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南京理工大学硕士学位论文基于快速小波配置方法的电路模拟 摘要 随着电路规模和电路中信号速度的发展，对电路模拟方法的计算速度和稳定 性的要求越来越高。传统的时间步进积分方法求解电路方程时，积分误差随着模 拟时间的增加逐渐积累，误差分布不均匀，并且很难处理电路信号的奇异性。近 年来随着小波技术的迅速发展，快速小波配置方法( f a s tw a v e l e tc o l l o c a t i o n m e t h o d ，简称f w c m ) 引起了人们的兴趣和重视。因为f w c m 能有效地处理电 路的奇异性，能实现模拟误差在时域上的均一分布，且具有四阶的收敛速度。考 虑到快速小波配置方法的众多优点，首先，本文实现了算法的自适应，把f w c m 成功应用到线性动态电路、非线性动态电路和刚性系统的模拟中。其次，本文把 f w c m 方法应用到大规模集成高速电路中互连线的模拟中，提出了时域中具有 线性复杂度的普遍适用的互连线r l g c 级联小波域模型，并提出了频域中结合数 值反拉氏变换( n i l t ) 的频域快速小波配置方法( f f w c m ) 。最后用m a t l a b 仿 真了大量电路实例。实例验证表明，f w c m 在模拟电路问题时具有很高的速度 和精度，误差可控，是一种新的可行方法。 关键词：快速小波配置方法( f w c m ) ，电路模拟，互连线，小波域模型，n i l t 南京理工大学硕士学位论文基于快速小波配置方法的电路模拟 a b s t r a c t a st h ea d v a n c eo f t h ec i r c u i ts c a l ea n dt h es i g n a ls p e e d ，c o m p u t a t i o n a ls p e e da n d s t a b i l i 毋o fc i r c u i ts i m u l a t i o nm e t h o d sa r et ob eo fh i g h e rr e q u i r e m e n t t h ee r r o ro f t h et r a d i t i o n a lt i m e m a r c h i n gm e t h o da c c u m u l a t e sa st h es i m u l a t i o nt i m ei n c r e a s e s t h em e t h o ds u f f e r sf r o mt h ed i f f i c u h yi ne f f e c t i v e l yh a n d l i n gt h es i n g u l a r i t y , w h i c h o f t e n d e v e l o p s i n h i g h s p e e dc i r c u i t s ，a n d t h e p r o b l e mo fn o n u n i f o r m e r r o r d i s t r i b u t i o n a st h ew a v e l e tt e c h n o l o g yh a sb e e nq u i c k l yd e v e l o p e d ，t h ef a s tw a v e l e t c o l l o c a t i o nm e t h o dr f w c m ) h a sb e e nb r o u g h tf o r w a r d t h ef w c mi se x t r e m e l y p o w e r f u li nt r e a t i n gs i n g u l a r i t y , p r o v i d e sau n i f o r me r r o rd i s t r i b u t i o ni nt i m ed o m a i n a n dh a s af o u r t h - o r d e rc o n v e r g e n c er a t e g i v e nt h e s em e r i t so ff w c m ，w ea c h i e v e t h e a d a p t i v et e c h n i q u e si n t h i sp a p e ra n ds i m u l a t el i n e a r a n dn o n l i n e a rd y n a m i c c i r c u i t sa n ds t i f fs y s t e m 、i t hf w c m w ea l s oa p p l yf w c mt o s i m u l a t i n g i n t e r c o r m e c t i o n1 i n e si nv l s i i nt i m ed o m a i n ，w ep r o p o s eaw a v e l e tm o d e lf o rr l g c i n t e r c o n n e c t i o nl i n eb a s e do nf w c m t h em o d e lh a su n i v e r s a la p p l i c a b i l i t ya n d l i n e a rc o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t y i nf r e q u e n c yd o m a i n ，w er i s ef r e q u e n v yf a s t w a v e l e tc o l l o c a t i o nm e t h o d ( f f w c m ) w i t hn u m e r i c a li n v e r s el a p l a c et r a n s f o r i l l ( n i l t ) t oh a n d l ei n t e r c o r m e c t i o nl i n e s m a n ye x p e r i m e n t ss i m u l a t e dw i t hm a t l a b s h o wt h a tf w c mf o rc i r c u i ts i m u l a t i o nh a sh i g ha c c u r a c ya n de f f i c i e n c ya n de r r o ri s c o n t r o l l a b l ei nb o t ht i m ea n df r e q u e n c yd o m a i n s f w c mi san e wp o w e r f u lc i r c u i t s i m u l a t i o nw a ya n dw o r t h yo fr e s e a r c h i n g k e yw o r d s ：f w c m ，c i r c u i ts i m u l a t i o n ，i n t e r c o n n e c t i o nl i n e ，w a v e l e tm o d e l ，n i l t 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 己在论文中作了明确的说明。 研究生签名：趟：d ! 聋-硒年6 月3 口曰 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：盈= f ! ：蕴加叮年6 月；。日 南京理工大学硕士学位论文 基于快速小波配置方法的电路模拟 1 绪论 1 1 背景介绍 近几十年来，现代通信、计算机以及英特网的高速发展与以集成电路为核心 的电子产业的迅速发展相互促进、相得益彰，超大规模集成电路l s i ) 已成为当 今信息产业的主要载体。为了满足计算机日益增长的对内存容量的需求，迫使集 成电路的密度不断提高，整个电路系统更加紧凑。同时电路工作速度的不断提高 极大增强了电路处理及网络传输的能力。随着人们对信息存储、传输等要求的不 断提高，集成电路技术也在不断发展更新。 自六十年代初第一块集成电路诞生至今，集成电路技术从最初的几十个元 件，很快发展到中小规模、大规模和超大规模集成电路。近年来，集成电路技术 的高速发展主要表现在：( 1 ) 电路规模日益增大。根据摩尔( m o o r e ) 定律，数字 集成电路的规模以每1 8 个月翻一番的速度增长。目前单片芯片上晶体管数目已 超过4 0 0 0 万只。( 2 ) 电路的工作速度持续提高。电路中信号频率越来越高，已高 达1 g h z 以上，如此快的变化信号容易造成电路信号的奇异性。( 3 ) 特征尺寸不断 变小。集成电路的最小特征尺寸已从o 8 衄减小到0 0 9 1 * r n ，甚至更小。表卜1 给出了半导体技术的发展及相关特征参数的变化，这些数据充分显示了集成电路 技术发展的日新月异 1 。 表1 - 1 半导体工艺技术的进步及相关特征参数的变化 年代1 9 8 91 9 9 21 9 9 51 9 9 82 0 0 1 集成规模( g a t e ) 2 0 1 0 0 k10 0 2 0 0 k2 0 0 k - 1 m1 2 m 4 m 最小尺寸( g m ) o 8 o 50 3 5o 2 5o 1 8 连线延时( n s c m )0 91 52 63 66 1 典型频率( m h z )3 06 01 0 02 0 04 0 0 互连线总长( k m ) 0 0 6 o ，1 5 0 3 80 8 4 2 1 高速集成电路及其系统，包括集中参数元件、半导体单元电路及互连线 ( i n t e r c o n n e c t i o nl i n e 或i n t e r c o n n e c t s ) 等各个部分，其中互连线作为芯片内的 单元电路之间、多芯片组件( m c m ) 或印刷板电路( p c b ) 中的芯片之间、大 系统中的组件之间的连接线。当电路系统的速度和规模不断增加时，互连线呈现 出分布参数效应，其对信号传输的影响与系统中的其他部件不同。由于互连线的 损耗不可忽略，其分布参数变化范围大且可能随频率或长度的不同而改变，同时 线间还有互扰，从而对脉冲信号的时域响应特性比较复杂。因此高速集成电路中 半导体互连线电路的模拟已成为一类特殊的电路模拟问题。高速脉冲信号在互连 硕士论文 线上传输时具有电磁波传输的特性，其自身就会有一定程度的衰减和延迟，严重 时会影响集成电路系统的正常工作。因此，为了能准确模拟互连线的传输过程， 必须采用分布式r l g c ( 电阻、电感、电导、电容) 电路模型来模拟互连线。 由于芯片中互连线数目多，长度长，并存在线间耦合，因此分布式互连电路 规模很大，在频域中存在很多零点和极点，造成电路的频域波形在某些区域剧烈 变化，即常说的奇异性。信号的奇异性会影响电路的正常工作，如何减小这些影 响是电子工程师必须考虑和重视且亟需解决的问题。1 9 9 9 年在美国加州召开的 a c m 物理设计国际会议上 2 ，超深亚微米互连设计被列为2 1 世纪集成电路物 理设计的十大前沿课题之一。 1 2 电路模拟的研究方法和现状 1 2 1 电路模拟的方法 一般，传统电路理论对电路进行分析有两个步骤【3 ：首先利用基尔霍夫 ( k i r c h h o f f ) 定律和元件的电学特性来建立适当形式的电路状态方程：然后利用 解析方法或数值方法求解前面得到的电路方程。我们主要研究电路方程的数值解 法。现有的这类方法主要可以分为两类：时间步进方法( t i m em a r c h i n gm e t h o d ) 和频域方法( f r e q u e n c yd o m a i nm e t h o d ) 。 ， 时间步进方法是v l s i 电路模拟中最为常见的数值方法，因为在时域中很容 易处理电路的非线性 4 。其基本思想如下：电路方程是依据基尔霍夫电流和电 压定律，以及电路元件的电流一电压关系，包括对电容和电感在时间上进行积分 和微分来获得，这样得到的方程组为常微分方程组( o r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，o d e s ) ；然后通过某种刚性稳定( s t i i f - s t 曲l e ) 的数值积分算法，如 后向欧拉( e u l e r ) 方法或采用多步数值积分的吉尔( g e a r ) 方法，将o d e s 变为 在各个时间步长上的一系列非线性方程组；最后对每组非线性方程用牛顿一拉普 生( n e w t o n r a p h s o n ) 方法，不断地进行迭代求解。非常著名的电路模拟软件 s p i c e 就是基于这类方法编制的。 时间步进方法的误差分布是不均一的，这将导致被模拟的信号发生频移现象 ( p h a s es h i f t i n gp h e n o m e n o n ) 。在处理电路信号的奇异性时，时间步进方法需要 通过减小步长来保证算法的稳定性和满足一定的精度，这影响了运算速度。随着 电路的奇异性问题日益突出，时间步进算法的运行时间变得无法容忍。 频域方法的最初工作是基于帕德( p a d 6 ) 逼近的渐进波形估值法( a s y m p t o t i c w a v e l e te v a l u a t i o n ，a w e ) 5 1 。a w e 方法在理论上已经很成熟，在过去的十来年 中，a w e 及其改进方法已经成为分析大型线性网络的主流方法。a w e 方法用仅 南京理工大学硕士学位论文基于快速小波配置方法的电路模拟 仅包含少数主极点和留数的降阶模型来逼近系统的复频域传输函数，该降阶模型 可用于预估线性系统的时域和频域响应。a w e 利用矩匹配技术( m o m e mm a t c h i n g t e c h n i q u e ) 在频域中逼近系统的泰勒( t a y l o r ) 展开级数来匹配原系统，其中矩是 由频域响应在某个频率点的t a y l o r 展开得到的，通常选择在s = o 处。电路解只是 在展开频率点的邻域有较好的精度，在包含互连线模型的网络分析中，高频的影 响会很大，少量的极点不能形成精确的波形估计。文献 6 】 7 】利用基于合同变换 的分析方法来分析包含用电报方程描述的分布参数互连线网络，并证明了含有分 布元件的降阶系统在多点和多端口情况下能保持无源性。虽然基于p a d 6 逼近的 矩匹配方法已得到了深入研究，但仍然存在两个问题：第一，一般情况下p a d 6 逼近不能保证电路性能；第二，当矩匹配阶数很高时会产生数值病态问题。为此， 人们引入了p v l ( p a d 6 v i al a n c z o s ) 算法，而对于多输入多输出的系统，要用 m p v l 8 和s y p v l 9 1 。这些方法在处理通常的r l c 电路时，也存在不稳定性的 问题，并且在推广到分布参数电路中时，离散化都是不理想的，因而生成的矩匹 配模型都不是很精确。为了弥补这些缺陷，学术界提出了如频移( f r e q u e n c y s h i f t i n g ) 、复频跳变( c o m p l e xf r e q u e n c y h o p p i n g ) 等技术。文献 1 0 中指出，这些 方法大多为启发式的算法，缺乏坚实的理论基础，计算复杂度较高。 频率不像时间那样具有特定的方向性，频域方法可以获得均一的误差分布。 但一般我们要获得的是电路的时域响应，因此要把频域结果反变换到时域中，这 样频域结果的误差会在反变换过程中被放大，这是频域方法的主要缺陷。 在高速电路互连与封装分析，微波集成电路分析及非线性电路稳态响应分析 等实际电路问题的解决过程中，为了便于研究所要的信息，出现了时一频混合表 示电路来进行分析的情况【3 。这类问题的实质就是求解一个时一频混合的电路 方程，基本思想有：转化到时域中求解、转化到频域中求解和时频间的松弛迭代 法。 1 2 2 快速小波配置方法 1 9 9 9 年，d i a nz h o u 教授和w e ic a i 教授提出了一种新的用于求解带有边界 条件的常微分方程组( o d e s ) 和偏微分方程组( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， p d e s ) 的数值配置方法 1 1 1 2 1 3 ，这一基于小波分析的算法就是所谓的快速 小波配置方法( f a s tw a v e l e tc o l l o c a t i o nm e t h o d ，f w c m ) 。与传统的微分方程数 值解法相比，f w c m 的优点有：( 1 ) 具有很高的收敛速度o ( h 4 ) ，而以前的数值 方法一般最高只有o ( h 2 ) 的收敛速度( 为采样步长) ；( 2 ) 能保证时域误差的均一 分布，即数值精度可以控制；( 3 ) 小波具有时域局域性( 1 0 c a l i z a t i o ni n t i m ed o m a i n ) 即紧支性( c o m p a c ts u p p o r t ) ，使这一方法能有效处理电路的奇异性；( 4 ) 存在自 硕士论文 适应算法。目前正在把它应用到解决电路模拟问题中。本课题就是沿此方向展开 的，把其应用于线性电路、非线性电路及大规模集成电路互连问题的模拟中。这 种新方法开拓了电路模拟的一个新的可行方向，具有很多优势和良好的发展前 景。 1 2 - 3 大规模集成电路的研究现状 剖析大规模集成电路( l s i ) 和超大规模集成电路( v l s i ) ，其中除单元电 路外，有必要将芯片内各单元电路之间，芯片的输入输出接口和周边电路或其 他芯片之间按拓扑性质进行连接，此即所谓互连 1 4 1 。介质基板上的导体线条可 以完成芯片间的互连，低速情况下只具有电连通的意义，但当电路工作速度提高， 时钟频率达到几十兆赫兹甚至百兆赫兹以上，则脉冲信号将在芯片之间的连接线 上呈现波效应，对频率在几千兆赫兹以上的超高速集成电路( v h s i c ) ，则在芯 片内的连接线中亦将呈现此种效应。 出现波效应的原因在于信号脉冲的时间参量( 如脉冲的上升、下降和持续时 间) 已缩短到和连接线上电磁波传输时间处于同一量级。随着时钟频率的不断提 高，在连接线上很容易呈现波效应。我们应将其作为微波互连线或分布参数电路 来分析高速脉冲的波传输性质，所需考虑的互连效应具体表现为 1 5 ： ( 1 ) 时延( d e l a y )由脉冲在线上的波传输时间而产生的波形延时，该物理 量和信号脉冲的时间参量及单元电路延时量( 如每门延时) 相当。 ( 2 ) 畸变( a b e r r a t i o n )由于连接线作为波传输线存在色散、损耗、不连续 性的反射及线间互耦，使信号脉冲通过后产生波形畸变，轻者使脉冲的上升和下 降时间展宽，重者使波形严重畸变甚至使脉冲的极性反转。 ( 3 ) 反射( r e f l e c t i o n )由于线上的不连续性及二端口负载和线上特性阻抗 的不匹配使脉冲产生多次反射。 ( 4 ) 串扰( c r o s s t a l k )因布线密度所限，相邻连接线间具有一定的分布耦 合，造成信号因线间互耦而形成干扰噪声，由于波传输中的迭加性质，这种干扰 有时可达到很严重的程度。 连接线的互连效应当工作速度提高后将极为明显，通常将影响电路的性能指 标，严重时甚至影响其正常工作，故对其应给予足够的重视，有必要探究互连效 应的内在规律，并建立一套分析和计算方法，将其和l s i 及v l s i 的总体设计相 结合，以保证电路的总体性能。 分布参数系统认为电路的所有参数分布在其占据的所有空间位置上，信号传 输需要时间，互连线的长度直接影响着信号的特性，换言之，信号不仅仅是时间t 的函数，同时也与信号所处位置z 有关，即信号同时是时间t 和位置x 的函数。 南京理工大学硕士学位论文基于快速小波配置方法的电路模拟 显然，分布参数系统更适合描述高速互连电路系统 1 6 。互连线的研究同样也在 时域和频域中进行探讨，本文还将结合小波方法在小波域中进行研究和探讨。 综上所述，互连问题成为了大规模集成高速电路分析与研究的一个极其重要 的方向，它影响和制约着电路的性能。从某种意义上说互连线的研究甚至成为了 高速集成电路发展战略的一种考虑。 1 3 本文的主要工作及章节的安排 1 3 1 本文的主要工作 在本文中作者做了多方面的研究和探讨，首先对原f w c m 1 1 1 3 1 进行研究， 在此基础上对该算法进行改进，实现了算法的自适应；深入研究了时域f w c m 求解一般微分方程组的算法 1 7 ，将其成功地应用到解决实际的电路问题，如一 般线性电路的模拟，非线性动态稳态电路的模拟，刚性问题的处理等；同时研究 了传统的求解微分方程组的算法，如欧拉法和龙格一库塔法等 1 8 1 1 1 9 】，传统的 处理非线性动态稳态响应的方法，如时间步进法【4 、试射法 2 0 】【2 1 、谐波平衡 法等 2 2 2 4 1 ；将f w c m 方法与传统的方法进行比较，充分体现了本文中用f w c m 处理电路模拟问题时所具有的有效处理电路的奇异性，收敛速度快，误差均一分 布，自适应等优点。 其次，对大规模集成电路中互连线问题的研究方法作了探讨，研究了时域和 频域中的多种方法，如特征法 2 5 1 1 2 6 、微分求积法 2 7 1 1 2 8 、网络级联法 2 9 3 0 】 等，并对这些传统的分析方法进行了比较，讨论了其优缺点。无论频域还是时域 的方法在用数值方法计算互连线问题时，都需要把无法解析的电报方程进行变 换，使原来无法计算的时空两变量的偏微分方程组( p d e s _ ) 转换为可以用通用 的计算机数值方法求解的常微分方程组( o d e s ) 。 最后，把f w c m 方法应用到求解互连线的瞬态响应中。在时域中，结合互 连线的电路模型和f w c m 算法，提出了一种新的普遍适用的互连线的r l g c 小 波域模型，并嵌入到端接激励和负载的网络模型中，用一种具有较低的线性复杂 度的算法对均匀或非均匀的单根互连线的瞬态响应进行模拟。用实例验证了这种 新模型在处理单根线的可行性，也体现了其优点。在频域中，结合f w c m 法来 分析互连线，即所谓的频域小波配置方法( f r e q u e n c yd o m a i ni n f a s tw a v e l e t c o l l o c a t i o nm e t h o d ，f f w c m ) 。这种方法利用小波的紧支撑性( c o m p a c ts u p p o r t ) 和多分辨( m u l t i r e s o l u t i o n ) 性质，可以运用自适应算法确保在整个频域区间上误 差的均一分布，有效提高计算效率，获得频域小波近似解，结合数值反拉氏变换 ( n u m e r i c a li n v e r s el a p l a c et r a i l s f o r m ，n i l t ) ，就可以得到时域解。 绪论硕士论文 1 3 2 论文的组织结构 本文具体章节安排如下：第2 章将对小波理论进行简要的介绍。并对f w c m 方法进行分析，实现其自适应算法，并应用于求解微分方程组。第3 章应用f w c m 方法求解一般的电路问题，包括线性电路和非线性电路的瞬态响应或稳态模拟， 结合一些应用实例与其他传统方法进行比较。第4 章概述大规模集成电路中高速 互连线的基本理论，讨论求解电报方程的思路及时域和频域中的研究方法。第5 章结合f w c m 对互连线的瞬态响应进行分析。时域中详细分析了互连线的r l g c 级联小波域模型，结合端接条件求解互连线的瞬态响应，给出实例来验证其可行 性和优越性。频域中结合n i l t 方法，把快速小波配置方法应用到求解互连线的 瞬态响应，并给出一些应用实例的仿真结果。第6 章对本文所做的工作进行归纳、 总结并展望。在附录中给出了本文用到的小波函数的详细信息。 南京理工大学硕士学位论文基于快速小波配置方法的电路模拟 2 小波理论及求解微分方程的小波方法 2 1 傅里叶变换和小波分析方法 信号处理的目标是准确的分析，有效的编码，快速的传递，并能重构信号。 信号处理中，一般可以把信号分为平稳信号和非平稳信号。傅里叶变换( f o u r i e r t r a n s f o r m ) 是分析平稳信号的有效工具。由于傅里叶基所用的正弦波e 倒是所有 线性时不变算子的特征向量，因此傅里叶变换一直统治着线性时不变信号处理 3 1 1 。用三来表示一个线性时不变算子，置为全体实数集，则该算子可由其特征 值, ( c o ) 来表示 v 国r ，l e ，科= 磊( ) e j 耐 ( 2 1 1 ) 设厂是系统的输入，要知道输出够首先将，分解成正弦波 e ) 。之和： 朋) = 去e 衲e ( 2 1 2 ) 若厂是能量有限信号，则由傅里叶积分理论可以知道每个正弦波e 的振幅 f ( c o ) 是厂的傅里叶变换： 夕( 国) = r 厂( f ) e - ，“d t ( 2 1 3 ) 将工作用于式( 2 1 2 ) 中的一并利用式( 2 1 1 ) 可得： l f ( 归击e 鼢粕矽 ( 2 1 4 ) 算子工将厂的正弦波分量e ，“放大或缩小敏) 倍，这一过程就是，的频率滤波。 傅里叶变换的实质是将时域上的信号经过傅里叶积分的线性运算变成频域 上的信号，傅里叶系数则是将信号表示为各种频率的谐波的线性叠加，从而对 信号形态的研究转换成对傅里叶系数和傅里叶变换的研究。傅里叶分析对于有 限平稳的周期信号非常有效，但对非平稳信号的分析，效果不尽如人意，主要 原因是 3 2 3 4 ： f 1 ) 三角基函数是具有一定周期、一定波形的光滑函数，对存在间断点的信 号进行近似时会出现吉布斯( g i b b s ) 现象，即函数傅里叶级数逐点收敛但不一 致收敛。对一般的非周期信号用三角函数基近似一般不是最优选择。由于三角基 函数的频谱点等距分布，因此对于具有突变性质的非平稳信号显得无能为力。 ( 2 ) 三角基函数在时域上不能局部化，无法实现时域上的局部分析。信号的 小波理论及求解微分方程的小波方法硕士论文 傅里叶变换代表的是该信号在某个频率。的谐波分量的振幅，它由信号的整个 形态所决定，因此，无法从傅里叶变换值去确定该信号在任意时间上的相关信 息。另外，三角基作为定义在整个时间轴上的函数对短时发生的信号进行分析 时可能出现不必要的误差或增加计算复杂度。 ( 3 ) 经典的傅里叶积分不能同时进行时域与频域分析。因为信号经过傅里叶 变换后时间特性消失，只能进行频率信息的分析。 为了克服经典傅里叶分析的缺陷，d e n n i sg a b o r 于1 9 4 6 年引入短时傅里叶 变换g s h a r t t i m ef o u r i e ry r a n s f o r m ) 3 2 1 。短时傅里叶变换的基本思想是：把信号 划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每个时间间隔，以便确定该时间间 隔存在盼频率。但是短时傅里叶变换处理非平稳效果也欠佳，因此，需要引入新 的数学工具一小波函数，使之具有较好的时间与频率局部特性。 为了有效分析非平稳信号，经过许多学者的不断研究、改进，发现了小波分 析的方法。小波分析方法是函数逼近表示理论的突破，用该方法可以处理各种各 样的信号，适用于大多数具体的非平稳信号的分析。小波分析中两个重要的方面 是积分变换和小波级数。以“切割”数据、函数或算子为不同频率的分量，并且 用比较他们的尺度进行“分辨”来研究每个分量，小波是一个有效的工具 3 s 1 。 小波分析方法的提出可以追溯到1 9 1 0 年h a a r 提出的小波规范正交基，1 9 8 1 年s t r o m b e r g 改进了h a a r 系正交基函数，证明了小波函数的存在性。1 9 8 4 年地 球物理学家m o r l e t 在影像地震学中发现传统的傅里叶变换难以达到要求，因此 将小波的概念引入到信号分析中，并实现了信号的小波分解。随后，理论物理学 家g r o s s m a n n 对m o r l e t 的这种信号按一个确定函数进行伸缩、平移展开的可行 性进行研究，使所谓的连续小波变换得以产生。1 9 8 6 年开始了小波热，m e y e r 构造了具有一定衰减性的光滑函数嘞) ，其二进制伸缩与平移构成l 2 ) 的规范 正交基。l e m a r i e 和b a t t l e 也相继独立给出具有指数衰减的小波函数。1 9 8 7 年， m a l l a t 将计算机视觉领域内的多尺度分析引入到小波分析中，提出了小波函数的 构造及信号按小波变换的分解和重构，统一了以前提出的一些具体小波函数的构 造，他还研究了离散的小波变换，并应用于图像的分解与重构。同时，d a u b e c h i e s 构造了具有有限支集的正交小波。这样，小波分析的系统理论初步得到建立。因 为大多数的数据集在时间( 空间) 上和频率上具有很强的相关性，而小波具有时 间一频率局部化特性，所以小波能用少量的小波系数就能获取数据集合中的一些 本质特征。 小波分析的应用十分广泛，它包括数学领域本身的许多学科、信号分析、图 像处理、量子力学、军事电子对抗、计算机识别、地震勘探数据处理、边缘检测、 音乐人工合成等方面。例如在数学方面已用于数值分析、曲线曲面的构造、微分 南京理工大学硕士学位论文基于快速小渡配置方法的电路模拟 方程的求解、控制论等：在信号分析方面的信号分解与再造、去噪声、滤波等； 图像处理方面的图像压缩、c t 成像、去污等。就小波分析对信号的分析与再造 的算法来说，算法本身就是一神快速算法。它的计算复杂度不超过o ( n l o g n ) ，与 f f t 算法快慢相当，但可以得到更多有用的信息，且精度高。 2 2 小波交换的基本思想 m o r l e t 认为在影像地震学中探测高频时，若送到地下的可调脉冲波持续时间 太长，便不能用来分辨密聚的地层结构。因此，他认为在探测高频时不能始终发 送相同波长的波，而应该发送更短的波，由单个函数的伸缩得到的波叫做小波。 同窗口傅里叶变换一样，小波变换也可以度量谱成分的变化，然而这两种方法在 时频平面上的分辨率并不相同【3 1 】。 小波函数是一个积分为零的函数： r ( f ) d f = 0 ( 2 2 1 ) 对函数伸缩及平移后可缛： 嘣垆而1 妒( 等) ( 2 2 2 ) 函数厂在尺度a 、位置b 的小波变换定义成如下形式，其中a 也被称为尺度因子， b 被称为平移因子： w f ( a , 垆e 邝) 妒+ 仁= 五1 驴( ) “( c o ) d o ) ( 2 2 3 ) “ a az 兀+ ” 因此，小波系数坝d ，6 ) 依赖于厂( r ) 和夕( 国) 在虬。和矿。能量集中的时频区域上 的值。从大幅值的小波系数的位置和尺度可以很好探测到时频变化。 在时域上，虬。集中在以b 为中心、宽度与a 成正比的区域内，其傅里叶变 换由式( 2 2 - 2 ) 来计算：痧。( 缈) = e 一肋口矿国) 。其中驴为的傅里叶变换。 为了分析信号的相位信息，需要利用复解析小波。我们所说的小波是解析的，指 的是在国 0 时矿洄) = 0 a 通过尺度变化，小波变换能有效地检测瞬变信号。假设小波妒是实函数，因 为小波的积分为0 ，所以小波系数坝口，6 ) 度量的是以b 为中心、半径大小与a 成正比的任何邻域内信号厂的局部变化。 9 小渡理论及求解微分方程的小波方法 硕士论文 2 3 多分辨率分析( m r a ) 多分辨率分析( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 是构造小波基的一般方法。多分辨 率分析是指将空间2 ( 哟分解为一系列闭子空间( 嘭卢，一1 ，0 1 ，) 直和的形式， 巧= o 2 国孵1 ， ( 2 3 1 ) 这些子空间满足 3 6 ： ( 1 ) 孵f 7w ，= ( o ) ：f 句 ( 2 3 2 ) ( 2 ) ( ：_ = r i o ，l ( 2 3 3 ) ( 3 ) 他) 以2 曲彤。l 等价地，空间l 2 ) 也可以分解为闭子空间 这些子空间满足： ( 1 ) 单调性： 圮lcv o 匕kc ( 2 ) 唯一性：n = o j 2 m ( 3 ) 稠密性：u = r 【o ，q ( 2 3 4 ) ( 巧，户，一1 ，0 1 ) 和的形式， ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 、7 ) ( 4 ) 可分解性：= 一。o ( 2 3 8 ) ( 5 ) 伸缩性：氕x ) 巧 火2 功巧+ i ( 2 39 ) 其中，符号0 表示直和。与子空间不同，子空间巧的序列是嵌套的。根据性 质( 2 - 3 2 ) 一( 2 - 3 9 ) 工2 饵) 中的每一个函数他) 能够用它在巧中的投影弓( 力非常接 近所希望的逼近。但另一方面，通过减小，投影b p 能够具有任意小的能量。 多分辨率分析最重要的实质是当，不断减小时，弓( 厂) 更大的“变化”被除去。 事实上，这些变化是逐层剥离，即按变化“速率”( 最好称为“频带”) 减小顺序 剥离，并且存放在补子空间中。 2 4 小波基函数 可以构造个小波函数y ，通过对其伸缩、平移得到函数族 h = 古y c 等扎岍这膨一组黼正媳其中z 为整数 集。按2 ，伸缩的正交小波承载了信号在分辨率2 ，上的变化。遵循多分辨率分析， 1 0 南京理工大学硕士学位论文基于快速小波配置方法的电路模拟 能导出小波基与共轭镜像滤波器 洄) 之间的等价性，这些滤波器组实现了一种 快速正交小波变换。对于长度为的信号，该变换的运算次数仅为0 ( 加次。设 计共轭镜像滤波器还可以给出新的小波正交基类，其中包括紧支集的正则小波。 在多维情况下，r ) 的小波基通过单变量函数的可分离乘积来构造。任意能量 有5 瞧号，在这组基h 2 古妒c 尘笋n 。：下展开可得： i ：- 一_ 厂? y ，( f ) ( 2 4 1 我们可以从2 - 3 中的多分辨率分析出发寻找正交小波。 小波基的应用大多数是利用其可以用很少的非零小波系数去有效逼近特殊 函数类的能力，小波基在图像压缩，噪声去除和快速计算中的应用就是如此。因 此要对g 尽量最优化的设计，以产生最多的接近零的小波系数 。如果 大多数高分辨率的小波系数小，则函数厂不可忽略的小波系数就小。这个性质主 要依赖于，的正则性，y 的消失矩阶数和g 的支集的大小。 若广r p ( f ) d f = 0 ，( o k 4 ，日2 ( j ) 表示如下的s o b o l e v 空间： h 2 ( ，) = ) 舴川2 艰= 任曷 旺s 因此，对任何一个x ( t ) 日2 ( ，) ，有以下的p a r s e v a l 恒等式： i l x l l 2 ：宝 z ( 2 5 9 ) ( 3 ) 如果m 是h i l b e r t 空间矗2 的一个闭予空间，那么对每个工( f ) h 。( j ) 有 x = 1 1 + v 材m 且v m 1( 2 5 1 0 ) 其中, 和v 由x 唯一确定，m 。是m 的正交补空间 m 1 = v 日2 ( 1 ) i = 0 ，v u m ) ( 2 5 1 1 ) 这表明m 上m 1 并且日2 ( ，) = m o m l ，符号0 表示直和。 最后，定义函数x 的支集为： s u p p x = 口( 0 ，三) ，x 0 ) 0 ) ( 2 5 1 2 ) 如果s u p p x 的闭包在区间，上，则称x 具有一个j 上的紧支集。 2 6 电路模拟中的一类高效小波基 1 9 9 6 年，美国北卡大学的w e ic a i 博士提出了一类收敛速度为0 ( 矿) 的高效 小波基函数 1 1 】。基于这类小波基函数，北卡大学的d a i nz h o u 博士在1 9 9 9 年成 功构造了相应的电路模拟的快速算法 1 2 1 3 】。基函数的构造有好多方法 3 6 ，本 文采用w e ic a i 提出的高效小波基。下面介绍这类小波基函数的具体形式。 对一个整数也0 和一个固定区间仁 0 ，l ，l 4 ，我们首先定义s o b o l e v 空间 h 2 ( ，) 中的一个子空间集合。 = 叩1 0 ) ，r 2 0 ) ，叩2 ( l 一，) ，叩l ( 上一f ) ) ( 2 6 1 ) v o = s p a n o o ，一1 u ) ， o ) ，l 一3 ( l f ) ) 0 茎k ! l - - 4 ( 2 6 2 ) 1 3 小波理论及求解微分方程的小渡方法硕士论文 陟j = s p a n v j ， ( f ) ，一1 k n j 一2 ) 0 sj 0 ( 2 ) 上肜川，e z + 且日j ( ，) = k o 。+ 其中日；( ，) 是1 t 。( j ) 在区间，上的具有均匀边界( 零边界值) 值的子空间。利用 上述的性质，通过借助函数_ = c ，( f ) e = o o 彬o 0 矿。，取的足够大 时任意函数z ( r ) a r n 都可以在满足所需要求的情况下被任意地逼近。这种情 况下，逼近问题涉及到均匀边界问题，比如x ( 0 ) = 工化) = 0 。对任意函数 f p ) 1 t 2 u ) ，x ( o ) 0 ，三) 0 ，由于其边界值非零，就必须引入一系列边界函数 如式( 2 6 1 ) = 确( ，) 现( ，) ，仍( 三- t ) ，编一f ) 。如果用空间k 来逼近 x ( ) 日2 ( j ) 的边界值：那么