广东省深圳市2018年中考数学专题专练二次函数综合专题_2

二次函数综合专题1.如图，直线y5x5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数yax24xc的图象交x轴于另一点B.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作NDx轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；(3)若点H为二次函数yax24xc图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标温馨提示：在直角坐标系中，若点P，Q的坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当PQ平行x轴时，线段PQ的长度可由公式PQ|x1x2|求出；当PQ平行y轴时，线段PQ的长度可由公式PQ|y1y2|求出2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称(1)填空，点B的坐标是_；(2)过点B的直线ykxb(其中k0)与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PBPC.求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上，说明理由；(3)在(2)的条件下，若点C关于直线BP的对称点C恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标3.已知抛物线yax2bx3经过(1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线ykx与抛物线交于A，B两点(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；(2)当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；(3)是否存在实数k使得ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由4.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx与二次函数yx2bx的图象相交于O、A两点，点A(3，3)，点M为抛物线的顶点(1)求二次函数的表达式；(2)长度为2的线段PQ在线段OA(不包括端点)上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；(3)直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足SAOFSAOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由5.如图，抛物线yax2bx3(a0)的顶点为E，该抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，且BOOC3AO，直线yx1与y轴交于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)证明：DBOEBC；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由6.如图，抛物线L：yax2bxc与x轴交于A，B(3，0)两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)，已知对称轴x1.(1)求抛物线L的解析式；(2)将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OBC内(包括OBC的边界)，求h的取值范围；(3)设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x3上，PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由图(1)图(2)7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc的图象经过点A(1，0)、B(0，)、C(2，0)，其对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PBPD的最小值为_；(3)M(s，t)为抛物线对称轴上的一个动点若平面内存在点N，使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有_个；连接MA,MB，若AMB不小于60，求t的取值范围8.如图，抛物线与x轴交于点A(5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，5)有一宽度为1，长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N，交x轴于点E和F.(1)求抛物线解析式(2)当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sinAMF，求点Q的坐标(3)在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标9.如图，已知抛物线yx2bxc经过ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(9，10)，ACx轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点(1)求抛物线的解析式；(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C,P,Q为顶点的三角形与ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由10.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(2，0)，(6，8)(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F，使FOEFCE，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0，m)，直线PB与直线l交于点Q.试探究：当m为何值时，OPQ是等腰三角形参考答案1. 解：(1)直线y5x5与x轴交于点A，与y轴交于点C，A(1，0)，C(0，5)抛物线yax24xc过点A(1，0)，C(0，5)，则解得c5，a1，二次函数的表达式为yx24x5.图图(2)如图，抛物线yx24x5与x轴交于A，B两点，解x24x50的两根为x11，x25.点B在x轴正半轴，B(5，0)设过B(5，0), C(0，5)的直线BC解析式为ykxb，则解得k1，b5，直线BC表达式为yx5.DNx轴，DNy轴点N在BC上，点D在抛物线上，设N(x，y1)，D(x，y2)，N(x，x5)，D(x，x24x5)DNx24x5(x5)x25x(x)2.当x时，DN有最大值；(3)如图，作点H关于y轴的对称点H，点M关于x轴的对称点M，连接HM，分别交x轴，y轴于点F,E，则四边形HEFM的最小周长为HMHEEFFMHMHM.yx24x5(x2)29，H(2，9)，H(2，9)，当x4时，y5，M(4，5)，M(4，5)设直线HM的解析式为ykxb，则解得,直线HM的解析式为yx.当y0时，x，F(，0)；当x0时，y，E(0，)2. 解：(1)由yx2得：A(0，)B,O关于A对称，B(0，)(2)如图，直线BC过点B(0，)，图图直线BC解析式为ykx.C(，0)，又P是直线l上一点，可设P(，a)过点P作PNy轴，垂足为N，连接PB，则在RtPNB中，由勾股定理得：PB2PN2NB2，PBPCa，a2()2(a)2，解得a，P点坐标为(，)，当x时，y，点P在抛物线上(3)如图，由C在y轴上，可知CBPCBP，PBPC，CBPPCB，PCCB，PCBABC，CBPCBPABC60，PBC为等边三角形，OB，BC1，OC，PC1，P(，1)3. 解：(1)令x0，得yax2bx33，C(0，3)，把(1，0)和(3，0)代入yax2bx3中，得解得,抛物线的解析式为yx22x3.(2)A(，2)，B(，2)(3)不存在实数k使得ABC的面积为.4. 解：(1)由题意知，A(3，3)在二次函数yx2bx图象上，将x3，y3代入得93b3，解得b2，二次函数表达式为yx22x.(2)如图所示，过点P作PBQQ1于点B，图PQ2，且在直线yx上，PBQB2 ，设P(a，a)，则Q(a2，a2)，则P1(a，a22a)，Q1(a2，(a2)22(a2)，即Q1(a2，a22a)，所以四边形PQQ1P1的面积为：S22a22a22(a)2，当Q运动到点A时，OPOQPQ，a1.a的取值范围为0a1.当a时，四边形PQQ1P1的面积最大，最大值为. (3)存在，点E的坐标为E1(，)，E2(，)，如图所示，连接OM，点M为抛物线顶点，M(1，1)，又OA所在直线为yx，OMOA，即AOM90，在AOF和AOM中，以OA为底，当面积相等时，则两三角形OA边上的高相等，又OMOA，且OM，可作两条与OA互相平行且距离为的直线，如图所示，在直线HD、MC上的点F均满足SAOFSAOM，只需满足E点的对称点F在这两条直线上即可，如图，过点A作ACMC于点C，易求四边形OACM为矩形，AM为该矩形的一条对角线，取AM中点O，过O作AM垂线，交OA于点E1，交MC于点F1，OA3，AM2，AO，则AOE1AOM，图解得OE1，点E1在yx上，E1(，)，同理可得HF2GE2，又OG2OA6，OE26， E2(，)综上所述，符合条件的E点的坐标为：E1(，)、 E2(，)(5. (1)解：当x0时，yax2bx33，C(0，3)，即OC3，OBOC3OA，OB3，OA1，A(1，0)，B(3，0)，将点A(1，0)，点B(3，0)代入yax2bx3得解得a=1，b=-2,抛物线的解析式为yx22x3.(2)证明：由yx22x3(x1)24可得E(1，4)，当x0时，由直线yx1得y1，D(0，1)，即OD1，BD，CE，BE2，BC3，在ODB和CEB中，有，DBOEBC. (3)解：存在点P，使得PBC是等腰三角形，点P的坐标分别为：P1(1，1)，P2(1，3)，P3(1，3)，P4(1，)，P5(1，)6. 解：(1)把C(0，3)代入yax2bxc，得c3，把B(3，0)代入yax2bx3，得9a3b30，又1，a1，b2，抛物线L的解析式是yx22x3.(2)图由y(x1)24得抛物线的顶点D(1，4)，如解图，过点D作y轴的平行线分别交CB，OB于点E,F，则，EF2，42h4，即2h4.(3)能，设P(x，x22x3)，如解图，过点P分别作x轴、直线l的垂线，图垂足分别是点M，N，PMBPNQ90，QPB90，BPMQPN，PBPQ，PMBPNQ(AAS)，PMPN.当点P在x轴上方时，x22x3x3，即x2x0，解得x10，x21，P1(0，3)，P2(1，4)；当点P在x轴下方时，x22x3(x3)，即x23x60，解得x，P3(，)，P4(，)，满足条件的点P有四个点，分别是P1(0，3)，P2(1，4)，P3(，)，P4(，)7. 解：(1)设二次函数的表达式为ya(x1)(x2)，将B(0，)代入，得a，二次函数的表达式为y(x1)(x2)(x)2，顶点的坐标为(，)(2)；【解法提示】连接AB，过点P作PHAB，垂足为H，如图，图OA1，OB，AB2，ABO30，PHPB，PBPDPHPD的值，要使PBPD的值最小，只要使PHPD的值最小，此时H,P,D在同一条直线上，且DHAB，在RtADH中，ADH90OAB30，AD1，DHADcos30，PBPD的最小值为，(3)5；【解法提示】以点B为圆心，AB的长为半径画圆，与对称轴有两个交点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，与对称轴有两个交点，作AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，共有5个点使M,N,A,B构成的四边形为菱形连接AB，作AB的垂线，垂足为点A，交y轴于点E，如图，图以BE的长为直径画圆，与对称轴交于点M1，点M2，与x轴交于点A，F，BE为直径，AFBE，ABFB，BFABAF60，的度数为120，AM1BAM2B12060.在RtAOE中，EAO30，OEAOtan30，BEOEOB，圆心N(0，)，半径NE，NM1NM2，设M(，t)，NM2()2(t)2()2，t1，t2，M1(，)，M2(，)故当t时，AMB的度数不小于60.8. 解：(1)根据题意得，A(5，0)，B(3，0)在x轴上，设抛物线的解析式为ya(x5)(x3)抛物线过点(0，5)，a.抛物线的解析式为y(x5)(x3)x2x5.(2)如图，过点F作FDAC于点D，OA5，OC5，CAO45.设AF的长为m，则DFm，MEAEm1.sinAMF，MFm.在RtMEF中，FM2ME2EF2，(m)2(m1)212，解得m11，m2(不符合题意，舍去)AF1，点Q的横坐标为4.又点Q在抛物线yx2x5上，Q(4，)(3)设直线AC的解析式为ykxn(k0)，由题意得，解得，直线AC的解析式为yx5.由题知，点Q，N，F及点P，M，E的横坐标分别相同设F(t，0)，E(t1，0)，点M，N均在直线yx5上，N(t，t5)，M(t1，t6)，点P，Q在抛物线yx2x5上，Q(t，t2t5)，P(t1，t2t4)，在矩形平移过程中，以P、Q、N、M为顶点的平行四边形有两种情况：点Q、P在直线AC的同侧时，QNPM.(t2t5)(t5)(t2t4)(t6)，解得t3.M(2，3)点Q，P在直线AC的异侧时，QNMP.(t2t5)(t5)(t6)(t2t4)，解得t13，t23，M(2，3)或(2，3)符合条件的点M是(2，3)，(2，3)或(2，3)9. 解：(1)把点A(0，1)，B(9，10)代入yx2bxc，得解得,c=1，抛物线的解析式是yx22x1.(2)当m时，四边形AECP面积的最大值是，此时点P的坐标是(，)(3)存在由yx22x1(x3)22，得顶点P的坐标是(3，2)，此时PFyFyP3，CFxFxC3，则在RtCFP中，PFCF，PCF45，同理可求EAF45，PCFEAF，在直线AC上存在满足条件的点Q，如解图，CPQ1ABC或CQ2PABC.A(0，1)，B(9，10)，C(6，1)，PFCF3，AB9，AC6，CP3，当CPQ1ABC时，设Q1(t1，1)，由得，解得t14.即Q1(4，1); 当CQ2PABC时，设Q2(t2，1)，由,得，解得t23，即Q2(3，1)综上所述，满足条件的点Q有两个，坐标分别是Q1(4，1)或Q2(3，1)10. 解：(1)抛物