一元二次方程根的分布(讲课).ppt

,一元二次方程根的分布的应用,山东省曹县第一中学高一数学组,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。,方程f(x)=0有实数根,函数零点的定义：,等价关系,一、复习,结论,零点存在定理,(1)函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线：(2)f(a)f(b)0）的根的分布,1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)两根均为正根（负根）,例：x2+（m-3)x+m=0求m的范围,（2）有两个负根,2.一元二次方程ax2+bx+c=0一根为正,另一根为负,或,af（0）,问题的引入：,1、若关于x的方程的两个根都大于1，则实数的取值范围是.2、关于x的方程的两个根均大于-2小于4，求实数的取值范围.,问题的解决：,例1、若关于x的方程的两个根都大于1，则实数的取值范围是.分析（1）方程有根，与有关.仅仅靠韦达定理是不够的.(2)方程有什么样的根，可以结合对应的二次函数图象,数形结合解决.此时与有有关，及有关.,判别式,端点的函数值,对称轴,如图，函数的图象决定着：,（1）最小值的正负，与判别式有关;,（2）对称轴；,（3）函数值的正负.,问题的解决：,例1、若关于x的方程的两个根都大于1，则实数的取值范围是.,解：令，则,问题的解决：例2、关于x的方程的两个根均大于-2小于4，求实数m的取值范围.解：令，则,所以,实数m的取值范围是.,问题的解决：其实,有那么复杂吗?例2、关于x的方程的两个根均大于-2小于4，求实数m的取值范围.,另解:原方程的两个根分别为而，所以，由此可得.,所以,实数m的取值范围是.,问题的启示：学会具体问题具体分析.,对于这道题而言,后一种办法比较简单,但是要会前一种通法.例如,关于x的方程在区间上有两个不同的解,求实数的取值范围.用后一种方法解答比较困难.两种方法都要会,我们提倡具体问题具体分析,哪一种解法简单就用哪一种.,问题的根源：方程根的分布问题，与对应的二次函数图象有关.,（1）函数的性质决定函数的图象,函数的图象反映函数的性质.（2）方程有根，与判别式有关.对应的二次函数图象与轴有交点.（3）方程有什么样的根，与端点的函数值有关，与二次函数图象的对称轴有关.仅仅靠韦达定理是不够的.注:抛物线就象一根电线,函数值（包括最小值）就象铆钉一样,决定着它的走向.,结论：我们从上面的例子总结一下解决这类问题的步骤：,1.根据题意大致画出对应的二次函数的图象。,2.列出不等式组(一般重点考虑下面四个方面)判别式对称轴端点开口方向,3.解不等式组，得出结论。,思路说明,考虑：a0的一元二次方程，当二次项系数小于0时，先化为正。,强调：把一元二次方程化为标准形式：ax2+bx+c=0(a0),一、若关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根都小于m，求a,b,c满足的条件。,1,类型一：,2019/12/13,19,可编辑,二、若关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根大于m,另一个根小m,求a,b,c满足的条件。,类型二：,例3、若关于x的方程3kx2-2x-4k-2=0的两根一个小于1，另一根大于1，试求实数k的取值范围。,例1、若关于x的方程3kx2-2x-4k-2=0的两根一个小于1，另一根大于1，试求实数k的取值范围。,三、若关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)的一个根在(m,n)，另一根在(p,q)，求a,b,c满足的条件。,类型三：,例4、若关于x的方程3x2-5x+a=0的一根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3，试求实数a的取值范围。,四、若关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)有且仅有一个根在(m,n)，求a,b,c满足的条件。,类型四：,五、若关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根都在(m，n)内,求a,b,c满足的条件。,类型五：,例4、已知关于x的方程4x2-4x+m=0在-1，1上有两个根，求m的取值范围。,一元二次方程根的分布（一）与0比较（1）有两正根（2）有两负根（3）一正一负（二）与k比较（1）有两个大于k的根（2）有两个小于k的根（3）一个大于k，一个小于k（4）有一个根在区间(k1,k2)内（5）区间(k1,k2)内有两个根,一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布,C0,考虑：判别式、两根之和、两根之积,一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的分布,f(k)0）的根的分布,考虑：判别式、开口方向、对称轴、端点值的正负,练习：x2+（m-3)x+m=0求m的范围,（1）两个根都小于1,（2）两个根都