（基础数学专业论文）图像边缘检测函数的研究及应用.pdf

摘要 摘要：边缘检测和轮廓提取是图像分割中十分重要的问题。本文提出 了几种新的灰度或者彩色图像边缘检测函数，并与已有的边缘检测函 数做了比较，实验证明新的边缘检测函数在处理噪声图像，纹理图像 方面更具优势。其次，本文还将边缘检测函数用于测地活动轮廓模型 中，得到图像分割的结果。最后，将某些边缘检测函数作为改进的 p e r o n a m a l i k 模型的扩散系数，得到彩色图像恢复的结果。 关键词：边缘检测，图像分割，测地活动轮廓模型，p e r o n a m a l i k 模 型，t v 模型 a b s t r a c t e d g ed e t e c t i o na n dc o n t o u re x t r a c t i o na r ev e r yi m p o r t a n tp r o b l e m si n i m a g es e g m e n t a t i o n i nt h i sp a p e r w ep r e s e n ts e v e r a ln e we d g ed e t e c t i o n f u n c t i o n sf o rg r a yo rc o l o ri m a g ea n dm a k ec o m p a r i s o n sw i t ht h ee x i s t e d e d g e d e t e c t i o nf u n c t i o n s e x p e r i m e n t a lr e s u l ts h o w st h a tt h en e we d g e d e t e c t i o nf u n c t i o n sh a v e a d v a n t a g e s i nn o i s e i m a g e a n dt e x t u r e i m a g e m o r e o v e r ，ia l s oa p p l yt h en e we d g ed e t e c t i o nf u n c t i o n si n t ot h e g e o d e s i ca c t i v ec o n t o u rm o d e l ，a n dg e tt h ei m a g es e g m e n t a t i o nr e s u l t ， f i n a l l y ，w et a k ec e r t a i ne d g ed e t e c t i o nf u n c t i o na st h ed i f l u s i o ne o e f f i c i e n to f i m p r o v e d p e r o n a m a l i km o d e la n d g e t t h er e s u l to fc o l o r i m a g e s e g m e n t a t i o n k e y w o r d s ：e d g ed e t e c t i o n ，i m a g es e g m e n t a t i o n ，g e o d e s i ca c t i v ec o n t o u r m o d e l ，p e r o n a m a l i km o d e l ，t vm o d e l 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究2 1 2 作及取 得的研究成果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：趔魄m 玎 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密 后适用本规定 学位论文作者签名：莠德露4 ，导师签名： j 日期：丝丑：日期： 1 1 图像边缘的定义 第一章绪论 边缘是图像最基本的特征之一。在图像中，所谓边缘就是指周围灰度强度有反差 变化的那些像素的集合。边缘具有方向和幅度两个特征，沿边缘走向，象素值变化比较 平缓；而垂直与边缘走向，象素值变化比较剧烈。这种变化可能呈现阶跃状，也可能呈 现屋顶状。而阶跃状边缘两侧的灰度值是由大到小或者由小变大：屋顶状边缘处于灰度 值由小到大再到小或者是由大到小再到大的变化转折点处。边缘上象素值的一阶导数较 大：而二阶导数值为零。图像的边缘对人的视觉具有重要意义，因为人类对物体的识别 依赖于图像的边缘。例如当人们看到一个灰度变化缓慢的区域时，很难把这个区域分为 轮廓分明的两部分，但是当该区域有灰阶突变时，人们立即就可以感受到边缘的存在。 1 2 边缘检测在图像处理中的重要性 数字图像处理( d i g i t a li m a g ep r o c e s s i n g ) 又称为计算机图像处理，它是指将图像 信号转换成数字信号并利用计算机对其进行处理的过程。图像处理技术在许多应用领域 受到广泛重视并取得了重大的开拓性成就，属于这些领域的有航空航天、生物医学工程、 工业检测、机器人视觉、公安司法、军事制导、文化艺术等，使图像处理成为一门引人 注目、前景远大的新型学科 1 9 1 。 数字图像处理丰要研究的内容有以下几个方面： 1 1 图像变换和编码压缩：把图像从空间域转换到变换域，如傅立叶变换、沃尔什 变换、离散余弦变换等，不仅可减少计算量，而且可获得更有效的数字滤波处理等。图 像图像编码压缩技术可减少描述图像的冗余数据量，以便节省图像传输、处理时间和减 少所占用的存储器容量。 2 1 图像增强和复原：图像增强和复原的目的是为了提高图像的质量，如去除噪声， 提高图像的清晰度等。图像增强不考虑图像降质的原因，突出图像中所感兴趣的部分。 如强化图像高频分量，可使图像中物体轮廓清晰，细节明显；如强化低频分量可减少图 像中噪声影响。 3 1 图像分割和识别： 图像分割是数字图像处理中的关键技术之一。图像分割是将 图像中有意义的特征部分提取出来，其有意义的特征有图像中的边缘、区域等，这是进 一步进行图像识别、分析和理解的基础。图像分类( 识别) 属于模式识别的范畴。其主 要内容是图像经过某些预处理( 增强、复原、压缩) 后，进行图像分割和特征提取，从 而进行判决分类。 边缘检测是图像处理的经典课题之一。图像的边缘部分集中了图像的大部分形状信 息，且广泛存在于物体与背景之间、物体与物体之间，基元与基元之间。图像边缘的确 定与提取对于整个图像场景的识别与理解是非常重要的。首先，人眼通过追踪未知物体 的轮廓( 轮廓是由一段段的边缘片段组成的) 而扫视一个未知的物体。其次，经验告诉我 们：如果能成功地得到图像的边缘，那么图像分析就会大大简化，图像识别就会容易得 多。第三，很多图像并没有具体的物体，对这些图像的理解取决于它们的纹理性质，而 提取这些纹理性质与边缘提取有极其密切的关系。 边缘检测主要是图像的灰度变化的度量、检测和定位。边缘检测对于物体的识别是 很重要的，是目标区域的识别、区域形状提取和机器视觉等图像分析领域十分重要的基 础，同时也是图像分割，纹理分析和图像识别所依赖的重要特征。边缘检测在图像处理 中主要有以下重要应用： 1 ) 图像分割 利用计算机进行图像处理通常有两个目的：一是产生更适合人观察和识别的图像， 二是希望计算机能自动识别和处理图像。无论为了那一种目的，图像处理中关键的一步 就是对含有大量各式各样景物信息的图像进行分解，分解的最终结果是图像被分解成一 些具有某种特征的最小成分：称为图像的基元。相对于整幅图像来说，这种基元更容易被 快速处理。 图像分割是数字图像处理中的关键技术之一。图像分割是将图像中有意义的特征部 分提取出来，其有意义的特征有图像中的边缘区等，这是进一步进行图像识别、分析和 理解的基础。 2 ) 图像识别 图像识别广泛应用于文字识别，条形码识别，人脸识别，车牌识别等领域。 图像识别可在分割的基础上选择需要提取的特征，并对某些参数进行测量，再提取 这些特征；最后根据测量结果作分类。为了更好地识别图像，还要对整个图像作结构上 的分析，对图像进行描述，以便对图像的主要信息得到一个解释和理解，并通过许多对 象相互间的结构关系对图像加深理解，以便更好地帮助识别。所以图像识别是在分割后 的每个部分中，找出它的边缘，形状及纹理等特征，即特征抽取( 有时也包括图像分割) ， 以便对图像进行分类，并对整个图像作结构上的分析。图像识别的输入是图像( 一般是 经过处理过的图像) ，输出是类别和图像的结构分析，而结构分析的结果则是对图像作 描述，以便对图像的重要信息得到种理解和解释。 3 ) 纹理分析 纹理是对图像的象素灰度级在空间上的分布模式的描述，反映物品的质地，如粗糙 度、光滑性、颗粒度、随机性和规范性等。纹理是区域属性，并且与图像分辨率( 或称 尺度，r e s o l u t i o n o rs c a l e ) 密切相关，纹理具有重复性、规则性、方向性等等。当图像 中大量出现同样的或差不多的基本图像元素( 模式) 时，纹理分析是研究这类图像的最 重要的手段之一。 据构成图案的要素形状、分布密度、方向性等纹理进行图像特征提取的处理叫做纹 理分析，纹理分析有着广泛的实际应用，例如产品检测，医学诊断，遥感检测等等。 2 1 3 边缘检测算子 边缘检测方法总体上可分为两大类。一类是基于边缘拟合算子的检测方法；另一类 是基于微分算子类的图像边缘检测方法。该类方法中的大部分算法使用的是滤波器模 板，即令所处理的像素与模板的中心重合，模板系数与相对应像素值加权后相加，其结 果作为该像素点的梯度值：在整幅数字图像矩阵中移动滤波器模板，就可得到一幅梯度 图。此方法的结果反映了数字图像中像素灰度变化的梯度，根据梯度图中梯度的变化情 况检测出图像的边缘。该类方法中最典型的算子有r o b e r t s 算子、s o b e l 算子、拉普拉斯 算子、m a n 算子、c a n n y 算子等 6 1 1 1 9 1 。 1 4 本文的主要思想以及论文的组织 上述边缘检测算子往往只是针对灰度图像而设计。从理论上来说，灰度和彩色是同 样的道理，因为彩色，特别是2 4 位真彩，可以看成三个灰度通道，每个通道都可以按灰 度算法进行处理，但是，实际上，彩色图像的各个通道之间是有很大联系的，分开处理 忽视了这些联系。 本文的主要思想是通过构造适当的边缘函数来检测图像边缘，包括灰度图像和彩色 图像。比起传统的边缘检测算子本文的方法更自动化，并且该函数可用于其他基于偏微 分方程的图像处理方法中作为权重函数，从而能够对边缘作特殊处理。在处理彩色图像 时，我们把三个通道联系起来进行处理。 第二章介绍一些预备知识，包括测地活动轮廓模型，停止函数，p e r o n a - - m a l i k 鹳 型以及t v 模型。 第三章介绍本文构造的新的边缘检测函数，并把此检测函数用到测地活动轮廓模型 中，基于本文构造的边缘检测函数，结合p e r o n a - m a l i k 模型和t v 模型提出新的图像恢复 模型。 第四章是数值实现与实验结果分析，大量的数值实验结果表明了本文提出的边缘检 测的算法的有效性。 最后在第五章对本文的工作作了总结和展望。 3 第二章预备知识 2 1 测地活动轮廓模型与停止函数 全文中，均假设i ：q c r 2 一r 为观察到的灰度图像a ：q c r 2 一r 3 为观察到的 彩色图像，其中q 是r 2 中的有界开区域，具有l i p s c h i t z 边界，定义域上的坐标为 x 一“，而) 。 测地活动轮廓模型是由c a s e l l e s 等人在文献【8 1 中提出的一种基于曲线演化的图像 分割模型，后来被广泛研究【7 - 9 ，1 5 ，其基本思想是： 设，：q c r 2 一r 是灰度图像，c ( s ) ：【o 1 】一r 2 是参数曲线。测地活动轮廓模型 是下面的极小化问题： e ( c ) - 挥g ( c ) d a + ，j 乙f c ) g ( c ) d , 4 ， ( 2 1 ) 其中( c ) 是曲线c 的弧长，是正常数称为气球力，如，d a 分别为弧长元和面 积元；g 是函数。相应的e u l e rl a g r a n g e 方程为： ( g ( c ) r 一慨，霄) + ，g ( c ) ) 霄一o ， 其中暂为曲率，前表示单位内法向。 在数值实现时，应用水平集法【1 8 ，2 0 - 2 2 ，2 6 1 ，曲线ccq 由一个l i p s c h i t z 函数 矿：q r 的零水平集表示，且 f c - o ，) ，) q ：妒“，y ) - o ， i n s i d e ( c ) 一 ，y ) q ：妒g ，y 卜o ， 【删船娩( c ) 一 o ，y ) f l ：妒y ) o 测地活动轮廓模型的水平集演化方程为 卜巾( g 剐w ) ，i n f l x r + 【 妒( o ，工，y ) 。哓g ，y ) ，i nq 上述模型中的函数g 被称为停止函数，通常选取g o ) i 二面，其中 1 + l v g 口，r 肛2 4 七，。是参数称为对比因子，g ：o ，) ，) 一五1 i e x p ( 一等) 是高斯核。在物体轮廓处， 灰度变化大，i v 吃+ 吓趋于无穷大，从而g ) 趋于零；而在齐次区域，i v q 印趋于 零，从而g ( 力趋于1 。由此，g ( 力可以控制曲线的演化速度，使得演化曲线在物体轮 廓处停下来。 后来，文献【2 1 】把它推广到彩色图像情形。设观察图像为“。，用高斯核光滑后，令 ( r ，g ，b ) 1 v 吃+ 。这时，彩色图像可以看成是嵌入到五维空间中的二维曲面： “，毛) 一“，而，r “，而) ，g ( x 。，而) ，b “，x o 此二维曲面的黎曼度量张量为： ，一( 氏芝4 - 五2z 2 ：爱氏各嚣惫：纠， 数。 其中- a 。r g d 的最大特征值为 a 一+ ；l v “1 2 + 其中0 1 ，“2 , u 3 ) - 僻，g ，曰) ，且 三军萃阻x v u 2 - ：。“三叫1 。“ 蛾“乏一2 + 3 一“翱2 于是彩色图像的边缘检测函数由下式给出： 1 g 。1 。+ 。a 。2 。k 2 其中七为对比因子，同灰度情形。 ( 2 3 ) 后来，s a g i v 等在文献【2 5 】中使用了如下的边缘检测函数： 1 g 。1 。+ 。d 。e 。t 。( 。g 。o 。) 。k 2 ( 2 4 ) 主要用于纹理图像经过g a b o r 滤波后的向量值数据，得到纹理图像的边缘检测函 5 2 2p e r o n a m a l i k 模型 p e r o n a m a l i k 模型 2 3 1 是1 9 9 0 由p e r o n a 和m a l i k 提出的灰度图像恢复模型。二维 的p e r o n a m a l i k 模型由如下的扩散方程给出： 詈) 。d i v ( c ：lv u ( t ，圳2 ) v u ( t 力， u ( o ，x ) - ，o ) 堕。0 a n ，f ) q ( 0 j r ) x q ( 2 5 ) 0 ，t ) o f l x ( o ，d 其中c ( s ) ：f 0 ，+ ) 一( 0 ，+ 1 是一个光滑递减函数。 1 一个典型的例子是c ( s ) - _ 三_ ，其中k 是一个阈值。这里函数c ( i v u ( t ，工) 1 2 称为扩 l + s | k 散系数，它与前面测地活动轮廓模型中的停止函数有异曲同工之妙。具体来说，在物体 轮廓处，灰度变化大，i v u ( t ，工) 1 2 趋于无穷大，从c ( s ) 趋于零，几乎不发生扩散，从 而边界能够保持；而在齐次区域，i v u ( t ，x ) 1 2 趋于零，从而c ( s ) 趋于1 ，这时对应的热 方程为典型的热扩散方程“，一a u ，从而噪声可以被平滑掉。由此，扩散系数c o ) 可以 控制不同区域的扩散速度，使得在平滑噪声的同时能够保持图像的轮廓。 6 2 3t v 模型 t o t a lv a r i a t i o n 口v ) 模型是在1 9 9 2 年由r u d i n , o s h e r , 和f a t e m i 在文献【2 4 】中提出 的，是如下的能量泛函极小化问题： 。r a 。i n ， e ( u ) 。l i v “i + 三l 一f ) 2 出 ， ( 2 6 ) 其中a 是参数。( 2 6 ) 右端第一项为正则项，作用是使得解具有一定的光滑性；第 二项称为保真项，作用是使得解能保持观察图像中的重要信息。t v 模型被成功地应用 到了图像恢复中，因为它具有保持图像轮廓的特性，而这对于图像恢复问题是至关重要 的。相应的e u l e rl a g r a n g e 方程为： 小l 尚l “”，) i o 利用负梯度下降法，得到演化方程： ”咖“雠阻 ( o ) - i ， 工q ( 2 7 ) 熹l o ) a q ( 0 1 ) 在( 2 7 ) 式札扩散系数为南，商j p e r o n a - m a h k 模型蝴分析，通过这个扩散系 数的调节作用，也可使得( 2 7 ) 在保持轮廓的同时去掉噪声。 p e r o n a m a l i k 模型，t v 模型以及在此基础上的一些变化模型都属于非线性扩散模 型，被广泛研究和应用【1 - 2 ，4 - 5 ，1 0 1 1 ，1 3 ，1 6 1 。 7 第三章新的边缘检测函数的构造及应用 3 1 色彩模式 在图像处理中，有多种色彩模式 1 2 。下面我们主要介绍r g b ，c b 和h s v 三种色彩 模式。 r g b 色彩模式 自然界中绝大部分的可见光谱可以用红、绿和蓝三色光按不同比例和强度的混合来 表示。r g b 分别代表着3 种颜色：r 代表红色，g 代表绿色、b 代表蓝色。在彩色图像的 r g b 表示中，对每一个象素p - o ，y ) ，赋予向量值t ( p ) - 0 。o ) ，u ：q ) ，( p ) ) 分别代表三 个主要颜色的强度，每个单色元素u ；称为一个通道。r g b 色彩模式使用r g b 表示为图像 中每一个像素的r g b 分量分配一个o 、2 5 5 范围内的强度值。例如：纯红色r 值为2 5 5 ， g 值为0 ，b 值为o ；灰色的r 、g 、b 三个值相等( 除了0 和2 5 5 ) ；白色的r 、g 、b 都 为2 5 5 ；黑色的r 、g 、b 都为0 。 c b 色彩模式 受r g b 色彩模式的启发，把每一个r g b 象素值“( p ) 分解为两个元素一一亮度和 色彩，其中亮度定义为6 0 ) 一o 1 1 4 r + 0 5 8 8 ( 7 + o 2 9 8 b ，色度为c ( p ) 一= o , ) l l u ( p ) l l ， l l u o , ) l i 一4 u ；+ “；+ 口；，显然色度是存在于单位球面s 2 上的，这样的依赖于非线形流 形的特征被称为非平坦的1 1 2 ，1 4 ，2 9 。最近的一些文献说明了c b 模型适用于去噪，边 缘检测，图像恢复和图像分割【1 4 ，2 7 - 3 0 1 。 h s v 色彩模式 相比较r g b 色彩模式而言，h s v 被认为是对人类的感官更自然的另一个色彩模式。 h 代表色调，s 代表饱和度，v 代表值。s 和v 是线形特征，而且在【o ，1 仲取值。s 是色 彩的”纯度”：更大的s 对应于更纯的颜色。值v 包含了颜色的强度信息。这样更大的v 值代表更亮的色彩。尽管色调h 在【o ，1 】中取值，然而却是一个环形的或周期的特征：随着 h 从0 增加到1 ，色彩的光谱从红，黄，绿，青，蓝到紫色循环，而且最终回到红色。因 此，在某种程度上，色调依赖于单位圆s 1 ，这是非平坦特征1 1 2 1 的另一个例子。此循环可 用如下指数映射来得到： 日_ e x p ( i 2 s r h ) 8 t 一个在r g b 空间中的由3 个 二维正方形组成的等值v 曲面 0 在等值v 曲面上的一条等同s 线 从a , d 到a h 从0 增加到1 图1 ：在r g b 空间中的一个等值v 曲面和一条等值s 线。注意到一条等值- v & s 线是一个3 维的“六边形，”就像在右边图形中看到的那样，从a , d ，到f ，a ，色调值h 从 0 增到1 。 从【r 岛b 】到【h ，s ，v 】的精确转换是由以下来实现的： v r v gv b s - 1 一! 垒墨垒皇 ，v gv b 此处，对一对实数a 和b ：av b 一m a x 似，6 ) ，aa b i m i n ( a ，6 ) 。 对h 的公式看起来更复杂，但是其本质上是一个沿着任何一个等值s & v 线的简单 的分段线形泛函( 见图1 ) 。在图形中，我们可以观察到一个典型的等同s & v 线，是一个3 维的六边形，随着一个人从a ，d 走到ca ，值h 是按照值从0 到1 线性增加所定义的。因 此在每六段的任何一段上，尽增量是1 6 ，知道这个，那么公式h 就能容易地被表达。 例如：沿着k ，d 】段( r 和g 是固定的) h 。j v ( b ) 。兰f 生墨1 6 r g 沿着p ，e 】段，( r 和b 是固定的) h h ( g ) 。吾+ ：1 【譬】 读者能够很容易地得出剩下的公式。 现在，许多彩色图标处理工具是基于r g b 模型，大部分是因为在线性空间上处理比 较容易。结果，尽管跟人类颜色感官具有相似性，但由于其非平坦性，c b 和h s v 色彩模 式没有受到青睐。 本文中，我们将利用上述三种色彩模式构造不同的边缘检测函数。 9 3 2 新的边缘检测函数的构造 方法一：由灰度图像停止函数的启发，我们把彩色图像的三个通道复合在一起。即取 g 一可西可面去相研 1 ) p 研面可币万币面瓣 p j 这里三个颜色通道具有同等的重要性。对某象索x e q ，当三个通道中至少有一个 颜色值变化很大时，就会有g 一0 ，该象素就被认为是边缘。七是阈值参数，同前面的 停止函数我们称之为对比因子。 方法二：暴于c b 模式，冥中壳厦祁色厦的计算公式分别为： 亮度公式：b - 0 1 1 4 r4 - 0 5 8 8 ( ；4 - 0 2 9 8 b 色度公式：c 衙，其中r 2 + g 2 + 口2 表示向量的长度。 首先对图像进行高斯平滑，用光滑化后的图像计算亮度色度b ，c ，令 p 币柿 p 2 注意在c b 色彩模式下，rgb 三个分量地位是不平等的。 方法三：基于局部均值和方差 首先对观察到的灰度或彩色图像进行高斯平滑，然后用光滑化后的图像计算局部方 差和均值d ，口，令： 1 p 确丽碲 ( 3 3 ) 计算局部均值和方差的具体方法：选取适当大小的高斯窗口( 本文实验中选取高斯 窗口大小为3 3 ，窗1 3 分布方差为1 ) ，然后计算窗口内部图像的方差和均值，作为窗口 中心点的局部方差和均值。与其他边缘检测函数不同的是，( 3 3 考虑了一个邻域内的象 素对该象素的影响，而不单是这个象素本身。 方法四：转换为h s v 图像后计算相应于最大特征值的边缘检测函数。 由于h s v 图像是更接近人的视觉系统的色彩模式，本文认为用此模式来构造边缘 检测函数是很有价值的。本文提出的方法是，先把r g b 图像转化为h s v 图像 ( r ，g ，曰) 一( h ，s ，y ) ，对三个新的分量，用2 1 节的方法，先用高斯核光滑，再构造黎 曼度量，计算其最大特征值天，最后令 1 ， g 。了_ _ j i j 了 p 4 j 3 3 边缘检测函数的应用 首先，我们可以把上述的边缘检测函数用于测地活动轮廓模型，从而可以分割彩色 图像。由于测地活动轮廓模型在前面已有详细介绍，这里不再叙述。 其次，还可以用于图像恢复。受p e r o n a m a l i k 模型的启发，本文用边缘检测函数作 为p e r o n a m a l i k 模型的扩散系数，考虑如下的灰度图像扩散模型， u t - d i v ( g v u ) - a ( u 一，) ，o ，t ) e f 2 x ( o ，t ) “( o ) - i ， x q ( 3 5 ) 詈- o ) a q ( o ， 1 3 其中窖称为权重函数，用于选择扩散速度，在物体轮廓处，希望扩散小，在齐次区 域，希望扩散比较大，从而能够在去除噪声的同时保持轮廓。而( 3 5 ) 的第二项可以使得 所得到的解与观察图像比较接近，从而能保持观察图像中的重要信息。 自然地，对于彩色图像，我们导出以下模型： i o ：u _ i - d i v ( g v u ；) 一a 一) ， o ，r ) q ( 0 ，1 ) i 讲 u i ( o ) 一“，x e q i 一1 ，2 ，3 ( 3 6 ) la l 罟- 0 g ，t ) a q x ( o ，1 ) l 州v 由于灰度图像也可看成三个通道颜色值相同的彩色图像，所以3 2 节中构造的边缘 函数既可适应灰度模型( 3 5 ) ，也可适应彩色模型( 3 6 ) 。实际上，这里的g 仍然有两种选 择方式，一种是，如p e r o n a - m a l i k 模型和t v 模型，用解“作为图像来计算边缘检测 函数g ；另一种是用初值，或者u 。来计算占。这两种选取方式，从数值结果来看，差别 1 并不明显，但是从理论的角度，就有很大的不同了。需要注意的是当取c 0 ) 一。土。时， 1 + s k 1 p e r o n a m a l i k 方程( 2 5 ) 是无解的。但当取c 一z 行i 时，则是适定的。下面我 1 + l v q + i 七 们对后一种选取方式作一些理论上的探讨。为了简便起见，我们只讨论灰度模型( 3 5 ) 。 3 2 节构造的边缘检测函数有一个共同的特征，那就是g 是由经过高斯平滑后的图像v 所构造。由于v 光滑，又区域q 有界，从而有v 有正上界，于是在v 基础上构造的 i v u 。l ，i v 西i ，i v c l ，i v o l ，f v o i ，天等都有正上界，于是g 必有正的下界，不妨设g r ，o ；并 且还可得到譬是光滑函数。 注意下面我们假设观察到的灰度图像，r ( q ) 。考虑g g f f ) ，即g 只依赖于观 察图像。 此时，可以写出( 3 5 ) 对应的变分模型，即： 。m i n 。) 。) 一正g ( 驯v h l 2 + 知 一) 2 出 ( 3 7 ) 定理3 1 极小化问题( 3 7 ) 的解存在唯一。 证明： 由于g2r ，0 ，易知能量e ) 是强制的。又容易得到e ) 的下半连续性。 结合啦( q ) 是个自反的b a n a c h 空间，由标准的变分法理论，就可以得到问题( 3 7 ) 解的 存在性。 唯一性由严格凸性可以得到。 定理3 2 热方程( 3 5 ) 的解存在唯一。 证明：由于g r ) 0 ，( 3 5 ) 满足一致抛物的条件，由经典的抛物方程理论可得结论。 受p e r o n a m a l i k 模型和t v 模型的启发，对灰度图像，我们还提出了如下改进的 p e r o n a m a l i k 模型： ”加卜晶) 以，眯瞅 “(0)-，xeq o n 。0 g ，f ) a q x ( 0 乃 o n 、 类似( 3 6 ) 式， 可以自然得到关于彩色图像的相应模型： ( 3 8 ) # 鲁- d i v ( 丽v u , 川。”x ( x , t ) e q x ( o , t ) u i ( o ) - “，x e f j i 一1 ，2 ，3 ( 3 9 ) 言；一o o ，r ) a q x ( o ，1 ) 需要注意的是，通过数值实验，我们发现改进的p e r o n a m a l i k 模型( 3 8 ) - ( 3 9 ) l t ( 3 5 ) ( 3 6 ) 的图像恢复效果稍好，所以后面我们将只列举改进的p e r o n a - m a l i k 模型( 3 8 ) - ( 3 9 ) 的实 验结果。 第四章数值实现与实验结果分析 4 1 数值实现 在数值实现上，本文使用有限差分格式 2 4 1 。令时间步长为f ，空间步长为1 。对于 测地活动轮廓模型( 2 2 ) 珥娩，) 一( 谚。k ，一1 1 6 ，) ，d ；娩，) 1 ( 谚，。1 一办，) ， l d 能纠- ( d 二 ，伪2 + ( 蟛( 旃，) ) 2 + 6 ， fj v 一谚，i 一( m a x ( o i l , o ) 2 + m i n ( d ：谚，0 ) 2 + iv谚，l一lv+谚，1(mm；a。x(。d：朋谚,，p，o)0)：z+mm。i；n(d。?；破1j，,0)0)：2)+*2，让，。 im i n ( d ；识，j ，o ) 2 + m a ) 【( d ；识，j ，o ) 2 ) ”2 ，i f ， 0 其中6 o 0 0 1 是完了避免出现分母为0 0 于是测地活动轮廓模型( 省略下标f ，f ) 的显 式差分格式为： 广1 西桫j 卜簖吲g 簖一吖j 其中初始水平集九取为符号距离函数，边缘检测函数一律使用中心差分计算导数。 对于扩散模型( 3 5 ) ，同样令时间步长为f ，空间步长为1 。 d j l j ) _ 阻l 。k ，一i g l , 1 ，巧 ) 一【“u 土l 一“埘1 ， ) 一所( 彤 ，) ) ，) 一【g ( 磁心，伪】， d 刍0 ) = 眩( 巧0 u ) ) 】，i 0 0 ) - 巧( 彤0 u ) ) 于是( 3 5 ) 的差分格式为： “1 - “+ f ( 眨( g p 一) + d ；( j g 口；“) ) 一f a 一，) 对于( 3 回，类似地使用如下差分格式： “：+ 1 - “：+ f ( d ：j ( g d ? 时) + d ；( j g d ；“? ) ) 一r a ( 1 t 一“。) - 1 , 2 , 3 对于( 3 8 ) 一( 3 9 ) ，差分格式类似可得，这里略去。 4 2 实验结果及分析 数值实验的主要对象是彩色图像，纹理图像，以及带高斯噪声( 均值为o ，方差为 o 0 1 ) 的彩色图像。我们比较了各种边缘检测函数，并把这些边缘检测函数用于测地活 动轮廓模型和改进的p e r o n a m a l i k 模型中作了比较。分析如下： 图一 ( a 1 )( a 2 ) ( 图1 1 ) ( a 1 ) 原图像；( a 2 ) 原图像转变为h s v 后的图像； ( b 1 ) ( b 2 ) ( 图1 2 ) c 0 1 ) 已有方法( 2 3 ) 对( a 1 ) 边缘检测的结果；( b 2 ) 测地活动轮廓模型分割结果 ( 以方法( 2 3 ) 的边缘检测函数为停止函数) ； 1 4 ( c 1 )( c 2 ) ( 图1 3 ) ( c 1 ) 已有方法( 2 4 ) 对( a 1 ) 边缘检测的结果；( c 2 ) 测地活动轮廓模型分割结果 ( 以方法( 2 4 ) 的边缘检测函数为停止函数) ； ( d o( d 2 ) ( 图1 4 ) ( d 1 ) 本文方法一对( a 1 ) 边缘检测的结果；( d 2 ) 测地活动轮廓模型分割结果( 以 本文方法一的边缘检测函数为停止函数) ； ( e 1 )( e 2 j ( 图1 5 ) ( e 1 ) 本文方法二对( a 1 ) 边缘检测的结果；( c 2 ) 测地活动轮廓模型分割结果( 以 本文方法二的边缘检测函数为停止函数) ； ( f 1 )( f 2 ) ( 图1 6 ) ( n ) 本文方法三对( a 1 ) 边缘检测的结果；( f 2 ) 测地活动轮廓模型分割结果( 以本 文方法三的边缘检测函数为停止函数) ； 从图可见，不加噪声时，可以看到各种检测函数都能很好地检测到海鸥的边缘，利 用相应的边缘函数作为测地活动轮廓模型中的停止函数，可以得到轮廓的勾画。对于加 噪卢后的图像，可以看出本文新方法二，三的抗噪性更强，得到的边缘检测结果更清晰。 ( a 1 ) 图二 ( a 2 ) ( a 1 ) 原图像：( a 2 ) 转化为h s v 后的图像；( b ) 已有方法( 2 3 ) 边缘检测的结果：( c ) 已有 方法( 2 4 ) 边缘检测的结果；( d ) 本文方法一边缘检测的结果；( e ) 本文方法二边缘检测 的结果；( 0 本文方法三边缘检测的结果：( g ) 本文方法四边缘检测的结果； 对这一幅自然图像，再次比较边缘检测的结果，各种方法均能取得很好的分割效果， 只是线条的粗细有所区别。 1 7 图三 ( 图三) ( a ) 原灰度纹理图像；( b ) 已有方法( 2 3 ) 边缘检测的结果：( c ) 本文方法三边缘检 测的结果；( d ) 已有方法( 2 3 ) 边缘检测函数作为停止函数的测地活动轮廓分割结果；( c ) 本文方法三边缘检测函数作为停止函数的测地活动轮廓分割结果： 可以看出，对纹理灰度图像，只有本文方法三可以较为成功地检测到边缘，相应的 轮廓勾画也更为准确，而传统方法完全不起作用。 图四 ( 图四) ( a ) 原彩色纹理图像；( b ) 已有方法( 2 3 ) 边缘检测的结果；( c ) 本文方法三边缘检 测的结果；( d ) 已有方法( 2 3 ) 边缘检测函数作为停止函数的测地活动轮廓分割结果；( e ) 本文方法三边缘检测函数作为停止函数的测地活动轮廓分割结果； 可见，对彩色纹理图像，只有本文方法三可以较为成功地检测到边缘，相应的轮廓 勾画也更为准确，而传统方法失效。 ( a 1 ) 图五 ( a 2 ) ( 图5 1 ) ( a 1 ) 原图像；( a 2 ) 加高斯噪声( 均值为0 ，方差为0 0 1 ) 后的图像； 【b 1 )( b 2 )0 3 ) ( 图5 2 ) c 0 1 ) 已有方法( 2 3 ) 对( a 2 ) 边缘检测的结果；( b 2 ) 带权p e r o n a m a l i k 模型恢复 后的结果( 以前面的边缘检测函数为权重函数，下同) ；0 , 3 ) 带权的p e r o n a - m a l i k 模型恢 复后残余的噪声； 2 0 (c1)(c2)( c 3 ) ( 图5 3 ) ( c 1 ) 已有方法( 2 4 ) 对( a 2 ) 边缘检测的结果；( c 2 ) 带权的p e r o n a - m a l i k 模型恢复 后的结果；( c 3 1 带权的p e r o n a m a l i k 模型恢复后残余的噪卢； ( d 1 )( d 2 )( d 3 ) ( 图5 4 ) ( d 1 ) 本文方法一对( a 2 ) 边缘检测的结果；( d 2 ) 改进的p e r o n a - m a l i k 模型恢复 后的结果；( d 3 ) 改进的p e r o n a m a l i k 模型恢复后残余的噪卢； ( e d( e 2 ) ( e 3 ) ( 图5 5 ) ( c 1 ) 本文方法二对( a 2 ) 边缘检测的结果；( e 2 ) 改进的p e r o n a m a l i k 模型恢复 后的结果；( c 3 ) 改进的p e r o n a - m a l i k 模型恢复后残余的噪声； ( f 1 ) ( f 2 )( b ) ( 图5 6 ) ( f 1 ) 分别是本文方法三对( a 2 ) 边缘检测的结果：( f 2 ) 改进的p e r o n a m a l i k 模 型恢复后的结果：( f 3 ) 改进的p e r o n a m a l i k 模型恢复后残余的噪声。 可见，已有方法( 2 3 ) 和本文方法二相对来说能取得更好的恢复效果。 关于参数的选取，显示g 时需要乘上适当的倍数，比如1 0 0 0 ，再根据情况调节。曲 线勾画轮廓时选用气球力要小心，不能太小，也不能太大，一般是一0 3 左右，但对于 本文方法三，气球力可以适当取得大一些，演化仍然稳定。比如图四对已有方法( 2 4 ) ， 气球力为一0 2 ，而对本文方法三，气球力为一0 4 ，用于带权p e r o n a m a l i k 模型时迭代 次数一般在1 0 0 到2 0 0 次之间，时间步长0 3 ，a - 0 0 1 。 5 1 总结 第五章总结与展望 本文主要研究边缘检测函数，对灰度和彩色图像均适用。本文构造了几种新的边缘 检测函数，通过实验比较，说明了各种边缘检测函数的特性。另外，本文将这些边缘检 测函数运用到测地活动轮廓模型以及改进的p e r o n a m a l i k 模型中，得到图像分割和图像 恢复结果。在理论方面，我们重点探讨了改进的p c r o n a m a l i k 扩散模型在不同边缘检测 函数仅依赖于初始图象的情形下对应抛物型偏微分方程解的存在唯一性问题。 5 2 展望 以后我们要进一步研究各种边缘函数的性质，总结出各自晟适合的图像类型。在理 论上，希望能够考虑本文模型( 3 5 ) 的如下变式 ”m v ( g ( | v 蚋i ) 尚卜卅，冲泡。 “( 0 ) - i ， 工q a n 0 0 ，f ) a q x ( 0 ，d a n 、。、。 研究此方程解的存在唯一性问题，这个问题将要在b v 空间的范畴下讨论，所以有一定 难度。 参考文献 【1 】r a c a r , c r v o g e l ，a n a l y s i so fb o u n d e dv a d a t i o np e n a l t ym e t h o d sf o r i l l - p o s e dp r o b l e m s ，i n v e r s ep r o b l e m s1 0 ( 1 9 9 4 ) 1 2 1 7 - 1 2 2 9 【2 】l a l v a r e z ，e l l i o n s ，a n dj m m o r e l ，”i m a g es e l e c t i v es m o o t h i n ga n dd g e d e t e c t i o n b yn o n l i n e a rd i f f u s i o n ( i i ) ，”s i a mj o u r n a lo fn u m e r i c a l a n a l y s i s ，v 0 1 2 9 ，p p 8 4 5 8 6 6 ，1 9 9 2 【3 】ga u b e r ta n dek o r n p r o b s t ：m a t h e m a t i c a lp r o b l e m si ni m a g ep r o c e s s i n g ： p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h ec a l c u l u so fv a r i a t i o n s s p r i n g e r , n e wy o r k , 2 0 0 2 【4 】c a z b a r c e l o sa n dy c h e r t ，“h e a tf l o w sa n dr e l a t e dm i n i m i z a t i o n p r o b l e mi ni m a g er e s t o r a t i o n ，”c o m p u t m a t a p p ，v 0 1 3 9 ，p p 8 1 9 7 ， 2 0 0 0 【5 】p vb l o m g r e na n dt ec h a r t ，“c o l o rw ：t o t a l v a r i a t i o nm e t h o d sf o r r e s t o r a t i o no fv e c t o rv a l u e di m a g e s ，”i e e et r a n s i m a g ep r o c e s s ，v 0 1 7 ，p p 3 0 4 - 3 0 9 ，1 9 9 8 【6 】j ec a n n y , ”f i n d i n ge d g e sa n dl i n e si ni m a g e s ，”t e c h n i c a lr e p o r t a i t r 一7 2 0 ，m a s s a c h u s e t t s i n s t i t u t eo ft e c h n o l o g y , a r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e l a b o r a t o r y , j u n e1 9 8 3 【7 】vc a s e l l e s ，f c a r e ，t c o i l ，a n ded i b o s ”ag e o m e t r i cm