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太原理工大学硕士研究生学位论文 基于压缩传感技术的图像重建 摘要 奈奎斯特采样定理规定了采样频率大于等于信号最高频率的2 倍才能 避免采样的信号对原信号的失真。近年来通信领域不断发展伴随着信息处 理量扩增，这就要求我1 i 7 3 1 1 强对信号处理硬件方面的能力。然而提升硬件 终究不是有效的方式。2 0 0 6 年，由c a n d e s 博士和美国斯坦福大学的d o n o h o 院士等人提出一种新理论一压缩传感理论。该理论给从事通信研究的研究员 一种新的思路。压缩传感理论将采样与压缩合二为一，颠覆了传统的奈奎 斯特采样定理，因此该理论直接的解决了对通信领域日益严重的硬件需求 问题，同时又对信号中的关键信息做到有效的提取，保证信号的一系列传 输、重构处理的准确性。 本文主要完成以下工作： 1 学习了压缩传感的基本原理，分析了图像重建的具体步骤，重点对 测量矩阵和重构原理以及重构算法内容分别进行了探索性研究。对于小波 变换、d c t 变换、多小波变换和双树复数小波变换分别作稀疏先验性的压 缩传感图像重建结果进行了比对，进行主观、客观质量评价。 2 本文利用多小波变换作为图像的稀疏表示，选取高斯随机矩阵以及 贝努利随机矩阵当做测量矩阵，重构算法利用正交匹配追踪算法，提出多 小波变换和正交匹配追踪算法相结合的图像重建方法，并对其进行了实验 仿真，实验结果表明了该方法比其他方法在图像重建方面有较大提高。 3 本文利用双树复数小波作为图像的稀疏表示，在原始图像线性投影 太原理工大学硕士研究生学位论文 测量过程中选取高斯随机矩阵作为测量矩阵，重构算法利用迭代阈值收缩 算法，在重建信号过程中本文利用问题转化原理，将约束条件下求解最优 稀疏表示的问题转化为最优化问题，寻找最优值利用迭代的方式，提出双 树复数小波变换和迭代阈值收缩算法相结合的图像重建方法，通过仿真， 实验结果表明了该方法同样有效。 关键词：压缩传感，多小波变换，图像重建，双树复数小波变换，迭 代阈值收缩 太原理工大学硕士研究生学位论文 i m a g er e c o n s t r u c o nb a s e d0 n c o 巴r e s s i v es e n s d 叮gt e c h n o l o g y a b s t r a c t n y q u i s ts a m p l i n gt h e o r e mp r o v i d e st h a t ，i no r d e rt oa v o i dt h ed i s t o r t i o no f t h es a m p l i n gs i g n a la n dt h eo r i g i n a ls i g n a l ，s a m p l i n gf r e q u e n c ym u s tb e2t i m e s g r e a t e rt h a n o r e q u a l t ot h em a x i m u mf r e q u e n c y i nr e c e n ty e a r s ，t h e c o m m u n i c a t i o nf i c l di s d e v e l o p i n gc o n t i n u o u l y w i t ht h ea m p l i f i c a t i o no f i n f o r m a t i o np r o c e s s i n g ，s t r e n g t h e n i n gt h ea b i l i t yo fs i g n a lp r o c e s s i n gh a r d w a r e h a sb e e nr e q u i r e d h o w e v e r , u p g r a d i n gh a r d w a r ei sn o tav a l i dw a ya f t e ra l l 。i n 2 0 0 6 ，an e wt h e o r y , c o m p r e s s e ds e n s i n gt h e o r y , w h i c hi sp r o p o s e db yd r c a n d e sa n dd o n o h oa c a d e m yo fs c i e n c e si ns t a n f o r du n i v e r s i t y , g i v e san e w i d e at ot h er e s e a r c h e r se n g a g e di nc o m m u n i c a t i o nr e s e a r c h c o m p r e s s e ds e n s i n g t h e o r yc o m b i n e ss a m p l i n ga n dc o m p r e s s i o n ，a n db e s i d e s ，s u b v e r t st h et r a d i t i o n a l n y q u i s ts a m p l i n gt h e o r e m s ot h i st h e o r yd i r e c t l ys o l v e st h eg r o w i n gh a r d w a r e r e q u i r e m e n t si nc o m m u n i c a t i o nf i e l d ，a n db e s i d e s ，e f f e c t i v e l ye x t r a c t e dt h ek e y i n f o r m a t i o no ft h es i g n a la n de n s u r ei t sa c c u r a c yi nas e r i e so ft r a n s m i s s i o na n d r e c o n s t r u c t i o np r o c e s s i n g t h ef o l l o w i n gw o r ka r em a i n l yc o m p l e t e d ： 1 t h ep a p e rr e s e a r c h e st h eb a s i ct h e o r yo ft h ec o m p r e s s e ds e n s i n g ， a n a l y z e st h ec o n c r e t es t e p so fi m a g er e c o n s t r u c t i o n ，p l a c e se m p h a s i so nt h e i i i 太原理工大学硕士研究生学位论文 m e a s u r e m e n tm a t r i xa n dr e c o n s t r u c t i o no ft h e p r i n c i p l ea n da l g o r i t h m i t c o m p a r e sa n de v a l u a t e st h er e s u l t sf r o ms u b j e c t i v ea n do b j e c t i v es i d e st h a tt h e w a v e l e tt r a n s f o r m ，d c tt r a n s f o r m ，m u l t i w a v e l e tt r a n s f o r ma n dd u a l t r e e c o m p l e xw a v e l e tt r a n s f o r ma r et a k e n r e s p e c t i v e l y a sa s p a r s ep r i o ro f c o m p r e s s e ds e n s i n gi m a g er e c o n s t r u c t i o n 2 t h i sp a p e rp r o p o s e sai m a g er e c o n s t r u c t i o nm e t h o db a s e do nm u l t i w a v e l e tt r a n s f o r ma n dt h eo r t h o g o n a lm a t c h i n gp u r s u i ta l g o r i t h mb yu s i n g w a v e l e tt r a n s f o r mf o ri m a g es p a r s er e p r e s e n t a t i o n ，c h o o s i n gg a u s sr a n d o m m a t r i xa n db e r n o u l l ir a n d o mm a t r i xa st h em e a s u r e m e n tm a t r i xi nt h eo r i g i n a l i m a g el i n e a rp r o je c t i o nm e a s u r e m e n tp r o c e s sa n du s i n go r t h o g o n a lm a t c h i n g p u r s u i ta l g o r i t h m t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h ee f f e c t i v e n e s so ft h e m e t h o d 3 t h i sp a p e rp u t sf o r w a r dai m a g er e c o n s t r u c t i o nm e t h o db a s e do n d u a l t r e ec o m p l e xw a v e l e tt r a n s f o r ma n di t e r a t i v et h r e s h o l d i n ga l g o r i t h m ，w h i c h u s e sd u a l t r e ec o m p l e xw a v e l e ta st h ei m a g es p a r s er e p r e s e n t a t i o n ，c h o o s e s g a u s sr a n d o mm a t r i xa st h em e a s u r e m e n tm a t r i xi nt h eo r i g i n a li m a g el i n e a r p r o j e c t i o nm e a s u r e m e n tp r o c e s sa n da d o p t s o r t h o g o n a lm a t c h i n gp u r s u i t a l g o r i t h m b e s i d e s ，t h ep a p e rt r a n s f o r ms o l u t i n go p t i m a ls p a r s er e p r e s e n t a t i o no f t h ep r o b l e mi nc o n s t r a i n tc o n d i t i o n si n t o f i n d i n go p t i m i z a t i o np r o b l e mi n i t e r a t i o nu n d e rc o n s t r a i n tc o n d i t i o n sb yu s i n gt r a n s f o r m a t i o np r i n c i p l ei nt h e r e c o n s t r u c t e ds i g n a lp r o c e s s t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h ee f f e c t i v e n e s so f t h em e t h o d i v 太原理工大学硕士研究生学位论文 k e y w o r d s ：c o m p r e s s i v es e n s i n g ，m u l t i w a v e l e t ，i m a g er e c o n s t r u c t i o n ，t h e d u a lt r e ec o m p l e xw a v e l e tt r a n s f o r m ，i t e r a t i v et h r e s h o l dc o n t r a c t i o n v 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 1 研究背景 第一章绪论弟一早三百v 匕 奈奎斯特( n y q u i s t ) 采样定理表述如下：信号的采样速率至少是连续信号带宽的二 倍才能保证采样点包含足够信息以实现精确重构。在过去通信领域，对于信号的采样以 采样定理( 又称抽样定理) 为依据。它最早出现在1 9 2 8 年，由通信领域导师一h 奈奎斯 特最先提出。直到1 9 4 8 年，由克劳德艾尔伍德t 香农( 美国数学家、信息论的缔造者) 对此定理进行阐述并正式发表，所以可将其称为香农定理。 采样定理尽管在信息获取、传输及处理方面是过去通信领域的核心定理，但是它确 实也带来了一系列问题：首先，在信号获取及处理方面，若要对单个( 幅) 信号图像进 行采样，则所用的采样硬件设备成本昂贵且在获取信号图像时比较费时。一旦运用于实 际，例如，空间探测、超宽带通信、超宽带信号、磁共振成像等等，大多数情况下无法 实现。其次，若要对数据进行存储和传输，按照奈奎斯特方式应该先对数据进行采样， 第二步对采样的数据进行压缩，第三步才能将压缩后的数据存储或传输，这样的步骤必 然造成信号处理过程的资源浪费。在这样的形式下，若要想通信领域在一定时期内有较 大的发展就应该研究一种新的方式，它可以打破奈奎斯特采样定理的限制，是信号采样、 传输、处理过程新的改革。 2 0 0 6 年，一种新的理论- 压缩传感( c o m p r e s s i v es e n s i n g o rc o m p r e s s e ds e n s i n g , 简 称为c s ) 【1 【2 】在信号处理领域诞生。压缩传感原理具体表述如下：当一个初始信号是可 稀疏的或者通过某种变换可以稀疏表示，则可以选取适当的重建算法，通过获取少量测 量值( y = 呶= 甲口) ，即可对原始信号进行精确重建。这种新的理论由d d o n o h o ( 美 国科学院院士) 、e c a n d e s ( r i d g e l e t ，c u r v e l e t 创始人) 及陶哲轩( 华裔科学家，2 0 0 6 年 数学最高荣誉“菲尔兹奖”获得者) 等人共同提出。它不同于传统的奈奎斯特采样定理， 它对信号的重建时，采样点明显少于奈奎斯特所要求的采样点数，不仅有效地精简采样 信号的复杂度，而且节约了信号采样整个过程的时间。在实际应用当中压缩传感理论可 以降低采集系统的硬件成本，通过选择不同的重建算法其重建速度和重建质量均有所不 同。 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 2 课题的研究概况 压缩传感理论的提出并不是对奈奎斯特定理的否定，压缩传感理论通过一先验条件 ( 信号具有稀疏性) ，从比奈奎斯特抽样率少得多的观测值中重建初始信号。表面上看 它是对奈奎斯特定理的否定，实则是对奈奎斯特定理的加强。压缩传感过程中信号的所 有特征信息均被检测到了，所以压缩传感是一种全局信号采样方式，相比之下奈奎斯特 采样则是局部信号采样方式。 过去的信号采样过程是先对信号进行采样，再对信号进行压缩，这是两个不同的独 立步骤。将信号的采样与压缩合二为一同步进行则是压缩传感原理的优势。通过随机投 影方式建立重建所需的观测值，这样在采样时就完成了压缩。经传输以后在信号的接收 端得到重建的测量值，再通过图像的先验知识和凸优化问题得到原始信号。对于自然界 的各种信号，压缩传感理论能做到在处理信号时较大幅度打破奈奎斯特采样定律的限 制，给采样、传输和处理过程带来方便。 压缩传感原理包括以下三个方面：信号的稀疏性先验条件、重构算法以及测量矩阵。 信号的稀疏性( s p a r s i t y ) 由初始信号与压缩传感系统统一决定，信号的不相关性 ( i n c o h e r e n c e ) 则只与初始信号本身有关。这两个特性是实现压缩传感的必要条件。 1 2 1 稀疏性研究概况 图像稀疏的表示为后续图像处理的研究提供了便利。随着社会的不断发展，对海量 数据的有效处理上体现出很明显的优势，尤其在减少用以存储、处理数据所消耗的硬件 开销方面。除此之外，图像的稀疏表示还可彰显图像本身的特质。在图像压缩中，图像 的稀疏表示具体体现为待压缩图像的致密性。对人类视觉系统而言，当看到某个典型的 画面时，这种致密性则能够在视觉神经元被激活较少时很好地把握该画面的本质。 图1 1 展示了信号稀疏表示发展过程。傅立叶变换是最早的表示方式，它是信号表 示的基础。随后小波变换的提出彻底改变了傅立叶变换对于信号表示的垄断局面。由于 拥有良好的频域局部特性，小波变换【3 】成为新一代静态图像编码标准j p e g 2 0 0 0 的核心 基础理论。但是，小波仅仅只适合于对一维信号进行稀疏表示，对于二维乃至高维信号， 小波变换则无法满足。因为面对高维信号，即使小波变换能够表示出信号，但是它无法 达到最优性或最稀疏性。并且小波变换还存在以下缺点：在水平方向、垂直方向、对角 方向方向性有限；人眼的定位感知性无法存在；面对本身不连续、多点奇异乃至部分性 太原理工大学硕士研究生学位论文 奇异的非低频信息无法达到最优性。为了实现对非低频信息的整体逼近，我们需要寻找 可以对非一维信息的有效表示方法。 图1 - 1 信号稀疏表示发展图 f i g u r e1 - 1d e v e l o p m e n td r a w i n go f s p a r s es i g n a lr e p r e s e n t a t i o n ， b r u n o 于二十世纪九十年代初发表了一篇关于生物眼球对特定事物的灵敏度方面的 文掣4 1 ，从中提出了图像稀疏表示可以具有方向性。之后通过这一理论，学术界相继出 现了许多成功的图像稀疏表示方法。c a n d e s 于1 9 9 8 和1 9 9 9 年相继提出脊波变换【5 】和由 脊波变换理论衍生而来的曲线波变换6 1 。v e t t e r l i 于2 0 0 3 年提出了轮廓波变换【刀。轮廓波 变换同曲波变换一样有着各向异性的特点，相比曲波变换，它有沿着图像轮廓边缘用极 少的方程系数来逼近信号的特点。多尺度几何分析【8 l 则是在2 0 0 3 年的洛杉矶纯粹与应用 数学会议上被正式命名，它是新的稀疏表示方法的统称。它克服了针对小波变换有限方 向性的不足等缺陷，更一步推进了图像稀疏表示的发展。多尺度几何分析是一种新的函 数表示方法，它可以使信号在高维情况下，不仅较好地利用信号本身的特性，还可以对 某一类特定信号达到最优逼近。一般情况下，每一类信号处理的方式都有针对某一类信 号的优点，无法做到统一其他类型信号。例如：小波变换适合用在点奇异性和斑点特性 的二维图像上，脊波变换适用于拥有直线或超平面的奇异特性信号进行近似完美的逼 近，曲波变换适用于曲线性奇异特征的信号，轮廓波变换则可以更好的体现信号的轮廓 特性，对图像多方向进行分解，通过滤波器沿着图像轮廓边缘用最少的系数来逼近，适 用于二维及多维信号。多尺度几何分析方法是2 0 0 5 年才提出的一个新的概念，相关的 数学推导及重建算法还处在研究阶段，在这两年中相继又提出许多新的变换及算法。如 今它在图像压缩、图像融合、图像去噪、特征提取、模式识别等方面已经展现出较强的 优越性，国内外的信号专家对它也评价颇高，它的出现推动了图像处理等学科的发展。 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 2 2 不相关性研究概况 为了更好的重构原始信号，科学家们给出并证明了一系列相关理论。c a n d e s 和t a o 指出，对于任意的稀疏信号工，利用测量矩阵得到m n 的量值y = 嘶= 中甲口，通过 适当的重构算法则可从测量值y 中寻找出最优稀疏系数向量，其中，测量矩阵满足限制 等距性r i p ( r e s t r i c t e di s o m e t r yp r o p e r t y ) 【8 】，同时确保测量值y 获取足够多的可压缩原 始信号中的信息。b a r a i u k 指出，r i p 的等价条件为测量矩阵和信号稀疏基不相关，即测 量矩阵不能由稀疏基线性表示。因此我们很难直接构造一个测量矩阵而使得传感矩阵满 足r i p ，但由于稀疏基已知，我们可以通过设计测量矩阵来解决这一问题，自然而然的， 测量矩阵与随机( r a n d o m n e s s ) 这个词就紧密联系在一起了。此外，c a n d e s 和t a o 在文 献 1 】证明了，当传感矩阵为高斯随机矩阵时，传感矩阵更有可能满足r i p 条件，因此测 量矩阵应选择适当的高斯随机矩阵，其中每个元素都满足n ( o 1 加的独立正态分布。 由r i p 的等价条件可知，高斯随机矩阵与任意稀疏信号都不相关，因此测量值获取足够 多的原始信号信息所需要的观测次数较少，但因其所需要的存储空间大，计算过程较为 复杂。 为了能较好的重构原始信号，c a n d e s 和t a o 给出并证明了若存在一信号z 是稀疏的， 通过观察测量呈现m 的测量值y = 慨= y 口，同时观测矩阵m = o ( k l o g ( n ) ) 符 合r i p ( r e s t r i c t e di s o m e t r yp r o p e r t y ) 条件，能够使观察量y 提取够量的初始信号里的 有用部分；最后就可以以一种重建信号的实现算法把稀疏向量口从观测值y 中恢复出来。 b a r a i u k 证明了只要信号的稀疏基甲与测量矩阵存在不相关性就满足限制等距 性，即：稀疏基甲不可以对测量矩阵西线性的表示出来。而设想一类测量矩阵，通 过运算使传感矩阵西= 甲符合r i p 条件，也就是说做到和y 无相关性是不易的。只 是因为稀疏基甲是已知的，要使得面= 中甲满足r i p 条件，就想到怎么样改进测量矩阵 来代替。这样一来，我们才把注意力转移到了测量矩阵是否存在随机性 ( r a n d o m n e s s ) 这方面上。t a o 与c a n d e s 证明了传感矩阵西很大程度上符合r i p 条件 时，总是以高斯的随机矩阵存在。所以我们能够利用一类m n 的高斯随机测量矩 阵当做，它符合n ( o 1 n ) 的独立的正态性分布。我们知道无论什么稀疏信号面对高 斯随机矩阵时均不与其存在相关性，因此当提取巾时，就能够以不多的数值来获取相当 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 多的初始信息。只是由于其所需要的存储空间较大导致计算比较复杂。 显然，能使传感矩阵面满足r i p 条件的不仅仅只有上述的高斯类矩阵，其他常见的 可以做测量矩阵的比如一致球矩阵、二制随机矩阵、部分傅立叶矩阵以及托普利兹矩阵 ( t o e p l i t z ) 【1o 】等等。这里一致球矩阵为的列在球s ”1 面有独立性并且分布一致，若测 量值符合m = o ( kl o g ( n ) ) 时，会有很大可能性对初始信号进行恢复【1 1 】。二制随机矩阵 是说它中各个数值均满足p 口2 夕缶) 2 ，这也就是贝努利随机分布矩阵1 2 1 。 对于从2 d 图像中通过随机矩阵取得测量值的情况，这两年来进展很快，总结如下： 2 0 0 6 年，b a r a n i u k 在文献【1 3 】中分析了置乱型快速傅立叶变换( p f f t ) ，它通过提取 重要的傅立叶方程中的变换域指数当做观测值，对初始信号信息的获取十分丰富。 2 0 0 7 年，c a n d e s 等人共同提出存在于d c t 变换域的置乱型离散余弦变换p d c t 1 4 】。 2 0 0 7 年底，方红等研究员在搭造测量矩阵时，加进亚高斯型随机部分投影，相继研 究出了两类测量矩阵：稀疏型投影测量矩阵与重稀疏型投影测量矩阵1 5 】【1 6 】，通过重稀疏 投影下信号展现出的正态性论证了这两种新式矩阵均可符合压缩传感中测量矩阵的条 件，实验的测试结果也令人满意。 2 0 0 8 年l ug a n 等人相继提出随机块哈达玛组s b h e 与结构型随机矩阵【1 7 】。 1 2 3 重建算法研究概况 近两年来，压缩传感理论在信号与通信领域被许多科研人员重视起来，不仅是因为 它可以将信号采样和信号压缩同步进行，更重要的是人们深信这种理论在将来有着更广 泛的应用。重建算法是压缩传感理论的重要组成部分。着力在重建算法上有所突破是许 多研究人员努力的方向，因为重建算法的性能及其适用性将对后期的信号重建有着深刻 和直接的影响。 对于一般的信号f r ”，假定此信号已通过线性测量，对它实现重构： 一 y 。= ( 厂，依) ，k = 1 ，2 ，3 ，m 或者y = 吖 ( 1 - 1 ) 其中= h ，仍，伊，r 从上式我们可以看出，要想取得厂的信息可以利用应用算子吼r 8 。重建算法的 太原理工大学硕士研究生学位论文 中心问题是假设m 甩，那么原始信号厂r “通过一个线性变换就可以以较少的测量值 来估计。在通信的相关领域，例如编码理论，信号处理等，对于求解这种不确定的系统 方程长期以来是一个难题。在实际应用中，厂一旦被稀疏表示出来( 关于信号的稀疏性 和稀疏表示以及可压缩性等概念将在第二章说明) ，就可通过一个逆变换、王，即厂= 吼 来求解。所以这又是一个稀疏信号重构问题： 即求的一个o w x = y 的稀疏解x 。 其中是测量矩阵，甲是基表示矩阵，y 是测量向量。 针对以上问题，对目前较常用的稀疏信号重构算法归纳如下： ( 1 ) 非凸优化重建算法：用一个相关的非凸问题代替稀疏信号重构问题 1 8 】。 ( 2 ) 凸松弛方法：基本思想是在通过最小值的限制求解一个凸优化问题，通过该问 题建立稀疏逼近。内点法( i n t 耐o rp o i n tm e t h o d ) 1 1 9 1 , 投影梯度法( p r o j e e t e dg r a d i e n t m e t h o d s ) 【2 0 1 均是基于该方法的基础上提出的。 ( 3 ) 贝叶斯框架理论：首先假设一个信号稀疏性的先验分布，然后得出最大化的后 验估计，它们是以观测值及贝叶斯理论为依托。关于该理论的算法可参考文献 2 1 2 2 。 ( 4 ) 贪婪追踪方法：对稀疏解的求解需迭代步骤，在建立最优稀疏逼近的过程中要 求每一次迭代选出一个或多个原子。这些原子均是测量矩阵小的列向量【2 3 】。本文将在第 三章节重点介绍该算法。 ( 5 ) 组合算法：通过一些快速重建算法的结构化采样来实现重建信号，例如傅立叶 采样1 2 4 2 5 1 ，h h s 追踪【2 6 】等。 1 _ 3 压缩传感的应用 压缩传感理论为信号采样提供了全新的视野，现在已经引起信号处理领域的研究热 潮。相比传统的采样定理，压缩传感理论应用前景广泛。目前，在模数( a d ) 信息转 换、压缩成像、生物传感、医学成像等领域都有压缩传感理论的应用。 ( 1 ) 模数( a ，d ) 信息转换 奈奎斯特采样定理对高带宽信号采样必须要求模数 转换器有很高的采样频率才可以获取完整的信息。但是由于硬件的实际条件达不到要 求，所以采样得到的的信号带宽远低于实际信号的带宽，这必定产生信息丢失。近年来， 与压缩传感理论相结合的模拟信息转换器 2 7 】 2 8 1 由k i r o l o s 等人研发成功。基本原理是首 太原理工大学硕士研究生学位论文 先获取原始信号的线性测量，其数据由d s p 计算统计，最后获取完整的信号。l a s k a 等 人在此基础上又提出基于随机采样系统模拟信息转换器，现已能够实现两种模型【2 圳。 ( 2 ) 压缩成像信号采样对原始信号不采取直接采样的方式，而是改进光路系 统，把所成像投影到数字微镜器件( d i g i t a lm i c r o m i r r o rd e v i c e ) 上，从中提取n 次随机 线性测量值，这种方式缓解了成像端高清晰度的压力。依靠这种原理，世界上第一台“单 像素相机 3 0 心1 已经在美国的r i c e 大学成功研制出来。这种设备尽管造价不菲，但它对 图像波长自适应的能力这一优势是传统基于c c d 和c m o s 成像器件所无法媲美的。 ( 3 ) 生物传感在生物传感领域中，传统的d n a 芯片的优势是可通过平行测量 多个有机体，缺陷是识别有机体的种类有限。针对这一特性，s h e i k h 等人运用压缩传感 原理和d n a 芯片相结合，于2 0 0 7 年设计出压缩传感d n a 芯片 3 2 1 。它的优势是每个探 测点都能识别一组目标，从而减少了探测点的数量。同年，s h e i k h 等人还证实了可以通 过置信传播的方式实现压缩传感d n a 芯片中的信号重构【3 3 1 。由此可见，压缩传感理论 在生物信息学领域的已经取得重大的突破。 ( 4 ) 医学成像 磁共振成像m r i ( m a g n e t i cr e s o n a n c ei m a g i n g ) 被广泛的应用 于医学临床诊断。它的原理是在物质内部不同结构环境中依据所释放的能量来带动衰 减。通过检测发射出电磁波，这种电磁波由外加梯度磁场所产生，这一过程就可以得知 构成这一物体原子核的位置和种类，据此来绘制成物体内部的结构图像。那么如何使观 测成本降低、使成像速度加快是这一领域需要进一步发展的目标。l u s t i g 在2 0 0 7 年利 用医学图像的在空域或频域所具有稀疏先验性，以保证成像准确高的前提下，大大缩短 了m r i 的成像时间，这就为压缩传感理论在医学领域做出了重大的贡献【3 4 】 3 5 】。 除此之外，在地球物理数据分析【3 6 ，数据通信【3 7 】【3 8 】，光谱分析例乃至无线传感网 络 4 0 】，遥感图像处理以及信号的检测和分类【4 2 】等众多领域均有压缩传感理论的应用。 1 4 本文的研究内容及论文结构 本文改进了图像的重建工作并提出新的压缩传感图像重建系统，主要有几下三个方 面： ( 1 )传统的小波有无法同时满足正交性、正则性、对称性、高消失矩等缺陷，本 文以多小波稀疏表示作为先验知识结合正交匹配追踪算法实现对压缩传感图像的重建。 ( 2 ) 离散小波缺少平移不变性和方向选择性，本文以双树复数小波为先验知识结 合迭代阈值收缩算法实现对压缩传感图像的重建。 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 ( 3 ) 利用m a t l a b 软件环境进行仿真，在第三、四章的仿真过程中，以b a r b a r a 和l e n a 的标准灰度图作为仿真图。在实验最后给出完整的数据和结论。 论文主要由以下五个部分组成： 第1 章绪论。论述了研究背景，然后阐述了测量矩阵的稀疏性与不相关性以及重 建算法的研究概况。最后给出论文的研究内容及论文结构。 第2 章压缩传感基本原理及相关概念。对压缩传感的基本思想详细讲述，包括测 量矩阵的性质、重建的基本原理及实现算法三个方面。 第3 章基于多小波稀疏域压缩传感图像重建。利用多小波能够同时拥有对称性、 高消失矩、正交性、正则性与紧支性等特性，以多小波稀疏域作为稀疏先验知识，结合 正交匹配追踪算法对压缩传感图像进行重建，对实验图像仿真的结果做出分析。 第4 章基于双树复数小波稀疏域压缩传感图像重建。以双树复数小波稀疏域为稀 疏先验知识，以迭代阈值收缩算法i t s a 为重建算法的压缩传感图像重建，最后对实验 的仿真结果做出分析。 第5 章结论。对本文的研究成果进行总结，并指出了需要注意的问题以及进一步 研究的方向。 太原理工大学硕士研究生学位论文 第二章压缩传感基本原理及相关概念 2 1 引言 随着信息技术的飞速发展，人们对信息的需求量与日俱增。但实际的模数转换方式 决定了信号采样只能从模拟信号中获取数字信息。这种传统的信号获取和处理方式主要 包括采样、压缩、传输和后续信号处理四个部分，如图2 - 1 所示。奈奎斯特采样定理指 出，要是信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。在信息 获取、处理及传输等信息领域，这一定理占据了很长一段时间的统治地位。可以设想， 若信息存在稀疏性，那么可否对十分沉重的采样过程进行删减，而对压缩后的新数据立 即提取，然后以一种重建算法对其进行恢复呢? 皇呈 i 目了 图2 1 原信号处理系统 f i g u r e2 - 1t r a d i t i o n a ls i g n a lp r o c e s s i n gs y s t e m 2 0 0 6 年，一类新式理论诞生压缩传感原理【1 心( c o m p r e s s e ds e n s i n go r c o m p r e s s i v es e n s i n g ，简称为c s ) ，它是由美国斯坦福大学的d d o n o h o 教授、e c a n d e s 教授以及华裔科学家陶哲轩等研究员共同提出。压缩传感的基本思想是先将高维信号降 维到低维空间，通过随机投影取得观测值，这一过程同时完成了采样和压缩，将所得数 据传送至接收端，然后利用图像具有的稀疏先验性处理所接收的测量值，最后通过求解 凸优化问题来重建原始信号。其过程如图2 - 2 所示。 太原理工大学硕士研究生学位论文 图2 - 2 压缩传感理论框架 f i g u r e2 - 2t h et h e o r y 丘a m e w o r ko fc o m p r e s s e ds e n s i n g 压缩传感理论之所以近几年成为国内外众多领域专家学者争相研究的热点理论，是 由于相比传统的奈奎斯特采样方式，压缩传感方式通过对信号进行投影测量，取得的测 量数据量远远小于传统方式取得的数据量。这一优势不仅可以打破奈奎斯特采样定理的 限制，很大程度上降低了信号的采样频率，而且相关的数据存储与传输的耗时问题、对 硬件的指标数等问题都可以很好的解决。所以今后的信号处理领域中，压缩传感理论将 占据十分重要的角色。 压缩传感理论重点包含三大方面：信号如何稀疏性表示、关于测量矩阵选择以及重 建算法。信号的稀疏表示是把信号投影于正交变换基上，可以把它看做原始信号的影子， 是原始信号的一种简单表达，它信号频域必须具备的一种特性。测量矩阵要求和稀疏表 示基不相关，通常我们选择高斯随机矩阵作为测量矩阵，它的每一个值都满足( 0 1 ) 的独立正态分布，能够从低维数据中精确地重建高维数据，它要求对采样过程的准确性 较高。 2 2 压缩传感基本思想 压缩传感理论的特点是将信号的采样和压缩合二为一。该理论与传统的采样过程所 不同，它是先将信号投影到某组基上，使之稀疏化表示，再对信号进行压缩处理。在实 际的操作中，测量矩阵的作用是使信号压缩。本节将先对基本的稀疏信号构建方法进行 说明，然后讨论压缩传感中测量矩阵所要求的条件和性质，最后简要的介绍信号的重构 算法。 首先，考虑如何对信号进行重建。已知测量矩阵。是具备某种分布特性的，且 r m x n ( m 3 时称妒服从非常稀疏随机投影分 布。通常考虑两种情况j = 和s = n l o g n ，其中n 为待投影的原始信号的长度。在 实际操作中，非常稀疏随机投影分布取得了不错的仿真结果。 通过上述分析可知每种测量矩阵西都有优势也有自身的不足。但从测量矩阵的特点 出发，其改进基本上不外乎两个方面：一是保证测量的有效性。找到一个测量矩阵，要 求能减少观测次数并且拾取充足的原始信号关键信息的；二是保证重建质量性。根据自 身结构，构造出更优性质的测量矩阵，在降低重建计算复杂度的同时，使之能配合适当 1 6 太原理工大学硕士研究生学位论文 的重建算法精确重建初原始信号。 2 3 。2 不相干性 不相干性定义如下：如果随机投影矩阵的每一列均和稀疏变换基函数甲之间是不 相干的，则称投影矩阵满足不相干性4 6 1 。例如存在一对正交基p ，y ) ，且西，甲r 4 ， 关于信号x ，令甲表示稀疏变换，表示随机投影矩阵，则掣和之间的相干性等于 4 7 1 ： ( ，v ) = 届狲m 舶a x 彬q ，k 奶) i ( 2 - 1 7 ) 换句话说就是：相干性原理是。和v 中任何两元素之间的最大相关性的度量。如果 西和y 中包含相关元素越多，则它们之间相干性就越大，反之越小。p ，甲) i ，石j 是 相干性的取值范围。 随机投影矩阵的每一列与稀疏变换的基函数v 是不相干的，这是压缩传感理论所 规定的。以下给出三种不相干的情况【4 6 1 。 ( 1 ) 当西是n o i s e l e t ，甲是小波基时，不仅n o i s e l e t 和h a a r 小波之间的满足2 的相 干性，n o i s e l e t 和d a u b e c h i e s d 4 的相干性是2 2 ，n o i s e l e t 和d 8 小波的相干性是2 9 ，而 且n o i s e l e t 和冲激函数、f o u r i e r 基也都有较大的不相干性。事实上，任何的稀疏变换遇 到n o i s e l e t 都具有不相干性。 ( 2 ) 当是冲激函数级= 8 ( 1 一七) ，甲是f o u r i e r 基少，( f ) = n - 1 2 e 汜妒加时，这时随机 投影矩阵与传统的采样方式是一样的，所以最小的相干值为( ，甲) = 1 ，换句话说两 者拥有最大不相干性。研究发现冲激函数和正弦函数在一维和多维情况下都有最大的不 相干性。 ( 3 ) 研究表明随机矩阵和任何固定基甲都具有不相干性。例如服从高斯分布的随机 矩阵和甲之间具有很低的相干性。 2 4 重建的基本原理 压缩传感原理利用信号在某一个变换域掣内可以稀疏表示的先验知识，通过某类优 化算法实现对信号的重建。 2 4 1 可压缩性 1 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 对于某个离散信号，通常可以转化为部分独立的基的线性组合，一旦可以转化，我 们就称这个信号是稀疏的。对于本身就是稀疏信号，即信号本身只有少数几个元素是非 零的，其余元素都为零或近似为零，这样的信号则无需进行转化。在现实中应用中，绝 大多数的信号本身都不是稀疏的，但是我们可以通过某个“基”的转化使之稀疏表示。在 数学_ l zk 阶稀疏是如下定义的：一个离散信号x ( xer 4 ) 是k 阶稀疏的，若信号本身至多 有尼的元素非零，即删。厅，其中表示信号z 非零元素的个数，则用下式表示后阶 稀疏信号 l = k ：删。砖 ( 2 - 1 8 ) 而在现实中应用中，绝大多数的信号本身都不是稀疏的。前面交代过它可以在某个基上 转化成某个基的k 一稀疏信号，对于这种信号我们也称之为k 阶稀疏信号。当然实际中 大部分信号都是通过转化得来的。如图2 7 所示，在某个基甲下，使得f = ，这里 k 。 |w 图2 - 7 用基甲进行稀疏表示 f i g u r e2 7s p a r s er e p r e s e n t a t i o nb a s e do i lv 通常来说，信号稀疏化比一般没有稀疏化的信号更有运算优势。这样既可以使信号 表示简单化，还可以在信号压缩和去噪方面等方面存在优势。稀疏化对图像处理方面可 以取得较好的预前处理，特别是处理图像数据的压缩，没有稀疏化将带来难以估量计算 复杂度。 尽管现实世界里很少存在自身就是稀疏信号的情况，但是却可以由另外的稀疏信号 来近似替代，文献 2 中称这类信号为可压缩信号( c o m p r e s s i v es i g n a l ) ：存在某个信号是 可压缩的信号( c o m p r e s s i v es i g n a l ) ，则它可以很好地被另外一个稀疏信号所近似，即对 于一个信号x ，若存在x 7 k ，满足k = k ：俐。| | ，是j | 一稀疏信号，使得下式成立： 太原理工大学硕士研究生学位论文 “( 力p2 嘧8 x - x l l p 其中磊是误差，显然，对于v p ，若x t ，则氕( x ) p = 0 。 ( 2 1 9 ) 从上述分析可以看出，式( 2 1 9 ) 是式( 2 1 8 ) 的推广，当p = 0 ，并且x l ，两 个定义是等价的。所以式( 2 1 9 ) 可以看做信号稀疏化的广义定理。联系到压缩传感的 算法，它明确要求信号是最稀疏表示，即在保证能精确重建原始信号的基础上，信号的 零系数越多越好，这样可以减轻对存储设各的压力。 2 4 2 图像稀疏表示 在实际操作中，信号稀疏表示可以有很多种变换来实现，但变换必须可逆是其要求 同时也是为了重建信号的需要。规定基要正交，即r = 1 ，为了方面介绍下文，这 里将介绍两种压缩传感信号稀疏化表示的变换瞄儿b j 【4 6 。 ( 1 ) 利用傅里叶变换方式 对于一个信号x r ”，傅里叶变换为信号在时频转换提供了思路。设信号z 的傅里 叶变换是曼，假定信号是连续的，可以有下列定义： f k ( f ) 】_ 至( t 9 ) = f o ox ( t ) e 珊d t ( 2 - 2 0 ) f 库( 1 9 ) h f ) 3