（固体力学专业论文）逆系统方法在振动—离心复合环境中的应用.pdf

逆系统方法在离心力一振动复合环境中的应用固体力学专业研究生刘勇指导教师于建华振动一离心复合环境试验有着重要的意义，因为它可以预测系统在单一试验环境中所不能估计的潜在故障，有利于提高其在工程应用上的使用可靠性，因而有着广泛的工程应用。在应用中，为了实现预期的复合环境，或是为了消除某些外在的干扰，这就不可避免的涉及到振动离心复合环境的控制问题。本文对多自由度体系运控制论中的逆系统理论，将荷载识别的逆问题归结为建立原系统的的逆系统，在逆系统中求输出的正问题，最终达到荷载识别的目的。其次，本文还利用逆系统方法对该线性一耦合系统进行控制，求出了其逆系统，并和原系统一起构成伪线性系统，对其实现了解耦，达到预期控制目的。此外，本文建立了振动台的五刚体模型的运动方程，分别以位移、速度、加速度作为控制目标，求出了相应的逆系统，将这一时变、耦合系统进行了僻耦和线性化。数值算例证实了逆系统方法可以将该系统的目标量有效的控制在工程允许的误差范围之内。最后，本文对逆系统方法更深一步的研究作了初步的探讨。其一是将其应用到非线性随机振动。其二是将其和智能控制结合起来，用经过充分训练的丰辟经网络近似代替原系统的逆模型，克服了原方法求逆困难的缺点，进一步的完善了逆系统方法。关键词：离心力一振动复合环境逆系统解耦荷载识别随机振动神经网络智能控制a p p l i c a t i o no fi n v e r s es y s t e mm e t h o di nc e n t r i f u g a lf o r c ea n dv i b r a t i o nc o m p o u n de n v i r o n m e n ts o l i dm e c h a n i c sg r a d u a t es t u d e n t ：l i uy o n gs u p e r v i s o r ：y uj i a n h u at h et e s ts i m u l a t i n gt h ec e m r i f u g a lf o r c ea n dv i b r a t i o nc o m p o u n de n v i r o n m e n ti su s e dc o m p r e h e n s i v e l yi ne n g i n e e r i n gf o ri tc a nf o r e c a s tt h ep o t e n t i a lf a u l tt h a te a r l tb ef o u n di ns i n g l ee n v i r o n m e n tt e s t ，t h e r e f o r ei ti sp o s s i b l et oe n h a n c et h es a f e n e s so ft h es y s t e m i nt h ep r o c e s so fs i m u l a t i n gt h ec o m p o u n de n v i r o n m e n t ，i no r d e rt oa c c o m p l i s ht h ee x p e c t e de n v i r o n m e n to rt oe l i m i n a t et h eu n e x p e c t e dd i s t u r b a n c e ，i t si n e v i t a b l et oc o n s i d e rt h ev i b r a t i o nc o n t r 0 1 a tf i r s t ，b ya p p l y i n gt h ei n v e r s es y s t e mt h e o r y , t h ei n v e r s ep r o b l e m , n a m e l yl o a dr e c o g n i t i o n ，c a l lb ea s c r i b e dt oe s t a b l i s ht h ei n v e r s es y s t e ma n ds o l v ed i r e c t l yt h ep r o b l e mo ft h ei n v e r s es y s t e m ，t h e nt h ee n do fl o a dr e c o g n i t i o ni sr e a c h e d f u r t h e r m o r e t h el i n e a r c o u p l i n gs y s t e mi sc o n t r o l l e d 、i t l ii n v e r s es y s t e mm e t h o d t h ei n v e r s es y s t e mi sd e d u c e da n dt h eh y p o c r i t i c a ll i n e a rs y s t e mi sc o n s t r u c t e d ，f i n a l l yt h eo r i g i n a ls y s t e mi sd e c o u p l e di na d d i t i o nt ow h a ti sm e n t i o n e da b o v e ，t h em a t h e m a t i c sm o d e lo fv i b r a t o ri nc e n t r i f u g a lf o r c ea n dv i b r a t i o nc o m p o u n de n v i r o n m e n ti sf o u n d e da n dt h ec o r r e s p o n d i n gi n v e r s es y s t e mi sd e d u c e dw h e nd i s p l a c e ，v e l o c i t ya n da c c e l e r a t i o na l er e s p e c t i v e l yt r e a t e da sc o n t r o lt a r g e t a n dt h eh y p o c r i t i c a ll i n e a rs y s t e mi sf o r m e db yi n t e g r a t i n gt h eo r i g i n a ls y s t e mw i t hi n v e r s es y s t e m ，a sar e s u l tt h et i m e - v a r i e t yc o u p l e ds y s t e mi sd e c o u p l e da n dl i n e a r i z e d a tl a s t t w oa d v a n c e dr e s e a r c h e sa b o u tt h ei n v e r s es y s t e mm e t h o da r em e n t i o n e d o n ei st h ea p p l i c a t i o no fi n v e r s es y s t e mm e t h o dt ot h en o n l i n e a rr a n d o mv i b r a t i o n t h eo t h e ri st oa s s o c i a t et h ei n v e r s es y s t e mm e t h o dw i t ht h ei n t e l l i g e n c ec o n t r 0 1 b yt a k i n gt h ea d v a n t a g et h a tt h en e u t r a ln e t w o r kc a nr e c o g n i z et h en o n l i n e a rs y s t e m ，t h ei n v e r s es y s t e mc a r lb es u b s t i t u t e da p p r o x i m a t e l yb yt r a i n e dn e u t r a ln e t w o r k t h i si d e a lo v e r c o m e st h ed e f e c to ft h ed i f f i c u l t yo fd e d u c i n gt h ei n v e r s es y s t e ma n df u r t h e rt h er e s e a r c ho ft h ei n v e r s es y s t e mm e t h o d k e yw o r d s ：c e n t r i f u g a lf o r c ea n dv i b r a t i o nc o m p o u n de n v i r o n m e n t ；i n v e r s es y s t e m ：d e c o u p l e ；l o a dr e c o g n i t i o n ；r a n d o mc o n t r o l ；n e u t r a ln e t w o r k ；i n t e l l i g e n c ec o n t r o l删川大学坝士学位论文1 概论离心力一振动复合环境的研究，有着广泛的工程应用。如航天器在绕地球轨道运转时，飞机在俯冲和盘旋时，战略导弹在主动段和通过再入段时，其内部设备和装置均受到发动机振动和高加速度环境的复合作用。对该复合环境的研究是提高机构可靠性的重要问题，然而要想模拟出一个预期的复合环境，或是消除外来的干扰，这都不可避免的涉及到对离心力振动复合台的控制问题。振动控制在离心力一振动复合环境的研究中起着举足轻重的作用。1 1 离心力振动复合环境系统建模及控制研究现状目前有关离心力一振动复合环境数值模拟的研究，均基于作大范围运动的弹性梁的研究。对作大范围运动弹性结构的动力学分析，经历了不计大范围运动和变形运动之间耦合的加惯性力( g e o ) 法和混合坐标法两个阶段。洪嘉振、蒋丽忠等人1 1 n “，基于v o n - k a r m a n 变形理论和h a m i l t o n 变分原理，建立了作大范围运动弹性梁的动力学控制方程，并对其刚一柔耦合动力学建模理论进行了研究。闰桂荣、朱光辉等人口】【4 】对于顺臂安装于离心机臂上的振动台系统，研究了多刚体分析的方法，并采用“有限段”建模思想，结合高斯最小拘束原理建立了在离心力一振动复合环境中离心机臂与振动台运动耦合的非线性数学模型，采用有限元方法分析动力特性，进行仿真及试验分析。董龙雷等人hj 对于垂臂安装于离心机臂上的振动台系统，由模态试验结果。将离心机臂简化为单自由度系统，建立了振动台数学模型。田昌会等人【6 】探讨了在离心力一振动复合环境下由于振动台激振力及弹簧弹性力的作用导致离心机臂摆振，分析了离心机臂的摆振特性及其对振动台振动的影响，进行了相应的建模和仿真。在振动台控制方面，向旭、何闻等人 7 1 针对离心力环境下振动台的控制，提出了动圈纠偏系统采用气囊位移反馈纠偏的方法，并自行设计了模块电路。薰龙雷、党开放等人1 5 1 1 8 1 1 9 进行了离心力场中电液振动台的振动模拟试验研究，建立了一套与离心力一振动复合环境试验有重要关系的轻基础条件下的振动控制试验装置，并且对模型进行了分析，得到了复合系统的振动特性，同时分析了振动台与离心机臂间的连接刚度和连接阻尼对隔振的影响，设计了减振器，另外还提出了鲁棒魍。控制方法。刘兵等人【10 】针对复合环境试验系统所存在的耦合性、非线性和不确定性提出了一种模糊一神经网络控制算法，利用被控对逆系统方法在振动一离心复台环境中曲应用象输入输出信息离线、在线相结合学习系统的动态特性，对时变、非线性系统进彳亍了跟踪控制，并且研究了该算法在系统中的实现方法。1 2 结构振动控制研究与应用概况结构振动控制是一个应用领域广泛的工程问题，所谓结构振动控制( 以下简称为结构控制) 是指采用某种措施使结构在动力荷载作用下的响应不超过某一限量，以满足工程要求【i “。2 l 世纪初，结构振动起源于解决内燃机的振动问题，开始较系统地对结构振动进行了研究。二战后，随着军事工业、民用工业与空间技术发展的需要，结构控制的研究在理论和应用方面也取得了迅速发展；特别是近年来，在结构大型化、柔性化、智能化、高精度控制等方面取得了长足发展。在民用工业，如土木工程中，随着材料强度的提高和施工技术的进步，工程结构的尺寸越来越大，如超高层建筑、大跨度桥梁等，结构刚度显著降低，舒适性和抗震性随之恶化【l2 1 。目前，土木结构控制，包括结构的安全，使用寿命和人的舒适等，在世界范围内已成为最需优先考虑的重大问题之一。在空间技术领域，为了完成多样化的任务，现代航天器通常带有一系列大型柔性附件，如太阳能帆板、空间天线和空间望远镜等：同时对控制精度要求也更高，忽略弹性附件振动的刚体模型及半刚体模型已不能满足实际工程的需要。大型空间结构的柔性附件运动已成为系统动力学和控制中的一个突出问题。在军事工业方面，一些新型武器系统要求高精度的稳定平台，而实战中武器系统往往要工作于复杂的环境中，环境中各种振源都会导致武器平台产生振动，从而影响整个武器系统的跟踪、瞄准和发射精度，因而平台系统要有很强的隔振性能，才能满足一些现代武器作战时间短、空域宽、要重复发射等要求随着结构控制应用的发展，传统结构控制机理与技术在一些工程实际闯题中已不能满足要求，8 0 年代以来，智能结构得到了广泛关注，探索崭新的智能化结构控制机理与技术成为一个研究热点，智能结构的出现与智能材料的发展密切相关，智能结构控制系统中传感与执行器件通常为某种智能材料，如压电陶瓷【1 3 】、形状记忆合金【1 4 】、电，磁流变材料 5 0 i 、电i 磁致伸缩材料嗍等。将智能材料应用于结构控制中，为许多采用常规材料难以解决的结构控制问题开拓了一条新的解决途径，但智能材料往往具有强非线性与分布参数的特点，使得智四川，_ l ；= 学硕士学位论文能结构的控制问题成为一类挑战性问题。结构控制问题是种多学科交叉的理论与工程问题，其结构类型繁多、控制目标不同、实现手段多样。目前，国内外控制界对这类问题的研究十分重视，有大量得学术论文发表，其中不少新结果得到了实际工程应用。1 3 非线性系统控制研究进展对于非线性系统，传统的控制设计程序是将过程模型线性化，然后再利用线性控制的方法。然而“线性化”的方法用于非线性对象并不总能得到满意的结果。特别是在例如姿态控制、机器人控制、无刷直流电机和化学过程等的控制问题中，由于系统的高度非线性及经历大范围变化，问题更加严重。究其原因，是人们将不可忽视的非线性关系用线性关系代替或忽略了。所有这些，都要求我们寻求真正的非线性控制技术。几十年来，对非线性系统控制的研究进展是明显的。主要的研究方法有：相平面法、李亚普诺夫方法以及谐波线性化方法等【1 ”。这些方法已被作为研究非线性控制的常用方法，但是，这些方法各有不足之处，都不能称为处理一般非线性系统的方法。例如，相平面方法虽然能够获得定常系统的全部特性( 稳定性、过渡过程等) ，但对于大于二阶的系统就不能或不便应用了。李亚普诺夫方法用于稳定性分析时，虽然对所要求研究的系统的形式没有特别限定，但要求出一个非线性系统的李亚普诺夫函数也不是一件简单的事情。因此，其理论指导作用在实际上往往要受到很大限制。谐波线性化法( 描述函数法) 是一种近似分析方法，对于工程中的应用，它不失为一种可用的使用工具，但它的作用主要是用来分析自振及稳定性，且其结果也是近似的。以上情况不是偶然的，因为非线性系统的内容十分丰富，运动类型很多，要建立一个适于所有的非线性系统运动规律的分析方法是不可能的。从数学的角度来看，其原因可理解为：对应于每个线性系统的线性微分方程总是有解的，而且也有解的公式，但对应于每个非线性系统的非线性微分方程却一般是不可解的。在上述的研究方法中，虽然不是要求准确的求解非线性微分方程，但总是需要将理论建立在对解的性质的某种理解上。因此，这些研究途径所面临的困难也是显然的。在这种情况下，非线性系统的研究一直进行着，并且出现了一些新的方法，逆系统方法在振动一离心复台环境中的应用如微分几何法、逆系统方法【l ”、智能控制方法【1 7 】等。微分几何方法的目趋成熟使的非线性控制系统理论获得了巨大的进展】，但微分几何法要求较深的数学知识，难以实际运用。1 9 6 5 年，r w b r o c k e t t 首次提出多变量线性系统的逆问题，之后1 s l 1 9 1 ，l m s i l v e r m a n 做了大量的工作 2 0 l ，1 9 7 9 年，h r i s c h r o n 将线性系统可逆性问题应用到非线性领域，得出了非线性系统的可逆性条件及逆系统形式【2 ”，1 9 8 8 年，李春文、冯元琨提出一般解析非线性系统的解耦控制理论【2 孙。非线性系统由于自身的特定，其行为更加复杂，内容更加丰富，而智能控制的兴起无疑丰富了非线性控制的内容。智能控制系统出现于7 0 年代初期，进入8 0 年代开始被广泛地接受，并且日益受重视，现在已经出现了不少层次不同、方法不同、技术不同，新颖各异的简单智能控制系统。1 4 逆系统方法研究现状可逆性理论是关于系统定性结构的理论。逆系统的理论在于许多方面都有重要的应用，如解耦、反馈线性化、模型匹配、编码、滤波等。1 9 6 5 年，r w b r o e k e t t首次提出多变量线性系统的逆问题【1 8 】c l9 】，之后，l m s i l v e r m a n 做了大量的工作【2 0 1 ，早期关于逆系统的工作 1 8 , 1 9 1 1 2 3 2 5 1 主要集中在逆系统的存在性方面的研究，如非最小阶系统的可逆性和求逆算法。s i l v e r m a n f 2 0 l 矛dp o r t e r 2 4 1 i l 正实了可构造出比原系统低阶的系统的逆，在随后的几年里，关于逆系统的研究重点放在了构造系统最小阶的逆。b e n g t s s o n 2 6 1 指出了最小阶逆的意义：最小阶逆系统的极点是唯一的，且适用于所有的逆系统。他通过对比单输入单输出系统得出多变量非时变系统的零点就是最小阶逆系统极点的结论。1 9 7 9 年，h r i s c h r o n t 2 1 1 将线性系统可逆性问题首次应用到非线性领域，得出了形如憎j = 4 ( x ) + 脚( f ) 甄( x ( f ) ) ；工( o ) = x o m扛ij ，( f ) = c ( 工( f ) )方程所表示系统可逆的充分条件，并给出了构造逆系统的具体算法。在此之后，很多学者对逆系统进行了扩展。1 9 8 0 年，p r o d i ps e n 和m r c h i d a m b a r a l 2 7 1 针对具体形如主= a x + b 口j r = h ( x )4四川大学硕士学位论文所表示的系统作了研究，给出了该系统可逆的充要条件。1 9 8 1 年，s a h i e n d r an s i n g h t 2 s l 在h r i s c h r o n 工作的基础上作了改进，给出了新的可逆性条件，使其能应用到更广泛的系统。关于逆系统的研究继续进行着，1 9 8 8 年，李春文，冯元琨 1 6 l 2 2 1 将逆系统的研究又向前做了更进一步的推动，他指出逆系统的模型可以不必受仿射非线性这个形式的限制，而直接以下述方程j = ，( x ，) x ( t o ) = 工ox r ”h r 厨y = h ( x ，“)，r 7所表示的一般非线性系统作为考察对象。这一进步为控制系统设计理论的研究提供一种更一般的途径和方法。在对逆系统方法及其有关问题的进一步研究中。他们通过直接数学分析的方法，建立和发展了一般非线性系统的左、右可逆性理论、解耦理论、系统镇定、线性化综合和状态观测等一些基本理论和方法。这些结果为一般非线性系统控制理论的建立提供了必要的条件。1 5 本文研究的目的和意义近年来，离心力和振动二元复合的试验方法已经日益为学术界和工程界所重视，这是因为这一方法可以在试验中实现静动荷载对模型或结构共同耦合作用的模拟，以验证理论模型的正确性、研究结构的破坏机理。但离心振动复合环境试验系统具有一定的时变性、非线性和不确定性，而且试验要求较高的控制精度、良好的动态特性和较强的适应能力，对这类系统采用传统的控制理论和设计方法难于进行。而逆系统方法，从原理上讲，其可逆性概念是不局限于系统方程的特定形式，而具有普遍的研究意义的。这使得逆系统方法可以直接以一般形式的非线性系统作为考察范围，并建立设计理论。而且在更大的范围上，逆系统方法的设计思想对离散系统、分布参数系统这样的不同系统类型也同样适用。这也说明，逆系统方法是一种基于对非线性系统的某种本性认识上的，具有一般性和普遍性的设计方法。其次，由于逆系统方法不再需要像微分几何方法那样将问题变换到“几何域”进行某种变换，而是直接进行研究，因而显得直接、直观和易于理解。再者，由于逆系统方法成功的避免了对微分几何和其他较抽象的专门性数学理论的引入，从而形成了种非常简明的非线性控制理论，这也给理论的使用带来了方便。例如，将逆系统方法应用于工业机器人控制、工程控望墨竺查堡壅堑垫二曼：生墨垒堡堡主塑查旦制、电力系统以及航天飞行器控制等一些领域的研究过程中，己经多次表明，系统的设计过程都是相当简单的，而且，都取得了不同程度的显著效果。逆系统方法作为非线性控制的一个设计理论，虽然从体系上讲是基本完整的，但现存的逆系统的理论结果只是为解决实际问题提供了一个必要的基础。在将现存的理论方法贯彻到具体的设计过程时，往往还有许多问题，如复杂的非线性方程组的求解，在变量结构复杂的情形下控制解的推导，或者实际问题的模型化，对模型的简化近似处理，以及设计方案的有效工作区域是否充分等，都有待进一步的解决。本文针对复合离心机振动台这一特定多体系统，从一般非线性系统的相对阶定义出发分析系统的可逆性，并用逆系统的方法，将这一多变量、非线性、强耦合的复杂对象解耦成线性子系统，并运用线性系统理论对设计的闭环控制器进行控制。1 6 本文主要工作综上所述，逆系统方法作为非线性控制的一个设计理论，虽然从体系上讲可以说是基本完整的，但是在具体的应用中，还是一个复杂的过程。为此，本文做了以下工作：1 在阅读大量文献的基础上，总结了离心力振动复合环境试验研究现状，对比了几种非线性系统的研究方法，强调了逆系统方法的特点，对逆系统的发展作了进一步的介绍，最后阐明了本文所做研究工作的目的与意义。2 介绍了振动控制系统的连续时间状态方程、传递函数以及控制算法，阐述了结构振动控制系统的稳定性、能控性与能观性等重要特性。3 介绍了逆系统、口阶积分逆系统和伪线性系统等基本概念，引入了逆系统的基本设计原理，进而阐述了系统左、右可逆性的存在性判据、求逆算法和一些初步的设计方法4 将多自由度体系的运动微分方程解祸。在微小时间间隔内，将荷载视为阶跃荷载，运用控制论中的逆系统理论，将动荷载识别的逆问题归结为建立原系统的的逆系统，从而在逆系统中求输出的正问题，最终实现荷载识别。此外，还利用逆系统方法对这线性一耦合系统，求出其逆系统，并和原系统一起够成伪线性系统，对其实现了解耦，达到了控制目的。6四川大学硕j 二学位论文5 ，建立了振动台的五刚体模型的运动方程，并分别以位移、速度、加速度作为控制目标，求出了该系统相应的逆系统，并和原系统一起构成了伪线性系统，从而将这一时变、耦合系统进行了解耦和线性化，并根据线性控制理论完成系统综合的目标。最后通过数值算例，得出逆系统方法可以将目标量有效的控制在很小的误差范围之内。该数值算例也显示了逆系统方法简单直观的特点。6 对逆系统方法更深一步的工作作了初探，将其应用到随机振动。考虑到受随机荷载的线性系统的研究日趋成熟，针对受随机荷载的非线性系统，可将非线性系统线性化，然后再求线性系统的逆。7 将逆系统方法和智能控制结合起来进行逆建模逆控制。文中给出了非线性系统的神经网络辨识的理论基础，结合逆系统方法给出了具体的步骤，为进一步的工作做了前期的准备。逆系统方法在振动一离心复合环境中的应用2 结构振动控制基本理论动态系统的数学描述及其重要特性是现代控制理论的基础。动态系统般在状态空间内建立输入输出的数学关系，可以是连续时间的状态方程或是离散时间的差分方程。稳定性、能控性与能观性是动态系统的三个重要特性。本章先介绍了工程结构振动控制系统的连续时间状态方程，在此基础上，阐述了结构振动控制系统的稳定性、能控性与能观性等重要特性，最后介绍了线性动态系统的传递函数及振动主动控制中的极点配置算法。2 1 受控系统方程假设结构模型是一个以自由度的集中质量一弹簧一阻尼系统，受控结构系统的矩阵运动方程为：。 缈( f ) + c 梦( f ) + k y ( t ) = d u ( t ) + e l ( t ) ( 2 - 1 )其中m 、c 和置分别是一押阶的质量、阻尼和刚度矩阵，y ( t ) 是盯维位移向量，( f ) 是，维扰力向量，“( f ) 是m 维控制向量，一小阶矩阵d 和一，阶矩阵e 分别是控制力和外扰力的位置矩阵。假设控制系统为一闭一开环系统，即控制力是位移向量j ，( f ) 、速度向量岁( f )和外扰力，( f ) 的线性函数。则控制力可表达为搿( f ) = k 。y ( t ) + c lj ( f ) + 占，( f )( 2 - 2 )其中k ，、c i 和e ，分别为位移向量、速度向量和外扰力的控制增益矩阵。将式( 2 - 2 ) 代入式( 2 - 1 ) ，得m e ( t ) + ( c - d c i ) 岁0 ) + ( 矗一蹦i ) y 0 ) = ( e + d e l ) f ( t )( 2 - 3 )可以看出，闭环控制的作用就是改变结构的参数( 刚度和阻尼) ，开环控制的作用就是改变( 减小或消除) 外扰力。控制增益矩阵眉。、c 和e 的取值由所选用的控制算法决定。为了便于以下的讨论，将式( 2 一1 ) 改写为下面的状态方程：z ( t ) = 4 2 ( f ) + 圄 ，( f ) + j e 矿( f )，x ( 0 ) = 工o( 2 - 4 )其中z ( f ) = p ( f ) 夕( f ) 】r( 2 5 )四川太学硕士学位论文是2 n 维状态向量，爿= 瞄mk m 。一l c l ci 一一一叫l矗= 丑= 0 。f ( f ) = h ( f )( 2 6 )分别是2 n x2 n 阶系数矩阵、2 n t i t 阶控制器位置矩阵和2 n x 栉阶外扰力位置矩阵，式( 2 6 ) 中的0 和j r 分别表示 以阶零矩阵和单位矩阵。2 2 动态系统稳定性稳定性是动态系统的重要性质，是系统平衡点邻域的局部特性。下面给出动态系统平衡点的定义和系统稳定性定义。2 2 1 系统平衡点研究动态系统z ( t ) = f ( z ( f ) ，u ( f ) ，t )z ( o ) = z o( 2 。7 )式中，z r 一是动态系统的状态向量：毛是系统的初始状态；u r 7 是输入向量或干扰向量；f r “是向量函数。一般情况下，f 为时变的非线性函数。如果f 不显含时间f ，则系统是定常的非线性系统。如果f 不显含时间t ，又是z 的线性函数，则系统是线性定常系统。在输入，( f ) = 0 的情况下，如果一个系统的状态具有性质z ( t o ) = 乙j z ( f ) = z e ( v t t o )( 2 - 8 )那么z 称为该系统的平衡状态或平衡点显然，平衡状态满足方程f ( 乙，0 ，t ) = 0( f t o )( 2 9 )任意一个系统不一定存在平衡点，如果存在平衡点，也未必是唯一的系统的平衡点可以分为两类，如在支撑向上自由滚动的球，如图2 1 所示，a c 中任i - - 点b 都是平衡点，是随意平衡点：与此相对应，d 和e 称为孤立平衡点。9逆系统方法在振动一离心复合环境中的应用在这里，我们仅仅考虑系统的局部稳定性，而且仅考虑孤立平衡点的稳定性。o 年j8 圈2 1 动态系统的平衡点通过变量变换，总可以将状态空间中任意一个点变为状态空间的原点，因此假定z e = 0 是系统的平衡点，而且是系统坐标原点。这样，系统稳定性问题就可以只讨论由于某种干扰使系统在t 。时的状态为z o 0 ，由初始状态引起的运动z ( f ) 0 f o ) 将回到原点，或保持在原点附近或逐渐远离原点的问题。2 2 2 系统稳定性在零输入情况下，即u ( t ) = 0 ，系统状态方程可以表示为2 ( t ) = f ( z ( f ) ，0 ，f )z ( o ) = z o( 2 - 1 0 )系统的稳定性是根据系统自由响应是否有界定义的。如果对于任意给定的实数占 0 ，都存在一个实数j ( 占，t o ) 0 ，使系统( 3 - 1 0 )在l i z o l i 占( 占，t o )( 2 _ 1 1 )时，z ( o ) = z 。引起的系统运动z ( f ) 都满足条件脓f ) t o )( 2 - 1 2 )于是原点是稳定的平衡点，或者说系统在原点是稳定的，也称为在l y a p u n o v 意义下是稳定的。如果艿与t 。无关，那么原点是一致稳定的平衡点，即称系统在原点一致稳定。如果一个动态系统具有这种稳定性，那么可以肯定，满足式( 2 - 1 1 ) 的初始条1 0四川大学硕士学位论文件引起的系统运动一定在原点的占邻域内，如式( 2 1 2 ) 所示。如果系统( 2 - 1 0 ) 在原点是稳定的，而且由z ( o ) = z 。引起的系统运动满足条件l i mi j z ( o = o l i( 2 - 1 3 )那么原点是渐近稳定的平衡点，或者说系统在原点是渐近稳定的。如果占与t 。无关，那么原点是一致稳定的平衡点，即称系统在原点是一致渐近稳定的。只有渐近稳定的结构才是稳定的结构。具有l y a p u n o v 稳定性的结构称为临界稳定系统，属于不稳定结构。然而，和l y a p u n o v 稳定性不一样，渐近稳定性也是局部性质。知道一个系统某平衡状态的渐近稳定性还不够，还应该知道系统在该平衡状态附近多大范围内具有这种性质，在结构设计时尽量扩大这个范围。如果系统( 2 一1 0 ) 在原点是渐近稳定的，而且在状态空间可行域中任意初始状态引起的运动z ( t ) 都是渐近稳定的，那么原点是大范围渐近稳定的，或者说在整个可行域是渐近稳定的。显然，系统大范围稳定性的必要条件是系统在整个可行域只有一个平衡状态。2 3 线性定常系统的能控能观性2 3 1 系统的能控性能控性是存在于系统输入u ( t ) 和系统状态z ( t ) 之间的性质，仅涉及系统状态方程的矩阵a 和b 。因此能控性可以仅从系统状态方程出发进行讨论。对于线性系统z ( t ) = a z ( t ) + b u ( t )( 2 1 4 a )z ( t o ) = z oz ( t 1 ) = z 1( 2 。1 4 b )如果在有限时间区间k ，t l 】内存在u ( f ) ，使系统由状态磊转移到状态五，则称状态z 。是能控的。若系统的任何初始状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，简称系统是完全能控的。系统的能控性具有以下特点：逆系统方法在振动一离心复合环境中的应用能控性考察的是系统由一个时刻的状态向另一时刻的状态转移的可能性，与状态的具体量值无关。因此，系统的状态可以是z ( t o ) = 0 ，也可以是z ( t ，) = 0 ，同时也可以假定t o = 0 。在讨论系统的能控性时，输入u ( f ) 在区间i f 。，t 。l 是无约束的，其取值也并菲需要是唯一的，因为我们关心的只是能否将系统从状态z ( t 。) 转移到状态z ( t ，) ，而不管系统转移的轨迹。在z ( t o ) = 0 ，z ( t ，) 为任意状态时，系统可控即指在有限时间区间f f o ，t ，i 内存在控制u ( f ) ，能将系统由零状态驱动到z ( t ，) 。2 3 2 系统的能观性现代控制系统一般都采用信息反馈控制。然而，在实际工程中往往不可能测量所有的状态变量，尤其是在系统的自由度数很大时。在现代控制论中，反馈信息由系统的状态变量组合而成。于是，出现一个问题，即能否通过对输出量的测量获得全部状态的信息，这就是所谓系统的能观性问题。能观性讨论的是输出向量y ( t ) 反映状态向量z ( f ) 的能力，与控制作用u ( f )没有直接的关系。因此，在分析系统的能观性时，可以认为输入，( f ) 是任意的，当然可以认为u ( f ) = 0 。也就是说，能观性是存在于输出向量y ( t ) 和状态向量z ( f ) 之间的性质，包含于系统矩阵a 和输出矩阵c 0 之中。可以从如下齐次状态方程和输出方程来分析系统的能观性：z ( t ) = 以( f )z ( t o ) = z o( 2 1 5 a )y ( f ) = c o z ( f )( 2 15 b )能观性讨论下述问题：己知系统方程( 3 1 5 ) 及在时间区间【，o ，t 】的输出y ( t ) ，计算初始状态z n 。对于系统( 2 1 5 ) ，如果根据在有限时间区间i t 。，t l 】的输出l ，( f ) 能唯一地确定系统在初始时刻的状态z ( t 。) = z o ，则称该系统在t 。是能观的：如果对于所有的，0 和磊系统能观，则称系统完全能观，简称能观。系统能观性具有以下特点：1 1 如果一个系统不能观，那么，不管多长时间区间的输出y ( f ) 已知，从这些输出都不能确定该系统的初始状态。四川大学硕士学位论文2 ) 在定义中把系统能观性规定为对初始状态z n 的确定，这是因为一旦确定了初始状态z n ，便可以计算任意时刻的状态z ( t ) = o ( t ，t o ) z o( 2 1 6 )3 ) 当卅= n ，且c 。非奇异时，有z ( t ) = c 0 1 y ( f ) 。此时，不需要观测时间。一般情况下，m n 。为了能唯一地求出一个状态变量，不得不在不同的时间测量输出r ( t o ) 、r ( t ) 、r ( t 。) ，使之构成足够多的相互独立的一组方程。因此，在定义中观测时间应满足t 。t t 。的要求。2 。4 线性系统的传递函数传递函数是研究线性系统的输入和输出关系的一个重要概念和分析手段。单输入单输出系统的传递函数，是系统全部状态的初始值为零时输出和输入的l a p l a c e 变换式之比。如把输入和输出的l a p l a c e 变换分别写成口( s ) 和j t ( ，) ，传递函数为f ( s ) ，则它们之间的关系为心) 2 器( 2 - 1 7 )口l j ly ( s ) = t ( s ) u ( s )( 2 - 18 )传递函数的概念也可以推广到多输入多输出系统。若己知一个系统的状态方程z ( t ) = a z ( t ) + b u ( t )( 2 - 1 9 )r ( t ) = c 。z ( t ) + d o u ( t )( 2 - 2 0 )式中，z 胄”是系统状态向量；l ，r ”是系统输出向量：u r 9 是系统输入向量：a r 是系统矩阵；b r ”是控制力位置矩阵；c o r 是输出矩阵；d r p 是直接传递矩阵。在z ( f ) | f = o = 0 条件下，对式( 2 1 9 ) 年g ( 2 - 2 0 ) 作l a p l a c e 变换，得s z ( s ) = a z ( s ) + b u ( s )( 2 - 2 1 )r ( s ) = c o z ( s ) + d o u ( s )( 2 2 2 )逆系统方法在振动一离心复合环境中的应用由式( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) ，得z ( s ) = ( s i 一爿) 。b u ( s )v ( s ) = c o ( s l a ) “b + d o u ( s )故u z 间的传递函数矩阵为，k ( s ) = ( s l 一4 ) 1 b而，一l ，间的传递函数矩阵为巧y ( 5 ) = c o ( 订一a ) _ 1 b + d o式中e r ”9 ，巧r = r ”。记巧，( j ) = r ) = i t 口( 5 ) 】( 2 - 2 3 )其中t o ( s ) ( i = 1 ，2 ，m ；j = l ，2 ，p ) 都是标量函数，表征第个输入对第f 个输出的传递关系。当( s ) 0 时，又f ，意味着不同标号的输入与输出相互关联，称为耦合关系，这正是多变量系统的特点。设系统状态变量有如下非奇异线性变换z = s a t利用式( 2 2 8 ) 变换式( 2 - 1 9 ) 和( 2 2 0 ) ，得到z ( t ) = a z ( t ) + b u ( t )y ( t ) = c o z ( t ) + d o v ( t )式中j ：s 一1 a s- f f = s 一1 bc o = c 0 0 )系统( 2 - 2 9 ) 和( 2 3 0 ) v y 问的传递函数为于( s ) ，即( 2 - 2 8 )( 2 - 2 9 )f 2 3 0 )f 0 ) = e o ( s l 一万) 面+ d o= c o s ( s l - s - a s ) - 。s - t b + d o( 2 31 )= c o s ( s l s 。1 a s ) s 。】_ l b + 风= c o ( s l 一一) 一1 b + d o = r ( s )删四蛳叨q口心川大学硕j ：学位论文因此，对于个线性系统，尽管其状态方程可以作各种非奇异变换而不是唯一的，但系统的传递函数矩阵是不变的，即一个系统的传递函数矩阵是唯一的。系统的传递函数也可以写成下列形式：m ) = 等而d ( s ) = l s 一a i( 2 - 3 3 )n ( s ) = c o 【口d j ( s t 一4 ) 】曰+ d ( s ) d o( 2 - 3 4 )a d j ( a ) 是矩阵的伴随矩阵。式( 2 - 3 2 ) r 9 ，d ( s ) 是s 的腮阶多项式。满足如下方程的解称为系统的极点：d ( s ) = i s l a l = 0( 2 3 5 )式( 2 - 3 5 ) 也是系统矩阵的特征方程，其解也称为系统的特征值，它决定系统零输入自由响应的特征。n ( s ) 矗”的每个元素都是s 的多项式，其阶次不高于d ( s ) 的阶次。一般情况下，j j v ( s ) 不是方阵。使n ( s ) 的秩低于其正规秩的那些j 值称为系统的零点。按照系统零点的这个概念，如果n ( s ) 是方阵，且非奇异，则系统的零点是j 、r ( s _ = 0 的解。2 5 线性定常系统的状态反馈的极点配置2 0 多年来，国内外从事结构控制的学者对主动控制算法进行了大量的研究，取得了一系列成果。目前主动结构振动控制常用算法有经典线性最优控制、极点配置、瞬时最优控制、独立模态控制、日。状态反馈控制、滑动模态控制、自适应控制、鲁棒性控制及最优多项式控制等等。考虑到本文只是用到了状态反馈的极点配置法，本节将只详细介绍状态反馈的极点配置法。系统的极点就是系统矩阵a 的特征值。一个矩阵的特征值可以是实数，也可以是复数。当它为复数时，一定是成对出现的，如r_五；2 = f l + i c o = 一白u j f q 、l 一彰r 2 3 6 、“，和5j 分别是系统第j 阶自振频率和阻尼比，因此，p 和分别反映系统的阻逆系统方法在振动一离心复台环境中的应用尼特性和频率特性。系统的特征值对应于复平面( ，) 上的一个点。一个系统的动力特性在很大程度上决定于系统的极点( 即系统矩阵4 的特征值) 在复平面上的位置。采用状态反馈或输出反馈可以改变系统的阻尼矩阵和刚度矩阵，导致系统极点改变，以期获得期望的系统性能。利用状态反馈或输出反馈，可以把一个系统的极点移至复平面的任意位置，这个过程称为系统的极点配置。在讨论中，我们将看到，系统的能控性与能观性在系统极点配鼍过程中起着重要作用。系统极点配置问题与系统干扰无关。因此，在讨论系统极点配置问题时不考虑系统的外部干扰，即讨论如下线性定常系统的极点配置z ( t ) = a z ( t ) + b u ( t )( 2 3 7 a )】，( f ) = c o z ( t )( 2 3 7 b )式中，z r “；y r 卅；u r la r 删；b r 。；c o r 删。采用状态反馈对系统( 一，置c o ) 任意极点配置的充分必要条件是系统完全能控。设系统( 2 3 7 a ) 的控制输入可以表示为u ( t ) = - g z ( t )( 2 - 3 8 )式中g r p ”是状态反馈增益矩阵。把式( 2 3 8 ) 代入式( 2 3 7 a ) ，有z ( t ) = “一b g ) z ( t )( 2 3 9 )可以设计状态反馈增益矩阵g 来实现式( 2 3 9 ) 描述的闭环系统指定极点的配置。下面给出一种设计状态反馈增益矩阵g 的方法，g 使系统具有一组任意极点。对于式( 2 - 3 9 ) 描述的闭环系统，有。( ) 爿2 1 - ( a b g ) i - - i ( 盯。一a ) + b g l= f ( 2 t 一_ ) l + ( 甜。一爿) 。b g i( 2 - 4 0 )= i a l 一a i i j 。+ ( 舡。一4 ) “b g i对于开环系统，有l 厶j 一a l = 0 ，厶是开环系统矩阵a 的特征值。设闭环系统矩阵的特征值a 九，那么1 2 1 一a f 0 ，即( 甜。一爿) 1 存在。由式( 2 - 4 0 ) ，可将闭环系统的特征值方程表示为1 6四川大学硕士学位论文c ( ) 2 = l 盯1 2 ”, , 一- _ a l 。 j i ，l “+ ( “ 一爿) 。b g l k( 2 4 i ) p + g ( u n - a ) - 1 8 2 ib0、7式中j ，是px p 单位矩阵。选择的g 应使。( a ) = 0 ，由于1 2 。一a i 0 ，因此li 。+ g ( 2 。一4 ) 。1 b 卜0( 2 - 4 2 )一个矩阵的行列式等于零的充分条件是该矩阵存在零行或零列。假设g 的选择使下式成立8 ，+ g 纺( ) = 0 或g p ( a 1 ) = 一e j( 2 4 3 )其中妒( i ) = ( j r