（基础数学专业论文）迭代微分方程解析解与光滑解的研究.pdf

山东大学硕士学位论文 迭代微分方程解析解与光滑解的研究 赵侯宇 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 非线性科学已成为当今科学研究的一个热点，其中迭代动力系统扮演着 十分重要的角色对迭代动力系统的研究必然涉及迭代微分方程问题迭代 微分方程是一种具有复杂偏差变元的方程，其时滞不仅依赖于时间而且依赖 于状态或者依赖于状态的导数甚至状态的高阶导数这类方程是与已经形成 了系统理论的传统的泛函微分方程( 滞后型、中立塑与超前毽) 不同的新型方 程它有很强的实际应用背景。在经典电动力学中的二体问题，一些人口模 型、日用品价格波动模塑、以及血细胞生产模型都有所涉及本文将研究两种 类型的迭代微分方程的解析解和光滑解 本文的第一章介绍迭代、迭代与动力系统、迭代微分方程的有关概念和发 展状况，以及为第二三章的证明提供必要的理论基础 迭代微分方程与常微分方程有很大的不同，由于未知函数迭代的出现， 严重影响了解的性质，因此常微分方程中的存在唯性定理不能直接使用迭 代微分方程是否有类似于常微分方程的存在性，唯一性和连续依赖性定理是 一个需要回答的问题本文的第二章第一节，第三章对两类迭代微分方程解析 解的存在性和解的构造进行了研究它是首先利用s c h r s d e r 变换把迭代微分 方程化为不含未知函数迭代的非线性微分方程，再利用优级数方法得到解析 解的存在性，进而还利用s c h r s d e r 变换、幂级数理论，来研究这类具有相当 广泛性的非线性迭代方程解析解的存在性问题，在方法上要求其解在不动点 处的特征值不在单位圆周上或在单位圆周上但满足d i o p h a n t i n e 条件本文要 解决的解析解问题也涉及解在不动点处特征值的分布当特征值处于单位圆 山东大学硕士学位论文 周上时收敛性是很复杂的，我们不仅在d i o p h a n t i n c 条件下( 特征值“远离” 单位根) 证明了形式解的收敛性，而且在非d i o p h a n t i n e 条件下( 收敛性等同 于著名的。小除数问题”) 也取得了一些进展文章中我们突破了d i o p h a n t i n e 条件的限制，在a 是单位根的情形，在较弱的b l j u n o 条件下给出了解析解结 果 迭代微分方程连续解和可微解的存在性、唯一性和稳定性已有许多结果 但在研究高阶光滑解的存在性、唯性和稳定性时，由于函数的高次迭代的高 阶导数的表达涉及复杂的计算而遇到困难本文第二章第二节利用不动点定 理得到了一类一阶迭代微分方程高阶光滑解的存在性、唯一性、和关于已知常 数的连续依赖性定理，得到了与常微分方程类似的结论 关键词t 迭代；迭代微分方程；光滑解；解析解 i i 山东大学硕士学位论文 a n a l y t i cs o l u t i o n sa n ds m o o t hs o l u t i o n so f i t e r a t i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s h o u y uz h a o ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 1 0 0 ，p r c h i n a ) n o n l i n e a rs c i e n c ei so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tt o p i c si nt o d a y ss c i e n c e s t h e t h e o r yo fi t e r a t i v ed y n a m i c a l 玛噶t c 糊p l a y s 髓i m p o r t a n tr o l ei nn o n l i n e a rs c i e n c e t h es t u d yo fi t e r a t i v ed y n a m i c a ls y s t e m si n v o l v e si t e r a t i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e ya r ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e v i a t i n ga r g u m e n to ft h eu n k n o w nf u n c t i o n ， a n dt h ed e l a yf u n c t i o nd e p e n d sn o to n l yo nt h ea r g u m e n to ft h eu n k n o w nf u n c t i o n ， b u ta l s os t a t eo rs t a t ed e r i v a t i v e ，e v e nh i g h e ro r d e rd e r i v a t i v e s s u c he q u a t i o n sa r e k h l d so fn e wf u n c t i o n sq u i t ed i f f e r e n t 丘舢t h eu s u a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( r e t a r d e d f d e ，n e u t r a lf d e ，a d v a n c x x lf d e ) w h i c hf o r m e das y s t e m i ct h e o r y i th a sb e e n u s e di nm a n yf i e l d s ，t h et w o - b o d yp r o b l e mi nac l a s q i ce l e c t r o d y n a n t i c s ，s o m ep o t m - l a t i ( mm o d ( 、l s ，蛳) i i i cn m d h 垮o fc o u u n ( 1 i t yp r i c ef l u t t u a t i o m sa n dm o d e l so fb l o o dc e n p r o d u c t i o n sa r eg i v e ni nt h ef o r mo fi t e r a t i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i sp a p e rw e s t u d yt h ea n a l 3 t i cs o l u t i o n sm i ds m o o t hs o l u t i o n so ft w oc l a s s e si t e r a t i v ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i nc h a p t e rl ，c o n c e p t sa n dd e v e l o p p i n g so fi t e r a t i o n ，i t e r a t i o na n dd y n a m i c a l s y s t e m ，i t e r a t i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o na r ei n t r o d u c e d i tp r o v i dt h eb a s i ct h e o r y - f o r t h en e x tt w oc h a p t e r i t e r a t i v ed i f f e r c j l t i a lt n u a t i o n sa l eq u i t ed i f f e r e n tf r o me l d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sf o rt h ea p p e a r a n c eo fi t e r a t e so ft h eu n k n o w nf l m e t i o n ，w h i c hh a sa f - f e c tt h es o l u t i o ng r e a t l y , s ot h ec l a s s i ce x i s t e n c et h e o r e mf o rt h eo r d i n a r yd i f f e r e n - i i i 山东大学硕士学位论文 t i a le q u a t i o n si sn o ta p p l i c a b l e f o ri t e r a t i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h e t h e re x i s t e x i s t e n c e ，u n i q u n e s sa n ds t a b i l i t yl i k eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si saq u e s t i o n w h i c hn e e dt ob ea n s w e r e d i nc h a p t e r2 ( s e c t i o n1 ) a n dc h a p t e r3 ，w es t u d yt h e e x i s t e n c eo fa n a l y t i cs o l u t i o n sa n dt h es t r u c t u r eo fs u c hs o l u t i o n sf o rt w ok i n d so f i t e r a t i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w eu s et h es c h r s d e rt r a n s f o r m a t i o nt oc h a n g et h e i t e r a t i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nt oa n o t h e rw i t h o u ti t e r a t e so ft h em l k n o w nf u n c t i o n 。 f u r t h e r ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fa n a l y t i cs o l u t i o n so fs u c ha ne q u a t i o nb ym e a n s o fm a j o r a n ts e r i e s w ea l s ou s et h es c h r a l e rt r a n s f o r m a t i o n ，p o w e rs e r i e st h e o r yt o d i s s c u st h ee x i s t e n c eo fa n a l y t i cs o l u t i o nf o ra ne x t e n s i v ec l a s so fn o n l i n e a ri t e r a t i v e e q u a t i o n s i nm e n t h o dr e q u i r e st h ee i g e n v a l u e so ft h es o l u t i o n sa tt h e i rf i x e dp o i n t i so f ft h eu n i tc i r c l eo rl i e s0 1 1t h eu n i tc i r c l ew i t ht h ed i o p h a n t i n ec o n d i t i o n i nt h i s p a p e r ，t h ee x i s t e n c eo fa n a l y t i cs o l u t i o n si sc l o s e d l vr e l a t e dt ot h ed i s t r i b u t i o no f e i g e n v a l u e so fe i g e n v a l u e so fl i n e a r i z e ds o l u t i o n sa tt h ef i x e dp o i n t t h ec o n v e r g e n c e o ff o r m a ls o l u t i o n si sv e r yc o m p l i c a t e dw h e nt h ee i g e n v a l u e sl i eo nt h eu n i tc i r c l e w en o to n l yp r o v et h ec o n v e r g e n c eo ft h ef o r m a ls o l u t i o nu n d e rt h ed i o p h a n t i n e c o n d i t i o n ( i e e i g e n v a l u e si s ”f a rf r o m u n i tr o o t s ) ，b u ta l s on m k ep r o g r e s s e sw i t h - o u tt h ed i o p h a u t i n ec o n d i t i o n ( i e t h ec o l l v t j r e n c ei se q u i v a l e n tt ot h ew e l l - k n o w n ”s m a l ld i v i s o rp r o b l e m s ”) w eb r e a kt h r o u g ht h er e s t r i c t i o no fd i o p h a n t i n ec o n d i - t i o nm a do b t a i nr e s u l t so fa n a l y t i cs o l u t i o n si nt h ec a s eo fu n i tr o o toa n db o u n o c o n d i t i o nw h i c hw e a k e rt h a nd i o p h a n t i n ec o n d i t i o n a l t h o u g l lt h e r ea r em a n yr e s u l t so ne x i s t e n c e ，u n i q u n e s sa n ds t a b i l i t yo fc o n t i n - 1 1 0 1 1 8s o l u t i o n sa n dd i f f e r e n t i a b l e s o l u t i o n sf i ，ri t e r a t i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i n m b e c a u s e o fc o m p l i c a t e dc o m p u t a t i o nf o rh i g h e ro r d e rd e r i v a t i v e so fh i g ho r d e ri t e r a t i o n ，i t r e m a i n sd i f f i c u l tt os t u d yh i g h e ro r d e rs m o o t h n e s s i nt h es e c o n dp a r to ft h ec h a p t e r 2 ，w et l s et h ef i x e dp o i n tt h e o r yt og i v ee o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c e ，t h eu n i q u n c s sa n d t h es t a b i l i t yf o rh i g h e ro r d e rs m o o t hs o l u t i o n so ft h ei t e r a t i v ed i f l e r e n t i a le q u a t i o n ， t h e nw eg e tt h e s i m i l a rc o l u s i o n sw i t ho r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s k e y w o r d s ：i t e r a t i o n ；i t e r a t i v ed i f f e , r c u t i , de q u a t i o n ；s m o o t hs o l u t i o n s ；a r i a - l y t i cs o l u t i o n s i v 山东大学硕士学位论文 n z z 上 r r ” k c 广p ) h ，l i 符号说明 自然数集 整数集 正整数集 实数集 n 维欧氏空间 正实数集 复数集 ，( z ) 的死次迭代 ，的范数 v 原创性声明 本人郑重声明。所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行研究所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本论文 的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名。叁亟望日期；! 坠兰璺兰9 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存论文和汇编本学位论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 日期：翻豳加叼 山东大学硕士学位论文 第一章引言 我们常常把一些相互联系并不断变化发展的事物称作一个系统这些事 物，既可以是自然科学中的某些物质，也可以是社会客体和组织等抽象的事 物一个系统如果其历史和未来完全由某一时刻的状态所确定，或者说只要 知道它在某一时刻的状态，就能准确的预测它的未来的命运并能回溯它历史 发展过程，则称之为决定性系统动力系统就是要研究一个决定性系统的状态 变量随时间变化的规律根据系统变化的规律可分为由微分方程描述的连续 动力系统和由映射迭代揭示的离散动力系统连续动力系统以经典力学为背 景，其历史可追溯到1 9 世纪末p o i n c a r 6 刨立的微分几何，而以迭代为背景 的离散动力系统的研究则始于一百多年以前。由数学家e s c h r d d e r 、n h a b e l 、b b a b b a g e 等人创立的迭代论在近代自然科学如物理学，化学、天 文学、力学等学科的关注和推动下，动力系统理论，尤其是关于迭代动力系统 的理论发展十分迅速取得了一些重大发现如关于周期性的s h a r k o v s k y 序、 关于分岔的f e i g e n b a u m 现象、关于运动复杂性的s m a l e 马蹄等，所有这些都 极大的促进了动力系统的发展 大量的物理，力学，生物学以及天文学问硒的数学模型都足由连续的和离 散的迭代过程描述的因此研究由微分方程描述的连续运动和映射迭代描 述的离散运动都是现代动力系统的重要课题许多惊人的发现都是通过对映 射迭代的研究而产生的例如，作为2 0 世纪最重要的成就之一的kam 理 论，其主要方法就是映射的迭代迭代甬数方程与迭代微分方程都是映射迭代 的等量形式在自然界中，许多复杂的现象是由迭代函数方程与迭代微分方 程描述的例如，在离散动力系统中研究映射的倍周期分岔时，描述倍周期分 岔的酱适性的具体表现就是重正化群方程。即费根鲍姆( f c i g c n b a u m ) 函数方 程： 9 ( z ) = - g l q ( - 三) ，夕( o ) = l ， 这就是一个迭代函数方程微分方程中的不变流形，h a m i l t o n 系统中的不变 环面和不变曲线，都可归结为对迭代函数方程的研究再例如，在研究描述经 典电动力学中的二体问题，研究与遗传现象密切相关的生物学问题都涉及到 迭代微分方程鉴于迭代函数方程与迭代微分方程在理论上和应用上的重要 性，本文作者的研究主要在迭代微分方程的定性理论方面展开工作 1 山东大学硕士学位论文 1 1 迭代 所谓迭代，可看作同一运算或操作的多次重复自然数的乘法n 七，可看作 加法运算，即七个g 的累加，或甬数f ( x ) = x + a 的迭代在彤j 二的线性变换 以的多次重复下，空间j 护中任意一点z 将生成一动态轨迹z ，h ，a 2 z ：a 3 x 迭代产生了动力系统，迭代产生了复杂性 迭代是自然界和人类社会中的普遍现象大量的物理、力学、生物学以及 天文学问题的数学模型都是由连续的和离散的迭代过程描述的因此，研究映 射迭代描述的离散运动是现代动力系统的重要课题许多惊人的发现都是通 过对映射迭代的研究而产生的例如，作为2 0 世纪最重要的成就之一的k a m 理论，其主要方法就是映射的迭代因此，研究迭代的规律非常重要 若秒是札的函数，即秒= ，( 让) ，而札又是z 的函数，即孔= 9 0 ) ，则称y 为 z 的复合函数，记为剪；，( 9 ( z ) ) 或秒= fo 9 ( z ) 一些简单的初等函数经过复 合，会变得十分复杂同一个甬数f ( x ) 的多次复合，( ， ) ) ，( ，( 厂( z ) ) ) ， 称为函数，( z ) 的迭代为简单起见，记 ，1 ( z ) = ，( z ) ，住( z ) = f ( f n 一1 ( z ) ) 特别地，记，0 ( z ) 兰z 迭代是复杂的看似简单的函数f ( x ) = t 一z 2 和，0 ) = s i n x ：其1 1 次迭 代的函数性质不仅十分复杂，而且当7 l _ o 。时的极限行为还会出现许多意想 不到的事情非线性甬数的复杂性常常通过迭代而被放大了 迭代是普遍的经济生活中，如果本金，以利率r 借贷n 年，若按复利 累计，其总和应为a 。= p ( 1 + r ) “显然，a 礼是函数n ( z ) = 丁( 1 + r ) 的迭 代在科学实验中，我们常常通过对初始状态到当前状态的记录，来分析系统 运动的规律x - 射线的透射、流体的渗流、生物体的生长、计算机的运行等 过程中都包含了迭代现象在数学中，一切递推关系都是迭代等差数列和等 比数列当然是迭代的产物，微分方程解的p i c a r d 逼近就是一个迭代过程考 虑c a u c h y 问题 i 爱z ( ) = f ( 1 ，z ( ) ) t 。，：黝 2 山东大学硕士学位论文 其p i c a r d 序列z 。( ) 如下定义 f 础) 2 黝 l ( 亡) ：翮+ ，( s ，z n 一。( s ) ) 如 它是算子 i t r x ( t ) = 如+ ，( s ，x ( s ) ) d s j t o 迭代产生的因此微分方程的数值解就是用迭代的方法来研究微分方程在分 析向量场时我们常常讨论返回映射或p o i n c a r d 映射例如微分系统 j ，亳= 即 秒) l 害= q ( t 焉秒) 其中p ，q 是连续可微的且关于t 具有周期t 设其关于初始条件? ( o ) = ，v ( o ) = 叩的解记为z ( t ；，印) ，! ，( t ；f ，7 ) 那么，( ：印) 一 ( z ，印) ，彰( z ，田) ) 定义了个连续映射i i ：铲一舻称为p o i n c a r $ 映射通过这样的方法把 闯题化成映射的迭代来解决因此，把迭代的数学原理搞清楚是十分必要的 1 2 迭代与动力系统 设x 是一个集合，和g 是定义在x 上的自映射fog 表示映射， 和g 的复合，即 ( ，o 箩) ( 茹) = ，( 夕( z ) ) z x 由此便可得到迭代的定义 定义2 2 1 设，：xhx 是集合x 到自身的一个映射，记 j r n ( z ) = f 0 1 - 1 ( z ) ，尸( z ) = z 其中佗为正整数，称尸 ) 为，( z ) 的咒次迭代，并称扎为广的迭代指数 从定义可见， 广= i d ，仇of “= i “却 其中i 矗表示恒同映射，映射的迭代构成了一个半群，如果厂是拓扑空间x 上 的连续映射，其迭代被认为是构成了一个离散半动力系统 r 厂佴：礼z + ) ，如 3 山东大学硕士学位论文 果，在x 上是一个同胚，其迭代构成了一个离散动力系统 广：n z 定义2 2 2 一个映射砂( t ，z ) ：r xhx 称为集合x 上的一个流，如果对 v h ，1 2 己，z x ( i ) 0 ( 0 ，z ) = z ， ( i i ) ( l + 1 2 ，z ) = ( l ，( 2 ，z ) ) 如果上述l 仅在r + 上有定义，则称0 ( 1 ，z ) 为一个半流 定义中的集合x 如果是拓扑空间，而( ，z ) 连续，这时我们称为x 上的一 个连续( 半) 动力系统如果x 上有伊微分结构，且妒( ，x ) 也是r 阶连续可 微，则称为流，对连续流进行离散采样，即若上述定义中的t z ( z + ) ，记 f ( x ) = 妒( 1 ，z ) ，其中( 1 z ) 称为流的时间1 一映射，则称 胪i k z ( z + ) ) 为x 上的一个离散( 半) 动力系统反之，映射f ：i 一，如果有( 友z ) ，使 得( 1 ，z ) = 尸( z ) ，则称p 可嵌入流( 半流) 迭代作为决定性过程的数学模型，有着鲜明的实际背景，事实上人们在生 活中常常遇到这样的系统t 系统在时刻t 的状态托由其在初始时刻和初 始状态五。及差一t o 决定 托= r ( t t o ，) 如果我们每隔个时间单位作一次观测，则第n + 1 次观测到的状态x t 。+ 。= f ( t 。+ l t n 置。) 由于“+ l k = l ，记f ( x ) = f ( 1 x ) ，则我们有托。+ 。= 声m + 1 ( x 。) ，即化为迭代因此，通过对，的迭代的研究，可以预测系统在未 来的状态和发展趋势我们还可以对微分方程的解曲线通过时间1 一映射化为 迭代来进行研究，事实上微分方程的许多定性问题都可以化为拓扑空问，上二的 连续映射的迭代来处理。 设，为拓扑空间x 上的一个同胚，七为，的k 次迭代，称集合 d ，b f ( x ) = ，七( z ) ik z ， d r i ) ；( z ) = ，七( z ) ik z + ， o r b - 7 ( x ) = 厂七( z ) ik z + ) 为离散动力系统，过点义的轨道、正半轨、负半轨显然我们有to r b f ( z ) = 0 1 姊( z ) uo i 由7 ( z ) 如果存在自然数p ，使得广( z ) = x ，则称z 为，的周期 点，满足这一关系的最小自然数p 称为x 的周期，并直接称石为伊周期点 4 山东大学硕七学位论文 当p = 1 时，z 称为不动点分别用p e r ( f ) 和f i x ( f ) 表示，在x 上的所 有周期点和不动点的集合，显然有f i x ( f ) cp e r ( f ) ，过周期点的轨道称为周 期轨道，它必定为有限轨道，反之亦然 定义2 2 3 如果存在序列啦_ 十( 一o o ) ，l _ + o o ，使得n 她- + 广t ( z ) = 跏则点知叫做，的u ( “) 极限点 d r b ( z ) 的u ( ) 极限点的全体称为u ( q ) 极限集分别记为“，( z ) ( “( z ) ) ，并称 l ( x ) = u ) u q 扛) 为o r b i ) 的极限集 1 3 迭代微分方程 传统的泛函微分方程( 滞后型，中立型与超前型) 理论已经得到了广泛而 深入的研究并形成了系统的理论【1 6 】迭代微分方程是上述三种类型以外的一 种具有复杂偏差变元的新型方程。这种方程的时滞不仅依赖予时间，而且依 赖于状态甚至状态的导数对此类方程的研究虽然早已引起数学家的重视，但 由于研究工作具有较大难度丽进展不大，甚至对这类方程的初值问题的提法 也不尽相同进入8 0 年代以来，人们越来越多的发现了这种方程的多方面的 应用例如，在物理学、控制论、博弈论和生物学等一系列问题中都提出这种 类型的方程，显示出了它们在应用上和理论上的重要性从而激发起了人们对 它们的强烈的研究兴趣近二十年来诸研究者研究的主要问题是各种具有不 同初值的c a u c h y 问题用细致的分析技巧或借助于不动点定理证明各种解 的存在性与唯性进一步寻求这种类型方程的数学特征，对其解的特定性态 进行深入细致的分析和研究，无论在理论上还是应用上都有着重要的意义 本文在这方面的工作主要是进一步研究某些类型方程的解析解和光滑解的存 在性问题 n 阶时滞微分方程的一般形式为 名( 竹) ( t ) = h i t ，z ( t ) ，x ( t 一7 1 ( t ) ) ，z ( 一丁m ( t ) ) ) 当时滞两数乃( ) 一t 一一1 ( ) ，x j ( t ) = z0 一1 ( ) ，i = 1 2 ，m ，j = l ，2 ，i l 时，上述方程变为下列含未知函数迭代的方程 z 何( ) = h ( t ，z ( ) ，：2 ( ) ，占m ( ) ) ， 我们称这个方程为礼阶迭代微分方程 山东大学硕士学位论文 迭代微分方程有很强的实际背景例如，古典的e u l c r 几何问题可导出方 程 x ( t ) z 7 ( ) = x ( c + z ( ) ) p o s s i o n 的几何问题可导出方程 x 2 ( t ) + x 2 ( ) ( ( ) ) 2 一x 2 ( t + z ( ) z 7 ( ) ) = 1 1 9 6 5 年，k l c o o k e 1 7 】提出了生物学中极为重要的方程 一( ) + a x ( 1 一h ( t ，z ( ) ) ) = f ( ) ， 这个方程与遗传现象有关 j k h a l e 1 8 ，r d d r i v e r 1 9 1 研究了上述方程当 h ( t ，z ( ) ) = r p k ( ，z ( ) ) 的情形b h s t e p h a n 2 0 对r = l ，k ( t ) = s i n2 7 r 屯f ( t ) 一s i n2 l r t 的情形讨论了周期解的存在性迭代微分方程在经典 的电动力学【1 9 ， 2 1 1 一f 2 4 】，人口模型【2 5 ，日用品的价格波动模型【2 6 ， 2 7 】以 及血细胞的生产模型【2 8 】中都有重要应用关于这类方程的各种性质的研究 可见 2 9 1 一 4 s 1 特别需要指出的是，1 9 8 4 年e d e r 4 9 1 对方程一( t ) = z ( ) ) 作了详尽的研究，提出了区问上饱和解的概念，并用压缩映像原理讨论了解析 解的存在性 1 9 8 8 年王克 5 0 1 推广了e d e r 的结果到方程 z ( ) = ：，( z ( z ( ) ) ) 1 9 9 0 年，吴汉忠【5 1 】在e d e r 和土克工作的基础一j 二进一步改进n i j 题的讨论方 法，减弱了相应的条件后来又有葛谓高【5 2 h 5 卅和s t a n e k 【5 5 】一【57 】的工作 1 9 6 5 年，p e t a h o v 5 8 讨论了二阶方程 z ( ) = u z ( z ( ) ) 的一类边值问题，得到了解的存在唯一性定理近期有李文荣【8 0 】的工作。 1 9 7 4 年，s a r k o v s k i i 5 9 研究了方程 p ( z ( ) ，善( ，( z ( ) ) ) ，z 7 ( ，( z ( t ) ) ) + q ( z ( t ) ，z ( ，( z ( ) ) ) ) ) = 0 的解的形态 m i n s k e r 在f 6 0 】和【6 1 】中讨论了方程 m ( 砌= 掣 6 山东大学硕士学位论文 的解的形态，并提出了一些公开问题。 在解析艉秘光滑解的研究方禹； 1 9 9 7 年，露建匡等海翻讨论了 一( 刁一x n ( z ) 满足初值g m ) 一| i l 时的局部解析解，在后来的【7 翻和f 1 0 9 中分别讨论了 ( z ) 一葡1 的局部解析鳃和光滑解最近，司建圈与马明环【i i 4 1 进一步讨论了霉( z ) 一 再磊1 霹蒴的局部解析解 1 9 9 7 年，闭建国【6 3 】讨论了 ( z ) 一x ( a z4 - 如( z ) ) 在视值条件鬈( 警暑) = 点萨下豹局部鹪橱解后来，程建国等嘲又考虑了 ( z ) = c l 第( 名) - 4 - 饧( z ) 4 - + ：嚣m ( z ) ，p 汪r l - 4 - 也4 - + 0 的局部解析解。并于2 0 0 1 年降7 】进步考虑了未知数在其不动点处的线性化 特征德a 1 且满足初值条件茹( 芳) 端菩的情况我们知道 篮( 名) = 拳善( 茹7 ( ：) ) 有解z ( 2 ) 一c z 一，+ e ，而对方程 也易求得其解为 “名+ 触( 名) 一z 缸：) a 0 ，黟& 心) 一勺+ 秘警冉( a e o - 。f 1 ) 薹志n 甲矿，。 | n | q 1 9 9 9 年，司建国等【7 铆进一步讨论了 n z + 触( 2 ) 一x ( a z + b x ( z ) ) ，技：芦，8 ，b c 满足初值z ( s ) 一8 的局部解析解2 0 0 4 年徐冰、张伟年和司建国1 7 4 】在原 点的邻域内考虑 t 拜 g ) = ，( 8 ( 2 ) ) 8 = o 7 山东大学硕士学位论文 的解析解，以前对于未知数在其不动点处的线性化特征值a 不在单位圆周上 或在单位圆周上但满足d i o p h a n t i n e 条件此篇进一步突破了d i o p h a n t i n e 条 件的限制，在o t 是单位根的情形也给出了漂亮的结果2 0 0 0 年司建国和王新 平 6 9 j 讨论了 z ”( z f r 】( z ) ) = c o z + c l z c z ) + + c ，l z 州( z ) 满足x ( p ) = p ，似) = 口的局部解析解2 0 0 2 年司建国和王新平【6 8 】又讨 论了 x t o ( z ) = ( z m ( 名) ) 2 在初值条件x ( s ) = s ，( s ) = 口下的局部鳃析解另外司建国等在【6 9 ，7 0 】中 也有类似的工作 2 0 0 1 年李文荣等【1 0 6 】考虑了 z ( 哪( 名) = a z j ( x m ( z ) ) 膏 的解析解的存在性，其中七，m ? 扎是正整数，j 是非负整数，m 2 ，n 0 为 复数后来他与郑穗生等【1 0 7 ，1 0 8 】又用类似方法讨论了 l z n = n ( z m ( 彬) ) 觑 i = 1 的情况这里”，z ，七l ，缸是正整数，m l ，m 2 ，嘲是非负整数使得r 啦2 ， 且0 m 1 m 2 m l ，及a ，q l ，! 仍均不为零 1 9 9 8 年司建国等 6 4 1 考虑了方程 一( t ) = c l x ( t ) + c 2 2 2 ( t ) + + c 。z m ( ) + f ( t ) 的c n 类光滑解，后来又有了许多类似的工作关于迭代微分方程的研究，总 的来说只是刚刚开始，离形成完整的理论还有很大的距离 1 4 预备知识 在这一部分，我们给出一个霞要引理和“应满足的三个条件，这些都将 在第二章和第三章中用到本文我们将对下列三种不同情形的a 加以研究 ( c t ) 0 i n i l ； 8 山东大学硕士学位论文 ( c 2 )n = e 2 棚，0 r q ，其中0 是一个b r j u n o 数；b ( o ) = 函警 0 1 1 1 删丽1 ，e k = m a x ( q 。，芋) ，撕= 瓦q k 令以；是歹0 的集合，歹满足j a k 或对某个扎如a k 满足如- j l 玩， 且当歹l 0 ，氐r ：i = 1 ，2 ，佗y - f s p 6 t e r m a n n 在1 9 4 】中发现了方程( 2 1 7 ) 的个特解号序列f 的渐进性之 问的联系 本节我们研究方程( 2 1 7 ) ，即 ，( z ) 2 而两而豸旁弋而萨啦酞江1 2 ( 2 工8 ) 在复域l 的局部可逆解析解，并给出解析解的存在性条件，这里我们假定k c o ，) = n l + n 2 + + n 。0 实际上，如果作变换f ( z ) = 彬( r 卫z 一1 ( z ) ) ，则( 2 1 8 ) 可化为 z 7 ( ；) = j k 口( a z ) ( z ( a 名) ) 口1 ( z ( a 2 z ) ) 口2 ( z ( q “石) ) 。” ( 2 1 9 ) 为了研究( 2 1 8 ) 的解析解，我们只需研究( 2 1 9 ) 就可以了 首先，我们将m a r c u s 的思