（应用数学专业论文）3次ph曲线的渐开线.pdf

摘要 由于p h 曲线是导数模长为多项式的向量形多项式参数曲线，因此呈现出了良 好的实际应用价值，例如它的弧长可以表示为参数的多项式两数曲线下面我们 讨论了3 次p h 曲线的渐开线 首先，我们表示出了三次p h 曲线的渐开线：它是五次有理多项式曲线；其中 权和控制顶点都是由三次p h 曲线的控制多边形的顶点，控制多边形的边长以及 控制多边形相邻边之间的转向角构成 其次，我们利用平面三次参数曲线形状可控性详细分析并证明了三次p h 曲线 没有尖点和拐点；三次p h 曲线的渐开线的六个控制顶点中，开始的两个顶点是 重合的；三次p h 曲线的渐开线的控制多边形中有两条边分别和三次p h 曲线的控 制多边形的两条边相互垂直，并求出了三次p h 曲线的渐开线的控制多边形中这 两条边的长度；这样在给定了三次p h 曲线之后我们就可以确定其渐开线的六个 控制顶点中的五个了，因此我们给出了另外一个顶点和其余一个点构成的向量； 当三次p h 曲线是对称曲线时，其两条渐开线是轴对称曲线，其余情况下则不然 最后指出了我们日常生后中碰到的与渐开线有关的例子 关键词：p h 曲线渐开线控制顶点控制多边形转向角 a bs t r a c t b e c a u 辩o ft h em o d eo fp hc u l w e s d e r i v a t ei sap o l y n o m i a l ，p hc u r v e sh a v e g o o dv a l u e t oa p p l yi np r a c t i c e f o re x a m p l e ，t h e i ra r cl 肌酵h i sap a i i 锄e t 仃 p o l y n o m i a l w ed i s c u s s e dc u b i cp hc u r v e s i n v o l u t e f i r s t l y ，w ee x p r e s sc u b i cp h c u r v e s i n v o l u t e ：i t sar a t i o n a lp o l y n o m i a lc u r v e ； a n di t sw e i g h ta n dc o n t r o lp o i n t sa f ea l lc o n s t r u c t e db yt h ec u b i cp hc u r v e s c o n t r o l p o i n t s ，c o n t r o lp o l y g o ne d g el e n g t h ，a n dt h et u r n i n ga n g l eo f c o n t r o lp o l y g o na d j a c e n t e d g e s e c o n d l y ，a c c o r d i n gt ot h ep r o p e r t yt h a tp l a n a rc u b i cp a r a m e t e ro l i v e s s h a p ec a n b ec o n t r o l i e d w ep r o v et h a tc u b i cp hc u r v e sh a v en e i t h e rc u s pn o ri n f l e c t i o n ；t h e r e a r et w op o i n t sc o i n c i d e n c ei nt h es i xc o n t r o lp o i n t so fc u b i cp hc u r v e s i n v o l u t e ；t h e c o n t r o ip o l y g o no fc u b i cp hc u r v eh a st w oe d g e sw h i c ha r ep e r s p e c t i v e l yv e r t i c a l w i t ht w oe d g e si nt h ec o n t r o lp o l y g o no fc o r r e s p o n d i n gi n v o l u t e ，a n dw ec o m p u t et h e l e n g t ho ft h et w oe d g ei nt h ei n v o l u t ec o n t r o lp o l y g o n ；s oi fw eg i v et h ec u b i cp h c u r v e t h e nw ec a nd e c i d ef i v ec o n t r o lp o i n t so f t h es i x , a n dw eg i v et h ev e c t o ra b o u t t h er e m a i n i n gp o i n ta n da n o t h e rp o i n t w h e nt h ec u b i cp hc u r v ei sas y m m e t r y c u r v e ， i t st w oi n v o l u t ea r es y m m e t r y , o t h e rc a s e s a r en o t l nt h ee n d , w ei n t r o d u c et h ee x a m p l e sa b o u ti n v o l u t ei no u rd a i l yl i f e k e y w o r d s ：p hc u r v e s i n v o l u t ec o n t r o lp o i n tc o n t r o lp o l y g o nt u r n i n ga n g l e 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得滥江态堂或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 签字日期： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝望盘堂有权保留并向国家有关部门或机 构送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权浙江盘茎 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 浙江大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 概述 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ) 这一术语是由巴恩 希尔和里森费尔德l9 7 4 年在美国犹太大学的一次国际会议上提出的主要研究在 计算机图像系统的环境下对曲面信息的表示、逼近、分析和综合它肇源于飞机、 船舶的外形放样工艺，由c o o n s ( 1 9 1 2 1 9 7 9 ) 、b 6 z i c r ( 1 9 l o 1 9 9 9 ) 等大师于2 0 世纪6 0 年代奠定理论基础典型的曲面表示，2 0 世纪6 0 年代是c o o n s 技术和b 6 z i e r 技术，2 0 世纪7 0 年代是b 样条技术，2 0 世纪8 0 年代是有理b 样条技术现在，曲面 表示和造型已经形成了以非均匀有理b 样条( n u r b s ：n o n - u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ) 参数化特征设计( p a r a m e t e r i z e da n dc h a r a c t e r i s t i cd e s i g n ) 和隐式代数曲 面表示( i m p l i c i ta l g e b r a i cs u r f a c er e p r e s e n t a t i o n ) 这两类方法为主体，以插值 ( i n t e r p o l a t i o n ) 、拟和( f i t t i n g ) 、逼近( a p p r o x i m a t i o n ) 这三种手段为骨架的几 何理论体系 随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互性要求的日益增强，随着几 何设计对象向着多样性、特殊性和拓扑性结构复杂性靠拢这种趋势的日益明显， 随着图形工业和制造工业迈向一体化、信息化和网络化步伐的日益加快，随着激 光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的日益完善，计算机辅助几何设计在 近几年来得到了长足的发展这主要表现在研究领域的急剧扩展和表示方法的开 拓创新 从研究领域来看，计算机辅助几何设计技术己从传统的研究曲面表示、曲面 求交和曲面拼接，扩充到曲面变形、曲面重建、曲面简化、曲面转换和曲面位差； 从表示方法来看，以网格细分( s u b d i v i s i o n ) 为特征的离散造型与传统的连续造 型相比，大有后来居上的创新之势而且，这种曲面造型方法在生动逼真的特征 浙江大学硕士学位论文 动画和雕塑曲面的设计加工中如鱼得水，得到了高度的应用 1 9 6 3 年，美国波音公司的f e r g u s o n 首先提出了将曲线曲面表示为函数的方法 他最早引入了参数三次曲线，构造了组合曲线和南四角点位置量及两个方向的切 矢定义的双三次曲面片，这些方法由p m i l l 系统实现，由它可生成数控带他所 采用的曲线曲面的参数形式成为为当时形状数学描述的标准形式1 9 6 4 年美国麻 省理工的c o o n s 发表了一个具有一般性的曲面描述方法，给定围成封闭曲线的四 条边界就可以定义一块曲面j | 1 9 6 7 年，c o o n s 进一步推广了他的这一思想在实践 中应用广泛的知识他的特殊形式叫0 0 n s 双三次曲面片，他与双三次曲面片的 区别仅在于将角点零矢量取为非零两都存在形状控制与连接问题1 9 6 4 年 s c h o e n b e r g 提出的样条函数解决了连接问题样条方法用于解决插值问题，在构造 整体达到某种参数连续阶的插值曲线，曲面很是方便，但不存在局部形状的调整 自由度，形状难以预测 1 9 7 1 年，法国雷诺汽车公司的b 6 z i e r 发表了一种由控制多边形定义曲线的方 法设计人员只要移动控制顶点就可以方便的修改曲线的形状，且形状完全在预 料之中b e z i e r 方法简单易用，又解决了形状的整体控制问题它是u n l s u r f c a d 系统的数学基础但它仍存在连接问题，还有局部修改问题稍早于b 6 z i e r ，法国 雪铁龙公司的d ec a s t e l i j a u 也曾独立研究发展了同样的方法，但从未公开发表在 19 7 2 年，d eb o o r 给出了关于b 样条的一套标准算法，美国通用汽车公司的g o r d e n 和r i e s e n f e l d 将此理论用于形状描述，提出了b 样条曲线曲面 1 2p h 曲线及曲线的渐开线 为了处理在计算机辅助设计、计算机图形和计算机动画、机器人行动轨迹的 设计以及相关领域的一些基本的计算问题，f a r o u k i 和s a k k a l i s 于1 9 9 0 年提出了 p y t h a g o r e a n - h o d o g r a p h ( p h ) 曲线这些基本的计算问题包括：弧长公式的简化 和弯曲能量的积分；有理等距( 平行) 曲线( 曲面) 的构建；自动控制过程中实 浙江大学硕士学位论文 时插值算子公式的计算；沿空间曲线某一特定方向的刚体最小旋转结构的确定； 以及许多在其他“自由”形式的曲线曲面中涉及的基本计算 在微分几何中，习惯于一种特殊的光滑参数曲线d d ：也就是所谓的自然参 数曲线，其中参数s 是沿曲线的累积弧长虽然这种曲线在理论研究中非常方便， 但是这些假设在实际产生几何算法时遇到许多困难因为只有直线采取这种参数 化的方法时解析方程比较简单 p h 曲线以及由它衍生出来的各种不l 一形式的曲线为不能“理想”参数化的 自由曲线( 面) 提供了一种解决的办法在公式中通过求助于复杂的代数：l 具例 如：平面和窄问的p h 曲线分别可以用复变量和四元数组模型中轴变换的内容中 可以用m i n k o w s k i 公制，这样能够保证接下来的计算能够更简单、更准确 曲线的渐开线是吴大任老师在他的微分几何讲义中首次在数学范畴内给 出定义的但是在机械中，渐开线有着非常广泛的应用尤其是圃的渐开线，在齿 轮及其一些相关的领域中有着非常广泛并且重要的应用：如渐开线标准直齿圆柱 齿轮、渐开线齿廓等等但是对于一般自由曲线的渐开线的研究以及应用就非常 少了我们开始思索，既然圆的渐开线能够得到如此广泛的应用，那么一般曲线 的渐开线呢? 根据渐开线的定义以及p h 曲线所特有的性质，我们首先从最简单 的p h 曲线的渐开线开始分析研究 1 3 预备知识 定义l ：p h 曲线：对于一条多项式参数曲线一，) = ( 缸，) ，贝，) ) ，如果存在一个多项 式仃( ) 使得j 江( ，) + 少2 ( 力= 叮2 ( 力，则称一，) 为p y t h a g o r e a n h o d o g r a p h 曲线( 以下 简称p h 曲线) 定义2 ： 曲线的渐开线：设曲线a ，) 的渐开线是烈力，其中t e o ，l 】则对于曲线 烈力上任意一点q 满足如下条件： 1 曲线a ，) 上存在一点p ，使得过点p 和q 的直线与曲线以，) 相切，并且点p 为 切点 浙江大学硕士学位论文 2 点p 和q 之间的欧式距离等于点反o ) 到p 沿曲线仄，) 的弧长 根据上面的条件可以得出曲线“) 的渐开线烈，) 的表达式如下所示： 胁舯警 定义3 ：正则p h 曲线：如果p h 曲线爿，) = ( 取力，“j ，) ) 中，g c d ( x ( t ) ，少( ，) ) 是一个 多项式的平方，那么此p h 曲线是正则p h 曲线 定义4 ：设有n + 1 个点向量 只) 二，则与其相应的曲线 烈，) = 彳( 锄，o i 这里 形( ) = ( 爿( 1 一力叫，；= 。，l ，刀 称为1 1 次b d z i c r 曲线( d e g r e enb e z i e rc u r v e ) ，局尼一以称为控制多边形( c o n t r o l p o l y g o n ) 或特征多边形( c h a r a c t e r i s t i cp o l y g o n ) 或b d z i e r 网( b d z i c rm e s h n e t ) ， 简称b 网，记为f 。；只( ，= 0 ，i ，功称为控制顶点( c o n t r o lp o i n t ) 性质1 ：b d z i e r 曲线的凸包( c o n v e xh u l l ) 性 曲线位于控制顶点p o p , 只的凸包内，即位于包含这n + 1 个点的最小凸集内 这是因为b e r n s t c i n 基具有非负性和权性，巧( 力o ，彳( 力= ( ( 1 一力+ j f ) ”= l ，于 ，= o 是曲线是几。以的凸组合( l i n e a r c o i l v e xc o m b i n a t i o n ) ，从而它位于凸包内 性质2 ：b d z i e r 曲线的升阶公式： n 次b d z i c r 曲线可以形式上看作n + 1 次b d z i e r 曲线，即 瓜，) 2 委f ( 力刃5 委1 ( ) 勿，房- 【( 1 嘉 1 - 协+ 者几，】，尼- = 几。= o芦0扛o ，tj 换言之，利用升阶算子彳= 4 。可把曲线升阶到n + 1 次，其控制顶点表为 厶。( 扁，月，尼) ，= ( a ，厶，藏。) ， 浙江大学硕士学位论文 厶l = l 1 刀+ 1 o o n 刀+ l 2 刀+ l o o 00 0o n - i oovv 刀+ 1 0oo 旦上 刀+ l刀+ l 0oo o1 升阶公式可以由下列恒等式直接推出： ( 肿2 ) 一n + 1 ) 筇( ，) = 磊i + i _ - 锄+ ( 1 一者1 ，= o ，l ，厅 性质3 ：b z i e r 曲线的端点插值性质： 在及，) = 彰( j ) 刀中，当t = 0 和1 时，可以知道此时曲线在两端点与控制多 卢o 边形的端点重合 定理1 ：设 ，) 为平面三次b 亡z i e r 曲线， 3 “，) = 矽( ，) 尼乞( j = 1 , 2 ，3 ) 为其控 卢o 制多边形边长，q 和吼分别为向量局扁到以仍的转角和脚j 到易只的转角，如 图1 所示，则一，) 为p h 曲线的充要条件是 厶= 瓜，0 。= 0 2 ( 2 ) 图2 几何参数与坐标系 定理2 ：任何正则p h 曲线“力= ( 缸，) ，八力) ，如果似t ( ，) ，少( ，) ) 0 ，那么此p h 曲 线没有尖点 浙江大学硕士学位论文 定理3 ：建立如图l 所示的直角坐标系 d 和) ，并且按照a 轴和轴，直线 a = 3 和p = 3 ，双曲线( a 一4 ) ( p 一4 ) 一4 = 0 ，抛物线2 - 3 z + a = o 在第1 i 象限的 一段和抛物线a 2 - 3 3 + z = o 在第象限的一段，将( a ，卢) 平面化分成标记的 各块区域则有( a ，p ) 以，化，形，形， 戈，墨，墨， 码，易，口， ，g ，c ， 墨，垦，忍， 曲线段上无奇点和拐点 曲线段上有一个拐点 曲线段卜有一个二重点 曲线段上有一个尖点 曲线段上有两个拐点 图1 ：按照a 轴和p 轴，直线a = 3 和肛= 3 ，双曲线( a 一4 ) ( z 一4 ) 一4 = 0 ，抛物线 p 2 3 p + 九= 0 在第1 i 象限的一段和抛物线九2 - 3 a + a = o 在第象限的一段，将 ( 九p ) 平面划分成标记的各块区域 1 4 本文的主要工作 出于上述动机，本文主要研究了3 次p h 曲线的渐开线，并给出了精确的表 达式；以及p h 曲线和渐开线的一些重要性质如：任何曲线的渐开线在端的导 - 6 浙江大学硕士学位论文 数的各个分量都为0 ；非退化的3 次p h 曲线没有尖点和拐点；以及3 次p h 曲 线的渐开线的控制多边形和原_ 柬3 次p h 曲线的控制多边形之间的关系；任一曲 线都存在两条渐开线，那么这两条渐开线之间的关系如何呢等等并指出了生活 中我们碰到的与渐开线有关的例子 本文是这样组织的：第一章首先介绍了计算机辅助几何设计这一术语的由 来、发展以及现在人们在这一领域所正在进行的工作；而后介绍了p h 曲线以及 渐开线的一些发展历程；并给出了本文所要用到的一些准备知识第二章着重介 绍了3 次p h 曲线的渐开线的求解过程，以及p h 曲线、3 次p h 曲线、渐开线的 一些重要性质第三章介绍了渐开线存在于我们日常生活中例子，并对本文所做 的工作进行了总结最后是本文用到的参考文献，以及在写作过程中给与我帮助 的老师们，同学们，并向他们表示诚挚的谢意! 浙江大学硕士学位论文 第二章3 次p h 曲线的渐开线及一些相关性 质 2 i 3 次p h 曲线的渐开线 定理4 ：3 次p h 曲线以，) ：壹尼霉( 力的渐开线方程为烈，) ：娑，其中 神 彳( ，) 6 ， 方，和2 的表达式如下： 占o = = 3 l l 厅：3 0 0 + 2 0 , ：9 l l - 6 l 2 c o s o 、 仃22 3 + 6 + 吒一9 厶一1 8 厶c o s o + 3 o ；一! q 竺! ! 1 2 3 n - 1 8 l 2 c o s o + 9 盯，= = _ j o o = j 。 1 0 l o 一 2 仃+ 3 0 r ，9 厶一6 厶c o s 0 r r = l o = j l 一 55 方5 = 仃2 = 3 厶 q o = 鸟= p o 口：鱼堡刍二! 刍! 竺旦刍2 鱼! ! 刍二! 垒! 竺兰旦2 旦! 二! 刍! 2 3 一6 厶c o s o + 厶 玖：垒竖二尘竺! 旦刍2 旦! ! 刍二! 垒! ! ! 旦三刍2 丝! 二! 刍! 垒! 二三刍! 一6 厶c o s o + 3 厶 包：旦垦互二垄生竺堑尘兰垒旦兰丛生二垒旦堡幽丝生! 刍垒! ! ! 旦! - 2 厶c o s 0 + 3 厶 织：鱼! 刍二垒! ! 兰皇刍! 鱼生刍墨! 竺! 皇! 与 其中爿l a - , p ti l ，芦l ，2 ，3 ：0 为向量脶到局尼、尼乃到尼尼的转角 证明：设a ，) = ( 缸力，“力) ，刃= ( ，彤) 根据定理i 以及按照定理i 的假设，则 浙江大学硕士学位论文 有厶= 西，选取特殊坐标系如图2 所示：即以局月所在的直线为x 轴，点 风为坐标原点，且点届在x 轴正向上则有 一岛= 厶( 1 ，o ) ； 仍一局= 9 2 ( - c o s o ，s i n o ) ；尼一岛= l 3 ( c o s 2 0 ，一s i n2 0 ) 此时有j ( ，) 2 + 少。( 力2 = 9 ( i 瑶( t ) - l 2 c o s o 研( ，) + 厶霹【，) ) 2 ( 3 ) 由于( 3 ) 式中用到的仅仅是3 次p h 曲线的控制顶点之问的几何关系，因此 这个式子在任何坐标零下都是成立的 设d ( 力= 工( d 2 + 少( 玲2 = 3 ( 露( ，) 一z 2 c o s o 群( ，) + 厶谚( ，) ) ( 4 ) 对于v ，【o ，i 】则曲线烈，) 的弧长“，) 可以表示为： “) ：j 扫万i 蕊：p o 渺 ( 5 ) 则( 1 ) 式变为烈，) = p ( 0 一掣 ( 6 ) 仃i ，j 通过计算 (5)式得到 “力= 厶辟( ，) + ( 一厶c o s o ) 霹( ，) + ( 厶- z , c o s 日+ 厶) 鸳( ，) 令 s o = 0 ；而= ；墨= ( 一厶c o s o ) ；冯= ( 厶一厶c o s 日+ 厶) ；则有 删= 穹( ，) 芬 ( 7 ) 同样也设口。= 3 厶；仃。= 一3 ，c o s o ；仃2 = 3 厶；则有仃( ，) = z ( 弦， ( 8 ) 对( 6 ) 式进行通分，则设分子一o c r ( o 一夕( ) “，) = ( ) 参通过计算得到 亘： 磊= 3 p o 1 亘：p o ( 9 z i - _ 6 q c o s o ) ；j ! 一垒! 竺刍二竺垒! ! ! 旦! 刍! 旦! 竺刍二! 垒! ! ! 旦! 昼! = 竺刍! 1 0 a ：丛生丝竺堕坠丝些_ 姿型坐坌丝些垃丛塑 一4 l o 磊：丛生墼型坐盟型丝掣型堕燮塑竺丝燮型 珐= 晟( 3 厶- 3 厶c o s 0 + 3 厶) + 尼( - 3 厶+ 3 厶c o s o ) 因为及) 为3 次曲线，那么口( j ) 为2 次曲线，并且( 6 ) 式通分以后分子为五次 多项式，为了让( 6 ) 式通分以后分子分母次数相同，因此把仃( ，) 升阶为五次多 浙江大学硕士学位论文 2 5 项式则根据升阶公式得到口( ，) = 矽( ) d ，= 劈( 力厅， 其中 南o后0 ( 方o ，号l ，占2 ，号3 ，方4 ，方5 ) = 4 4 4 ( o r o ，仃i ，a 2 ) ： 厶。= 00o 旦上 刀+ 1刀+ l o0o0l 则方的表达式为： 方o = 仃o = 3 弄一3 仃o + 2 仃i 一9 4 6 厶c o s o u _ 一一 55 方，：3 0 o + 6 o , + 0 2 ：9 z i - i g z 2 c o s o + 3 z j 0 32 0 42 1 q 鱼! ! ! 垒一三兰l 二塑互c o s 0 + 9 4 l o10 l 肿2 j 一肿l j 20 22 3 z , 把烈力化为标准的有理删：娑5：擎5 嗌，令奶：拿 艺亏( 归，亏( ) 方， o i 彳( 筘，露 则烈) 的标准有理形式为烈) = 兰 一其中2 的表达式如下： 劈( 力号， 鲲= 鸟= 岛 幺：po(3za-322cos0+q)+pl(3z,-322c o s 0 ) + p 2 ( - 3 z j ) 3 厶一6 厶c o s o + 厶 鲲：丛刍= 垒! 竺1 2 墨2 旦! ! 刍二! 墨! ! 翌丝2 垦! = ! 刍! 丛生三刍! 厶一6 厶c o s 0 + 3 包：旦坠三垒竺! 旦兰垒2 旦! 墨二垒! ! 兰旦墨2 丝! = 堑垒! ! ! 盟 i o 一 一 一 ，l一，l厅一厅 o o 一一+o刀一川2一川 。，一川。 浙江大学硕士学位论文 色= 盟尘坐半趔 从而定理3 得证 t i i i 是- d 以及厶和l 3 大小变化时得到的形状不同的3 次p h 曲线及其渐开线 图3 ：o 日 三2 ，其中及) 是3 次p h 曲线，刃为相应的控制顶点：烈) 为仄) 的渐开 线，鸟为其控制顶点岛，岛，鸟三点重合，奶位于乃仍的延长线上 浙江大学硕+ 学位论文 图4 ：三2 9 7 r ，其中一，) 为3 次p h 曲线t 刃为相应的控制顶点；烈) 为尸( 力的渐开 线，乌为相应的控制顶点p o ，q o ，鸟三点重合，忍位于见局的延长线上 2 2 相关重要性质 由前面的定理2 可以看出，3 次p h 曲线的条件非常严格，并且通过平面三 次曲线的形状可控性，我们发现了3 次p h 曲线的更严格的条件，并详细分析和 证明了这一条件 性质1 ：3 次p h 曲线没有尖点和拐点： 证明： a ，) 控制多边形的顶点依次为扁，局，乃，局，设局乃的延长线和履乃的延长 线的交点为m ： 当点m 在无穷远时，即角p 为要时，3 次p h 曲线的控制顶点如图5 所示 浙江大学硕士学位论文 图5 ：3 次p h 曲线的控制多边形以及它的两条端边交点的情况 首先由于此时控制多边形为凸多边形，那么根据保凸性质知道此时3 次p h 曲线 没有拐点同时根据定理2 知道我们只要证明此时的p h 曲线是正则的p h 曲线即 可 根据p ( 力= 3 z ( ，) 帆一另) ，并且局一岛= z , 0 ，o ) ，易一局= z a o ，1 ) ， 尼一局= z ，( - i ，0 ) ，此时z ( ，) = 3 40 - 0 2 - 4 1 1 ，少( ) = 6 l 2 ，( i 一，) 由于j ( ，) 和 少( ，) 的最高次数为2 ，那么g c d ( x ( 1 ) ，少( ，) ) 的最高次数为2 根据正则p h 曲线的定 义可以知道，我们只要证明g c d ( x ( ，) ，少( ，) ) 只可能为1 或者( ，一力2 的形式，亦即 不可能为t + b 或者( ，一力2 + 历彦0 的形式 如果g c d ( x ( ，) ，少( ) ) 的形式为t + b ，那么根据少t ( ，) 的表达式知道，此时 g c d ( x ( ，) ，y ( ，) ) = ，或者g e d ( x ( ，) ，y ( ，) ) = ，一1 如果g c d ( x ( ) ，少( ，) ) = ，那么根据 j ( ，) 的表达式知道厶= 0 ，矛盾! 如果g c d ( x ( ，) ，少( ) ) = 1 - 1 ，则厶= 0 ，矛盾! 如果g c d ( x ( t ) ，y ( ，) ) 的形式为( ，一曲2 + 匆西0 ，那么由 少t ( ，) = 6 z z t ( 1 一) = “厶【( ，一三) 2 一二】1 ，g o d ( z t ( ，) ，少( ，) ) 只能是( ，一圭) 2 一丢此时如果 二= 厶，则j ( ，) 退化为一次多项式，矛盾! 如果厶，把工( ，) 的表达式化为 ，( ，) = 3 ( 一厶) 【( ，- i 毛) 2 + i 专一噎) 2 】，则根据j 。的表达式知道 丧= 丢瑚忐一矗卜稠 从而有g c d ( x ( ，) ，少( ，) ) 的形式只能为1 或者( ，一力2 的形式，从而此时3 次p h 曲线是正则p h 曲线 浙江大学硕士学位论文 当点m 的坐标为有限时，令3 p o p , = a 名，3 z 乞= j u 假，把3 次p h 曲线 按照0 取不同的范围以及点m 的不i 司位置进行分类，分为五类 第一类：当0 p 等，点m 位于控制多边形的两条端边的延长线上时，如 图6 所示此时旯 0 ，弘 o ，根据定理3 知道此时3 次p h 曲线没有尖点也没有 拐点 图6 ：第一类3 次p h 曲线的控制多边形以及它的两条端边交点的情况 第二类：当0 日 三2 ，点m 位于扁刀的延长线上，但位于点易与尼之间时， 如图7 所示 |，。一 浙江大学硕士学位论文 罔7 ：第二类3 次p h 曲线的控制多边形以及它的两条端边交点的情况 此时a 0 ，有可能有尖点或者拐点根据定理3 知道，此时有拐点的 条件是：九 o ，o p 0 ；有尖点的条件 是：a 0 ，( a 一4 ) ( - 4 ) 一4 = 0 有a 和p 的定义知道，这时弘3 的，所以此 时若有拐点只能是第中情况此时a ：；坠：坠盟一， 土一，2 c o s o - - l 2 2 c o s o 。 p2 兰2 丽6 z ，c o s 0 ，其中 2 4c o s 0 一厶 0 ( 1 0 ) 把a 和p 的表达式代入只卢，a ) = ( a 一4 ) ( 一4 ) 一4 内计算月，a ) 的符号， 只p ，旯) = ( 互z 6 _ z 两1cos04)(精一4)=4(_jz-夏3忑z石22：-_3乏ziiz互3zc-o而s0 2 ) 由于3 次p h 曲线成立厶= 厶厶，并且在0 p 0 ，同时由 ( 9 ) 和( 1 0 ) 两式知道尺九，p ) o 故此时没有拐点也没有尖点 第三类：当0 0 ，点m 位于扁局之间，但是位于尼岛的延长线上，如 图8 所示此时由3 次p h 曲线的控制多边形三条边以及角0 知道a 和是对称的， 故此时和第三类一样，3 次p h 曲线没有拐点也没有尖点 浙江大学硕士学位论文 图8 ：第三类3 次p h 曲线的控制多边形以及它的两条端边交点的情况 第四类：当o 0 ( 1 3 ) 把a 和p 的表达式代入，( p ，a ) = ( a 一4 ) ( p 一4 ) 一4 内计算只，a ) 的符 号 只p ，a ) = t 三乏6 _ z 丽1c o s 0 4 ) ( 精一4 ) = 4 ( 西五_ 三三量主三主 轰) 由于3 次p h 曲线成立厶= 西，且在0 0 ，根据定理3 我们知道此时3 次p h 曲线没有 1 6 浙江大学硕士学位论文 拐点同时由只p ，a ) 的符号计算过程知道在o p 三2 的条件下只p ，九) 不能等于 0 ，故此时3 次p h 曲线没有尖点 第五类：当三2 8 万，点m 位于控制多边形两条端边的延长线上时，如图 1 0 所示此时0 “2 茜a ，o 叫= 3 砺p z p 3 3 ，撮据平面三次b 杨c r 蚴的风m陬 。 分类以及形状可控性知道此时3 次p h 曲线没有尖点也没有拐点 ，、 ，、 图1 0 ：第五类3 次p h 曲线的控制多边形以及它的两条端边交点的情况 由前面我们计算三次p h 曲线的控制顶点时我们知道鸟= 或，那么这一性质 能否从渐开线的定义中得到呢，我们下面通过对原曲线求导得出了结论 性质2 ：三次p h 曲线的渐开线存在一端使得各个分量的导数都为零，也即其控 制多边形存在两个顶点重合 证明： p , ( ) j l l # ( ol ld s 对铁) = 以t ) - p ( ，) = 一 0 尸( ) 关于t求导，则有： p ( 0 i l l # ( s ) l ld s 尸( ，) ( 尸( 力尸弋功且l 户( 力。西 + 当户o 时，p t ( 0 ) = 0 也即烈，) 的每个分量在首端点处的导数都为零其实这一性质对于任意曲线的控 浙江大学硕士学位论文 制多边形都成立由b 6 z i e r 曲线的端边相切的性质，我们知道此时三次p h 曲线 的控制多边形某一端边长度为零，即其两个项点重合 既然j 次p h 曲线的渐开线控制顶点是由原三次p h 曲线的控制顶点，控制 多边形的边长，以及控制多边形的相邻边之间的转向角构成，那么三次p h 曲线 的渐开线的控制多边形和原曲线的控制多边形的几何量之间是不是有关系呢，关 系如何，通过下面的几个性质我们能够看出，它们之问有着很密切的关系 性质3 ：在三次p h 曲线的渐开线控制多边形中向量召奶与向量只岛之间的夹角 为直角，并且l i 甥一召i 丽百兰 证明： 由甥一鸟= 奶一扁= 二呈兰! 号妻三鼍兮主云笔害三掣，r i ip , p oi i = 厶， o 届见1 1 = z ：，瓦万和万瓦之间的转向角为0 ，因此通过余弦公式我们可以得到 向量瓦孬与向量而之问的夹角为直角 性质4 ：在二次p h 曲线的渐开线控制多边形中，点幺位于尼拟所在的直线上， 并且岛一尼i 一厶c o s o + ，向量艿虿和向量五万之问的夹角为平角7 证明： 由鲤：丝垡兰! 型垫兰害土丝生生螋，我们知道职位于尼和尼所在 勺 的直线上并且向量万趸和向量荔万之间的夹角为平角万 由鲤一层：垡主兰旦型翟兰丛鱼二型，我们有奶一尼i 一厶c 。s 9 + 厶 性质5 ：在三次p h 曲线的渐开线控制多边形中，向量孬西与向量夏万之间的 夹角为直角，并且8 幺珐l l - 三生箐曼兰妄群 证明： 由 浙江大学硕士学位论文 奶一日= 鲣当坦些垃等学篇产盟塑蚴 并且0 仍0 = 厶，i l 仍尼0 = 厶，届尸2 和仍乃之间的转向角为9 ，我们有 峪钏= 驾等群，喇余弦公捌f 可烯峒量兹与 向量仍见之间的夹角为直角 其实在三次p h 曲线的渐开线的六个控制顶点中我们已经可以确定5 个： 或，鸟，岛，级，色，下面我们给出色与级之问的关系这样通过这几个性质我们在 知道了三次p h 曲线的控制多边形之后我们就可以很容易确定出其渐开线的控制 多边形 性质6 ：三次p h 曲线的渐开线控制顶点中伤与鸟之间的关系如下所示： 召一或= 坠塑蚍彳篆警挚噬业型 由渐开线的定义我们知道，每条曲线从不同端点展开得到两条不同的渐开 线，那么这两条渐开线之间的关系如何呢，会不会是对称的呢? 性质7 ：当三次p h 曲线关于向量仍忍的中垂线对称时，那么它的两条渐开线关 于向量局尼的中垂线也是对衬的，其余的情况下则不然 证明： 当= 厶时，根据3 次p h 曲线的渐开线的性质知道，此时3 次p h 曲线关于 五瓦的中垂线是对称的，从而此时3 次p l l 曲线的两条渐开线关于荔瓦的中垂线 也是对称的，如图1 1 所示 浙江大学硕士学位论文 图i l ：二= 厶时，3 次p h 曲线的两条对称的渐开线 当厶时，3 次p b 曲线的两条渐开线不具有对称性，如图1 2 所示 图1 2 ：时，3 次p h 曲线的两条渐开线 、斗 ： ； ： ： ! i 肿- 、 、 h 、 一 一 一 - _ -i 心 浙江大学硕十学位论文 第三章现实生活中与渐开线有关的例子以 及渐开线的发展和总结 3 1 现实生活中与渐开线有关的例子 我们现实生活中有很多与渐开线有关的例子例如机械中常用的也非常重要的齿 轮的，就是渐开线在现实生活中用到的例子当然齿轮用到的是圆的渐开线，并 且大家知道圆不能由多项式表出，所以我们研究了一般曲线的渐开线，并具体分 析了3 次p h 曲线的渐开线的一些性质 例1 圆的渐开线在齿轮中的应用 对于齿廓线的选择，一般来说只要给出一条齿廓曲线，就可根据齿廓啮合基 本定律求出与其共轭的另一条齿廓曲线因此从理论上来说，能满足一定传动比 要求的共轭齿廓曲线有很多但在生产实践中，选择齿廓曲线，不仅要考虑传动 比的要求，而且必须从设计、制造、安装和使用等方面予以综合考虑目前最常 用的齿廓曲线就是渐开线，其次是摆线和变态摆线由于渐开线齿廓具有良好的 传动性能，而且便于制造、安装、测量和互换使用，所以目前绝大多数的齿轮都 采用渐开线齿廓( 圆的渐开线) 下面是渐开线齿轮齿廓形成的一个过程 浙江大学硕士学位论文 膏毛墨 ? 膏囊刀鼻 莹 一 ：；小7 ”囊“o ? ，口， ! p ：+ - ) 订 麓澎缮 - 图1 3 ：渐开线齿轮齿廓的形成 例2 一般曲线的渐开线 其实我们如果用两只手把一根长度不变的钢尺在空中弯曲，当其中一只手松 开，另外一只手不动的情况下，钢尺松开端所运动的轨迹就是一开始钢尺弯曲所 代表的曲线的渐开线例如下面以把钢尺弯成3 次p h 曲线q o p , 形状，当彳处的 那只手松开后，考虑钢尺上的一点口，此时p 到口之间的部分仍然处于原来手未 松开之前的状态，o - f - i l 曰的部分已经脱离了手松开之前的部分，假设此时彳到达 点r 的位置，那么这是钢尺上点口的受力为钢尺上其余点对它的张力，以及重 力，此时重力可以不予与考虑，那么它仅仅受到钢尺上其它点对它的张力，并且 此时张力的方向为切线方向，由于初始速度为零，那么此点的运动方向就是它的 切线方向，也即直线o r 与原来的p h 曲线相切，并且点。为切点再由于钢尺 的长度是不可变的，从而l l o r l l = 弧长o p , 根据渐开线的定义我们知道此时钢尺末 端的移动轨迹就是钢尺开始被弯曲的曲线的渐开线 浙江大学硕士学位论文 图1 4 ：用弧q o p , 模拟两端被固定住发条，并且此弧所在的曲线表示的是3 次p h 曲线，中 问的虚线段是当一同定端松开时发条的运动轨迹，实线表示两端固定发条形成曲线的渐开 线，也是发条松开端的运动轨迹 2 3 - 浙江大学硕士学位论文 3 2 渐开线的发展和总结 本文仅仅是对最基本的多项式曲线的渐开线3 次p h 曲线的渐开线进行了 些分析研究工作：3 次p h 曲线的渐开线是五次有理多项式曲线，并且它的控制 顶点和权都是由3 次p h 曲线的控制顶点，控制多边形的边长，控制多边形的相邻 边之间的转向角构成；3 次p h 曲线的六个控制顶点巾有两个控制顶点重合；在3 次p h 曲线的控制多边形中有两条边分别和相应渐开线的控制多边形中的两条边 垂直，并且我们求出了渐开线控制多边形中这两条边的长度；这样在给定3 次p h 曲线的情况下，我们能够确定其六个控制顶点中的五个，对于另外一个控制项点， 我们给出了它和其余一个顶点之间的向量，这样给定3 次p h 曲线的情况下我们就 能够通过这些几何关系确定出其渐开线的控制顶点了，通过这些控制顶点可以确 定出这条五次有理多项式曲线 当然我们紧紧给出了这个项点和其余一个顶点之间的向量，那么还是不能够 简单明确的给出这个顶点和其余顶点之间的关系，例如它们之间的距离，以及与 其余边的转向角，我们相信应该有更好的结果，只是由于时间的有限所以只能先 研究到这里，希望以后能够解决这个问题另外我们只是对3 次p h 曲线的渐开线作 了一些研究，至于其余p h 渐开线、一般曲线的渐开线如何，我们都没有研究， 所以也希望以后能够对这些曲线的渐开线作详细的研究 2 4 浙江大学硕士学位论文 参考文献 【1 】王国瑾，汪国昭，郑建民，计算机辅助几何设计，北京：高等教育一施普 林格出版社，2 0 0 1 年7 月 【2 】苏步青，刘鼎元，计算几何，上海：上海科学技术出版社，1 9 8 1 【3 】吴大任，微分几何讲义，北京：人民教育出版社，1 9 8 2 【4 】m a r t i na i g n e r ，z b y n e ks i r ，b e r tj u t t l e r e v o l u t i o n - b a s e dl e a s t s q u a r e sf i t t i n g u s i n gp y t h a g o r e a nh o d o g r a p h c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i n g2 4 ，2 0 0 7 【5 】f r a n c e s c ap e l o s i 4 ，m a f i al u c i as a m p o l i 。，r i d at f a r o u k i b ，c a r l am a n n i c ， ac o n t r o lp o l y g o ns c h e m ef o rd e s i g no f p l a n a rc 2p hq u i n t i cs p l i n ec u r v e s ，c o