（基础数学专业论文）clifford分析中双超正则函数的边值问题.pdf

摘要 c l i f f o r d 代数是一种可结合但不可交换的代数结构，创建于上个世纪初，是现代数学的一个重 要分支自1 9 7 0 年以来这个分支得以充分发展和广泛应用而c l i f f o r d 分析研究的是从r n 到中的 函数理论，它是解析函数在高维空间的推广近几年，对照多元复分析结果来讨论c l i f f o r d 分析已成 为中外学者们研究的热门课题 本文在有界域双正则函数和超正则函数的理论基础上，主要讨论了实c l i f f o r d 分析中无界域上 双正贝0 函数的边值问题以及有界域上双超正则函数的边值问题，在一定程度上推广了已有的结论 主要工作有： i 根据给出的无界域上修正的c a u c h y 核定义，讨论了无界域上双正则函数的c a u c h y 型积分 及c a u c h y 主值积分，并在p l e m e l j 公式的基础上研究了无界域上双正则函数带共轭值的边值问题。通 过利用s c h a u d e r 不动点定理证明了其解的存在性，并给出了解的积分表达式 2 在上述工作的基础上，采用将边值问题转化为求解积分方程的方法研究了无界域上双正则 函数带共轭值带位移的非线性边值问题，证明了解的存在性，并得到了解的积分表达式 3 在已有超正则函数边值问题的基础上讨论了双超正则函数的c a u c h y 型积分及它的p l e m e l j 公 式，并研究了双超正则函数的非线性边值问题，利用s c h a u d e r 不动点定理证明了其解的存在性，并 给出了解的积分表达式 关键词：c l i f f o r d 分析，双正则函数，双超正则函数，边值问题 a b s t r a c t c l i f f o r da l g e b r ai sa na s s o c i a t i v ea n dn o n c o m m u t a f i v ea l g e b r a i cs t r u c t u r et h a ti sa ni m p o r t a n tb r a n c h o fm o d e mm a t h e m a t i c sa n di sd e v i s e di nt h eb e g i n n i n go fl a s tc e n t u r y s i n c e1 9 7 0 ，t h i sb r a n c hh a s b e e nf u l l yd e v e l o p e da n dw i d e l yu s e d c l i f f o r da n a l y s i si sae x t e n s i o no fa n a l y t i cf u n c t i o n si nh i g h e r d i m e n s i o n a ld o m a i n s w h i c hs t u d i e st h ef u n c t i o n sd e f i n e do nr nw i t hv a l u e si nac l i f f o r da l g e b ms p a c e i nr e c e n ty e a r s ，c o m p a r i n gt h er e s u l to fm u l t i p l ec o m p l e xa n a l y s i st os t u d yc l i f f o r da n a l y s i sh a sb e c o m e ar e s e a r c hf o c u s i nt h i sp a p e r , b a s e do nt h et h e o r i e so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rb i r e g u l a rf u n c t i o n so nb o u n d e d d o m a i n sa n dh y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n s ，t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rb i r e g u l a rf u n c t i o n s0 1 1a n b o u n d e dd o m a i n sa n dt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rb i h y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n sa r cd i s c u s s e d ，w h i c h g e n e r a l i z es o m er e s u l t st oac e r t a i nd e g r e e t h em a j o rw o r k sa sf o l l o w s 1 b a s e do nt h ed e f i n i t i o no ft h em o d i f i e dc a u c h yk e r n e lo nu n b o u n d e dd o m a i n s 。t h ec a u c h yt y p e i n t e g r a lo fb i r e g u l a rf u n c t i o n sa n dt h ec a u c h yp r i n c i p a lv a l u eo fs i n g u l a ri n t e g r a lo nu n b o u n d e dd o m a i n s a r ed i s c u s s e d b e s i d e s ，t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rb i r e g u l a rf u n c t i o n sw i t hc o n j u g a t ev a l u eo l l u n b o u n d e dd o m a i n si ss t u d i e db yu s i n gp l e m e l jf o r m u l a t h e n ，b yt h es c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ，t h e e x i s t e n c eo ft h es o l u t i o nf o rt h ep r o b l e mi sp r o v e da n dt h ei n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o no ft h es o l u t i o ni sg i v e n 2 b a s e do nt h ea b o v ew o r k ，t h en o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rb i r e g u l a rf u n c t i o n sw i t ht h e s h i f ta n dc o n j u g a t ev a l u ei sd i s c u s s e dw i t ht h em e t h o dt h a tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi st r a n s f o r m e di n t o t h ei n t e g r a le q u a t i o n t h e n ，b yt h es c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ，t h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o nf o rt h e p r o b l e mi sp r o v e da n dt h ei n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o no f t h es o l u t i o ni sg i v e n 3 b a s e do nt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rh y p e r m o n o g e m cf u n c t i o n s ，t h ec a u c h yt y p ei n t e g r a l o fb i h y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n sa n di t sp l e m e l jf o r m u l aa r ed i s c u s s e d b e s i d e s ，t h en o n l i n e a rb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mf o rb i h y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n si sc o n s i d e r e d t h e n ，b yt h es c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ， t h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o nf o rt h ep r o b l e mi sp r o v e da n dt h ei n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o no ft h es o l u t i o ni s g i v e n k e yw o r d s ：c l i f f o r da n a l y s i s ，b i r e g u l a rf u n c t i o n s ，b i h y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n s ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意。 研究生签名：哥孝 时间： 2 0 o年琴月罗j e l 关于论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的 全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名：子三考时间：如p年歹月；7 日 翮签名：私历 时问：纠p 年岁月，j 日 宁夏人学坝i 学位论文 第一肇- j l吉 第一章引言 1 1 研究意义及国内外研究现状 c l i f f o r d 代数创建于上个世纪初，它的代数理论主要应用在m a x w e l l 方程、y a n g m l l i s 场论以及 量子力学等数学其它分支，其应用价值在力学中有着重要意义如在文献【l 】中，利用c l i f f o r d 代数的 表示法可以将三维空间中弹性力学方程组以简单的形式表示出来，这使得求解过程有了很人的优 越性由此，可以看出将c l i f f o r d 代数引进到力学中可以把平面问题的一些重要结果推广到三维或高 维中去，从而体现了c l i f f o r d 代数在弹性力学和流体力学中的重要应用此外，随着通信技术和传感器 技术的飞速发展，基 - c l i f f o r d 代数空间的传感器网络覆盖理论分析方法，建立了一种不依赖丁特定 坐标系的、对不同维数空间和不同目标一致覆盖的分析模型，并利用传感节点与目标之间完整的 相对几何信息，有效地解决了传感器网络的观测覆盖性能分析问题【2 - - 4 1 以上是c l i f f o r d 代数的重要 应用，而对于c l i f f o r d 分析，它是在c l i f f o r d 代数的基础上发展起来的它主要研究的是从实向量空间 到实c l i f f o r d 代数函数的性质。属于高维空间的分析后义拓展为从复向量空间映射到复c l i f f o r d 代数 的函数理论，是复变函数论的一个推广2 0 0 t 年，e b r a c k ，j s r c h i s h l m 和v s o u c e k 联合推出了一本 介绍c l i f f o r d 分析和应用的论文专辑【5 】该书详尽阐述了c l i f f o r d 分析在弹性力学、量子力学、工程 技术中的广泛应用，是迄今为止较为完善的一本关于c l i f f o r d 分析应用的数学专著 c l i f f o r d 分析的发展可追溯到1 9 8 2 年，由e b r a c k ，r d e l a n g h e ，e s o m m e n 所著的( c l i f f o r d 分 析一书中详细介绍了实c l i f f o r d 分析中正则函数的定义及它的c a u c h y 型积分、c a u c h y 主 值积分、p l e m e l j 公式等一系列c l i f f o r d 分析的理论知识，这为它以后的发展奠定了坚实的基 础【6 】从1 9 8 7 年起，国内学者在此基础上研究了c l i f f o r d 分析中各类函数的边值问题并将其进行了推 广其中，以徐振远【7 】、闻国椿【8 1 8 、黄沙【9 - - 1 1 】为主要代表而近十年来是它发展最快的时期，在此期 间涌现出了大量的研究成果，如c l i f f o r d 分析中的小波、球上的c 1 i 仟o r d 分析、c 1 i 仟0 r d 分析中曲线 的r a d o n 变换、奇异积分及算子的性质与此同时，c l i f f o r d 分析本学科内也有许多新函数类型出现 如：七正则函数、七一超正则函数、双超正则函数这些函数基本上都是以正则函数、超正则函数、 双正则函数为原型构造出来的，因此它们的性质及各种边值问题便成了近几年的研究内容 大约在1 9 8 5 1 9 9 3 年，b r a c k ，p i n c k e t ，l eh u a n g s o n 12 j 仿照多复变研究了双正则函数的c a u c h y 积 分公式、h a r t o g s 定理、c o u s i n 问题到了1 9 9 6 年，黄沙【”】在钟同德【1 4 】所研究的多复变函 数c a u c h y 型积分边界性质的基础上得到了双正则函数的p l e m e l j 公式，并研究了它的一个非 线性边值问题第二年，便有学者研究了广义双正则函数( 线性) 非线性边值问题，并在杨丕 文【1 5 】引入正则向量函数的基础上讨论了双正则函数向量的边值问题直到1 9 9 8 年，s l e r i k s s o n b i q u e 和h l e u t w i l e r 1 6 】在修正的d i r a c 算子的基础上引入了超正则函数，并在文【1 7 】【1 8 】中讨论 了它的边值问题但以上函数都是在有界域上进行研究的，直n 2 0 0 2 年，首先是曹南斌【1 9 】根 据19 9 7 年k l a u sg u r l e b e c k ，u w ek a h l e r , j o h nr y a n 2 0 引入的修正的c a u c h y 核定义，使得对讨论任 何补集中含有非空开集的无界域上的c a u c h y 型积分成为可能，得到了无界域上双正则函数 的p l e m e l j 公式这一举措无疑是推开了进入无界域进行研究的大门f 1 2 0 0 6 年，文 2 1 2 6 中研究了无 界域上正则函数及正则函数向量的边值问题，推广了有界域上正则函数边值问题的结果同年，李君 霞在文【2 7 】中研究了无界域上超正则函数的c a u c h y 型积分和p l e m e l j 公式到此为止，c l i f f o r d 分析已 j 。夏人学倾i “学f t 论文 第一辛。j i爿 形成一个完整的分析体系，未来的研究将在此基础上进行推广 综合以上信息，实c l i f f o r d 分析中一些函数的基本问题已经解决其中，以正则函数和双正则函数 的各种边值问题为研究主体，并得到了一些重要结果直到2 0 0 7 年，在前面工作的基础上引入了k 正 则函数、七一超正则函数、双超正则函数这三类新函数，并在文 2 8 3 l 】中研究了七正则函数的某些 性质及边值问题而对于尼一超正则函数和双超正则函数的研究可见文 3 2 3 3 1 和 3 4 3 5 1 同时，我们 可以发现以上函数都是在实c l i f f o r d 分析中进行研究的，尽管我们知道实c l i f f o r d 分析中所得结果 可以直接推广到复c l i f f o r d 分析中，但毕竟它们之间还有区别因为实c l i f f o r d 分析中不存在解析单 枝，而复c l i f f o r d 分析中必须考虑函数的多值性及是否可单值分枝的问题因此，在这方面的文章比较 少值得我们做进一步的研究 1 2 本文工作要点及结构安排 在上述基础上，本文主要研究了实c l i f f o r d 分析中无界域上双正则函数、双超正则函数的性质 及某些边值问题，在一定程度上推广了前面的某些结论本文主要内容共分二个部分： 第二章中，利用文 2 0 1 弓l 入的无界域上修正的c a u c h y 核定义，讨论了无界域上双正则函数 的c 卸c h y 型积分和c 硼c h y 主值积分的存在性及具体表现形式，并在p l e m e l j 公式的基础上讨论了无 界域上双正则函数带共轭值的边值问题及带共轭值带位移的非线性边值问题，通过利用s c h a u d e r 不 动点定理证明了其解的存在性，继而给出了它的积分表达式，拓展了有界域上双正则函数边值问题 的结果 第三章中，在超正则函数边值问题的基础上，研究了双超正则函数的边值问题，在此之前文 献【3 5 】已经研究了双超正则函数的c a u c h y 积分公式矛 i c a u c h y 主值积分的存在性和表达形式，并得 到了相应的p l e m e l j 公式本章是在此基础上讨论了双超正则函数的非线性边值问题，并证明了其解 的存在性，且给出了解的积分表达式使p l e m e l j 公式得n t 充分利用，更是文献 3 5 1 的一个延伸 1 3g l i f f o r d 分析的基本理论 首先，我们介绍c l i f f o r d 分析中一些基本知识，设r n + 1 的正交基为e o ，e l ，e 2 ，e n , 其 中e o 为r n + 1 的单位元素，则r 1 中的元素可表示为 且以这些基可以构造一个实的2 n + 1 维的c l i f f o r d 代数它的基表示为 e o ，e 1 ，e 2 ，e n ，e l e 2 ，e n 一1 e n ，e l e 2 e 3 ，e n - - 2 e n - - 1 e n , ，e l e 2 e 3 e n 其中每个元素可简记为e = e h 。e h ：e h ，其中a = h i ，h 2 ，h a ，k ) 1 ，2 ，佗) ，l h i h 2 h ，n ，此外，当a = 时e 西= e o = 1 表示单位元素且中的基底元素满足如下运算 规则 e 2 t = - 1 ，i = 1 ，2 ，3 ，仃， e i e j2 一e j e i ，i ，歹= 1 ，2 ，3 ，n ，i 歹 2 ez 。础 一 o e o z = 一zez 。瑚 = z 宁爱人学顺f j 学f t 论文第一币t j i啬 将此乘积运算推广到，则是一个可结合但不可交换的代数结构，显然兄“+ 1c 在c l i f f o r d 代数中，每一个c l i f f o r d 元素可表示为 t = u a e a ，t r a 对于t i ，给出到中的三种映射 ( 1 ) 对合 u = 仳a e 么= ( 一1 ) 钍a e a ， aa 这里i a i 表示指标集a 中元素的个数，空集的指标为零易见e ：= e o = 1 ，e ：= - - e i ，i = l ，2 ，竹 ( 2 ) 反演 珏= 札a e 爻= ( 一1 ) 洲( i 肛i 1 ) u a e a aa 特别的e ：= e ，i = 1 ，2 ，3 ，亿 ( 3 ) 共轭 面= u a e a = z ( - 1 ) 吾1 a i ( i a i + 1 ) u a e a aa 特别的钿= e o = l ，自= 一e i ，i = 1 ，2 ，3 ，n 由以上三种映射的定义可知，对任意的口，b ，下列性质成立： ( a b ) = n ，6 ，( a b ) + = a * b ，n 6 = b a 定义中元素的模为：l u l 2 = i u a 2 易知 i 面i = l u l ，l u + t ，i i u l + i 口i ，l u v l 0 使得：如果l 为a q l 上任意点，那么以1 为中心，以d 1 为半径的超球e 1 把a q l 分成 两个部分在1 处建立局部坐标系，并将坐标原点放在n i ，z 。轴放在沿a q l 过1 点外法线上，设包 含在超球e 1 内部的a q l 部分为a q ；，则a q ：的方程可表示为靠= 知( 如，1 ，知一1 ) 设a q ：上任 意点与1 的距离为， l ，过点的法线为n l ，在1 点引入广义球面坐标 m 一12p lc o s l ，o o c o s 妒1 c o s 妒m 一2 ， k 一2 。p lc o s 妒o c 0 8 妒1 c o s 妒m 一3s i n 妒m 一2 ， 12p lc 0 8g a os i n 妒l ， o2p 1s i n 妒o ， 4 弓。夏人学颂卜学化论文 第节j l高 其中p 1 表示r 1 在过1 点切平面上的投影长度，由文献【6 】知 因此我们得到 蚓 三，歹= o ，1 ，2 ，m 一3 ， o 一2 0 ，使得 l f n ( ，z ) i 五( 礼) i z 一钍l l 一z 一亭一u l 卜时， ( 2 1 2 ) 其中以m ) 是只与维数有关的常数 利用h i l e 6 引理可以直接证明 引理2 2 【2 0 】( c a u c h y 积分公式) q 如上所述，( z ) 是q 上的有界正则函数，且连续到边界，则 ，( z ) = f ( ，z ) 力( f ) ，( ) d s ( ) ，z q 这里才( f ) 是沿a q 的外法线方向的单位向量，d s ( ) 是面积微元 证明详见文献 2 0 1 2 2 无界域上双正则函数c a u c h y 型积分, 及c a u c h y 主值积分 设q lxq 2 是e u c i l i d e a i i 空间r m + 1xr + 1 中的无界连通开集，q ( i = 1 ，2 ) 的余集中含有一 个非空开集设q l ( 1 = 1 ，2 ) 的边界a q ( i = 1 ，2 ) 均为光滑、定向的l i a p u n o v 曲面，a q l a q 2 称 为q 1 q 2 的特征边界，同时引 k h s l d e r 连续函数空间日( a q lx0 2 2 ，f 1 ) ，0 s 一1 l 7 一口1 圣( z ，u ) l o 。 ( m ) 以( 后) i z u l l u u i 彬k t i - ”+ 1 ，a n lx o f t z j 一= l f ，l 记尉= r 1 ， j = x 知 , 5 i r 7 - 钐i 一川如( f ) 打( ，7 ) j = l 七 = & ，则 j = l 垂( z ，u ) l j l ( m ) j 1 ( k ) r l 岛1 2 一牡i i 剪一v l i 一u l 一( ”+ 1 l ，7 一v l 一( 七+ 1 ) 打( ) d 盯( 叼) ，0 1 2 ax a q 2 由文【2 0 】知上面的积分是存在的，因此圣( z ，y ) 存在以下，我们证明圣( z ，秒) 为双正则函数 由文【2 0 】知d 。f m ( f ，z ) = k ( 叼，y ) d 掣= 0 ，而积分号下被积分函数只有f m ( ，：o 和t k ( o ，! ，) 与z ，y 有 关，记被积函数为f ( ，7 ，z ，妙) ，显然有 d z f ( ，曰，z ，y ) = f ( ，叩，z ，y ) d 掣= 0 因此d 。f ( 毒，叼，z ，y ) d a ( ) d a ( y ) = f ( ，7 ，z ，y ) d v d a ( ) d a ( y ) = o 是关于z ，可一 ，a q l a q 2，o g 2 lx a q 2 7 宁疆人学帧l j 学位论文第二搴尤界域i ：暇正则函数的边值问题 致收敛的，故 d 。垂( z ，y ) = d z f ( ，叼，z ，y ) d a ( f ) d a ( r 1 ) = 0 ， ，a q l a q 2 圣( z ，y ) d 掣= f ( ，叼，z ，y ) d 出( ) 打( ，7 ) = 0 ，a n l 0 1 1 2 由双正则函数的定义知，圣( z ，秒) 为双正则函数 而由z 。( ，u ) = l k ( n ，口) = 0 ，知圣( 让，y ) = 圣( z ，可) = 圣( t ，t ，) = 0 下面引入无界域上双正则函数c a u c h y 主值积分的定义 设( t 1 ，t 2 ) a q l a q 2 ，记超球0 1 ：i z t l i 正0 2 ：i 暑f t 2 l 6 ，称0 ( ( t 1 ，t 2 ) ，6 ) = 0 1 d 2 为( t l ，t 2 ) 的j 邻域i g o f l l a q 2 位t o ( ( h ，2 ) ，6 ) 内部的部分为知 定义2 2 1 1 9 称积分 圣( t 1 ，t 2 ) = l m ( 毒，t 1 ) 而( ) 妒( 己? 7 ) d 盯( ，7 ) f 七( 叩，t 2 ) ( 2 2 2 ) ，a n l o n 2 为特征流形a q l o f f 2 上的奇异积分 考虑0 6 ( t l ，t 2 ) = l m ( ，t 1 ) 打( ) 妒( ，叩) 如( ，7 ) k ( 刁，t 2 ) ，8 n l o f l 2 - a 6 定义2 3 1 9 1 若6 骧雪5 ( t 1 ，t 2 ) = j ( t 1 ，t 2 ) 蒯e ，n 称i ( t 1 ，如) 为奇异积分( 2 2 2 ) 的q m c h y 主值 积分，记作i = p v 圣( 1 ，t 2 ) 引理2 3 【2 0 】对任意的t i o f z ，i = 1 ，2 在主值意义下有 f o o - ( lh ) d a ( 沪z ：d a c o ) l k ( 州2 ) = 互1 0 f z ( 2 - 2 3 ) ， 2 厶 为了简便起见，引进奇异积分算子 p 1 妒= 2 f 。( ，t 1 ) d 盯( ) 妒( ，t 2 ) ， ，o f h p 2 妒- - - 2 妒( t 1 ，叩) 打( 叩) 2 知( ，7 ，t 2 ) ， ，o f z 2 p 3 妒= 4 p v o ( t l ，t 2 ) 定理2 2 1 1 9 1设妒泛们n ( o n l a q 2 ，p ) ，而且是a q l o f 2 2 _ k 的有界函数，则奇异积 分( 2 2 2 ) 的c a u c h y 主值积分存在，并且 p v 邮“2 ) = 一互1 妒( t l , t 2 ) + x ( t l , t 2 ) + 三( p 1 妒+ 岛珐 ( 2 2 4 ) 这里 x ( 4 ，t 2 ) = h ( ，1 ) 如( f ) 妒( ，r 1 ) d a ( r 1 ) l 知( r l ，t 2 ) ， 妒( f ，叩) = 妒( ，? 7 ) 一妒( f ，t 2 ) 一妒( l ，叩) + 妒( t l ，t 2 ) 8 宁夏人学硕l j ! 学位论文第市尤界域i ：暇正则函数的边值题 证明记圣( t 1 ，t 2 ) = 1 1 + 如+ 1 3 + 厶，其中 j 1 = l m ( 毒，z 1 ) 曲( 毒) 妒( t 1 ，t z ) & r ( r i ) l k ( o ，t 2 ) ， ，a n l a q 2 ，i 2 = l , n ( 荨，t 1 ) 曲( ) 【妒( ，t 2 ) 一妒( t 1 ，t 2 ) d a ( r 1 ) l 詹0 7 ，t 2 ) ， j a f t l 烈2 2 ，i 厶= l m ( ，t 1 ) 打( ) 【妒( t 1 ，7 7 ) 一妒( 1 ，t z ) d a ( r 1 ) l 七( r l ，t 2 ) ， j a q l a 1 2 ， 厶= i m ( ，t 1 ) d 盯( ) 妒( f ，7 ) d 盯( 叩) ，知( 叩，t 2 ) 首先讨论1 由引理2 3 知 z q ，f m ( 印1 ) d o ( o = 互1 ， ，a q 】 z z 。：咖( 恻 ：) = 乏1 所以，五的c 卸c h y 主值积分存在，且p v 厶= 丢妒( t l , t 2 ) 对如由引理2 3 得 i m ( ，t 1 ) 打( 毒) 眇( f ，如) 一妒( 1 ，t 2 ) 】打( 叼) k ( 叩，t 2 ) j 扰2 1 挪2 2 = l m ( ，h ) d a ( o ( f ，t 2 ) 一妒( t l ，t 2 ) 】 出( ，7 ) k ( ，7 ，t 2 ) ，a q lj a n 2 = 毒l m ( ，t 1 ) d 盯( f ) 【妒 ，t 2 ) 一妒( t l ，t 2 ) 】 适当选取以1 a q l 为中心，足够大的r 为半径的超球u ( t 1 ) ，使得当o ( a 1 t r ( t 1 ) ) 时，陪一 t z i 如k 一廿i ，如为正常数，由题设知t 1 ，钍为同定点，这是能做到的则上式可以写作 言f m ( ，t 1 ) d 盯( ) 【妒( ，t 2 ) 一妒( 1 ，t 2 ) 】 二j a ( q l n ，( t 1 ) ) + 丢 z 。( 毒，1 ) 如( 专) 【妒( ，2 ) 一妒( t l ，2 ) 】 - j 拶( i z l u 【t l ” = a 1 + a 2 对a l 由于其积分区域为一有界区域，把它写作 a 1 | = l 互1z ( f h n u ( h ) ) 击( 吉知圳涨渤m 一2 ，】) 一互1k m 去( 品删绯渤h 仇忠，) 1 因为妒日( a q l a q 2 ，) ，所以l 妒( ，t 2 ) 一妒( t 1 ，t 2 ) i 以k t l p 和文献【1 3 】一样对第一个积 分进行讨论，知它是存在的而第二个积分是一个正常积分，故它也是存在的 9 宁夏人学坝j 学位论文 第章尤界域i ：双f f 狈怕自数的边值问题 村a 2 码 i a 2 l 去 i l m ( ，t 1 ) l l a ( o l l ：( e ，t 2 ) 一5 i o ( 1 1 ，t 2 ) i j 8 ( q 1 ，( t 1 ) ) 三k 川) 枷) 塾呐p 萨砰- ( 肼1 ) l 卜训姚) i 眯呐尸 冬三k m 撕) 以薹r i f t 班1 ，一卅1 ) i 卜训删 三枷) 无薹驴+ 1 ) 。k 呻1 ) ) m r 沏川h 叫i _ j 4 1 t l 一也l i 毒一t ll p 一( m + 1 ) l d 盯( o i j o ( f h u ( t 1 ) ) - + o 。 以i t l 一训 p l 口一( m + 1 ) p p 一1 咖1 一r = 南产1 由上式可知，这个积分存在因而j 1 2 是有意义的 由此可得，p v 屯= ( p l 妒一妒) 峰 1 同理也可以证明厶是有意义的，且p v 厶= ( 岛妒一妒) 下证，厶的c a u c h y 主值积分也是存在的 适当选取一以t l ，t 2 为心r 为半径的超球u ( t 1 ) ，u c t 2 ) ，其中u ( t 1 ) 象前面一样选取，u ( t 2 ) 是使 当刀a q 2 u c t 2 ) ，满足l ，7 一t 2 i 1 5 1 , 7 一t i i ( 其中以为正常数) 的超球，记 a ( q lnu ( t o ) o ( f hnu ( t 2 ) ) = o f f 3 a ( q 1 u ( t x ) ) xa ( q 2 u ( t 2 ) ) = # f 1 4 ， a ( q 1 u ( t 1 ) ) xa ( f 1 2nu ( t 2 ) ) = o f t 5 ， a ( q 1nu ( t 1 ) ) a ( q 2 u ( t 2 ) ) = o f z 6 _ ! 1 1 4 区域a q lxa q 2 = a q 3 + a q 4 + a q 5 + a q 6 因此，1 4 ( o n lxa q 2 ) = 1 4 ( 0 q 3 ) + 1 4 ( 0 q 4 ) + 1 4 ( 0 f 2 5 ) + 1 4 ( o n 6 ) 由于q 3 为一有界区域，由文【1 4 】知l 矽( ，叩) l 五垮一t 1 i 售1 7 7 一t 2 i 鲁类似于文【1 3 】中的定理2 讨 论1 4 ( a n 3 ) 的c a u c h y 主值积分知它是存在的，即 对厶( a q 4 ) 有 p v h ( o f l 3 ) = z m ( ，t 1 ) d 盯( ) 砂( f ，7 ) d 口( 7 7 ) k ( 叼，t 2 ) ，a q 3 j 1 4 ( 0 q 4 ) l i z m ( f ，t 1 ) i i d 盯( ) l i 妒( 刁) ij d 盯( ，7 ) i i 坛( 仇t 2 ) i j a q 4 ! ， ( m ) 以( 七) h 一让l 妻i 毒一t ，i 一垮一乱i 一( m + ) - ，a q 4 j 一= l l o - 如i t l 一u l l t 2 一v i i d a ( 专) l l d a ( r 1 ) i 乃i 卜u i i t 2 - v l 厂佃p p + 1 刀一1 和1 厂佃p 2 射州h p 2 d p 2 故上式积分是收敛的，所以它的积分存在，且有 ， p v 厶( a q 4 ) = f m ( ，t 1 ) d 盯( ) 砂( ，1 ) d a ( r i ) l k ( r l ，t 2 ) ，瞰h 由区域的构造可知，对厶( a q 5 ) 和厶( a q 6 ) ，我们只讨论其中一个即可，因为| 妒( 毒，7 ) l 以垮一t 1 尸或i 妒( ，刀) i 山i 叼一t 2 l 卢，所以 i h ( o f 2 5 ) f i k ( 荨，t 1 ) | i 如( 钏妒( ，o ) l l 妇( o ) l l t k ( o ，t 2 ) i ，a n 5 - - 上w k 1 _ 1 幻帐 ) f 黜) l + 石10 诋f 黜i d , r ( d l l d 盯( 训 麦【_ ) 焉j = l 蠢”+ 1 卜h 一仳iz n 。l 一划一m + 1 i ，7 一划肛南l 打( 驯i 拈( 训 + 去州m ) j sz 渊4 m + 1 ) - j h lz n 。肛圳肛+ 1 h 叫r 蚓钏) j a o l h u l 万m + 1 p p d p l 龌“p f 啦 + j 1 1 i t l 一乱i 彳一m p r d p l i t 7 一t ，r 七d 盯( 叩) 由文 2 0 1 1 3 知上面的积分是存在的所以 p v h ( a f l 5 ) = l 。( ，t 1 ) d 盯 ) 矽( ，叩) 6 b ( ，7 ) k ( f 7 ，t 2 ) j 挪b 综上所述厶的c a u c h y 主值积分是存在的，而且主值积分为x ( t 1 ，t 2 ) 综上，奇异积分( 2 2 2 ) 的c a u c h y 主值积分是存在的，且值为 一三1 ，t 2 ) + x ( t “2 ) + 趸1 ( 只q a + 岛办 2 3 无界域上双正则函数t l , p l e m e l j 公式 记q 于= q i ( = 1 ，2 ) ，q f = r m + 1 衍，q i = r 奄+ 1 面设( z ，! ，) 从q q 手趋于( t 1 ，t 2 ) a q l 宁夏人学坝i 学位论史 第二搴尤界域j ：双l 则两数的边值问题 x a q 2 ，记作( z ，秒) _ ( 丰，t 手) 当( z ，秒) _ ( t 手，手) 时，c a u c h y 型积分( 2 2 1 ) 的极限值对应的记 作圣士士( 1 ，t 2 ) ，这样我们就得到了无界域上双正则函数的p 1 e m e l j 公式 定理2 3 1 1 9 】设q 1 ，q 2 均为上述的区域，算子只，岛，岛分别为前面所述，( 2 2 1 ) 式中妒( 毒，7 ) 日( 妒，a q lxa q 2 ，p ) ，且妒( ，7 ) 是有界函数，则对( t l ，t 2 ) a q lxa q 2 有 圣+ + ( h , t 2 ) = 三【妒( t l , t 2 ) + p 1 妒+ p 2 妒+ b 纠， 圣+ - ( t l , t 2 ) 2 享1 【一妒( 。1 ，。2 ) 一b 妒+ p 2 妒+ b 纠 ( 2 3 1 ) 圣一+ ( t l ，t 2 ) = 主卜妒( t 1 ，t 2 ) + p 1 妒一岛妒+ p 3 纠， 圣一( t l , t 2 ) = 主妇( 九t 2 ) 一p 1 妒一b 妒+ p 3 纠 证明改写c a u c h y 型积分( 2 2 1 ) 为 ， 圣( z ，可) = x ( z ，y ) + z 。( ，z ) d 盯( 毒) 妒( t 1 ，t 2 ) d o ( r ) k ( r ，秒) ，# f h o f t = ， + z m ( ，z ) d 盯( ) p ( 毒，t 2 ) 一妒( 1 ，t z ) d a ( r 1 ) l 七( r l ，y ) d o f t l a q 2 ，i + l 。( 毒，z ) d 盯( f ) 【妒 l ，r ) 一l ；i o ( t t ，t 2 ) d a ( r 1 ) l k ( r l ，秒) ，a q lx a n 2 由文献 1 9 1 中定理2 ，定理3 ，得 1 x - v + ( 1 ，t 2 ) = x 士千( t 1 ，t 2 ) = x ( t l ，t 2 ) = 去( 妒一p 1 妒一p 2 妒+ 岛妒) 再由文献 2 0 1 定理3 3 ，定理3 4 以及前面的c a u c h y 积分公式可得结论成立 推论2 1 1 1 9 1 设( 2 2 1 ) 式中妒( ，卵) 日( a q l a q 2 ，p ) ，( t l ，t 2 ) a q lxa q 2 ，则 雪+ + ( t l ，t 2 ) 一圣+ 一( t l ，t 2 ) 一圣一+ ( t l ，t 2 ) + 圣一一( t t ，t 2 ) = 妒( t 1 ，t 2 ) ， 雪+ + ( t 1 ，t 2 ) 一圣+ 一( t t ，t 2 ) + 圣一+ ( t l ，t 2 ) 一圣一一( t l ，t 2 ) = p 1q o ， 圣+ + ( t 1 ，t 2 ) + 圣+ 一( t l ，t 2 ) 一圣一+ ( t l ，t 2 ) 一圣一一( t l ，t 2 ) = p 2 妒， 圣+ + ( t l ，t 2 ) + 圣+ 一( t t ，t 2 ) + 圣一+ ( t l ，t 2 ) + 圣一一( t l ，t 2 ) = p 3 妒 2 4 无界域上双正则函数带共轭值的边值问题 假设q t ，锄i ，i = 1 ，2 同上所设，又设a l ( t x ，t 2 ) ，a 2 ( t l ，t