（一般力学与力学基础专业论文）大范围运动矩形悬臂板非线性动力学.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 3 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。 尽我所知， 除文中已经注明引用的内容 外， 本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。 对本 论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体， 均已在文中以明 确方式标明。 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件， 允 许论文被查阅和借阅,可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 (保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名： 日 期： 南京航空航天大学硕士学位论文 4 摘要 本文研究了基础作大范围运动矩形薄板的一些非线性振动特性。以连续介 质力学为基础，考虑二次非线性耦合变形量，使用kane方程和假设模态法，建 立了包含到三次几何非线性和三次惯性非线性的广义动力学控制方程组。 基于广义动力学控制方程组，忽略纵向振动及其与横向振动之间的耦合， 得到系统横向振动的线性动力学控制方程。考查其模态特性，发现系统固有频 率随着转速的提高和刚性基础长度的增加而提高。但不同模态的增长速率不同， 导致了特征值轨迹交叉和特征值轨迹转向现象的出现。 然后采用多尺度法，研究了系统受到基础简谐激励时的周期振动特性，发 现几何非线性项和惯性非线性项在系统中的作用不同，从而导致不同模态的周 期振动呈现不同的特性，并且不同阶模态的周期振动特性也与板的几何参数有 关。 仍然使用多尺度展开，进一步研究了矩形悬臂薄板受基础简谐激励和定轴 转动联合作用下的动力学性质。揭示了在简谐激励频率接近某阶模态的固有频 率时的外激主共振特性；建立了第一阶和第二阶模态发生1：3内共振时的调制 方程组，研究了系统发生内共振时的动力学响应特性。 同时编写matlab程序对内共振和参激共振共同作用下的动力学响应进行了 数值仿真。 关键词：薄板；非线性振动；模态特性；特征值轨迹转向；特征值轨迹交 叉；多尺度法；简谐激励；周期振动；主共振；内共振 南京航空航天大学硕士学位论文 5 abstract this thesis presents a systematic study on the nonlinear vibration of a cantilever rectangular plate subject to a large overall motion. the plate model of concern in- cludes the quadratic coupling deformation, as well as the inertial and geometrical nonlinearities up to the third order, and yields a set of governing equations derived from kanes dynamic equation and assumed mode method. to gain an insight into the linear modal properties of the plate subject to the ro- tation around a fixed axis, one can check the linear out- of- plane vibration of the plate when the in- plane vibration of the plate is neglected. it is quite straightforward to see that the natural frequencies of the plate increases with an increase in the rotational speed and the radius of rigid basement. however the growth rates of natural frequen- cies vary from mode to mode. consequently, the eigenvalue loci exhibit veering and crossing phenomena. the periodic vibration of a cantilever rectangular plate subject to a harmonic ax- ial excitation of its basement is investigated via the method of multiple scales with cartesian transformation. it is revealed that the characteristics of the periodic vibra- tions vary from order to order since the inertial and geometrical nonlinearities influ- ence the system motions quite differently. moreover, the vibration characteristics greatly depends on the nonlinearies on the geometry size of the plate. furthermore, the method of the multiple scales is used to investigate the dynam- ics of cantilever rectangular plate under the rotational and the harmonic excitation. the primary resonance of the system is analyzed for the case when the excitation frequency is close to a natural frequency. finally, the modulation equations are for- mulated for studying the 1:3 internal resonance of the plate subject to the basement rotation and linear harmonic motion. the case studies of numerical simulation well demonstrate the dynamic re- sponses of the cantilever plate undergoing the basement rotation and linear harmonic excitation via matlab programming. key words: rectangular plate；nonlinear vibration; modal characteristics; ei- genvalue loci veering; eigenvalue loci crossing; method of multiple scales; harmonic excitation; periodic vibration; primary resonance; internal resonance 南京航空航天大学硕士学位论文 8 第一章 绪论 1.1 研究背景 随着技术的进步，航空、航天、军事、工业等领域中机械、装备的运行速 度越来越高，如直升机旋翼、空间作大机动飞行的飞机机翼、工业机械臂等等。 此时，系统在非惯性场中受到及其恶劣的外载作用，其动力学行为显得十分复 杂，但是又必须保持其功能和结构的完整性。因此如何对其进行正确的建模并 进行合理的实验验证，成为许多学者努力的方向。而梁、板作为结构工程中的 基本元素，许多复杂结构的子系统都可以简化为梁基础做大范围运动的柔性梁、 板类结构。因此，对板类结构的在不同载荷情况下的动力学行为的理论及实验 研究有助于了解和解释它们在相似载荷下更加真实、复杂的动力学行为。 随着系统运动速度的提高，高速运动将产生较大的惯性力，导致弹性部件 的变形，甚至振动、噪声等，以工业机械手为例，其由弹性部件组装而成，当 进入“高速”运动时，运动部件必须作柔性体建设，形成所谓的“柔性机构” (flexible mechanism)， 此时机构部件的大范围刚体运动和其结构柔性变形之间产 生耦合，此时传统的线性建模方法已然失效，动力学模型变得十分复杂。近年 来，胡海岩、冯志华、吴涛、王洪兵等采用 kane 方程结合假设模态法，建立基 础做大范围运动柔性梁和柔性板的非线性动力学方程组，为此类问题的研究建 立了一种较新颖的研究方法。本文将以此方法为基础，建立空间做大范围运动 弹性薄板的非线性动力学方程组，对其非线性动力学行为作一些探讨。 系统中的非线性因素会使系统的动力学行为发生根本性的变化，出现亚谐 共振、超谐共振、组合共振、自激振动等在线性系统中不会出现的危险现象。 而实际系统中存在各种各样的非线性因素，evan- iwannowski1、nayfeh 和 mook2、moon3等归纳了动力学系统中常见的非线性因素，如：阻尼、大变形 或大挠度导致的几何非线性、惯性非线性、边界条件非线性等等。本文以空间 大范围运动弹性薄板为研究对象，考虑到系统的大范围运动和弹性变形之间的 耦合以及非线性应变，着重考查因为基础的大范围运动而在系统中引入的非线 性因素：几何非线性和惯性非线性，旨在通过对承受大范围运动的该类对象的 研究，以期为航空、航天等复杂振动环境下弹性体的动力学行为的进一步研究 提高方法上的积累和贮备。 南京航空航天大学硕士学位论文 9 1.2 研究进展 1.2.1 基建做大范围运动梁 对于大范围运动梁、板类结构非线性的特性的研究肇始 kane4等人,他们在 对基础做高速旋转运动的柔性梁的动力学响应进行数值仿真时发现，依据传统 的建模方法5得到的结果发散，而他们根据 kane 方程，在保留方程的非线性项 的基础上，得到响应结果收敛。经过分析他们认为在基础做高速旋转运动时， 梁的大范围运动和变形之间产生相互耦合导致刚度增大，产生“刚度硬化”效 应抑止了动力学响应的发散。但他们在使用 kane 方程时，对偏速度的导出使用 了线性化处理，因而未能对系统的非线性动力学行为进行更进一步的研究。此 后，banerjee、kane6用类似的方法研究大范围运动弹性板的动力刚化问题。 kane 等人的研究集中于对动响应的求解，虽然也涉及非线性项，但是对柔性梁 的非线性性质并没有做深入的研究。nayfeh7等人根据 crespo da silva8采用广 义 hamiltion 原理推导出的保留至三阶非线性的轴向非伸缩梁的“弯- 弯- 扭转” 耦合的运动控制方程，研究了轴向受简谐激励梁的非线性动力学性质，结果表 明：几何非线性起刚度硬化作用，而惯性非线性起刚度软化作用；并且不同阶 模态的几何非线性和惯性非线性的主导地位也不尽相同，从而使不同阶的模态 特性呈现出不同的软硬特性。随后 anderson、nayfehp9用实验对上述结论进行 了验证，并指出在本构关系中采用非线性弯曲描述的必要性；hyun 和 yoo 完善 了 kane 等人的建模理论，推导出做旋转运动柔性梁的非线性方程，研究了定轴 旋转悬臂梁10固有频率的变化规律及其高速旋转柔性梁的模态；并且采用多尺 度法展开11，研究了基础做定轴转动悬臂梁的稳定性。冯志华、胡海岩等根据 kane 方程，基于假设模态法，保留到三次非线性项，建立了基础作大范围运动 柔性梁的非线性动力学方程组12，对内共振条件下直线运动梁的稳定性13、受 轴向基础激励悬臂梁的周期振动14、直线运动柔性梁参激主共振和内共振联合 激励下的非线性动力学行为15进行了较为系统的研究。近期，冯志华等又考查 了轴向基础窄带随机激励柔性梁的稳定性和 hopf 分岔16。洪嘉振课题组基于 hamilton 原理，采用模态离散17，对柔性梁的动响应问题做了比较深入的研究， 对“动力刚化”问题进行了实验研究18，验证了刚柔耦合建模理论的正确性； 并对模态离散方法和有限元方法离散做了比较。肖世富、陈滨等19等基于 南京航空航天大学硕士学位论文 10 hamilton 原理建立了离心场中纵向悬臂梁的大挠度非线性模型，并以此为基础， 采用打靶法计算了梁的分岔解特性，得到三种分岔类型，给出了分岔解。 1.2.2 基础做的范围运动板 目前，对柔性体的研究，多采用假设模态法离散或有限元方法离散，有限 元离散多用于数值仿真。相对于梁来说，对基础作大范围运动柔性板非线性动 力学行为的研究比较滞后。对各种边界条件的柔性梁，一般都有解析的振型可 以使用，使得使用假设模态法进行解析的分析成为可能；而板除了四边静止简 支板可以找到严格满足边界的解析模态函数外，其它边界条件的柔性板一般没 有可以严格满足边界条件的模态函数可以使用，因而限制了对板的非线性现象 的研究。 对基础做大范围运动柔性板的研究， 国外起步较早。 kane 等人用 kane 方程 建立基础作高速定轴转动柔性梁的方程后，即用类似的方法考查了板的“动力 刚化”效应。dokainish 和 rawtan20用有限元方法考查了安装在旋转刚性彀上的 悬臂板的模态特性，其运动方程为线性，而且建立运动方程的方法比较繁琐， 所以后来鲜有文献再使用这种方法。vendhan21在对横向位移采用单个假设模态 的情况下，使用高阶 galerkin 逼近面内运动方程和相容方程的解；同时考虑两 种典型板的几何构型，求解了板的非线性横向振动模态运动方程。ramamurti、 kielb22对两种不同的模态函数下旋转扭曲板的固有频率作了详细的比较；首先 考虑了两种不同长宽比和不同厚度长度比的板，在计算刚度矩阵的时候，通过 “应力平滑”(stress smoothing)方法包含进旋转对系统的影响，同时也考虑 coriolis 加速度，对板的几何非线性作了简单的讨论。eslami、kandil23采用 von karman 应变，保留几何非线性，推导出系统的运动控制方程，用多尺度法考查 了正交各向异性板受基础简谐激励时的非线性受迫振动；发展了简支边界条件 板的一般多波形解法，并使用两个对称模态详细考查了主共振和亚谐共振。 singh、chakraverty24使用满足边界条件和 rayleigh- ritz 方法的特征正交多项式 研究了变厚度椭圆和圆形板的横向自由振动，并分两种不同的厚度变化趋势作 了比较详细的讨论，分别对固支、简支、自由边界条件板的自由振动做了探讨。 saha、kar 等人25使用变分方法分析了边界受弹性旋转和位移约束 mindlin 板的 自由振动问题，假设弹性边界是一致分布的，并使用 timoshenko 梁的模态函数 南京航空航天大学硕士学位论文 11 来模拟板的模态函数，其结果显示了弹性约束对固有频率的影响。sheikh、 mukhopadhyay26使用拉格朗日方程， 采用 von karman 薄板大变形理论， 推导出 加强板的非线性横向振动方程，然后使用有限样条方法研究了横向自由振动的 特征值问题。han、petyt27同样采用几何非线性描述的 von karman 应变位移 关系， 并用谐波平衡法得到板的派生系统方程， 使用分层有限元方法(hierarchical finite element method)研究了矩形薄板的(几何)非线性振动。chang、lee 等人 28利用 von karman 应变，使用平均法，研究了受简谐谐激励时矩形薄板在 1:1 内共振下的亚谐共振；其结果表明，在不同的激励位置上，分别可能发生简谐 振动、亚谐运动，并且随着参数变化耦合模态的亚谐振动可能经历 hopf 分岔到 倍周期及混沌的过程。ribeiro、petyt29考虑von karman应变及面内位移，使 用虚功原理和谐波平衡法得到包含几何非线性的各向同性板运动方程，同样利 用分层有限元方法考查了板的非线性自由振动，揭示了板的振型随振动幅值的 变化。 amabili30采用 von karman 应变， 使用虚功原理推导出矩形薄板受基础简谐 激励(激励频率在板的最低共振频率附近)的大幅运动非线性动力学方程组，然后 用数值方法对对不同的边界条件- 简支动边界、简支固定边界、四边固支- 板的幅 频、分岔等性质进行了模拟，并对各种边界条件下的数值结果进行了实验验证， 数值结果和实验结果符合的较好。yoo 等人31将 kane 等人的建模理论延伸到薄 板中，推导出基础做旋转运动薄板的动力学运动方程，使用静止柔性梁的模态 逼近板的静止振动模态，通过对其派生系统的分析，研究了基础做定轴转动悬 臂板的模态特性，得到了薄板的固有频率随转速的变化规律，发现了特征值转 向现象31，并对其原因做了探讨。稍后，他们对基础做面内加速运动薄板的模 态特性做了类似的研究32。除对基础做大范围运动薄板模态特性变化的研究外， yoo 等人根据前面推导的线性运动方程对基础角速度为变速(先加速，再定速)情 况下系统的动力学响应做了仿真33。国内的肖世富、陈滨等34应用 hamilton 变 分原理建立了平动状态下对边简支对边自由矩形薄板的非线性动力学方程组， 分别应用假设模态法和康特洛维奇法分析了板的前 4 阶近似振动频率、临界分 岔值及板的前 3 阶后屈曲近似解，并比较了取不同阶数假设模态对分析结果的 影响。它们发现，整体平动可使柔性多体系统中的柔性构件产生动力刚化或动 力软化效应，且软化效应还可使系统平衡位置发生分岔而失稳；指出在动力刚 化和动力软化情况下，柔性构件模态出现的顺序均可能发生改变。其后，他们 南京航空航天大学硕士学位论文 12 使用同样的方法建立了基础做大范围刚体运动薄板的动力学方程组35，从理论 上证明在不同大范围运动状态下平板既可能存在动力刚化也可能存在动力软化 效应，而且动力软性效应可能使平衡位置发生分岔而失稳，并使用假设模态法 对理论结果进行了验证。洪嘉振等3637根据连续介质力学中关于柔性薄板的变 形理论， 基于 jourdain 速度变分原理， 推导出做高速旋转薄板的动力学连续变分 方程，用有限元离散和模态截断缩减广义坐标数量，对板的动力学响应进行了 仿真，并对有限元方法和假设模态法的计算量进行了对比，因为其研究结果多 用来模拟卫星电池帆板展开过程，运动速度并不高。王洪兵38等使用 kane 方法 结合假设模态法建立空间大范围运动矩形薄板的非线性动力学方程组，运用多 尺度法结合笛卡尔变化，研究了四边简支板在基础作大范围运动时的一些非线 性动力学特性。 1.3 本文的结构安排及研究的对象 本文以板类结构为研究对象，建立基础做大范围运动柔性板的非线性动力 学控制方程，考查其模态特性、受面内激励的周期振动、定轴转动和基础激励 联合作用下的内共振等非线性动力学特性，并通过数值仿真对半理论半数值得 到的结果进行验证。以期揭示基础做大范围运动柔性板的固有的非线性动力学 性质。 第一章对研究背景以及国内外对大范围运动柔性板的动力学研究进展作了 评述，阐明了立题的依据和意义。 第二章采用 kane 方法、简化的 von karman 薄板应变- 位移关系，基于假设 模态法，建立了基础作一般大范围运动柔性板的动力学控制方程组，其为高阶 非线性方程组：包含到三次几何非线性和三次惯性非线性，其中惯性非线性项 与系统的运动状态无关，仅有板的物理参数决定，几何非线性由系统的运动导 致；而且方程中既有外激励又有参数激励。为后面的研究提供了一个比较一般 的动力学模型。 第三章分别以基础做定轴转动的悬臂板和四边简支板为例，考查了系统的 模态特性。发现随着转速的提高或旋转半径(刚性基础的长度)的增加，柔性的薄 板的固有频率会随之提高，即出现所谓的“动力刚化“现象。在旋转半径确定 的情况下，因为不同阶模态固有频率随着速度而增长的增长率不同，在转速增 南京航空航天大学硕士学位论文 13 加到某个数值时，固有频率会发生交叉(eigenvalue loci crossing)。对于悬臂板 在某些物理参数 组合下，会发生独特的特征值轨迹转向现象(eigenvalue loci veering)。浮现 了发生此类现象的原因。 第四章中以柔性板受基础激励作用为例，使用多尺度法展开结合笛卡尔坐 标变换，考查了系统的周期振动特性。 第五章考虑系统受基础定轴转动和简谐激励联合作用，使用多尺度法展开 结合笛卡尔坐标变化，揭示了系统的主共振特性和1:3内共振特性。 第六章对受基础简谐激励时的周期振动以及受基础简谐激励和基础定轴转 动联合作用时的1:3内共振现象分别进行数值模拟。 第七章对本文的工作进行总结，指出仍待解决的问题，简列了今后值得进 一步研究的方向。 南京航空航天大学硕士学位论文 14 第二章 大范围运动柔性板非线性动力学方程建模 2.1 变形关系描述变形关系描述 图 2.1 薄板变形构型 不失一般性，根据薄板变形理论39，并引入 kirchhoff 假设：板的挠度远小 于厚度，从而中面挠曲为中性面，中面内无应变；忽略横向剪切变形；忽略由 于弯曲而产生的转动惯量。 如图 2.1 中板变形前后的构型图。因为板的大范围运动，板中面上的一点 0 p 变形后为 p，r、s 为 0 p 点分别沿 x 和 z 方向的总伸长量， 1 u 、 2 u 、 3 u 为笛卡尔变 形量。根据几何应变位移关系，有： 1 22 12 2 0 1 22 32 2 0 1 1 ()() ()() x z uu xrd uu zsd +=+ +=+ (2.1) 考虑到前面的假设，认为 2 2 (/)u、 3 2 (/)u和 2/ u 、 3/ u同阶， 展开式(2.1)，忽略高阶小量，得到： 南京航空航天大学硕士学位论文 15 2 2 1 0 2 2 3 0 1 () 2 1 () 2 x z u urd u usd = = (2.2) 2.2 运动方程运动方程 图 2.2 薄板动力学模型 以图2.2为参考模型，板左端连接在刚性基础上，刚性基础在牛顿坐标系 o-xyz做大范围运动。在刚性基础上建立非惯性坐标系o-xyz，非惯性参考系三 个方向的单位矢量分别为 1 a ? 、 2 a ? 、 3 a ? ,oxz平面位于未变形的板中面上。板长度 为a，宽度b，厚度h，密度为(面密度)，弹性模量为e，泊松比为，均匀、 各向同性。则点p在牛顿参考系中的速度为 () pg po vvruv=+ ? ? (2.3) 其中 o v ? 为o点速度， ? 为非线性参考系的旋转角速度，r ? 为点o到 0 p的位置 向量， pg v ? 为点p相对于非惯性参考系的速度。各个量相应为 13 1 12233 1 12233 1 12233 o rxaza uu au au a vv av av a aaa =+ =+ =+ =+ ? ? ? ? ? ? 南京航空航天大学硕士学位论文 16 (2.4) 将u 对时间求导，并同式(2.4)一同代入式(2.3)得到 1123321 2231132 3312213 () ()() () p vvuzuua vuxuzua vuuxua =+ + + ? ? ? ? ? ? ? (2.5) 将式(2.5)写成 t vv a= ? ? ， 因为a= ? ? ， 则对(2.5)求导可得点p的加速度 p a ? 为 1123233232 2 3 23231313 2 2 323122211 22313 11313 2 3 13 132332 2 1 3131212 () ()() () ()() () ( p avuzuuuu vuxuzu vuuxua vuxuuzuu vuzuu vuuxu =+ + + + + + + + ? ? ? ? ? ? ? 12 3312122121 2 2 12123232 2 1 212131133 ) () () ()() a vuuuxuu vuzuu vuxuzua + + + + + ? ? ? ? ? (2.6) 根据rayleigh-ritz法，将r、s、 2 u用空间位置函数及其对应的广义坐标表 示为 1 2 3 11 1 222 1 33 1 ( , , )( , )( ) ( , , )( , )( ) ( , , )( , )( ) n ii i n ii i n ii i r x z tx z qt ux z tx z qt s x z tx z qt = = = = = = (2.6) 1( , )i x z、 3 ( , ) i x z和 2 ( , ) i x z分别为第i阶纵向振动和第i阶横向振动的模 态函数， 1( )i qt、 3 ( ) i qt和 2 ( ) i qt分别为对应的广义坐标， 1 n、 2 n和 3 n分别为对应 的模态截断数。为方便起见，下述的表达式中将略去自变量x、z和t。 南京航空航天大学硕士学位论文 17 将式(2.7)带入式(2.2)得到变量 1 u、 3 u及其速度、加速度表达式为 122 322 1112 ,2 ,22 0 111 3332 ,2 ,22 0 111 1 () 2 1 () 2 nnn x iiijij iji nnn z iiijij iji uqq q uqdq q = = = = (2.8) 122 322 1112 ,2 ,22 0 111 3332 ,2 ,22 0 111 () () nnn x iiijij iji nnn z iiijij iji uqdq q uqdq q = = = = ? ? (2.9) 122 322 1112 ,2 ,2222 0 111 3332 ,2 ,2222 0 111 ()() ()() nnn x iiijijij iji nnn z iiijijij iji uqdq qq q uqdq qq q = = =+ =+ ? ? ? ? (2.10) 而横向振动 2 u (即 w)的位移、速度和加速度表达式为 222 222222222 111 nnn iiiiii iii uququq = = ? (2.11) 根据kane4方法，求出点p的速度 p v ? 在各广义坐标速度上的投影 (1,2,3) ik qi =?-“偏速度”(partial velocity)/ p ik vq ? ?，分别为 2 2 111 1 2 ,2 ,21 0 1 2 222 ,2 ,232 0 1 333 3 1,2 () ()? 1,2 p k k np x iki i k n z kiki i p k k v akn q v dq a q adq akn v akn q = = = = = += = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2.12) kane方程由广义坐标 ik q下的广义主动力 ik f 和广义惯性力 ik f平衡得来，实 质上是广义坐标下的dalembert原理，即： 南京航空航天大学硕士学位论文 18 0,1,2,3 ikik ffi += (2.13) 根据kane的建模方法4，广义惯性力为 00 ()? p bb ikp ik v fa dxdz q = ? ? ? (2.14) 广义作用力为 ik ik u f q = (2.15) 其中表示矢量点乘，u为系统的弹性势能。 将式(2.6)、(2.12)带入式(2.14)分别得到三个方向的广义惯性力 1k f 、 2k f 、 3k f 如下 沿x方向： 南京航空航天大学硕士学位论文 19 2 22 3 1 00 1 12 33 21 00 111 00 1 12222 00 11 1321 00 1323 00 1 () () () ()() () ()( p bb kp k ba k n ba iki i nn ba kxijijij ji ba k n ba i v fa dxdz q vvvdxdz dxdz q dxdz q qq q zdxdz = = = = = + + + + + ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 3 22 2 13 132122 00 11 2313 1 2122 00 11 3212 00 1 22 231 00 22 23 ) 1 ()() 2 2() 2() 2() () ( iki nn ba kxijij ji n iki i nn ba kzijij ji n ba iki i ba k dxdz q dxdz q q dxdz q dxdz q q dxdz q xdxdz = = = = + + + + ? ? ? ? 1 111 00 1 )() n ba iki i dxdz q = (2.16) 22 2 22 23122 00 11 12322 00 1 1 ()() 2 ()() nn ba kxijij ji n ba ii i dxdz q q dxdz q = = + + ? 沿y方向： 南京航空航天大学硕士学位论文 20 2 12 222 2 2 00 2 12 33 22 00 1 121 00 11 22222 00 111 132 00 1 ()? ()() () ()() ()( p bb kp k n ba xiki i nn ba jxikij ji nnn ba xikxjmijmjm mji n ba i v fa dxdz q vvvdxdz q dxdz q q dxdz qq qq q = = = = = =+ + + + ? ? ? ? ? ? ? 32 222 32 222 2 132323 11 132222 00 111 2323 00 11 2 00 111 ) ()() 1 ()() 2 2() 2( xiki nn jxikij ji nnn ba zjmxikijm mji nn ba jxikij ji nnn ba xikzjm mji zdxdz q dxdz q q dxdz q q q q q dxdz = = = = + + + ? ? ? 22 2 12 222 222 3222 00 11 22 232 00 1 22 23121 00 11 22 23222 00 111 ) 2() ()() ()() 1 ()() 2 ijm nn ba jxikij ji n ba xiki i nn ba jxikij ji nnn ba xikxjmijm mji q q q dxdz q q xdxdz q dxdz q q dxdz q q q = = = = + + + + ? ? 22 123222 00 11 ()() nn ba jxikij ji dxdz q q = ? (2.17) 南京航空航天大学硕士学位论文 21 2 1 22 1 23 11 32 00 222 00 1 1232 00 123121 00 1 123222 00 11 31 00 1 () () () ()() 1 ()() 2 2( ba k n ba iki i ba k n ba iki i nn ba kxijij ji n ba i i vvvdxdz dxdz q xdxdz dxdz q dxdz q q = = = = + + + + + + ? ? 22 3 22 3 21 3222 00 11 1233 00 1 1222 00 11 2312 00 231233 00 1 ) 2() 2() 2() () ()() 1 ( 2 ki nn ba kxijij ji n ba kii i nn ba kzijij ji ba k n ba kii i dxdz q dxdz q q dxdz q dxdz q q zdxdz dxdz q = = = = + + + ? ? ? ? ? ? 22 2 2 32 222 231222 00 11 22 13222 00 1 31 22 12 00 1 323 00 11 00 111 )() ()() ()() () ( nn ba kzijij ji n ba iki i n ba ziki i nn ba jzikij ji nnn ba zik mji dxdz q q dxdz q vvvdxdz q dxdz q q = = = = = + + + ? ? ? 22 22222 231222 11 )() ()() zjmijmjm nn jzikij ji dxdz qq qq q dxdz q q = + + ? ? 南京航空航天大学硕士学位论文 22 22 12 222 2 2 1222 00 11 2121 00 11 2222 00 111 1322 00 1 132 00 1 2() 2() 2() ()() ()( nn ba jzikij ji nn ba jzikij ji nnn ba xjmzikijm mji n ba ziki i n ba i dxdz q q dxdz q q dxdz q q q xdxdz q = = = = = + + + + ? ? ? ? ? 1 222 2 32 2 121 1 132222 00 111 22 122 00 1 22 12323 00 11 22 12 00 11 ) 1 ()() 2 ()() ()() 1 ()( 2 n jzikij j nnn ba xjmzikijm mji n ba ziki i nn ba jzikij ji n ba ji dxdz q q dxdz q q q zdxdz q dxdz q q = = = = = + + + ? 22 222 1 ) nn zjmzikijm m dxdz q q q = 沿 z 方向： 3 22 3 3 00 3 31 22 13 00 333 00 1 32222 00 11 231232 00 1 1 00 1 ()? () () ()() ()() 2( p bb kp k ba k n ba iki i nn ba kzijijij ji n ba iki i ba i v fa dxdz q vvvdxdz dxdz q dxdz q qq q dxdz q = = = = = = + + + + + ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 232 2131 00 1 ) 2() n iki n ba iki i dxdz q dxdz q = ? ? (2.18) 南京航空航天大学硕士学位论文 23 22 2 22 2322 00 11 1323 00 132131 00 1 132322 00 11 22 123 00 22 12 00 2() () ()() 1 ()() 2 () ()( nn ba kxijij ji ba k n ba iki i nn ba kxijij ji ba k ba dxdz q q x dxdz q dxdz q q zdxdz dxdz = = = + + + + + ? ? ? ? 3 22 333 1 22 12322 00 11 ) 1 ()() 2 n iki i nn ba kzijij ji dxdz q dxdz q q = = + 其中 2 ,2 ,2 ,2 , 00 xz xijijzijij dd = (2.19) 采用von karman小应变位移关系3940，并认为板内无初始应力，沿板的两 个边采用拉伸变形取代轴向变形，则各个变形可以表示为 2 2 2 2 2 2 x z xz rw y xx sw y zz rsw y zxx z = = =+ (2.20) 对于各向同性板，在能量项中面内拉伸和横向振动之间没有耦合；忽略沿 板横向应变 y ，则应变能函数为 2 00 2 1 2 () h ba hxxzzxzxz udxdzdy =+ (2.21) 应力 x ， y ， xy 分别为 南京航空航天大学硕士学位论文 24 2 2 () 1 () 1 2(1) xxz zzx xzxz e e e =+ =+ = + (2.22) 将式(2.22)，(2.20)带入式(2.21)，得到应变能表达式为 22 1 00 22 222 2 22 00 222 24 22 1 ()()2 ()() 2 1 ()()() 2 2 ()()2(1)()() ab ba rsrs u xzxz rsww dzdxd zxxz www dxdzo h xzx z =+ + + (2.23) 其中 3 12 22 112(1) eheh ghd = (2.24) 将式(2.7)带入上式，并忽略高阶小量，展开得到应变能函数为 11 3331 3311 31 11 ,1 ,11 00 11 3 ,3 ,331 ,3 ,13 1111 21 ,1 ,113 ,3 ,33 1111 3 ,1 , 11 1 () 2 ()2() ()() 2() nn ba i xj xij ji nnnn i zj zijj xi zji jiji nnnn i zj ziji xj xij jiji nn i xj z ji uq q q q