( j = 1 ，2 ，q ) 为q ( 2 ) 个判别的有穷复数则 c m 胚- ( r + 妾丙( r ，击) 删删， 其中s ( r ，厂) 现在表示任何一个量满足s ( r ，f ) = 0 ( t ( r ，l 厂) ) ( r _ ，r 隹e ) ，e 为测度 有穷的集合，不需要每次出现都相同 为了我们的研究，我们需要下面定义： 定义1 1 亚纯函数a ( z ) ( c x 3 ) 被叫做f ( z ) 的小函数，如果t ( r ，a ) = s ( r ，厂) 定义1 2 ( p i c a r d 例外值) 设，为非常数亚纯函数，a 为有穷复数如果f a 没有零点， 则a 称为，的p i c a r d 例外值 由定理1 3 ，我们有： 定理1 4 ( p i c a r d 定理) 任何一个超越亚纯函数最多有两个p i c a r d 例外值。 2 山东大学博士学位论文 1 2 亚纯函数分担值的经典定理 两个亚纯函数，与g 分担一个小函数a ( z ) i m ( 不计重数) 如果，一a 与g o 有 相同的零点如果，一a 与g a 有相同的零点( 重数相同) ，则我们说，与g 分担a ( z ) c m ( 计重数) 如果a ( z ) 退化为一个常数n e ( = cu o o ) ) ，则我们说，与g 分担oi m ( c m ) 上世纪二十年代，n e v a n l i n n a 【4 5 】给出下面两个定理 定理1 5 ( n e v a n l i n n a 五值定理) 如果两个亚纯函数，与9 分担五个判别的值0 1 ，n 2 ， 0 3 ，n 4 ，a 5 ci m , 则，= g 定理1 6 ( n e v a n l i n n a 四值定理) 如果两个亚纯函数，与9 分担四个判别的值0 1 ，n 2 ， 口3 ，a 4 cc m , 则，= t og ，其中t 为线性变换 从那时起，很多数学工作者投身于这个领域并且得出很多优秀的成果，详见杨和仪 的著作 5 5 】 3 山东大学博士学位论文 第二章亚纯函数分担小函数的唯一性问题及b r o s c h s 定理 2 1 背景知识及主要结果 在1 9 2 9 年，r n e v a n l i n n a 利用他建立的值分布理论分析了亚纯函数分担四个值的 问题，并得到一个定理，我们通常称之为n e v a n l i n n a 四值定理在1 9 8 9 年，g b r o s c h 5 】研究了亚纯函数分担三个值及一个公共值对的问题，同样得到一个定理，我们称之 为g b r o s c h 定理，显然，后者在一定程度上改进了前者自此，关于亚纯函数分担四个 值或者四个小函数的问题被很多数学家研究，并得到了许多很好的结果，如【1 ，4 0 】等 在本章中，我们继续研究这一类问题，并得到两个结果，它们概括了前面的一些结果 在陈述我们的定理之前，我们需要引进下面的定义 定义1 令p 为一正整数，我们用p ) ( 7 ，) ( 或p ) ( r ，) ) 表示厂的重数小于或等 于p 的极点的计数函数( 不计重数) ，并且定义 + 1 = g ( r ，f ) 一) ( r ，厂) ，( p + 1 = g ( r ，f ) 一p ) ( r ，) 定义2 令k 为非负的整数或无穷，对于任意的a c u o o ，我们用一e ( a ，f ) 表 示f a 的零点组成的集合( 不计重数) ，并用一e k ) ( a ，f ) 表示厂一a 的零点重数小于或等 于k 的零点组成的集合( 不计重数) 。 定义3 令k 为非负的整数或无穷，对于任意的a c u o o ，我们用最( o ，厂) 表 示f a 的零点组成的集合，这里假设z 0 为f a 的m 重零点，若m k ，则计 f i t 重； 若m k ，则计k + 1 重。如果觋( o ，) = e ka ，9 ) ，我们说，夕加权k 分担a ，我们 也说厂，夕分担( a ，忍) 显然，如果厂和9 分担( a ，后) ，则f 和g 分担( n ，p ) 对于所有的p ，( 0 p 坍， 则，为g 的分式线性变换这里，n o ( r ) 表示，一g 的零点但不是f ( f 一1 ) ，1 f 的零 点的计数函数p 十重数 引理2 3 声刀假设厂和g 为两个非常数互异的亚纯函数并分担( a l ，k 1 ) ，( a 2 ，k 2 ) ，( a 3 ，) 满足a l ，a 2 ，a 3 = 0 ) 满足 f i ；= 、， 这里0r ，1 ， ，止) 表示 和 公共1 值点的精简计数函数，t ( r ) = t ( r ，1 ) + t ( r ，如) 和s ( r ) = d ( 丁( r ) ) ( 7 _ 0 07 ge ) 只依赖 和尼 1 0 山东大学博士学位论文 引理2 6 4 鄙假设，为一非常数的亚纯函数满足下面的r i c c a t i 微分方程 ，= a o + a l + n 2 厂2 ，( 2 2 2 ) 这里a o ，a l 和a 2 0 为，的小函数，也就是满足t ( r ，) = s ( r ，) 对j = 0 ，1 ，2 对 任意的，的小函数u ，也可为常数，若它是方程( 2 2 2 ) 的解，则有i ( r ，南) = s ( r ，) ； 若它不是方程( 2 2 2 ) 的解，则有t ( r ，) = i ( r ，南) + s ( r ，) 引理2 7 i s 假设，和9 为两个非常数互异的亚纯函数满足0 ，1 ，o oc m , 令a ( 。o ) 为，和g 的小函数，则有( 2 ( r ，南) = s ( r ，) 和( 2 ( r ，击) = s ( 7 ，) 2 3 定理2 1 的证明 通过定理2 1 的条件，不失一般性，我们可以假设，和夕分担( o 忌1 ) ，( 1 ，知2 ) 和 ( ，k 3 ) 在后面，我们将要分两种情况讨论 第一种情况假设a 不为f 的p i c a n d 值且 1 ) ( r j 万1 ) t ( r ，) + 跳，) ( 2 3 1 ) 旭也疋埋u ，氓1 1j j 以侍到上1 j 利六柙1 胃况使术戎i ij 赞万另u l 习比达7 、柙。i 育况 情况1 1 ，= 笔军，g = 等， 仁3 翻 ，2 苫；：f 丁，2 苫二j ；_ 丁， 【z j z j 坐a k + l = 等等，。坐8 ( 2 3 3 ) ( 尼+ 1 ) 七+ 1 一7 、。7 通过 4 0 】中的引理2 7 我们可以假设， ，一。：垦 二二堕弩宅 芝 二笔三i 善掣( f ：七一2 ) ( 2 3 4 )。 l + e 1 + + e ( s 1 ) 一y 、7、7 这里q j ( j = 0 ，1 ，f ) 为常数且q i q j ( i 歹) 令z j ( 1 冬jsf ) 为e 1 一a j 的零点且不为7 7 的零点，则z j 为厂的单零点。通过条 件e 1 ) ( n ，厂) 一e ( b ，夕) ，我们有9 ( 勺) = b ，( 1 冬j f ) 把z y 代人( 2 3 2 ) 有 ( 1 墨j 2 ) 等 忙 等 一 山东大学博士学位论文 够“5 ) = 妒，噶= 矧，( 1 歹 o ) 满足 片= 1 ( 2 4 7 ) 通过( 2 4 1 ) ，( 2 4 5 ) 和( 2 4 7 ) 可得 e s q + p = 两f - i ) 洲( 芋) 。= ( 两a - 1 ) 州( 石b ) ( 2 4 8 ) 故 与掣= ( 西a - 1 b1 ) s + 心a 掣 ( 2 4 9 ) = l l 一。 i l 一 ，。j 一l 、 厂2 、 一 7、7 口t “。_ ， 山东大学博士学位论文 由( 2 4 9 ) 有 t ( r ，) = t ( r ，g ) + s ( r ) 通过( 2 4 1 ) 可得 e q 一1 = 而l - g ，e p - l = 岛，e a 一1 = 字 由( 2 4 1 1 ) 的第一个方程，可导出 t ( r ，矿) 丙( r ，西1) + 丙( r ，石1 ) + s ( r ) 丙( r ，雨1 ) + s ( r ) = l 炽万1 j ) + 丙( 2 ( r ，万1 j ) + s ( r ) 1 灯，万1 i ) + ( r ，专) + 跗) = 1 渺，；i 1 ) + 即) t ( r ，e n ) + s ( 7 ) ( 2 4 1 0 ) ( 2 4 1 1 ) 这样有 11 t ( 叩q ) = 1 ) ( r ，击) + s ( r ) = 丙( 7 ，南) + s ( r ，n 再由( 2 4 1 1 ) 得 _ ( r ，击) 娟等) 我们知道e 口一1 的零点可能来源于，一9 的零点和9 的极点。 若z 。为g 的极点且为e n 一1 的零点，则也为厂的极点由引理2 4 可得 ，= 籍e p ，一上 由上式我们容易看出z o o 为扩一1 的重零点注意到丙( 2 ( n 面1 ) n ( r ，古) = s ( 7 ) ，则 z o o s 这样的点的精简计数函数为s ( 7 ) 现在我们讨论，一g 的零点。我们知道厂和g 分担o ，1 c m 和e q 一1 = 岩 若动为，的零点，则劲为e o 一1 的零点 若铂为厂一1 的零点，则缅为e q 一1 的零点。 若z o 为，一9 的零点但不为，厂一1 ， 的零点，则z o 为e q 一1 的零点。 我们知道丙o ( r ) 表示厂一g 的零点但不是厂，f 一1 和 的零点的精简计数函数。 这样，通过上面的讨论我们推出 丙( r ，雨1 ) = 丙( r ，；) + 一n o ( r ) + s ( r ) 1 7 山东大学博士学位论文 所以t c r ，e a ，：，吼，c r ，e q1 - - 1 + s ( r ) = n ( r , ；，+ 7 叮。c r ，+ s c r ， c 2 4 1 2 ， t ( 叩a ) = 1 肌 多) + 。( r ) + s ( r ) ( 2 a 1 2 ) 类似的我们可以得到 t ( 叩卢) = 1 ) ( r ，去) + s ( r ) = 丙( r ，) + 矾( r ) + s ( r ) ( 2 4 1 3 和 t ( 叩川) = 1 ) ( r ，面b ) + s ( r ) = 丙( r ，万1 ) + 一n o ( 卅跗) ， ( 2 4 1 4 ) 定义 砂= ( ，一o ) ( e p 一1 ) = e a a e p + a 一1 ( 2 4 1 5 ) 和 u ：霉( 2 4 1 6 ) 因此和u 都不为常数若不然，假设u = c 0 ，则= a e 眈，这里a 和b 为非零 的常数令z 为厂一a 的单零点；既然z 不为痧的零点，则通过( 2 4 1 5 ) 可得z 必定为 扩一1 的极点。矛盾这个讨论对于西不为常数同样成立 注意到= ( 厂一o ) ( 扩一1 ) ，我们知道的重零点可能来源于，一a 和e 卢一1 的重 零点或者厂一n 和e f l 一1 的公共零点但是n ( 2 ( r ， - - - 一) = s ( 7 ) 和( z ( r ，由) = s ( r ) ， 所以通过( 2 4 1 1 ) 中间的方程可得g ( r ，n ；厂l e p = 1 ) = s ( 7 ) 所以n ( 2 ( r ，丢) = s ( r ) 和 ( r 石1 ) = 融历1 ) + s ( r ) ( 2 4 1 7 ) 由( 2 4 1 5 ) = ( f n ) ( e p 一1 ) ，的零点可能来源于，一a 和e p 一1 的零点。注意 到( 2 4 1 3 ) ，我们有 t ( 7 ，e 卢) = 1 炳西1 ) + 刚丙( r ，西1 ) + 驯t ( r ，e p ) + 驯 所以 丙( 7 ，刁二11 ) = 1 ) ( r ，矛= 11 ) + s ( r ) = 丙( 7 ，厂) + 丙。( 7 ) + s ( r ) 因此，e p 一1 的零点可能来源于厂的极点和f g 的零点但不是厂，厂一l 和多的零点。 若z o o 为厂的极点且满足e ( 2 一) 一1 = 0 和矽( z o 。) = 0 那么通过( 2 4 1 5 ) 可得 为扩一1 的重零点。和上面类似我们可推导出z o o s 组成的精简计数函数为s ( 7 ) 1 8 山东大学博士学位论文 和 和 由( 2 4 1 7 ) 和上面的讨论我们得到 那么 ( r 石1 ) = 砘石1 ) + 刖= 1 ) ( r ，万1 ) + _ o ( r ) + 荆 t ( r ，u ) = ( r ，u ) + m ( r ，u ) = 丙( 哪) + 丙( r ，丢) 丙( r ，u ) + s ( r ) + s ( r ) = 1 ) ( r ，万1 ) + _ o ( r ) + 荆， t ( r ，u ) = t ( r ，f ) + 一n o ( r ) + s ( o 我们定义下面的亚纯辅助函数 n = 暑 o j - - ( + 堋扣以 乃= 暑+ q ，2 ) 一( n + 2 。+ + 。阴兰】+ 。 ( 2 4 1 8 ) ( 2 4 1 9 ) 丁3 = 两a - 1 ( o l l d - 3 a ，q + q ，3 ) 一( 。，7 + 3 。7 p + 3 n 7 + 。p 7 + 3 。，, 8 7 2 - f - 3 。p 3 + a 3 ) 五b + 。， 若t 1 三0 ，令为厂一a 的单零点，且满足a ( z 。) 1 和b ( z a ) 1 ，则夕( 气) = 6 ( ) ，e 口= 甏哥和e 触) = 涨剖 由( 2 4 1 5 ) 和( 2 4 1 6 ) ，得到咖在附近的罗朗展式为 ( z )= 乃( z 。) ( z z o ) 2 + 丁3 ( ) ( z z o ) 3 + o ( ( z z o ) 4 ) 可得气为( z ) 的重零点。所以 呲万1 ) ( _ 五1 ) + ( r ，击) + 眦石1 ) 眦石1 ) + 其意味着 ( 2 ( r ，石1 ) 1 ) ( r ，万1 ) + 刚 它与( 2 4 1 7 ) 矛盾。所以丁1 0 并且丁( r ，勺) = s ( r ) ( j = 1 ，2 ，3 ) 1 9 山东大学博士学位论文 现在令气为f a 的单零点且满足t i ( z 口) b ( z o ) ，e q z 口) = a ( z a ) ) 一- - 1 i 和扩( ：。) = 和 ! 堡l 垫) 二! 巡! 12 ( b ( z 。) 一1 ) n ( z 。) 。 0o ( ) 1 和b ( z a ) 1 则g ( z a ) = 再一次通过( 2 4 1 5 ) 和( 2 4 1 6 ) 我们分别得到和u 在乙的罗朗展式 ( z )= 丁1 ( ) ( z 一) + 死( ) ( z 一气) 2 + 乃( 气) ( z 一气) 3 + d ( ( z z o ) 4 ) u ( z ) = z z a+ 掣讹( 训z 一气) + o 他一计) ， 这里7 2 ，7 3 为，和g 的小函数，p = 鲁和p 1 = 鲁一( 署) 2 定义函数 r ：= u 7 + u 2 一川一肛2 ， 这里p 2 = 3 p 1 一p 2 4 一p 7 由( 2 4 2 0 ) 和( 2 4 2 1 ) ，可得 和 w 2 ( z ) = w 7z ) = 一1 ( z 一气) 2 上+ 盟 ( 名一) 2 。z z a + 肛1 ( 气) 4 - o ( z 一) ， + 掣+ 2 州气) + 一气) p ( z ) 训( z ) = 山( 气) + p 7 ( ) ( z z a ) + d ( ( z z a ) 2 ) 】 4 - o ( ( z z a ) 2 ) 】= p (