（热能工程专业论文）大密度比物质界面在激波作用下的rm不稳定性研究.pdf

哈尔滨下稃大学硕十学佗论文 i ii_iii_ 于葡晏 当激波经过两种不同密度流体的界面时，界面获得一个有限速度，界面上 的扰动随时间发展，最终导致两种流体强烈混合的现象称为 r i c h t m y e r - m e s h k o v ( r m ) 不稳定性。界面不稳定性的研究，因其应用背景和 学术价值，在近二十多年受到了极大重视，国内外对此做了大量的研究实验。 在界面不稳定性的数值研究中，核心是对运动的物质界面的精确描述。本文 用m g f m 方法定义虚拟流节点参数，采用二阶t v d w a f 格式结合h l l c 求解器求解e u l e r 方程得到流场参数分布，应用五阶w e n o 的空间离散以及 三阶t v dr u n g e k u t t a 的时间离散求解l e v e ls e t 方程捕捉物质界面。应用该 方法对激波与物质界面相互作用系列问题进行了数值模拟，并给出了物质界 面的演化过程。根据数值模拟结果，主要针对物质界面两边密度比以及物质界 面形状对物质界面演化的影响进行比较分析，同时还对扰动增长率进行了具 体分析。数值模拟结果表明，该方法在能精确捕捉到物质界面，并且高分辨 率的捕获激波、物质界面和各类间断的相互作用。 关键词：l e v e ls e t ；改进虚拟流；t v d w a f ；r m 不稳定性 哈尔滨t 稗大学硕十学位论文 a b s t r a c t aw i d ev a r i e t yo ff l u i dm o t i o n sc a l lb eg e n e r a t e d ，f o l l o w i n gt h ei n t e r a c t i o no f as h o c kw a v ew i t ha l li n t e r f a c es e p a r a t i n gt w of l u i d so fd i f f e r e n tp r o p e r t i e s a n y p e r t u r b a t i o ni n i t i a l l yp r e s e n to nt h e i n t e r f a c ew i l l ，i nm o s tc a s e s ，b ea m p l i f i e d f o l l o w i n gt h er e f r a c t i o no ft h es h o c k t h i sc l a s so fp r o b l e m si sg e n e r a l l yr e f e r r e d t oa st h er i c h t m y e r - m e s h k o v ( r - m ) i n s t a b i l i t y i nt h el a s tt w od e c a d e st h er m i n s t a b i l i t yh a v ea t t r a c t e dt h ea t t e n t i o no fm a n yr e s e a r c h e r sa l lo v e rt h ew o r l df o r i t sa p p l i c a t i o nb a c k g r o u n da n da c a d e m i cv a l u e t h ek e yp o i n ti nt h er e s e a r c ho f t h ei n s t a b i l i t yi sh o wt o c a p t u r ee x a c t l yt h e c o n t a c ti n t e r f a c e i nt h i sp a p e r , m o d i f i e dg h o s tf l u i dm e t h o d ( m g f m ) w a su s e dt od e f i n en o d ep a r a m e t e ro fg h o s t f l u i d ，a n dc o m b i n e ds e c o n d o r d e rt v d w a fs c h e m ew i t hr i e m a n ns o l v e rh l l c w a sa p p l i e dt os o l v ee u l e re q u a t i o nf o rt h ed i s t r i b u t i o no f f l o wf i e l dp a r a m e t e r s t oc a p t u r et h em a t e r i a li n t e r f a c e ，f i f t h - o r d e rw e n of o rs p a t i a ld i s c r e t i z a t i o na n d t h i r d - o r d e rt v dr u n g e - k u t t af o rt i m ed i s c r e t i z a t i o nw e r ec o m b i n et os o l v et h e l e v e ls e te q u a t i o n t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nw a sa c c o m p l i s h e dw i t ht h em e t h o d s m e n t i o n e da b o v et o s t u d yt h e i n t e r a c t i o no fs h o c kw a v ew i t ht h em a t e r i a l i n t e r f a c e ，t h ed e v e l o p i n gp r o c e s so ft h em a t e r i a li n t e r f a c ei n d u c e db ys h o c kw a v e w a sd e s c r i s e di nd e t m l ，f o rd i f f e r e n td e n s i t yr a t i oa n ds h a p e so fi n t e r f a c e t h e g r o w t hf o ra m p l i f i c a t i o n o fp e r t u r b a t i o nw a s a n a l y s i e d w i t hl i n e a rt h e o r d n u m e r i c a lm e t h o d t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e ns h o c kw a v ea n dt h em a t e r i a li n t e r f a c a l ea c c u r a t e l yc a p t u r e dw i t hh i g hr e s o l u t i o n k e yw o r d s ：l e v e ls e t ；m o d i f i e dg h o s tf l u i dm e t h o d ；t v d - w a f ；r - mi n s t a b i l i t y 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用已在 文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体己经公开发表的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：杜庇 日期：矽| 年石月7 日 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学。哈尔滨 工程大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件。 本人允许哈尔滨工程大学将论文的部分或全部内容编入有关数据 库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文，可以公布论文的全部内容。同时本人保证毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈 尔滨工程大学。涉密学位论文待解密后适用本声明。 本论文( 仞在授予学位后即可口在授予学位1 2 个月后 口解密后) 由哈尔滨工程大学送交有关部门进行保存 作者( 签字) ：木上成 导师( 签字) 日期：卅年月| 7 日彦忉了彩月 哈尔滨丁稃大学硕十学位论文 第1 章绪论 计算流体力学( c f d ) 在近三四十年中有了突飞猛进的发展，而且正在 以更快的速度前进，推动这一发展的原因，一方面是实际问题的需要，特别 是宇航事业的需要；另一方面是计算技术和巨型计算机的出现。随着计算技术 的发展、巨型计算机的出现、计算方法的不断改进，计算流体力学己发展成 为一门独特的学科，同时也是多种领域的交叉学科。它所涉及的学科有流体 力学、偏微分方程的数学理论、计算几何、数值分析、计算机科学等。如今， 计算流体力学已经成为和试验方法、理论方法并列的流体力学研究的重要手 段。计算流体力学在某种意义上比理论与实验对运动过程认识更为深刻，更 为细致，不但可以了解运动结果，而且可以了解运动整体和局部的细致过程 【。另外，计算流体力学可以从理论上分析暂时还弄不清楚的问题，还可以 替代一些危险的、昂贵的甚至于难以实施的实验。 1 1 界面不稳定i 生研究的目的和意义 本课题主要研究流体界面不稳定性的数值模拟方法。在流体力学的研究 中，存在所谓的界面不稳定问题。它描述的是当两轻重流体的交界面受扰动 的时候，处于方向由重流体指向轻流体的有效重力场中或受到冲击波作用时， 扰动将发展，界面将失稳，两种物质将会发生湍流混合，这种不稳定性即被 称为界面不稳定性。重力场作用下发生的不稳定性，人们常称为 r a y l e i g h t a y l o r ( 简称r d 不稳定性【2 】，激波作用下的不稳定性则常称为 r i t c h m y e r m e s h k o v ( 简称r m ) 不稳定性【3 1 。 本文的重点研究对象是r m 失稳，它是指当激波以一定的速度扫过密度 分界面后，加速界面所导致的不稳定性。激波与密度分界面的作用有着深厚 的实用背景。激波扫过密度界面后导致界面两边流体混合增加的机理可直接 应用来增加航空发动机燃料与空气的混合从而提高燃烧效率；而对激波导致 界面失稳的研究则有助于对激光控制热核聚变的了解【4 1 。这一切证实了对界 哈尔滨t 程大学硕七学位论文 面失稳的研究具有重要的意义。 对激波与密度分界面相互作用的问题，数值模拟和实验研究是两个主要 的研究手段。实验研究具有客观性和可靠性等优势，而数值模拟的优点则体 现在可重复性以及细致性。由于数值模拟条件的限制，使得人们对算法提出 了较高的要求。由于流场中出现强间断，为了防止在流场中产生非物理振荡， 我们必须在算法上采取相应的措施。 1 2 国内外研究的现状 r m 不稳定性无论是在自然现象中还是在技术应用上都称得上是一种基 本的流体不稳定性。在天文学中，它可以被用来解释超新星的爆发机制和各种 测量结果；工业应用上，r m 不稳定性发生在惯性约束核聚变( i c 功、超燃以及 激光聚变等过程中；而且由于r m 不稳定性发展到后期会出现湍流混合现象， 这对于湍流的研究也具有重要的借鉴意义。 1 2 1 研究方法 界面不稳定性的研究，因其应用背景和学术价值，在近二十多年受到了 极大重视，国内外对此做了大量的研究。在界面不稳定性的数值研究中，核 心的当是运动界面的精确描述。 流体界面的数值模拟方法可以分为界面捕捉方法1 5 删和界面追踪方法【乳1 2 】 两大类。界面捕捉法在数值计算过程中不考虑间断的存在，在整个流场采用 几乎同样的计算格式自动捕获间断，期望数值解在间断处为很窄的过渡层， 如m u s c l 恪式、砸n o 格式等。流场中的间断面捕捉则是基于流场状态的数 值处理。这类方法一个明显的优点在于程序实现相对简单，并且容易向多维 问题推广。界面追踪法是把间断作为移动的内边界来处理，间断的移动要满 足r a n k i n e h u g o n i o t 跳跃条件，通过求解r i e m a n n 问题获得间断的移动速度， 该方法在光滑区域和间断位置能同时获得高精度，但程序实现较为复杂。 间断追踪方法能够保持间断的准确和锐利，该方法把间断作为移动的内 2 哈尔滨下稗大学硕十学伊论文 边界来处理，因而必然会用到非正规网格，当网格变得很小时不可避免地引 起c n ，条件难以满足的“小网格 问题，给数值计算造成不稳定，而且由于 该方法要处理界面拓扑结构的变化，当推广到多维问题时，交界面的重构变 得非常复杂。 间断捕捉方法的研究工作在近二十年中也取得了很大的发展，已经发展 出许多重要的运动界面捕捉技术女n v o f 方法 7 1 ，l e v e l s e t 方法【5 ，6 ，8 ，1 等等。v o f 方法的特点是在计算区域内将运动界面定义为流体体积函数的发展方程，通 过求解流体输运方程确定目标流体位置和形状的改变达到跟踪界面的目的。 l e v e l s e t 方法用l s ( l e v e ls e t ) 函数跟踪界面，简捷且易于处理界面的拓扑 结构的变化。一般情况下界面沿着法向速度是变化的，初始时亥l j l e v e l s e t 为 距离函数的情况下经过有限的时间步后，其梯度可能变得剧烈或者平缓，等 值线出现聚合和拉伸的情况，将不再保持距离函数的性质，在计算过程中保 持l e v e l s e t 函数为距离函数的性质是很有必要的。o s h e r 和s e t h i a n 等人对 l e v e l s e t 重新初始化方法进行了研究【1 3 6 1 。f e d k i w 在多介质流体的数值模拟 中提出了虚拟流体的概念【1 7 1 。u u 提出了一种改进的虚拟流动方法【1 8 l ，该方 法是在求解r i e m a n n 问题的基础上用界面处的状态值构造虚拟流体的等压装 配变量、压强和速度并用r i e m a n n 问题解的接触间断状态构造虚拟流体，守 恒型误差得到有效的控制。 1 2 2 界面不稳定性研究现状 自从1 9 6 0 生l z r i c h t m y e r 1 8 】第一次给出他的线性分析，r m 不稳定性已经被 研究了4 0 多年。在此期间，人们提出很多理论模型，进行了大量的数值模拟和 实验研究。但对于不稳定性后期阶段的强非线性现象，很难单独从解析方面研 究清楚，这时候实验和数值模拟就显得尤为重要。以往实验主要针对气气界 面【1 蛇2 1 ，而且主要研究了单元扰动r m 不稳定性的线性和弱非线性阶段以及 多元扰动r m 不稳定性的湍流混合阶段的发展规律。这是由于构造气气界 面的两种流体往往密度差别不大( 也就是a t w o o d 数较小，a = p 2 p 1 ) d 1 3 哈尔滨t 稃大学硕十学位论文 + p 2 ) 炉1 和p 2 和分别为界面两边的流体密度) ，此时k e l v i n h e l m h o l t z 不稳 定性的影响比较严重，r m 不稳定性很快进入湍流混合阶段；而且气气界面在 激波经过以后获得很大速度，而实验设备观察段的长度是有限的；a n 上构造气 气界面时一般在两种流体之间要使用薄膜隔开，薄膜在激波经过时破裂，形成 的碎片也会影响到流场。这些因素都限制了对多元扰动后期气泡和尖钉( 轻流 体侵入重流体部分称为气泡，反之称为尖钉) 增长规律的研究。当前对此方面 研究较多使用理论和数值模拟，但关于气泡和尖钉高度对时间幂律增长的指 数值却一直未有定论，数据也比较分削2 3 彩l 。 1 9 7 0 年m e s h k o v 【矧首先在实验中证实了这种不稳定性的存在，然而他测 得的扰动增长率要比用脉冲模型估计的值小得多这种理论值与实验值的差 旯一直是人们研究的内容 s t u r t e v 锄t 【硐指出，即使用修正的激波后参数可以改善理论值和m e s h k o v 的测量值之间的差旯但理论值仍旧将扰动增长率高估了一倍之多。 f e d k i w 1 7 】在多介质流体的数值模拟中提出了虚拟流体的概念，虚拟流体 的压强和法方向速度用网格点上真实流体的压强和法方向速度，密度由等压 装配技术单侧熵插值求得，引入l e v e l s e t 方程捕捉运动界面的位置，并根据 网格点上的l s 值选择正确的状态方程进行计算，这种方法容易推广到多维问 题。 g l i m m 和他领导的研究群体【1 1 , 1 2 】自二十世纪八十年代以来对该类方法不 断的进行完善和发展，许多有价值的方法被提出来并发表了很多有指导意义 文章并形成比较实用的f r o n t i e r 软件，解决了许多实际问题，如 r i c h t m y e r - m e s h k o v ，r i c h t m y e r - t a y l o r ，k e l v i n h e l m h o l t z 不稳定性问题。 h o l m e s 等【2 7 l 利用阵面追踪法对m e s h k o v 和b e n j a m i n 等的实验进行数 值模拟，得到了和b e n - j a m i n 的实验非常符合的扰动增长率，而对于m e s h k o v 的实验，数值模拟得到的扰动增长率要比以前测得的值高出6 0 他们发现 在r i c h t m y e r m e s h k o v 不稳定性的早期阶段，可压缩性和非线性波起到了主要 4 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 作用，而在后期阶段，交界面的扰动发展主要是由于可压缩性效果引起的虽 然他们改善了数值精度，但扰动的增长率在数值模拟和实验方面的差异仍然 存在，这是一个始终未得到满意解决的问题 近几年，在国内，对界面不稳定性的研究，因其应用背景和学术价值，受到 了极大重视，国外对此做了大量的研究在界面不稳定性的数值研究中，核心 的当是运动界面的精确描述正是由于这一需要使得虚拟流动( g h o s tf l u i d ) 界面捕捉方法得以充分发展该方法是以数学方程的物理解的性质为基础，通 过设置一个距离函数( k v c ls e t 函数) 来标志界面所在的位置，能够精确地捕 捉到界面的发展关于l e v e ls e t 方法和虚拟流动方法的研究，近几年在国内 也已经有所开展。 叶文华，张维岩等【2 8 】采用了f c t 方法数值模拟了r m 不稳定性，在线性 阶段他们的结果与线性理论符合很好；在非线性阶段，与俄罗斯激波管实验的 计算结果符合很好。 王晨星、唐维军1 2 9 】结合a b g m l l s h ) ，u e 的计算模型和经典的高精度p p m 方 法数值模拟了多介质可压缩流动。将高精度p p m ( p i e c e w i s e p a r a b o l i c m e t h o d ) 方法应用到准守恒型多介质体积分数形式的e u k r 方程组，是高精度的健壮性 很好的间断捕捉方法，对斜激波作用下的物质界面不稳定性进行了研究。 欧阳良琛，马东军等人【3 0 】采用高精度的多介质g h o s t f l u i d 方法，对激波 作用下界面r i c h t m y e r - m e s h k o v 不稳定现象进行了数值研究，得到了不同时刻 扰动界面的演化图像，给出了流场的密度等值线和密度纹影图，同实验结果 吻合较好。给出了界而的扰动增长随时间变化的情况，并同理论模型进行对 比。 张镭、袁礼【3 1 】利用l e v e ls e t 方法计算了一维双介质可压缩流动。 施红辉1 3 2 l 在2 0 0 7 年，报道了圆管内的r m 不稳定性现象的研究结果，利 用高速c c d 摄影系统，在矩形激波管中研究了气液界面上r m 不稳定性后 期的发展规律。 5 哈尔滨下程大学硕十学位论文 i 马东军、何兴等人【3 3 】采用基于有限体积法的二阶g o d u n o v 格式模拟了柱 形密度交界面在同轴激波加速下的演化过程。得到了以下初步结果：在参数相 同的情形下，内聚激波比中心爆炸波对界面的扰动更危险：内聚激波从轻质流 体进入重质流体与从重质流体进入轻质流体相比，界面有更快的增长。 张瑗、李寿佛【矧用双曲守恒律组的高阶加权本质上无振荡有限差分 ( f d w e n o ) 求解在众多领域有着重要应用的二维流体界面 r i c h t m y e r - m e s h k o v 不稳定性问题及激波与气泡相互作用问题，获得了较为理 想的数值结果。表明高阶f d w e n o 格式的确特别适合子求解这类既具有激 波有具有复杂流动结构的流体动力学问题，它比通常的二阶g o d u n o v 格式 ( 如p p m 等) 更为优越。 朱君、赵宁等1 3 5 l 采用s c b ( s a t i s f yt h ec o n d i t i o nb ) 格式，通过设置一个 l e v e ls e t 距离函数来标志界面位置，在界面两侧采用g h o s tf l u i d 方法解e u l e r 方程，能较准确地跟踪界面的发展，且在界面附近不出现非物理振荡。 姜洋、赵宁等【3 6 】在g h o s t 流动的定义和推广方面，计算方法直接基于二维 问题，与之相对应的在e u l e r 方程的计算中也采用非分裂型高分辨s c b 格式，通 过r m 不稳定性和r t 不稳定性问题的数值模拟，取得了满意的结果，为该方 法在三维问题数值模拟中的发展提供了基础 唐维军、张景林等【3 7 l 研究了三维流体界面不稳定性的g h o s t 方法，这一研 究主要是基于r - t 不稳定性，而且其中g h o s t 算法是在每个空间方向分别进 行； b i r k h o f f 3 s , 3 9 j 根据分析和理论及数值研究，指出流体界面不稳定性的发展 将经历五个阶段，即最初的线性发展阶段、变形阶段、规则非线性段、不规 则非线性段，以及最终的湍流混合阶段。人们发现，对于随机扰动，向湍流混 合转变的过程很短暂。然而，湍流流动必定是三维的，其尺度很小，对于包含 有复杂物理过程的问题直接数值模拟有一定的困难。 1 3 本论文的主要工作 6 哈尔滨下稗大学硕+ 学位论文 当激波通过有扰动的物质界面时会产生r i c h t m y e r - m e s h k o v 不稳定性， 当流体界面两侧存在切向速度差时产生k e l v i n h e l m h o l t z 不稳定性首先要了 解r m 和r t 界面不稳定性的机理以及国内外学者对r m 界面不稳定性进 行研究的一系列不同的方法，包括数值模拟及理论分析。 在界面不稳定性的数值研究中，核心的当是运动界面的精确描述通过 l e v e ls e t 捕获物质界面以及m g f m 方法定义虚拟流节点参数的基础上进行 的。通过求解l e v e ls e t 方程和重构方程来跟踪物质界面，l e v e l s e t 函数是一 个h a m i l t o n - j a c o b i 形式的函数，目的是用来标记乔面的位置，在计算过程中， l e v e l s e t 函数值随流场速度场的变化而发生变化，其零等值线用来标记界面 的位置。跟踪不同类型的间断，l e v e l s e t 函数的推进速度应该有不同的形式。 本文还对l e v e l s e t 函数重新初始化问题，l e v e l s e t 函数跟踪强间断问题、以 及间断面附近虚拟流体的构造等问题进行了探讨，并通过数值试验以验证方 法的有效性，结合m g f m 方法进行处理。二维e u l e r 方程采用时间分裂法将 其分解成两个一维问题，每个一维问题采用h l l c 结合t v d w a f 格式离散 求解。应用以上方法和理论编制了f o r t r a n 程序，以此软件为计算平台， 完成二维界面不稳定性的数值研究。 本文在对r m 界面不稳定性问题的理论分析的基础上，完成了激波作用 下的二维界面不稳定性的数值模拟，本课题主要研究工作可以分为以下几部 分内容： 第一章给出了界面不稳定性问题的背景，简单介绍了r m 界面不稳定性 问题，数值模拟方法在计算流体力学中的重要地位和界面不稳定性因其研究 和学术价值所引起的广泛关注，以及现有界面追踪方法的发展情况，同时介 绍了不稳定性研究的国内外发展现状。 第二章则详细介绍了r m 界面不稳定性的机理，和到目前为止的国内外 科学家对r m 界面不稳定性及压缩性和非线性对不稳定发展的影响进行研 究的一系列不同的方法，包括数值模拟以及理论分析。 7 哈尔滨下程大学硕十学俯论文 第三章主要介绍了如何求解r i e m a n n 问题，同时介绍了t v d 格式中的一 种w a f 格式。简要的介绍了一种界面捕捉方法，虚拟流动方法( g h o s t f l u i dm e t h o d ) ，并引出了改进的虚拟流动方法( m o d i f i e dg h o s tf l u i dm e t h o d ) 。 并详细介绍了l e v e l s e t 方法，并对l e v e ls e t 方程二维h a m i l t o n j a c o b i 形式进 行了用五阶w e n o 的空间离散以及三阶t v dr u n g e k u t t a 的时间离散。同时本 文还介绍了一种l e v e ls e t 方程的重新初始化方法。 第四章计算了几个二维r m 不稳定性研究的算例，并对计算结果进行 了具体的分析。主要研究了不同的物质界面形状、物质界面两边密度比和激 波的强度等这些因素均会对界面的r m 失稳产生影响。分别模拟了激波打气 泡、斜激波打物质界面以及激波打曲线物质界面的不稳定性问题，着重分析 了各个过程的压力、密度、涡量以及距离函数分布情况，并对泡状( b u b b l e ) 结构和钉状( s p i k e ) 结构的形成进行了简要的分析。同时对激波与物质界面作 用的过程中的总涡量，界面的模拟扰动增长率与理论的线性增长率进行对比。 8 哈尔滨丁程大学硕十学何论文 i _i i i i i i 宣i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 第2 章r m 界面不稳定性 2 1r m 不稳定性 界面不稳定性，它指的是受扰动的两轻重流体的交界面，当处于方向由 重流体指向轻流体的有效重力场中或受到冲击波作用时，扰动将发展，界面 将失稳，两种物质将会发生湍流混合，这种不稳定性即被称为界面不稳定性。 重力场作用下的界面不稳定性，人们常称为r a y l e i g h t a y l o r ( 简称r t ) 不 稳定性，激波作用下的界面不稳定性则常称为r i t c h m y e r - m e s h k o v ( 简称r m ) 不稳定性。惯性约束核聚变( i c f ) 中由于r t 和r m 不稳定性的作用将影 响氘氚气体的内爆压缩、升温、点火和燃烧。 本章介绍r m 界面不稳定性的产生机理，及目前国内外科学家对r m 界面不稳定性以及压缩性和非线性对不稳定发展的影响进行研究的一系列不 同的方法包括数值模拟、理论分析及实验测量等。经过介绍，我们可以 对r m 界面不稳定性的发展有一个较为清楚的了解，从而在此基础上更深刻 的理解界面追踪方法理论。 关于r m 界面不稳定性的数值研究，在近三十年里吸引着广大科学家的 关注，而这种关注则是由于这种不稳定性在科学研究和工程实践上的重要意 义，自它被发现至今一直都是激波动力学中一个异常活跃的研究领域。这种 激波与交界面相互作用的基本过程对于研究超音速冲压发动机中混合和燃 烧、激光驱动的惯性约束热核聚变( i c e i n e r t i a lc o n f i n e m e n tf u s i o n ) 等都有 着实际的重要性，它还可以用来解释天体物理中超新星动力学的某些现象， 它的后期非线性演化对于揭示可压缩湍流有着本质的重要性。r m 界面不稳 定性最初是由r i c h t m y e r 1 8 】在1 9 6 0 年提出的，他研究了线性( 可压) 欧拉方程 的解，并发现在最初很快的增长过程之后线化解的增长率分析公式，即脉冲 模型而关于r m 界面不稳定性的实验研究则是由m e s h k o v 2 5 1 在1 9 7 0 年做出 的。 9 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 激波加速两种不同密度的分层流体的交界面将引起交界面的不稳定运 动，这种不稳定的现象在自然界和工程中经常遇到。r m 不稳定性发生在激 波经过两种物质的交界面发生折射时，交界面上的小扰动将会由于此不稳定 性的影响而增大，最终导致两种物质发生湍流混合。惯性约束核聚变过程是 一个包含有氘氚燃料在内的靶核受到激波压缩的过程，目的是在受压缩的靶 核中产生足够的高温高压，用来点燃燃料。由于靶核外壳和内部燃料之间的 界面不稳定性而产生的物质混合将会抑制聚变反应，故而r m 不稳定性在其 中扮演着很重要的角色，成为能量生成过程中最严重的限制因素。即便是在 最简单的情况下，例如一道正激波打在一个扰动的界面上的情况( 见后图 2 1 ) ，对r m 不稳定性中扰动增长率的实验测量、数值模拟和理论分析都会 得到非常不同的结果。实验测量和理论分析结果之间的不符，可以归因于激 波管实验中用以分隔两种物质的薄膜有着强度和多孔性的影响，以及边界层 影响。线性理论分析可以对小尺度扰动的早期增长率变化进行准确的预估， 然而由于r m 不稳定性后期非线性条件的重要影响，使得线性理论分析结果 往往偏大。对r m 不稳定性进行实验测量、数值模拟和理论分析研究主要有 两层目的：一是在与i c f 有关的条件下比较三者的结果；二是对使用不同模 型的数值模拟结果进行分析比较，从而对结果的差异原因有所了解和澄清。 通过大量的例子可以发现，实验测量和数值模拟的结果吻合得比较好；另外， 在大多数情况下，可压非线性理论也能对扰动的增长率给出很好的估计。 图2 1r m 界面不稳定性 1 0 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 2 2r m 不稳定性理论分析 在这里要介绍三种不同的理论分析模型，也即是脉冲模型，线性模型和 非线性模型。 2 2 1 脉冲模型 定量分析和研究r i c h t m y e r m e s h k o v 不稳定性已经使科学家们为之努力 了三十多年。1 9 6 0 年r i c h t m y e r l l 8 】首先研究了这一现象，他在1 9 6 0 年一篇非 常有启发性的文章中提出了这个问题，在这篇文章中他研究了线性( 可压) 欧拉方程的解，用线性化的欧拉方程数值模拟了交界面的运动，并发现在最 初很快的增长过程之后，线化解的增长率会在一个有限值附近振荡。同时， 他给出了一个基于完全线性理论假设的增长率分析公式，它将激波对界面的 作用描述成在界面上施加一个脉冲，而其他地方的流动则被认为是不可压的， 即脉冲模型( i m p u l s i v em o d e l ) i d r = 出 饥 ( 2 1 ) 式子中k 为波数，a 为a t w o o d 数，a = ( p 2 - p , ) ( p 2 + n ) ，为交界面 的初始振幅，r i c h t m y e r 将理论模型与其线性化的数值解比较，建议在上式中 用激波作用后的4 矛f l7 o 值代替激波作用前的4 和吼值会符合的更好些。 1 9 7 0 年，m e s h k o v 首先在实验中证实了这种不稳定性的存在，但是他测得的 扰动增长率要比用脉冲模型小的多。s t u r t e v a t 4 0 瞻出，即使用修正后的激波 参数，可以改善理论值和m e s h k o v 的测量值之间的差异，但理论值仍旧将扰 动增长率高估了一倍之多。 2 2 2 线性模型 用以研究r m 不稳定性的线性模型是从为求解无扰动流动问题而对欧拉 方程组所做的线化处理中得来的。首先i 扫r i c h t m y e r 得出了反射激波情况下可 压欧拉方程的线化形式，而后由y a n g ( 1 9 4 4 ) 和v e l i k o v i c h ( 1 9 9 6 ) 将其推广至反射 哈尔滨t 程大学硕+ 学位论文 稀疏波情况。 r i c h t m y e r 给出正弦扰动振幅口( f ) 的方程如下 _ d a ( t ) ：二z | i f ；k a + a 。u 。 ( 2 2 ) = 口z | i f =n，i z zj 口l - 其中，扰动波数k 一幼a ，a 为波后a t w o o d 比( 瓜一衍) ( 戌+ 硝) ( 激 波从流体1 向流体o 运动) ，。为因激波作用而导致的界面运动速度的变化，a 。 为适当的初始扰动振幅。当扰动的振幅远远小于其波长时( 励o ) p l ，然后比较u ：一“，t f ( p ) 、f o , i ) 以及 f ( p ：) 的大小，来确定左边和右边是膨胀波还是激波，选择对应的方程带入 上式，应用迭代方法求出间断区域的压力值p 。从而带入方程求出间断区域 中的速度u ： 【，一i 1 砷。+ “：+ ，占，p ：，j d ：) 一，( ；，p l ，岛) 】( 3 - 7 ) 接触间断两侧的压力和速度相同，但是密度与能量却不一样，其中两侧 密度分别为：r 、恐。 1 、首先我们考虑左波，x t u 的区域 如果左波是激波，激波的速度为z l ，波后密度为墨，则 互：u 一鱼 n r = 石不p a 习 在石f z 。的区域，速度、压力、密度值分别取、p l 、n ； 在z l x t u 的区域，速度、压力、密度值分别取u 、p 、墨。 如果左波是稀疏波，其中波头速度为z 。，波尾速度为z ：。 i d x ：z 1 = u 1 - - g 出 1 z ：= u c ： 厶，ou 0 1 1 8 波后密度为墨2 琴 在x f z 。的区域，速度、压力、密度值分别取“。、n 、岛； 在乏 x t u 的区域，速度、压力、密度值分别取u 、p 一、蜀。 名f _ z i x ts 彳的区域，可以根据黎曼不变量关系确定声速，从而 求出密度 “= 詈+ c ，p 吲妒一等 2 、右波与左波计算方法一致。 3 、真空区出现时 左右只能是稀疏波，中间区域压力为0 ，密度也为0 。 互叫+ 寿c 1 ， z ：；h ：一万2 c 2 3 1 4t v d w a f 格式 w a f 格式在时间和空间上是二阶精度的。根据g o d u n o v 理论，在大梯 度的附近点会出现假震荡。这里我们将t v d ( t o t a lv a r i a t i o nd i m i n i s h i n g ) 方 法中的w a f ( w e i g h t e da v e r a g ef l u x ) 格式应用于非线性系统。 严格意义上讲，扩展到非线性系统完全是实际计算中的经验。 u t + f 刚、) l1 0 u ( x ，o ) = u o ) u ( o ，f ) 一q g )u 犯，f ) z q ( f ) 界面上的w a f 数值通量为： 1 9 哈尔滨t 程大学硕- i t 学佗论文 t f 去摩f 哆+ ： ，争出 ( 3 8 ) 这里u 。 ，f ) 是界面位于f + 寺处的流场数据为w 、坛，所对应的 ”三 二 r i e m a n n 问题的解。u 。o ，t ) 是g o d u n o v 一阶迎风格式的精确解。根据图( 3 1 ) ”j 我们可以看出欧拉方程对应的r i e m a r m 问题解的结构。3 束波的速度分别为 s 、是、s ，他们分为4 个状态区域：w 、阢工、【厂r 、暇。左边和右边 是膨胀波或者激波。 a t 厶t 2 图3 2w 鲥璐式分段积分不葸图 图( 3 2 ) 是具体说明对式( 3 - 8 ) 的分段积分示意图。式( 3 8 ) 可以写为： t + ；2 荟t f ( k ) ( 3 - 9 ) ”j 这里f ? 一f ) ，n 为r i e m a n n 问题的波数，展为线段4 的标准 ”j 长度： 展- 掣 容易看到，利用波数& ，权重为： 哈尔滨丁程大学硕十掌何论文 i i - i i _a i i - - i 1 展。去瓴一q 一。) 气一a 缸t s i ，e 。= 一l c + 1 = 1 这里& 为波束七的速度的参数，公式( 3 9 ) 是加权平均通量( w e i g h t e d a v e r a g ef l u x ) ，因此，此格式称为w a f 格式。将以上公式带入公式( 3 9 ) 中代 替展，可以得到另一种形式的通量： 譬三c e 刚一主薹c t 噬 因此，我们要在每个内部网格边界上构造3 个l i m i t e r 限制函数纱，( ，) 。 上述公式可以写为修正的t v d w a f 数值流向量： 0 时， 应用西：。当 o 时，应用巾：。以上的过程也适用于v 和；。 3 3 2l e v e ls e t 方程的重新初始化方法 对于式屯一墨( 西。) ( 柝虿j 巧一1 ) = o ，可以将其改写为以下形式： 舯_ | 州吲。 西，+ w 。v 一s ( m 。)( 3 1 6 ) h 屹 吩，i，、，- ”一心玎一心b一心 i = 薯 墨 是 邑 哈尔滨下程大学硕十学位论文 式( 3 1 6 ) 是非线性双曲方程，其特征值由万给出，石是单个法向量。 定义： g ( e o u ) 一 口。d ；r 垂i , j - 掣 6 ：哦型 卢而万币可丽研一1 乒丽万而可可研一1 0 其中：+ 代表了正数部分： 代表了负数部分。 式( 3 1 4 ) 用以下式子推进： i n + 1 = ：! ：一岱。( 西：，) g ( 艺) ( 3 1 7 ) 式( 3 - 1 7 ) 虽然是单调格式，但是只有一阶精度。因此还需要在每一时 间步定义一个收敛标准，以判断对的重新初始化已经满足l v l 。1 ，如下所 示： 学弦峄峄南 m m 轧 哦 瞩 哈尔滨t 程大学硕+ 学位论文 e ；一 等 m 是满足卜；：i ：i 弋i 1 图4 1 8 涡量随时间变化规律 图4 1 8 为总涡量，总负涡量，总正涡量随时间的变化曲线。从图中的坐 标我们也可以看出，在强激波作用下的涡量值远大于弱激波作用下的情况。 扰动更加剧烈。 4 3 弱斜激波与物质界面的相互作用 对于激波与密度界面相互作用的物理情形可以描述如下：一道激波从密 度为n 的流体，经过接触界面，传播到密度为胁的流体中，两流体中的初始 压力是平衡的。两流体的密度比可设定为，7 一p 2 n 。我们可以将这种激波与 物质界面的相互作用分为两类：一类是激波进入到声速相对较大的流体中， 叩 1 。线性不稳定性分 析的结果表明，7 1 时，界面的情况是“不 稳定”的。这种稳定与否的说法就反映了初始扰动振幅的增减情况，初始扰 动的振幅对于稳定的情形是减小的，而对于不稳定的情形是增加的。但对于 两种情况的长时间的结果来说，界面都是增加的不稳定的。 以下的算例，我们均假设激波从计算区域的左侧进入，交界面为与激波 成6 0 度角的斜面，交界面的左边为流体1 ( 密度为, 0 1 ) ，右边为流体2 ( 密度为 p 2 ) 。设叼= p 2 n ，则对于a i r - h e 情形，我们取r = 0 1 6 7 1 ，即激波从轻气体区进入 重气体区。如图所示： 图4 1 9 弱激波与斜物质界面相互作用初始时刻计算模型 4 3 1 弱激波与a i r h e 物质界面作用不稳定性 下面给定计算的初始条件： 空气侧： n z 1 u 1 0 0 h = 0 0 a = 1 0 ) ，1 = 1 4 激波的马赫数为1 2 。 h e 侧：p 2 = o 1 6 7 u 2 = 0 0 吃= 0 0 p 2 = 1 0 ) ，2 1 6 3 ( a ) 2 5 0 个时间步长的压力分布 5 1 哈尔滨t 稃大学硕十学位论文 x ( b ) 7 5 0 个时间步长的压力分布 ( c ) 1 5 0 0 个时间步长的压力分布 ( d ) 2 0 0 0 个时间步长的压力分布 x ( e ) 2 7 5 0 个时间步长的压力分布 图4 2 0 不同时刻的压力分布 5 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 图4 2 0 分别给出了2 5 0 、7 5 0 、1 5 0 0 、2 0 0 0 、2 7 5 0 个时间步长的压力分 布图。由图42 0 ( a ) 可以看到在右边的透射波是激波，而在左边的反射波是稀 疏波。从国中可以看到，在右上方折射波到达边界，并形成反射，而这个反 射波将继续和界面发生作用。 ( a ) 2 5 0 个时间步长的涡错分布 ( b ) 7 5 0 个时间步长的涡量分布 ( c ) 1 5 0 0 个时间步睦的涡量分布 竺兰鋈三至奎兰至圭兰篁篓兰 ( d ) 2 0 0