（基础数学专业论文）第二类cartanhardogs域上的einsteinkahler度量.pdf

摘要 我们知道c “中的任一有界拟凸域n ，都存在一个唯一的完备的e i n s t e i n - k s h i e r 度量，设此度量为 一 d 。2 = 蕊o z g 觑丐 则g 是m o n g e a m p e r e 方程的下列d i r i c h l e t 边值问题的唯一解： f 拙( 鑫) 啦一 l9 = o 。z a n 这里g 称为域n 的e i n s t e i n - k i i _ h l e r 度量的生成函数本文主要考虑殷慰萍教授引入 的第二类超c a r t a n 域： y n ( 1 ，p ；) = c ，z er ，( p ) ： w 1 2 o ：= 巧 其中r i i ( p ) 表示华罗庚意义下的第二类c a r t a n 域，d e t 表示行列式，p 为自然数通 过计算，我们给出了其上的e i n s t e i n - k i j a l e r 度量：首先，化此度量的m o n g e a m p 6 r e 方程为以辅助函数x = x ( z ，) 为变量的常微分方程，此方程能得到以x ：x ”) 为变量的隐函数的解其次，对某些情况下的非齐性的超c a f t a n 域得到了完备的 e i n s t e i n - k i i h l e r 度量的显表达式第三，给出了在e i n s t e i n - k h l e r 度量下的全纯截 曲率的估计，在第二类超c a r t a n 域的某些情况下，又得到完备e i n s t e i n - k d i h l e r 度量 和k o b a y a s h i 度量的比较定理 关键词，超c a r t a n 域，e i n s t e i n k i i h l e r 度量，非齐性域， 比较定理 摘要 2 e i n s t e i n - - k i i h l e rm e t r i co i lc a r t a n - h a r t o g sd o m a i no ft h e s e c o n d t y p e z h a n gl i y o u ( d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，c a p i t a ln o r m a lu n i v e r s i t y , b e i j i n g ，1 0 0 0 3 7 ) d i r e c t e db yp r o ll i n p i n g a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a ta n yb o u n d e dp s e u d o c o n v e xd o m a i ni nc “h a sac o m p l e t e e i n s t e i n - k a h l e rm e t r i cw i t hn e g a t i v er i c c ic u r v a t u r e l e tt h ee i n s t e i n - k 班h l e rm e t r i co n ni s d s 2 = 丽0 2 9 如面 t h e ngi sas o l u t i o no fm o n g e - a m p e r ee q u a t i o na n ds a t i s f i e st h ed i r i c h l e tc o n d i t i o n ，a n d gi su n i q u es o l u t i o n ： e ( l k ；q z a n w h e r e gi s c a l l e dg e n e r a t i n gf u n c t i o no ft h ee i n s t e i n - k g h l e rm e t r i co n q w ec o n s i d e rt h e s u p e r c a r t a nd o m a i no ft h es e c o n dt y p ei n t r o d u c e db yy i nw e i p i n g t h ed e f i n i t i o no f t h es u p e r - c a r t a nd o m a i no ft h es e c o n dt y p ei s ： ， 1 ，p ；k ) = c ，z r ，( p ) ：j w l 2 0 ) ：= ， w h e r er i i ( p ) i st h es e c o n dt y p eo fs y m m e t r i cc l a s s i c a ld o m a i n 盟撕 恒 酣 = d g ，l_ilj(1_l 摘要 3 i nt h i s p a p e r ，t h ee i n s t e i n - k i h l e rm e t r i cf o r ，i sd e s c r i b e d f i r s t l y , t h em o n g e a m p e r ee q u a t i o nf o rt h em e t r i ct oa no r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni nt h ea u x i l i a r yf u n c - t i o nx = x ( z ，w ) i sr e d u c e db yw h i c ha ni m p l i c i tf u n c t i o ni nxi so b t a i n e d s e c o n d l y ，f o r s o m ec a s e s ，t h ee x p l i c i tf o r m so ft h ec o m p l e t ee i n s t e i n - k g h l e rm e t r i c so i lc a r t a n - h a r t o g s d o m a i n sw h i c ha r et h en o n h o m o g e n e o u sd o m a i n sa r eo b t a i n e d t h i r d l y ，t h ee s t i m a t eo f h o l o m o r p h i cs e c t i o n a lc u r v a t u r eu n d e rt h ee i n s t e i n - k a h l e rm e t r i ci sg i v e n ，a n di ns o m e c a s e st h ec o m p a r i s o nt h e o r e mf o rk o b a y a s h im e t r i ca n de i n s t e i n - k g h l e rm e t r i co nc a r t a n h a r t o g sd o m a i no ft h es e c o n dt y p ei se s t a b l i s h e d k e y w o r d s ：c a r t a n h a r t o g sd o m a i n ，e i n s t e i n k g h l e rm e t r i c ，n o n h o m o g e n e o u sd o m a i n ，c o m p a r i s o nt h e o r e m 序言 众所周知，b e r g m a n 、c a r a t h o d o r y 、k o b a y a s h i 和e i n s t e i n - k i h l e r 度量是复 分析中四个经典的度量b e r g m a n 度量( 记为8 ) 是由b e r g m a n1 9 2 1 午对一个变量 n1 9 3 3 年对多个变量【2 】引进的对于c a r a t h 6 0 d o r y 度量，c a x a t h 6 0 d o r y 在1 9 2 6 3 】 年引进不变距离，而r e i f f e n 在1 9 6 3 4 1 年引进了不变度量，因此c a x a t h 6 0 d o r y 度量 ( 记为c ) 又称为c a r a t h 6 0 d o r y r e i f f e n 度量k o b a y a s h i 度量( 记为坛) 是由k o b a y a s h i 在1 9 6 7 5 1 和i k o y d e n 在1 9 7 0 6 1 分别引进，因此又称为k o b a y a s h i r o y d e n 度量 令m 是一个复流形则定义在m 上的一个h e r m i t i a n 度量“9 i 5 d z 。0 d 护 称为是k ；i h l e r 的，如果其k i h t e r 形式q = , ：x e 。g i 3 d z d 矽是闭的此度量的 r i c c i 形式被定义为一萌l o g d e t ( g 。i ) 如果k a h l e r 度量的r i c c i 形式与其k h l e r 形式 成比例，则此度量称为e i n s t e i n k a h l e r ( 记为占) 度量若流形为非紧的，则要求度量 是完备的，根据伍鸿熙的著名论文 7 】l 现在给出口，c ，咒和之间的一些已知的关 系首先，在单位超球伊上，对其上的任何切向量v 总有 以砑= 川i i 巧可= 圻而c ( v ) = 丽( v ) ( i ) 日和c ：对伊中的一般的有界域总有c 层这关系隐含于陆启铿的1 9 5 8 年的文章【8 8 中，而在h a h n 的文章【9 中，这关系被明显和简洁的表达了出来 ( i i ) 日和苊：其间不存在什么关系人们希望对伊中的有界域，存在固定的 常数n 使得不等式8sa 咒成立但是在1 9 8 0 年d i e d e r i c h 和f o r n a e s s i ”】指出在 c 3 中存在拟凸域使得3 ：是无界的不过，b o 苊对一些蛋型域 1 1 , 1 2 , 1 3 】和一些 c a r t a n h a r t o g s 域 1 4 , 1 5 , 1 6 j 成立 ( i i i ) 层和：对口中的所有有界齐性域都有日= 占这是由于每个有界齐性域 在8 下的r i c c i 曲率都等于一1 而得出的 ， ( i v ) c 和丘：在所有流形上都有c 庀而且，在伊中的所有凸域上都有c = 尼 成立【1 7 ) 由于所有对称有界域都可以在在c “中实现为凸域，这表明对所有对称有 界域有c = 成立这一事实在较早的时候也由 1 8 】直接给出 应当指出，对e 2 中的k o h n 意义下的有限型的有界拟凸域，c a t l i n 证明3 ，c 和j i c 是等价的【1 9 】现在看来尚不知道这四种度量的其他的普遍的关系，在伍鸿熙 的同一篇文章中指出，在上述四种度量中，是最难于计算的，这是因为在其存在 性的证明中用了复杂的非结构性的方法假如我们规定此度量下的s c a l a r 曲率为1 ， 则e i n s t e i n - k a h l e r 度量是唯一的c h e n g 和y a u 证明任何一个具有c 2 边界的有 序言 界拟凸域d 容许一个完备的e i n s t e i n - k a h l e r 度量m o k 和y a u 将此结果推广到c n 中的任意有界拟凸域叫若此e i n s t e i n - k h l e r 度量由下式给出 幻( z ) ：= 蕞觑面， 则g 是m o n g e - a m p b r ee q u a t i o n 方程的下述边值问题的唯一解： e m + 1 ) 92 d z a d 而g 被称为e d ( z ) 的生成函数显然，若g 能以显式表达，则e i n s t e i n - k g h l e r 度量 也能以显式表达。因此，需要求出e i n s t e i n - k a h l e r 度量的显表达式时，只要算出生 成函数g 的显表达式就足够了从上述( i i i ) 知，完备的e i n s t e i n - k a h l e r 度量的显表 达式仅仅对齐性域才计算了出来 本文考虑殷慰萍f 2 2 】引入的第二类超c a f t a n 域，其形式如下： ，( 1 ，p ；k ) = w c ，z r l l 白) ：1 w t “ o ) ：= y ，f ， 其中r ，( p ) 表示华罗庚意义下的第二类c a f t a n 域，d e t 表示行列式，p 为自然数 k f 的b e r g m a n 核函数已在【2 3 j 中给出，并易知m ，是b e r g m a n 穷竭的，因而y ， 为有界拟凸域 本文组织如下第一节为预备知识，叙述一些今后要用到的关于研，的基本 事实和结果第二节，利用均，的非紧全纯自同构群以及e i n s t e i n - k a h l e r 度量的双 全纯不变性，把对于此度量的m o n g e - a m 曲r e 方程化为以辅助函数x = x ( z ，w ) = f w l 2 d e t ( i z 牙) r 寺为变量的常微分方程此常微分方程能得到以x 为变量的函 数的隐式解第三节给出b ，的在e i n s t e i n - k a h l e r 度量下的全纯截曲率的估计当 k 车军二举时，全纯截曲率有一个负上界，由此得到y r ，的完备的e i n s t e i n k a h l e r z 巾十lj 度量和k o b a y a s h i 度量的比较定理这是此两度量之间的新的关系在第四节，当 = 兰+ ，p 1 时，我们给出，的完备的e i n s t e i n - k a h l e r 度量的显表达式， 而此时的y ，为非齐性域，按伍鸿熙的观点，这是最难以计算的。 盟锄 ，恒 莳 | | ，、i 第一节预备知识 引理1 下列变换属于玎j ( 1 删k ) 的全纯自同构群，记之为a u t ( y n ) w 。= e 9 w d e t ( i z i - - 么o ) 丽1d 以( j z z o ) 一击 z + = a ( z g o ) ( 1 一瓦z 1 1 万一1 其中_ t a = ( f z o z q ) 一，扬r ”白) ，日r ，此变换把h f 中的点( ，g o ) 映为( ，o ) 证i 见( 2 3 】 引理2 令x = x ( z ，) = 1 w 1 2 f d “( ，一z 宕) - 1 k 则x 在a u t ( y t ，) 下不变，即 x ( z + ，w ) = x ( z 1 ) 证：见【2 3 】 此后，我们把z r h ( p ) 写为如下形式 z ：z t z 1 1 1 蕊砚1 1 砺印1 1 乃印2 l 孕乱9 历。2 p 4 卯 而且 孑= ( z 1 1 ，z 1 2 ，一，z 岫，z 2 2 ，幻3 ，2 印，一，却p ) ， 它是1 。p ( p + 1 ) 1 2 矩阵表示是z 的转置 如= ， ，澎锄 第一节预备知识 7 我们有 ( 鼍) 一= a t x a 4 s ( 丝o z 、z o = z = 耳1e i o 酬卜z - g ) 一去即) 。彬 ，o w + 、 怕石jz 。：z e i 8 d e t ( i z z l 一击 其中e ( z ) = ( 打【( j z z ) _ 1 ；1 习，t , - i ( z z 而一1 ；2 z n ，t f f ( ：一z z ) - 1 塌习，打 ( j z z ) - 1 乏 ) 为1 。p ( p + 1 ) 2 矩阵， 耻 壶汁讯k 妖l 【， = f 而厶f 为p 阶方阵，其第行第l 列交叉处元素为i ，其余元素均为0 符号 a 州。 表示方阵4 的对称直乘积，其定义见【2 4 】 证：直接计算可得 引理4 若( z ， + ) = f ( z ， ) a u t ( y 1 1 ) 而且t = t ( z ，) ，口i 硼是巧，的e i n s t e i n k i h l e r 度量的度量方阵，则有 t 【( z ，”) ，百；j 一 = 【j - t f ( z 4 ，w + ) ，币尹_ 石_ 】j i l z o ：z 以及i j f i o ：z = d e t ( i z 乏) 一( p + 1 + 专) ，其中j 西l = d e t j p 证：利用e i n s t e i n k i i h l e r 度量在全纯自同构下的不变性即可得证 引理5 设z 为一p 阶对称矩阵，则有 t r ( z z z z ) t r ( z - z ) t r ( z z ) sp 【打( z 羽动】 证：若z 为非零矩阵，则存在酉方阵u ，使得 。 a l2a 2 。a 口0 ，a l 0 u 、， 0 o b o 0 第一节预备知识 8 则 打( z 牙z z ) = a + ! + - + a ；，打( z z ) = + l 十- + 婶 由c h a u y s c h w a r z 不等式可知 a + + a ：s ( a l + - = i ( 1 2 ， 墨i ( 1 2 ，- = p ( 碍+ 增) f 2 埒) f 2 即 t v ( z z z z ) 打( z 西亡r ( z 乏) p 【亡r ( z z z 乏) 】 证毕 2 l r i 驴懈枷桫阿砩 十p p 第二节化m o n g e - a m p a r e 方程为常微分方程 若z r ( p ) 以及( z ， ) 巧，则令 z ， ) = ( z l l ，z 1 2 ，一，z l p ，z 2 2 ，一，z 2 p ，椰，) = ( 2 1 ，z 2 ，z n ) ， 其中。：掣+ 1 注意，这里 9 水u ) = 彘，。肛， 以及 鱼：鱼 a o w 设g 生成，的e i n s t e i n k a h l e r 度量，则g 满足m o n g e - a m p a r e 方程的如下边值问 题： 出“吲毛叫) - 0 u “巾，川叫n( 1 ) l g = o o ， z ， ) 0 1 1 1 ， ”7 设f a u t ( y h ) ，f ( z ， ) = g ( z + ，u + ) 由引理4 ，易知 d e t ( g 。i ( z ， ) ) = l 打| 2 d e t ( 9 。i ( z 4 ，+ ) ) 所以 e ( “+ 1 ) 口( 。，叫) = l 。1 2 e ( n + 1 ) 9 扛+ ，加 由此得到 e - 9 ( t ”+ ) = l 如l 南e 一9 ( w ) 特别地，取z o = z ，0 = 一a r g w ， 记此时的全纯自同构f l z o ：z = f o ，则有 e - 9 ( o ，”) = i 如l 南e - g ( z ，w ) ：d e t ( j z 虿) 一虹常幽e - g ( z ，” 由引理1 和引理2 可知， + = x 记a = k ( p + 1 ) + 1 ，则由引理2 和引理3 可知 l 1 2 = x 1 1 w l 一盼， 第二节化m o n g e a m p e r e 方程为常微分方程 1 0 其中x 如引理2 所定义 令 即 则 我们记 ( x ) ：e 一积”) ：e 一9 ( o ，x h ( x ) = e g ( o ，u + ) ：i 巩i 南e 一9 ( w ) = x 寿川并e 一9 ( w ) 由简单计算易知 所以 瓦o h = ( o c ，x =i j 斋e 一9 ( ) 0 ( a - - w 9 ) 蔷= 挈耐( ，一z 牙) 一“：! ： 8 xx d ww 0 xx 向面 o g xh 7 f x l - 一一 o ww h ( x ) 又由a ( x ) ：x 彘 ； 主旨一9 ( z ，w ) 有 差纠( x ) 筹= - ( x ) 老+ 击一瓦o x 懈) 其中o = l ，2 ，n 1 整理得 却一r a y - 1h i ( x ) 、o x o z 一l 再万一可可j 瓦 令 m ) = n + l 勰x ( 2 ) ( 3 ) 第二节化m o n g e a m p & e 方程为常微分方程 1 1 则 于是有 0 2 9 0 叫a 面 旦：y 一婴， 。：1 ，2 ，。一1 d z ad z o 鱼：r y o w y 高 立：三y ，坚 0 辘8w 。扼8 、1 i 万j 西 百沥0 2 9 = y 1 芸瓦o x + y x - 1 口c q z x 丽一y x 一2 筹筹 瓦a 2 9 磊= y , x _ 10 扼x ；瓦o x + y x - i ，o z n 2 x 托 _ y x _ 20 扼x ；，瓦o x 其中o z ，卢= 1 ，2 ，n 一1 又由行列式求导公式得 0 xa x a o z k i 0 x0 x a 殆a 其中、如引理3 中所定义 由( 2 ) 式和( 5 ) 式可得 0 x i 面i z = o 2 w l z z ) _ 1 刁 z 劢_ 1 z 醢】 a x i 丽z = o 。” 筹b = 装l 扎筹b = 篆b = 。 ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 一 一 盯 押 打 x x 一k 一 j | | | 第二节化m o n g e - a m p e r e 方程为常微分方程 对( 5 ) 式继续求导得 丽0 2 瓦x = i 1 瓦0 x 圳( ，一z z )丽2i 瓦 一础】 1 f 刁+ 霄x 打【( ，一z z ) 一1 露f 瑶 + 妻州( j 一历) z i * e ( i z 动一1 皖司 由于k l ，经计算可得 瓦0 2 吼x ：。暴j z = o = 写i v ( 隅) = 墨k 轧a 锄i z ：oa 诎甄j “”“一”“ 一0 2 x o z c , o 面k 。= 器卜。l ：o0 f 抚i l z ：o 。 百0 。2 。x 。口_ 1 ：。= 瓦0 2 扼x 。i 。：。= 。，a w c ，。卢1 ：= oa 叫1 9 虿s 1 2 = o 。 其中 轧= 瑟牡嚣 将上述( 6 ) ，( 8 ) 式结果代入( 4 ) 式，则有 彘卜y 7 ， a 2 9 i 丽丽i 。2 o 0 2 y i。 百；而l 刎2 ” 0 2 9 ly ， 石乏鬲孔：0 2 i 如口 其中，卢= 1 ，2 ，n 一1 当且仅当k = s ，f = 时a ：卢成立 ( 7 ) ( 8 ) 第二节化m o n g e - a m p 6 r e 方程为常微分方程 1 3 a e t c，。，c。，”+，=aet(i。要】二，=c鼍，“一1y， d e t ( g q 万( ：，”) ) = d e ( g 面( 。，u f j f 0 尸= ( 丢) n - - 1 y ，| ，凡1 2 ( 丢) “一1 y 7 = n c n + 1 1 而( y n - l y , ) , y n - 1 + ( n + 1 ) 竺h = o (y ) 。 一 整理并将y ( 耻土n + l 一器x 代入得 由此可得 即 其中e 为一常数 由 于(y赢n-ly,百),+-2yn1 y1 一( n + 1 ) 兰x = 。f 一 7 1 ” x ( y “一1 l ，) = ( y “+ 1 ) 一 n - l ( y “) x y n 一1 y ，= y n 十1 一查二! y “+ c n 赛= ( y al n + l 钮 ( 9 ) 第二节化m o n g e - a m p 6 r e 方程为常微分方程 1 4 y = _ o g + n + l l o w 上式对v ( z ，u ) ，成立 w 觌= 0 = 。， 由此得y ( o ) = i 鲁于是可解出( 9 ) 式中的常数g ， g = 端n1n i + r 下 设g 满足m o n g e a m p & e 方程，则由上述推导可得 g = 熹忉【( 萎) “y 蚀( ，一z 2 ) 山+ l + 击) 】， 一y l 等n 等带， ly ( o ) = 击 、。 叫 这个问题的解是不唯一的但是，若9 是问题( 1 ) 的解，即g 满足m o n g e a r n p 6 r e 方程而且满足( 1 ) 式中的边界条件，那么g 生成的e i n s t e i n k i i h l e r 度量是完备的而 且是唯一的因此在下一节对e i n s t e i n - k g h l e r 度量下，的全纯截曲率的估计，包 含了对完备的e i n s t e i n - k i h l e r 度量下玎，的全纯截曲率的估计 注意到d e t ( 9 。i ) = k 1 一“y ”一1 y i j 0 ，对v ( z ，w ) 玢，成立若令 叩) ：y n + l - - 学n 滞， 由( 1 0 ) 式，则有g ( y ) o 对v x ( o ，1 ) 成立因g ( i 击) = o ，又 g c 击，= ( 击) ”1 。 第二节化m o n g e - a m p r e 方程为常微分方程 所以 j o ，使g ( i 玎a d ) o ，由单调性可知 y ( x ) 击 又由( 1 0 ) 式有y ( x ) 0 综上所述，对v ( z ， ) h ，有x o ，1 ) ，y 陋) i 鲁，y 7 ) o 又由( 1 0 ) 式可得 拈c 卜y ，( 卜杀哥耋y k - i y n - k ) ， 其中 、f y 71 1 ) y n i n - i - 1 ) x 妒y 一h 瓦焉磊面j 研可忑4 y ， c + 为任意正常数，这是问题f 1 0 ) 式的隐式解 第三节全纯截曲率 我们已知 g ( z ，叫) = 再11 l k y ) “一1 y 出t 一z 刁一p + 1 + 去 ， 这里y 是问题( 1 0 ) 的解，则9 ( 。，口) 生成b ，的e i n s t e i n - k 置h l e r 度量而f 在此度 量下的全纯截曲率有如下形式： u cc毛”，a。，”，=生竺卫尘上盂警三考善；擎 其中 d 2 杀万= 去瓦 度量方阵t = ( 乳i ) ， 因为全纯截曲率在全纯自同构变换下是不变的，而对任意的w ) 蚱f ，存在 f 0 a u t ( y 1 1 ) ，使得f o ( z ，u ) = ( o ，i ) ) 所以，只须计算u ( 毛 ) ，d ( z ，”) 在( o ， + ) 点 的值即可由引理4 我们有 t “z ，训) ，网，= j f o t ( o ，叫+ ) ，可f i 啊了毛， 而我们已知 和 如 a ， o z 0引 o w ( 筹) z o = z = i 1 础( ，一囫一蛔纠w e i o d e t ( i z z l 一雨1 瑰 、 0 r 第三节全纯截曲率1 7 若记 则代入计算得 卜t n 乃r 1 。2 ) a l ：耳y - x x a 。- x 。+ 可x y - x x a - x e ( z ) 。丽 a - = 耳。s + 可e ( z ) 。丽 五。= ；础( i - z _ ) _ k e ( z ) t 乃l = 1 - - t 1 2 = y - - - k 面d 以( j 一牙z ) 一霄i - - e 而 b 2 = y d e t ( 1 一z 牙】一专 其中a ，阻万x a 。- 。，e ( z ) 见引理i 和引理3 而 直接计算可得 砸：f ，? - z1 d d t 2 1d d t 2 2 - d 日l = 2 。耳y 百o i xd 【a 再a - 。+ 丢d 【a 万a 7 。 + 罢考d ” a j - a 。- x 。+ - ：y + x y o x ：4 = 。+ + 等( 扭( 列丽删z ) t d 硐 y f 车x y “ k 2 x d 1e ( z ) e t z 、， 2 2帆啦衄l 耋| ，ji、 = 刃 第三节全纯截曲率 1 8 衄z = ( 。v , 芝k a x a + 善喜d w ) ”抛( ，一z 动一壶e ( 纠 + ；如抛( i - z 动一古e ( z ) + ；”抛( ，一厕一专d e ( 别 + 暑毗啦一厕一壶打 ( i - z z ) l d z 司即) c 喝，= ( v 。- 望k 皇5 _ x d + 罢吾幽) 面掘( f 一虿z 卜i - - e 丽 + 若_ d e 啦一孑矿如一虿矿1 - 2 d z 丽( z ) + ；碱哪一- 2 z ) 一专d 丽 皿z = ( p 瓦o x d 如十y ，言d u ) 抛( i - z - ) - 击 其中 + - - - d 甜( i - z 牙) 一专打 ( i - z z ) 一1 d z z n d e ( z ) 。= ( 州( ，一z 西一1 凹z ( ，一z 2 ) 一1 e l 司， t r ( i z 牙) d z z c x z z ) 一1 罐f z n ， 。，打 ( ，一疗) d z 艺( i z z ) 一1 岛刁) 2 d e ( z ) = ( t r 【( j 一劢) z d z ( i z z ) 一1 盯1 z + ( 一牙z ) 一1 日l d z ， 打 ( ，一虿z ) 一1 - z d z ( 1 一- 2 z ) 一1 f z + ( ，一z z ) 一1 f d z ， 。一，押 ( ，一z z ) 一1 z d z ( i 一牙z ) 一1 z + ( ，一言z ) 一1 据 ) 第三节全纯截曲率 1 9 d z = d z l i 1 ， 历4 。2 1 l ， 历“印1 去 d z 2 2 诱1 4 印2 令z = 0 可得 d e ( z ) = 0 i z = d 我们计算d a 2 万- a 。 。 i z = o 扣 历“锄 d e ( z ) l = d z 1 z = 0 令b = j 一艺z ，则d a 。万a 。_ 。= d b b 一1 】。 因为 d b = 一z d z d b = 一b 一1 d b b 令 b = ( 咏) l g ，t 9 ，b 。= ( 喙) 1 甄t 9 则 b b - 1 ，中第( j r ) 行第( s ) 列的元素为 其中 则 6 ( j r ) ( k s ) = r p k s ( b h b ；+ 6 ；。酵女) f 土 p j ，= 以 l1 j = r 歹r d b ( j r ) ( k s ) = 聊r p 如( d 吁曲：。+ 哼k d 睇。+ d b ；。酵十譬。d b * k ) 又d 吼= 一嗡d b ，口6 函d b r g = 一i _ d z ” 故 j 拍耻s ) 乙= 0 第三节全纯截曲率 即 将上述代入计算得 继续计算 d a 才x a 。_ 。l l z = 0 d bl _ b - a 】5 i = 0 l z = 0 矾j ：善础j i z = o k d t l 2 l= 0 i2 = o d t 2 l i：i y i 面出 1 2 = o k d t 2 2 l = y ”础 l z = o 第三节全纯截曲率2 1 砜= ( 姜鑫a 研e e 善o x a x - - + i y i x 两o x - - 卸抛+ ；嘉丽_ 万一a 。司。 1 y 7 + 耳删- 才。a 司s + ( ；筹瓿+ 夏y t i x a w ) 舭删砘 + 瓦y 磊o x 卸- 州五a 孔 + 五( 掣篆+ 1 y t + r x y + ( 竽篆+ y + + x y “ k 2 x d w ) e ( z ) 可可 x d w l ( 再( z ) 。百而+ e ( z ) 丽) + 刁( 器) ( z ) t e ( z i 删z ) 厕) + 1 x 万y t ( d d _ e ( z ) 砸丁+ 衄( z ) 。五硒t 十弛( z ) 。d 郦玎+ e ( z ) 。a d _ 两) 其中 五e ( z ) = ( 打 ( j 一至 动z t z f f z z ) 一1 j 玉刁+ ( 一z z ) 一1 j i i a 乏 t r ( x z - g ) 一1 z 习z ( ，一z 牙) 一1 f 司+ ( ，一z 字) 一1 哨砺， 打f ( ，一z z ) 一1 z - 弦( i z 动一1 刁+ ( z 动一1 五牙) 第三节全纯截曲率 d e ( z ) 。= ( 打 ( ，一乏z ) - z d z ( i z z ) 一1 ，：1 z + ( ，一z z ) 一1 贯1 d z t 7 【( ，一牙z ) 一1 z d z ( i 一牙z ) 1 z + ( ，一牙z ) 一1 i ；l d z ， 打1 ( i 一牙z ) 一1 j 芋。旧( ，一j i z ) 一1 岛z + ( ，一- 2 z ) 一1 ；6 z j j d e ( z ) = ( 押 ( ，z s ) - 1 d z 夏j z 牙) 1 j 玉习 打 ( ，一z 苫) 一1 d z 牙( x z 劢一1 f 司， 打【( ，一z s ) d z - z ( i z - 2 ) 1 臻司) 令z = 0 得 习e ( z ) 。1 f z = 0 代入得 类似计算有 若令 注意到 d d t l l i ：0 扭( z i 2 d z , z = o扭( z 乙li z = 0 d d t l 2l ；：0 0 d a 五a 。习。l = 0 i z = 0 学2 h 可x y 吲2 1 + 雨x y i 君1 - 出 + 丢yd - d 舸鲥2 习。l + 面“4 解鲥2 习s 乙 型! d 。拶 k 一 孤l b = t x y + y d - - w 如 刁唰删= ( 删，+ y 吲埘+ 半例2 a 芷r + a r t 一1 i 尹i 。：。= ( 三：r r ：1 ：2 ) 一k 。= ( 第三节全纯截曲率 2 3 将d t ，d d t 表达式代入计算得 = ( 丽x y 2 一半枷阳一可x y 蚓2 1 _ 雨x y i 砒_ 。 一丢雄删_ 匕 = ( 百x y r 2 一半) 如意 r 2 1 = 冠2 r 2 2 ( 百x y t 2 一半凇z i 2 + ( x f y 2 一x y w y ，) i d o l z 利用( 1 0 ) 式，经计算可得 令 则有 y 2 _ 寻y + 品ny 一1 面x y r 2 一孚= 一型( 一n c ky n + 1 ) k yk ” j 百x y 2 一x y 一y ” y _ ( 2 + 专芈) y 2 “= z a 。- a x a 。_ s = z b 一x b “】。 u ：b i z b 一1 第三节全纯截曲率2 4 其中u 是由“排成的一个p 阶对称矩阵 u = 1 m 1 历毗2 历“2 1 地2 1 历m p 历她p 11 刁嘶1 砺“p 2 坼 经计算得d d d u i = 2 d z 夏d b 。1 l z = 0 故有 将上述代入，则有 x b 一1 s ，d d d u z = o = 4 犯历越 d z d d a 万_ 】。j君：；d - 也f 万。 i z = o z l z = o ：打( d - d u f历) z l z = o = 2 t r ( d z d z d z d z l ( d z ，幽) 【- d d t + d t t 。行】面方 d z r l l 瑟+ d w r 2 l 瓦+ d z r l 2 面6 + 砒岛2 面。 = 一万2 y 2 ( 1 1 一寻十两c ) 俐4 一页2 y 打( d z d - z d z 砺( d z 面d z d z )= 一j 万( 1 一i i _ 十两) i d 。i 一i 打 t 4 y y ( 1 一哥n 。c d z m 1 2( 2 十芈) y 心i d w l t 这样就得域y ，在e i n s t e i n - k a h l e r 度量下的全纯截曲率 ，。 第三节全纯截曲率 吾打( d z 蕊手d z - ) 呈餮兰( 1 一器) i d o l 2 i d 埘2 ( 1 + n 专甲n 竹- lc ) y 堙i d w f 4 ( 若i d z l 2 + y i d u l 2 ) 2 ( 蔷i d = 1 2 + y ，i d 训2 ) 2 。 ( 若l d z l 互_ 干了可夏：i j f 其中g = 筹 下面我们分情况对曲率进行估计 ( i ) 当k ：+ 南时，则有入n + 1 g o 取e = 丽嘉如果n 2 ，即p 1 o 志刍 - 即0 e 1 由( 1 1 ) 式，有 一i 1u = e + 盖! i 二三一= 二兰量- = j i i i ；崔：兰；主三燮 错( 耳君与如1 2 一y i d w l 2 ) 2 + ( 1 一) 型等l d z l 2 i d w l 2 + ( 1 5 ) y ，z i d 1 4 ( y l d z l 2 + y l d 1 2 1 2 因为y ( x ) 矗，于是 一 第三节全纯截曲率 l 互u e + 若( 1 一s 一秽一 雒( 学) ”) i d z l 4 + 耳y 打( d z 一握a z a z ) ( ；i 出j 2 + y 7 i d w l 2 ) 2 f y ( ( 1 一) 奢了一末暑) l d z l 4 + 若t r ( a z d z d z d z ) yk t r ( d z d z d z d z ) 一甍装半蚓4 一k 2 ( 丢盼1 2 + y l 如i 2 ) 2 因为i d z l 2 = 押( d z 砑) ，应用引理5 ，有 归1 时丢器警 一y ( 1 一! 骅) 打( d z 面d z d - z ) 一+ 一k 碍面再丽面阡一 下面只需证明 i 2 ( p r + 了1 ) p 1 时显然成立 所以u 5 咄一志 。 当p = l 时，n _ 2 1 a = 2 k “y 竿，品 曼 一 4 u 兰一； o ( i i ) 当；一歹玎1 ：十歹击时，则有n 一1 a n 十l ，c + 学c 半r 1 = 蛙掣 。 u 0 ，并注意到 = g ( p + 1 ) + 1 ，n = p g o + 1 ) 2 + 1 ，