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硕士论文 y6 2 4 51 1 9 高速集成电路中互连线的时延分析 摘要 在高速集成电路系统当中，随着信号频率的增加和特征尺寸的减小，互连线的作 用显得越来越重要，互连线的时域响应分析成了保证所设计的电路能正常工作的必要 环节。近十年来，大规模集成电路( v l s i ) 的工作速度与集成度不断提高，对互连 线网络时域响应分析的精度与效率提出了越来越苛刻的要求，而由于传统的电路模拟 软件无法胜任这一工作，致使人们对互连线网络的时域响应分析作了大量的研究，不 断地探索与改进，以便寻找出更有效的方法。对于芯片与芯片间的互连线，人们通常 以传输线网络来模拟，模拟的方法通常是先建立传输线的频域或时域模型，然后求解 模型得到传输线的时域响应，这样就产生了分析传输线网络的两种方法一时域方法与 频域方法。本文通过龙格一库塔( r u n g e k u t t a ) 方法迭代求出非均匀传输线的广义 a b c d 矩阵，再解常微分方程求得整个系统的拉氏域响应，最后利用数字拉氏逆变换 ( n i l t ) 获得电路的时域响应，从而使得传统的n i l t 法得以分析非均匀传输线，实 例表明其具有较高的效率和精度。 关键词：传输线，龙格一库塔，a b c d 矩阵，拉氏变换 硕士论文高速集成电路中互连线的时延分析 a b s t r a c t w i t ht h er a p i di n c r e a s eo f s i g n a lf r e q u e n c y a n dd e c r e a s eo ff e a t u r es i z e si nh i g hs p e e d i n t e g r a t e dc i r c u i t ( i c ) s y s t e m s ，i n t e r c o n n e c t sp l a yi n c r e a s i n g l yi m p o r t a n tr o l e s ，a n d t h e a n a l y s i so ft h et i m e - d o m a i nr e s p o n s eo fi n t e r c o n n e c t sb e c o m e sn e c e s s a r yt o e n s u r et h e c i r c u i td e s i g n e dw o r k i n gp r o p e r l y i nt h el a s td e c a d e s ，t h ew o r ks p e e da n dt h ed e g r e eo f i n t e g r a t i n go fv l s li n c r e a s ec o n t i n u o u s l y , w h i c hm a k e st h er e q u e s ti n t h ep r e c i s i o na n d e f f i c i e n c yo ft h ea n a l y s i so ft h et i m e d o m a i nr e s p o n s eo fi n t e r c o n n e c t sv e r yh i g h ，a n d c o n v e n t i o n a ls o f t w a r eo fc i r c u i ts i m u l a t i o nc a r l td ot h i sw o r kw e l l s om u c hw o r kh a s b e e nd o n ei nt h ea n a l y s i so ft h et i m e d o m a i nr e s p o n s eo fi n t e r c o n n e c t s i n t e r c o n n e c t s b e t w e e nc h i p sa r es i m u l a t e db yr e g a r d i n gt h e ma sn e t w o r k so ft r a n s m i s s i o nl i n e s u s u a l l y ， t h em e t h o do fs i m u l a t i n gi sm a k i n gt i m e d o m a i nm o d e lo rf r e q u e n c y d o m a i nm o d e lo f t r a n s m i s s i o nl i n e sa n dt h e ng e t t i n gt h er e s p o n s eo ft i m e d o m a i n ，f r o mw h i c ht w om e t h o d s o f a n a l y z i n gn e t w o r k so f t r a n s m i s s i o nl i n e sa r eg o t t e n - - t h et i m e d o m a i nm e t h o da n dt h e f r e q u e n c y - d o m a i nm e t h o d t h ea b c d m a t r i xo ft r a n s m i s s i o nl i n e si so b t a i n e db yt h e r u n g e k u t t ai t e r a t i o ni nt h i sp a p e r , t h e n t h ea b c dm a t r i xi su s e dt oo b t a i nt h es o l u t i o ni n t h el a p l a c e d o m a i n ，f i n a l l yt h et i m e d o m a i nr e s p o n s ei so b t a i n e dt h r o u g ht h en u m e r i c a l i n v e r s i o no ft h el a p l a c et r a n s f o r m ，s ot h a tt h et r a d i t i o n a ln i l tm e t h o di sa b l et oa n a l y z e t h en o n u n i f 0 1 1 1t r a n s m i s s i o nl i n e s a tt h es a m et i m e i ti se f t i c i e n ta n da c c u r a t e k e y w o r d s ：t r a n s m i s s i o nl i n e s ，r u n g e k u t t a ，a b c dm a t r i x ，l a p l a c et r a n s f o r m 硕士论文 高速集成电路中互连线的时延分析 第一章绪论 1 1 背景介绍 在电子和信息领域中，大规模和超大规模集成电路( l s i 和v l s i ) 作为信息处 理的载体受到了特别的重视。在未来一段时期内，l s i 和v l s i 主要向提高集成度和 工作速度的方向发展，前者使电路容量和功能进一步扩展，后者则使信息处理速度明 显提高。这种发展将使l s i 和v l s i 进一步适应军事、国民经济及高新技术的要求。 在早期的电子工业中，对大多数的电路系统而言，互连线尺寸远小于信号波长， 在这种情况下，由于逻辑门和晶体管所引起的信号延迟远远大于互连线所引起的延 迟，所以，互连线通常只被看作是简单的金属导体，它仅具有电连通的意义，这时， 整个电路系统的性能主要取决于电路的逻辑设计，只需利用传统的电路模拟工具就可 在时域内有效地对这一类电路系统分析与模拟。但是近些年来，随着半导体材料科学 与信息产业的迅猛发展，大规模集成电路及多芯片组件( m c m ) 【1 】【2 1 的系统规模越 来越大，工作速度越来越高，特征尺寸日益减小，使电路中互连线的长度逐渐变得能 与信号波长相比，互连延迟在整个电路系统中的作用随之变得越来越大。下面例子可 以说明互连线与信号波长的关系对响应信号延迟的影响。假定有一正弦电压信号 v = s i n ( 4 z c 1 0 8r ) 。这个电压信号在互连线上经过o 7 5 米后将延迟0 2 5 1 0 4 秒。 这点的电压( 假定其幅值没有衰减) 可以写为如下形式： v ，= 圪s i n ( 4 n 1 0 8 o 一0 2 5 1 0 。8 ) ) = 一v ，。换句话说，在任何时间f ，这两处的电压 相位都正好相反。从波长的角度来看，九= 15 米，而传输的距离则恰好为此波长的一 半。但是假如频率不是2 0 0 兆赫，而是2 0 0 千赫，则两处电压就几乎相同。由上述例 子可见，当互连线的长度能与信号波长相比时，在互连线终端将会出现较为明显的信 号延迟。对于现在的大多数高速集成电路系统而言，互连延迟 3 】在整个系统的延迟 中已占据主导地位，已经在很大程度上影响到电路的性能指标，严重时甚至将影响电 路系统的正常工作，互连效应的影响再也不容忽视。这时，互连线已不能再视为简单 的电连通，在设计高速集成电路时，必须将此因素连同电子元器件及单元电路作为一 个整体全盘地加以考虑。高速集成电路系统中的互连网络的分析和研究也因此成为保 证系统正常工作的必要环节，引起了人们空前的重视。 剖析l s i 和v l s i ，其中除单元电路外，有必要将芯片内各单元电路之间，芯片 的i o 接口与周边电路或其它芯片之间按拓扑性质进行连接，此即所谓互连。互连借 介质基板上的导体线条完成，这就是所谓互连线。互连借介质基板上的导体线完成， 低速情况只具有电连通的意义，但是当电路的工作速度提高，时钟频率达到几十兆赫 硕士论文高速集成电路中互连线的时延分析 以至一百兆赫以上，则脉冲信号将在芯片之间的连接线上呈现波效应，对频率在几千 兆赫以上的超高速集成电路( v h s i c ) ，则在芯片内的连接线中亦将呈现此种效应。 出现波效应的原因在于信号脉冲的时间参量( 如脉冲的上升、下降和持续时间) 已缩短至和连接线上电磁波传输时间处于同一量级。例如当时钟频率为i o o m h z 时，其 周期为1 0 n s ，相应的脉冲时间参量当在1r l s 量级或更短，v i i $ i c 的信号时间参量则可 短至1 0 p s 量级，如设芯片之间连接线长度为1 0 c m 量级，芯片内连接线为m m 量级，则电 磁波在其上的传播时间分别和上述时间参量相当。连接线上呈现波动效应时，就不应 将其视为简单的电连通而应将其作为微波传输线或分布参数电路来分析高速脉冲的 波传输性质，由此而产生所谓互连效应 3 4 ，其具体表现为： ( 1 ) 时延即由脉冲在线上的波传输时间而产生的波形延时，此种延时量常和信 号脉冲的时间参量及单元电路延时量( 如每门延时) 相当。 ( 2 ) 畸变由于连接线作为波传输线存在色散、损耗、不连续性的反射及线间互 耦，使信号脉冲通过后产生波形畸变，轻者使脉冲的上升和下降时间展宽，重则使波 形严重畸变甚至使脉冲的极性反转。 ( 3 ) 回波由于线上的不连续性及两端负载和线上特性阻抗的不匹配使脉冲产生 多次反射。 ( 4 ) 相邻线间的干扰噪声因布线密度所限，相邻连接线间具有可观的分布耦合， 造成信号因线问互耦而形成干扰噪声，由于波传输中的迭加性质，此种干扰有时可达 到很严重的程度。 由上可知，连接线互连效应当工作速度提高后将极为明显，通常将影响电路的性 能指标，严重时甚至影响其正常工作，故对其应予以足够重视，有必要探究互连效应 的内在规律，并建立一套分析和计算方法，将其和i s l 和v i 。s l 的总体设计相结合以保 证电路的总体性能。 目前，国外对连接线问题的研究给以充分的重视，除对此进行深入的分析以外， 也设法从电路的工艺和结构方面进行改进以减轻其影响，特别是针对多块芯片互连时 连接线过长的缺点而推出一种多芯片结构 1 2 ( 如图1 1 1 ) ，其基本构想是利用 半导体薄膜工艺在硅晶片上沉积多层聚合介质薄膜及导线层构成多层布线作为连接 线系统，从而将固定于顶部可多至l o 块以上的电路芯片连接起来，得到结构紧凑的， 晶片范围的多芯片系统。此种多芯结构已有多种产品具有结构紧凑，电路功能多， 可靠性好和功耗低的优点。 硕士论文 高速集成电路中互连线的时延分析 芯片 f 图1 1 1m c m 不意图 多芯结构虽然缩短了芯片问的连接线长度，但互连问题仍未消失。因为从目前硅 晶片的尺寸( 直径可达n 4 时以上) ，以其为衬底构成的连接线系统，线长可达到几厘 米乃至1 0 厘米以上，达到了必须考虑波效应的程度，同时由于结构紧凑所带来的连接 线密集，线条细( 线宽及线间距离均可小于1 0 ui n ) ，使线间互耦和线损耗增大，从另 一方面增大了互连效应。因此对多芯结构的多层连接线系统，除考虑其材料、工艺和 热耗散等问题之外，互连效应对信号传输的影响是一个必须充分考虑的问题。在此基 础上才能最后确定布线结构和几何尺寸。 综上所述可知，在l s i 和v l s i 连接线系统的研究工作中，除一部分和封装问题相 联系，考虑其中的材料、工艺、机械特性和热耗散等问题以外 4 5 ，对其电性能的 分析和与之有关的设计己不能用常规的集成电路理论及c a d 方法解决，而必须针对其 波效应运用电磁场及微波的理论和方法。其中又可分为二个方面，其一为应用电磁场 理论建立连接线系统的电磁模型，计算其电磁参量以提供下一步进行电路分析时作为 电路基本参数：其二即应用微波网络理论( 或分布参数电路理论) 计算连接线系统对高 速脉冲信号的传输特性( 或时域响应) ，由此而得出连接线系统的互连参量，进而和单 元电路相结合而进行电路系统的设计。 随着半导体工业的迅速发展，电路系统的速度和集成度均进一步提高。在高速 v l s i 及多芯片组件( m c m ) 中，如何准确、有效地对于信号经过互连线传输之后所 产生的互连效应进行定性、定量的分析，计算和控制已经成为高速电路系统设计中 的主要问题之一，它对于电路系统的优化设计至关重要。所有这些均将从客观上对分 析、模拟v l s i 电路互连网络的工具的准确性及有效性提出越来越高的要求。为了准 确、有效地进行高速v l si 电路的模拟和设计，就需要各类传输线的精确模型，然后 硕士论文高速集成电路中互连线的时延分析 进一步地建立一般的电路互连网络的模型。因此掌握传输线及v l s i 电路系统互连网 络的特性，从而建立其准确、有效的模型，对于更好地进行v l 。s i 电路的优化设计、 改善电路系统的性能具有非常重要的意义，也因此成为目前电路系统领域人们所关注 的焦点之一。 ( 1 ) 随着l s i 和v i 。st 的规模及速度不断提高，连接线的互连效应也逐渐增强。互连 效应明显地影响电路整体的性能和指标，在某种意义上甚至成为高速集成电路发展战 略的一种考虑因素，目前发展硅高速电路和砷化镓高速电路之争亦包含互连效应对电 路速度的限制这一因素。因此无论从何角度来看，开展对互连效应的研究对发展高速 大规模集成电路技术及其实际应用都具有重要意义。 ( 2 ) 尽管由于微细加工技术的发展，集成电路芯片中单元电路的尺寸同益缩小， 芯片所包含的单元电路数不断增多，但由于实际应用中功能和容量方面的要求也不断 提高，因此芯片或由其构成的系统在尺度上未必减小，在工作速度迅速提高的条件下， 连接线上波效应的出现成为必然。这种情况在未来一段时间、在以半导体技术为基础 的微电子领域内预计将继续存在，因此微电子技术也必然如同在过去的发展过程中不 断地吸收和融合各种学科领域那样，吸收并结合微波和电磁场这一学科领域，不断解 决自身在发展过程中遇到的各种问题，使其本身的发展达到更高的水平。 ( 3 ) 作为微波和电磁场学科，在过去较长时期内基本上和信息系统的高频通道部 分相联系，并建立起一套领域的分析体系。随着近年来信号的高速化和信号电路载体 规模的增大，微波和电磁场学科逐渐开始进入信号电路领域 7 ，连接线的互连效应 即是其体现。在应用微波和电磁场理论和方法解决信号电路分析的过程中，尽管在基 本原理上并未脱出麦克斯维的电磁理论体系，但在发展过程中必然建立一些新概念， 并产生新的分析计算方法，使这一相对成熟的学科产生新的活力。同时由于l s i 和 v 【，s i 在实际应用中的广泛性，也为进一步拓宽微波电磁场学科的应用领域开辟了途 径。 1 2 传输线瞬态分析方法的现状及发展 分析r l g c 传输线的瞬态响应时，一般采取两个步骤：首先应用电磁场理论建 立传输线的电磁模型，求出其分布电磁参量：然后对传输线的分布参数电路模型进行 分析。目前应用较多的传输线分布参数电路模型是在准t e m 波的近似下建立的，其 描述方程在时域中是一组偏微分方程，在频域中是一组常微分方程( 俗称电报方程) 。 本文即是利用这一模型，并在有关的电磁参量近似问题已经解决和研究传输线所需的 电磁参量已知的假设下进行传输线的瞬态分析。 前面已述及，准t e m 波近似下传输线的描述方程是一组频域常微分方程或时域 硕士论文高速集成电路中互连线的时延分析 偏微分方程。相应的，常用的传输线瞬态分析方法也分为两类，即频域方法和时域方 法。下面我们介绍一下这两种方法的现状及发展。 频域方法是指从频域电报方程出发，建立传输线的频域模型。频域方法一般可分 两步进行，第一步是建立频域模型，第二步是如何从频域模型出发得到传输线的时域 响应。我们先介绍一下频域模型的概况。比较容易想到的方法是直接求解频域电报方 程，得到传输线的频域响应表达式，然后对表达式进行处理得到传输线频域模型。利 用此方法能建立可以嵌入改进节点法导纳矩阵的模型 8 1 1 9 1 ，也能建立具有较强物理 概念的二端口模型 1 0 】【l l 】 1 9 1 。这些模型容易建立、使用方便，但是随着电路系统规 模的增大，其计算量会迅速增加，缺乏应有的效率。为了提高传输线频域模型的分析 效率，人们引入了有理逼近，基于频域有理逼近的方法是目前最为流行的传输线分析 方法。开始人们利用矩匹配求得传输线传递函数或导纳矩阵的有理逼近，先是单点 ( s = 0 或s = 一) 矩匹配法1 1 2 1 1 1 3 1 ，由于这种方法的精度会随频率点远离展开点而降 低且数值稳定性无法保证，所以人们又引入了精度更高的多点矩匹配法f 1 4 】。为了进 一步提高精度及稳定性，有人将p v l ( p a d ea p p r o x i m a t i o nv i at h el a n c z o s ) 算 法引入了传输线分析当中f 1 5 1 。最近，频域有理逼近方法进一步发展为采用k r y l o v 子空间技术的各种降阶方法【1 6 1 7 】，以保证模型的高精度及无源稳定性。基于频域 有理逼近的方法有一个明显的缺点，那就是物理概念不明确。为了弥补这一缺陷，最 近，有人提出了矩元件法 3 2 1 。这种方法将矩转化为矩元件，改矩匹配为矩元件匹配。 这种方法不仅解决了其它矩匹配法很难解决的不稳定性问题，而且具有很强的物理概 念，从而可以比较容易地嵌入传统的电路模拟软件当中。在由频域模型得到时域响应 的方法中，较常使用的主要有两种。一种是快速傅立叶逆变换法( i f f t ) 【1 0 【1 8 】【1 9 】【2 0 】 2 1 】，这种方法速度快、效率高，使用较多。但是，频谱混迭效应 2 0 】 的存在使其应用受到了一定的影响。另一种比较常用的方法是数值拉普拉斯逆变换 ( n i l t ) 8 】8 ，这种方法稳定性好、精度高，但是运算速度较低，应用也局限于初始 值为零的电路系统。为了提高精度，拓宽其应用范围，人们对n i l t 法作了诸多改进 【2 3 1 1 2 4 1 1 2 5 。对于文献 1 2 1 u 5 1 所建立的模型，则可直接应用拉氏逆变换将所建立的 频域模型转入时域得到传输线的时域响应。 时域方法是指建立传输线的时域模型，直接在时域中进行传输线的瞬态分析。时 域方法又可细分为两种：一种是从频域电报方程出发，经过各种处理得到时域模型， 从而可在时域中直接求得传输线的时域响应。一般来说，这种方法都会牵涉到卷积a 由于利用卷积求取响应需要任一时刻都要在整个历史上将信号展开，运算量非常庞 大，所以在很长一段时期内，在传输线瞬态分析研究中，卷积仅是作为一种理论而存 在。递归卷积方法的出现改变了这种情况。与直接卷积相比，递归卷积法的运算量大 大减少，运算速度也有很大提高，这使得卷积应用于传输线瞬态分析成为可能 2 6 1 。 硕士论文高速集成l u 路中互连线的时延分析 但是，因为递归卷积法利用了有理逼近，所以它的稳定性与精度不易保证。为了提高 精度与保证稳定性，文献 2 7 2 8 2 9 3 0 1 从频域电报方程h 发，经过一系列的变换与 处理并结合递归卷积得到了传输线的两端口时域模型。另一种时域方法是直接从时域 电报方程出发，建立传输线的时域模型。在数学当中，求解偏微分方程的传统数值方 法是将所有自变量同时离散，从而得到方程的近似解。所以，将时域电报方程的时、 空变量同时离散从而求得传输线时域响应的方法是人们比较容易想到的 1 8 i 。但是， 长期以来，人们认为这一方法原始笨拙，分析效率太低，无法在实际中使用，所以对 这种方法研究很少。最近，有人对这种基于电报方程时空离散的分析方法作了重新研 究，提出了新的离散方案，提高了这+ 方法的分析效率，使它的实际应用成为可能 1 3il o 除了这种时空离散方法之外，直接从时域电报方程出发建立传输线时域模型的 方法是很少的。下面简要介绍一下各类方法： i 频率转换方法 其主要特点是首先在频域推导山频域网络函数或频域的电路方程，然后借助傅立 叶变换或拉氏变换得出时域响应函数，更为具体的可分为： 1 ) 解析方法 3 7 4 5 1 即可完全借助于解析推导实现频域至时域的转换，对处理的对象有所限制，傲 限于简单的无耗t e m 传输线段或公度线网络，在求解过程中应用了某些数学手段， 如积分方程的求解，时域响应的无穷级数展开等。 2 ) 快速傅立叶变换( f f t ) 18 】【19 2 0 1 1 2 i j 1 5 4 1 即借助高效率数值方法实现快速富氏变换，首先在域推出网络函数或电路方程， 在一定的频率范围内取问隔均匀的许多频率取样点，按离散傅立叶变换的方法变换到 时域，也得到响应的时间取样点，当取样问隔足够小时，离散的数据可足够精确地表 示时域响应函数。f f t 方法的适用范围极宽，几乎所有问题都可借此解决，但取样点 数量必须足够大，否则不但不能保证精度，还会引起频谱混迭( a l i a s i n g ) 2 0 ，而使结 果不可靠。为避免频谱混迭，则造成了计算效率降低，耗用计算机内存增加。 3 ) 数值拉普拉斯逆变换( n i l t ) 法1 8 1 1 3 7 3 8 】 这是一种实现拉氏变换和反变换的数值方法。当网络函数或电路方程中系数为复 频率s 的复杂函数时，用解析方法不能实现变换，数值方法成为一种可取的途径。其 主要思路是将拉普拉斯变换和反变换积分公式中的指数变换因子以p a d e 逼近表示为 近似的有理函数，即可实现变换。 2 直接时域方法 即直接在时域中写出电路方程，对传输线即为时域电报方程，然后用各种方法解 时域电路方程( 最为典型的为含时间变量和空间坐标变量的偏微分方程) ，比较具体 的直接时域方法有： 硕士论文- 滔速集成i 乜路中且迕线的时延分析 1 ) 微分差分方程法1 3 9 1 | 4 ( ) l 为降低偏微分方程求解的难度，将长度坐标轴离散化取许多取样点，将沿长度的 微分变为差分，从而将偏微分方程化为常微分方程组或矩阵形式的常微分方程，以便 按常微分方程的形式求解。 2 ) 特征法 2 0 1 1 2 9 3 0 1 1 4 4 将具体时间t 和空问坐标x 的偏微分方程转换到二组特征线族上以常微分方程的 形式求解，这是一种最为典型而常用的直接时域分析方法，其汁算效率较高，在高速 电路互连线分析中得到广泛应用。 3 时频混台方法 这类方法分别吸取了时域和频域分析的优点，或足交替的在频域和时域进行分 析，或是在频域首先进行预处理，为在时域进行高效率分析创造条件，较具体的有以 下几种方法： 1 ) 波形松弛迭代法l l o 1 9 是一种频域和时域间多次往复变换的一种迭代算法，变换方法采用f f l l ，迭代过 程直至收敛为止。 2 ) 渐近波形估值法 12 4 lj 4 2 j 是阶数缩减方法类中最先发展的种。在集中参数线性电路中，频域网络函数可 表示为复频率s 的有理分式，进一步可分解为部分分式，每一分式转换到时域为一个 指数函数，不仅形式简单，且便于递归卷积运算。为此在分布参数电路的频域分析中， 用各种方法将超越函数形式的网络函数近似为有理函数，再按集总参数电路方式类似 的处理。在频域中近似为有理函数往往采用矩量匹配( m o m e n tm a t c h i n g ) 【1 6 3 2 1 1 3 5 1 和p a d e 近似【4 3 1 午目结合实现之，称之为a w e ( a s y m p t o t j cw a v e f o r mh l h 儿l l io n ) 方 法。近年来其作为阶数缩减方法得到很快发展，由于采用子空间变换而使这一类方法 进一步改进，并派生出多种形式，具体的有p v i 。、a r n o l d i 等。这类阶数缩减方法 解决了复杂电路系统在保证其基本电特性情况下电路函数的简化问题，即一个代表复 杂电路的高阶电路函数可近似等效为个低阶函数，可以非常明显的提高复杂电路系 统时域分析效率。由于日前高速电路系统布线网中含有数量庞大的互连线和封装结构 的集总参数和分布参数电路元件，成为一个相当复杂的电路系统，用阶数缩减方法进 行时域分析非常有利。 3 ) 传输线状态变量法【3 1 l 【4 5 1 模仿离散状态方程方法，对于无耗t e m 均匀传输线和公度线网络，在选取适当 的状态变量后，也可写出系统的状态方程，可以用解析或数值形式求出状态方程的解， 和通常离散变量状态方程求解相类似，求解过程较简单。 硕l ：论文f ：速撒成i u 路r 】且连线的 延分 f 1 3 本文的主要工作及章节安排 目前，人们所研究的互连线主要有两种。一种是中、高频集成电路芯j ll 的互连 线。这种互连线般具有较高的线上电阻，线l 电阻对于t 乜路的影u 向远远人于电感， 可以用r c 树 3 3 1 或r c 网络 3 4 1 之类的线性电路模型f 3 5 i 来表示，由一阶或高阶近似 来分析。另种是芯片外或芯片问的互连线。这种互连线一般选用备种r i 。g c 传输 线模型进行模拟。本文所研究的就是芯片外或芯片间的互连线。 前面我们介绍了传输线瞬态分析的频域方法与时域方法，因为时域电报方程是偏 微分方程，而频域电报方程是常微分方程，所以从数学角度来看，建立频域模型比建 立时域模型要更为容易，计算量也更小。然而利用直接时域方法分析互连线的时域响 应一般具有较高的计算效率，而日所建立的互连线时域宏模型又便丁和非线性电路建 立接口，因此用直接时域方法处理多导体互连线便于用改进节点法建立整个高速电路 系统的电路方程，但是直接时域分析方法也有以下不足： 1 ) 目前互连线参数频变问题已经日渐提上日程，由于电路的j ：作速度进步提 高，众所周知的趋肤效应使互连线分布电阻随频率而改变，这一局部频变参数问题虽 然在直接时域法中也可以解决，但计算效率明显偏低，不能充分发挥直接时域方法的 优点。更何况当前芯片内互连线的问题也已引超重视，芯片内互连线由于受半导体衬 底的影响，互连线所有四个分布参量l 。，c ，i ，( ；均呈明显的频变特性，用苴接时域 方法已无能为力。 2 ) 用直接时域分析方法处理具有丰h 互耦合的多导体互连线时，必须利用特征模变 换方法将n 根多导体线变为n 个特征模，等效于特征值各不相同的n 根单线，才能用 时域法处理。但在处理时域多导体电报方程组对角化或去耦时，难以用一般方法解决 同一矩阵方程中两个系数矩阵同时对角化的问题，除非对互连传输线施加某些限制， 用个别方法进行特殊处理，但这样处理则缺乏般性。 本文采取了一种频域方法，首先在频域建立电路的网络方程，然后求出电路的频 域响应，最后通过拉氏逆变换获得时域响应。对不同种类的传输线，人们已经做了许 多研究工作，相对而言，分析均匀传输线的方法和技术比较完善，而对于非均匀传输 线，文献1 2 11 4 7 1 ； 1 j 用广义a b c d 矩阵级联法进行了分析，将非均匀传输线等效为一 系列多端口予网络的级联，各子网络近似为长度很短的均匀传输线，然后通过幂级数 展开求得整个级联网络的a b c d 矩阵，再联立边界条件通过快速傅立叶逆变换( i f f t ) 获得时域响应。本文提出了另一种求取非均匀传输线厂义a b c d 矩阵的方法，即通 过四阶龙格一库塔公式在传输线长度方向上进行迭代求取，再结合数字拉氏逆变换 ( n i l t ) 求得电路的时域响应，实例表明该方法比传统的n i l 2 1 1 法具有更高的精度和 硕士论文 高速集成电路中互连线的时延分析 效率。 本文章节安排如f ：第二章将作儿项必要的准备工作，介绍一下互连线时域分析 中采取的一些假设，以及传输线广义a b c d 矩阵的定义；第三章介绍传输线广义 a b c d 矩阵的求取方法，包括传统的方法和本文所提出的新方法，最后对两者进行了 比较；第四章介绍拉氏逆变换的原理以及拉氏逆变换中用到的p a d e 逼近；第五章将 给出本方法的几个应用实例，并给出仿真结果；第六章给出结论。 硕士论文 高速集成i b 路中互连线的时延分析 第二章传输线时延分析的一些基本问题 2 1 电报方程 对与高速集成电路系统中互连网络的传输线模型进行时域响应分析的最为直接 的方法就是求解麦克斯韦方程组。这种方法从原则上讲可以将传输线系统的各种几何 、电磁参数的影响都考虑在内，也可以处理各种端接负载，但是它存在着明显的缺点， 那就是分析、计算过于复杂，而且对于计算机的速度、内存等方面的要求也相当苛 刻。因此，人们通常采取一定的近似方法，构造出传输线系统的近似模型，适当地简 化整个传输线系统的时域响应分析过程。 对于近似模型，一般有以下两个假设fj 8 】： 第一个假设是传输线的横向尺寸在其长度方向上是连续的，在两个端点处则可以 接有任意负载网络。对于传输线中存在有不连续点的情形，一般是将其分割成若干段 连续传输线，至于其中不连续点的影响则通过引入适当的网络来等效。 第二个假设是传输线上的电磁波为准t e m 波，即近似认为传输线上沿波传输方 向的电磁分量远远地小于其横向分量。严格地说，t e m 波只能在均匀介质中的无损 传输线上存在，对于非均匀介质和有损传输线的情形，线上所传输的电磁波实际上是 t e 波与t m 波的混合，一般不具有t e m 波的性质。但是对于我们所要研究的高速集 成电路中芯片问互连线的传输线模型而言，其横向尺寸比传输线最高频率分量的波长 还小得多，沿波传播方向的电磁场分量也就比横向分量小得多，这种电磁波可以近似 认为是t e m 波，即准t e m 波。目前，对于高速集成电路中芯片问互连线的研究， 人们通常是先从静电场的角度出发，得出传输线分布参数模型，然后再从电路的角度 对其进行时域响应分析。 有了上述的两个假设，我们就可以在假定各种传输线的分布参数( 即单位长度的 分布电阻、电导、电感、电容) 已经确定的前提下得出一般传输线的常用模型【4 6 】。 考虑传输线上的一个微分长度单元缸，它可由下述四个参数来描述：单位长度的电 阻r ：单位长度的电感l ；单位长度的电导g ：单位长度的电容c 。设f ( x ，f ) 与v ( x ，) 分别为传输线上j 点处的分布电流与分布电压，则其等效电路如图2 1 】所示： 顽士论文 高速熊成f 乜路中互连线的时延分析 t ( x 1 + 图21 1 传输线的分布参数模掣 由上图，利用基尔霍夫电挑定律得： v ( 列) 一r i ( x , i ) 厶一l 里掣血：1 ，( j + a x , t ) 当厶斗0 时，上式可写为： 掣l o i ( x , t ) + r i ( x ，) ( 2 11 a ) 瓠a jj 同理，由基尔霍夫电流定律可得类似方程： 一_ o i ( x , t ) ：( ，型掣+ g v ( 刈)( 2 川h ) 上述偏微分方程( 2 1 1 ) 与( 2 12 ) 就是一般传输线的描述方程，俗称时域电报方程。 频域当中的传输线等效电路及描述方程推导过程与时域中类似，只是分御电压与 分布电流变为v ( x ，j ) 与l ( x j ) ，由于频率不随空间位置的变化而变化，所以传输线描述 方程为常微分方程： d v _ ( x 一, s 一) 别( z s ) ( 2 1 ，2 a ) d l _ ( x , s ) ：一y v ( x ，j ) ( 2 12 b ) 上述两个方程俗称频域电报方程。式中，v ( x ，s ) 、l ( x ，j ) 分别表示长度坐标x 上 的复数分布电压和电流，其中z 和，分别是传输线单位长度的阻抗和导纳，且有z = 只+ j 与y = g + s ( j 。 频域电报方程式( 2 1 2 ) 完整的描述了传输线上信号传输的性质，要确定具有 定端接负载的传输线的信号响应，还需要给出描述传输线端接网络特性的方程，即给 出x = 0 和x = d 处的电压电流之间的关系式即边界条件。在求传输线的时域响应时， 除了需要传输线的特性描述方程和边界条件之外，还需给出传输线上各处电压电流的 初始条件。 综上所述，传输线的时域响应分析实际上足在一定的边界条件和初始条件下，求 硕士论文 - 岛速集成乜路中且连线的时延分析 解电报方程的过程。 2 2 传输线的广义a b c d 矩阵 通常所谓网络的级联均特指二端网络，所有参与级联的二端【_ 予网络各为首尾 端口相接，由此组合为总的二端口网络。在处理级联问题是均采用a 参数表示网 络参量，总网络a 矩阵则为各个子网络a 矩阵按照连接顺序连乘而得到。f 面我们 从二端口网络a b c d 矩阵 4 6 1 的定义延伸得到传输线的j “义a b c d 矩阵1 4 5 l 。剥r 图 22 1 所示二端u 网络，电压，电流参考方向如图所示，选取输入端得电压和电流为 自变量，输出端电压和电流为闪变量，可得线件方程组： + 图22l 二端u 网络 _ = a 一b 1 2 ，j = c 一d 1 2 f 2 21 a 1 r 22 1 b 1 巳： _ ，1 7 = 爿 ，一，2 7 其中 爿 = ：三 称为a 矩阵赭a b c d 矩阵，由单个二端h 麟a b c d 阵的定 义易知n 个二端口网络级联时，整个网络的a b c d 矩阵就等于n 个二端【_ 】网络的 a b c d 矩阵相乘。如将级联的含义从二端口网络进一步延伸，u p 参加级联的子网络玎i 限于一个端u 和一个端口的联接，可以有几个端口并行的联接，如图( 2 2 2 ) 所示， 称为广义级联。此时每一个子网络共有2 n 个端口，其中n 个端口作为输入，另外n 个端口作为输出，分别和前接和后接予网络相连。和二端口子网络的级联用a b c d 矩阵一样，2 n 端口子网络的级联也可应用a b c d 矩阵，但应该称之为广义a b c d 矩 阵，其定义为： 一- 吃 屯。 硕士论文 高速撬成l 乜路中互迕线的时延分析 l， l ”1 1 2 娩 蛛。，nj u ，= u 2 = u 1 l 】、 f ， u v u l l n ；i 踪+ p i n + 2 1 2 n - i ? i2 l q _ l n l q 旃2 。) ： 1 l , , 2 n ( 22 2 ) f 2 2 3 a ) r 2 2 3 b ) 式( 2 2 2 ) 中的at j l j j d r ra b c d 矩阵，网络进行广义级联时，总网络的广义a b c d 矩阵则为各个子网络广义a b c d 矩阵的循序连乘，即： 女 a = 兀a 【2 - 24 ) 仁1 除了a 参数外，还有z 参数，y 参数和s 参数，分别对应网络的阻抗矩阵，导纳矩 阵及散射矩阵，在此不一一赘述。 联级义 i，1j黼臣 网 爿 2 1 1 j犹阿h 图 硕士论文 高速集成电路中且连线的时延分析 第三章广义a b c d 矩阵的求取 3 1 级联法 考虑图3 1 1 所示的由n 根信号导体组成的非均匀传输线，如第二章所述，在做 州域响应分析时一般将其近似为准f e i v l 传输线，满足频域电报方程： 幽m1l 非均匀多导体传输线系统 d 矧雌- k z ( x 龇矧 b ， z ( x ，s ) = r ( x ) + s t ( x ) ( 312 ) y ( x ，s ) = g ( 寸 s c ( x ) ( 3 13 ) ( x ) 、霄( x ) 、c ( x ) 、6 ( z j 分别是传输线单位长度的电感、电阻、电容、电导矩阵， 式( 3 1 1 ) 结合边界条件，便可求解拉氏域的响应信号，但对于非均匀传输线一般不存 在解析解，为求数值解引入广义a b c d 矩阵，根据广义a b c d 的定义有： 矧十叫删 14 ， 硕上论文，两速集j 旦l 乜路叶_ 乜连线的时延分析 似) - 雠- a i ( x ，s 。j ( 3 i 5 ) d a t x , s 1 出= l 一0 l ，- ( x z ，一( x ) ：f 爿( l s ) 1 r ，一。， 此即传输线j 义a b c d 矩阵所满足的微分方程，显然ia ( x ，s ) i 具有初始值 l 4 ( o ，j ) l = p 】，【u 】为单位矩阵。根据微分方程理论，初值问题的式( 3 1 6 ) 的求解 要比边值问题的式( 3 1 t ) 容易的多。 为了求得式( 3 ，1 6 ) 的数值解，可将图3 i 1 中的传输线均匀的分割成m 段，每段 长度d = d m ，d 为传输线总长度。只要分段数m 足够大，就可认为各个小段都是均 匀传输线，即z ( x ，s ) 和l ，( x ，j ) 在每一小段内不随x 变化。m + 1 个分段点处的电压、 电流矢量分别记为、，z ( x ，s ) 和y ( x ，s ) 则汜为【互】、【，：】，i = i ，2 ，n 1 j i 这种分段方式实际上是将非均匀传输线等价为m 个2 n 端v i 子网络的级联，如图 3 1 2 ，各子网络都由长度为d 的n 导体均匀传输线组成。设第i 个子网络的广义a b c d 矩阵为【4 】，总级联网络的广义a b c d 矩阵为【爿】_ 【a ( d ，) 】，则： a a ： 九 ； j |! ：一： ： v i ik j j!i ；二j 二二! ： id ! ；v 。； 图：i 2 2 非均匀传输线的等效级联网络 输 出 终 端 网 络 _lr-l-_，_l 叫，q t 丘 ，i、，il 4 输入终端网络 硕士论文高速集成电路中互连线的时延分析 阱描a , 埘。j l i , b ， 酗书徘l z , j 黔a , j 蚴l i , b ， 爿 = 爿。 爿一， 月i ( 3 i 9 ) 式( 3 1 7 ) ，式( 3 1 ，8 ) 中的一。- a , 。和a i 一。分别是 4 和 一 的n 阶分块矩阵。由于 将各个子网络看作是由均匀传输线构成，其广义a b c d 矩阵 4 i q e h ( 3 1 6 ) 得出解析 表达式【3 8 】，即： m ：p b - z u j d ( 扛l ，2 ，删) ( 3 1 9 ) 为了计算式( 3 1 9 ) 中出现的矩阵指数函数，可将其展开为泰勒级数： 【爿n 】= 1 + 击 z , l v i d2 + + 志( 【五】【r 】d 2 ) 。+ ( 3 _ 1 1 0 ) 【4 ：】= 一【z j 】d 一壶【互】【i 】【z f 】d 3 一瓦i l _ 而( 【互】【r 】d 2 ) ”1 【z ，】d ( 3 1 1 1 ) 【爿，】= 一【f 】d 一击【y 】【互】【y ：】一瓦丢二而【r 】d ( 【互】【y 】d 2 ) “。( 3 1 1 2 ) - 1 + 去【】【z | 】n + 面b ( 互“+ ”，( 3 1 1 3 ) 表达式( 3 1 1 0 ) 式( 3 1 1 3 ) 是绝对收敛的，收敛速度与矩阵【互】【r 】d 2 各特征值 。( i - 1 ，2 ，m ；k = l ，2 ，n ) 的模i ，。i 有关，模越小，收敛越快。显然，对给定的传输 线，【五】【】确定，d 越小，k 。i 就越小，因此，只要子网络数目m 取得足够大( 即 d 足够小) ，就能保证这些级数以很快的速度收敛，所以仅取少数几个低次级数项就 能扶到很高的近似精度。 硕士论文 高速集成电路中互连线的时延分析 3 2 龙格一库塔法 对于一阶常微分万程初值叫题： 等= 邝，甜)( 3 2 1 ) 出 o ” ( 3 ) l 材( o ) = “o 的求解问题，其中f 为