（工程热物理专业论文）热敏电阻测量生物热物性的理论与实验研究.pdf

摘要 生物组织的热物性参数的准确测最列_ j 1 疾病n 勺诊断治疗、生命器官的保存删 、 移植：传热模型的计算分析至关重要。出j 二! l 物组织的热物性参数随类j 魁、纰分 和温度不同而变化以及实验条件的差异，给生物热物性测量带来许多难。h j ，文献中的数据报道卜分有限，j j 川类组纵的数据差异较大，生物组i 织托低f 6 , f - - f 度f 的导热系数，在很多情况下山水或水溶液的物性数值代替本文研究运用热 敏电阻测量生物组织热物性参数的方法，特别是离体生物组织在低度下的热物件 测量。 热敏电阻作为理想点热源的热脉冲衰减法可以测量生物组织的导热系数和 m 流灌注率，通过对热源作刚区域的计算确定，分析测量参数引起的误差，为实 验设计提供具体的原则。对标准样 的导热系数测量结果表明误差黾寻uou ! ：堕! ：! 堂丝查叁堂堡! ! 堂垡堡壅! ! ! ! 垄! ! 塑竺二一 p = ( 1 一f ) p 。+ f p c ，= ( 1 - f ) w 。+ ，w ，一塑d t ( 1 - 2 2 ) 口：! 砂錾 ( 卜2 3 ) 3 d 7 式中下标u 代表未冻结水，i 代表冰，l 为水的相变潜热，巾为体积膨胀系数( 冰 0 = 0 0 8 7 ) 。 1 2 4 国内外研究概况 现有的各种测量生物热物性的方法，对同类组织和器官的导热系数测量结果 差别较大，因而严格定义测试条件显得： f 常重要。山丁生物组织的血流灌注琦墨对 药物、冷热及其它外部刺激反应强烈】，不同的测试方法结果差异很大。至今， 仍然没有一种测量血流灌注牢方法能够作为一致认可的参考标准。 目前的各种测量方法中，大多数需假设生物组织是均匀介质，即使对血流灌 注率也需要假设测量过程中保持恒定。对生物组织而言，上述假设都是种近似。 利用传热学反问题求解热物性参数，i 于物性考虑物性随时间空间的变化，在数 学上此类非线性问题只能月j 数值计算。因此对生物热物性的测量在理论上有待深 入研究。 在低温生物工程领域，通常可以不考虑生物组织的代谢热和血流灌注率，但 是生物组织的各组分引起的复杂相变过程给导热系数、热扩散系数、密度和比热 等热物性参数的影响很大。日前低温区域的热物性实验数据更少，有关热物性的 数据需不断积累，测试条件同样需加以规范。深低温保存过程中，降温速度和复 温速度对热物性的影i 响的研究尚无报道。 迄今为止，还没有发展一种能够完成p e n n e s 方程中所包含的物性参数进行 同时测定的方法。丽且对g i 物组织的局部代谢热，至今尚无定星测量方法。各热 物性参数随时问空闸变化进行同时测量的实现方法更加困难。 从测量技术的推广应用角度考虑，动态无伤探测技术是发展的方向。但足月 前的各种无伤探测技术均只能测罱休表组织或器官表面热物性的平均意义值( 即 通常假设体表羽i 深0 组彭 4 勿1 1 ：川，日) ，无法做到对测毋深度和位羁：的辨析。吲此， 珈 引 ! ! 旦型堂丝查叁堂堡! ：= ! ! 堡堡苎! ! ! 丝2 鉴塑坚 探索无伤全参数动念测量技术仍然是人们追求的目标。 近年来，随着计算机性能的快速提高，一些需要复杂计算的测量方法得以应 用。计算机与测量技术的结合，为测量技术的实现和仪器化提供了途径。 1 3 本文主要研究内容 本文的主要研究内容虫下： ( 1 ) 热脉冲衰减法： 用数值计算的方法确定点热源的f 4 - 7 i j 区域和备测量参数引起的误差，并以此 作为实验嫂计的原则。完成实验仪器没计和改进，实验测量了一些标准样品 和离体生物样品。 ( 2 ) 等温加热法和稳态法： 提出适用于小尺度生物样品在变温条件下导热系数测量的方法，实验测定了 3 1 3 2 3 3 k 温区一些离体生物器官的导热系数。分析了热敏电阻测量变温条 件下导热系数的适用性和误差。 中嗣学技术大学硕l + 学位论文( 2 0 0 2 ) 张海峰 第二章热脉冲衰减法研究 2 1 测量理论 佳热搓型 热脉冲衰减法( t h e r m a lp u l s e d e c a ym e t h o d ) 方法用于测量生物组织的热物 性参数的方法由c h e n l 7 1 提池，其基本思想足将一个尺度很小的球形热敏电阻插 入生物体内，在t = o 时刻月j 脉冲加热热敏电阻，在p t 。时刻停止加热，测量热敏 电阻的温度衰减值，通过与理论解的比较，可以同时得到生物活体的导热系数和 血流灌注率。 图2 - 1 热敏电阻在短脉冲作用r 卜的温度变化 在短脉冲作用下，热敏电阻的温度随时间的变化如图2 - i 所示，因为脉冲的 时间很短，且测量的时问通常在脉冲届6 2 0 秒，因此脉冲过程中假设热敏电阻 的加热功率稳定。热敏电阻的尺度很小，可看作一个点源处理。被测介质相对予 热敏电阻可看作无穷大，存脉冲加热作用范围内被测介质物性均匀不变。 由p e s s n e s 方程，脉冲加热前组织的传热方程为： p c 要= v ( v t ) + 似肛) 6 ( t t ) ( 2 1 ) 叫 在脉冲点源作用下的传热控制方程为： p c _ = a - l = v ( 七v 7 ) + ，( p c ) ( t 一丁) + ，j p ) ( 2 2 ) d 其中t s 和t 足脉冲埘州日历组织的温度分，n i 。定义温升0 ；t s ，t h i , _ i 式年【1 2 ：! ! 旦型兰丝查叁堂堡! ：堂丝堡苎! ! ! 丝l ! ! 塑竺l 一 对测量参数k 和w 的数值拟合，最有效的方法是最小二乘法。定义残差 s 2 = l o , - o ( t kw ) 2 ( 2 1 1 ) i = l 对残差分别对参数k 和w 求偏导数，所求参数满足 a 占2 o k o c 2 d w 上式中温升0 对k 和w 的偏导数为 一0 8 1 5 旦 a o k p 1 ：，、 p13)-058 詈= 一 4 - 可e x p - 可c o ( r - 1 一- - ) e 了x p ( - 广c o r ) ) 一 上式中温升函数与待求的参数k ，w 是非线性关系，由上述求解k ，w 需要 特定的算法，求解过程如下； 将2 在k o ，w o 处展丌： 如爵+ 警蕊十熹跏 陆 其中“2 = 旧- 8 ( t ， 。，) 】2 ，山式( 2 1 2 ) 可得 警蕊+ 纂22 肌一鬻2 p 抛2跚跏珧 、7 关溉+ 孥勘：一盟 ( 2 - 1 6 ) 泓跏o w 2o w 、。 求解上式线性方程组，可得k ，w 的增量6 k ，6 w 。然后逐次叠代直至残差 达到没定的下限。式( 2 1 5 ) ，( 2 - - 1 6 ) 中对于二阶偏导数项计算较复杂，由于 其值较小可以用一阶偏导数乘积代替。在求解线性方程组时，对系数矩阵的主对 角系数中加入收敛因予，可提高叠代收敛速度。图2 - 2 为拟合导热系数和血流灌 注率的计算流程图。计算导热系数和血流灌注率的计算程序收入附录2 巾，刘予 其它多参数拟合的 卜算只需对程序稍加j | i 修改即可使用。 刁q o o 一一 i l 阳一批卯一却 ” 七 尼 0 p 目 目 一 一 p b 。 2 2 ：! 堕! ：! 兰壁查叁堂塑! 堂堡堕兰! ! ! 丝! 坚塑堕一 图2 - 2 拟合参数k ，w 的计算流程图 苤王生物活佳曲直越昱热丕数 目前，各种测试方法对同类组织的导热系数测量结果差异较大的一个原因是 没有严格定义的统1 测试条l ，i ：。一种较可行的作法足将生物组织的固有导热系数 和血流灌注合成一项，从而考察表观意义 ：的有效导热系数。因此生物活体的导 热系数测量同样是重要的热物性参数，它体现了生物组织固有导热系数和j 衄流灌 注对组织热传输能力的综合作用。 t p d 方法可以很方便地同寸确定生物组织的同有导热系数和有效导热系数， 具体做法足：在数抓处理州按代( 2 - 9 ) i i j 得到吲订导热系数和i f f l 流灌沌牢，按 r i 用科学技术人学坝卜 位论史( 2 ( j 0 2 ) 张海蚌 = t 。q - t 。) ，可以得到有效导热系数和固有导热系数的比值： = 等叫孬誉拦矗尸3 ( 2 _ 1 7 ) 可见二者比例关系依赖于血流灌注率。所以测出系数r t i i 可以求得血流灌注 ：! ! 堕型堂丝查叁堂塑! 堂! ! 笙苎! ! ! ! ! ! 堕塑竺一 2 2 误差分析 2 2 1 热源作用区域的确定 上述理论分析巾，假设热敏电阻为点源即半径为0 ，实际热敏电阻半径 r d “0 1 5 0 2 5 m m 若被测量物半径为毫米量绒，二者尺度具有可比性。因此确定 热敏电阻在测量时问范阿内的热源作用区域是必要的。 热群卜g 一卜 剐2 - 3 被测介质尺度仃限人的传热模型 热敏电阻在脉冲加热后的温度响应过程用有限元方法模拟。图2 3 为有限介 质尺度有限的传热模型图，热敏电阻半径为a ，被测介质半径为b 。假搜介质外 表明r = b 处温升为0 ，计算热敏电阻的温度变化情况，并与理想条件下( 即r 一 一) 的温度变化比较。在测量时间段1 0 2 0 秒内，若二者相对误差小于1 ， 则认为尺度b 具有无穷大边界效应。 计算i f l i 仅典型的实验参数，热敏乜ma = 0 5 r a m ，k p = 0 2 w m k ，n p = ：1 0 - 6 m 2 s 被测介质k m - - - 0 5 2 0 w m k ，c t m = 3x1 0 - 7 m 2 s 。计算结果表明，当被测介质半 径为热敏电阻半径的1 0 1 3 倍，介质可以看作无穷人。该计算结果与文献2 l 中 用实验方法确定的最小介质尺度1 3 倍相近。 2 2 2 测量参数引起的误差估计 实际测量中，山于热敏电6 l 并非理想点源；脉冲加热过程中加热功率随热敏 电阻温度变化而变化：另外，随着脉冲后热敏电阻温度的迅速衰减引起温度测星= 误差。因此，必须确定上述因素对测量结果的影响。为了便于分析，引入无量纲 参数： l l i 嗣科学拉术人学硕r ： 学q c l 沦立( 2 0 0 2 ) 张海峰 定义积分形式 ，：三西 fn ，。，= p “门( r - ) ”矿“4 州舯彬 ( 2 _ 1 9 ) 0 其中m ，n 据需要可代表不同的积分值。方程( 2 3 ) 的解为 口= y j e 一州”( r - 妒) 一”2 e - u 4 f r - # d 砂= y j ，l( 2 2 0 ) 0 热敏电阻表面r = o 处： 吼= y - ，3 0 计算由测量量z 的误差引起测量结果a 时造成的误差描述为： d 口 5 ；5 瓦佰： ( 2 - 2 1 ) ( 2 2 2 ) 若上式不能显式得到结果，可用提供中间变量u 由下列关系式确定： 昙；祟罢 ( 2 - 2 3 ) 加抛加 、 7 以下分别对温度测量、热敏电阻半径、加热功率和脉冲时间引起的误差分析 如下： a 测量温升误荠引起的测景结果的灵敏度分析 由式( 2 2 3 ) ，将z 换成0 ，k 或w 换成a ，可得： 上式中的偏导数项为 丝：一坚出生：一1 5 鱼 讹rk 丽2 7 r ， 。 若无灌注即w = o ，i o 可积分，若w 0 ： = 国1 _ 0 5 1 ，oq 器- 一害，国 i l l 。f ( 2 - 2 5 ) f 2 2 6 ) 0 了r 七一 i | n 0 w l | 缈 ，一0 q 之 但 厂 厂 阳一船卯狮 岛 岛 = i i 妒， 1 一、；。拙求j 、- r n 日i 学 汀论史( 2 f 0 2 i k 渐峰 一瓦0 0 i赫，肛op 【f ( f 一1 ) r 磉w 6 0 弓o s t 高0 管， b 测量过程巾加热功率误差引起的灵敏度 对由p 引起的误差算法同上述温5 1 0 引起的误差。 s ；= 唧面a o ( 瓦0 0 ) 一1o ro k 占：= s ，磊a o 【面a o ( 7 1 ) 一l删 上式偏导数山式( 2 2 1 ) 得到，再由由式( 2 。2 3 ) 有如下结果 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) r 2 2 9 ) 盟：鱼(2-30) 8 pp 可见，由加热功率p 引起的k 或w 测量误差可以描述为0 0 的形式。 c 测量时m 脉冲长短误筮引起的灵敏度 同上述方法可得： s - = s l 电= e t 由方程的理论解，可得 瓦0 0 丽0 0 ) _ a 虬o ( o 蠹o ( 2 - 3 1 ) r 2 - 3 2 ) d 热敏电| ；h 有限尺度i j f 起的误斧 理论模型中假设热敏f 乜f ；| l j 仁羟为0 ，实际条什下假 发输入能匿1 i ：常接近点源 兰& ” = 心 蠢 式入带 卜 一e r p y 一0 = 堕 ! 旦! ：! 竺墼查生堂竺! ! ：兰丝丝塞! ! ! ! 翌! ! 查竺二一 但是温度是热敏f 乜m 表i i ir = = r h 处的值，即： s 一一i 当然，这里的分析在数学上不够严格，但是作为一种分析处理方法是i 叮驭的。 同上述分析可得： f ? ：一o ，o f o 。0 。) 出b o k 占r t p 一，j 瓦o o 面0 0 ) 射k ，w ，r b 求偏导数： r 2 3 3 ) 竺：一上鱼一 ( 2 3 5 ) 钆2 f o r b 在最佳的测量时间问隔内和预先f 计热物性参数的情况下，上述差别可以忽 略。在特定的测量时间段内下有： b = 争爵一等号， 陋，s ， 利用上述各式可进行测_ l i t - 误差的估计，图2 - 4 为测量参数p 、t 。、w 及k 取典 型值且温度、输入功率、脉冲长度及探头半径的不确定度分别为( 0 0 0 3 k ) 、 ( 0 1 5 ) 、( 0 0 0 3 s ) 及( 0 1 5 m m ) 时的误差情况，以及各项误差和总误差 随时问变化情况。图2 5 为k 和w 取典型值时的总体误差与测量时间的关系。 由图2 - 4 和2 5 的结果可见，脉冲后小段时问内，由于探针尺度不为0 而引 起的误差【圩主导地位，这一误差随l t , f f f i l 迅速减小。长时f f i 】后，误差主要山测量温 度的误差所致：最佳测量时问段与组织的导热系数和灌注率有关。另外，计算结 果表明t p d 方法在测量血流灌注率较小时，测量误差较大。 上述分析得到的结果在f p d 实际应i _ j 巾具有指导意义，可根据列待测组织 物r i ：参数俯先进行竹汁然后确定f | 戍的垠 i 7 4 嘲f i l 殿。 郇 o q 且帕 ，b ，k 卜 y 卜 ， ，一矗 叫 i l i i 鲫一戤卯却 一：! ! 型：i = 垫查叁堂婴! ：堂丝堕兰! ! ! ! ! l 韭塑竺一 爨 足 = o5 w = 00 5 t = 3 t e m p e r a t u r e e r r o r u r a d i u se r r o r p u l s ei r i t e r v a fe r r o r p o w e ra p p l i e de r r o r t e t a ie r r o r 51 01 5 t i m ea f t e rp u l s e ，s e c 图2 - 4 各测罱参数在典刑的测母条件r 引起的误差 1 4 1 2 1 0 术8 量e 2 0 ；t k = 03 j w = 0 0 2 - k = 03 w = 0 1 j k = 0 6 w = 0 0 2 j k = 0 6 ，w = 0 1 、一一一”。 jx o24a81 01 21 41 e1 e 02 2 t i m ea f t e rp u l s e ，s e e 圈2 - 5 不同导热系数和内流濉注率下的最人测最误著 2 2 1 o 口b 7 8 5 4 3 2 1 o 中固柑学技术人学硕l 学位论3 芝( 2 0 0 2 ) 张海峰 2 3 实验 实验装置山热敏咆| 5 j l 探针和测最r 乜路组成。探针头部为热敏i 毡阻，其直径约 0 5 m m ，引出的两根 f j 丝导线直径为0 0 5 r a m ，尾部焊接直径为0 1 m m 的漆包铜 丝。将导线穿在细套管f f l ，然后用环氧树腑困定。实际测量时，探针套= f ，e 一个注 射器针头中，将热敏fu l j i l 探头送至预定的位胃后推d 钊管，热敏f 乜l ! h 留在被测量 的组织中。 热敏电阻的温度与阻值的关系按下式拟合f 4 7 j ： r ，= e x 咿( 亭一点) 】 ( 2 - 3 7 ) 将上式作级数展丌，舀+ 2 0 4 0 。c 温区内，由于b t ，略去高阶项可得： t abl n ( r 。) ( 2 - 3 8 ) 图2 - 6 和2 7 分别为存2 0 4 0 0 c 范围内热敏电阻阻值和温度的实验测量和标 定结果，热敏电阻山式( 2 3 8 ) 拟合得a = 4 9 0 0 1 ，b = 2 6 1 2 ，其温度系数d l u d t 约3 2 q ，k 。 t e m p e r a t u r e o c 苫7 1 j 7 o t e m p e r a l u n d c 圈2 - 6 热敏电阻2 0 4 04 c 的r t 关系图2 。7 热敏电阻l n r t 的标定结果 o 一 f 一 “ 、 一 怒 一 。一 r 一 一 一王 哪 种 瑚 挪 咖 啪 ：工o，蛊#-声芑8写茧”芷 叶z 闭科学披术人学硕 ：学位论史( 2 0 0 2 ) 张海蜂 测量电路 测量装置如图2 - 8 所示。测量电路 【 电桥，脉冲加热回路和数据采集系统组 成。测量的过程中，先将热敏电阻探头插入被测量介质中，调节r b 使电桥平衡， 此时输出电压为零。然后启动测量程序，先对热敏电阻脉冲加热，热敏电阻因被 加热阻值变化使电桥失衡，产生输出电压，加热停止后，测量和存储电桥的输出 电压。 k h = 15 kv h = 4 v 图2 - 8 测量系统翻 电桥输出接计算机数据采集系统。加热脉冲宽度为3 秒，测尾时问墩脉冲后 3 一1 5 秒，每0 0 5 秒采集一个数据。每次测量的总时间约1 分钟，进行连续的测 量时。两次测量问隔约l 一2 分钟。刚1 二控制数据采集和控制的程序收入附录2 中，对测量参数如脉冲宽度，采样时间，采集速率通过控制程序设定。 电桥因热敏电阻被加热阻值变化产生的输电压为： = u b - u 。= 面杀一面杀) v b 船 ( 2 3 9 ) 对上式在温升0 = 0 处取微分，可得： 坐。d u m b _ ：一j 塑上塑( 2 - 4 0 ) 口d t ( r b + r s ) 2d t p 。 结合式( 2 - 3 8 ) 可得： 尘哩型翌垫苎! ：! ! ! l ：燮一t ( 2 0 0 2 ) 一! ! 塑! ! 一 0 ：( r b + r s ) 2 坐 ( 2 4 1 ) r ，月6 l i bb 1 1 ：i 上式关系将热敏电阻的温升和f 乜桥输“”乜压联系起来。另外，热敏电m 的 实际温升与阻值( 或实际温度) 无关，只与其变化规律( 即b 值) 有关。这一 点给实验带来很大方便，不需要准确测量温度，而且可以进行连续测量。 脉冲加热电流和加热功率为： ，_ 【丽e s 砌一例【( 鲁+ 1 ) 肌r p ( 2 - 4 2 ) p = ，2 即 ( 2 4 3 ) 山于r p 是不断地变化的，不能用l 式直接计算加热功率，对r p 变化列加热功 率的影响作如下估计： 堡：2 坐+ 垫：f 上一型型堑1 2 ) d r p ( 2 4 4 ) pj r p、r pr s r p r t + q + r p 。 j 测量巾热敏电阻的最大温升4 k ，r p 的最大变化为1 3 0 欧姆。按式( 2 4 2 ) ， ( 2 - 4 3 ) 求r p = r b 处功率的值，功率最大相剥误差小于2 ，因此可以认为脉冲加 热过程中功率恒定。 塞坠结基丛过：淦 在运用式( 2 - 9 ) 和( 2 - 1 0 ) 求解导热系数的数值拟合时，须预先得到热容 量p c 的数值。在实际测量中有叫没有热容量p c 的准确数据，在实验巾可以选 取一个参考值进行计算。对热容量误差对结果的影响分析如下：从理论解式( 2 8 ) ， 若不考虑其它误差闪素，可得p ea = k 3 ，即k 的误差只有p c 误差的1 3 ，可见参 考的热容量误差引起导热系数的误差比热容量自身的误差要小的多。对很多生物 组织，根据c h a t o l 4 , n 1 的实验数据，离体组织的热容量误差为1 0 ，则导热系数 的误差不超过3 5 。 作为对实验设纠的验诃! ，表2 1 为几种无机样品导热系数的测量结果。在测量 粘性较小的流体( 如纯水) 时，由丁温升扰动，产生对流作用引起测量误差。在 实验中可以通过调节v p 和r p 改变加热功率减小对流的影响，提高测量的准确 性。测量结果表明，其误差小丁二3 。另外，我们对一些柔性固体( 如硅橡胶， 泡沫塑利) 进行测 【，n l 足测量误茇很人。，】! 幔原因足山1 二热敏i 【l | j u j 破测介质 巾同科学技术人学坝i j 学位论文f 2 0 0 2 ) 张海峰 难以紧密接触，因此产! i ! 较犬的接触热阻。 表2 - i 3 0 0 k 标准样品的导热系数( 已知i 热容屋p c ) 测最值w - m k推荐值1 4 “w m k相对误差 甘油0 2 9 00 2 8 80 4 已二醇0 2 6 40 2 6 01 5 纯水0 6 2 00 6 0 32 8 表2 - 2 是为新鲜离体猪肉的测餍结果，山j 二样品的热容最无法直接得到，因 此测量结果k 3 p c 以形式。对同一样。记测量1 0 次，计算平均值和标准差。对于猪 瘦肉和肥肉的热容量取估计值2 10 5j k g 一1 m 3 1 1 ，25 | ，导热系数分别为0 4 6 0 4 9 ， o 1 9 o 2 1w m k ，与文献中的推荐值很接近。 表2 - 2 3 0 0 k 离体生物组织的k 3 p c 测量结果( w 2 k 。2 s 1 ) 测量值( 1 0 。9 ) 猪瘦肉13 74 4 12 1 猪瘦肉23 8 2 3 1 2 4 猪肥肉3 6 3 1 ：l 0 1 7 利用热敏电阻尺度很小的优点，可以测量、 ，径为m m 级的小样品。对j 二某蝗 取样较困难的生物组织( 如血管) ，仍然能有效地测量。 由于本方法测量时直接能计算的结果是k 1 p c ，必须以热容量已知为条件， 或者用其它方法获得，这是一个不足之处。具体应用时若无法精确测量热容量， 可以参考被测量介质的热容量，导热系数或热惯性的数值。 m 平1 学 术人学 | ；| i 学位论史( 2 ( 1 0 2 ) 张海峰 2 4 本章总结： 本章主要工作足对t p d 测量活体生物组织的导热系数和衄流灌注率的实验 作必要的准备工作。通过别测量理论的分析，多参数拟合的算法剃误差的汁算， 为生物活体测量提供必要的准备。列标准样品的导热系数测量实验结果表明测量 误差 a ( 3 _ z ) ，2 加、 7 ，口。、 ”、 7 边界条件和初始条件为： 口，= 0 ，t = 0( 3 - 4 ) 既= 0 ，t = 0( 3 - 5 ) 孥：o 删( 3 - 6 ) o r i c 3 护j , = - k r n 等，r _ a p 7 ) 以= 以，r 2 a( 3 - 8 ) 口。= 0 ，r 一一 ( 3 - 9 ) 控制热敏电阻温升的控制条什为： 中同利学披术人学坝i 学位论文( 2 0 0 2 ) 张海蜂 们1 2 嘉p 刀2 巳西 ( 3 。0 ) v a l v a n o 和b o w m a n 运川l a p l a c e 变换法求得温度场分布的商阶近似解： 缈，= 等t 亲赢+ 扣争瓦高+ 譬吲与髻1 t 一事焖 ( 3 1 1 ) ，) _ 矗 e x r p i 2 ( 1 - r 卅罨裹铲) + 丽习f a f ( 丽t ) + j 丽f l a 2 f ( 写t ) ( 3 - 1 2 ) 其中参数z = ( 肛) 6 w 2 k 。 求解过程中忽略了代谢热q m 的影响，对结果的影响不大。对式( 3 - 1i ) 按 式( 3 - 1 0 ) 积分，可得： 挑罟t 志+ 争d 券+ 等c 未与+ 如， f 3 1 3 1 由于实验中温升a t 控制为常数，一i 二式中与时问相关的项必为零，所以有： 面3 k ( x 暴a 而+ 等k 【烈+ 扣。 ( 3 1 4 ) ，。) 2 ( 1 一z ) 。3 惫。( 1 一z 7 2 ) 。1 5 1 。 、。1 。7 等【志3 k 1 南1 5 珊 ( 3 _ 1 5 ) 五。，( + z ) 1、 令有效导热系数 讲= 女。，( 1 + z ) ，l | 上述结果可得： 2 函丽看丽( 3 - 1 6 ) w = c 等讪2 南 限 求解放热量时，对于离体组织，即w = o ： 主旦塑堂垫查盔堂堡! ! ：堂堡鲨兰! ! ! ! 型些塑堡一 对于活体组织w o 州，对q = r + pf ( t ) 的l a p l a c e 变换结果求其逆变换非 常困难。所以，假没m 流灌注对放热率q = f a - pf i t ) 的影响主要是f 和p ，而不 是“t ) ，所以仍然刚c h a t o 求解得到的7 侈式： f ( t ) _ e x p 【一】1 - 1 12 _ 【 1 12 e r i c 等r 2 ( 3 - 1 8 ) 庀。fm ” v a l v a n o 和b o w m a n 对传热模型的理论解，在测量导热系数、热扩散系数和 血流灌注率的结果与实际情况相符合。具体的测量过程如下： 离体测量： 1 ) 提供热敏电阻探针一个稳定的f 均温_ 丁| a t ； 2 ) 记录维持功率随时问的变化： 3 ) 由q = f + 1 3 t i 彪作线性回归，求得r 和d ； 4 ) 由式( 3 1 6 ) 计算k 。； 5 ) 由式( 3 - 1 4 ) 计算a 。 活体测量： 1 ) 提供热敏电阻探针个稳定的平均温升a t ； 2 ) 记录维持功率随时问的变化； 3 ) 由q = f + 1 3 t 加作线性回归，求得r 和b ： 4 ) 由式( 3 1 6 ) 计算k e t r t 5 ) 由式( 3 - 1 7 ) 计算w ； 6 ) 由q = f + 1 3f ( t ) t l 算 i ；r 和p ，f ( t ) d f j ( 3 - 18 ) 给 j j ； 7 ) 重复步骤4 ) 6 ) ，至r e n - 干l lw 的姗达到稳定。 登盔鎏 将球形热敏电阻作为均匀内热源的发热球体，在稳定的功率p 作用下，产生 稳定的温升a t ，利用维持功率和温升的关系可以得到被测介质的导热系数。 记热敏电阻半径为a 、体积为v ”导热系数为k p 、周围待测介质导热系数为k 。 假设：测试前，探头与被测介质处于热平衡状态；二者之问没有接触热阻：在测 试过程中探测头的a 和k 。保持不变；探头加热后产生的内热源均匀分布。稳态 时其热敏电| i n 消耗功率为p ，则探头内部温s 10 。和f ! f 测介质的温列0 。分别满足 尘! ! 型堂丝查! ：! ! ! ! ! 竺丝堕苎! ! 竖生堕笪竺一 。f 列控制方程利边界条1 ，| ： 妒”毒古a 仔1 9 ) v 2 吼= o ， r a( 3 - 2 0 ) o 。= 曰。， r 2 a ( 3 2 1 ) ，誓巩，盟o r ，p a ( 3 - 2 2 ) 0 0 v ：o ，r=o(3-23) 巩= o ， r 一。 ( 3 - 2 4 ) 上述问题的解分别为 咿丽p 。气1 “k m 。、2 _ r 2 ) + 予 ( 3 - 2 5 ) 巩= 去； ( 3 - z a ) 式中r 为圆球径向空间坐标，山于实际测得的温升a t 为探头的体积平均温升， 故 批毒卜以如乇唼，+ 寺 睁z ， 即 寺2 4 嬲下a t 一瓦1 ( 3 - 2 8 ) 七， j p 5 七。 、 。 可见，若已知探头的a 和k 。，则可通过测量探头的温升= i t 和消耗功率p ， 由式( 3 2 8 ) 求得被测介质的导热系数k 。 对于生物活体测量时，测量结果微有效导热系数l ( e i r 寺叫删(atkp ，。一击5 k b z ， r 、 p 、 7 ，l ：物活体的导热系数测f i ：同样屉雨琵n c i 热物中l ：参数。宦体珊t ，i - 物i 耋 | 织i 舌| 有 司学技术人学坝l j 中化论( 2 0 0 2 ) 张海峰 导热系数和血流灌。p a t e l ，a n d e r s o n 等 1 2 , 15 1 认为m 流灌注与有效导热系数和固 有导热系数之差存在线性关系 w = c ( 女一k ，)( 3 - 3 0 ) 上式中c 为比例系数，通常通过标准实验标定得到。可见，在测定生物组织 在活体和离体条件下的导热系数可确定其m 流灌注率。 由式( 3 - 1 1 ) 和( 3 - 2 5 ) 的结果可见，稳态法测量导热系数实际i i 足等温加 热法的在加热时间较长足n 0 。个特例。f ：述理论分析可知，稳态法在测景组织 的导热系数时对操作简单易行，而f 图根据热敏电阻的温度特性，可以推广至不 同的温度下使用。以下是i j 稳态法测量低温下生物组织导热系数的实验研究。 竹沦妒( 2 0 0 2 ) i k 渐峰 3 2 低温下生物组织导热系数的测量 i 匿渔塞验送备 前述的测量理论巾，需要测量前待测组织的温度均匀分前几在常温下，测量所 需的条件易于满足，但是在等温条件下，必须用特定的恒温设备通过测量所需的 环境。实验所需的等温恒温条件i i ji c e c u b e 程序降温仪提供。i c e c u b e 的测温精 度0 0 1 k ，控温范围8 0 3 3 0 k ，控温精度为+ - - 0 0 3 k ，同时还可以具有测定样品 相变温度的功能。 垫筮电阻逯趔测墨 将直径约o 5 m m 的珠状热敏电阻，用环氧树脂固定在外径0 6 m m 不锈钢细 管的一端，让热敏电阻的两根导线( 漆包铜线) 从钢管中穿过，即构成探测头， 结构如图3 1 所示。测量时，先将探头插入被测介质中，再把探头的两根引线与 置于探测器外部的测量电路( 图3 2 ) 相接。 图3 - 1 热敏电阻探测器结构简图 ( 1 ) 热敏电阻( 2 ) 环氧树脂( 3 ) 引线( 4 ) 不锈钢管 r ， r l y i v2 图3 2 测最i u 路酗 v 。商流稳压源r 。热敏电阻r s 标准电阻 中圉科学技术太学硕l 学位论j ( ( 2 0 0 2 ) 张海峰 型量过程 测量电路如图3 2 ，图中r 。为热敏电阻，r s 为可调节的标准电阻， v 。为可 调直流稳压电源。测量所有的稳压源精度为0 0 5 ，测量电压和电阻的仪表分辨 率分别为1 “v 和o o 1 0 。先测出未加热时稳态下热敏电阻的初值r p 0 ，然后以一 定的直流电压施加在探头上，测量其达到稳定时的端电压v l 和v 2 ，由测量电路 可知，阻值艮以及加热功率p 分别为 r 。= ( k v 2 ) r v ： ( 3 - 3 1 ) p = ( k 一吒) v r s ( 3 - 3 2 ) 热敏电阻阻值r 。与温度t 的关系为5 】 彤碣0 e x 朋( ；一寺) 】 式中t 和t o 分别为热敏电阻值r p 及r 却对应的温度值， 式( 3 3 3 ) 可得温升a t = t - - t o 为 扑等- 噜， ( 3 3 3 ) 1 3 为热敏电阻系数。由 ( 3 3 4 ) 在测量实验中控制探头温升, d t 一3 k ，这时可将式( 3 3 4 ) 简化为 挑吾噜， 9 ，s ， 由测量电路，在稳压源作用下，热敏电阻受热温升，阻值下降，耗散功率随 时间变化。由理论计算确定热敏电阻耗散功率达到稳定的时间非常困难。对不同 样品的测量表明耗散功率达到稳定的时间约3 0 9 0 秒，被测介质导热系数越大， 时间越短。可见，本方法可以在较大的时间内完成导热系数测量。 垫敛电阻丞邀b ：厘圭径塑昱热丕数k 鲍拯定 ( 1 ) b 的标定 标定在i e e c u b e 程控降温仪内进行，在2 2 3 3 1 3 k 范围内由降温仪设定平衡 温度t ，相应地测量该温度下热敏电阻的阻值r p ，t 和砩的测量值示于图3 - 3 。 通过数据拟合由式( 3 3 3 ) i - i 。算出系数1 3 ，图3 3 中光滑曲线为拟合的曲线，获 得1 3 = 3 4 1 4 k 。 m ji 一亨技术人学烦 j 学位论3 z ( 2 0 0 2 ) 张海峰 l m e a s u r e d v 酬u ei l f i f f e d c u r l 2 2 32 3 32 4 32 5 32 6 32 7 32 8 32 9 33 0 33 1 3 t e m p e r a t u r e k i 埘3 - 3 热敏电阻r 一1 的实验曲线 ( 2 ) a 和k 。的标定 我们选用导热系数已确推荐值的甘油和纯水一琼脂混合溶液( 含1 5 w t 琼 脂) 1 1 , 4 6 1 ，作为在常温下柄、定a 和k 。的标准样品。标定过程中，调节对热敏电 阻的加热功率2 5n l w ，他其温升3k 。每个样品测量1 2 次，取中间1 0 次取 平均值作为t p 的测冕值。表3 。l 列 u2 9 3k 下对探测头a 和k 。的标定结果， a = 0 2 4 4m m ，k p = 0 2 0 8w i m k 。 表3 - 1 热敏电 ； l 探测头a 和k 。标定实验数据( 2 9 3 k ) 标准样一1 i 汕水琼脂溶液 导热系数( w i n k ) t p ( k w ) i t p 重复性( ) 0 2 8 6 1 4 6 7 0 4 0 5 9 6 8 7 3 7 o 6 a ( r a m ) 02 4 4 生! ! ! 唑! ：! ! ! 窒温王的显垫丞数捌量 在标定系数p 、探头a 利k 。的基础上，通过实验测量待测介质的z l t i ，即可 出式( 3 2 8 ) 得到被测介顾的导热系数。为检验本方法的精度及可靠性，先对几 种文献中已有推荐值例的：准样品进行实验测定。结果列于表3 2 ，最大误差2 。 对于生命器官的甘热系城，于测髓结果j 取样和测鼠时问不同差异较大， 一 ：f；旨；帖帅弘站侣伸o o ：工。卫8c日苗zo芷 中同利学技术人学硕i 学位论史( 2 0 0 2 ) 张海峰 月前没有恰当的推荐值，我们用建立在瞬态传热模型上的热针法1 2 8 对尺度相对 较大的样- 铺同时进行测量，以作比较。表3 3 列出了对几种生物材料的测量结果， 两种测定方法的相对偏差小j 二4 。 表3 - 2 室渝2 9 3 kl 、标准样晶的导热系数( w i n k ) 表3 - 3 室温2 9 3 k 下儿种生物利糊的导热系数( w m k ) 2 3 3 = 31 3k 王昱垫丕数测量 在2 3 3 3 1 3 k 的范围内，假设a 汞ik 。不随温度变化，即仍用常温下的值， 利用本方法测最k , - - 醇溶液和冰与冰的导热系数。其结果分别列于表3 - 4 和表3 5 中，与推荐值【6 1 1 8 1 的最大偏差分别为2 6 年1 15 1 。 表3 - 2 3 5 的测量结果与标准样品的推荐值比较表明，本方法精确可信。j e 是在这个基础上，我们测定了家兔的若下新鲜“离体”器官在2 3 3 2 9 3 k 下的 导热系数，其结果列于表3 - 6 。测量值随温度变化的规律与水和冰导热系数的变 化规律绘于图3 - 4 。 表3 - 4 乙二醇4 6 4 w t 在2 4 3 3 1 3 k 下导热系数( w ，m k ) 温度k3 1 33 0 32 9 32 8 3 2 7 32 6 3 2 5 32 4 3 推荐值【4 6 0 4 3 00 4 3 00 4 3 00 4 3 0 0 4 3 00 4 3 0 0 4 3 00 4 3 0 相对误差( ) 1 9 i41 4 0 202 6 1 62i r i , 俐科。、 拙术人学坝i j 学位论z ( 2 0 0 2 ) 张海峰 表3 - 5 水平冰仡2 3 3 2 6 3 kf - 导热系数( w m k ) 表3 - 6 家兔新鲜离体器官n ：2 3 3 2 9 3 kf 的导热系数( w m k ) 为了防止器官在测量过程中失水，实验中将它们置于可密闭的容器中测定。 对于直径细小的兔颈动脉j i l l 管，先用滤纸将其表面的液体吸干，然后连同已插入 的探测头一起塞入直径约1 0 m m 的玻璃容器| = i 密封测量。 在对生物器官的实验过程中，利用i c e c u b e 的功能，实验巾还测得了器官的 相变温度约为2 6 6 2 7 3 k ，因此图3 - 4 中的连续曲线在2 6 3 2 7 3 k 之间只表示导 热系数变化的一个趋势。剥于颈动脉血管，山于其尺度很小r 直径约3 r a m ) ，且为 多层复合介质，对其导热系数的测量结果可以看作各方向的平均值。从测量结果 不难发现：( 1 ) 不同器官的导热系数随温度变化的规律相似。( 2 ) 器官的桐变温 度为2 6 3 2 7 3 k ，在相变温度以下，导热系数随温度降低显著增加。( 3 ) 生物器 官的导热系数与纯水和冰年 | 比相差很大，但它们随温度变化规律相似。 2 3 32 4 32 5 32 6 3 2 7 32 8 32 9 3 t e , m p o r a t t l r e ，k 图3 - 4 器官m2 3 3 2 9 3k 温区导热系数变化 3 6 “他伸 )i|茸!芑npuoo 司科学技术人学彤! f 。学位论殳( 2 0 0 2 ) ! i ：海峰 3 3 误差分析 企透直醒屋廑 实验所用的热敏电阻的半径为0 2 5 o ，5 m m ，温升4 ，所以热源的影响 区域较小，一般的被测量介质较易于满足测量模型的要求。对某些被测样晶，由 于其尺度较小，不能满足传热模型, t 1 无穷大介质的条件，必须考虑有限尺度引起 的误差。假设被测量介质为一球休，半径为b ，k m ，周围环境的导热系数j , jk 。， 图3 - 5 为传热模型图。热敏r u 、介质和环境的温升0 ，0 。，0 。满足下列控t 1 。q 力 程和边界条件： 俨郇+ 毒= 。 ( 3 - 3 6 ) v 2 & = 0( 3 3 7 ) v 2 眈= 0( 3 - 3 8 ) 口，= 以，i o o p = 女。i 0 0 i , ，= 口 ( 3 3 9 ) 以，：o o , 丸孕：t 娑，；6 ( 3 - 4 0 ) o r 佛= o ，r _ 0 。警：o ，r ：o 卯 上述问题的解为： 啡= 去亡一，2 ，+ 等扣一触 以= 去c 苦如一秘 见= 去吾 ( 3 4 i ) ( 3 - 4 2 ) ( 3 4 3 ) ( 3 - 4 4 ) 实际测量时求解导热系数k 。仍然川，( 3 - 2 8 ) ，川0 。带入，弋( 3 2 7 ) 小求 尘! ! ! i ! 堂丝查叁堂型! ! 竺! 型垒塑型翌型- ! 堕型生一 出热敏电阻的平均温升，整理结果如一f ： a 侧等一击= 扣詈+ 移。古 p 4 5 ， 式中k + 为实际测鼠值，测屉十丌刘+ 误差为： 丛：竺蔓p 。， k m 1 十r 蔓一1 1 1 。 b 可见误箍与b a 和k j k 。彳丁关，图3 - 6 足k 。= o 4 时，不同的b 和k c 引起的误 差曲线。绝大多数的生物组织，导热系数在0 2 2 0w m k 范围内川，所以对有效 半径小于2 0 倍热敏电阻半径的生物样t 选择不同导热系数的生物保护液或培 养液中作为待测样品的外围环境可以有效地减小测量误差。 零 k 呈 l 工i 1 021 61 8 2 0 图3 - 5 介质有限尺度的传热模型 图3 - 6 介质有限尺度引起的误差 缝熊热匿 在稳态条件下，热敏电阻表面与样品的接触间隙6 ，导热系数k a ，该传热问 题的解同式( 3 - 4 2 ) ： 驴去c 嘉一，2 ，+ 孚+ 争 b 4 ， 带入j = ：l = ( 3 2 7 ) ，j l i ! l 川川f ! j 吱m i 的测 ；1 ：值k + 为： 中用什，投忙人学顾 学似沦史( 2 ( j 0 2 ) 张海峰 坐： 七。 ( 3 - 4 8 ) f 3 4 9 ) 若接触面为空气，山- j ：空气导热系数较小( k 。= o 0 2 6 ) ，必然引起较大的误 差。因此本方法对柔性不好的周体是不适用。对：匕物体，由于生物体组织液或体 液的渗透作用将热敏电m l 包n j ，而n 组织液的导热系数与组织较