（基础数学专业论文）幂等算子的线性组合路径连接及算子的drazin逆.pdf

幂等算子的线性组合，路径连接及算子的d r a z i n 逆 陈艳妮 摘要算子论是泛函分析中一个极其重要的研究领域，幂等算子及算子的 d r a 2 i n 逆是近年来算子论中比较活跃的研究课题对它们的研究涉及到基础数学 与应用数学的许多分支，诸如代数学、几何理论、算子扰动理论、矩阵理论、逼 近论，优化理论与量子物理等，通过对它们的研究可使算子结构的内在关系变得 更加清晰，同时也使得有关算子论课题的研究具有更坚实的理论基础 本文研究内容涉及h i l b e r t 空间中的两个幂等算子的线性组合，路径连接以 及h i l b e r t 空间中算子的d r a z i n 逆三个方面的内容全文共分三章，主要内容如 下： 第一章根据空间分解理论及算子矩阵分块的技巧，给出了h i l b e r t 空间中幂 等算子与正交投影算子的几何表示，并以此为工具，系统的研究了无限维h i l b e r t 空间中幂等算子线性组合的性质，刻画出s ( n ) 中两个幂等算子尸和q 的线性 组合a ，p + a 2 q 保持幂等性的充分必要条件，其中a t 与a 。为非零复数，从而推 广了文献【1 】中j k b a k s a l a r y 与o m b a k s a l a r y 的结论值得指出的是，我们 通过严密的推理得出， 【1 中定理的条件p l p 2 p 2 p 1 是非必要的 第二章主要讨论在无限维h i l b e r t 空间中，两个同伦的幂等算子的连通性问 题由于在此问题的探讨中，由z v k o v a r i k 于1 9 7 7 年提出的k o v a r i k 公式有着 举足轻重的作用因此在本章第二节中，我们深入讨论了k o v a r i k 公式及其广义 k o v a r i k 公式的性质特征随后，我们以此为工具，借助算子矩阵分块的技巧，给 出了无限维h i l b e r t 空间中两个同伦的幂等算子在j ( p ，o ) 2 时所满足的充分必 要条件，这里的j ( p jq ) 表示在幂等算子的全体p 中连接从p 到q ，同时满足连 接从q 到p 的保持幂等性的最小的线段个数，此时的条件相比【2 6 】中j g i o l 给 出的条件要更弱一点，文中我们做了具体的证明 第三章致力于研究定义在h i l b e r t 空间中算子的d r a z i n 逆运用算子指标理 论及空间分解理论，并借助于 3 5 】中h i l b e r t 空间上有界线性算子d r a z i n 逆的表 示，我们证明了在无限维h i l b e r t 空间中两个算子p 与q 在p q = 0 的条件下， p + q 是d r a z i n 可逆的，并给出其相应的d r a z i n 逆的表达式，从而将 4 0 中的 结论推广到无限维h i l b e r t 空间 关键词：正交投影；幂等算子；k o v a r i k 公式；d r a z i n 逆 中图分类号：0 1 7 7 1a m s 分类号：4 7 a 5 6 ，4 7 a 0 5 论文类型：理论研究 l i n e a rc o m b i n a t i o n s ，p a t hc o n n e c t i v i t yo fi d e m p o t e n t sa n dd r a z i n i n v e r s ei n 召( 饨) y a n n ic h e n a b s t r a c t o p e a t o rt h e o r yi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tf i e l d si nf u n c t i o n a l a n a l y s i s i nr e c e n ty e a r s li d e m p o t e n t sa n dd r a z i ni n v e r s eh a v eb e e nl i v et o p i c s i no p e r a t o rt h e o r y t h er e s e a r c ho ft h e s es u b j e c t sh a v er e l a t e dt op u r ea n da p - p l i e dm a t h e m a t i c ss u c ha sa l g e b r a ，g e o m e t r y , p e r t u r b a t i o nt h e o r y , m a t r i xa n a l y - s i s ，a p p r o x i m a t i o nt h e o r y , m u l t i v a r i a t el i n e a rm o d e l i n g ，b a n a c h - a l g e b r a ，n u m e r i c a l a n a l y s i s ，o p t i m a l i t yp r i n c i p l ea n dq u a n t u mp h y s i c se t c i ti sf r o mt h es t u d yi nt h i s f i e l dt h a tw eh a v eac l e a ri m p r e s s i o no i lt h ei n t e r n a lr e l a t i o n sa n dt h ec o n s t r u c t i o n s a m o n go p e r a t o r s i nt h i se s s e y , w ew i l ld e a lw i t ht h el i n e a rc o m b i n a t i o n s ，p a t h c o n n e c t i v i t yo ft w oi d e m p o t e n t sa n dd r a z i ni n v e r s eo nah i l b e r ts p a c e t h i sa r t i c l e i sd i v i d e di n t ot h r c ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，u s i n gt h ew a yo fs p a c ed e c o m p o s i t i o na n dt h et e c h n i q u eo fb l o c k o p e r a t o rm a t r i c e s ，w eh a v eg i v e nt h em a t r i xr e p r e s e n t a t i o n so fi d e m p o t e n t sa n d o r t h o g o n a lp r o j e c i t o n so nah i l b e r ts p a c e s u b s e q u e n t l y , w eh a v ee s t a b l i s h e dt h e s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nt h a tt h el i n e a rc o m b i n a t i o n so ft w oi d e m p o t e n t sp a n dqa r ea l s oi d e m p o t e n t ，w h i c he x t e n d st h er e s u l ti n 【1 】t oa ni n f i n i t ed i m e n s i o n a l h i l b e r ts p a c e p a r t i c u l a r l y , w eh a v ep o i n t e do u tt h a tt h ec o n d i t i o np l p 2 p 2 p lo f t h es t a t e m e n t ( b ) o ft h et h e o r e mi n c a nb ed e l e t e d i nc h a p t e r2 jw eh a v em a i n l yd i s c u s s e dt h a tt w oh o m o t o p i ci d e m p o t e n t sb e l o n gt ot h es a m ec o n n e c t e di d e m p o t e n t v a l u e dc o m p o n e n t so na ni n f i n i t ed i m e n - s i o n a lh i l b e r ts p a c e a b o u tt h i sp r o b l e m ，t h ek o v a r i kf o r m u l aw h i c hz v k o v a r i k b r o u g h tu pi n1 9 7 7p l a y sa ni m p o r t a n tr o l e ，s oi nt h es e c o n ds e c t i o n ，t h ef o r m s ， p r o p e r t i e so fk o v a r i kf o r m u l aa n dg e n e r a l i z e dk o v a r i kf o r m u l ah a v e , b e e ni n v e s t i - g a t e di nd e p t h i nt h es e q u e l ，t h ep a t hc o n n e c t i v i t yo ft w oh o m t o p i ci d e m p o t e n t s h a v eb e e ns t u d i e d i nf a c t ，w eh a v ee s t a b l i s h e dt h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n t h a ti ( p q ) 2h o l d s ，w h e r e ( p ) q ) 2d e n o t e st h a tt w oh o m o t o p i ci d e m p o t e n t s c a nb ec o n n e c t e db yt w op a i r so fi d m p o t e n t v a l u e dp a t h i nc h a p t e r3 t h er e p r e s e n t a t i o na n dc h a r a c t e r i z a t i o no fd r a z i ni n v e r s eo fo p e r - a t o r so nah i l b e r ts p a c ea r et r e a t e dc o m p l e t e l y a c c o r d i n gt ot h et h ei n d e xt h e o r y o fo p e r a t o r s ，s p e c t r u mt h e o r ya n dt h er e p r e s e n t a t i o no fd r a z i ui n v e r s eo fo p e r a t o r s i n 【3 5 ，w eh a v ei n v e s t i g a t e dt h ed r a z i ni n v e r s eo ft h es u m o ft w oi d e m p o t e n t s ，a n d h a v eg i v e no u tt h ec o n c r e t er e p r e s e n t a t i o no ft h ed r a z i ni n v e r s e k e y w o r d s ：o r t h o g o n a lp r o j e c t i o n ；i d e m p o t e n to p e r a t o r ；k o v a r i kf o r m u l a ；d r a z i n i n v e r s e c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 7 1 ，a m sc l a s s i f i c a t i o n ：4 7 a 5 6 ，4 7 a 0 5 t y p eo ft h ep a p e r ：t h e o r e t i cr e s e a r c h 学位论文独创性声明 y 9 。0 1 2 2 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名；触 日期：也篷铛 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名 日期：抛z ：每 前言 算子论是泛函分析中一个极其重要的研究领域，自从2 0 世纪初v o nn e u m a n n ， h i l b e r t ，f r e d o l h m 等人建立算子理论以来，算子理论已得到了迅速发展并渗透到 数学的各个分支，形成了一批经久不衰的研究课题，其研究内容涉及到基础数学 与应用数学的许多分支，诸如代数学、几何理论、算子扰动理论、矩阵理论、逼 近论，优化理论与量子物理等等本文涉及到的幂等算子及算子的d r a z i n 逆就是 近年来算子论中比较活跃的研究课题的一部分通过对这些课题的研究，可以使 得算子结构的内在关系变得更加清晰同时，这些研究对算子论也具有重要的理 论意义和应用价值 幂等算子虽然是结构比较简单的算子，但它也是最基本的算子由于它在统 计理论，多值线性分析，经济学，信息传输及广义逆的扰动中具有相当广泛的应 用，所以关于此类问题的研究吸引了一大批国内外学者，诸如，j k b a k s a l a r y , j j k o l i h a ，杜鸿科等等目前国际上关于幂等算子的研究主要集中在研究幂等 算子的和，差与乘积在何种情况下仍然是幂等的，非奇异的( 见文献【2 - 1 1 ) ，在何 种情况下算子可以分解成两个幂等算子的和与差，幂等算子线性组合的性质特征 ( 见文献 1 ，【1 2 2 3 ) ，以及幂等算子间的连通性( 见文献【2 6 _ 3 2 ) 等问题特别地， 在文献 1 】中，j k b a k s a l a r y 与o m b a k s a l a r y 刻画了在有限维h i l b e r t 空间 中，两个幂等算子的线性组合保持幂等性的条件，得出了一些有意义的结果目 前，关于幂等算子的研究主要集中在有限维h i l b e r t 空间之中，当我们要将这些研 究拓广到无限维h i l b e r t 空间时，必须顾及到有限维线性空间和无限维线性空间 之间有着本质的不同例如，在有限维h i l b e r t 空间中，任一子空间都是闭的，但 是在无限维h i l b e r t 空间中，却存在不闭的子空间考虑到幂等算子的值域始终 是闭的，因此在无限维h i l b e r t 空间中研究幂等算子的性质时，自然需要探寻不 同的方法本文首先从研究幂等算子的几何结构入手，深入探讨了无限维h i l b e r t 空问上的幂等算子的各种性质有关幂等算子的研究主要包括在前两章 第一章，研究幂等算子的线性组合的性质主要借助于空间分解理论及算子 矩阵分块的技巧，给出了幂等算子在一定空间分解下的算子矩阵表示，并以此为 工具，系统的研究了无限维h i l b e r t 空间中幂等算子的线性组合的性质，刻画出 日( 咒) 中两个幂等算子p 和q 的线性组合a 1 p + a 2 q 保持幂等性的充分必要条 件，其中a 1 与a 2 为非零复数，从而推广了文献1 中j k b a k s a l a r y 与o m b a k s a l a r y 的结论值得指出的是，我们通过严密的推理得出，将中定理的条 件p l p 2 p 2p 1 去掉，结论仍成立 第二章主要研究幂等算子的路径连接问题近年来，世界范围内的算子论 专家对定义在h i l b e r t 空间中的幂等算子之间的路径连接做了许多工作( 见文献 2 6 - 3 2 ) 特别地，在 2 6 中，j g i o l 得出如下的结论：在无限维h i l b e r t 空间中， 如果p + q j 可逆，则j ( p ，q ) 2 ；如果尸与q 是同伦的，则( p q ) 4 ，这 里的j ( p ) q ) 表示在幂等算子的全体p 中连接从p 到q ，同时满足连接从q 到 尸的保持幂等性的最小的线段个数由于在此问题的探讨中，由z v k o v a r i k 于1 9 7 7 年提出的k o v a r i k 公式有着举足轻重的作用而k o v a r i k 公式的具体内 容如下，给定居) 中的两个幂等算子p 与q ，如果p + q 一，可逆，则公式 k ( p iq ) = p ( p + q 一，) _ 2 q 就定义了唯一的一个8 ) 中的幂等算子满足条件 n ( k ) = 冗( p ) ，n ( k ) = ( q ) ( 见文献【3 3 1 ) 因此在本章节的讨论中，我们以 研究k o v a r i k 公式的性质为契机，给出了无限维h i l b e r t 空间中两个同伦的幂等 算子在j ( p ) q ) 兰2 时所满足的充分必要条件值得指出的是，我们发现存在另 一种形式的k o v a r i k 公式：( p q ) = p ( p + q 一，) _ 1 q ，似乎与z v k o v a r i k 所声称的幂等算子形式的唯一性矛盾那么针对此问题，我们对此做了深入的探 讨，并由此刻画了广义的k o v a r i k 公式，即( p ，q ) = p ( p + q 一，) “q 的性质 特征随后，我们借助算子矩阵分块的技巧，给出了8 ) 中的两个同伦的幂等 算子p 与q 满足i ( p ，o ) 2 时的等价条件，此时的条件相比 26 中j g i o i 给 出的p + q i 可逆要更弱一点，文中我们做了具体的证明同时我们也给出当 p 与q 是正交投影时相类似的结论 d r a z i n 逆作为一种特殊的广义逆，在m a r k o v 链，微分方程，偏微分方程， 和逼近论中起着重要作用近年来，算子论专家关于算子的d r a z i n 逆问题做了大 量深入的研究( 见文献 3 5 】， 3 9 4 3 ， 4 5 5 9 1 ) 我们知道，两个可逆算子的和不一定 可逆，如j + ( 一i ) = 0 那么对于两个d r a z i n 可逆的算子是否也具有相类似的性 质呢? 对于这个问题，半个世纪以来，众多的算子论专家从不同的层面，不同的 角度对此问题进行了反复的探讨如在【3 9 】中，m p d r a z i n 于1 9 5 8 年首先提 出在环中考虑两个算子和的d r a z i n 可逆的问题随后，h e r e i n 给出如下结论： 设a ，b 是8 ) 中两个d r a z i n 可逆的算子如果a b = b a = 0 ，则( a + b ) 是 d r a z i n 可逆的，且( a + b ) d = a d + b d 特别地，给定有限维线性空间c n 中两 个矩阵a 与b ，r e h a r t w i g 在【4 0 中刻画出其在a b = 0 的条件下( a + b ) d 的具体表达形式而我们知道，如果h i l b e r t 空间爿的维数d i m t - 有限，则层( h ) 中所有的算子是d r a z i n 可逆的但是，如果d i m t 无限，则存在d r a z i n 不可逆 的算子，如单侧移位算子 本文第三章主要研究了无限维h i l b e r t 空间中两个算子和的d r a z i n 可逆性 2 运用算子指标理论及空间分解理论，并借助于【3 5 中h i l b e r t 空间上有界线性算 子d r a z i n 逆的表示，我们证明了在无限维h i l b e r t 空间中两个算子p 与q 在 p q = 0 的条件下，p + q 是d r a z i n 可逆的，并给出其相应的d r a z i n 逆的表达 式从而将 4 0 】中的结论推广到无限维h i l b e r t 空间 3 第一章幂等算子的线性组合保持幂等性 5 1 1 线性组合问题简介 设h 是一无限维复可分的h i b e r t 空间，日( h ) 表示爿上所有有界线性算子 的全体如果算子a 嚣) 满足a 2 = a ，则称a 是一幂等算子，其全体我们用 p 来表示；如果算子a b ) 满足a 2 = a = a + ，则称a 是一正交投影算子， 这里的坩表示的是a 的自伴算子关于幂等算子问题的研究是算子论中一个经 久不衰的课题近年来，国内外众多学者对定义在h i l b e r t 空间中的幂等算子的 线性组合问题进行了研究( 见文献f 1 】，【1 4 2 3 】) 例如，杜鸿科教授在 17 】中得 出如下结论：如果p 和q 是b ( “) 中的两个幂等算子，a t 和 z 是非零复数， 且a 1 + a 2 0 ，则a 1 p + a 2 q 的可逆性与凡，i = 1 ，2 的选取无关特别地，如果只， i = 1 ，2 ，是有限维线性空间伊中的幂等元，j k b a k s a l a r y 和o m b a k s a l a r y 刻画了a 1p l + a ：恳保持幂等性的条件，其中a l a 2 o ( 见文献 1 ) 我们知道，在有限维h i l b e r t 空间中，任一子空间都是闭的，但是在无限 维h i l b e r t 空间中，却存在不闭的子空间而幂等算子的值域始终是闭的，一般 的，两个幂等算子的线性组合的值域的闭性不容易确定因此在本章节中，我们 主要借助于空间分解理论及算子矩阵分块的技巧，给出了幂等算子的算子分块矩 阵表示，并以此为工具，系统的讨论了两个幂等算子的线性组合仍是幂等的充分 必要条件，从而推广了文献【1 中j k b a k s a l a r y 与o m b a k s a l a r y 的结论值 得指出的是，我们通过严密的推理得出，f 1 中定理的条件p 1 p 2 p 2p 1 是非必 要的 为了方便起见，先给出本章中要用到的记号( ，- ) 和l | 分别表示h i l b e r t 空间上的内积与范数对任一算子a 日( h ) ，我们用冗) ，a f ( a ) 分别表示a 的 值域和核空间，m 上表示空间m 的正交补对任意z h ，若( a x ，z ) 0 ，则称a 是正算子，记作a 0 ，若a 是正算子，则a 表示a 的正的平方根；若1 1al | 1 ， 则称a 是压缩算子在文中，我们总是假设h 的子空间是闭的h i l b e r t 空间上 的单位算子记为h ，特别地，在不产生混淆的情况下，简记为， 1 2 预备知识 4 定义1 2 1 【2 4 j 设a 日) ，m 为l - t 的子空间如果a m m ，则称m 是a 的不变子空间如果a m m ，且a m 上m 上，则称m 是a 的约化子空间 引理1 2 2 幂等算子的全体p 是相似不变的也就是说，如果p p ，并且 s 召) 是可逆的，则s _ p s 仍是幂等的 证明事实上，( s 一1 p s ) 2 = s 一1 p s s 一1 p s = s 一1 p 2 s = s 一1 p s ，因此结论 成立证毕 引理1 2 3 设p p ，则一定存在一个可逆算子u 尽) 使得u _ 1 p u 是一 个正交投影 证明根据假设条件p p ，则在空间分解“= t c ( p ) o 冗( p ) 上的条件下， p 具有如下的算子矩阵形式 p = ( ：0 ) ， 其中尸1 是从冗( p ) 上到佗( p ) 的有界线性算子注意到 ( ：? ) ( ：鲁) ( 。i 一尹) = i ：) ， 此删舢= ( ：7 ) 弧u 是可龇9 ku - i = ( ：? ) ，因 此由上面的分析我们可以看出，u _ 1 p u 是一个正交投影，故结论成立证毕 引理1 2 4 1 7 1 3 6 1 设a = ( 三。1 ：三。1 ：) 是希尔伯特空间“。k 的有界线性算 子则a 是正算子的充分必要条件是a l l 是咒上的正算子，a z 2 是庀上的正算 子，并且存在一个从疋到h 压缩算子d 使得a ，2 = 啦。= a ：( 2 d a i l 2 ，即 a l l 肛ia ：f 2 a j 2 ( 1 ) 引理1 2 5 【2 4 j 设a b ) 是一个正算子如果m 是算子a 的不变子空间， 则m 是a 的约化子空间也就是说，在空间分解h = mo m 上下，a 具有如 下的算子矩阵形式 a = ( a l 羔) ， 5 、 2 v 弛 a 2纫如 a 其中a 1 t c ( m ) 和a 2 t c ( m 1 ) 是正算子 l _ 3 幂等算子的线性组合保持幂等性 在这节中，我们将主要讨论两个幂等算子的线性组合在什么条件下仍保持幂 等性，不妨设p 和q 是两个幂等算子由于幂等算子的全体是相似不变的，故 我们可以设p 和q 中的一个为正交投影，比如，我们假设q 是一个正交投影， 当然，0 是一个正算子在这种情况下，根据引理1 2 4 可知，p 和q 关于空 间分解州= 冗( p ) o 亿( p ) 上具有如下的算子矩阵形式 p = ( ：苫) ，q = ( q ：；。q 。l 。l q j ；。 其中， p 1 b ( 佗( p ) ，冗( 尸) j 。) ，q n 和q 2 2 分别是n ( p ) 与冗( p ) 上上的正算子， d 是一个从t o ( p ) 上到冗( p ) 上的压缩算子 定理1 3 1 设p 和q 是8 ( “) 上的两个不同的非零幂等算子，其中q 是正 交投影如果尸和q 具有如( 2 ) 的算子矩阵形式，同时p 表示形如 p = a l p + a 2 q( 3 ) 的线性组合形式，其中a - 和入z 都不为零，则p 是幂等的当且仅当下列四种情况 之一成立 ( i ) a l + a 2 = 1 ，( p q ) 2 = o ； ( i i ) a i = a 2 = i , q = 0 锄0 ) ，只= o ； c 扼i ，a ，= 一t ，a 。= - ，q = ( ：兰。) ，只= 只q 。； c i ，a ，= z ，a 2 = - - l , q = ( 1 ：) ，q ，r = 。， 其中q 。1 和q 2 2 都不为零 证明由于充分性很显然，所以下面我们主要给出必要性的证明 6 首先，假设f 是幂等的，则( a 。p + a 2 q ) 2 = a l p + a z q ，通过直接计算可得 a l ( 1 一入1 ) p + k 2 ( 1 一a 2 ) q a l a 2 ( p q + q p ) = 0 对等式( 4 ) 右乘p 可得 a 2 ( a 1 + a 2 1 ) q p = a i ( 1 一a 1 ) 尸一a i a 2 p q p ( 5 ) 接下来，我们将剩余郡分的证明分成两种情况进行讨论 情形1 假设a l + a 2 = 1 则等式( 4 ) 可被简化为 a i ( 1 一a 1 ) ( p + q p q q p ) = 0 由于a 1 和a 2 都不为零，于是( p q ) 2 = p + q p q q p = 0 ，即为第( i ) 种 情况 情形2 假设a l + a 2 1 则由等式( 5 ) 我们很容易得到 q p 2i 又i p ( ( 1 一a t ) j a 2 q p ) ， 由此可以看出n ( p ) 是算子q 的不变子空间注意到q 是一个正算子，于是由引 理1 2 5 可知，n ( p ) 是算子q 的约化子空间，因此在空间分解h = 佗( p ) o 冗( p ) 上 的条件下，q 和卢具有如下的算子矩阵形式 q = ( 1 对芦= ( h 7 1 怂) ， 这里的q i i 和0 2 2 分别是n ( p ) 与佗( p ) 上上的正交投影 考虑到 肚( 率蚴n 定q n 沁麓a 硼2 2 ) 以及卢z ：卢，则我们可以得出如下等式 ( 率+ 2 姆阢卅沁嫩“沁嘲2 2 ) = ( h 1 怂) 毙较等式嚣迭黪邋过计算可褥 la 2 ( 2 十2 a 1 一1 ) q 1 l = a 1 ( 1 一a i ) i ， 2 ( q 1 1p l + p l q 2 2 ) = ( 1 一a ) b ， ( 7 ) lb ( 1 a 2 ) q 2 2 = 0 。 假设q 0 2 0 由于a 2 0 ，则由如上条件中的第三个等式可得a 2 = 1 由此 根据假设条件a 1 0 以及式子( 7 ) 中的第一个等式可以看出q - - 一l 字，考虑 剿q l l 是正交投影，于是蠢a 1 = 1 或纛a l = 一1 。魏祭a i = 1 ，嬲q i l 一0 ，予 鼹q = ( ：q 0 2 2 ) 因此，根据条件( 7 ) 中的第二个等式可得最q ：2 - - 0 , 目p 为嬲 ( 娩) 静情况。如果a i = - - i , 掇i j 有q l z = j ，因此q = ( ：兰。) 粪儆地，根据 式子( 7 ) 中的第= 个等式可得p l q z 。= 最，即为笫汹 ) 种情形 另一方面，假设q z 2 0 则式子( 7 ) 可以简化为如下形式 ( 8 ) 根据假设条件a 1 0 以及式子( 8 ) 中的第一个等式我们不难看出，如果a 2 + 2 a ，一 l 一0 ：燹骞1 b = 0 ，予爨砖= l ，疆蔻b = 一l ，奄媳最= 0 ，照鄂为第( i v ) 秘馈 浇如果 2 + 2 a 1 1 0 ，则根据假设a 2 0 以及式子( 8 ) 中的第一个等式可得， 锄= 最， 淀意到研1 一q 1 1 ，a 1 0 以殿a i + a 2 1 ，故a l = 1 或者a l + a 2 = 0 如果 l = 1 ， 则有q l l = 0 ，于是q = 0 ，这与q 非零矛盾如果a 1 + a 2 = 0 ，则有q 1 1 = i ，因 戴缀据式子( 8 ) 孛懿筹二令等式虿褥p 1 = 0 ，遣裁是说，p ：( ：) ：q ，邃 与条件中假设p 和q 不相同矛盾证举 推论1 3 2 设p 和q 越嚣( 咒) 中两个不同的非零戚交投影，且p a l p + a 2 q ， 焚中矗i 帮五2 舔不为零，爨p 是正交投影麴竞妥条 夸燕下爱三耱磅掇之一藏立 ( 1 ) a 1 一沁= 1 ，p 上q ，其中p 上q 表示p q = q p = o ； ( 2 ) a i = - 1 ，入2 = 1 ，p q ； ( 3 ) a l = 1 ：a 2 = - t ，q 蔓p t x l天 产耳撺h l 一 一0 数 = 争a c ； 恕勋 ，f，l 证明由于p 和q 均为正交投影，故根据形式( 2 ) ，在空间分解7 - 1 = 冗( p ) 0 冗( p ) 1 的条件下，p 和q 具有如下的算子矩阵形式 p = ( ：牡= ( q - ， q ； 2 d ，- 1 i 2 、 q ：1 2 d + q i ( 2q 。j 其中q l l 日( r ( p ) ) 和q 2 2 8 ( r ( p ) 1 ) 为正算子，d 是从冗( p ) j 。到佗( p ) 上 的压缩算子因而由定理1 3 1 知， ( i ) 若a l + a 2 = 1 ，( p q ) 2 = 0 ，注意到p 和q 是正交投影，故p q 是自 伴的，因此( p q ) 2 = o 就意味着一q = o ，即 = q ，与假设矛盾p p ( 扰) 若, , k 1 = , , k 2 - - - - 1 , q = ( ：q 0 。：) ，则结合形式( 9 ) 我们可以看出尸上q ， 即为第( 1 ) 种情况- ，、 ( 就t ) 若a = 1 ，a z = 1 ，q = ( ：q 0 。) ，由于q 。是正交投影，故 一声+ q = ( ：兰。) 三。，于是p sq ，此即为第( 2 ) 种情况 ( 妇) 若a t = 1 ，a z = 一l ，q = ( 1 ：) ，考虑到q t 。是正交投影，故 j q ，- 也是正交投影，于是p 日= ( 。苫1 1 ：) 三。，因此q p ，即为第 ( 3 ) 种情况证毕 注意1 3 3 在 1 】中，定理中情形( b ) 中的条件p l p 2 p 2 p 1 去掉，结论同样成 立也就是说，如果p 和q 是廖) 上的两个不同的非零幂等算子，( p q ) 2 = 0 ， 则p q q p 下面我们将给出一个简单的证明 证明反证法假设p q = q p ，于是我们可以看出冗( p ) 是q 的一个不变子 空间不失一般性，我们取q 是一个正交投影如果尸具有如同( 2 ) 的算子矩阵 形式，则q 就具有如同( 6 ) 的算子矩阵形式此外，由于 c 卜( 。? 1 1 引2 = ( 。- 。q “”岂邶) = 。 9 同时考虑到q 。和q 2 2 是正交投影，故q 2 2 = 0 ，q ，= i 因此 p q = ip 1 0 ) ( 。0 。0 ) = i ：) ， q p = ( ：) ( ：b 0 ) = i 鲁) 如果p q = q p ，则有p l = 0 ，于是p = q 这与条件p q 矛盾，因此，p q q p 证毕 下面我们给出一个与本节的主要结论等价的定理 定理1 3 4 设p 与q 是b ( u ) 上的两个非零幂等算子如果芦是形如 芦= a l p + a 2 q 的线性组合。其中，a 。和a 。都不为零，则芦是幂等的当且仅当下面四种情形之 一成立 ( ) a 1 + a 2 = 1 ，( p q ) 2 = o ； ( i ) a 1 = a 2 = 1 ，p q = 0 = q p ； ( i i i ) a 1 = 一1 ，a 2 = 1 ，p q = p = q p ； ( i v ) a 1 = 1 ，a 2 = 一1 ，_ p q = q = q p 证明下面我们主要证明两个定理中情形( i i ) 是相互等价的剩下的证明同 理可以得到，在此我们就省略掉 事实上，由p q = 0 = q p 我们可以看出，冗( 尸) 是q 的一个不变子空间 不失一般性，我们假定q 是一个正交投影由此结合引理1 2 5 可知，在空间分解 “= 冗c 尸，。冗c p ，上的条件下，q 具有如下的算子矩阵形式q = ( 1 兰。) ， 由于 p q = ib 0 ) ( q 0 “q 0 。) = ( 1 b 宇2 2 ) = 。， 故q 1 1 = 0 ：) 1 q 2 2 = 0 ，、 反过来，如果q = ( ：。0 。) ，p l q 。z = 。，则 1 0 p q = ( ：r 0 ) ( 。0q 0 。) = ( ：r 宇盟) = 。 q p = ( ：兰。) ( ：0 ) = 。 即尸q = 0 = q p 剩下的证明同理可以得到，在此我们就省略掉证毕 1 1 第二章无限维h i l b e r t 空间上幂等算子的路径连接 2 1 预备知识 近年来，世界范围内的算子论专家从不同的方面，不同的角度对幂等算子之 间的路径连接问题进行了反复的探讨，得出了一些令人鼓舞的结论如，在【2 9 和【2 6 】中，j e s t e r l e 与j g i 0 1 分别得出如下结论：在有限维h i l b e r t 空间中， 两个同伦的幂等算子至多可以由3 对保持幂等性的线段连接，在无限维h i l b e r t 空间中，两个同伦的幂等算子至多可以由4 对保持幂等性的线段连接本章中， 我们将给出两个同伦的幂等算子可以由两对保持幂等性的线段连接起来的充要条 件 首先，我们介绍几个定义与引理 定义2 1 1 设p 与q 是b ( n ) 中的两个幂等算子如果p 与q 在h 中可以 由一条连续的路径连接起来，则p 和q 称做是同伦的以下我们将用p q 来 表示这一等价关系 定义2 1 2 如果p 与q 是召( 冗) 中的两个同伦的幂等算子，则我们用s ( p 1q ) 表示在幂等算子的全体p 中连接从p 到q 的保持幂等性的最小的线段个数其 中连接p 与q 之间的折线定义为以下形式：【p q 】：= ( 1 一t ) p + t q it 【0 ，1 1 ) 定义2 1 3 若p 与q 是b ( n ) 中的两个同伦的幂等算子，则我们用j ( p ，q ) 表示在幂等算子的全体p 中连接从p 到0 ，同时满足连接从q 到p 的保持幂等 性的最小的线段个数 引理2 1 4 【2 6 】若p 与q 是u ( n ) 中的两个幂等算子，则下面的结论成立 p q 铺d i m 冗( p ) = d i m t i ( q ) ，d i m a f ( p ) = d i m n r ( o , ) ( 1 0 ) 定义2 1 5 设p 与q 是b ) 中的两个幂等算子如果存在一个幂等算子k 满足条件冗( k ) = t c ( p ) ， 厂( k ) = ( q ) ，则就被称为是p 与q 间的一个插 入，我们用k = k ( p 】0 ) 来表示 引理2 1 6 设k ( 尸1 q ) 是p 与q 间的一个插入如果s 是可逆的，则s k s _ 1 是s p s - 1 与s q s - 1 之间的一个插入 证明由于s 是可逆的，故7 已( s p s _ 1 ) = s 佗( 尸) ，冗( s k ( p ) q ) s - 1 ) = s z c ( k ( 只q ) ) 1 2 根据定义2 1 5 我们知道，冗( k ( p ，q ) ) ；亿( p ) ，于是，n ( s k ( 只q ) s q ) = n ( s p s q ) 同理，我们可以得到a f ( s k ( p , q ) s - 1 ) = a f ( s q s _ 1 ) ，因此再次应用定 义2 1 5 ，我们不难看出s k s _ 是s p s - 1 与s q s _ 1 之间的一个插入证毕 这个引理向我们说明了p 与q 之间的插入是相似不变的 引理2 1 ，7 【2 5 】【3 q 若a 召) ，则下面的结论是等价的 ( 1 ) r ( a ) 是闭的； ( 2 ) 存在一个算子x 舀) 满足条件a x a = a ； ( 3 ) 冗( a ) 一n ( a + a ) 引理2 1 8 设只q z 3 ( u ) 是两个幂等算子若p + q j 可逆，则下面的结 论成立 ( i ) p ( p + q 一，) = p q = ( p + q i ) q ，q ( p + q i ) = q p = ( p + q j ) 尸； ( i i ) ( p + q 一，) 一1 p = q ( p + q j ) 一1 ，p ( p + q 一，) - 1 = ( p + q 一) 一1 q ； ( i i i ) p ( p + q 一，) 2 = p q p = ( p + q j ) 2p iq ( p 十q 一，) 2 = q p q = ( p + q j ) 2 q ； ( i v ) ( p + q 一，) 一2 p = p ( p + q j ) 一2 ，q ( p + q 一，) 一2 = ( p + q 一，) 一2 q 引理2 1 9 设p 与q 是日( h ) 中的两个幂等算子如果p + q j 可逆，则 t 已( p q ) 与t 已( q p ) 是闭的 证明由于p 与q 是对称的，故我们只需证明冗( p q ) 是闭的事实上，如果 p + q 一，可逆，则由引理2 1 8 知，p = p q ( p + q 一，) 一1 ，q = ( p + q j ) 一1 p q ， 于是， p q = p q ( p + q j ) 一1 ( p + q j ) - 1 p q =