（电路与系统专业论文）量子密钥分配方案及其信息安全性研究.pdf

僵、触牡敞嗯岁m 、i i 渊s摘要从古至今，保密通信都享有特殊的重要性。当今信息社会对于保密信息的安全传输有着广泛的需求，商业贸易、网络通信等都需要防范窃听者的侵入。同时，计算机的飞速发展使破译手段越来越高。现代密码学认为，任何加密体系的加密和解密算法都可以公开，其安全性在于密钥的保密性。由于被动窃听的存在，通信双方在传输信道上建立绝对安全的密钥是不可能的。然而，基于量子物理原理的量子密码学已被证明是保密通信中密钥安全分配的有效手段。根据海森堡测不准原理，任何窃听者无法窃听量子密码通信中的信息而不被发现。基于上述原因，产生了多种量子密钥分配方案。其中最具代表性的是基于测不准原理的b b 8 4 协议以及基于两个非正交量子态的b 9 2 协议。1 9 9 5 年，月本n t t 基础研究实验室和日内瓦大学的科学家结合b b 8 4 与b 9 2协议，提出了一种新的量子加密体系，被称为4 + 2 协议。这种协议的特点是对于窃听者的攻击行为更加敏感，安全性更强。本文对上述三种协议的基本原理进行了详细的描述。从安全方面讨论了量子密码协议实现方案存在的一些问题，并介绍了当前实验研究的进展。由于客观因素的影响，比如探测器的噪声、失调等，为了确保量子密钥分配方案的实用性，研究窃听者采取的窃听方式是十分重要的。窃听者通过窃听所获取的信息量是决定密钥传输是否成功的重要指标，同时也是保密增强这一技术环节的必要参数。因此，通过误码率对这一信息进行估值是十分必要的。论文的后半部分着重讨论了各种不同的攻击策略，并在针对b 9 2 协议的窃听模型的基础上，定量分析了不同的个体攻击策略对4 + 2 协议的影响，给出了泄露信息量与误码率的关系。与b 9 2 协议结果的比较表明，4 + 2 协议的稳健性更强。关键词：量子密码：量子密钥分配；误码率：互信息；正定算子估值测量( p o v m )硕士学位论文 l s 1 川t s1 1 i e s t sh b s t r a c tf r o ma n c i e n tt i m e st ot h ep r e s e n t ，t h ec o r a m u n i c a t i o ns e c u r i t ye n j o y sh i g hs i g n i f i c a n c e i nt h em o d e r nc o m m u n i c a t i o ns o c i e t y ，t h e r ei sw i d es p r e a dn e e do fs e c u r et r a n s m i s s i o no fs e c r e ti n f o r m a t i o n ，s u c ha st h ec o m m e r c i a lt r a d ea n dt h ec o m m u n i c a t i o ni nn e t w o r k ，w h i c hn e e dt ob eo nt h eg u a r do ft h ea t t a c ko ft h ee a v e s d r o p p e r i nt h em e a n t i m e ，w i t ht h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e r ，t h em e t h o d so fd e c r y p t i o na r ee v e nm o r eb r i l l i a n t i ti sb e l i e v e dt h a ti nm o d e r nc r y p t o g r a p h y ，a n ya l g o r i t h mo fe n c r y p t i o na n dd e c r y p t i o ni nc r y p t o g r a p h i c a ls y s t e m sc o u l db ep u b l i c ，a n dt h es e c u r i t ys h o u l dr e l yo nt h es e c u r ek e y i nc l a s s i c a lc r y p t o g r a p h yb e c a u s eo ft h ep a s s i v ee a v e s d r o p p i n g ，t h ea b s o l u t es e c u r i t yo fs e c u r ek e yi si m p o s s i b l e n e v e r t h e l e s s ，q u a n t u mc r y p t o g r a p h y ，w h i c hi sb a s e do nq u a n t u mp h y s i c s ，h a sb e e np r o v e dt ob ea ne f f e c t i v et e c h n i q u ef o rs e c u r ek e yd i s t r i b u t i o n h e i s e n b e r g su n c e r t a i n t yp r i n c i p l eg u a r a n t e e st h a tn oe a v e s d r o p p e rc a ne s c a p ed e t e c t i o nb e c a u s eo ft h ef a c tt h a tt h ee a v e s d r o p p e rc a n n o tm e a s u r et h es i g n a l sw i t h o u td i s t u r b i n gt h e m f r o ma 1 1a b o v e ，t h e r ea r i s ev a r i o u sq u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o ns c h e m e s t h em o s tt y p i c a lp r o t o c o l sa m o n gt h e ma r et h eb b 8 4p r o t o c o l ，w h i c hi sb a s e do nt h ep r i n c i p l eo fu n c e r t a i n t ya n dt h eb 9 2p r o t o c o l ，w h i c hi sb a s e do nt w oa o r l o r t h o g o n a ls t a t e s i n1 9 9 5 ，t h es c i e n t i s t si nn t tb a s i cr e s e a r c hl a b o r a t o r i e sa n du n i v e r s i t yo fg e n e v ap r e s e n tan e ws y s t e mb a s e do nt h es y m b i o s i so ft h ep r e v i o u st w o ，w h i c hi sc a l l e da s4 + 2p r o t o c 0 1 t h em a i nf e a t u r eo fs u c hp r o t o c o li st h a ti ti sm o r es e n s i t i v et ot h ea t t a c ko ft h ee a v e s d r o p p e r i nt h i st h e s i s ，t h ep r i n c i p l e so ft h et h r e em a i ns c h e m e sa r ee x p l a i n e da ts o m el e n g t h t h er e a l i z a t i o ni s s u e so ft h e s ep r o t o c o l si i硕士学位论文h m si e i l 5l li e s i si m p o r t a n tf o rt h es e c u r i t ya s p e c ta r ed i s e u s s e da n dar e v i e wo fc u r r e n te x p e r i m e n t a lp r o g r e s s e si nt h ef i e l di sp r e s e n t e d b e c a u s eo ft h eo b j e c t i r ef a c t o r s ，s u c ha st h ed e t e c t o rn o i s ea n dm i s a l i g n m e n t s ，i ti sv e r yi m p o r t a n tt om a k ead e t a i l e ds t u d yo ft h ea t t a c k i n gm e t h o d sf o rt h es a k eo fp r a c t i c a l i t y t h ei n f o r m a t i o ng a i n e db yt h ee a v e s d r o p p e rt h r o u g hi n t e r c e p t i o nisav e r yi m p o r t a n tc r i t e r i o nf o rj u d g i n gt h es u c c e s so ft h ek e yt r a n s m i s s i o na n dan e c e s s a r yp a r a m e t e rf o rt h ep r i v a c ya m p l i f i c a t i o n t h e r e f o r e ，i ti se s s e n t i a lt oe s t i m a t et h ei n f o r m a t i o nt h r o u g ht h ee r r o rr a t eo b s e r v e db yt h er e c e i v e r i nt h e1 a t t e rp a r to ft h et h e s i s ，v a r i o u sa t t a c k i n gs t r a t e g i e sa r ed i s c u s s e di nd e t a i l m e a n w h j l e ，b a s e do nt h ea t t a c k i n gm o d e lf o rt h eb 9 2p r o t o c o l ，aq u a n t i t a t i v ea n a l y s i so ft h ei n f l u e n c eo nt h e4 + 2p r o t o c o lb yt h ei n d i v i d u a la t t a c ki sm a d e f i n a ll y ，t h er e l a t i o nb e t w e e nt h el e a k a g ei n f o r m a t i o na n dt h ee r r o rr a t ei sg i v e n t h er e s u l ts h o w st h a tc o m p a r e dw i t ht h eb 9 2p r o t o c o l ，t h e4 + 2p r o t o c o lp o s s e s s e sas t r o n g e rr o b u s t n e s s k e y w o r d s ：q u a n t u mc r y p t o g r a p h y ：q u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o n ；e r r o rr a t e ：m u t u a li n f o r m a t i o n ：p o s i t i v eo p e r a t o rv a l u e dm e a s u r e ( p o v m ) ；硕士学位论文 l 4 s t e r s 1 1 i f s i s第一章绪论1 1 传统密码学简介在信息化程度高度发达的当今社会，人们一方面注重信息的高效传输，另一方面，诸如个人档案，公司财务等敏感信息，对交换与存储中的安全性提出了越来越高的要求。因此，密码学，作为保密通信的一门数学科学，早已从军事外交领域中走出来，越来越多地应用于现代生活的各个领域。对于防止信息泄露，保证信息安全与真实起到重要作用。-一般而言，加密体系有两大类别，公钥加密体系与私钥加密体系。公钥加密体系基于单向函数( o n ew a yf u n c t i o n ) 。即给定x ，很容易计算出f ( x ) ，但其逆运算十分困难。这里的困难是指完成计算所需的时间对于输入的比特数而言呈指数增加举例而言，r s a ( r i v e s t ，s h a m i r ，a d l e m a n ) 即是具有代表性的公开密钥算法，其保密性建立在分解有大素数因子的合数的基础上。公钥体系由于其简单方便的特性在最近2 0 年得以普及，现代电子商务保密信息量的9 5 依赖于r s a 算法。但其存在以下主要缺陷。首先，人们尚无法从理论上证明算法的不可破性尽管，对于已知的算法，计算所需的时间随输入的比特数呈指数增加【”，我们只要增加密钥的长度即可提高加密体系的安全性，但没人能够肯定是否存在更为先进的快速算法。其次，随着量子计算机技术的迅速发展，以往经典计算机难以求解的问题，量子计算机可以应刃而解例如应用肖氏( s h o r s ) 量子分解因式算法可以在多项式时间内轻易破解加密算法。另一种广泛使用的加密体系则基于公开算法和相对前者较短的私钥。例如d e s ( d a t ae n c r y p t i o ns t a n d a r d ，1 9 7 7 ) 使用的便是5 6 位密钥和相同的加密和解密算法。这种体系的安全性，同样取决于计算能力及窃听者所需的计算时间。事实上，1 9 1 7 年由v e r n a m 提出的“一次一密乱码本”( o n et i m ep a d ) 是唯一被证明的完善保密系统。这种密码需要一个与所传消息一样长度的密码本，并且这一密码本只能使用一次。然而在实际应用中，由于硕士学位论文m a s i e r s i ii e s i s合法的通信双方( 记作a l i c e 与b o b ) 在获取共享密钥之前所进行的通信的安全不能得到保证，这一加密体系未能得以广泛应用f 2 j 。现代密码学认为，任何加密体系的加密解密算法都是可以公开的，其安全性在于密钥的保密性。实际上，由于存在被动窃听的可能性，如果通信双方完全通过在经典信道上传输经典信息，则在双方之间建立绝对保密的密钥是不可能的1 3 j 。然而，量子物理学的介入彻底改变了这一状况。1 2 量子密码学简介结合量子力学和密码学的量子密码学( 或称量子密钥分配q u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o n ) 可使密钥分配的保密性得到完全的保障。q k d 的安全性主要基于量子力学的基本原理与经典信息论的数据安全处理协议f 4 j 。这种密钥分配方案将密钥信息编码在量子态中。由于量子的不可分性，窃听者( e v e ) 不能对传输中的量子密钥进行分流。又由于量子非克隆性( n o c l o n i n g ) 定理1 5 ，e v e 也无法对传输中的密钥进行拷贝。更具体而言，量子密钥分配方案在原理上采用单个光子，根据海森堡测不准原理，测量这一量子系统会对该系统的状态产生不可逆转的干扰( 波包的坍缩) ，窃听者所能得到的只是该系统测量前状态的部分信息。这一干扰必然会对合法的通信双方之间的通信造成差错。通过这一差错，a l i c e 与b o b 不仅能觉察出潜在的窃听者，而且可估算出窃听者截获信息的最大信息量，并由此通过传统的信息论技术提取出( d i s t i l ) 无差错的密钥。1 9 8 4 年，第一个量子密钥分配方案由b e n n e t t 与b r a s s a r d 提出，这一方案又被称为b b 8 4 协议嘲。1 9 9 1 年，e k e r t 提出了一种使用e p r 纠缠粒子对的q k d 方案同，其安全性基于b e l l 不等式。实际上，这两种方案的本质是一样的。随后，又有一些利用量子力学基本原理的q f ( d 方案相继提出肼，其中较有代表性的是由b e n n e t t 提出的基于两非正交量子态的协议( 简称二态协议) i s i 。以上这些协议的具体内容我们将详细讨论。硕士学位论文m a sr e k s t i i s ! s1 3 论文研究意义以及主要内容量子密码分配方案对于密钥的产生与分配具有可证明的安全性l - 2 1 t 3 1 。任何窃听行为都将在量子信道传输中造成干扰，不可避免的在接收方造成传输误差。而窃听者通过对信号( 量子态) 的测量，也将获取部分信息。窃听者的攻击行为可以有多种方式f 1 4 j 【1 5 j ，除采用最简单的“非透明一截取重传”( 窃听者捕获量子信道中的光子，对其测量并根据测量结果重新制各一光子转发给接收方) 方式以外，量子力学规律允许她采用其它的测量手段。例如，她可以将一辅助量子系统( 探测器) 与信号接通，使其相互作用，而通过对辅助系统的投影测量获得有关信号的部分信息( 又称“半透明一中途探测”方式) 。甚至窃听者还可以根据合法通信双方在公共信道上传输的信息，延迟对辅助系统的测量而获取更多的信息。由此看来，与传统密码学不同的是：传统密码学的安全性取决于算法的复杂性以及计算能力，在实际应用中，量子密码学的安全性取决于密钥分配方案自身的抗攻击性( 稳健性) 以及窃听者的攻击策略。不具备任何稳健性的量子密码协议是没有实用性的【9 】。窃听者如果采用更具攻击性的手段，比如更好的测量方式( 广义测量) 、更先进的测量仪器( 可存储辅助系统状态) ，都将获得更多关于密钥的信息。因此，合法通信双方需要对窃听者所获信息量进行估计，以决定采用何种技术加强密钥的保密性。所以，研究不同的量子密码协议在同一攻击策略下泄露的信息量( 信息量越小表明协议越安全) 以及不同的攻击策略在同一协议中获得的信息量( 信息量越大表明攻击策略越有效) 是非常重要的。本文在此方面做了一些尝试性工作。论文首先介绍了量子信息学的量子力学基础及检测理论。然后对各种不同的量子密钥分配方案进行了描述，在此基础上分别针对b b 8 4 协议和b 9 2 协议，详细探讨了其工作原理及攻击策略。并将基于b 9 2 协议的两种攻击策略运用于4 + 2 协议【9 】中，研究了窃听行为对传输误码率的影响，定量分析了这两种攻击策略获取的信息量与误码率的函数关系，证实了4 + 2 协议相对b 9 2 协议具有更强的稳健性。硕士学位论文m a s t e r s t i i e s i s第二章量子力学基础与检测理论2 1量子力学的五大假设由于微观粒子坐标与动量不能同时取确定值，经典描述方法对微观粒子自然实效。在量子力学中，我们对于如何描述一个微观粒子或多个微观粒子系统的状态有如下假设【1 6 】。2 1 1量子态的描述量子力学的第一假设量子力学系统的态由空间中的矢量完全描述。 定义 h i l b e r t 空间：一个完备的内积空间称为希尔伯特( h i l b e r t ) 空间。根据上述假设，量子力学系统态由h i l b e r t 空间中的矢量完全描述，称表示量子态的矢量为态矢量( s t a t ev e c t o r ) 。h i l b e r t 空间就是态矢量张起的空间，在量子力学中称为态矢空间。由于量子态可以用空间中的矢量表示，d i r a c 引用一个称为右矢( k e tv e c t o r ) 的符号1 ) 表示态矢量一个具体的态矢可以用旧) 表示。妒是表示态矢的特征量或符号。相应的，( 1 称为左矢( b r av e c t o r ) ，左矢和l 是矢量l 妒)的共轭矢量。2 1 2 态叠加原理一量子力学的第二条假设若量子力学系统可能处在i 劬) 和i 妒：) 描述的态中，则i 妒) 一c l i 吼) + c z i 妒：)作为一个线性叠加态也是系统的一个可能态，即量子力学的态叠加原理。举例而言，一个量子位( q u b i t ) 是一个双态量子系统，或者说是一个二维h i l b e r t空间。记它的两个相互独立的态分别为j o ) 和f 1 ) ，根据态叠加原理，这个量子4淼篡位可以处于叠加态i 妒) 一a 1 0 + b 1 1 ) 中，这里的口与b 是满足2 + l b l 2 1 的复数。于是在原则上通过适当的确定口和b ，可以在一个量子位中编码无穷多的信息，( 由于这些态并不正交，编码的信息没有可靠的方法提取出来) 。2 1 3量子力学的第三条假设在量子力学中，每个力学量都用一个线性厄米算子f 表示。 定义 算子是作用到态矢上的一种运算或操作符号。量子力学的任务是预言对量子力学体系的观测结果。对于任何量子系统，观测总是借助于“测量仪器”迸行。由于测量仪器对微观体系的干扰和影响在原理上是不可避免的，测量结果得到的只是在测量环境下或在测量仪器干扰下微观体系的性质。这与经典情况不同。在经典条件下，认为物理系统是绝对的，观测仪器对物理系统的影响在原则上是可以避免的，因此测量结果被看成是系统固有的性质。量子力学对测量结果的预言就必须同时考虑到测量仪器与被测的物理系统。由于量子系统的状态由态矢量表示，把测量仪器作为一个作用在态矢上的力学量算子描述，用力学量算子作用到态矢上模拟或描述实际的量子力学观测过程，自然也是合理的。2 1 4 量子力学算子的取值一量子力学的第四条假设量子力学量f 的可能值谱就是算子f 的本征值谱。仅当系统处在f 的某个本征态卜。) 时测量力学量f 才能得到唯一结果，即本征态的本征值。若系统处在某一归一化态矢i 妒) 所描述状态，测得本征值之一只的概率是j c 1 2 ，c 是态矢l 妒) 按f 的正交归一完备函数系k ) 展开的系数，i 妒) - 巳c 。；( “( 2 1 )硕士学位论文m s t e r s 兀i e s i s2 1 5 量子态的演化一量子力学的第五条假设量子力学的目的不仅是描述微观系统的状态，而且还希望了解微观体系状态的变化过程，以及决定变化过程的相互作用动力学机制，从而有效地控制、利用量子现象。孤立量子系统态矢量随时间的演化遵从薛定锷s c h r o d i n g e r 方程腕粤疗( 2 2 )口式中h 是系统的哈米顿算子( h a m i i t o n i o n ) 。在量子力学中，孤立量子系统态矢随时间的演化还可以通过演化算子u描述。u 定义为j 妒( f ) ) - u ( t ，r o ) f 妒( f o ) )( 2 3 )且满足微分方程：i h l q _ v 。膏u( 2 4 )d f在h a m i l t o n i o n 不显含时间的情况下。此方程的解为【，( f ，f o ) e 。枷一“( 2 5 )u 满足幺正算子条件u u + i u + u 1 1( 2 6 )所以量子系统( h a m i i t o n i o n 与时间无关的孤立系统) 的演化是一个幺正变换。2 2 量子力学的几个概念2 2 1可观测量( o b s e r v a b l e s )可观测量是物理系统在原理上可测量的一个特性。在量子力学中，可观测量是一个厄米算子。线性厄米算子a 定义为：硕士学位论文m a s r e r si l i e s i sa l 妒) a + 1 f ，i 妒)( 2 7 )线性厄米算子的本征值和本征函数有如下重要性质：( 1 ) 线性厄米算子的本征值都是实数；( 2 ) 线性厄米算子属于不同本征值的本征矢正交：( 3 ) 线性厄米算子的本征矢张起一个完备的矢量空间：( 4 ) 两个力学量算子有共同完备本征系的充要条件是这两个算子互相对易。我们可以将线性厄米算子表示成：a - 口 只只只= 6 一一- 只( 2 8 )只- p +这里。是a 的本征值，只是对应的正交投影算子【1 7 】。2 2 2 测量( m e a s u r e m e n t )在量子力学中，对于可观测量a 的测量得到的结果是a 的本征值，如果测量前的量子态是i 妒) ，则测量到口的概率是m ：p r o b ( a , ) t 妒) 卜( 妒1 只l 神( 2 9 )测量后的量子态为：墨i 盟( 2 1 0 )( 妒1 只i 妒) _2 2 3 纯态和投影算子 定义 可以用一个态矢量描写的状态称为纯态。 定义 对于每一个纯态可以定义一个作用在态矢空间上的线性算子p = i 妒) ( 妒1 ，它对态矢空间任意矢量眇) 的作用为：硕士学位论文m a s 丁e r s1 i 工e 5 1 5称西为投影算子【“1 。2 2 4 混合态和密度算子j 6 i _ ) i l ? ) ( 妒i 妒) _ c i 妒)( 2 1 1 )c - ( 妒i 妒)如果一个量子系统是由许多不同的态矢描述的子系统构成，每个子系统在该系统中以确定的概率出现，这个系统称为混合系综( m i x e de n s e m b l e s ) 。混合系综的状态称为混合态( m i x e ds t a t e ) 。混合态可以通过指定各子系统的态矢以及这个子系统在系综中出现的概率描述【1 6 】，即l 吲i 刚i 吼) l( 2 1 2 )【p 1p 2p ip j若令p 一i 劬) p l ( l( 2 1 3 )则称p 为混合态的密度算子( d e n s i t yo p e r a t o r ) 。、2 2 5 量子位( q u b i t )经典信息的基本单位是位( b i t ) ，相应的，在量子理论中，量子信息的基本单位被称为量子位。我们记二维希尔伯特空间的正交基为日o ) ，1 1 ) ) ( 对于自旋1 2 粒子如电子，jo ) 表示自旋向上态，j 1 ) 表示自旋向下态) 。一个量子位的纯态可以用两个复数表征：l 妒) - 4 l o ) + b l l ( 2 1 4 )显然，当执行一个投影到基目o ) ，j 1 ) 上的测量时( 即测量电子的z 分量) ，将以概率h 2 得到态l o ) ，以概率旧2 得到态1 1 ) 2 2 6 自旋1 2 粒子我们将上式解释为自旋1 2 粒子( 如电子) 的自旋态，i o ) 态和1 1 ) 态分别是沿z 轴的自旋向上态与自旋向下态。描述量子位的两个实参数描述自旋在三维空间的方向( 极化角0 和方位角) 。事实上，沿任意给定方向n = ( 一也) 。( s i n o c o s ps i n 0s i n pc o s o )( 2 1 5 )算子d t 6 h 的本征矢为帆。( 日，妒) ) -妒一，( 日，妒) ) e 州2 c o s 旦p i 9 2 s i n 旦e 唰2s i n 旦2一e “r 2c o s o( 2 1 6 )由此，当nte 刮2 c o s 兰6 ；e p ，2s i i l 鲁时，( 2 1 4 ) 式可以解释为指向p ，妒) 方向的自旋态【”1 。2 2 7b i o e h 球一个量子位是一个双态量子系统，态矢是一个二分量矢量密度算子的矩阵表示是2 x2 方阵。p a u l i 矩阵a 。，o ：，as 与单位矩阵i 构成矩阵完备集。量子位的密度矩阵可表示为：p ( 卢) = 扣西) - 妣主 ：詈)亿忉m a s t e r 雠s t i t e 文s i 。其中d e t p - 三( 1 一庐2 ) ，p 有非负本征值的必要条件是d e tp o ，故在单个量子位的密度矩阵与三维球体0 s lp 1 2s 1 之间存在一一对应。这个球被称为b l o c h 球1 1 7 1 。我们在上一节已经看到，单个量子位的纯态可以表达成i 妒( 日，妒) ) 的形式，可以想像成指向方向( 8 ，妒) 的自旋。从表达式我们可以计算出妒+ ，( 8 ，妒) ) =臼c o s 2日s i n 2p ( o ，妒) 。i 妒。( p ，妒) ) 知。( 日，甲)，8c o s 一2s o s i no _ e ,221 ，1fc o s oi i i s i n o e 印。昙( ，+ h 厅)上这里 = ( s i n o c o s ( p ，s i n o s i n o ，c o s o ) 。s 旦s i n 旦e 一印22s i n 2 旦2 3 测量过程的量子理论( 2 1 6 )( 2 1 8 )假如量子理论对世界上所发生的所有现象都能做出完备描述的话，它也应当能够通过测量仪器和被测系统的波函数来描述观测过程本身。wp眦瞄由一硕士学位论文m a s i e e s t i l e s i s2 3 1测量仪器的性质在所有场合，我们关于一切现象的知识都是通过有关系统和测量仪器之间的相互作用的研究获得的。对于通常的测量仪器，我们得到的相互联系是这样的：仪器的每个精确确定的状态，都对应被测系统的一段可能的状态域。这段区域可以称为测量的测不准度或误差【1 8 】。2 3 2 测量仪器的经典阶段从量子理论的精确尺度来看，必须把整个宇宙( 也包括所有的观测者) 看成一个统一而不可分割的整体。这就面临一个不可解决的矛盾。因为作为观测这现象本身，就暗示被测现象与其观测主体是完全分开的。如果考虑到一切实际的观测在其最终阶段都可以用经典理论来描述，这一矛盾可避免。观测者可以不考虑自己与测量仪器之间的量子关系，因为这些联系产生的影响太小，不足以根本改变所观测到的结果【“l 。v o nn e u m a n n 的观点认为，在原理上我们可以将微观量子系统与宏观经典变量的值相联系，观测者可以观测到这一经典变量的值1 1 7 l 。2 3 3 观测过程的数学模型为测量可观澜量m ，我们可以将可观测量与测量仪器( 可看成“探针”或“探测器”( p r o b e ) ) 的耦合( c o u p l i n g ) 。这种耦合实际上是m 的本征态与测量仪器的状态的纠缠。描述这耦合的哈米顿算子( h a m i l t o n i a n ) 具有以下形式h 。爿j + 击p 2 + a m p( 2 1 9 )式中三p 2 是自由探针粒子( f r e ep o i n t e rp a r t i c l e ) 的哈米顿算子。由于我z r n们要测量探针的位置，其初态应制备在波包态。并且，我们有理由忽略这一项，因为考虑到探针粒子的重量，波包的扩展可足以被忽略。h 。是被测系统1 1硕士学位论文m a s t e r s j l 正s i s在未被干扰前的哈米顿算于，a 是祸合系数。被测量的可观测量m 与指针粒子的动量p 耦合。为简化分析，假定陋。】t0 ，或者认为测量过程足够迅速以至于系统的自由演化在整个测量过程中可忽略。此时，哈米顿算子可近似写成：h a m p ，时间演化算子己，( f ) 一e x p 【一i a t m p 】，将m 表示成m ee a m 。a i ，则u ( t ) - l n ) e x p 卜i a t m 。p ( nj( 2 2 0 )p 在坐标表象中可写作p - 一f ，故吐xe 一0 ( z ) - t p ( x x o )( 2 2 1 )通过t a y l o r 公式e - 妒- e x p ( 一去)( 2 2 2 )如果被测系统最初处于本征态的叠加态+i 妒) 吒l n )( 2 2 3 )则经过时间t ，这一量子态演化为障吒m 忡p ) 。；j 口) 。忡。魄) 2 4 式中符号“ ”代表直积。显然，现在探针的位置与可观测量m 的值相纠缠。我们有l a a l 2 的概率测量出探针的位移为枷。，同时我们将可观测量m 的态- ，i z 匝态。最终，我们可以断定量子系统的初态i 妒) 以概率i ( n l 妒) 1 2 投影到i n ) 。这便是正交测量的y o nn e u m a n n 模型【”。2 3 4 正定算子估值测量( p o s i t i v eo p e r a t o rv a l u e dm e a s u r e ，p o v m )假设希尔伯特空间h 是h 与其正交补空间h 1 的直和：硕士学生论文h l a s j l r s1 j e s i sh - h o h 1( 2 2 5 )式中符号“o ”代表直和。设子空闻h 的初始密度矩阵为p a ，对p a 我们在整个空f d 做一正交投影测量，测量基e 。= k ) ( 虬i ，且有i u a ) = i 霞) + i 晚1 )( 非归一化) ， 觅) 和f 觅1 ) 分别为h 和h 1 空间的矢量。测量完毕后，新的密度矩阵将以概率( 虬i p a k ) 一( 晚i p 1 觅) 成为k ) ( iak ) 与l 晚) 对于h 空间的观测者是不可分的。如果我们将l 豇) 表示成l 晚) - 九i 吼) ( i ) 是归一化态矢) ，则我们可以认为：对于被限制在h 的观测者而言，将以( 死i p a l 记) 的概率得到测量结果j 忆) ( 仍ja定义算子e - e s e , e - i 觅) ( 既i ；九i 亿) ( 吼i( 2 2 6 )式中e 是h 到h 的正交投影。则e 是厄米且正定的，并且c 一只i e ) t - 以- l( 2 2 7 )在广义测量理论中，称p o 是满足条件e - ， 的非负厄米算子的集合【1 9 i 。测量结果为4 的概率为p r 。6 ( 口) - f r ( p e ) 。条件e i a 确保概率和为1 ，只的正定性确保概率为正。实际上，v o nn e u m a n n 测量是p o v l d 的特例【17 1 硕士学位论文m a s t e r s t i e s i s第三章量子密码协议秘密通信依赖于密钥，在最简单情况下，密钥可取为二进制随机位串。如果合法的通信双方( 记为a 1j c e 与b o b ) ，拥有他们自己才知道的私人密钥，他们就可以进行秘密通信。这里通信的关键是密钥的保密性。尽管经典通信采取各种数学技巧防止窃密，但在原则上密钥绝对保密是不可能做到的。绝对保密应建立在物理学规律基础上。下面我们将简要介绍保证量子密钥分配安全性的量子力学原理。一一量子非克隆性定理【5 l由于量子力学的幺正性和线性，一个未知的量子态不能被完全拷贝。因此，窃听者不能精确复制出传输过程中的量态。( 量子非克隆性定理否定了精确复制某未知量子态的可能性，但不保证复制必定成功的“概率量子克隆仍然是可能的【2 1 】) 。一一非正交态不能完全被区分1 1 6 1记两个非正交态i a ) 与i 卢) 所属的量子空间为h ，要获得编码在其中的经典信息，就必须对这两个量子态进行测量以将它们区分。这意味着需要把某种测量装置与h 空间接通，演化整个系统到一个新态。其中测量装置的状态应当是我们能够区分的。包括测量仪器和被测系统在内的总系是孤立系统，这一演化过程是幺正的。设测量装置态矢空间为也，如果测量过程不扰动i a ) 与j 卢) ，当测量态j a ) 时有u ( 圳。扣) ) 一蚓( 。- ，)i o ( t ) 是测量仪器初态，f p ( ) 是测量仪器末态。同样，u ( 例叫) = 圳产)( 3 2 )硕士学位论文m a 5 t e r st j 】i e s i s由于u 的幺正性，( a i 卢) 一( 叫( a 圳0 ( ，j ) = ( 叫( 口i 卢) l l “) - 和州叫产)( 3 3 )由于i a ) 与i 卢) 非正交，得( e 。f ，扣) - 1 ，e 口i e ) 一i ，。)( 3 4 )这表明，如果不扰动1 a ) 与i 卢) ，测量中仪器的末态是不能区分的，也就不能从编码在非正交态的信号中获得完整的信息。一一纠缠现象如前所述，两个或多个量子系统可以相互纠缠，纠缠态不能写成予系统的直积。两个自旋1 2 粒子子系统的纯态即是一个最大纠缠态的实例( 两个自旋1 2 粒子系统的四个最大纠缠态又称b e l l 基)i 妒) 去( 1 0 1 ) 一1 1 0 ) )( 3 5 )v 二对这两个子系统中的任何一个进行测量的结果将以等概得到结果l o ) 或1 1 ) ，而另一子系统所制备的量子态与前者完全相反。下面，我们将简妾介绍各种q k d 方案的基本原理。3 1 1b b 8 4 协议3 1 量子密钥分配方案原理在b b 8 4 协议【6 】中，a l i c e 首先将随机发送以下四个量子态1 硕士学位论文m a s t e r st i 正s i so 厂、，1 1 ( a )i o _ j? 、0 一乡( b )图3 - ib b 8 4 协议中自旋1 2 粒子的极化方向( a ) a l i c e 发送的量子态的系综( b ) b o b 的测量方向注意：方向相反的量子态互相正交量子态1 0 ) 和l _ ) 代表比特值“0 ”，量子态j 1 ) 和i d 代表比特值“1 ”，量子态f o ) 和f 1 ) 分别对应于自旋l 2 粒子沿z 轴正向和反向极化，l - ) 和f i ) 代表向x轴正向和反向极化。如图3 1 。当b o b 接受到a 1 i c e 发送的量子态后，他随机选择x 基或z 基进行测量。只有当b o b 的解码基与a l i c e 的编码基一致时，b o b 测量的结果才与a 1 i c e 完全一致。在量子传输过程结束后，双方在公共信道上公布自己的编码基与解码基，并保留编码基与解码基相同时记录的测量结果。在没有窃听者的情况下，两者的记录应完全一致。z lxh 孵t ! r 5 l l l e 文s l ；3 1 2b 9 2 协议由b e n n e t t 提出的b 9 2 协议是最简单的一种q k d 方案1 8 】。在此协议中，a l i c e 随机在两个非正交态中选择其一发送给b o b ，令这两个非正交量子态l “) 与1 v ) 分别代表比特值“o ”和“l ”。如前所述，由于态l “) 与l v ) 非正交，b o b 无法完全将其区分开。实际上，b o b 进行的是广义( g e n e r a l i z e d ) 测量，或被称为p o v m 。在没有窃听者e v e 的情况下，这种测量的结果或者是正确的，或者是不确定。实际上，b o b 的这种测量是一种三重( t e r n a r y ) 测量系统，可能的结果是“0 ”，“l ”或“? ”( “? ”对应不确定结果) 。在量子传输过程结束后，a 1 i c e 与b o b 通过在公共信道上的讨论抛弃不确定的结果，双方保留下的结果应是完全一致的。3 1 34 + 2 协议4 + 2 协议1 9 1 结合了b b 8 4 与b 9 2 协议。在b b 8 4 协议中，a l i c e 分别选择两个不同编码基中的两个正交态( 共4 态) 进行编码。在协议b 9 2 中，a l i c e 在一个编码基内选择两个非正交态( 共2 态) 进行编码。而在4 + 2 协议中，a l i c e 分别选择两个不同编码基中的两个非正交态进行编码。3 1 46 态协议文献 1 0 所描述的6 态协议是b b 8 4 的扩展。除了使用b b 8 4 的4 个量子态外，还使用量子态黔耖1 ) 删( 3 。)黔忑1 ( ”1 1 ) )进行编码( 上述两态分别描述沿y 轴正负方向的自旋) 。m a s t e r 雠 5t j - i e 文s j 。如图3 - 2 。1 0 乞窭卜z了。i 一1 1 ( a )0 ，jj 、沪7 心卜1? ( b )图3 26 态协议中自旋1 1 2 粒子的极化方向( a ) a 1 i c e 发送量子态的系综( b ) b o b 的测量方向3 1 5e k e r t 方案z畦e k e r t 方案是基于b e l l 原理的量子密码方案啊。在此方案中，系统包括能发送处于单态( s i n g l e t ) 的自旋1 2 粒子对的信号源，粒子对在分离后沿z 轴正负方向到合法用户a l i c e 与b o b 。a l i c e 与b o b 分别沿处于x y 平面的量子基方向a i 和b i 对自旋进行测量a i 和b i 的3 个量子基方位角分别是霄- 0 谚- 扣孵- 扣限r 1群 玎诺- 玎诺一 石其中上标a 和b 分别代表a l i c e 与b o b 的分析仪。双方随机且独立的选择分析仪的方向测量每一对粒子的自旋，每次的结果只能是+ l ( 自旋向上) 一l ( 自旋向下) 。定义测量基方向a i 和b i 的相关系数为：e ( a 。，岛) ；只+ ( 口；，q ) + 一( 口。，b ，) 一只( 口。，b ，) 一只+ ( q ，6 ，)( 3 9 )硕士学位论文m a s t e r 5 i i f f = s i s这里，只。( 口，岛) 表示在a i 和b i 测得- 4 - 1 的联合概率。由量子力学规律，显然，对于具有相同测量方向的分析仪而言，e ( a 2 ，岛) 一e ( a ，也) 一- 1( 3 1 0 )5 l 定3 l ：s - e ( a 。，岛) 一e ( a 。，岛) + e ( a 3 ，岛) + e ( a 3 ，岛)量子力学要求。s - 一2 4 5( 3 1 1 )量子信道上的传输结束后，a 1 i c e 与b o b 通过公开信道宣布他们每次测量选用的方向并将其分为两组，第1 组为双方选择量子基方位角不同的结果，第二组为方位角相同的结果。随后，他们公布第l 组数据，双方根据计算s值。如果信道未被扰动，双方计算得到的值s 应与( 3 1 1 ) 式一致，并确信第2组数据是严格相关的，可将这组数据作为密钥。3 2 量子密码协议实现方案的技术性问题量子密码协议的实现方案主要包括三方面：信号态的实现，信号的传输与信号的有效测量。从理论上将，将极化单光子作为传输信号是最简单的选择。然而，由于符合实验要求的高效的单光子的产生与检测都存在相当困难，在实际应用中，一般使用弱激光脉冲，平均每一个脉冲包含0 1 个光子，光子数的分布情况i 冽是：绝大多数的相干脉冲不含光子，约1 0 的脉冲包含1 个光子，约1 的脉冲包含多于一个的光子。包含多于一个光