（控制科学与工程专业论文）基于断层图像的插值算法研究.pdf

独创 生声明 i i i l l l l t ul i q l l i ii i i i i i i i y 18 7 9 6 7 0 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：砰榭卜日期：丛生犁一 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅。本人授权武汉理工大学可以将本学位论文的全部内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存或汇编本学位论文。同时 授权经武汉理工大学认可的国家有关机构或论文数据库使用或收录本学位论 文，并向社会公众提供信息服务。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：j 乎弹导师签名：；盘址日期：- 2 巫监 1 摘要 图像插值算法是数字图像处理中的一项重要技术，是医学和工程图像三维 重建中的一个重要环节，插值的结果直接决定了三维重建的效果以及后续数据 分析的准确度。然而，由于原始图像在采集过程中，会受到各种因素的影响， 而获得不同层间分辨率的图像。本文从插值算法的基本原理出发，分别对适合 于层间距较小时的基于场景的插值算法和适合于层间距较大时的基于对象的插 值算法进行了深入的研究，本文的主要研究内容如下： 首先阐述了插值算法的基本原理，而后详述了一维插值中的各个插值算法 及应用条件，并结合实验分析了它们的插值效果。一维插值是插值算法的基础， 对它的研究与分析为后续插值算法的研究工作奠定了基础。 根据应用的不同，将图像插值算法分为基于场景的插值和基于对象的插值。 在对基于场景的插值法研究中，首先对经典的灰度插值法：最近邻插值、线性 插值法进行了研究，随后，系统地阐述了基于理想s i n c 函数的插值法，通过分 别对理想s i n c 函数进行截断、加窗和多项式拟合，实现s i n e 函数在时域中的应 用。最后，通过实验结果分析和比较，发现6 点立方插值和6 点b l a c k m a n h a r r i s 加窗插值的插值效果最好，其次是当a 1 1 2 ，2 3 ，3 8 情况下的4 点立方插值 和4 点l a g r a n g e 插值，而插值效果最差的是二次式插值和最近邻插值。 基于对象的插值法研究了点匹配插值法和距离变换插值法。这两类插值算 法均能在断层图像层间距较大的情况下获得较好的插值图像，然而，点匹配插 值法需要进行特征点的匹配，且可能出现较多的误匹配待纠正的情况，因此计 算复杂，较难实现。而距离变换插值法相对而言，由于其借助图像的距离变换 映射图，能够获得两断层图像的轮廓差异进行插值，易于实现和计算。 距离变换插值法中，研究了形态学距离变换插值法和线性距离变换插值法， 因前者在插值过程中不能获得较平滑的图像轮廓，而后者对于较复杂图像得不 到较好的插值效果，因此，文中提出了一种改进距离变换插值法，它是结合了 形态学和线性距离变换插值法而得到一种插值算法。实验表明，改进距离变换 插值法具有以上两者的优点，能够获得自然过渡且边缘平滑的插值图像，在多 边缘复杂图像的情况也同样适用，因此，能够获得较理想的插值效果。 关键词：断层图像插值算法，s i n c 函数，点匹配插值法，距离变换插值法 a b s t r a c t d i 酉t a li m a g ei n t e r p o l a t i o ni sa ni m p o r t a n ti m a g ep r o c e s s i n gt e c h n o l o g y i ti sa n e s s e n t i a lp a r ti nt h r e e - d i m e n s i o n a li m a g er e c o n s t r u c t i o no fm e d i c a la n de n g i n e e r i n g t h er e s u l t so f i n t e r p o l a t i o nw i l ld e t e r m i n et h ee f f e c to ft h r e e d i m e n s i o n a l r e c o n s t r u c t i o na n dt h ea c c u r a c yo fs u b s e q u e n td a t aa n a l y s i s h o w e v e r ，t h ei m a g e sg e t d i f f e r e n tr e s o l u t i o ni ns l i c e ss u b j e c tt ov a r i o u sf a c t o r si nc o l l e , c t i n g b ya p p l y i n g i n t e r p o l a t i o no ns l i c e s ，a n i s o t r o p i cd a t ac a nb ec h a n g e di n t oi s o t r o p i co n e ，w h i c h c o u l dh i g l l l yi m p r o v et h es t a n d a r do f3 dr e c o n s t r u c t i o n r e s o l u t i o nb e t w e e nd i f f e r e n ts l i c e si sl a r g eo rs m a l l ，i no r d e rt og e tag o o da n i s o t r o p i cr e s u l t ，i tn e e d st ou s et h ea p p r o p r i a t ei n t e r p o l a t i o nm e t h o d f r o mt h eb a s i c p r i n c i p l eo ft h ei n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m ，t h i sp a p e rs t u d i e sv a r i o u st y p e so f i n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m sd e e p l y m a i n l yi n c l u d e st h ef o l l o w i n g ： a tf i r s t , t h eb a s i cp r i n c i p l eo fi n t e r p o l a t i o na l g o r i t h ma n ds e v e r a la l g o r i t h m so f o n e d i m e n s i o na r ei n t r o d u c e d t h es t u d y i n go fi n t e r p o l a t i o na l g o r i t h mi sb a s e do n t l l i sb a s i s t h ei m a g ei n t e r p o l a t i o na l g o r i t h mi sd i v i d e di n t os c e n e - b a s e da n do b j e c t - b a s e d i n t e r p o l a t i o na c c o r d i n gt ot h ea p p l i c a t i o n i nt h es c e n e - b a s e di n t e r p o l a t i o n ，c l a s s i c g r a yi n t e r p o l a t i o ni n c l u d e sn e a r e s ta n dl i n e a ri n t e r p o l a t i o ni si n t r o d u c e df i r s t l y t h e n , t h ei d e a ls i n ef u n c t i o ni s a p p l i e d i n i n t e r p o l a t i o n , w h i c hi n c l u d e sp o l y n o m i a l a p p r o x i m a t i o n , t r u n c a t e da n dw i n d o w e ds i n ei n t e r p o l a t i o n r e s u l t ss h o wc u b i c i n t e r p o l a t i o no f6p o i n t sa n db l a c k m a n - h a r r i sw i n d o w e di n t e r p o l a t i o n so f6a r et h e b e s t , c u b i ci n t e r p o l a t i o no f4p o i n t sw h e nt h ep a r a m e t e re q u a l s 1 2 , - 2 3o r 0 3 8a n d l a g r a n g ei n t e r p o l a t i o no f4p o i n t sa r eb e t t e r t h e n ，o b j e c t - b a s e di n t e r p o l a t i o nw a si n t r o d u c e dw h i c hi n c l u d e sp o i n tm a t c h i n g i n t e r p o l a t i o na n dd i s t a n c et r a n s f o r mi n t e r p o l a t i o n t h e ya r eb o t ha p p r o p r i a t ef o rl a r g e s p a c ei ns l i c e s h o w e v e r , p o i n tm a t c h i n gi n t e r p o l a t i o nn e e d st om a t c ht h ef e a t u r e p o i n t sa n dm o r el i k e l yt om i s m a t c hi nm a t c h i n gp r o c e s s t h ep r o c e s si ss oc o m p l e x a n dd i f f i c u l tt oa c h i e v e r e l a t i v e l y , t h es e c o n dw a yi se a s yt oi m p l e m e n ta n dc o m p u t e w i t hd i s t a n c et r a n s f o r m a t i o nm a p a f t e r s t u d y i n ga n da n a l y z i n gt h em o r p h o l o g i c a ld i s t a n c et r a n s f o r mi n t e r p o l a t i o n a n dl i n e a rd i s t a n c et r a n s f o r mi n t e r p o l a t i o n ，i nt h i sp a p e r ，a ni m p r o v e dd i s t a n c e t r a n s f o r mi n t e r p o l a t i o nm e t h o di si n t r o d u c e d i th a st h ea d v a n t a g e so fb o t h r e s u l t s s h o wi ti sa b l et oo b t a i nt h eb e t t e ri n t e r p o l a t i o ni m a g e so fn a t u r a lt r a n s i t i o na n d s m o o t he d g e s ，a n di ti st h es a m ef o rm o r ec o m p l e x i m a g e s k e yw o r d s ：i n t e r p o l a t i o no fs e r i a lc r o s s - s e c t i o ni m a g e s ，s i n ei n t e r p o l a t i o n ，p o i n t m a t c h i n gi n t e r p o l a t i o n ，d i s t a n c et r a n s f o r mi n t e r p o l a t i o n 目录 第1 章绪论1 1 1 弓l 言1 1 2 课题研究背景和意义。2 1 3 国内外研究现状分析3 1 4 主要研究内容。4 第2 章插值算法基本原理6 2 1 插值法的来源6 2 2 一维最近邻插值7 2 3 一维线性插值7 2 4 一维非线性插值。8 2 4 1 拉格朗日插值8 2 4 2 牛顿插值1 0 2 4 3 埃尔米特插值1 0 2 4 4 三次样条插值1 1 2 5 本章小结。1 2 第3 章基于场景的插值算法。1 3 3 1 最近邻域插值法1 3 3 2 线性插值法1 4 3 3s i n c 函数插值法1 5 3 3 1 理想插值函数s i n c 函数1 6 3 3 2 截断和加窗s i n c 函数插值。1 7 3 3 3 基于多项式拟合的s i n c 函数获取1 9 3 4 实验结果与分析。3 0 3 5 本章小结3 3 第4 章基于对象的插值算法3 5 4 1 对象插值法的引入。3 5 4 2 基于点匹配的插值算法3 6 4 2 1 点匹配算法原理3 6 4 2 2 点匹配过程3 8 4 2 3 匹配算法实现。4 2 4 2 4 匹配参数的确定4 2 4 2 5 实验结果与分析4 4 4 3 基于距离变换的插值法。4 6 4 3 1 距离变换原理。4 6 4 3 2 形态学距离变换插值法4 9 4 3 3 线性距离变换插值法5 2 4 4 改进距离变换插值法5 4 4 4 1 改进距离变换插值法原理5 4 4 4 2 实验结果与分析5 7 4 5 本章小结。5 9 第5 章总结与展望6 1 5 1 全文工作总结6 1 5 2 展望。6 2 参考文献。6 3 读硕士学位期间发表的论文6 6 j s 【谢6 7 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 随着计算机技术的飞速发展，图像插值技术已成为图像处理领域和计算机 图形学领域的重要组成部分，被广泛地应用于日常生活、工作以及科研中。在 日常生活和工作方面，数字图像的缩放是我们经常要用到的一项基本操作，我 们常常需要通过改变图像的大小尺寸来满足不同领域和应用方面的需求，而要 实现图像的缩放，图像的插值是不可或缺的一项重要技术。为了突出照片中的 人物或景色，往往需要用插值技术来对照片进行相应的缩放。 在医学研究方面，通常需要放大各种诊断图像以便于发现病变组织，或者 将由c t 扫描所得序列图像进行三维重建，从而协助对病情的诊断。图像的校正 和调整也是经常要用到的基本操作。在气象监测预测方面，通常需要用此技术 来对获得的原始卫星气象图像进行校正和调整，提高图像质量，从而能够监测 到更多的信息，使得气象预测更准确。 在交通信息采集中，经常用到的车牌识别技术，也包含着图像的校正和调 整等图像插值技术。在网络视频的传输中，往往传输的视频是较低分辨率的视 频源，为了满足我们视觉上的清晰度，也需要通过插值方法将其转换成高分辨 率的视频。 在工业应用方面，为了研究多孔材料的三维结构，需要获得其断层序列扫 描图像，以及此序列图像的层间插值图像等信息。此外，在航空、遥感探测、 军事及计算机视觉等其他与人类息息相关的领域，图像插值的应用无处不在。 从本质上来说，所谓图像插值，就是根据原始低分辨率图像的数据信息， 采用插值方法，生成更高分辨率图像数据的一种图像处理技术。根据图像原始 数据的不同，可将图像插值分为两类：一是图像内的插值，即单幅图像内的处 理；二是图像间的插值，即断层扫描序列图像中相邻图像层的层间插值。图像 插值作为图像处理领域的重要组成部分，广泛用于改善图像质量和有损压缩技 术中。图像插值的结果，从视觉角度来看，其使得原始图像看起来更清晰和更 易识别；从数据角度来看，其使得图像的数据发生了变化，由多变少或由少变 多。 武汉理工大学硕士学位论文 1 2 课题研究背景和意义 在数字图像处理中，图像插值是必不可少的工具，其实质是对图像进行重 采样，以实现图像的分辨率转换或尺度变换。其过程基本上是把图像看成是一 个采样点在整数点上的二维离散信号，先对其建立插值函数再用所期望的采样 率对插值函数进行重采样，得到插值图像。 图像插值在计算机视觉中也有广泛的应用。它是两个基本重采样步骤中的 第一步，将离散的数字矩阵转化为连续的图像，随后，对中间结果的重采样便 产生了离散采样图像。在处理离散图像时，重采样过程是必不可少的。例如， 对图像进行几何调整和修正，以提高图像在显示设备中的显示质量，或者在图 像有损压缩的解码中，对于一些在编码过程中丢弃掉的一些像素或某些帧，必 须从剩余的信息中再生。因此，插值算法在图像领域中占据着特殊的位置。 随着现代医学成像系统( c t ，m r i ) 的发展，医学图像的三维重建技术成为 现代数字医学研究的重要技术。而图像插值技术是医学图像三维重建过程中的 一个重要环节，插值结果的好坏直接影响到三维重建工作的进行。 在现代数字医学研究中，为了对病人的病情有更准确的把握，往往需要借助 c t 、m r i 等医学影像设备获取其发病部位的器官或组织的一系列断层扫描图像， 然后根据断层图像重建出器官或组织的三维结构，从而进行医学分析、诊断， 进而为其制定出更符合其自身情况的治疗计划。但是，一般情况下，c t 、m r i 等设备所采集得到的断层图像，其层与层之间的距离远远大于断层内像素间的 距离。为了补充因断层扫描采集所丢失的信息，就需要用到图像插值技术。 图像插值不仅在图像后处理中起着重要的作用，在图像产生中也同样重要。 在计算机断层扫描成像技术( c o m p u t e dt o m o g r a p h y , 简称为c t ) 和核磁共振成 像( m a g n e t i cr e s o n a l l c ：ei m a 西n 简称为m r i ) 中，图像重建也需要插值算法来估 算离散函数，用来反变换映射到r a d o n 变换中。 在现代x 射线成像系统中，例如数字减影血管造影( d i g i t a ls u b t r a c t i o n a n g i o g r a p h y ，简称为d s a ) 技术，插值算法被用来将当前的x 光线照片和掩膜 图像电脑辅助对齐。除此之外，图像的缩放和旋转也常常被用来辅助医生诊断 和治疗病情，插值算法还被用于计算机辅助诊断( c o m p u t e ra i d e dd i a g n o s i s ，简称 为c a d ) ，计算机辅助手术( c o m p u t e ra s s i s t e ds u r g e r y ，简称为c a s ) 以及图像 资料的归档和通信( p i c t u r ea r c h i v i n ga n dc o m m u n i c a t i o ns y s t e m s ) 等系统中。 2 武汉理工大学硕士学位论文 1 3 国内外研究现状分析 图像插值技术是随着计算机图形和图像处理技术的发展而发展起来的。在 早期，简单的一些算法，例如，最近邻插值法或线性插值法被用来进行重采样。 直到2 0 世纪4 0 年代，s h a n n o n 定理的出现，才使得s i n e 函数被接受，成为插 值算法的选择。然而，这个理想的插值器含有一个无限脉冲响应，不适合与局 部有限脉冲响应进行插值运算。从数学角度来讲，t a y l o r 或者l a g r a n g e 多项式 可用来对s i n e 函数进行有效估算【l 】。此后，由于它运算的高效率，又有各种不 同的样条函数被用来取代s i n e 函数。 在2 0 世纪7 0 至8 0 年代之间，插值算法发展地很迅速，此间，各种不同的 方法如雨后春笋般被提了出来，命名方法也多种多样。例如，b 样条法有时也 被成为三次样条法【2 1 ，而三次样条有时也被成为三次卷积法1 3 】【4 】，或高分辨率样 条插值法 5 1 ，或双三次样条插值法【6 1 1 7 1 。1 9 8 3 年，p a r k e r 和k e n y o n 5 】等人发表了 第一篇名为“插值算法的比较劳的文章，随后，m e a l a n d 8 l 在1 9 8 8 年也发表了一 篇类似的文章。然而，在此之前，已有一些学者对全局和局部插值法作了研究 1 2 】【3 】。其中，傅立叶变换也被用在了各种不同的2 2 和4 4 模板插值法的研究 中。 p a r k e r 等人通过比较最近邻插值、线性插值和b 样条插值算法得出，尽管 采用b 样条插值算法的计算时间有所增加，但是重采样图像的质量却显著提高 了。为了避免误解，他在文章中反复建议，将他们的b 样条技术作为一种b 样 条插值逼近参考更好。m a e l a n d 将最原始的样条插值法命名为b 样条插值，而且 他发现b 样条法优于立方插值法1 4 】。 现在，越来越多的插值算法涌现了出来，线性插值法的改进算法【9 l ，b 样条 插值的快速算法【埘，特殊几何变换法 6 1 1 7 1 n j ，还出现了基于图像边缘增强的非线 性和自适应的算法【1 2 】【1 3 】。然而，这些算法仍然存在的问题是，图像放大后的锯 齿效应仍未得到很好的解决。此外，用于医学图像层间插值的基于形状的插值 方法和基于对象的插值方法1 1 4 j 也不断地出现。 1 9 9 6 年，a p p l e d o m 1 5 l 提出了一种对采样数据插值的新方法，他的插值函数 是通过一个高斯函数和其衍生的各函数组成，他建议采用8 8 邻域代替之前的 2 x 2 以及4 4 邻域。而且，他还提出采用傅立叶交换的分析方法来优化插值邻 域参数。但是，较大的插值邻域和复杂的插值函数使得计算量明显增大。1 9 9 7 年，d o d g s o n 提出采用二次多项式的方法在较小的区域上进行插值运算，并采用 3 武汉理工大学硕士学位论文 此方法进行了实验。结果表明，与立方插值法相比，在获得同样质量的结果的 条件下，使用二次多项式的插值法将计算时间降低了6 0 。 除了a p p l e d o m 和d o d g s o n 所提出的方法外，目前大部分的研究方向既不是 加窗s i n e 函数法，也不是l a g r a n g e 插值法和立方插值法中的较大邻域插值法， 如6 6 和8 8 的邻域。然而这些插值法在某些领域中却有着很多的应用。 在医疗诊断应用中，不仅要考虑邻域大小的频率特性，还要考虑重采样后的 图像质量。有人注意到，有些图像系统在采样过程中并未遵守采样定律，因此 造成图像失真。u n s e r ，a l d r o u b i 和e d e n 1 0 】等人要求测试者按照要求依次对l e n a 图像放大，并检测比较放大效果。尽管图像插值质量的评价主要依赖于图像结 果和它们的几何变换，但是插值结果的直观视觉感受却更重要，其直接影响着 插值邻域的选择【1 1 堋。也有些研究人员【6 】【1 3 】通过对插值前后图像的傅立叶功率谱 的分析来评价插值方法的优劣的。但是，s c h a u m 1 9 1 却认为通过图像的功率谱来 评价插值法的优劣是错误的。 然而，事实表明，采用何种方式对插值方法进行评价，主要根据插值的对象 来确定。例如，视觉性能的评价可采用相似性和锐化度来进行量化【1 3 1 1 2 0 l 。此外， 在一些实际应用中发现，通过八个因素【l o j 甚至更少的两个因素都能够对放大倍 数进行比较，但是如果不根据特定目标来进行评价，那么比较的性能有时却跟 插值法没有任何关系。因此，在各种实际应用中，确定最优的插值法仍然是个 难题。 1 4 主要研究内容 本文主要针对应用于医学和工程领域的层间插值算法进行了系统的研究。 由于图像在采集过程中断层间距不同，进行图像插值时所选择的插值算法不同。 本文将分别对应用于层间距较小时的基于场景的插值算法，以及对应用于层间 距较大时的基于对象的插值算法进行系统地研究。本文的主要研究内容如下： ( 1 ) 插值算法的原理及一维插值算法。插值算法是因工程应用需要提出的，逐 渐应用到数字图像处理、计算机视觉等其他领域。一维插值算法是所有插值算 法的基础，其系统地分析将为后面插值法的研究奠定基础。 ( 2 ) 基于场景的插值算法。本文对此类算法中的最近邻插值、线性插值以及基 于s i n e 函数的插值法进行了研究。其中，s i n c 函数插值法包括了截断和加窗s i n e 插值法和多项式拟合的s i n e 函数插值法。 4 武汉理工大学硕士学位论文 ( 3 ) 基于对象的插值算法。此类算法主要包括基于点匹配的插值算法、基于距 离变换的插值算法。其中，基于距离的插值算法不仅可单独应用，而且还可与 形态学结合使用，演变为一种基于形态学的距离变换插值法。 ( 4 ) 改进算法的提出。为了克服形态学距离变换插值法和线性距离变换插值法 的缺点，将提出一种将两者结合的改进距离变化插值法，希望能够克服以上两 种算法缺点，获得效果更好的插值图像。 本文的组织结构如图1 - 1 所示。 图1 - 1 本文的组织结构图 5 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章插值算法基本原理 目前，插值算法已广泛地应用于图像的各个领域，然而，它的出现却是因 为工程应用的需要。本章将从工程实际应用中引入插值算法，并详细阐述插值 算法的原理及一维插值算法，为后续插值算法的研究作铺垫。 2 1 插值法的来源 、 许多实际问题都是用函数y - ，r ( x ) 来表示某种内在规律的数量关系，其中相 当一部分函数是通过实验或观测得到的。虽然厂( x ) 在某个区间【口，b 】上是存在 的，有的还是连续的，但却只能给出【口，b 1 上一系列点毛的函数值 咒- f o ，) o - 0 工，刀) ，这只是一张函数表，有的函数虽有解析表达式，但由 于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，例如，三角函数表、对数表、 平方根和立方根表等。 为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表中的函数值。因此，我们 希望根据给定的函数表做一个既能反映函数( x ) 的特性，又便于计算的简单函 数尸o ) ，用尸( x ) 近似f ( x ) 。通常选一类较简单的函数，如代数多项式或分段代 数多项式作为尸( x ) ，并使尸“) - f “) 对f 0 工，n 成立。这样确定的p ( x ) 就 是我们希望得到的插值函数。 例如，在现代机械工业中用计算机程序控制加工机械零件，根据设计可给 出零件外形曲线的某些型值点o ，y ，砸一o x ，刀) ，加工时，为控制每步走刀方 向及步数，就要算出零件外形曲线其他点的函数值，才能加工出外表光滑的零 件，这就是求插值函数的问题，由此引出插值法的定义。 设函数y 一厂( 工) 在区间【a , b 】上有定义，且已知在点口sx o x l x 。墨b 上的值，y l ，以，若存在一个简单函数p o ) ，使得p ( x ，) 乃，f - 0 1 ，刀成立， 就称尸( x ) 为f ( x ) 的插值函数，屯，毛称为插值节点，包含插值节点的区间 【口，b 】称为插值区间，求插值函数尸o ) 的方法就是插值法。 一维插值法是各种插值法的基础。一维插值法主要有最邻近插值法、线性 插值和非线性插值法。其中，非线性插值法包括拉格朗日插值、牛顿插值、埃 尔米特插值及三次样条插值。 6 武汉理工大学硕士学位论文 2 2 一维最近邻插值 最近邻插值算法是最早研究的插值算法，也是最简单的插值算法。此算法 思想是，将距离点x 最近的函数值赋予这个点上。因此，位置x 处的函数值取决 于与之距离最近的那一点。因此它也被称为一点插值函数。若x k ，毛+ 。】，则 似) - 殿) 嚣端二卜一1 ( 2 - 1 ) 取原始数据为：x o 工，1 0 ，y x s i n ( x ) 的1 1 个点，采用最近邻插值法， 求出x o , l o 】上的函数值，如图2 1 所示。 3 童 籁 圜 图2 1 最近邻插值图 由图2 - 1 可以看出，在取值范围为x o 一0 5 ，疗+ o 5 ) 内，函数值均取作 ( 刀) ，而在分界点石- 刀+ 0 5 处，呈阶跃性跳变，此处的x 离前后两点距离相同， 可取作前一点的函数值或后一点的函数值，可根据具体情况而定。 2 3 一维线性插值 上述最近邻插值法是将距离点x 最近的函数值赋予这个点上，在实际应用 中，这种方法将会产生很大的误差，一般不采用此法。线性插值法是实际应用 中较常采用的插值方法。 线性插值即分段线性插值，是通过插值点用折线段连接起来逼近厂( x ) 。若 x 【t ，x j + l 】，贝0 7 武汉理工大学硕士学位论文 m ) 厂( 一) + 鸳掣。一毛) ( f 毗e o g n m l )( 2 2 ) p j + l 一j 仍取x 0 工，1 0 ，y - x s i n ( x ) 的1 1 个点，采用线性插值法，求出x o , l o 】 上的函数值，如图2 2 所示。 。 图2 - 2 线性插值图 从图中可以看出，当取值点为x ( 刀，刀+ 1 ) 时，那么其函数值在由两点 ( 矗，厂( ) ) ，阮n ，瓴n ) ) 确定的直线段上，只要求得两点间线段的函数表达式， 即可得到取值点x 的函数值。从图中可以看出，与最近邻插值法相比较，这种插 值法在两点间的过渡相对较好。 2 4 一维非线性插值 以上所述两种插值算法简单易懂，计算方便快捷。然而，从实例图中可以 看出，点与点之间呈阶跃性或线性过渡，不够平滑，不能很好地表现一系列取 值点之间的关系。下面将阐述几种一维非线性插值算法，来解决这个问题。一 维非线性插值算法主要包括拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值和三次样 条插值。 2 4 1 拉格朗日插值 若通过n + 1 个节点 而 毛的n 次插值多项式厶( x ) 满足条件 8 武汉理工大学硕士学位论文 厶( x ，) 1 1y ， ( ，一o a ，刀)( 2 - 3 ) 可以构造出满足此条件的插值多项式三。 厶( x ) - 罗儿疋( x ) ( 2 - 4 ) 其中以c d 石竺三皇若三焉：簧 宝毫踹为n 次插值基函数。插值 基函数的具体含义和详细求法见数值分析瞄】。 仍取x 一0 , t o ，y - x s i n ( x ) 的1 1 个点，采用拉格朗日插值法，求出 x 0 4 0 】上的函数值，如图2 - 3 所示。 墨 趔 籁 圈 图2 3 拉格朗日插值图 根据拉格朗日插值法，通过1 1 个点可求得1 0 次拉格朗日插值多项式。但是， 在实际工程应用中，次数高时往往会引起系统的不稳定，且在计算过程中，运 算量很大，而常常较低次数的拉格朗日多项式的插值结果就能够达到较理想的 插值效果。因此，常用低次多项式来代替高次多项式。如图2 - 4 所示，采用6 次 拉格朗日多项式插值的效果图。 9 武汉理工大学硕士学位论文 图“六次拉格朗日多项式插值图 从图2 3 和2 - 4 可以看出，与最近邻插值法和线性插值法相比，拉格朗日插 值法能够使点与点之间呈现平滑过渡，然而，高次的多项式很可能出现不稳定， 而低次的拉格朗日多项式插值不能保证通过给定的每个插值节点。 2 4 2 牛顿插值 利用插值基函数容易求出拉格朗日插值多项式，但当插值节点增减时，计 算要全部重新进行，运算量大，计算较复杂，而牛顿插值则是一种能够逐次生 成插值多项式的插值法。 已知f 在插值点t ( f 一吼，刀) 上的值为厂( 毛) ，若n 次插值多项式只( 功满 足条件 只o ，) 1f ( x ；)( 2 - 5 ) 则插值多项式表示为： 只o ) - f ( x o ) + f x o9 x l 】o - x 0 ) + f x o1 1 9 x 2 ( x - x o ) ( x - 毛) + ( 2 - 6 ) + f x o ，而，吒】 一x o ) o 一- 1 ) 其中九x 。，x 。，以】笪玉匕主垒尘玉上尘鱼量型为厂( x ) 的k 阶均差。 2 4 3 埃尔米特插值 牛顿插值法能够满足在插值节点上的函数值相等，然而，有的实际问题还 1 0 武汉理工大学硕士学位论文 要求在节点上导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项 式称为埃尔米特( h e r m i t e ) 插值多项式。 通过三点( ，f ( x 。”，( 黾，f ( x 。) ) ，o ：，f ( x ：) ) 的三次埃尔米特插值多项式为： 尸( x ) 一f ( x o ) + f x o ，x , l ( x 一) + 门h ， ，x 2 】o x o x x x 1 ) + ， 1 、 a ( x - - x o ) ( x 一 ) ( x x 2 ) 、7 其中，a f ( x , ) - f x o , x l - ( x t - x o _ ) f x o , x 一, , x 2 。 o l x o x x , 一z 2 ) 两点三次埃尔米特插值多项式为： 即) _ ( 1 + 2 基意2 意嚣1 ) 2 ， x k n x kx k x t nx k x k nx k 一x k f 1q 、 + ( x 吨铷r m 。+ ( x - # 等) 2 m 。n 工上一工i + l工k + l 一工i 其中，m i - p o t ) ，朋i + l p 。( 以+ 1 ) ，仍取x - 0 工, 1 0 ，y - x s i n ( x ) 的1 1 个点， 采用埃尔米特插值法，求出x 【0 ，1 0 】上的函数值，如图2 5 所示。 x 轴 图2 - 5 埃尔米特插值图 与以上两种非线性插值法相比，埃尔米特插值法求得的多项式的次数较低， 而且能够满足在每个插值节点上的函数值相等。 2 4 4 三次样条插值 分段埃尔米特插值要求给出节点上的导数值，所要提供的信息太多，其光 滑度也不高，为了克服这些缺点，便提出了三次样条插值。 武汉理工大学硕士学位论文 如果函数。s e c 2 【口，b 】，它在每个小区间【x j , x m 】范围内的表达式都是三 次多项式，并且给定节点及其顺序为：口一x o 毛 2 时，则插入的图像中至少有连续两层图像的像素值相同，这 样的插值只是增加图像的层数而已，因此，在实际应用中较少使用。 3 2 线性插值法 线性插值法是目前应用最多的插值算法。与最近邻插值法相同的是，线性 插值法所插值得到的图像的像素值，也是通过坐标反变换来求得的。不同的是， 它是通过找到反变换得到的浮点坐标的2 2 邻域的像素值，并用此邻域的加权 平均计算出新的像素值。 线性插值就是将上下两相邻断层图像以距离为权值进行线性变换。对于两 相邻断层图像圪( t ，m ，z 。) 和圪( ，y j ，么+ 。) ，设被插入的中间层数为，令两层 间距为1 。则其层间距为d 一1 ( n + 1 ) ，则从起始层开始的第肌层图像z 方向的 坐标为z 府一z 七+ 肌d ( 1sms ) 。设插值图像离起始层图像的距离为t ，离目 标层图像的距离为1 一d ，那么采用线性插值法来求得它们之间新的一层图像 k ( ，夕，z ) 为： 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 v t ( x ，y j ，z ) - 0 一以) 。圪( 毛，y j , 故) + 以v g ( x s ，y ，z i + 1 ) ( 3 - 2 ) 由式( 3 2 ) 可知，层间线性插值法插值所得图像由起始层和目标层两幅图像 来决定，各个权值由插值图像离这两幅图像的距离大小来决定。线性插值过程 如图3 2 所示。 3 3s i n c 函数插值法 图3 - 2 线性插值法层问插值过程 百插值层 数字图像可以看成是由一系列像素点组成的，那么对于通过c t 或m r i 等 途径采集到的序列断层图像来说，可以将这些序列图像对应像素点的灰度值， 看作是由某个模拟信号经过采样后得到的一串数字信号序列，如图3 3 所示。那 么，图像的层问插值就是要获得插值图像层，也就是要获得组成这个插值图像 的一系列的插值点，那么这个过程可以看成是先根据这一串数字信号恢复出一 个较为准确的“原始信号一，然后再对其进行采样，得到所需要的插值点，如图 3 - 4 所示。整个过程可以分成两个步骤：信号恢复和信号采样。 q 口2口3q 以q 图3 3 断层序列图像可看成是由数字信号序列组成 武汉理工大学硕士学位论文 图3 4 恢复出的“原始信号”曲线 3 3 1 理想插值函数_ s i n c 函数 s i n e 函数，就是“抽样函数 ，其表达式为： 办o ) 竺盟。s i 喇 其傅立叶变换函数即为： 荆一引t 讣0 1 j 石r s i n c 函数的波形及其傅里叶变换幅值函如图3 - 5 所示。 a石 ： 6 、 ： 3 。u !v 3 5 - 1 8 i 6 1 i 2 ( 3 - 3 ) ( 3 4 ) ( a ) s i n e 函数的波形( b ) 傅里叶变换的幅值图 图3 - 5 理想插值函数的波形及其傅里叶变换幅值图 图3 5 ( a ) 显示了理想插值函数 ( x ) 的图形，这是区间在( 叫，万) 上的截断图 形。它的傅立叶变换函数i - i ( , o ) 的幅值l1 - 1 ( o , ) l 在区间一锄墨0 9 一巧s 锄上的图 形如图3 - 5 ( b ) 所示。区间万 万称为通频带，频率厂一1 1 2 或一万称为截断 点或n y q u i s t 频率。理想插值器的传递函数是常量，而且在通频带间只有一个值。 任何插值器的基本性质都可以从这个理想插值函数中分析得到。从图3 5 ( a ) 中可以看出，h ( x ) 在1 0 ，1 1 范围内为正，在【1 ，2 1 范围内为负，在【2 ，3 】范围内为正， 依次下去。对于办( 0 ) 一1 ，这个零点保证，在同样网格下进行重采样时，图像不 1 6 武汉理工大学硕士