（应用数学专业论文）几类脉冲毒素入侵对生物种群生存的影响模型.pdf

硕士学位论文 摘要 本文在t g h a l a m 等人所建立的生态毒理学模型的基础上，研究了具有脉冲毒 素入侵与捕获的l o g i s t i c 单种群模型和v o l t e 仃a 捕食食饵模型以及具有脉冲毒素影 响的一捕食种群同时捕食两相互竞争食饵种群的v o l t e m 三种群模型不考虑种群 的变化对生物体内毒素浓度和环境中毒素浓度产生的影响假设每个脉冲时刻输 入环境中的毒素量是固定的，对模型中种群的持久性进行了研究，用积分均值的 方法得到了种群弱平均持续生存与绝灭的充分条件在三种群模型中，关于毒素 输入的脉冲周期，得到了三个阈值若脉冲周期大于最大的那个阈值，三个种群 均弱平均持续生存；若脉冲周期介于最大的与中间的阈值之间，两食饵种群弱平 均持续生存，捕食种群将走向绝灭；若脉冲周期小于中间的阈值而大于最小的阂 值，食饵种群i 弱平均持续生存，食饵种群i i 与捕食种群都将走向绝灭；若脉冲周 期小于最小的阈值，三种群均走向绝灭 关键词：污染环境，脉冲毒素输入，弱平均持续生存，绝灭 几类脉冲毒素入侵对生物种群生存的影响模型 a b s t r a c t m o t i v a t e db yt h ee c o t o x i c o l o g ym o d e le s t a b l i s h e db yt - g h a l 锄，t h i sp a p e r i n v e s t i g a t ei np 0 1 1 u t e de n v i r o n m e n tal o g i s t i co n ep o p u l a t i o nm o d e lw i t hi m p u l s i v e t o x i c a n ti n p u ta n dh a r v e s t ，av o l t e r r ap r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hi m p u l s i v et o x i c 锄“n p u t a l l dh a r v e s t ，a l l da 、，b l t e r r at h r e e - d i m e n s i o n a ls y s t e n lw i mi m p u l s i v et o x i c a n ti n p u tw i t h o n ep r e d a t o rp o p u l a t i o na l l dt w oc o m p e t i t i v ep r e yw i t he a c ho t h e r t h ep e r s i s t e n c eo f p o p u l a t i o n so ft 1 1 e s es y s t e r n sa r ec o n c e m e dw i m o u tt a k i n gi n t oa c c o u n tt h ee f f e c to f p o p u l a t i o n so nm et o x i c a n tc o n c e n t r a t i o ni nt h eo r g a n i s ma n de n v i m m e n t ，a i l da s s u m i n gt h et o x i c a n ta m o u mi n p u ti sf i x e dt ot h ee n v i r o 】帆e n ta te a c hp u l s em o m e n t s o m e s u 硒c i e n tc t e r i ao nw e a ka v e r a g ep e r s i s t e n c ea n de x t i n c t i o n0 nt h ep o p u l a t i o n sa r e o b t a i n e db yt h em e m o do fi n t e 铲a l i nm e a n e s p e c i a l l y ，i nt h et l l r e ep o p u l a t i o n sm o d e l ， t h r e et h r e s h o l d so nt h ei m p u l s i v ep e r i o da r eo b t a i n e d f u r t h e 肌o r e ，i ft h ei m p u l s i v e p 甜o di s 伊e a t e rt h a nt l l eb i g g e s tt h i e s h 0 1 d ， a l lp o p u l a t i o n sa r ew e a ka v e r a g ep e r s i s t e n c e ；i ft h ei m p u l s i v ep 嘶o dl i e sb e t w e e no ft h eb i g g e s tt i l r e s h o l da n dt h eb i g g e r ，m e nt w o p r e yp o p u l a t i o n sw i l lb ew e a ka v e r a g ep e r s i s t e n c ew l l i l em ep r e d a t o rp o p u l a t i o n e x t i n c t ； i fm ep e r i o dl i e sb e t w e e no fm eb i g g e rt h r e s h o l d 觚dt h es m a l l e s t ，p r e y p o p u l a t i o ni i sw e a ka v e r a g ep e r s i s t e n c e ， p r e yp o p u l a t i o ni ia n dp r e d a t o rp o p u l a t i o n e x t i n c t ； i ft h ep e r i o di sl e s st h a nm es n l a u e s tt h r e s h o l d ，a l lp o p u l a t i o n st e n dt o e x t i n c t i o n k e y w o r d s ：p o l l u t e de 1 1 v i r 0 1 埘e i l t ，i m p u l s i v et o x i c a mi n p u t ，w e a l ( a v e r a g ep e r s i s t e l l c e ， e x t i n c t i o n l i 附录4 ：学位论文原创性声明和版权使用授权书 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名： 丑诳 日期：如g 年6 月歹日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文 收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服 务。 作者签名： 导师签名： 日期：抄1 年歹月丁日 日期：弦号年月日 菠_ 又 心 也磊 硕十学位论文 第1 章引言 脉冲微分系统作为非线性微分系统领域的一个新分支，是在上世纪末迅速发 展起来的它描述某些运动状态在固定或不固定时刻的快速变化或跳跃，是对自 然界发展过程更真实地反映脉冲微分方程有着比普通微分方程更加丰富的性质 和内容科学和技术的许多领域如理论物理、机械、种群动力系统、流行病动力 系统、工业控制、生物技术、经济等许多方面的变化规律都可以用脉冲微分方程 来刻画或描述生物种群系统的许多现象都可以用脉冲微分方程来刻画，如某些 动物的季节性出生、渔业养殖与森林管理中的收获、投放、种植、对癌细胞的化 疗、环境污染中毒素的定期排放等都是一种脉冲现象，对生物种群的控制往往也 采取脉冲控制总之，脉冲微分方程在种群动力学研究方面已显示出很好的应用 前景，需要我们认真研究近几年，关于脉冲种群动力学模型的研究已有一定的 工作，但总体讲，好的结果还不是很多这里我们先介绍一些脉冲微分方程的基 本概念 脉冲微分方程可分为固定时刻的脉冲微分方程和非固定时刻的脉冲微分方 程，固定时刻的脉冲微分方程是较简单的一种，一般可以表示为 f 工= 厂( 以x ) ，f 气， 【缸= ，( f ，x ) ，f = ，七= 1 ，2 这里( f ，z ) r 尺”，缸( 气) = x ( 气+ ) 一x ( 气) ，x ( 气+ ) 2 婴石( f ) ；称为脉冲时刻，且满足 o2 乞 气 o 近年来，脉冲微分方程应用于种群动力系统的研究涉及到种群生态学3 2 3 5 1 和 疾病的化疗3 6 。7 1 对在污染环境中具脉冲毒素输入的种群系统的研究还比较少 见对于污染环境中种群生存的研究，人们关注的问题是：怎样借助脉冲微分方 程的理论，来研究种群的持续生存与绝灭为此，脉冲毒素输入的种群动力系统 将被广泛关注。对于下面大容量污染环境中的l o 百s t i c 单种群模型 妄= z ( 啪) 一矗) ， 掣= 蚴) _ ( g 训啉 掣一嘲吐 敏( ) = o ，c ：( 尹) = 0 ，c ：0 ) = 6 o c f o o ) 1 ，o c ：( f ) l ， f 刀f ( 刀= o ，1 ，2 ，) ， f = 撑f ( 丹= o ，l ，2 ，) ( 1 4 ) 其中是内禀增长率，c 0 ( f ) 表示种群在f 时刻的体内毒素浓度，e ( f ) 表示f 时刻环 境中的毒素浓度，e ( f ) 表示脉冲输入，i ，七，g ，m ，j i l 均为正常数 由于( 1 4 ) 的第二个方程和第三个方程不含 c ，故可考虑下面两个子模型 氏一 瞩m 一 “ x “ = | | 出一出 ，、【 硕十学位论文 及 掣：蜒( f ) 一( g + 研) c o ( f ) ， 口f 掣一吲f ) m - o ，1 ，2 ，) ， ( 1 5 ) c j ( f ) = 0 ，c 。( f ) = 6 f = 刀f ( 以= o ，l ，2 ，) 因为是一个线性脉冲微分方程组，易得( 1 5 ) 有唯一的全局吸引的正f 周期 解( 己( f ) ，包( f ) ) 1 ，即岛。一f ) = 乞( f ) ，丘o + f ) = 丘( f ) ，且当f _ 佃时，方程的任何 解都有c o ( f ) 寸磊( f ) ，e ( f ) 一色( f ) 根据脉冲微分方程理论及比较定理，文【3 3 】给出了种群持续生存和绝灭的脉冲 周期阈值 对于污染环境下的二维v o l t e 盯a 捕食一食饵系统，文 3 8 】对此进行了研究，模型 如下 鲁= x ( 矿水) _ 口l - x - 口l ：y ) ， 詈= y ( 嘞c 2 _ 口2 - 石飞z 少) ， 掣呐c 以) _ ( g i + m 。m ) ， 掣吐c 以) _ ( 9 2 + 朋：黜) ， 掣一m ) ， 工( f ) = o ，少( f ) = o ， c ) = 0 ( f = l ，2 ) ，c 。( f ) = 6 ， 0 c ，( f ) l ( f = 1 2 ) 0 c ( f 1 1 满足初始条件x ( o ) 0 ，j ，( o ) o f 以f ( 玎= 0 ，l ，2 ，) ， f = 聆f ( ，l = o ，l ，2 ，) 其中缸( f ) = z ( 广) 一工( f ) ，少( f ) = y o + ) 一j ，( f ) ，c ；( f ) = c ：o + ) 一c f ( f ) ( f = l ，2 ) ， ( 1 6 ) e ( f ) = e ( f + ) 一e ( f ) ，f 是外界向环境的毒素输入周期，6 是每次输入的毒素量 如前面的单种群一样， ( 1 6 ) 可分为两个子模型 几类脉冲毒素入侵对生物种群乍仔的影响模型 和 掣= 坝f ) - g i c l ( 沪m 。啉 堕孕堕：屯e ( f ) 一g ( f ) 一所：c 2 ( f ) ， f 刀f ：o ，l ，2 ，) ， 掣一珊) ， c ：( o ) = o ( f = 1 ，2 ) ，e ( f ) = 6 ， f = ，l f ( ，l = o ，1 ，2 ，) o e 以) 1 f f = 1 2 ) ，o c 。“) s l ， 鲁= x ( ”水心m ，。一。：) ，) ， 鲁= 少( 矿编玛。：y ) ， 石( 0 ) o ，少( o ) 0 来研究 文中作者假定在每个脉冲时刻输入环境的毒素量是固定的，用脉冲微分方程 理论，比较定理和l o t k a v o l t e 盯a 捕食食饵系统的一些性质得出了捕食者和食饵各 自弱平均持续生存和绝灭的阈值 1 3 本文的主要工作 在上面文献中，研究了污染环境中脉冲毒素入侵对生物种群生存的影响，我 们考虑到现实世界中，除了毒素的入侵之外，人为的捕获也是影响种群生存的一 个重要因素，建立了同时具有脉冲毒素输入与捕获的脉冲种群动力学模型，研究 了使得种群持续生存与绝灭的充分条件，并在前面单种群和两种群模型的基础上， 推广到三种群模型，对一捕食种群同时捕食两相互竞争的食饵种群的脉冲种群动 力学模型进行了研究，得出了使得捕食种群和两食饵种群各自弱平均持续生存与 绝灭的充分条件论文的内容具体安排如下： 第一章简要介绍了脉冲微分方程理论及其在种群动力学中的应用，重点介绍 了所研究问题的历史背景与研究现状，并概述了本文的主要研究内容及其基本构 架 第二章研究在污染环境中具有脉冲毒素输入与捕获的l o 西s t i c 单种群模型首 先，考虑脉冲毒素入侵与人为捕获对生物种群生存的影响，建立脉冲种群动力学 模型；其次讨论了该模型的基本性质将模型分为两个子模型来分别研究，其中 由f 时刻生物体内毒素浓度c n ( f ) 与外界向环境输入毒素浓度c ，( f ) 组成的二维模型 为脉冲种群动力学模型，用脉冲微分方程理论，我们得到了模型的j 下的f 周期解， 硕 ：学位论文 用比较定理对z ( f ) 构成的具有捕获项的l o 舀s t i c 单种群模型的有界性进行了估计； 最后，我们对种群的持久性进行了研究，用积分均值的方法得到了该模型中种群 弱平均持续生存与绝灭的充分条件 第三章研究的是污染环境中具有脉冲毒素输入与捕获的l t e r r a 捕食食饵模 型与上章的基本构架一样，我们首先建立模型，再将模型分为两个子模型来考 虑，用脉冲微分方程的理论和比较定理对模型进行研究，最后用积分均值的方法 得到了使得种群持续生存与绝灭的充分条件 第四章提出了污染环境中具有脉冲毒素输入的三种群v o l t e r f a 模型此模型为 一捕食种群同时捕食两相互竞争食饵种群的七维脉冲种群动力学模型同样，我 们首先建立模型，其次对由q ( f ) ( 扛l ，2 ，3 ) 与e ( f ) 构成的四维脉冲微分种群动力 学模型进行研究，得出了模型的正f 周期解，并用脉冲微分方程的乘子理论等方法 证明了周期解的存在性及其渐近稳定性；最后还是用积分均值的方法得出了两食 饵种群和一捕食种群各自弱平均持续生存与绝灭的充分条件，在一定条件下得到 了毒素使得种群持续生存与导致绝灭的阈值 几类脉冲毒素入侵对生物种群生仔的影响模型 第2 章污染环境中单种群l o g i s t i c 模型 的持续生存与绝灭 2 1 引言 假设某生物种群生存于一给定的空间，密度均匀分布，没有成员从此空间迁 出与迁入；在时间f ，此种群在此空间内的全体成员数为石( f ) ；环境中毒素的浓度 为e ( f ) ；生物体内毒素的浓度为c o ( f ) 在2 0 世纪8 0 年代，t g ha l l a m 及其同事 假设种群的增长率线性的依赖种群对毒素的吸收率，建立了如下所示具有毒素影 响的单种群模型 警叫f ) ( 一，i 啪) 唰f ) ) ， 掣：蟛( f ) 一( g + 掰) c o ( f ) ， ( 2 。1 ) d f 望里誊尘：一局e o ) 工o ) + g 。g ( f ) z o ) 一办e o ) + “( f ) 口f 以及初始条件石( 0 ) = o ，o c o ( f ) 1 ，o e ( f ) 1 其中，吒，厂，后，g ，研，颤，g 。，i l 均为正常数是内禀增长率，表示种群对毒素的吸 收率，蜒( f ) 表示f 时刻个体对环境中毒素浓度的吸收率，确o ) 表示f 时刻个体体 内毒素的排泄率，l c o ( f ) 表示由于新陈代谢等因素的作用，f 时刻个体体内毒素的 净化率，崛( f ) ，g c 0 ( f ) 和m c o ( f ) 分别表示种群对环境中毒素的吸收率、排泄率 及净化率，一 e ( f ) 表示由于生物转移、挥发、细菌的退化与死亡，以及光合作用 等因素引起的毒素的丢失率 当环境的容量相对于种群规模而言很大时，种群对环境中毒素的吸收和其体 内毒素向环境的排泄，对环境中毒素浓度的改变影响不大，从而在模型( 2 1 ) 中 硕十学位论文 一毛e ( f ) z ( f ) 和g 。g ( f ) x ( f ) 可以略去即一向e ( f ) x ( f ) + g 。x ( f ) g ( f ) = o 这样，模型 ( 2 1 ) 可简化为 掣叫f ) ( 一恻沪鼬) ) ， 掣：蜒( f ) 一( g + m ) 删， d f 掣一吲卅砸) x ( o ) o ， osc j ( f ) 1 ， 0 c ：o ) 1 ( 2 2 ) 模型( 2 1 ) 和( 2 2 ) 均假设污染环境中毒素的输入是连续的，但现实世界中 的毒素往往是在固定时刻或不固定时刻脉冲的输入的，为此用脉冲微分系统来描 述毒素的输入对种群的影响更为合适建立模型3 3 1 如下 警叫f ) ( 啪) 嘲d ) ， 塑磐：蝇( f ) 一( g + m ) c 0 ( f ) ， f 刀f o ：o ，1 ，2 ，) ， 掣一删， ( 2 3 ) 缸( f ) = 0 ，c j o ) = 0 ，c ：o ) = 6 ， f = 刀f ( ，l = 0 ，1 ，2 ，) x ( o ) o ，o c ：( f ) l ，o e o ) 1 ， 其中缸( f ) = x ( f + ) 一x ( f ) ，c o ( f ) = c o ( f + ) 一c 0 ( f ) ，e ( f ) = e ( f + ) 一e ( f ) ，f 是外界 向环境的毒素输入周期，6 是每次输入的毒素量其他系数的生物意义均与( 2 1 ) 同 在模型( 2 3 ) 中，所有系数都是由种群和环境内在因素所确定的要控制毒 素对种群的影响，关键在于控制毒素浓度从外界向环境的输入周期f 生态学首先 感兴趣的问题是如何控制f ，以确保环境内种群x ( f ) 的持续生存，或促使石( f ) 走向 绝灭从数学的观点看，是对一类线性非自治三维系统的解的渐进性态的研究， 这里要用到脉冲微分方程的一些理论和v o l t e 仃a 系统的基本性质 由于( 2 3 ) 的第二个方程和第三个方程不含x ，故可考虑下面两个子模型 、弘 肛 一 幅仉 一 “ 爿 叫出一班 ，r1【 几类脉冲毒素入侵对生物种群牛存的影响模型 及 掣：坂( f ) 一( g + 聊) 删， d f 掣一吲晚 砌= o ，l 2 ，) ， ( 2 4 ) c 0 0 ) = o ，e o ) = 6 f = n f ( ，l = o ，1 ，2 ，) 因为( 2 4 ) 是一个线性脉冲微分方程组，易得该方程有唯一的全局吸引的正f 周期解f 岛( f ) ，包( f ) y ，即磊。一f ) = 磊( f ) ，o 。o + f ) = 否。( f ) ，且当f 专佃时，方 程的任何解都有c 0 ( f ) 一c 0 ( f ) ，e ( f ) _ e ( f ) 根据脉冲微分方程理论及比较定理，文 3 3 】给出了种群持续生存和绝灭的脉冲 周期阈值 除了毒素的入侵之外，人为的捕获因素也在很大程度上影响着种群的生存与 发展，怎样在污染的环境中对毒素的输入与人为的捕获进行合理的控制，使得种 群得以持续生存或者绝灭( 比如害虫) ，将是一个值得关注的问题为此，我们将 对具有脉冲毒素影响与捕获的脉冲种群动力系统进行研究，建立模型如下： 妄= z ( 一槲沪) 一， 塑磐：崛( f ) 一( g + 聊) c 0 ( f ) ， f 玎fo ：o ，1 ，2 ，) ， d f 掣一嘲吐 ( 2 5 ) x ( f ) = o ，c ：( f ) = o ，c ：( f ) = 6 ，f = ，l f ( 以= 0 ，1 ，2 ，) x ( o ) 0 ，0 c r o o ) 1 ，o e o ) s 1 ， 其中p 为对种群x ( f ) 的捕获率，其余系数均与( 2 3 ) 同模型中不考虑捕获对生 物体内毒素的影响 设生物体内毒素的平均浓度有一个临界值e ( e 为常数) ，当生物体内毒素大 于这个值时，生物将死亡 本章主要参照文 3 3 】的方法对模型( 2 5 ) 进行研究，在同时考虑污染与捕获对 种群生存影响的情况下，得出了使得种群弱平均持续生存与绝灭的充分条件 硕。 ：学位论文 2 2 模型分析 模型( 2 4 ) 必须附加的条件3 3 1 在模型( 2 4 ) 中，g ( f ) 与e ( f ) 均表示浓度， 故应满足0 c o ( f ) l ，0 e ( f ) 1 ，为保证上不等式成立，需下面条件成立 及 g 尼g + m ， 6 1 一e 一腑( 2 6 ) 由于模型( 2 5 ) 的第二个方程和第三个方程不含x ，因此可分为两个子模型 j 妄= x ( 啪) 一声) 一鹏 【x ( o ) = o 掣：肥。( f ) 一g c o ( f ) 一m c o ( f ) ， d f 掣一啪) ， d f c o ( f ) = 0 ，e ( f ) = 6 ， o c ；o ) 1 ，0 c ：o ) 1 f 刀f ( ，l = o ，1 ，2 ，) ，( 2 7 ) f = ，l r ( 玎= o ，1 ，2 ，) 引理2 1 3 3 1 模型( 2 。7 ) 有唯一的全局吸引的正f 周期解( 磊( f ) ，包( f ) ) r ，即 磊o f ) = 己( f ) ，t o + f ) = 包( f ) 且当f 一佃时，任何解都有 g ( f ) jc 0 ( f ) ，e ( f ) 专e ( f ) ， 其中 和，= 而嵩筹篙高， 乞( o ) = 专， c j jo ，= t 至jc。，e一(g+m)(fnf)+jiii：j：；i!；5j；j；：， 丘= 警 对f ( ，z f ，0 + 1 ) f ) 及刀z + ，通过计算，得到 k 全r 岛出= 志 注：对模型( 2 6 ) 的解( q ( f ) ，c 。( f ) ) r ，当f = 咒r ，z z + 时，e ( f ) 是不连续的，但 对所有的f o ，因为g ( f ) = o ，所以c o ( f ) 是连续的，即 c t o ( ( 聆f ) + ) = c t 0 ( ，z f ) = c o ( ( n f ) 一) 2 3 持续生存与绝灭 在上节中，对c o ( f ) 和e ( f ) 组成的二维系统做了讨论，本节将研究下面的一维 妄叫一_ 郇) 刊喁 ( 2 8 ) 【x ( o ) = o c o ( f ) 满足模型( 2 7 ) 的性质，由c o ( f ) 的连续性，可知对所有的f 0 ，z ( f ) 是 孔，：毕棚矿：熙s 叩毕棚机：舯f 毕 引理2 2 对于模型( 2 8 ) 的解x ( f ) ，j 丁 0 ，当f 丁时，存在m o ，使得 定义2 1 称种群工( f ) 弱平均持续生存，若i ( f ) + o 定义2 2 称种群x ( f ) 走向绝灭，若l i mx ( f ) = 0 由引理2 1 ，得v 占 0 ，对于较大的f ，有不等式 c - o o ) 一占 c ：o ) o 由( 2 9 ) 和( 2 1 1 ) 得 詈h 蔫 0 ，即i ( f ) o ，种群弱平均持续生存，证毕 2 4 小结 本章考虑了人为的捕获对生物种群生存的影响，在文 3 3 污染环境中具脉冲毒 素输入的l o 西s t i c 单种群模型的基础上，加进去捕获项，用传统积分均值的方法对 此进行研究，得出了毒素与捕获分别使得种群弱平均持续生存与绝灭的充分条 件本文所加捕获项为连续的捕获项，如果将连续的捕获项改为脉冲的，于现实 生活来说将更为符合，对同时具有脉冲的捕获与脉冲的毒素输入的单种群模型的 持续生存与绝灭的研究，将更有现实意义与参考价值 硕上学位论文 第3 章污染环境中两种群v 0 l t e r r a 模型 的持续生存与绝灭 3 1引言 将t g ha l l 锄等人所建立的污染环境中l o 西s t i c 单种群模型 警叫f ) ( 一恻沪鼬) ) ， 掣啦- ( g 训吣 掣一吲卅m ) 进行推广，可得到如下大容量污染环境中具有毒素影响的两种群模型b 8 1 鲁= x ( 矿幅飞x _ 口1 2 少) ， 老= y ( 矿。啪) 一一纠) ， 掣嘏妒圳啉 ( 3 1 ) 坐娑：如e ( f ) 一( 9 2 + ) c 2 ( f ) ， d f 掣一嘲州硗 满足初始条件石( o ) 0 ，y ( o ) o ，c i ( o ) = 0 ，q ( 0 ) = o ，e ( o ) 0 _ 除了 0 f ，z r = 0 ，l ，2 ，) ， f = 以f = o ，1 ，2 ，- ) 其中缸( f ) = x o + ) 一z ( f ) ，少o ) = j ，( 广) 一y o ) ，q ( f ) = c ：f o + ) 一q o ) o = l ，2 ) ， ( 3 2 ) e ( f ) = e ( f + ) 一e ( f ) ，r 是外界向环境的毒素输入周期，6 是每次输入的毒素 量其余系数均与( 3 1 ) 同 如前面一章的单种群一样，( 3 2 ) 可分为两个子模型 硕十学位论文 和 掣= 坝她c l 一喇绩 堡= 岛e ( f ) 一岛c 2 ( f ) 一所：c 2 ( 吐 f 以f ( 珂= o ，1 ，2 ，) ， 掣一吲a c f ( 0 ) = 0 ( f = 1 ，2 ) ，e ( f ) = 6 ，f = 刀f 印= o ，l ，2 ，) o c f o ) l ( f = 1 ，2 ) ，o e ( f ) 1 妄= x ( ”，i 。印) 飞，矶 等= j ，( 矿编飞。一：y ) ， x ( o ) o ，y ( o ) o 来研究 文【3 8 】中作者假定在每个脉冲时刻输入环境的毒素量是固定的，用脉冲微分方 程理论，比较定理和l o t k a v 0 1 t e 玎a 捕食食饵系统的一些性质得出了捕食者和食饵 各自弱平均持续生存和绝灭的阈值 同样，我们将考虑人为捕获的因素对种群生存的影响，可建立模型如下 鲁= z ( 矿幅- 口l 。：y ) 一弘 鲁= ) ，( 嘞郫) 一鸭：y ) 一， 掣= 坝沪( 蜀啉 掣= 嘲沪( 圳 掣一吲吐 缸( f ) = 0 ，妙( f ) = 0 ， c ：( f ) = o o = 1 ，2 ) ，e ( f ) = 6 ， o c ：“) l “= l ，2 1 o c “1 1 f 咒r 0 = o l ，2 ，) ， f = ”f ( 刀= o ，1 ，2 ，) 其中p 为对种群的捕获率，其余系数均与上同 ( 3 3 ) 设生物体内毒素的平均浓度有一个临界值e ( 扛1 ，2 ) ( e 为常数) 当生物体 几类脉冲毒素入侵对生物种群生仔的影响模型 内毒素浓度大于这个值时，生物将死亡 对于( 2 6 ) 式，在本章依然有效，即3 8 1 & 岛+ o = 1 ，2 ) ，6 1 一p 一胁 3 2 附加的引理 上节所用的积分均值法，仍可用于本节的两相互作用种群为了证明我们即 将讨论的定理，现引入下述引理 引理3 1 啪1 设厂( f ) c r ，足一 o ) ，兄与九均为正常数，若存在一个正常 数r ，当f 丁 o 时，厂( f ) 满足不等式 l n 厂( f ) e ( 0 ) o = l ，2 ) ，e ( o ) 色( o ) ，则有g ( f ) e ( f ) o = 1 ，2 ) ，e ( f ) e ( 吩，其中 硕：j ：学位论文 。 毛6 f e 一( g l + 啊) f p “71 c l ( 2 矿看赢了而奇雨 。反6 fg 一( 9 2 + 弛) 7 一p 一6 71 c 2 ( 2 万矗蒜鬲丽市面 丘( 0 ) = 专， c ；c r ，= c ic。，ptg-+mtf1hf，+!5；i；箸， c 雪jc r ，= i 乏c 。，p 一( g ：+ 棚zxfhr)!兰!；5；：筹， 乞：警 对f ( 刀f ，( 甩+ 1 ) f ) 及以z + ，通过计算，得到 k 全r e 班= 志一l ，2 注1 ：对模型( 3 4 ) 的解( c l ( f ) ，c 2 ( f ) ，e ( f ) ) r ，当f = ，z f ，l z + 时，e ( f ) 是不连续 的，但对所有的f o ，因为e ( f ) = o ( f = l ，2 ) ，f = 胛f0 = o ，1 ，2 ，) ，所以 q ( f ) o = l ，2 ) 是连续的，即c ： ( ( 疗f ) + ) = q ( 以f ) = c ：f ( ( ，z f ) 一) 3 3 持续生存与绝灭 从引理3 2 可知c l ) ，c 2 ( f ) 和c e ( f ) 可以成功的解决，因此，模型( 3 3 ) 可变 为下面的二维模型 妄= x ( ”幅1 。：y ) 一鹏 警= y ( 矿吒。啪) - 口2 。x 一纠) 一， 石( 0 ) o ，j ，( o ) 0 几类脉冲毒素入侵对生物种群生存的影响模型 c l ( f ) ，c 2 ( f ) 满足模型( 3 4 ) 的性质由于c l ( f ) ，c 2 ( f ) 的连续性，对所有f o ， x ( f ) 和j ，( f ) 也是连续的 记= 口l l 吃2 一呸2 吃l ，l = ，i o 嘭2 一q 2 眨o ，2 = q i 吒。一，i o 吃l ，2 = q l 吒l 一五l 吃l 显然 0 ，l o ，五2 0 引理3 3 3 8 1 对于模型( 3 3 ) 的每对解( x ( f ) ，y ( f ) ) 7 ，对较大的f ，存在m l o 和m 2 o ，使得0 x ( f ) m l ，0 j ，( f ) o ，对于较大的f ，有不等式 c ：o ) 一占 o 使得 万= 一巧o f + l k 一l 占r + p r o 由( 3 5 ) 和( 3 7 ) ，得 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 墨 一 o 有 f ( 3 9 ) 几类脉冲毒素入侵对生物种群乍存的影响模型 如果i ( f ) + = o ，那么歹( f ) + 0 ，于是由( 3 8 ) 可得 熙s 叩吾m 器 o 矛盾，因此i ( f ) + o ，证毕 定理3 3 都：北凯 分 乞 时，种群y ( f ) 将弱平均持续生存 证扔筹， f 要，p p 2 + 口2 l 吒l ( g o ) + s ) 一a l l 眨。( 岛o ) + 占) 一( 口l l 一呸1 ) p 一歹0 ) + 2 令占一0 ，有 q 1 恐l 疋一呸l 巧i k 一五2 占一( q ，一口：。) p 一萝 ) + 熙s 叩卜詈m 蔫蚂t 詈m 焉， 2 q i 眨l 砭一吃l 吒l 墨 一( 口l l 一口2 1 ) p 一每( f ) + 由刊屿此) 均有界，因此熙s 叩卜吾h l 器m ，詈1 1 1 器瑚，那么由 ，卜，y l - l，1 ，i i l 2 口l l 眨l 必一口2 l ，i i k f 续生存，证毕 一( 口l l 一口2 1 ) p o ， o ，得歹( f ) + o ，种群y ( f ) 弱平均持 2 4 硕上学位论文 定理3 4 若： o ，当r 垒一。幺时，种群少( f ) 将 ，口1 走向绝灭 证( 1 ) 若f o ，存在常数丁， f 十， 得互( f ) ( 1 一刁) 堕，那么当f f 时，有 f 胛ffff 当f 丁时有丝 1 7 7 ，再由( 3 1 1 ) f 手h 器飞争帆刁等叫。琳 令名：，i 。一吒l 堕+ 1 7 7 堕+ 吒l 占，那么( 3 1 0 ) 可写为 ff h 桊 办飞邢堰 x ( o )“、7 南x ( o ) 当鱼堕 f o ，由引理( 2 1 ) 吒o2 荆三 q 1 2 5 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 即 ， e r 1 l， 得 生加 一q 王，l 一 等帅 得 由 几类脉冲毒素入侵对生物种群生存的影响模型 熙s 叩詈h 舞嘞狲1 。耐一p ：上( ：一业笠蜷一旦丛7 7 + 五：占一p ) 以1 l ff ( 3 1 5 ) 由于f 鱼也学，对于合适的7 7 和s ，不等式( 3 1 2 ) 的右边是负的， 则熙s u p 吾l i l 考簖 。，由y ( f ) 有界，可得熙少( r ) = 。 当丁 鱼堕时，由定理3 1 得l i mx ( f ) ：o ，又由( 3 8 ) 得， 熙s 印詈m 考等 眨。 垒一眨。幺时， 口l l由 7 ，得詈m 蔫鸣碱即 h 桊 “砜刈堰势 由引理2 1 ，得x ( z ) 鱼，再由( 3 8 ) 和( 3 1 5 ) ，得 q 1 墼s u 砖1 1 1 黑。嘞幺一堕，i 。一p _ 佃 1 f y ( 0 ) “2 口l l w 1 ：垒一吃。0 2 一p o = _ 二一r i ，一， o ，有l i my ( f ) = o ， 2 6 ( 3 1 6 ) p 一 尘 口一g 吃 + xo i l q吃 一 吃 v i 硕十学位论文 证由( 3 1 6 ) 式得石( f ) 鱼，再由( 3 1 0 ) 和( 3 2 5 ) ，得 q 1 熙s 叩詈h 揣嘞耐飞嚣2 含 o ，4 o ，4 o ，4 o 当无捕食种群存在时( 即y = o ) ，模型在无毒素侵入时也有正平衡点，即 l o ，2 o ，4 3 o 此外还假定