（生物医学工程专业论文）医学断层图像插值重建算法的研究.pdf

东南大学硕士学位论文 a b s t r a c t t i t l e ：r e s e a r c ho ni n t e r p o l a t i o nm e t h o d so f m e d i c a ls l i c e s a u t h o r ：z h uy a n g x i n g t h e s i ss u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rb a ox u d o n g s c h o o l ：s o u t h e a s tu n i v e r s i t y i m a g ei n t e r p o l a t i o ni so r l eo ft h em o s ti m p o r t a n ts t e p si nt h r e e - d i m e n s i o n a lr e c o n s 订u c h o n w h i c hc a no f f e rr e a l3 ds c e n ef o rc l i n i c a ld i a g n o s i sa n dt h e r a p y b ya p p l y i n gi n t e r p o l a t i o no n s l i c e s ，a n i s o t r o p i cd a t ac a l lb ec h a n g e di n t oi s o t r o p i eo n e ，w h i c hc o u l dh i g h l yi m p r o v e 3 dr e c o n s t r u c t i o n ss t a n d a r d t h i sp a p e ri n t r o d u c e ds e v e r a li n t e r p o l a t i o nm e t h o d s ， w h i c hw e r ef u r t h e rc l a s s i f i e da ss c e n e b a s e d i n t e r p o l a t i o n a n do b j e c t - b a s e d i n t e r p o l a t i o n s c e n e - b a s e di n t e r p o l a t i o nb a s e d0 1 1s i n ei n t e r p o l a t i o nw a sf i r s ti n t r o d u c e dw h i c h i n c l u d e sp o l y n o m i a l ，l a g r a n g e ，b s p l i n ea n dw i n d o w e ds i n ei n t e r p o l a t i o n t h e n e a r e s tn e i g h b o ra n dl i n e a ri n t e r p o l a t i o na l s ob e l o n g st ot h i sc a t e g o r y n e x t , o b j e c t b a s e di n t e r p o l a t i o n w a si n t r o d u c e dw h i c hi n c l u d e sm a t c h i n t e r p o l a t i o n , s h a p e b a s e di n t e r p o l a t i o na n dn o n r i g i dr e g i s t r a t i o nb a s e di n t e r p o l a t i o n d u r i n gt h i ss e c t i o n , s o m es c a t t e r e dd a t ai m e r p o l a t i o nm e t h o d sw e r ea l s os h o w e du p t h ef i r s ta n dt h i r di n t e r p o l a t i o n sw e r em o d i f i e dt oe x p e c t i n gm o r er e a s o n a b l er e s u l t s f i n a l l y , c l a s s i c a lr a yt r a c i n ga l g o r i t h m sw a su s e dt or e n d e r i n gt h e3 dv o l u m e d a t ap r o d u c e db ya b o v em e n t i o n e di m a g ei n t e r p o l a t i o nm e t h o d s k e y w o r d s ： i n t e r p o l a t i o n b e t w e e n s l i c e s ；t h r e e - d i m e n s i o n a lr e c o n s t r u c t i o n ；g r e y l e v e l i n t e r p o l a t i o n ；s c a t t e r e dd a t ai n t e r p o l a t i o n ；m a t c hi n t e r p o l a t i o n ；n o n r i g i dr e g i s t r a t i o n - i l - 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 基血兰日期：迦& ：羔鲨 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：辈垃些 导师签名： 第一章绪论 1 1 课题背景和意义 第一章绪论 在现代临床医学中，作为诊断和治疗规划工具的放射医学图像已经得到广泛应用：x 线 透视、x c t 超声图像等提供了人体组织器官的形态信息，而核医学图像( s p e c t 和p e t ) 以及核磁共振图像不但提供人体组织器官的形态信息，还可以提供有关化学元素的分布及其 生物功能活动信息。医学影像在临床诊断、教学科研等方面正发挥着极其重要的作用【1 ，2 】。 传统的影像技术只是获得人体某一断层的影像数据，然后医生通过胶片进行诊断或者通过显 示屏幕进行观察。但是无论是胶片还是屏幕显示，医务人员所观察到的仍然是一组二维断层 图像，且只能以固定方式对图像进行观察，所得到的诊断结果带有医生的主观判断，这在很 大程度上取决于医生的临床经验。这种方法能够达到一般的诊断目的，如发现肿瘤或者病变 等，但对于制定手术计划等需要理解复杂甚至变形的三维结构的临床任务，仅通过在脑中重 建断层图像是非常难以完成的，而且这种方式很大挣度上依赖于医生丰富的临床经验和空间 想象力。三维重建技术的应用可以改变这种状况。通过对一组二维断层图像进行处理，从而 恢复物体三维形状，建立虚拟的器官和组织，以便使医生从多方位、多层次的观察角度对影 像数据进行详细的医学分析，从而对病变体及其它感兴趣的区域进行定性直至准确的定量分 析，比如放射治疗计划中三维剂量场的计算【3 】等。这无疑对提高影像数据的利用价值有深 远的意义，而且对提高临床诊断的准确性和正确性有很大益处，同时大大减轻了医生的负担。 因此三维重建技术具有很现实的意义。 三维重建工作包括三维图像数据的获取、处理及显示。其中三维医学图像数据的获取一 般通过对序列切片图像进行转换和插值得到。通常的医学成像系统( c t , m r i 等) 都是以层 的方式进行3 d 扫描的，受采集时间的限制和为减少病人受照剂量和诊断花费等原因，一般 断层图像相邻两层间的距离要大于同一层图像中相邻像素间的距离，这种图像数据如果直接 用于显示，将会在边界处形成明显的台阶状结构，对于一些细微结构，如冠状动脉等，还会 造成结构的断裂。图像插值正是解决这一问题的关键。通过对断层图像进行某种形式的层间 插值，可将非等分辨率的图像数据转变为等分辨率的数据，从而大大提高最终三维重建结果 的质量。因此，在图像的显示、处理和分析中，需要使用插值来获得所需分辨率的图像。寻 找和设计快速、有效、适用性强的插值算法，是三维重建工作的一个重要内容，也是本课题 东南大学硕上学位论文 的研究方向。 1 2 国内外研究现状 所谓图像插值就是一个图像数据再生的过程它由原始图像数据再生出具有更高分 辨率的图像数据。若将一幅较低分辨率的图像再生出一幅较高分辨率的图像，这种插值可看 作“图像内的插值”。若在若干幅图像之间再生出几幅新的图像，这种插值可看作“图像间 的插值”【4 】。我们重点研究的是图像间的插值方法，对于这类问题我们引入如下约束条件【5 】： ( 1 ) 插值图像要与原始断层图像相似； ( 2 ) 插值图像与两个原始断层图像的相似度应该分别和它与这两个断层图像的距离成反 比关系； ( 3 ) 插值图像序列应该呈现出从一幅原始断层图像到另一幅原始断层图像的渐变过程。 插值只是改变了断层图像的空间分辨率，使三维数据的处理、分析和显示更加方便，并 没有产生新信息。图像插值方法已有大量的文献涉及，从总体上讲，现有的研究方法大体上 可分为两类 4 ，6 】：基于场景的( s c e n eb a s e d ) 及基于对象的( o b j e c tb a s e d ) 。 这里有必要说明一点，基于对象的插值方法中有很大一类是需要进行分割预处理的，这 类算法选择一组特征点，一般是目标物体边界区域上的点，然后确定这些特征点之间的对应 关系，用这些特征对应关系确定一幅图像映射到另一幅图像所用变换函数以引导后续的插值 过程。在两幅图像中自动选出相同特征的点是一件困难的事，这一步骤通常需要人的援助。 而本文主要研究无须分割的自动化插值方法，所以对涉及分割的这一大类方法不作讨论。 基于场景的插值方法是用已有的切片体素数据直接决定被插值体素数据 1 789 】。这类 方法的研究进行得比较早，主要有最邻近插值( n e a r e s t n e i g h b o r ) 、线性插值皿i n e 哪、样条插 值( s p l i n e ) 1 ，8 1 和克里金插值( 1 ( r i n g i n g ) 【9 】。 最邻近插值方法是以欧氏距离展近的已知体素值作为待插值体素值。线性插值是根据待 插体素到相邻断层的距离对上下两个相邻的断层图像进行加权平均。样条插值中使用的最多 的是三次样条和改进的三次样条，它假定灰度在三个正交方向上都按样条曲线的趋势变化， 用三元三次样条张量积的形式来估计插值点的灰度【1 0 】。克立格插值基于数据的空间分布规 律，进行统计意义上的最优无偏估计。 最早同时也是应用最广泛的插值算法是线性插值，因为它计算量小，插值速度快。随后 h e r m a n 等人将三次掸条用于医学图像插值上。由于样条插值预先假定了数据按某种样条曲 2 一 第一章绪论 线变化，当数据的实际变化规律与此有较大偏差时，则会产生不可忽略的错误。近年来部分 学者提出_ f j 统计学的克里金方法进行灰度插值，成为医学图像插值的研究热点。本质上说， 它们都是计算采样点灰度的加权平均，并且都根据插值点和采样点之间的相对距离来调整权 值的大小。这些插值方法插值精度不高，产生的新断面通常会出现边缘模糊，由此重建出的 三维真实感图像表面会产生伪像，当断层间距较大时这一点尤其明显【1 l 】。造成这种情况的 主要原因是这些方法没有考虑到物体几何形状的变化。 无须分割的基于对象的插值方法( 以下简称基于对象的插值方法) 则从已有的切片体素 中获取对象信息来寻找被插值体素数据 6 ，1 2 ，1 3 ，1 4 。大体可分为以下两步：首先寻找待插值 点在相邻断层内的对应点，然后使用基于场景的插值方法计算该点的像素值，不同的算法可 能另有不同的步骤。这类方法主要有基于匹配的插值方法【1 2 ，1 3 】、基于二进制体素的插值方 法 6 】和基于非刚体形变配准的插值方法【1 4 】。 最早提出的是动态弹性插值【1 5 1 ( d y n a m i ce l a s t i ci n t e r p o l a t i o n ) 。它的思想起源于b u r r 在研究图像配准时提出的弹性匹配概念，并由l i n 1 6 首先将该思想运用于三维重建。9 0 年 代初，对于灰度断层图像插值问题的研究主要集中在如何有效的寻找断层图像的匹配点上， 产生了一系列基于匹配的图像插值方法，它是在灰度线性插值和形状插值基础上提出的新的 改进方法。它充分考虑到生物组织在三维空间中的几何形状的不规则性，可产生较好的中间 切片图像。特征匹配的效果是插值成败的关键，边界轮廓信息是重要的匹配信息，但不是唯 一的，距离、对象结构信息、灰度数的相关信息、以及结构走向的先验知识均可用来改善匹 配效果。比较典型的方法是g o s h t a s b y 提出的基于梯度的算法【1 2 】，在相邻断层的一个小窗 内根据一个包含梯度和距离的评价函数找出最匹配的点对进行插值。 9 6 年r a y a 和u d u p a 提出了一种新的基于二进制体素形状的插值方法【6 】，这种算法的 思想来源于二维二值图像插值算法。首先将二维灰度图变为三维二值图，再计算每一体素到 器官边界的( 带符号) 距离，形成一“距离图像”，然后插值此“距离图像”到指定的分辨率 ( 如用线性插值、改进的三次样条方法等) ，最后将插值后的“距离图像”转换成最初的二进 制形式，用相反的过程将目标二值图降维为二维灰度图。 9 0 年代后期，基于非刚体形变配准的插值方法逐渐兴起。这种方法的思想是相邻切片 的解剖结构在形状和灰度上的变化存在连续性，利用非刚体配准能准确模拟这种形变，然后 利用得到的形变关系用灰度插值方法得到目标体素的灰度值。这类方法使用的非刚体形变有 弹性模型( e l a s t i c ) 、流体模型u i d ) 、有限元模型( f i n i t ee l e m e n tm o d e l s ，f e m ) 和基于b 样条 的自由曲面形变( f r e e - f o r m d e f o r m a t i o n , f f d ) 1 7 。其中以p e n n e y 和r u e c k e r t 提出的基于f f d 3 东南大学硕上学位论文 的插值方法【1 4 】为典型。 t h o m a s 、g r e v e r a 和u d u p a 等人对很多插值算法都做过很好的比较【1 ，8 ，i s 。总的说来， 基于场景的插值方法比基于对象的插值方法在计算上方便、直观，但精度较差；而后者由于 它是从几何体的外表面出发来决定未知部分，在许多场合比前者有更高的精度，因此可看作 “整体插值算法”，但此类方法在计算复杂度和所占用的内存空间一般方面都要远超前者。 1 3 本文内容组织 本文的主要工作是研究三维图像重建问题的实用化方法，在对几种常用的基于场景的插 值方法，和在基于匹配的插值方法、基于二进制体素的插值方法和基于非刚体配准的插值方 法等方法上，均进行了系统的研究。 论文共分为五章，各章节安排如下： 第一章为绪论。主要介绍了三维图像重建方法的研究意义，图像重建问题的两大类解决 方案及其发展近况，以及论文的内容安排。 第二章为基于场景的插值方法。p a s i n c 函数插值为理论基础介绍了常用的几种插值方 法，并对不同层间距下的各种插值算法效果作了比较。 第三章为基于对象的插值方法。主要介绍了三类无须分割的灰度图像层间插值算法，并 介绍了离散点插值算法。这三类算法分别是：基于点匹配的插值方法、基于二进制体素的插 值方法和基于非刚体配准的插值方法。在基于点匹配的插值方法中，在现有研究基础上用多 层b 样条插值方法对图像中的低梯度值点进行处理，提出了新的方法。 第四章简单介绍了三维医学图像的体绘制算法，并对之前提出的算法效果做了直观的展 示。 第五章总结了本论文的研究工作，并提出了今后的研究方向。 参考文献 【1 】l e h m a n ntm ，g o n n c rc ，s p i t z e rk s u r v e y ：i n t e r p o l a t i o nm e t h o d si nm e d i c a li m a g e p r o c e s s i n g j i e e e t r a m m e d i m a g e ，1 9 9 9 ，1 8 ( 1 1 ) ：1 0 4 9 1 0 7 5 【2 】李燕，谭鸥，段会龙三维医学图像可视化技术综述【j 】中国图像图形学报，2 0 0 1 ，6 a ( 2 ) ： 1 0 3 1 1 0 【3 】张宇，刘文耀，郑伟链码跟踪算法在三维医学图像处理中的应f f l f f 中国生物医 正 第一章绪论 学工程学报，2 0 0 3 ，2 2 ( 5 ) ：4 7 3 - 4 7 7 【4 】李将云，杨勋年，汪国昭分割图像插值的一种局部算法叽浙江大学学报( 理学版) ， 2 0 0 2 ，2 9 ( 1 ) ：5 5 - 6 2 【5 】李中梅基于图像配准的人脸纹理重建【d 】南京：东南大学，2 0 0 4 【6 】g r e v e r agj ，u d u p ajks h a p e d - b a s e di n t e r p o l a t i o no f m u l t i d i m e n s i o n a lg r e y - l e v e li m a g e s j 】 i e e et r a m m e d i m a g i n g , 1 9 9 6 ，1 5 ( 6 ) ：8 8 1 - 8 9 2 【7 】p r a t tw k d i g i t a li m a g ep r o c e s s i n g m n e wy o r k ：w i l e y , 1 9 9 1 【8 】8 h e r m a ngt r o w l a n dsw ，y a nmm ac o m p a r a t i v es t u d yo f t h eu s eo fl i n e a ra n dm o d i f i e d c u b i cs p l i n ei n m r p o l a t i o nf o ri m a g er e c o n s t r u c t i o n j i e e et r a n s n u c l s c i ，1 9 7 9 ，2 6 2 8 7 9 2 8 9 4 【9 】s t y l zmrp a r r o t trw u s i n gk r i g i n gf o r3 - dm e d i c a li m a g i n g j c o m p u t e r i z e dm e d i c a l i m a g i n ga n dg r a p h i c s ，1 9 9 3 ，1 7 ( 6 ) ：4 2 1 - 4 4 2 1 0 】k o k a r a mac ，m o r r i srd ，f i t z g e r a l dwj ，e ta 1 i n t e r p o l a t i o no fm i s s i n gd a t ai ni m a g e s e q u e n c e s j i e e e t r a n s o ni m a g ep r o c e s s i n g , 1 9 9 5 ，4 ( 1 1 ) ：1 5 0 9 1 5 1 9 【1 l 】田捷等三维医学图像处理与分析系统 j 】c t 理论与应用研究，1 9 9 9 ，8 ( 2 ) ：3 9 - 4 3 【1 2 】g o s h t a s b ya ，t u r n e rda ，a c k e r m a nlvm a s h i n gt o m o g r a p h i cs l i c e sf o ri n t e r p o l a t i o n j 1 e e et r a n s m e d i m a g i n g , 1 9 9 2 ，1 1 ( 4 ) ：5 0 7 - 5 1 6 5 【1 3 】h i g g i n swe o r l i e kcj ，l e d e l lbe n o n l i n e a rf i l t e r i n ga p p r o a c ht o3 - dg r a y - s c a l ei m a g e l m e r p o l a t i o n j i e e et r a n sm e di m a g e ，1 9 9 6 ，15 ( 4 ) ：5 8 0 5 8 7 1 4 】p e n n e yges c h n a b e lja ，r u e c k e r td ，e ta 1 r e g i s t r a t i o n b a s e di n t e r p o l a t i o n 们i e e et r a n s m c d i m a g e ，2 0 0 4 ，2 3 ( 7 ) ：9 2 2 - 9 2 6 【1 5 】m o s h f e g h im e l a s t i cm a t c h i n go fm u l t i m o d a l i t ym e d i c a li m a g e s j c v g i p , 1 9 9 1 ，5 3 ( 3 ) ： 2 7 1 2 8 2 【1 6 】l e v i nd m u l t i d i m e n s i o n a lr e c o n s t r u c t i o nb ys e t - v a l j e da p p r o x i m a t i o n s j i m aj o u r n a lf o r n u m e r i c a la n a l y s i s ，1 9 8 6 ， c 0 1 6 ：1 7 3 1 8 4 【1 7 】r u e c k e r td s o n o d ali ，h a y e sc ， d e f o r m a t i o n s ：a p p l i c a t i o nt ob r e a s tm r e t a 1 n o n r i g i dr e g i s t r a t i o nu s i n gf r e e - f o r m i m a g e s j i e e et r a mm e di m a g e ，1 9 9 9 ，1 8 ( 8 ) ： 7 1 2 7 2 1 【1 8 】g r e v e r a gj ，u d u p aj i c a n o b j e c t i v e c o m p a r i s o no f 3 - d i m a g e i n t e r p o l a t i o n m e t h o d s j i e e et r a n sm e di m a g e ，1 9 9 8 ，1 7 ( 4 ) ：6 4 2 - 6 5 2 5 - 东南大学硕士学位论文 2 1 引言 第二章基于场景的插值方法 基于场景的插值又可以称为灰度插值( g r e y - l e v e li n t e r p o l a t i o n ) ，这是一类直接利用已知 断层图像的灰度信息来构造插值图像的插值算法。它的作用是在原始的灰度断层图像序列 中，补充若干缺少的切片，从而构造出三维的等分辨率的体数据。灰度插值算法提出的时间 很早，自从出现了计算机图形学以及图像处理的概念，它也就随之而生。早期的灰度插值较 为简单，多为最近邻域插值和线性插值。后来随着信号处理理论的发展，产生了一系列的插 值方法。 本文用集合s = ( v ，f ) 来表示已知的所有断层图像。v 为所有点的集合。函数f ：v y 定义了任意点的灰度值。对某一断层图像，假设为第i 层，我们将其定义为s l ：“i f ) ，其 中v l - “x ，y ，z ) i z = i ) ，x ，y ，z 分别表示点在三维空间的坐标。相应的，我们用蜀= ( ，厂) 来表示用插值算法得到的插值图像。 根据s h a n n o n 的信号理论，s i n e 函数是最理想的插值函数。然而这个插值核的冲击响应 是无限的( i i r ) ，不适用于具有有限冲击响应的局部插值。有人提出用t a y o r 或l a g r a n g e 多 项式来逼近s i n c 函数，这是大多数数值分析课本中提到的解决方法。后来，出于分析便利 性的考虑，用各种样条函数取代了上述多项式。还有一种方法是将s i n e 函数加窗，得到有 限冲击响应的变换式。 扫描连续信号“x ) 将在其频域中产生频谱u ) 的无限循环，由于满足n y q u i s t 准则，这 些重复的频谱并不会重叠。这样的话，通过在频域中乘以一个恰当的矩形窗，原始信号s o 【) 可以从其采样s 中完美地重建。由于点x 处的幅值由它附近的若干离散点采样点s o c ) 所决 定。如果已知断层图像s k ms k i n i ) ，s k - 1 ，s k ，s k + l ，s k + ( n 1 ) ，s k + n ，要通过灰度插值算 法得到中间的插值图像瓯+ 4 ( 令相邻两层图像s k - i ，s k 之间的距离为l ，d l 为插值图像s l + 4 与已知断层图像s k 的距离，d l 1 ) ，只需将这些离散的图像与一个被称为插值核的有限长 连续冲击响应h ( z ) 相卷积，可用公式可表示为： 瓯+ 西= 瓯h ( m d ，) 6 ( 2 1 ) 第二章基于场景的插值方法 本章首先介绍加窗s i n c 函数插值，然后介绍了用多项式拟合s i n e 函数的插值方法以及 与用b 样条拟合s i n c 函数的插值算法。由于本文中插值的主要应用是层问插值，与图像在 某个方向的扩张问题有类似之处，所以我们最后通过一幅矢状面被压缩的m r 图像模拟层 问插值，对不同方法的插值效果进行了比较。 如果层间距较大的话，图像在频域的混叠现象就比较严重，使用灰度插值的方法将不能 很好地提取图像的频谱信号，从而导致边缘平滑效应。这种情况下必须采用非线性的手段才 能尽可能的重建原始图像，后来就发展出形状插值和目标插值来解决这一问题。 2 2 加窗s i n e 函数插值 尽管s i n c 函数能精确重建s “”，但它在时域中是无限拓展的。有两种常见的方法来克 服这个缺陷，截断和加窗。截断相当于在时域中乘以矩形函数，即在频域中乘以s i n c 函数。 理想插值函数截断后由于损失了能量，会在频域中产生振铃效应，故这种方法不太常用。 另一种解决的方法是用比较平滑的窗函数来代替矩形函数，以得到较好的频率响应。 h a r r i s 用f o u r i e r 方法对一些加窗s i n c 函数进行了谐波分析，发现k a i s e r - b e s s e l 和 b l a c k m z n - h a r r i s 窗效果最好 1 】。三项b l a e k m a n - h a r r i s 窗如下： w ( z ) = + w 1 c o s ( 2 万尹2 z + w 2 c o s ( 2 石旁4 z ( 2 2 ) 其中n 为采样点数，当n - - 6 时： w 0 = 0 4 2 3 2 3w l = 0 4 9 7 7 5 w 2 = 0 0 7 9 2 2 这样插值核为： 。一。魄( ：) ；j f w ( z ) s i n e ( z ) = w ( z ) s i n 石( n z z ) ，。i z f 3 ( 2 3 ) i o ，其他 2 3 对s i n c 函数的多项式拟合 另一种常见的方法是用代数多项式拟合s i n e 函数而得到插值核【7 】。这样做的好处是容易 在有限区间内确定对连续函数的唯一逼近。 2 3 1 最近邻域插值 最近邻域插值是最简单的插值方法，位置z 上的值被赋为离它最近的像素s ( k ) 。因此， ，一 东南大学硕士学位论文 柞) ：j - ，。s l z l 三 1 0 ，其它 2 3 2 线性插值 ( 2 4 ) 线性插值是1 t 前使用最广泛的一种插值方法，一般也叫双线性插值。对于双线性插值， 它的两个相邻像素根据距离的不同被赋以不同的权重，然后相加得到插值结果。它可视为对 s i n e 函数的线性逼近，其插值核为三角形： 肿一：黠卜1 s ， 这个三角函数相当于一个低通滤波器，对图像的高频分量有衰减作用，会导致边缘模糊 和产生混叠现象。 2 3 3 二次式逼近 在前面几节中已经介绍了常量和线性多项式。二次函数通常被大家忽略因为它会带来相 位失真。然而d o d g s o n 2 发现若取点限制在- 3 2 到3 ，2 区间内，这样的三点二次函数其带通 特性还是可以接受的： o ”“”h 2 ( z ) = 2 3 4 立方插值 一2 盯+ 1 ，o i z l i 1 i z l 2 一i 5k i + 詈，i z l 兰 c ：s ， 0 ，其它 3 次多项式由于其二阶导数连续的特性被广泛地应用，我们可以用它来逼近s i n e 函数 从而导出立方插值。下面是两点、四点和六点的立方插值核： 1 ) 两点插值 8 第二章基于场景的捕值方法 “= p t3 k | 2 + 裂“ 眨， 2 ) 四点插值 i ( 口+ 2 ) 盯一( 口+ 3 ) l z l 2+ 1 ，0 h 1 。“”啊( z ) = 口i z l 35 口i z l 2 + 8 口i z i 一4 口，1 i z i 2 ( 2 8 ) 【 o ，其他 k e y s 【3 】指出当a = 一1 2 时，四点三次样条能重建出任意的二次多项式；t o m a s 4 指 出当n = 3 4 时，插值效果也很好。 c ”6 圯矗6 ( z ) = 弦一翔2 + 1 ，o i z i - 一弦+ 翱2 一孚l z i + 孚，1 l i眩， 擀一弦+ 神孚，2 - 0 。其他 2 3 5l a g r a n g e 插值 在数值分析中经常用到泰勒多项式来逼近一种已知的函数。在图像插值的应用中，由于 泰勒多项式从一点展开，在图像重采样时会存在一些不足。l a g r a n g e 多项式却可以指定其必 须穿过一些给定点 5 】，n 一1 阶的l a g r a n g e 插值需要n 个采样点，下面给出n 点的n - i 阶 l a g r a n g e 插值核： 姒加l 雏鲁一硼 眩 10 ，其他 其中n n 2 + 1 ，- n 2 + 2 , - , n z ，i = j - n ，2 + l 。 从上式我们可以很容易推导出n = i 时就是最近邻域插值，n - - 2 时就是线性插值。文献【】 中指出，奇数点的插值核对于高对比度图像比较适用。下面我们给出较为常用的4 点( n = 3 ) 和5 点( n = 4 ) l a g m n g e 插值核： 9 - 东南大学硕士学位论文 姆4 ”吃( z ) = 咖地( 力= 材 一扣 一扣扎喇 2 时卷积的结果就不满足h “一1 ) = h “1 户o ， 即在图像中的原始点处函数值与原来的不同，所以b 样条插值核在2 阶往上就只是逼近核， 而非插值核。当n = 4 时我们得到立方b 样条1 1 4 ( z ) ： 啊( z ) = 扣叫+ 吾胚| z i l 一扣+ l z2 - 2 小j 4 ，l l z i 2 ( 2 a 5 ) 0 ，其它 2 5 试验结果及讨论 我们用2 5 6 ：, 2 5 6 的脑部m r 矢状面图来模拟层间插值，将原图沿y 方向( 在人体坐标 1 0 1 2 ( h h 占 畦 k 期 b l 仉 + + 1习 到鲁 一 一 ni口lk i - b 厂 一 + dj k h k 厂 1 2 1 6 3 2 5 2 ( v j v j 也k 2 乏2 靴 第二章基于场景的插值方法 系中为垂直于横断面的垂直轴) 压缩，然后在水平扫描线间插值来恢复原图。我们分别用线 性、三点二次、两点立方、四点立方、六点立方、四点l a g r a n g e 和六点s i n e 函数加 b l a c k m a n h a r r i s 窗来进行插值效果的测试。为了论述方便，我们把这七个插值核分别叫做： l i n e 2 ，q u a 3 ，c u b 2 ，c u b 4 ，c u b 6 ，l a 9 4 ，b h w 6 a 在第一组实验中，我们把原图压缩为原来的3 ，4 ，即y 方向为1 9 2 个像素。下面是原始 图和压缩图。 图2 1 a 原始m r 图( 2 5 6 x 2 5 6 )图2 1 b 压缩图( 1 9 2 x 2 5 6 ) 下面是插值后的效果： 图2 2 al i n e 2 插值结果图2 2 bq u a 3 插值结果图2 2 el a 9 4 插值结果 图2 2 dc u b 2 插值结果 图2 2 ec u b 4 插值结果图2 2 f c u b 6 插值结果 东南大学硕士学位论文 图2 2 9 b h w 6 插值结果 我们对插值后的结果分别与原图作比较，求得其均方误差，列表如下： 插值核采样点数均方误差 l i n e 221 9 2 6 3 4 3 4 q u a 3 32 8 3 9 1 8 3 5 c u b 221 8 3 2 0 3 7 4 c u m41 6 5 5 6 2 0 4 c u b 661 6 6 4 7 8 0 9 l a 9 4 5 1 7 0 8 7 0 1 0 b h w 662 9 2 4 5 7 4 1 从上面的结果可以看出。在“层间距”不大的情况下，七种插值核的表现都比较良好， 插值结果与原图相差无几，用肉眼看不出区别。其中c u b 4 插值效果最好，对比三个立方插 值，我们可以发现这种情况下并非采样点越多效果就越好，当然采样点较少的l i n e 2 、q u a 3 、 c u b 2 效果则要差一些。 下面我们给出一组层间距较大的插值结果，我们把原始图压缩至原来的1 3 ，使得图像 的高度为8 5 个像素，平均层间距约为三个像素距离。 下面是插值后的效果： 图2 2 al i n e 2 插值结果图2 2 bq u a 3 插值结果图2 2 cl a 9 4 插值结果 1 2 - 第二章基于场景的插值方法 图2 2 dc u b 2 插值结果 图2 2 ec u b 4 插值结果图2 2 f c u b 6 插值结果 图2 2 9 b h w 6 插值结果 我们对插值后的结果分别与原图作比较，求得其均方误差，列表如下： 插值核采样点数均方误差 l i n e 221 2 4 2 3 3 0 1 2 q u a 3 31 3 2 1 1 7 7 8 5 c u b 221 2 9 0 5 4 1 2 1 c u b 441 2 6 5 4 2 5 2 5 c u b 661 2 6 8 2 8 8 6 0 l a 9 4 51 2 3 5 3 7 8 5 2 b h w 66 1 4 1 5 6 3 8 9 4 统计结果与前次试验有类似之处，c u b 4 与l a 9 4 插值效果最好。我们也看到层间距较大 时，所有的算法都出现了边缘模糊和不同程度的阶梯效应。究其原因，是因为所有的算法都 是基于s i n e 函数的低通滤波器，把边缘的高频分量都滤除了。因此，在层间距较大时，采 用基于场景的插值方法将不能得到令人满意的结果。 东南大学硕士学位论文 参考文献 【l 】ej h a r r i s ，o nt h eu o f w i n d o w sf o rh a r m o n i ca n a l y s i sw i t ht h ed i s c r e t ef o u r i e r - t r a n s f o r m 【j 】，p r o c i e e e ，v 0 1 6 6 ，p p 5 1 8 3 ，1 9 7 8 【2 】n a d o d g s o n , i m a g er e s a m p l i n g m ，u n i v c a m b r i d g ec o m p l a b ，c a m b r i d g e ，u k ，t e c h p e p 2 6 1 ，1 9 9 2 【3 】r gk e y s ，c u b i cc o n v o l u t i o ni n t e r p o l a t i o nf o rd i g i t a li m a g ep r o c e s s i n g j 】，i e e et r a n s a c o u s t ，s p e e c h ，s i g n a l p r o c e s s i n g , v 0 1 a s s p - 2 9 ，n o 6 ，p p 1 1 5 3 - 1 1 6 0 ，1 9 8 1 【4 】l e h m a n ntm ，g o n n e rc ，s p i t z e rks u r v e y ：i n t e r p o l a t i o nm e t h o d si nm e d i c a l p r o c e s s i n g j i e e e t r a m m e d i m a g e ，1 9 9 9 ，1 8 ( 1 1 ) ：1 0 4 9 - 1 0 7 5 【5 】j d f a k e sa n d1 ll b u r d e n , n u m e r i c a lm e t h o d s m b o s t o n ，m a p w s ，1 9 9 3 【6 1h s h o ua n dh c a n d r e w s ，c u b i cs p l i n e sf o ri m a g ei n t e r p o l a t i o na n dd i g i t a lf i l t e r i n g 明， i e e e t r a n s a e o u s t ，s p e e c h , s i g n a l p r o c e s s i n g , v 0 1 a s s p - 2 6 ，n o 6 ，p p 5 0 8 - 5 1 7 ，1 9 7 8 【7 】m u n s e r , a a l d r o u b i ，a n dm e d e n , p o l y n o m i a ls p l i n es i g n a la p p r o x i m a t i o n s ：f i l t e rd e s i g n a n da s y m p t o t i ce q u i v a l e n c ew i t hs h a n n o n s s a m p l i n gt h e o r e m 阴，i e e et r a n s i n f o r m t h e o r y , v 0 1 3 8 ，p p 9 5 - 1 0 3 ，1 9 9 2 【8 】8m u n s e r , a a l d r o u b i ，a n dm e d e n , b - s p l i n es i g n a lp r o c e s s i n g ：p a r t e o i y 叨，i e e e t r a n s s i g n a lp r o c e s s i n g , v 0 1 4 1 ，n o 2 ，p p 8 2 1 - 8 3 3 ，1 9 9 3 【9 】m u n s e r , a a l d r o u b i ，a n dm e d e n , b s p l i n es i g n a lp r o c e s s i n g ：p a r ti i - - e f f i c i e n td e s i g na n d a p p l i c a t i o n s 叨，i e e et r a m s i g n a lp r o c e s s i n g , v 0 1 4 1 ，n o 2 ，p p 8 3 4 _ 8 4 8 ，1 9 9 3 1 4 - 第三章基于对象的插值方法 3 1 引言 第三章基于对象的插值方法 从上一章最后一组例子我们可以