线性代数教案 同济版.doc

线线性代数性代数 课 程 教 案 学院、部 系、所 授课教师 课程名称 线性代数 课程学时 45 学时 实验学时 教材名称 年年 月月 日日 _ 精品资料 线性代数 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 3 节 授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式 1 二阶与三阶行列式 2 全排列及其逆序数 3 阶行列式的定义n 4 对换 本授课单元教学目标或要求： 1.会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式。 2.知道阶行列式的定义。n 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：行列式的定义 1.计算排列的逆序数的方法 设是这个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。 12n p pp1,2,nn 先看有多少个比大的数排在前面，记为； 1 p 1 p 1 t 再看有多少个比大的数排在前面，记为； 2 p 2 p 2 t 最后看有多少个比大的数排在前面，记为； n p n p n t 则此排列的逆序数为。 12n tttt 2.阶行列式n 12 12 11121 21222 12 () 12 ( 1) n n n nt ppnp p pp nnnn aaa aaa Daaa aaa 其中为自然数的一个排列， 为这个排列的逆序数，求和符号是对所有排列 12n p pp1,2,nt 求和。 12 () n p pp 阶行列式中所含个数叫做的元素，位于第 行第列的元素，叫做的元。nD 2 nDij ij aD( , )i j 3.对角线法则：只对 2 阶和 3 阶行列式适用 _ 精品资料 1112 11221221 2122 aa Da aa a aa 111213 212223112233122331132132 313233 132231122133112332 aaa Daaaa a aa a aa a a aaa a a aa a aa a a 重点和难点：理解行列式的定义 行列式的定义中应注意两点： (1) 和式中的任一项是取自中不同行、不同列的个元素的乘积。由排列知识可知，中这样的乘DnD 积共有项。!n (2) 和式中的任一项都带有符号， 为排列的逆序数，即当是偶排列时，( 1)tt 12 () n p pp 12n p pp 对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号。 12n p pp 综上所述，阶行列式恰是中所有不同行、不同列的个元素的乘积的代数和，其中一半nDDn 带正号，一半带负号。 例：写出 4 阶行列式中含有的项。 1123 a a 解：和。 11233244 a a a a 11233442 a a a a 例：试判断和是否都是 6 阶行列式中的项。 142331425665 a a a a a a 324314512566 a a a a a a 解：下标的逆序数为，所以 142331425665 a a a a a a4312650 1220 16 是 6 阶行列式中的项。 142331425665 a a a a a a 下标的逆序数为，所以 324314512566 a a a a a a(341526)(234156)538 不是 6 阶行列式中的项。 324314512566 a a a a a a 例：计算行列式 0001 0020 0300 4000 D 解： 0 1 2 3 ( 1)1 2 3 424D 本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合 首先通过二（三）元线性方程组的解的表达式引出二（三）阶行列式的定义。然后介绍有关全排列 及其逆序数的知识，引出阶行列式的定义。n 通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系，引导学生了解行列式的三种等价定义。 本授课单元思考题、讨论题、作业： 1 P.26 1(1)(3) 2 2(5)(6) 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版） 线性代数 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 2 节 授课题目（教学章节或主题）：第一章 行列式 5 行列式的性质 6 行列式按行（列）展开 7 克拉默法则 本授课单元教学目标或要求： 1 知道阶行列式的性质。n 2 知道代数余子式的定义和性质。 3 会利用行列式的性质及按行（列）展开计算简单的阶行列式。n 4 知道克拉默法则。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容： 1.行列式的性质 (1) 行列式与它的转置行列式相等。D T D (2) 互换行列式的两行（列），行列式变号。 (3) 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式；或者行列式的某kk 一行（列）的各元素有公因子，则可提到行列式记号之外。kk (4) 行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，则此行列式为零。 (5) 若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和。 (6) 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式 的值不变。 2.行列式的按行（列）展开 (1) 把阶行列式中元所在的第 行和第列划去后所成的阶行列式称为元的n( , )i j ij aij1n( , )i j ij a 余子式，记作；记，则称为元的代数余子式。 ij M( 1)i j ijij AM ij A( , )i j ij a (2)阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。即可以按第n 行展开：i ； 1122 (1,2, ) iiiiinin Da Aa Aa Ain 或可以按第列展开：j . 1122 (1,2, ) jjjjnjnj Da Aa Aa Ajn (3) 行列式中任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即 ， 1122 0, ijijinjn a Aa Aa Aij 或 . 1122 0, ijijninj a Aa Aa Aij 3.克拉默法则 含有个未知元的个线性方程的方程组n 12 , n x xxn _ 精品资料 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 当全为零时，称为齐次线性方程组；否则，称为非齐次线性方程组。 12 , n b bb (1)如果方程组的系数行列式，那么它有唯一解：，其中0D (1,2, ) i i D xin D 是把中第 列元素用方程组的右端的自由项替代后所得到的阶行列(1,2, ) i D inDin 式。 (2)如果线性方程组无解或有两个不同的解，那么它的系数行列式。0D (3)如果齐次线性方程组的系数行列式，那么它只有零解；如果齐次线性方程组有非零解，0D 那么它的系数行列式必定等于零。 用克拉默法则解线性方程组的两个条件：(1) 方程个数等于未知元个数；(2) 系数行列式不等于零。 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系.它主要 适用于理论推导. 4.一些常用的行列式 (1) 上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积。即 1112111 2222122 1122 12 n n nn nnnnnn aaaa aaaa Da aa aaaa 特别地，对角行列式等于对角线元素的乘积，即. 11 22 1122nn nn a a Da aa a 类似地，. 1 (1) 2,1 2 12,11 1 ( 1) n n n n nnn n a a Da aa a (2) 设，则 111 1 1 k kkk aa D aa 111 2 1 n nnn bb D bb _ 精品资料 . 111 1 12 111111 11 0 k kkk kn nnknnn aa aa DD D ccbb ccbb (3) 范德蒙（Vandermonde）行列式 12 222 1212 1 111 12 111 ( ,)() n nnnij n ij nnn n xxx V x xxxxxxx xxx 计算行列式常用方法：(1)利用定义；(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式 的值。 重点和难点：行列式的计算，要注重学会利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的 计算。 例：课本 P.12 例 7例 9 例：课本 P.21 例 13 例：课本 P.25 例 16 本授课单元教学手段与方法：讲授与练习相结合 以从行列式的定义为切入口，引导学生探讨行列式的各种性质。通过大量的例题引导学生掌握 如何利用行列式性质及按行（列）展开等基本方法来简化行列式的计算。 本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题 问：当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则解方程组？为什么？此时方程组的解为何？ 答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能否用克拉默法则解方程组，因为此时方程组的解为无解 或有无穷多解。 本授课单元思考题、讨论题、作业： 5 P.26 4(1)(2)(3)，5(1)(2)，7(1)(2) (5) 6 P.26 5 (4)，7 (3) (6) 7 P.28 8(1)，9 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版） _ 精品资料 线性代数 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 2 节 授课题目（教学章节或主题）： 矩阵及其运算 1 矩阵 2 矩阵运算 3 逆矩阵 4 矩阵分块法 本授课单元教学目标或要求： 掌握矩阵的定义,矩阵的加减法数乘转置矩阵求逆矩阵的行列式分块矩阵等运算,了解矩阵 多项式运算 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：本章 拟分 3 次课完成,第一讲: 1 矩阵,2 矩阵的运算;第二讲: 3 逆矩阵;第三讲: 4 矩阵分块法 第一讲: 1 矩阵,2 矩阵的运算; 基本内容:1 矩阵: 一 矩阵的定义, 定义 1 由 MN 个数组成的行列的数表), 2 , 1;, 2 , 1(njmiaijmn mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 称为行列矩阵,简称 MN 矩阵,为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表mn 示它,记作 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 这 MN 个数称为菊阵 A 的元素,简称为元,数位于矩阵 A 的第 行列,称为矩阵 A 的(I,J)元,以数 ij aij 为(I,J)元的矩阵可简记为或,MN 矩阵 A 也记着. ij a)( ij a nmij a )( nm A 元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵 行数和列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵, 阶矩阵 A 也记作.nnnn n A 只有一行的矩阵 )( 21n aaaA 称为行矩阵,又称为行向量, 行矩阵也记作 ),( 21n aaaA _ 精品资料 只有一列的矩阵 n b b b A 2 1 称为列矩阵,又称为列向量. 两个矩阵的行数相等,列数也相等,称它们是同型矩阵,如果 A=,B=是同型矩阵,并且它们的)( ij a)( ij b 对应元素相等,即 ),njmiba ijij , 2 , 1, 2 , 1( 那么就称矩阵 A 与矩阵 B 相等,级作 A=B 元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作 O,不同型的零矩阵是不同的. 2 矩阵的运算 一 矩阵的加法 定义 2 设有两个矩阵 A=和 B=,那么矩阵 A 与 B 的和记着 A+B,规定为nm)( ij a)( ij b mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababa 2211 2222222121 1112121111 两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算. 矩阵加法满足下列运算规律(设 A,B,C 都是矩阵):nm ( ) A+B=B+A;i ()(A+B)+C=A+(B+C)ii A=的负矩阵记为)( ij a -A=)( ij a A+(-A)=O 规定矩阵的减法为 A-B=A+(-B) 二 矩阵的数乘 定义 3 数与矩阵 A 的乘积记作或,规定为AA mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 _ 精品资料 矩阵数乘满足下列运算规律(设 A,B 为矩阵,为数):nm, (1) ;)()(AA (2) AAA)( (3) BABA)( 重点,难点:矩阵乘矩阵:让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义,特别强调前面矩阵的列等于后面矩阵 的行的原因.说明矩阵乘法常态下不满足消去率,通过练习提高学生的计算准确率. 三 矩阵乘矩阵 定义 4 设 A=()是一个矩阵,B=()是一个矩阵,那么矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一 ij asm ij bns 个矩阵 C=(),其中nm ij c ), 2 , 1;, 2 , 1( 1 2211 njmi babababac s k kjiksjisjijiij 把此乘积记为 C=AB 且有 sj j j isii b b b aaa 2 1 21 ),( ij s k kjiksjisjiji cbabababa 1 2211 例 4 求矩阵 A=与 2012 1301 431 1102 311 014 B 的乘积 解 C=AB= 2012 1301 431 1102 311 014 1199 129 5求矩阵 A=与 B= 21 42 63 42 _ 精品资料 的乘积 AB 与 BA 解 AB= 21 42 63 42 168 3216 BA= 63 42 21 42 00 00 AB 对于两个阶方阵 A,B,若 AB=BA,称方阵 A 与 B 可交换n 从上面等式可以得出结论:若而也不能得出 X=Y 的结论OA 0)(YXA 矩阵的乘法虽不满足交换律,满足结合律和分配律 (1)(AB)C=A(BC) (2)为数)()()(BABAAB (3)A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA 对于单位矩阵 E,有 nmnnmnmnmm AEAAAE , 即: EA=AE=A 特殊矩阵: 1 单位矩阵; E= 100 010 001 2 数量矩阵 E 00 00 00 3 对角矩阵 nn a a a 00 00 00 22 11 4 ;三角矩阵 或 nn n n a aa aaa 00 0 0 222 11211 nnnn aaa aa a 21 2221 11 0 00 可以得到: )()( nnnnn EAAAE _ 精品资料 表明纯量矩阵跟任何矩阵可交换 定义矩阵的幂为 kllklklk AAAAAAAAAA )( , 1121 其中为正整数k 6证明 nn nn n cossin sincos cossin sincos 证 用数学归纳法,时显然成立,设=时成立,即1nnk kk kk k cossin sincos cossin sincos 当时,有1 kn kk kk k cossin sincos cossin sincos 1 cossin sincos = sinsincoscossincoscossin sincoscossinsinsincoscos kkkk kkkk = ) 1cos() 1sin( ) 1sin() 1cos( kk kk 等式得证. 四 矩阵的转置 定义 5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵,叫做 A 的转置矩阵,记作 T A A=.则 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 T A mnnn m m aaa aaa aaa 21 22212 12111 A 的转置也是一种运算,满足 (1) AA TT )( (2) TTT BABA)( (3) TT AA)( (4) (AB) TTT AB 证明(4) 设,B=,记,有 smij aA )( nsij b )( mnij TT nmij dDABcCAB )(,)( s k kijkji bac 1 而的第 行为,的第列为,因此 T Bi),( 21siii bbb T Aj T jsj aa),( 1 s k kijk s k jkkiij baabd 11 ), 2 , 1;, 2 , 1(mjnicd jiij 有 TTT ABAB)( 7已知 _ 精品资料 ,B= 231 102 A 102 324 171 求 T AB)( 解 因为 =AB 231 102 102 324 171 101317 3140 所以 103 1314 170 )( T AB 若 A 是阶方阵,如果满足,即nAAT ), 2 , 1,(njiaa jiij 那么 A 称为对称矩阵. 例 设列矩阵 X=满足,E 是阶单位阵,证明是对 T n xxx),( 21 1XX T n T XXEH2H 称矩阵,且EHH T 证 TTT XXEH)2( HXXE XXE T TT 2 2 所以 H 是对称矩阵. = T HH 2 H 2 )2( T XXE =+ T XXE4)(4 TT XXXX =+ T XXE4)(4 TT XXXX =+= T XXE4 T XX4E 五 方阵的行列式 定义 6 由阶方阵 A 的元素所构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵 A 的行列式,记作n 或A .Adet 满足下列运算规律(A,B 为阶方阵,为数)An (1) AAT (2) AA n (3) ,且BAAB BAAB 例 9 行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下的矩阵A ij A nnnn n n AAA AAA AAA 21 22212 12111 称为 A 的伴随矩阵,试证 _ 精品资料 EAAAAA 证明 设,记,则)( ij aA )( ij bAA ijjninjijiij AAaAaAab 2211 故 )()(EAAAAA ijij 类似有 )()( 1 EAAAaAAA ijij n k kjki 本授课单元教学手段与方法： 讲授为主,练习为辅,主要让学生充分理解矩阵运算的定义,原则,从而掌握矩阵运算,并通过练习 提高学生运算的准确率. 本授课单元思考题、讨论题、作业： P53:3.4(1),(2);(3),(4) 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版） 注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、 “难点”、 “教学手段与方法”部分要尽 量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。 _ 精品资料 线性代数 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 2 节 第二讲: 3 逆矩阵 基本内容: 3 逆矩阵 定义 7 对于阶矩阵 A,如果有一个阶矩阵 B,使nn EBAAB 则说矩阵 A 是可逆的,并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵,简称逆阵.记为 1 A 如果 A 可逆,则 A 的逆阵是唯一的.因为:设 B,C 都是 A 的逆阵,则有 B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C 定理 1 若矩阵 A 可逆,则0A 证 A 可逆,即有,使,故所以. 1 AEAA 1 1 1 EAA0A 定理 2 若,则矩阵 A 可逆,且0A A A A 1 1 其中为 A 的伴随矩阵. A 证 由例 9 可知 EAAAAA 所以有 EAA A A A A 11 按照逆矩阵的定义知 A 可逆,且有 A A A 1 1 当时称 A 为奇异矩阵,否则称 A 为非奇异矩阵,可逆矩阵就是非奇异矩阵.0A 推论 若,则)(EBAEAB或 1 AB 证 ,故,因而存在,有1EBA0A 1 A 1111 )()( AEAABABAAEBB 逆阵满足下列运算: (1) 若 A 可逆,则也可逆,且. 1 AAA 11) ( _ 精品资料 (2) 若 A 可逆,数,则可逆,且0A 1 1 1 AA (3) 若 A,B 为同阶矩阵且可逆,则 AB 也可逆,且 111 )( ABAB 证 ,由推论有: EAAAEAABBAABAB 111111 )()( 111 )( ABAB (4) 若 A 可逆,则也可逆,且 T A TT AA)()( 11 证 ,由推论有: EEAAAA TTTT )()( 11TT AA)()( 11 当时,定义0A ,为正整数 TT AA)()( 11 kk AAEA)(, 10 k 这样,当,为整数,有0A, AAAAA )( , 重点,难点:逆矩阵的求法.定理 2 说明通过求伴随矩阵的方式,让学生掌握矩阵求逆,并告知学生下一 章里还有更简单的求逆方法. 例 10 求二阶矩阵的逆阵. dc ba 解 , 当时,有bcadA ac bd A0A bcad A 1 1 ac bd 例 11 求方阵 343 122 321 A 的逆阵. 解 ,知 A 可逆,的余子式2AA 2, 5, 4 2, 6, 6 2, 3, 2 333231 232221 131211 MMM MMM MMM 得 _ 精品资料 222 563 462 332313 322212 312111 MMM MMM MMM A 所以 111 2 5 3 2 3 231 1 1 A A A 例 12 设 ,A 343 122 321 13 02 31 , 35 12 CB 求矩阵 X 使其满足 CAXB 解 若存在,有 11, BA 1 A 111 CBAAXBB 即 =X 11 CBA 111 2 5 3 2 3 231 13 02 31 25 13 = 20 20 11 25 13 410 410 12 13设 P=求, 20 01 , 41 21 PAP n A 解 11 24 2 1 , 2 1 PP 11221 , PPAPPAPPA nn 而 , 20 01 n n 20 01 , 20 01 2 2 所以 = 1 PPA nn 11 24 2 1 20 01 41 21 n 11 24 21 21 2 1 2 1 n n _ 精品资料 1222 1222 2224 2224 2 1 1122 11 nn nn nn nn 定义 设 m mx axaxaax 2 210 )( 为的次多项式,A 为阶矩阵,记xmn m mA aAaAaEaA 2 210 )( 称为矩阵 A 的次多项式.,可证矩阵 A 的两个多项式和是可交换的,即有)(Am A Af AAfAfA A 的多项式可以象数的多项式一样相乘或分解因式.例如x 323 2 33)( 2)2)( AAAEAE AAEAEAE 容易证明 (1) 如果,则,从而 1 PPA 1 PPA kk )(A m mA aAaAaEa 2 210 112 2 1 1 1 0 PPaPPaPPaEPPa m m 1 )( PP (2) 如果 为对角阵,则,从而),( 21n diag),( 21 k n kkk diag m m aaaEa 2 210 )( m n m m m n aaa 2 1 2 1 10 1 1 1 )( )( )( 2 1 n 本授课单元教学手段与方法： 讲授为主,练习为辅,通过逆矩阵的定义及定理 2 的证明让学生充分掌握矩阵的求逆运算,并告 知学生在下一章里还可用更简练的方法计算逆矩阵 本授课单元思考题、讨论题、作业： P54:11(1),(3);12(1),(2);P55:19,22 _ 精品资料 本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 线性代数附册 学习辅导与习题选讲（同济第四版） 线性代数 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 2 节 第三讲: 4 矩阵分块法 基本内容:4 矩阵分块法 . 对于行数和列数较高的矩阵 A,运算时常采用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多小矩阵,每一个小矩阵称为 A 的子块.以子块为元素的形式上的矩阵称 为分块矩阵. 例 将矩阵43 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa A 可以分块为 (1) (2) (3) 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa 分法(1)可记为 2221 1211 AA AA A 其中 , 2221 1211 11 aa aa A 2423 1413 12 aa aa A , 323121 aaA 343322 aaA 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似,满足: (1) 设矩阵 A 与矩阵 B 的行数相同,列数相同,采用相同的分块法,有 , srs r AA AA A 1 111 srs r BB BB B 1 111 其中,与的行数相同,列数相同,那么 ij A ij B srsrss rr BABA BABA BA 11 111111 (2) 设,为数,那么 srs r AA AA A 1 111 _ 精品资料 srs r AA AA A 1 111 (3) 设 A 为矩阵,B 为矩阵,分块成lmnl , sts t AA AA A 1 111 trt r BB BB B 1 111 其中的列数分别等于的行数,那么 itii AAA, 21tjjj BBB, 21 AB srs r CC CC 1 111 其中 ), 1;, 1( 1 rjsiBAC t k kjikij 重点,难点: 分块矩阵的乘法运算,对于四阶且子块含有零矩阵,单位阵,对角阵的高阶,一般做四块分且 尽量分出单位阵,零矩阵. 14设 0211 1401 1021 0101 , 1011 0111 0010 0001 BA 求 AB 解 把 A,B 分块成 2221 11 1 0211 1401 1021 0101 , 1011 0121 0010 0001 BB EB B EA OE A 则 =AB EA OE 1 2221 11 BB EB 22121111 11 BABBA EB 而 =+= 21111 BBA 11 21 21 01 11 01 11 42 =+ 221 BA 11 21 13 33 02 14 所以 1311 3342 1021 0101 AB (4) 设,则 srs r AA AA A 1 111 T sr T r T s T T AA AA A 1 111 _ 精品