（电路与系统专业论文）全局最优化复数小波的设计及其应用研究.pdf

摘要 小波分析作为一种广泛用于分析非稳态信号的工具，具有重要的理论价 值和广阔的应用范围。然而，通常的离散小波变换存在着一些缺陷，特别是 存在对平移的敏感性，这些缺陷严重影响了小波表征信号的能力。为此， k i n g s b u r y 提出了双树复数小波变换。复数小波具有许多普通小波所不具备 的优良性质，例如对平移不敏感，存在相位信息，具有方向选择性等。然而 在复数小波领域还存在着许多待解决的问题。我们知道复数小波的优良性能 只有通过设计出合适的离散复数小波才能得以体现，由于复数小波的设计过 程远比普通小波复杂，使得现有的设计方法均未能很好折中复数小波的各项 性能。其次，在应用领域，复数小波的应用还有待于发展。从这个角度入手， 本文开展了复数小波的设计以及相应的应用研究，其主要的研究内容有： 首先，众所周知，由正交小波基构成的h i l b e r t 变换对只能由共扼镜像 滤波器( c o n j u 黟t eq u a d r a t u r ef i l t e r , c q f ) 组构成的尺度滤波器近似实现。而 本论文中我们首次将h i l b e r t 变换对的近似实现问题，归纳成尺度滤波器成 为h i b e r t 变换对所需要满足的幅度和相位条件在易够= l ，2 或哟范数意义下 最小化的一个最优化问题。此时，视构成共扼镜像滤波器组所需要的充分必 要条件为该最优化问题的约束，利用分支定界的双线性规划算法，我们获得 了该约束最优化问题的全局最优解。因为我们的约束最优化问题联合考虑了 尺度滤波器幅度和相位条件对所需要设计h i l b e r t 变换对近似质量的影响。 所以，本文获得的全局最优解能更好地近似h i l b e r t 变换对。一些正交小波 基的设计实例表明：我们的设计方法优于现有其他文献中所报道的方法。另 外，我们的实验还表明，优化误差函数的，l 模可以得到近似性能更好的 h i l b e r t 变换对。 利用设计出的复数小波，本论文提出了一种基于复数小波图像质量因子 的相似性测度。由于设计的复数小波对平移是不敏感的，我们提出的相似性 测度对图像的局部形变具有较好的鲁棒性。与传统互信息相似性测度的比较 结果表明：本文提出的测度可以使非线性配准算法在血管减影图像配准中具 有更好的配准精度。此外，基于提出的测度，本论文也提出了种迭代的血 管减影图像配准算法。该算法利用每次配准过程提取到的血管信息来提高下 一次配准算法的精度，从而进一步提高了配准的精度。 最后，本文提出了一种基于小波域隐性马尔科夫树模型的多光谱图像融 合算法。该算法首先从高分辨率全色图像中得到小波域隐性马尔科夫树统计 模型，然后利用该模型作为先验信息对低分辨率多光谱图像进行超分辨率恢 复，从而达到多光谱图像融合的目的。实验结果表明，与传统的融合算法相 比，本论文提出的算法能得到质量更高的融合图像，并且能够保持比较好的 色彩效果。此外，由于小波系数的统计信息具有对噪声不敏感的，因此本文 提出的融合算法对于加性噪声具有鲁棒性。 关键词：小波复数小波双线性规划希尔伯特变换对小波设计医 学图像配准质量评估因子多光谱图像融合隐性马尔科夫树模型 中图分类号：t p 3 9 1 a b s t r a c t w a v e l e ti sa s i g n a lp r o c e s s i n g t o o l w i d e l ye m p l o y e d t o a n a l y z e n o n - s t a t i o n a r ys i g n a l i th a sb o t hs i g n i f i c a n tt h e o r e t i c a lv a l u ea n dw i d ep r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s h o w e v e r , t h et r a d i t i o n a l d i s c r e t ew a v e l e ti r a n s f o r mh a ss o m e d r a w b a c k st h a tu n d e r m i n ei t sa p p l i c a t i o n , i nw h i c ht h es h i f ts e n s i t i v i t yi so u eo f t h em o s tt r o u b l e s o m eo n e a sar e s u l t , k i n g s b u r yh a sp m p o s e dt h ed u a l - t r e e c o m p l e xw a v e l e tt r a n s f o r m w i t hab t o f g o o dp r o p e r t i e s , s u c h a s s h i f t - i n s e n s i t i v i t y , p h a s ei n f o r m a t i o n , a n dd i r e c t i o ns e l e c t i v i t y n e v e r t h e l e s s ， t h e r ea r es t i l lm a n y p m b l e m sl e nu n s o l v e di nt h ec o m p l e xw a v e l e td o m a i n f i r s t o f a l l , t h ep e r f o r m a n c eo f t h ec o m p l e xw a v e l e ti sh i g h l yd e p e n d e n to nt h ed e s i g n o f t h e p r o p e rd i s c r e t ec o m p l e xw a v e l e t , w h i c hi sc o n s i d e r a b l ym o r ed i f f i c u l tt h a n t h ed 骼i g no ft h el r a d i t i o n a ld i s c r e t ew a v e l e t s e c o n d d u et oi t sd e s i r a b l e p r o p e r t i e s , t h ec o m p l e xw a v e l e ti se x p e c t e dt ob ee m p l o y e di naw i de rr a n g eo f a 代熘s i no r d e rt os o l v et h e s ep r o b l e m s , t h i st h e s i sf o c u s e so nt h ed e s i g no f d i s c r e t ec o m p l e xw a v e l e ta n dt h ea p p f i e a t i o m t km a i nc o n t e n t so fo 盯t h e s i s a i e ： i nt h i st h e s i s , t h ea p p r o x i m a t ef i rr e a l i z a t i o no ft h eh i l b e r tt r a n s f o r mp a i r s i sf o r m u l a t e da sa no p t i m i z a t i o np r o b l e mi nt h es e l 鹤eo f t h e 易妒l ，2 ，o ri n f i n i t e ) n o r mm i n i m i z a t i o no nt h ea p p r o x i m a t ee r r o ro ft h e m a g n i t u d ea n dp h a s e c o n d i t b n so ft h es e a l i n gf i l t e r s t i l eo r t h o g o n a l i t ya n dr e g u l a r i t yc o n d i t i o n so f t h ec q fb a n kp a i r sa r et a k e na st h ec o n s w d i n t so f s u c ha no p t i m i z a t i o np r o b l e m w h e r e a f t e rt h eb r a n c ha n db o u n dt e c h n i q u ei se m p l o y e dt oo b t a i nt h eg l o b a l l y o p t i m a ls o l u t i o no ft h er e s u l t i n gb i l i n e a rp r o g r a mo p t i m i z a t i o np r o b l e m s i n c e t h eo r t h o g o n a l i t ya n dr e g u l a r i t ye o n di t i o ma r ee x p l i c i t l yt a k e na st h ec o n s t r a i n t s o fo u ro p t i m i z a t i o np r o b l e m ，t h ea t t a i n e ds o l u t i o ni sa na p p r o x i m a t eh i l b e r t t r a n s f o r mp a i rs a t i s l y i n gt h e s ec o n d i t i o n se x a c t ms o m eo r t h o g o n a lw a v e l e t b a s e sd e s i g n e dh e r e i nd e m o n s t r a t et h a to a rd e s i g ns c h e m ei ss u p e r i o rt ot h o s e t h a th a v eb e e nr e p o r t e di nt h ef i t e m t t 耶e m o r e o v e r , t h ed e s i g n e do r t h o g o n a l w a v e l e tb a s e ss h o wt h a tm i n i m i z i n gt h e 厶r l o r mo ft h ea p p r o x i m a t ee i t o rs h o u l d b ea d v o c a t e df o ro b t a i n i n gb e t t e ra p p r o x 如a a t e di - t l 曲e r tp a k s w i t ht h ed e s i g n e dc o m p l e xw a v e l e t , t h i st h e s i sp r o p o s e sas i m i l a r i t y m e a s u r eb a s e do nt h ec o m p l e xw a v e l e ti m a g eq u a l i t yi n d e x d l i et ot h es h i f t i n s e n s i t i v i t yp r o p e r t yo ft h ec o m p l e xw a v e l e t , t h ep r o p o s e dm e a s u r ei s m o r e r o b u s tt ob c a ld e f o r m a t i o n st h a nt h em u t u a li n f o r r m t i o n 1 1 e x p e r i m e n t a l r e s u l t ss h o wt h a tu si n gt h ep r o p o s e dm e a s u r ec a np r o d u c eb e t t e rr e g i s t r a t i o n r e s u l t si nd i g i t a ls u b t r a c t i o na n g i o g r a p h y ( d s a ) i m a g er e g i s t r a t i o n i na d d i t i o n , t h er e g i s l r a t i o nr e s u l ti si t e r a t i v e l yr e f i n e dw i t ht h eh e l po f t h ee x t r a c t e dv e s s e l i n f o r m a t i o n t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ei t e r a t i v es c h e m eh e l p i n c r e a s et h er e g i s t r a ti o np r e c i s b n f i n a l l y ，w ep r o p o s eam u l t i - s p e c t r a la n dp a n c h r o m a t i ci m a g e s 缸s i o n a l g o r i t h mu s i n gt h ew a v e l e t - d o r m i nh i d d e nm a r k o vt r e em o d e l0 u ra l g o r i t h m 3 e x p l o i t st h ew a v e l e t - d o m a i nh i d d e nm a r k o vf r e em o d e lo b t a i n e d f r o mt h e h i g h - r e s o l u t i o np a n c h r o m a t i ci m a g e t o p e r f o r ms u p e r r e s o l u t i o nt ot h e b w - r e s o l u t i o nm u l t i - s p e c t r a li m a g e i nt h i sw a y , t h ed e s i r e dh i g h - r e s o l u t i o n m u l t i s p e c t r a li m a g ei so b t a i n e d t h ee x p e r i m e n t a lr e s u k ss h o w t h a tt h ep r o p o s e d a l g o r i t h mc a np r o d u c es h a r p e ri m a g e sa sw e l la sr e t a i n i n gg o o dc o l o r m o r e o v e r ， a sar e s u l to f t h ei n s e n s i t i v i t yo ft h ew a v e l e tc o e f f i c i e n t s s t a t i s t i c a li n f o r m a t i o n t ot h en o i s e s , o i ka l g o r i t h me x l a b i ts t r o n g e rr o b u s t n e s st ot h ea d d i t i v en o i s e s k e y w o r d s ：w a v e l e t , c o m p l e xw a v e l e t , b i l i n e a rp r o g r a m m i n g ，w a v e l e t d e s i g n , h i l b e r tt r a n s f o r mp a i r , m e d i c a li m a g er e g i s t r a t i o n , i m a g eq u a l i t yi n d e x , m u l t i s p e c t r mi r i 嶝f u s i o n , h i d d e nm a r k o vt r e em o d e l c l 讥s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o n ：t p 3 9 1 4 1 1 引言 第1 章绪论 随着科学技术日新月异的发展，各种各样的信号在现实应用中随处可见，例 如语音信号，图像信号，超声医学信号，声纳和雷达信号等等。这些信号的处理 具有十分重要的实用价值。在这些应用中，我们需要处理的信号多为非平稳信号， 例如在语音的自动识别，图像的压缩、识别和处理，超声图像成像，雷达目标自 动检测等应用中，我们都需要进行非平稳信号的处理。然而对于这些非平稳信号， 传统基于傅里叶变换的信号处理方法，已经不能够满足非平稳信号处理的要求， 我们需要一种新的信号处理的方法。 近年来，国内外学者对非平稳信号处理进行了大量的研究，提出并发展了一 类新的信号处理和表示方法：时频分析方法。由于非平稳信号的特性随着时间而 变化，因此我们有必要同时使用频率和时间来表示非平稳信号。为此，信号处理 领域的学者提出了各种时频分析的方法，其中常用的方法有短时傅里叶变换、 g a b o r 变换、小波变换等。短时傅里叶变换是由g a b o r 最先在文献【l 】中提出的时 频分析方法。通过对傅里叶变换加上时间窗，短时傅里叶变换能够更好地反映出 信号中的瞬态结构，并为时频分析建立了理论基础。而g a b o r 变换是以高斯窗作 为窗函数的短时傅里叶变换。小波变换是由m a l l a t 在文献【2 】提出，并由其他学 者完善的一种新型的时频分析方法。小波变换通过伸缩平移的窗函数运算对信号 进行多尺度的细化来达到自适应信号处理的要求。由于小波变换具有的稀疏性， 无冗余性，完美重构性、多尺度性等良好的性质，小波自从提出来以后在各种领 域都得到了广泛的应用，并且在理论和构造方法上一直处于不断的发展中。 1 2 小波变换的理论基础的发展 法国数学家傅里叶于1 8 0 7 年在法国提出的傅里叶变换是工程中使用最为广 泛的全局变换。该变换指出，任何周期信号都可以表示为一系列正弦和余弦信号 的叠加。由于傅里叶变换的基函数一科具有正交性，通过将时域信号m ) 与和核 函数纠进行内积运算即可以将雕) 转变到频域表示为只功。这个频域函数反映 了该信号的总体频谱特性。傅里叶变换的另一个重要的性质是可以将方便的表示 和分析线性时不变系统。一个信号，【f ) 通过冲击响应为办( f ) 的线性时不变系统的 响应为r 厂( ，潮u - t ) d a 。该响应的傅里叶变换为只o ) n ( r o ) ，其中以劝和倒缈) 分别 ， 为m ) 和h q ) 的傅里叶变换。这个性质使傅里叶变换不仅能够有效的分析平稳信 号，也适合用来分析线性时不变系统。因此，长期以来傅里叶变换在工程应用中 一直占有统治性地位。 但是，傅里叶变换也具有其局限性。虽然傅里叶变换的频谱能反映信号的全 局信息，但确没有分析信号局部信息的能力。对于现实世界中广泛存在着的非平 稳信号，我们仅仅从频域上进行分析是不够的，需要进行时频分析。针对这个问 题，法国的科学家g a b o r 于1 9 4 6 年提出了g a b o r 变换，开辟了时频信号分析的 新领域。g a b o r 变换是一种窗函数为高斯函数的短时傅里叶变换。短时傅里叶变 换的基本思想是将不平稳的信号看作是分段平稳信号，给信号在时间轴上加上了 一个可移动的，时间上跨度较小的窗毋，f = 矽g ( ，一”) 后，进行傅里叶变换。通过 对信号加窗，短时傅里叶变换反映的是一段时间内信号的局部频谱特性，因此可 以反映出信号的时变特性。 短时傅里叶变换虽然能够处理时变信号，但也存在着自己的问题。由于在短 时傅里叶变换中，窗函数确定后，窗的长度无法更改。因此，短时傅里叶变换的 时间分辨率无法改变。另外，短时傅里叶变换也无法离散化成一组正交基，相对 难以离散化。这些限制都制约了短时傅里叶变换的应用。为了克服这些缺陷，信 号处理领域的学者们提出了小波变换。小波变换的提出最早可以追溯到1 9 1 0 年， h a l t 提出的规范正交小波的思想。该小波通过对阶跃函数进行平移和缩放运算， 构建了最简单的正交小波基函数。m a y e r 和m o r l e t 在2 0 世纪8 0 年代完成了连续 小波变换的理论构建。小波变换通过对信号加上一个可移动的，长度可变的窗 。( f ) = 去y ( 型) 后，再进行傅里叶变换来分析信号。与短时傅里叶变换不同， 、，( s ) s 小波变换的窗函数的长度可变，因此具有多分辨率分析的能力。多分辨率性质是 小波变换的一个重要性质，这使得小波变换即可以反映出信号的总体特征，又可 以刻画出信号在某一段短时间内的性质。1 9 8 7 年，m a l l a t 提出了著名的快速小 波运算算法【3 j ，该算法可以在o ( 聊时间复杂度内进行离散小波变换，在小波分析 领域中占有十分重要的地位。m a l l a t 算法使小波变换能够方便和快速的在离散域 上运算，为小波变换在工程上的广泛应用打下了坚定的基石。 近些年来，国内外的学者提出了许多小波变换，例如具有任意方向性的二维 小波变换c o n t o u r l e t 4 1 ，用于表示图像边缘的小波c u r v e l e t t 5 1 ，提升小波变换【6 】， 具有近似平移不变形的双树复数小波变换r 7 1 。这些小波变换有各自的优点和应用 领域。其中双树复数小波变换具有近似平移不变形和方向性，在模式识别等领域 具有广泛的应用，是本文的研究重点。 小波构造方法是小波研究领域的一个核心问题，因为小波的各种性质需要通 过构造合适的离散小波来实现。在现有的应用中，我们使用的小波变换多是基于 滤波器组的m a l l a t 快速离散小波变换。因此，设计合适的小波可以归结为设计 合适的滤波器组问题。早在1 9 1 0 年，h a r r 通过对阶跃函数进行简单的平移和缩 放，构造了世界上第一个正交小波基：h a r r 小波。但是，由于其不连续性，h a r t 小波并不适合用于表示连续信号。d a u b e c h i e s 在1 9 8 8 年采用基于多项式的方法 构造出具有紧支撑、满足正定性的d a u c b e c h i e s 小波瞵j ，并在1 9 9 2 年在自己的著 作( ( t e nl e c t u r e so nw a v e l e t s ) ) p j 中对小波的理论和设计方法进行了总结。 d a u c b e c h i e s 小波具有正交性、规则性可调、紧支撑、实现方便等优良性质，是 现在工程中使用最广泛的小波。c o i f m a n 、m a y e r 和w i c k e r h a u s e r 在1 9 9 2 年通过 推广多分辨率逼近和小波之间的关系，提出了小波包【l0 1 。小波包可以将频率轴 分成不同大小的分离区间，突破了小波分析频带等宽的限制。小波包主要应用在 视频压缩中j 。s w e l d e n 和d a u b e e h i e s 在1 9 9 5 年提出了提升小波【6 1 。提升小波 在不依赖傅里叶变换的前提下进行小波变换，可以构造出很多传统小波设计方法 无法构造小波。使用提升小波变换构造出的自适应方向小波在图像压缩领域有着 广泛的应用【1 2 1 。 可以看出，虽然小波具有很多良好的特性，在实际应用中这些特性都需要通 过构造出特定的离散小波来实现。因此，如何构造合符合实际应用的小波，是小 波领域的重要问题。本文也将在这个方向上进行探索，试图解决复数小波滤波器 对的设计问题。 1 4 小波变换在图像处理中的应用 目前，小波变换在信号处理领域的应用日益增多，因为小波变换具有很多其 它变换不具备的优良性质。图像信号作为一种非平稳的复杂信号，其处理方法一 直是信号处理领域的热点问题。由于小波变换所具有的优良性质，其在图像处理 领域得到了广泛的应用。 首先，小波具有稀疏性。也就是一幅图像小波变换的能量大部分都集中于少 量小波系数上，这个性质对图像压缩非常有利。在计算机工业中广泛采用的 j p e g 2 0 0 0 】静态图像压缩标准中就采用了小波变换。近些年来，国内外学者提 出了各种改进的用于图像压缩的小波。例如，采用提升结构的小波可以自动适应 图像边缘的方向，从而达到较高的压缩效率【1 2 1 4 】，以及可以有效应用于视频压 缩的三维小波变换【l5 1 。这些应用从根本上都利用了小波系数的稀疏性的特点。 小波的稀疏性也使我们可以有效的将小波用于图像去噪。鉴于图像的能量主 要集中在少量的小波系数上，小波阈值去噪方法【1 6 】通过将小于某个阈值的小波 系数设为0 ，再通过小波逆变换重构来实现去噪。但是，这种方法容易受到g 叠a b s 效应的影响，采用e u r v e l e t s i r 7 】或者b a n d l e t s i l 8 】的阈值去噪方法可以得到更加平滑 的图像。另外，小波域的统计模型也可以用于图像去噪【1 9 1 1 2 0 l 。 其次，小波具有多尺度分析的特点。这个特点使小波变换能应用于多尺度多 光谱图像融合【2 。基于小波变换的多光谱图像融合，就是通过将单色高分辨率 图像的高频信息加到低分辨率多光谱图像中，以达到综合利用高分辨率单色图像 的分辨率和多光谱低分辨率图像的光谱信息的目的。小波变换的多尺度分析特 点，也可以使小波适合用于多尺度的边缘检测【2 2 】和特征点提取【2 3 1 。 最后，小波变换可以有效地反映图像的边缘信息。早在8 0 年代，小波变换 就被应用于边缘检测【2 4 1 。而由于边缘特征是纹理的主要特征，小波变换也被广 泛的用于纹理识别f 2 5 1 1 2 6 2 7 1 1 2 s 1 。对于图像边缘自适应的小波可以用于图像增强、 图像超分辨率恢复、图像上色等多种应用【2 9 1 。同时，由于图像边缘对图像识别 的重要意义，小波变换广泛应用于模式识别领域作为模式识别的特征1 3 0 儿3 l 】。 正是由于小波变换的这些优良的性质，小波变换已经广泛应用于图像处理领 域。本文将探索小波变换在图像处理领域中的应用。 1 5 选题意义和创新性说明 由于小波的良好性质，小波在雷达和声纳信号处理、语音识别、图像识别与 处理、超声信号处理等工程领域都具有广泛的应用。然而，不同应用对小波的特 性有不同需求。例如，在模式识别中，我们希望小波具有平移不变性。针对这些 特性，我们需要设计出具有各种性质的小波。其中，复数小波是一种具有平移不 变性、方向性和相位信息的小波，在模式识别中有广泛的应用。 然而，复数小波的设计由于需要考虑小波对之间的相位约束，难度比传统的 小波的设计大很多。而复数小波的平移不敏感性又是与设计出滤波器的性能息息 相关的。因此，复数小波的设计是一个很有意义，并且很困难的问题，现有的复 数小波的设计方法均存在着各自的问题，并没有在小波的各项性能之间有效的折 中。本文将回顾现有复数小波设计方法存在着的问题，并提出了一种新的复数小 波设计方法。该算法通过使用全局最优的双线性规划算法，设计出的复数小波性 能比现有文献中存在着的复数小波好很多。同时，该算法还为小波设计领域提供 了一种新的途径。我们设计方法己也经在i e e et r a n s a c t i o no ns i g n a lp r o c e s s i n g 上发表，并得到了相关领域专家的一致好评。此外，本文还探索了小波在血管减 影图像配准和多光谱融合中的应用，并在这些应用中均取得了很好的效果。 1 6 本文的主要工作及内容安排 本论文主要研究了复数小波的设计和应用。论文的主要工作如下： 第二章回顾了离散小波变换和双树复小波基本理论和构造方法。首先，我们 回顾了小波变换基本理论，我们介绍了连续小波和离散小波。然后，我们回顾了 小波的设计方法，重点介绍了著名的d a u c b e c h i e s 小波设计方法，并且给出了对 应的设计实例。最后，我们根据小波的缺点，回顾了复数小波，并且介绍了复数 小波的性质。 第三章提出了一种基于全局最优双线性规划的双树小波设计算法。该算法使 全局最优的双线性规划算法设计双树小波，可以得到一致最优的结果。实验表明， 本文中提出的优化算法设计出复数小波具有更好的平移不变性。最后，本章比较 了使用各种范数作为目标函数进行优化设计出的小波的性能，发现使用，l 范数设 计出的小波的性能最好。 第四章提出了使用复数小波结构图像质量因子的相似性测度，并介绍了使用 这种相似性测度的迭代血管减影图像的配准算法。由于复数小波的平移不敏感 性，使用复数小波结构图像质量因子的相似性测度对局部图像形变具有更高的鲁 棒性。实验表明，使用复数小波的结构图像质量因子的配准算法比使用互信息的 配准算法的效果好。并且，我们的算法通过迭代逐渐更新出提取出的血管，达到 了不断提高血管提取质量的效果。 第四五提出了基于小波域隐性马尔科夫树模型的多光谱融合算法。该算法首 先从高分辨率全色图像中得到小波域隐性马尔科夫树模型，然后利用该模型作为 先验信息对低分辨率多光谱图像进行超分辨率恢复，达到多光谱图像融合的目 的。实验结果表明，与传统的算法相比，我们的算法融合的图像质量更高，并且 能够保持比较好的色彩效果。此外，由于小波系数的统计信息具有对噪声不敏感 的特点，本文提出的算法对噪声具有较好的鲁棒性。 第五章总结了论文的主要研究成果，并提出了开展进一步研究的设想和建 议。 第2 章小波和复数小波理论回顾 2 1 小波变换理论 传统的信号处理方法建立在傅里叶变换的基础上。傅里叶变换采用全局变 换，只能从频域上对信号的全局特性进行分析，无法刻画出信号的时频局部性质， 而局部的时频性质往往是非平稳信号的最重要的性质。因此，傅里叶变换虽然适 合用来分析平稳信号，但并不适合分析非平稳信号。因为小波变换具有多分辨率 分析的良好理论特性，可以同时反映出信号的全局和局部特征，并且在离散域中 存在着快速算法，非常适合用于非平稳信号的分析。所以其作为- - 1 7 新兴学科， 已经对数学和信号处理等领域产生了深远的影响。本节对前人的工作进行了总 结，介绍了小波变换的基本理论知识，为后续的研究提供了基础。 小波变换的最大特点是可以分析不同大小的信号结构。因此，其有必要使用 具有不同大小时域支撑的窗函数，该窗函数被称为小波。小波由一个零均值l 2 ( r ) 母小波函数缈( f ) 生成： y ( f ) = o ( 2 一1 ) 对帅) 进行伸缩s 和平移甜，司以得到一族小波面函数 蚶) 2 击y 哔) ( 2 - 2 ) 这些函数具有规范化的范数芦| _ l 。当s 较大时，声( f ) 的宽度较大，小波 的时间分辨率较弱。反之，。( f ) 的宽度较小，小波的时间分辨率较强。因此， 小波具有多分辨率分析的特性。 l 2 皿) 函数加) 的时间材，尺度s 的小波变换为 叭叩) _ _ e 饨) 击缈( 竿渺 ( 2 3 ) 其中g t * ( 上兰) 表示妙( 尘兰) 的共轭。 当母小波的傅里叶变换甲( 国) 满足小波容许性条件 = f 掣揪( 2 - 4 ) 时，小波变换可以完美莺构。对应的小波逆变换的重构公式为： 第2 章小波和复数小波理论回顾 2 1 小波变换理论 传统的信号处理方法建立在傅里叶变换的基础上。傅里叶变换采用全局变 换，只能从频域上对信号的全局特性进行分析，无法刻画出信号的时频局部性质， 而局部的时频性质往往是非平稳信号的最重要的性质。因此，傅里叶变换虽然适 合用来分析平稳信号，但并不适合分析非平稳信号。因为小波变换具有多分辨率 分析的良好理论特性，可以同时反映出信号的全局和局部特征，并且在离散域中 存在着快速算法，非常适合用于非平稳信号的分析。所以其作为- - 1 7 新兴学科， 已经对数学和信号处理等领域产生了深远的影响。本节对前人的工作进行了总 结，介绍了小波变换的基本理论知识，为后续的研究提供了基础。 小波变换的最大特点是可以分析不同大小的信号结构。因此，其有必要使用 具有不同大小时域支撑的窗函数，该窗函数被称为小波。小波由一个零均值l 2 ( r ) 母小波函数缈( f ) 生成： y ( f ) = o ( 2 一1 ) 对帅) 进行伸缩s 和平移甜，司以得到一族小波面函数 蚶) 2 击y 哔) ( 2 - 2 ) 这些函数具有规范化的范数芦| _ l 。当s 较大时，声( f ) 的宽度较大，小波 的时间分辨率较弱。反之，。( f ) 的宽度较小，小波的时间分辨率较强。因此， 小波具有多分辨率分析的特性。 l 2 皿) 函数加) 的时间材，尺度s 的小波变换为 叭叩) _ _ e 饨) 击缈( 竿渺 ( 2 3 ) 其中g t * ( 上兰) 表示妙( 尘兰) 的共轭。 当母小波的傅里叶变换甲( 国) 满足小波容许性条件 = f 掣揪( 2 - 4 ) 时，小波变换可以完美莺构。对应的小波逆变换的重构公式为： 们) = 专f j 二町( ) 击( 孚胁亨 ( 2 - 5 ) v w、，、o ， uo 小波变换的小波母函数的选取具有很强的灵活性。人们现在已经构造了各种 小波基。这里，我们给出一种常用于边缘检测的小波变换，墨西哥草帽小波变换 【2 4 】作为例子。 墨西哥草帽小波是高斯函数的二阶导数。规范化的墨西哥草帽小波的母函数 为 胁南专- 1 ) e x p ( 参 ， 当6 = 1 时，图2 1 给出了叫及其傅里叶变换 = 孚舻州半) ( 2 - 7 ) 图2 - 1 万= l 时的墨西哥帽小波和它的傅里叶变换 可以看出，该小波在频域和时域都具有很好的局部化特性。因此，该小波变 换可以有效的反映出信号在时域和频域的特征。 2 1 2 离散小波变换 虽然连续小波变换具有良好的性质，但是其主要用于理论分析。实际应用中， 我们遇到的信号多是离散信号，需要使用d s p 或者数字电路进行处理。因此， 为了使小波能够用于实际的信号处理，我们必须对连续小波进行离散化。 小波的尺度s 可以关于口的幂进行离散化，平移甜以某等间隔6 0 做均匀采 样： s = a g ( j z ) ，- - 勋, o a j ( k z ) ( 2 - 8 ) n d , 波甄，成为离散小波 吩j ( f ) = 矿7 7 2 9 z ( a - t 一妇o ) 此时，相应的离散小波变换为 6 ( 2 9 ) w t ( j ，k ) = a - j 7 2 1 2 f ( t ) v ( a - 7 t - k u o a j ) t ( 2 - lo ) 对于任意平方可积的函数f ( 0 ，若存在正常数a 和b ，满足 爿0 邢( 厂，竹，。) - b l l f l l 2 ( 2 1 1 ) 则沙肚成为l 2 f r ) 上的- 个小波框架，其中a 和b 为框架界，如果4 = 曰，那 么这个框架为紧框架。小波框架具有以下的性质。 定义q = f 世警) 上如 ，则框架界满足 s 毒l s(212)a b1s l s1 2 一 l i 【i l o g ，a 、 v t o r 一 o ，a z 。i v ( d a , ) 庠b ( 2 1 3 ) l 0 三二 条件( 2 - 1 3 ) 要求整个频率轴由伸缩后的小波所覆盖。并且，文献【9 】证明了条 件( 2 1 3 ) ，并将采样密度；芝一和框架界联系起来。它表明，小波的框架为规范 u 0 l o g c a 正交基，当且仅当 a ：b ：土：l 。 = = ! 一= l o u 0 l o g e 口 通过离散逆小波变换重构出原信号需要用到对偶小波框架。定义离散小波变 换的算子为u ：u ：( 厂，吩，t ) ，则其对应的对偶框架为 乃乒= ( 矿0 3 - 1 竹，t ( 2 1 4 ) 由于奶j 无法由，七缩放得到，因此对偶小波框架的计算比较麻烦。但是， 如果小波框架为紧框架，情况要简单许多，此时对偶框架等于原小波框架。因此， 在现实中使用的小波框架以紧框架居多。此时，离散小波小波逆变换可以表示为 们) = 专吁( ，七鸩州 ( 2 - 1 5 ) “j e z 七e z 实际工程应用中，常采用二进制小波，即口= 0 , u o = 1 ，离散小波可以表示为 ，女( ，) = 2 - j 2 q ( 2 - ，- 七) ( 2 1 6 ) 对应的离散小波变换可以定义为 2 2 小波构造方法 d w t f ( j ，| ) = 2 叫2 f ( n ) 9 ( 2 一n - k ) ( 2 - 17 ) 坩e z 离散小波可以通过满足一定正则条件的滤波器迭代计算。因此，滤波器组的 设计对小波的构造起着重要的作用。 2 2 1 小波与滤波器组 小波正交基下的分解系数可以通过小波变换快速算法计算。该算法逐级对信 号与h 、g 做离散卷积。 由于逼近函数基 力，。) 。z 和小波函数基 既，。 肥z 是两个子空间的规范正交基。 因此函数在这两个子空间的投影为： 吩【川= ( 厂，办，。) ，嘭【力】= ( 厂，吩一) ( 2 - l8 ) 文献【3 】表明，这些系数可以通过离散卷积的迭代而得到 口，+ l 嘲= a j h 2 p ( 2 - 1 9 ) d 川 p 】= a j g - 2 p ( 2 - 2 0 ) 对应的小波的重构方式为 乃【纠= a j + z 幸h i p + 办+ l 幸g f p ( 2 - 2 1 ) 其中五m 表示对a j + ，进行上采样后的结果。 这个滤波器组中的两个基本环节是上采样器( 插值) 和下采样器( 抽取) 下采样器每隔膨个输入信号取一个点来得到输出信号，信号的输入和输出 的时域和频域的关系为 州= x ( m n )( 2 - 2 2 ) 1m 一1f r _ o - 2 k z y ( ) 2 吉荟x ( m ) ( 2 - 2 3 ) 下采样的频域关系表明，输入信号x 做m 倍抽取之后，所的信号y ( n ) 的频 谱相当于将原信号的频谱先做m 倍的扩展，再进行2 # k ( k = l ，2 ，m 一1 ) 倍的移位。 因此，只有当信号x 仍) 的归一化带宽小于z c m ，下采样才不会引起频谱的混叠。 在一个上采样器中，我们将输入信号相邻两抽样点之间等距的插入尥1 个 零之后得到输出信号，其时域和频域的关系为： y ( 班x 唔h - o ，+ m 卫m ( 2 - 2 4 ) 【0 其他 2 2 小波构造方法 d w t f ( j ，| ) = 2 叫2 f ( n ) 9 ( 2 一n - k ) ( 2 - 17 ) 坩e z 离散小波可以通过满足一定正则条件的滤波器迭代计算。因此，滤波器组的 设计对小波的构造起着重要的作用。 2 2 1 小波与滤波器组 小波正交基下的分解系数可以通过小波变换快速算法计算。该算法逐级对信 号与h 、g 做离散卷积。 由于逼近函数基 力，。) 。z 和小波函数基 既，。 肥z 是两个子空间的规范正交基。 因此函数在这两个子空间的投影为： 吩【川= ( 厂，办，。) ，嘭【力】= ( 厂，吩一) ( 2 - l8 ) 文献【3 】表明，这些系数可以通过离散卷积的迭代而得到 口，+ l 嘲= a j h 2 p ( 2 - 1 9 ) d 川 p 】= a j g - 2 p ( 2 - 2 0 ) 对应的小波的重构方式为 乃【纠= a j + z 幸h i p + 办+ l 幸g f p ( 2 - 2 1 ) 其中五m 表示对a j + ，进行上采样后的结果。 这个滤波器组中的两个基本环节是上采样器( 插值) 和下采样器( 抽取) 下采样器每隔膨个输入信号取一个点来得到输出信号，信号的输入和输出 的时域和频域的关系为 州= x ( m n )( 2 - 2 2 ) 1m 一1f r _ o - 2 k z y ( ) 2 吉荟x ( m ) ( 2 - 2 3 ) 下采样的频域关系表明，输入信号x 做m 倍抽取之后，所的信号y ( n ) 的频 谱相当于将原信号的频谱先做m 倍的扩展，再进行2 # k ( k = l ，2 ，m 一1 ) 倍的移位。 因此，只有当信号x 仍) 的归一化带宽小于z c m ，下采样才不会引起频谱的混叠。 在一个上采样器中，我们将输入信号相邻两抽样点之间等距的插入尥1 个 零之后得到输出信号，其时域和频域的关系为： y ( 班x 唔h - o ，+ m 卫m ( 2 - 2 4 ) 【0 其他 y ( p 胁) = x ( 。)( 2 - 2 5 ) 输出信号的带宽被压缩了m 倍。 基于滤波器的快速小波变换的结构如图2 - 2 所示。 图2 - 2 快速小波变换和逆变换的计算：小波变换用h 和享逐次滤波。再做因子为2 的子采 样。小波逆变换通过在乃+ l 和嘭“的样本之间插入零，滤波，可逐步重构出每个a j 。 文献【3 2 】证明了滤波器组满足完美重构的条件。当且仅当 沏+ 力反动+ g ( 缈+ 掀动= o( 2 - 2 6 ) 并且 ( 砷膏( 奶+ g ( 国) 文功= 2 时，滤波器组对于任何输入信号实现完美的重构。 对以上的条