（电路与系统专业论文）数控系统插补算法研究及设计.pdf

at h e s i sf o rt h ed e g r e eo fm a s t e ri nc i r c u i ta n ds y s t e m r e s e a r c ha n d d e s i g no fd i g i t a lc o n t r o l m a c h i n es y s t e m i n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m b yz h a n gd a n f e n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rw a n g x u n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u n e2 0 0 9 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中 取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表 或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：认同忍 日期：2 驴7 年钥嘲 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学 位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查l 蒯和借i 蒯。本人i 刊意东北大学口j 以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年口一年半口两年日 学位论文作者签名：垛 签字日期： ? 幻7 年钢j ，同 导师签名：葫恼 导师签名： 觚h 签字日期：2 口哗朗朋 东北大学硕士学位论文摘要 数控系统插补算法研究及实现 摘要 本文首先着重研究了插补的算法一一逐点比较法直线和圆弧插补，数字积分法直线 和圆弧插补算法，实现了四个象限的图形仿真和分析，总结不同象限的插补规律。介绍 了数字积分法插补减小误差的四种方法，针对脉冲当量方面进行了图形仿真证实了这种 方法的可行性。除此之外，介绍了一种当今非常流行的一种数据采样插补算法- - n u r b s 插补算法，并使用多种方法实现n u r b s ( n o nu n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ，非均匀有理样条) 曲线插补，分别使用了参数均匀变化法，速度恒定法，材料去除率法。在各种算法的分 析中进行了仿真程序的设计，图像的分析。从几种特殊方法分析了加减速的变化s 型加 减速的先进方法。在算法研究的最后对数据采样法进行了误差分析。 本文在算法研究和分析的基础上进行了硬件电路的设计，采用了f p g a ( f i e l d p r o g r a m m a b l eg a t ea r r a y ，现场可编程逻辑门阵列) 来设计插补电路。选用的是a l t r e a 公司的e p 2 c 3 5 f 6 7 2 c 8 芯片来实现，结合芯片的特性设计了外围硬件电路和内部插补模 块的设计，重点是内部模块的设计，结合逐点比较法，数字积分法的方法特性和数字电 路实现了两种经典的插补方法，并对设计进行了图像仿真。另外，进行精插补的设计和 图形仿真，同时考虑到速度的变化，将速度的加减速变化加入到硬件的设计中。 关键词：插补算法；n u r b s ；数字积分法；f p g a r e s e a r c ha n dd e s i g no fd i g i t a lc o n t r o lm a c h i n e s y s t e mi n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m a b s t r a c t t h i sp a p e rf i r s tf o c u s e so nt h ei n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m - - u s ec o m p a r a t i v el a wp o i n tb y p o i n ta n dd d a a c tt oa c h i e v es t r a i g h tl i n ea n dc i r c u l a ri n t e r p o l a t i o n ，c o n d u c taf o u r - q u a d r a n t g r a p h i c a ls i m u l a t i o na n da n a l y s i s ，a n ds u m m a r yo f t h el a w so ft h ed i f f e r e n tq u a d r a n t so ft h e i n t e r p o l a t i o n i n t r o d u c ef o u rm e t h o d st or e d u c ee r r o r sw h e nc a r r y i n go u t t h ei n t e r p o l a t i o no t d d aa c t m e t h o do n e u s i n gm e t h o do fr e d u c i n gp u l s ee q u i v a l e n t t oa c h i e v eg r a p h i c s i m u l a t i o n c o n f i r mt h ef e a s i b i l i t yo ft h i sa p p r o a c h i na d d i t i o n ，t h ep a p e ri n t r o d u c eav e r y p o p u l a rd a t as a m p l i n gi n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m n u r b si n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m ，a n d u s e v a r i o u sm e t h o d st oa c h i e v en u r b sc a r v ei n t e r p o l a t i o n ，u s e dt h em e t h o do f u n i f o r mc h a n g e si n m ep a m m e t e r s ，t h ec o n s t a n ts p e e dm e t h o d t h ed e s i g no ft h es i m u l a t i o np r o g r a ma n di m a g e a n a l y s i si si m p l e m e n t e di nt h ea n a l y s i so fv a r i o u sa l g o r i t h m s s e v e r a ls p e c i a lm e t h o d sa r e u s e dt oa n a l y z et h ec h a n g e si na c c e l e r a t i o na n dd e c e l e r a t i o n ，t h ea d v a n c e dm e t h o d so ft h e s - t y p ea c c e l e r a t i o na n dd e c e l e r a t i o n f i n a l l y ， m e t h o da tt h ee n do fa l g o r i t h m ic o m p l e t e dt h ee r r o ra n a l y s i so fd a t as a m p l i n g i nt h i sp a p e r , t h ed e s i g no fh a r d w a r ec i r c u i tb a s e do nr e s e a r c h i n g a n da n a l y z i n g a l g o r i t h m ，u s i n g f p g at o d e s i g ni n t e r p o l a t i o n c i r c u i t t h e e x p e r i m e n t c h o o s e e p 2 c 35 f 6 7 2 c 8c h i po fa l t r e ac o m p a n i e st oa c h i e v e ，c o m b i n et h ec h a r a c t e r i s t i c so f t h e c h i dt oa c h i e v et h ep e r i p h e r a lh a r d w a r ec i r c u i td e s i g na n dt h ei n t e r n a ld e s i g no fi n t e r p o l a t i o n m o d u l e f o c u s e do nt h ed e s i g no ft h e i n t e r n a lm o d u l e s ，c o m b i n e dt h ec a s e - b y p o i n t c o m p a r i s o nm e t h o d t h ef e a t u r e so fd i g i t a li n t e g r a t i o nm e t h o da n d t h ec h a r a c t e r i s t i co fd i g i t a l c i r c u i t t oa c h i e v et w oc l a s s i ci n t e r p o l a t i o nm e t h o d ，t h e nc o m p l e t et h ei m a g es i m u l a t i o no f t h i sd e s i g n i na d d i t i o n ，t h er a t eo fc h a n g es h o u l db ec o n s i d e r e dw h e nd o i n gt h ed e s i g no f a c c u r a t ei n t e r p o l a t i o na n dg r a p h i cs i m u l a t i o n ，a d dt h ea c c e l e r a t i o na n dd e c e l e r a t i o ns p e e d c h a n g e st ot h eh a r d w a r ed e s i g n k e yw o r d s ：i n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m ；n u r b s ；d d a ；f p g a - i i i - - 东北大学硕士学位论文 目录 目录 独创性声明i 摘要i i a b s t r a c t i i i 第1 章绪论1 1 1 引言1 1 2 数控系统的发展趋势1 1 3 数控插补算法的发展状况1 1 3 1 插补的国外研究状况2 1 3 2 插补的国内研究状况一3 1 4 课题研究意义4 1 5 本论文主要内容5 第2 章相关知识介绍7 2 1 插补及其算法7 2 1 1 逐点比较法插补7 2 1 2 数字积分法插_ b ( d d a ) 法1 0 2 1 3n u r b s 曲线插补12 2 2 插补的速度处理1 3 2 2 1 数控插补命令的处理1 3 2 2 2 预处理过程中相关量的计算1 4 2 2 3 插补步长计算1 6 2 3 硬件介绍1 7 2 3 1f p g a 芯片介绍1 7 2 3 2q u a r t u si i 软件简介1 7 2 3 3q u a r t u si i 开发设计流程1 8 2 4 本章小结1 9 第3 章基于m a t l a b 的插补算法仿真2 1 3 1 任意象限直线和圆弧逐点比较法插补分析及仿真2 1 一t v 东北大学硕士学位论文 目录 3 2 逐点比较法插补算法的改进2 2 3 3 数值积分法及图形仿真2 4 3 4n u r b s 曲线插补算法具体实现流程设计及仿真2 6 3 4 1 等距离参数的n u r b s 曲线插补及流程设计2 6 3 4 2 恒定速度的n u r b s 曲线插补及流程设计2 5 3 4 3 实例算法分析及仿真波形2 9 3 5s 形曲线加减速仿真3 2 3 6 产生误差分析3 4 3 6 1 数据采样插补误差的分析3 4 3 6 2 插补误差与周期、速度之问的关系分析3 5 3 6 3n u r b s 曲线误差分析3 5 3 7 本章小结3 6 第4 章插补器硬件总体设计3 7 4 1 系统的设计目标3 7 4 2 核心模块的结构3 7 4 3 步进电机模块设计3 7 4 3 1 步进电机工作原理3 8 4 2 2f p g a 驱动步进电机3 8 第5 章基于f p g a 的插补实现3 9 5 1 输入信息分析模块3 9 5 2 逐点比较法直线插补f p g a 实现模块3 9 5 2 1 逐点比较法直线插补数控程序输入模块4 0 5 2 2 输入信息分析模块的功能4 0 5 2 3 数值修改模块4 0 5 2 4 复位模块的设计4 2 5 2 5 输入控制模块。4 3 5 2 6 延时处理4 4 5 2 。7 终点判断模块4 5 5 2 8 总体的逐点比较法直线插补波形4 5 一v 一 东北大学硕士学位论文 目录 5 3 逐点比较法圆弧插补的设计4 6 5 3 1 逐点比较法圆弧插补与直线插补的不同点4 6 5 3 2 输入条件分析4 7 5 3 3 乘2 模块的设计4 7 5 3 4 数值修改4 7 5 3 5 终点判断4 8 5 4 数字积分法直线插补f p g a 实现模块4 8 5 5 数字积分法圆弧插补的f p g a 实现5 1 5 5 1 数字积分法圆弧插补的总体设计5 1 5 5 2 ，和j 修改模块5 2 5 5 3 ，和，修改模块5 2 5 5 4 总体模块图和波形图分析5 2 5 6 插补速度控制模块5 4 5 7 本章小结5 5 第6 章总结与展望5 7 6 1 工作总结5 7 6 2 研究展望5 7 参考文献5 9 致谢6 3 一v i 东北大学硕士学位论文目录 一v i i 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 引言 数控机床是现代信息技术与传统机床相结合的产物，反映了一个国家制造技术的水 平和工业水平。数控系统技术不仅作为数控发展的先导技术，而且作为制造业的基础性 战略技术，越来越得到世界各国的高度重视和大力发展。插补算法是数控系统的核心技 术也是关键性技术，不管是在国外还是国内，精度高、速度快的新的插补算法一直是科 研人员寻求的目标，也是各数控公司竭力保密的技术核心。 1 2 数控系统的发展趋势 2 0 世纪9 0 年代以来，由于计算机技术的飞速发展，推动数控技术更快更新换代。世 界上许多数控系统生产厂家利用p c 机丰富的软、硬件资源开发开放式体系结构的新一代 数控系统。开放式体系结构使数控系统有更好的通用性、柔性、适应性、可扩展性，并 可以较容易的实现智能化、网络化。近几年许多国家纷纷研究开发这种系统，如美国科 学制造中心烈c m s ) 与空军共同领导的“下一代工作站机床控制器体系结构”，欧共体 的“自动化系统中开放式体系结构”o s a c a ，日本的o s e c 计划等。开放式体系结构可 以大量采用通用微机技术，使编程、操作以及技术升级和更新变得更加简单快捷。开放 式体系结构的新一代数控系统，其硬件、软件和总线规范都是对外开放的，数控系统制 造商和用户可以根据这些开放的资源进行系统的集成，同时它也为用户根据实际需要灵 活配置数控系统带来极大方便，促进了数控系统多档次、多品种的开发和广泛应用，开 发生产周期大大缩短。同时，这种数控系统可随c p u ( c e n t r a lp r o c e s s i n gu n i t ，中央处理 单元) 升级而升级，而结构可以保持不变。 1 3 数控插补算法的发展状况 插补就是数控系统按照一定的方法确定刀具轨迹的过程【l 】。插补功能是机床数控系 统中最重要的功能，是数控系统轮廓轨迹控制的基础，是数控系统完成运动控制的核心 模块。插补模块作为数控机床实现高速，高精度加工的控制核心，数控系统中插补模块 功能的大小，插补算法的好坏，成为数控系统性能评价的重要指标【2 j 。 数控系统中完成插补运算的模块或者程序称为插补器，插补器按照实现方法来看可 分为三种插补器即硬件插补、软件插补和软、硬件结合插补。随着数控系统软件的发展， 插补即由计算机程序来完成，大大简化了系统结构。为了满足插补运算速度快和精度高 的要求，保留了硬件插补速度快的优点，现代数控系统也采用软件和硬件相结合的方法， 由软件完成粗插补，由硬件完成精插补。目前，插补算法主要有两类脉冲增量插补算法 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 和数据采样插补算法。 脉冲增量插补法定义为通过向各个运动轴分配脉冲，控制机床各个坐标轴做不同的 进给和相互协调的运动，从而加工出所求形状零件外形的算法。适用于以步进电动机为 驱动装置的开环数控系统，这类插补算法的特点是输出是脉冲，每次插补的结果仅产生 一个单位的行程增数。以一个个脉冲的方式输出给步进电动机。脉冲增量插补的实现方 法是用加法和移位完成插补，每个单位脉冲对应的坐标轴的位移量大小，称之为脉冲当 量【3 】。 分类：属于这类插补算法的主要有逐点比较法、数字脉冲乘法器法、最小偏差法、 数字积分法、比较积分法、目标点跟踪法和单步追踪法等【4 】。 数据采样插补算法又称为时间分割法插补，即根据编程进给速度将零件轮廓曲线按 插补周期分割为一系列微小线段，然后将这些微小线段对应的位置增量数据进行输出用 以控制伺服系统实现坐标轴的进给 3 】。这种方法是将加工一段直线或圆弧的时间划分为 若干相等的插补周期，每经过一个插补周期就进行一次插补计算，算出在该插补周期内 各坐标轴的进给量。然后求得坐标轴相应的位置给定值，最后与采样所获得的实际位置 反馈值相比较，求得位置跟踪误差。边计算，边加工，若干次插补周期后完成一个曲线 段的加工，即从曲线段的起点走到终点。 分类：常见的主要有直接函数法，扩展数字积分法，角度逼近圆弧插补法【4 j 。 1 3 1 插补的国外研究状况 插补算法的研究经历了一个由间接到直接，由硬件到软件，由单- - n 全面的过程【1 7 】。 世界各地学者不断的完善插补算法的性能。日本、美国、加拿大、瑞士和德国相继展开 了数控插补算法的研究，由丁曲面直接插补方法克服了现行曲面加工模式i ! | 勺不足，能够 满足高速高精度加工的需要，因此，主要针对曲面插补的研究和探讨。日本丰桥年三股 大学与北海道大学等，于1 9 8 7 年研制了具有曲面实时加工功能的三坐标曲面加工系统， 瑞士苏黎世大学与f i d e s ，a t e k 和r i g i d 公司联合研制了o z e l o t 系统。三菱电机的加藤清敬 等研究了采用大规模并行处理，来解决实时刀具干涉修正的可能性，b e d i 于1 9 9 3 年研制 了一个具有样条曲面插补功能的c n c 实验系统，y d c h e n 2 0 0 3 年提出了曲面加工轨迹实 时生成算法。 ( 1 ) b e d i s 5 研制了具有样条插补功能的数控实验系统，该系统采用网络并行计算实 现了实时干涉处理，但仅解决了球头刀平面行切方式的二阶连续单张曲面的加工问题， 没有考虑合理的走刀行距与有效的进给速度控制及系统误差的补偿。 ( 2 ) k o r e ny o r 锄【6 】研制了五轴曲面插补器，但仅可实现单张无干涉曲面的端铣和直 纹面侧铣，采用平底刀参数行切，刀轴控制为简单的垂直或平行于表面方式。 一2 一 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 ( 3 ) s y h s h i u h t 7 】提出了由速度控制的参数曲线插补算法，这种算法显著的提高了插 补速度和精度。通过参数补偿避免了累积误差。该方法在满足相同插补精度下能获取了 更高的进给速度，研究采用圆弧近似代替曲线段的方法实现了进给速度的随参数曲线曲 率变化的自适应插补控制。 ( 4 ) h o n g t z o n g 8 】等人提出使用n u i m s 插补器来实现n u i 强s 曲线直接插补，实现 n u r b sn c 代码高速加工。给出的n u r b s 曲线插补策略考虑了基于机床动态响应和 n u r b s 曲线曲率的最优迸给速度，显著的提高了加工精度和效率。但其只适合变化平 缓的n u r b s 曲线插补，而且还要专门的n u r b s 插补控制器。 ( 5 ) 美国加州大学的f a r o u k i 9 】教授提出了一种用于变进给插补的系统的泰勒系数分 析方法，该方法采用了适合于实时插补的简单的符号表示法和递归方程，分析了这种方 法的截断误差及其控制方法。 ( 6 ) 美国爱荷华州立大学的t s e h a w 1 0 】教授提出了一种基于误差和速度控制的参数 化插补算法，该算法在预处理中求得控制加减速的插补点参数矩阵，能够保证了弦高误 差满足精度要求，根据曲线的性态控制插补速度和加减速度。其根据曲线性态对速度和 误差的预处理的方式具有很好的借鉴意义。 ( 7 ) b e h n a m 1 1 】等提出了一种三阶向前差分算法实现三次参数曲线插补点的快速预 估，这种算法避免了插补中的累积误差；通过适当的近似处理分析了参数步距与插补误 差的关系，从而由插补误差和当前插补点参数得到下一个插补点参数。 ( 8 ) m t s a i 1 2 】等提出了一种直接在曲面上规划切触点轨迹的曲面插补方法，这种方 法区别于传统的在偏置曲面上规划刀位轨迹的方法，能保证稳定的切削进给速度。这些 成果对于今后深入的研究有很好的借鉴意义。 1 3 2 插补的国内研究状况 ( 1 ) 黑龙江八一农垦大学的金中波 1 3 1 在机械工程师学报中发表的论文逐点比较法直 线插补原理及改进算法分析中，在原来的逐点比较法基础上进行了两种改进，一种是由 原来的每个脉冲进给一步改为x 和y 轴同时进给，优点是速度快误差小，另一种是按四 个象限划分为四个插补区，改为八个插补分区，优点插补直线段光滑度提高。但这两 种算法不足是算法繁琐，计算过程容易出错。 ( 2 ) 上海大学姚道敏【1 4 】的一种基于嵌入式平台的全软件数控系统研究与开发中设计 的数控系统体系结构是一种新型数控系统体系结构，它建立在r i s c 结构的嵌入式a r m 处理器硬件平台s h u c o si i 嵌入式实时操作系统软件平台上。结合数控系统一般功能， 研究了基于嵌入式平台的全软件数控系统层。但设计中r s 2 3 2 的传输速度比较慢，实时 性较差。 一3 一 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 ( 3 ) 广州工业大学的魏胜利【l5 】在机械设计与制造中的准均匀b 样条的插补算法及段 间过渡研究论文中，研究了基于准均匀b 样条曲线插补算法的参数方程的选择和段间过 渡问题，实现了多段曲线连接是的平滑过渡。但是程序代码没有优化。 ( 4 ) 湘潭大学杨冬刮1 6 】在机械科学与技术中韵基于数据采样的弧面凸轮自适应直接 插补算法中提出数据采样的弧面凸轮自适应直接插补算法。解决了进给速度恒定与弓高 误差之间的矛盾。 ( 5 ) 哈尔滨工业大学李建刚【1 7 】等发表的一种完善的自适应n u r b s 曲线插补算法设 计的插补器不但可以根据曲线的形状自适应调整速度，而且可以通过加减速模块和速度 在修改模块，是速度在变速工程中始终以恒定的加速度进行升降。 ( 6 ) 山东大学马朝阳【l8 】的实时前瞻功能的n u r b s 动态插补算法根据曲线曲率变化 以最佳速度进给，完成加减速的前瞻处理。该算法具有进给速度快，速度波动小的优点。 ( 7 ) 董伯麟【1 刿在农业机械学报中的高速高精度加工中n u r b s 曲线混合插补算法中 是n u r b s 插补与f i r 数字滤波器原理结合不需要前瞻计算。缩短了n u r b s 曲线插补的运 算时间。 这些研究对于更深入更全面的开展这方面的研究都具有很好的借鉴意义。从制造业 的需求和数控系统的发展来看，数控系统最终将具备高质量的n u r b s 曲线曲面插补功 能，从而实现自由型面的自适应高进给高精度加工，包括实现加工余量误差补偿、工艺 系统误差补偿等等。 1 4 课题研究意义 数控系统技术不仅是数控发展的先导技术，而且是现代制造系统的关键技术。而轨 迹插补是数控系统最重要的核心技术，新的插补算法刈于数控系统是技术提高的关键。 n u r b s 插补算法是一种新型的插补算法，科研人员正在不断的完善n u r b s 插补。 从制造业的需求和数控系统的发展来看，速度精度和效率是当今制造技术的关键性 能指标，如何提高数控系统的性能是人们关心的热点问题，目前数控系统大多部分使用 的是粗插补和精插补相结合的二级插补方案，但是还有不少的数控系统从成本出发使用 软件插补，许多采用高性能的单片机也有使用d s p 或p l c 来实现插补功能的，但是软件 处理方法很难提高实时性，c p u 要执行2 0 多条指令约4 0 微秒刁能完成一次脉冲增量插 补，而在一次轮廓插补实现过程中，要产生的脉冲很多，这样完成一次较大数量的插补 就要需要很多时间。 本文从提高插补系统实时性方面考虑采用现场可编程门阵列硬件实现精插补，实现 逐点比较法圆弧和直线插补，数字积分法圆弧和直线插补以适应高速加工的要求。 一4 一 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 1 5 本论文主要内容 第1 章介绍数控系统和插补算法的发展背景，设计的意义和主要内容。 第2 章主要介绍了与本论文相关的理论原理，硬件芯片和使用的应用软件。 第3 章本章主要使用m a t l a b 对逐点比较法和数字积分法两种应用最为广泛的插 补算法进行研究，分别从直线和圆弧进行了两种算法的图形仿真，并对逐点比较法进行 了改进。介绍了一种新的功能强大的n u r b s 插补方法分别从不同的实现方式进行算法 分析，流程设计，结果仿真，图形分析。对设计中使用到的s 形曲线加减速的方法进行 图像仿真，分析插补算法产生的误差，并分析影响误差的因素。 第4 章主要介绍了系统的总体设计目标，系统总体设计，核心模块设计。完成了硬 件的设计，进行芯片选型，进行了简单的电路设计。 第5 章主要介绍插补算法的硬件设计，结合逐点比较法，数字积分法的方法特性和 数字电路设计了两种经典的插补方法，在q u a r t u si i 软件中进行v h d l 语言 ( v e r y h i g h s p e e di n e r g r a t e dc i r c u i th a r d w a r ed e s c r i p t i o nl a n g u a g e ，超高速集成电路硬件 描述语言) 和逻辑电路的设计完成插补程序的设计和图形仿真，同时考虑到插补过程中 速度的变化，将速度的加减速变化加入到硬件的设计中。 一5 一 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 一6 一 东北大学硕士学位论文 第2 章相关知识介绍 第2 章相关知识介绍 2 1 插补及其算法 插补运算是数控系统中最重要的计算任务。它是零件加工速度和精度的决定性因 素，之所以如此重要是因为插补运算速度直接影响数控系统的控制速度，插补中间点坐 标值的计算精度又直接影响加工轮廓的精度【4 。因此插补技术是本论文也是数控系统的 关键核心技术。 插补计算就是数控系统按照提供的已知数据( 现阶段在数控系统中，直线插补大部 分提供的数据是直线的起点和终点，圆弧插补提供的数据是圆弧的起点和终点以及圆弧 半径r ，圆弧的方向是顺圆用s 表示，还是逆圆用n 表示) ，另外在一些插补算法中插补运 算还需要其他一些已知因素如插补的进给速度和相关的刀具参数。依据给定的条件，计 算加工线条的起点和终点中间的点的坐标值，边计算边依据计算的结果向各坐标轴发送 进给指令，从而把工件的形状加工出来。 由此可见插补实际上是数控装置依据编程时的有限的信息完成数据密化的工作，即 按照一定方法产生基本线条( o h 直线，圆弧等) ，并依据中间点的计算完成所需要轨迹的 拟合工作【3 】。为了能够提高数控机床的性能，人们一直在探求种速度快、精度高的插 补算法。 2 1 1 逐点比较法插补 逐点比较法每走一步都要计算和判别加工的偏差，根据偏差来决定下一步的进给方 向，控制坐标进给，减小加上出的曲线与理论曲线的误差，每走一步都要完成四个工作 环节如图【2 0 2 1 所示。插补误差小于一个脉冲当量，输出脉冲均匀。 图2 1 逐点比较法的节拍 f i g 2 1t h eb e a to f p o i n t b y - p o i n tc o m p a r i s o n 一一7 一， 东北大学硕士学位论文 第2 章相关知识介绍 ( 1 ) 直线插补 设第一象限直线o n 位于x y 平面第一象限上，起点为坐标原点，终点n ( h ，y ) 。如 图2 2 p j i ：示。直线0 n 与x 轴夹角为a ，设刀具在某一时刻位于( 薯，乃) 点( 动态的) o t 与x 轴夹 角为a 。，可取鼻= 以h 一誓蜘为直线插补的偏差判别式，用于确定下一步的进给情况。 进给后f 的递推计算公式和刀具坐标变化如下【2 1 , 2 2 1 ： 图2 2 第一象限直线 f i g 2 2t h es t r a i g h t l i n eo ft h ef i r s tq u a d r a n t ( a ) 若曩= 0 ，即a 。= a 表示刀具位于直线0 n 上，刀具沿+ x 方向进给一步，刀具到 达的新的位置为t ，新的偏差函数为e + 。 x f i + - 2 ：+ 1 乃“。y i ( 2 1 ) l e + 。= 巧一蜘 、 ( b ) 若曩 0 ，即a 。 a 表示刀具位于直线o n 的上方，刀具沿+ x 方向进给一步，刀 具到达的新的位置为，( 誓，y ，) ，新的偏差函数为z + 。 x + - 2 ：+ 1 y ，+ - 2 y i ( 2 2 ) 【f i + 1 = 鼻一y 、7 ( c ) 若曩 0 ，即a 。 a 表明刀具位于直线o n 的下方，刀具沿+ y 方向进给一步，刀 具到达的新的位置为r ( ，”) ，新的偏差函数为鼻+ 。 jx 。i + j = x 。, y i + 1 2 y i + 1 ( 2 3 ) i 曩+ l = 鼻+ h 、7 刀具每走一步，都要进行一次终点判别，若已到达终点，则插补结束。否则继续循 环插补。判断是否到达终点有两种方法： ( a ) 总步数法，总步数= 卜i + l y l ，每执行一次插补就将总步数减l 。 ( b ) 坐标法，刀具每走一步就将动点丁坐标与终点n 的坐标比较，看誓= x n 和 y ，= y 是否都成立，成立则表示到达终点。 ( 2 ) 圆弧插补 东北大学硕士学位论文第2 章相关知识介绍 d h t _ 圆弧时，可用加工点到圆心的距离和圆弧半径相比较来反映加工偏差。以第一 象限逆圆弧为例，如图2 3 所示，圆弧起点为m ，圆弧终点为n ，半径为r ，圆心在原点。 设刀具刀位点某一时刻位于丁( ，y i ) 点，鼻= _ 2 + 咒2 一只2 为偏差判别式，可判别刀具的 进给情况： y 图2 3 第一象限圆弧 f i g 2 3t h ea r co ft h ef i r s tq u a d r a n t ( a ) 0 ，加工点在圆外或圆上，刀具沿x 方向进给一步，到达新的坐标点 丁( 屯，y i + ，) 则： 协x i + l = 母x f - 1 2 , y 川m = 咒 ( 2 4 ) ( b ) f 0 ，加工点在圆弧内部，刀具沿+ y 方向进给一步，到达新的坐标点r ( k ，y i + 。) 则： 戡x i + i = 却x i , y i 茹川 亿5 ， i ，、- 【f + l = 巧+ 2 只+ 1 卜。7 第一象限顺圆插补公式可归纳为【2 2 】： ( 1 ) 当f 0 时，刀具沿- y 方向进给，鼻+ 。= f 一2 y ，+ l ，x 轴3 r ly 轴坐标变化为 誓+ l = x i ，y i + 1 = y i 一1 。 ( 2 ) 当巧 o ，其余w 0 ，且顺序k 个权因子不同时为零，以防止分母为零。 2 2 插补的速度处理 2 2 1 数控插补命令的处理 假定绝对坐标表示的第i 个程序段和第i + 1 个程序段分别表示如下【3 5 3 6 】： g 0 1x x , y y iz z la a icc t g 0 1x x , + l y y i + jz z i + ia a i + lc 0 + 1f 厶j 其中，f 指定该程序段的进给率，但是f 在不同条件下有不同的意义。如果前面用 了g 9 3 指令，则f 的指标是完成程序段的时间的倒数其意义是各插补轴应在该时间内同 时到达程序段终点。如果采用g 9 4 指定进给率，则f 指标是各线性插补轴运动速度的合 成速度。以下将以g 9 4 的情况为例进行讨论4 0 1 。 理想加减速梯形图如图2 4 所示的粗实线部分，整个过程可划分为加速区，匀速区， 以及减n _ g - - 个区域，u s 和u s 分别为程序段起点进给率，t 和t i + 。分别为到达第f 个和第 z + 1 个程序段终点的时刻，t 。和如分别为到达加速结束点和减速点的时刻，加速度和减 一13 东北大学硕士学位论文第2 章相关知识介绍 速度分别为a 和- a ，其中0 。，t 爿，t o 未知，其余为已知。 2 2 2 预处理过程中相关量的计算 在插补过程中加减速变化的图形如图2 4 所示。 ，m 1 i l i n 一1 m o l i + l 珏i | s 图2 4 速度梯形图 f i g 2 4f i g u r eo fs p e e dl a d d e r ( 1 ) 方向余弦的计算，假设程序段表示的空间线段长度为k 。，则： 厶州= 厄i 了五了了丽 ( 2 2 2 ) 由位移关系可计算出各线性插补轴的方向余弦为： c o s a k ：生吐 二鱼 七：x ，y ，z 厶+ ， “7( 2 2 3 ) ( 2 ) 以下计算加速区的一些相关量。如图2 4 所示，加速区各线性插补轴的合成进 给率及合成位移关于时帕j ，的雨数关系可分别表示为： f a ( t ) = f s + 口( f i ) 旭t i ， ( 2 2 4 ) l ( f ) = ( 六+ 厶( r ) ) ( f t i ) 2 t ，t 爿 ( 2 2 5 ) 因为厶( t 。) = m 。f + i ，将t = t 代入式( 2 2 2 ) 中可得加速区期望执行时间为： 死= 乙- t ，= 二( 朋。+ ，一z ) ( 2 2 6 ) 口 设插补周期为t ，则预计加速区插补周期个数m 为： m = 乃t ( 2 2 7 ) 式( 2 2 7 ) 6 7 ，算子 表示对浮点数取整。所以实际在加速区的时间和到达加速结束点 的时刻分别为： l = 。( 2 2 8 ) 一1 4 东北大学硕士学位论文第2 章相关知识介绍 t a = t + ( 2 2 9 ) 将t = 分别代入式( 2 2 4 ) 和式( 2 2 5 ) 中，可分别计算出到达加速结束时刻的进给率和 加速区的运行位移为： 厶= z + 口乃( 2 3 0 ) t = z + i 1 口2 ( 2 3 1 ) ( 3 ) 减速区和匀速区相关量计算 同样对减速区可以首先估计出理想运行的时间为： ：三( m 。z + ，一五) ( 2 3 2 ) 由此计算出减速区的插补周期个数为： n o = t 】 ( 2 3 3 ) 实际在减速区运行的时间和减速区运行位移分别为： t d = 州d ( 2 3 4 ) 2 。= 左手。+ 三口2 。 ( 2 3 5 ) 到达减速点时的进给率由公式( 2 3 6 ) 确定。 厶= 以+ a t d ( 2 3 6 ) 因为要保证各轴同时到达终点，因此实际在匀速区的运行位移为： l u = l i + l l a l o ( 2 3 7 ) 如图2 4 所示，进入匀速区时的进给率为六而离开匀速区进入减速区时的进给率为 厶，六和f o 可分别由式( 2 3 0 ) 矛h 式( 2 3 6 ) 确定。一般来讲，六和厶并不相等，所以匀 速区也就不是严格意义上的匀速区。但是由于六和厶的大小已经非常接近理想速度 m 。z + 】，因此为简化运算可以用二者的平均值作为整个匀速区的匀速进给率。简化后位 移不受影响，仅仅是进给速率会有少许变化。 令： 厶：粤每 ( 2 3 8 ) 则匀速区运行的时问为： 乃= l u 龙 ( 2 3 9 ) 一15 东北大学硕士学位论文 第2 章相关知识介绍 匀速区插补周期个数为： = 乃t 】 实际在匀速区运行的时间和进给率分别为： t u = t n t , f u = l u t 氏 实际到达减速点的时刻为： t d = t a + 乃= t + l + 乃 实际到达程序段终点的时刻为： t f + l = + 丁一十= + 丁( - + 0 + _ d ) 程序段总的执行时间为： z + t = t i + - 一= 丁( m + + ) 2 2 3 插补步长计算 ( 1 ) 在加速区，各线性插补轴进给率为： 六i ( f ) = 一( t ) c o s a 女 ( 2 4 6 ) 加速区第j 个插补周期开始时刻为+ ( j - 1 ) 丁，则插补结束时刻为+ j t ，在第i + 1 个程序段内个现行轴和转动轴插补步长可由式( 2 4 7 ) 给出。 ( 2 ) 在匀速区， 插补