大学基础物理学答案(习岗)第5章.doc

第五章 恒定电流第五章 恒定电流本章提要1.电流强度 当导体中存在电场时，导体中的电荷会发生定向运动形成电流。如果在时间内通过导体某一截面的电量为，则通过该截面的电流I为 如果电流随时间变化，电流I的定义式为2.电流密度 导体中任意一点的电流密度j的大小规定为单位时间内通过该点单位垂直截面的电量，j的方向规定为通过该点的正电荷运动的方向。根据电流密度的定义，导体中某一点面元dS的电流密度为 对于宏观导体，当导体中各点的j有不同的大小和方向时，通过导体任意截面S的电流可通过积分计算，即电流连续性方程为对恒定电流 此关系称为电流的恒定条件。3.欧姆定律 对于一般的金属导体，在恒定条件下欧姆定律有如下表达形式其中R为导体的电阻，为导体两端的电势差 欧姆定律的微分形式为其中，为电导率。4.电阻当导体的材料与温度一定时，对一段截面积均匀的导体，其电阻的表达式为其中l为导体的长度，S为导体的横截面积，为导体的电阻率。该式称为电阻定律。如果导体的横截面积不均匀，导体的电阻可通过下述积分来计算： 5.电动势 非静电力将单位正电荷从电源负极经过电源内部移至电源正极时所作的功称电动势。用表示电动势，上述定义可表达为 如果用表示非静电场的场强，电动势也可表示为 6.电源电动势和路端电压 若电源正负极板的电势分别为和，电源内阻为r，电路中电流为I，则电源电动势为 路端电压为7.接触电动势与温差电动势 因电子的扩散而在导体接触面上形成的电动势为接触电动势。其大小为其中，e为电子电量，k为玻尔兹曼常数，T为热力学温度，是导体A中的电子数密度，是导体B中的电子数密度。 当两种不同的金属导体相互紧密接触，构成闭合回路时，若将两个接触端置于不同的温度下，在回路中出现的电动势称温差电动势，其大小为8.含源电路的欧姆定律其中，负号对应电源放电的情况。9.基尔霍夫定律 基尔霍夫第一定律：流入任一个节点的电流和流出该节点的电流的代数和等于零，即 基尔霍夫第二定律：沿任一个闭合回路的电动势的代数和等于回路中各电阻上电势降落的代数和。思考题5-1电流是电荷的流动，在电流密度的地方，电荷体密度是否可能等于零？答：有可能等于零。例如，在金属导体中电荷的定向移动形成电流，此时在导体中存在着等量异号的电荷，故电荷体密度等于零。而当单独的正离子或负离子的运动形成电流时电荷的体密度不等于零。5-2如果通过导体中各处的电流密度不相同，那么电流能否是恒定的？为什么？答：电流能够恒定，因为即使导体中各处的电流密度不相同，但只要满足电流的恒定条件，通过导体的电流就是恒定的。5-3一根铜线外涂以银层，两端加上电压后，在铜线和银层中通过的电流是否相同？电流密度是否相同？电场强度是否相同？答：由欧姆定律，铜线和银层的长度一样，但它们的横截面积S不同，电阻率不同，所以，当两端施加同样的电压时通过铜线和银层的电流是不相同的。同理，由可知，铜线和银层的电流密度也不相同。由可知，铜线和银层中的电场强度是相同的。5-4截面相同的铝丝和钨丝串联，接在一个直流电源上，问通过铝丝和钨丝的电流强度和电流密度是否相等？铝丝内和钨丝内的电场强度是否相等？答：因为铝丝和钨丝串联，所以通过铝丝和钨丝的电流强度相等。又因二者截面积相同，根据，则通过的电流密度也相等。根据，由于两种材料的电阻率不相等，通过的电流密度相等，所以，两种材料内的电场强度不相等。5-5电源的电动势和端电压有什么区别？两者在什么情况下才相等？答：电动势是单位正电荷从负极经电源内部移到正极时非静电力所做的功，端电压是指电源正负两极之间的电压，一般情况下电源的端电压不等于电动势，两者之差为Ir，即电源电流与内阻r之积，称内阻电位降。当电源内阻为0，即Ir=0时，端电压在数值上等于电动势。对于有内阻的电源，只要流过它的电流为零（处于开路状态的电源就是如此），端电压也与电动势在数值上相等。练习题EdS图5-15-1 大气中由于存在少量的自由电子和正离子而具有微弱的导电性。已知地球表面附近空气的电导率，场强，地球半径。若将大气电流视为恒定电流，计算由大气流向地球表面的总电流强度。解：已知，。在地球表面上取一个微元曲面，如图5-1所示。则由大气流向曲面的电流强度为（1）对上式积分可得大气流向地球表面的总电流强度为因为地球表面积为于是，大气流向地球表面的总电流为5-2 截面积为10mm2的铜线中，允许通过的电流是60A，试计算铜线中的允许电流密度。设每个铜原子贡献一个自由电子，可算得铜线中的自由电子密度是，试计算铜线中通有允许电流时自由电子的漂移速度。解：铜线截面积，允许通过的电流，则铜线中允许电流密度又知铜线中的自由电子密度，则铜线中通有允许电流时自由电子的漂移速度为5-3 有一个灵敏电流计可以测量小到的电流，当铜导线中通有这样小的电流时，每秒内有多少个自由电子通过导线的任一个截面？如果导线的截面积是，自由电子的密度是，自由电子沿导线漂移需要多少时间？IvtS解：设导线中单位体积的电子数为n，导线截面积为S，电子运动的平均速度为，则t时间内通过截面S的电子数N应为如图5-2所示的圆柱体内的电子数，即由于，即，将其带入上式得 图5-2由已知条件可知，铜导线中电流，t1s，则每秒内通过导线任一个截面的自由电子数为又知导线的截面积，自由电子的密度， 则电子的平均漂移速率为于是，自由电子沿导线漂移需要的时间为 5-4 一个铜棒的截面积为，长为，两端的电势差为。已知铜的电导率，铜内自由电子的电荷体密度为。求：（1）该铜棒的电阻；（2）电流；（3）电流密度；（4）铜棒内的电场强度；（5）铜棒中所消耗的功率；（6）棒内电子的漂移速度。解：铜棒的截面积，长，电导率，则（1） 铜棒电阻为（2） 由于铜棒两端的电势差为，则电流为 （3） 由电流密度的定义可知电流密度为 （4） 棒内的电场强度 （5） 铜棒中所消耗的功率为 （6） 由于自由电子的电荷体密度，则电子的漂移速度为 5-5大多数生物细胞的形状类似圆球，这类细胞的细胞膜可视为一个同心球壳体系，如图5-3所示。由于活体细胞内外均有许多带电粒子，这些粒子可通过细胞膜进行交换，形成跨膜电流。设细胞膜内半径为Ra，外半径为Rb，膜中介质的电阻率为。求（1）细胞膜电阻；（2）若膜内外的跨膜电势为Uab，求跨膜电流的电流密度与半径r的关系。图5-3d rRaRbr 解：（1）设想细胞膜是由许多个薄层圆形球面组成。以r代表其中任意一个薄层球面的半径，其面积，以dr表示薄层的厚度，如图5-3所示。由题意可知电流沿径向方向流动，该薄层的电阻应为，则细胞膜的总电阻为（2）由于膜内外的跨膜电势为，跨膜电流由于在距离球心r处的总电流所通过的“截面积”，则跨膜电流的电流密度与半径r的关系为5-6电缆的芯线是半径为的铜线，在铜线外面包有一层同轴的绝缘层，绝缘层的外半径为，电阻率。在绝缘层外面又用铅层保护起来（见图5-4）。求（1）长的这种电缆沿径向的电阻；（2）当芯线与铅层间的电势差为100V时，在这电缆中沿径向的电流多大？Il图5-4d rr (a) (b)解：（1）设想整个绝缘层是由许多个薄圆桶形绝缘层叠合而成。如图5-4所示，以r代表其中任意一个薄层的半径，该薄圆桶形绝缘层的表面积，以dr表示此薄层的厚度，则由电阻公式，该薄层的径向电阻应为长的这种电缆沿径向的总电阻为代入数据后，解得（2）当芯线与铅层间的电势差时，根据欧姆定律求得径向电流为 5-7 一个蓄电池在充电时通过的电流为3.0A，此时蓄电池两极间的电势差为4.25V。当这个蓄电池放电时，通过的电流为4.0A，此时两极间的电势差为3.90V。求该蓄电池的电动势和内阻。AB、rIAB、rI充电放电图5-5解：如图5-5所示，设所选定的积分路径是自A端经蓄电池到B端，应用含源电路的欧姆定律可得AB两端的电势差。当蓄电池充电时，有当蓄电池放电时，有将两式联立求解，并带入数据，；，可解得，IDCBA 图5-6r2e1r1e2即蓄电池的电动势为4.10V,内阻为0.05。5-8 图5-6中的两个电源都是化学电池，,，内阻。求：（1）充电电流；（2）每秒内电源1消耗的化学能；（3）每秒内电源2获得的化学能。解：（1）如图5-6所示，对闭合回路ABCDA应用基尔霍夫第二定律得：带入数据，解得（2）每秒内电源消耗的化学能为（3）每秒内电源获得的化学能为5-9 电动势为和的两个电池与外电阻R以两种方式连接（如图5-7所示），图（a）中伏特计的读数为。问：（1）图（b）中伏特计的读数为多少（伏特计的零点刻度在中央）？（2）讨论电池在两种情形中的能量转换关系。 （a） （b） 图5-7Be1e2CAI2RVRCBAe1e2I1V解：（1）设电动势为、的两电池内阻分别为、，两电路中的电流、及方向如图5-7所示：对电路（a）应用含源电路的欧姆定律得对回路ABCA应用基尔霍夫第二定律得类似地，对电路（b）得对回路得联立求解、式，代入数据、即，可解出因伏特计的零点刻度在中央，在电路（a）中读数为0.6V，则在电路（b）中读数应为。（2）在（a）电路中，电流方向与的方向一致，电池2处于放电状态。电池2消耗的电能一部分输出给外电路，另一部分转化为其内阻上的焦耳热。在（b）中电池2处于充电状态，外电路输入的能量一部分转化为电池2的非静电能，另一部分转化为其内阻上的焦耳热。5-10 利用安培计和伏特计来测量电阻（已知安培计的电阻，伏特计的电阻），有下列两种方法：（1）按图5-8（a）的接法，安培计的读数为，伏特计的读数为。试求在计算电阻值时因未将安培计的电阻计算在内而造成的相对误差。如，作同样的计算。（2）按图5-8（b）的接法，安培计的读数为,伏特计的读数为。试求在计算电阻值时因未将通过伏特计中的电流计算在内而造成的相对误差。如，作同样的计算。（3）通过上面的计算，讨论所得的结果。RR (a) (b)图5-8AAVV解：（1）对图5-8（a），若考虑安培计的内阻，流经R的电流为，R上的电压降，则测出的电阻为若不考虑安培计的内阻，则测出的阻值为 测量的相对误差为带入数据，解得。如，作同样的计算得。（2）对图5-8（b），考虑到伏特计的电阻，则流经待测电阻R的电流为于是带入数据，解得。若不考虑伏特计的电阻，则则相对误差如，作同样的计算得R1R2321e1，r1e2，r2ABe3，r3图5-9（3）讨论：通过以上计算可知使用安培表内接法测电阻时，由于安培表内阻有分压作用，因而在未考虑安培表内阻时使待测电阻的测量值比真实值偏大，且加在待测电阻两端的电压越小，相对误差越大；使用安培计外接法测电阻时，由于伏特计内阻的分流作用，使得测量值比真实值偏小，且通过的电流越小，相对误差越大。5-11 在图5-9所示的电路中，已知，。求：（1）通过3的电流；（2）R2消耗的功率；（3）3对外供给的功率。解：（1）设各支路中的电流强度分别为、，其指向如图5-9所示。对节点A应用基尔霍夫第一定律可得 对闭合回路A1B3A（绕行方向为顺时针方向）和A2B3A（绕行方向为顺时针方向）分别应用基尔霍夫第二定律可得 将数据、 代入回路方程、并与电流方程联立求解可解出 ,此结果中、为负值，说明它们的实际电流指向与图中假定方向相反， 为正值，说明实际电流方向与原假定方向相同。所以，通过3的电流大小为0.29A。（2）R2消耗的功率（3）3对外供给的功率ABR2Ri2I2e1，r1I1R1Ri1R4Rie2，r2R3Ri3I3e3，r3图5-105-12 在如图5-10所示的电路中，已知，。求通过电阻R2的电流的大小和方向。解：设各支路中的电流强度分别为、，其指向如图5-10所示，对节点A应用基尔霍夫第一定律可得 对闭合回路A1B2A（绕行方向为顺时针方向）和A2B3A（绕行方向为顺时针方向）分别应用基尔霍夫第二定律可得带入数据、和，可解得，此结果中为正值，说明其方向与原来假定方向相同；、为负值，说明实际电流指向与原假定方向相反。因此，通过电阻R2的电流的大小为0.46A，方向从A指向B。e2，r2RiI2ARiBRi21R1RiR3RiR2RiR4RiR5RiI33e3，r3DC 图5-11e1，r1I15-13 在如图5-11所示的电路中，已知，。求：（1）A、B两点间的电势差；（2）C、D两点间的电势差；（3）如C、D两点短路，这时通过R5的电流有多大？解：（1）设回路中电流强度的方向如图5-11所示。对回路A1B2A，设回路绕行方向为顺时针方向，应用基尔霍夫第二定律可得当C、D断开时，由此解得 带入数据，解得。选择一段含源电路A1B应用含源电路的欧