（基础数学专业论文）一类广义不变凸函数的优化与对偶.pdf

l i l l llii1 1 1 t 1 1 1 1 11 1 1tl lu l y 17 8 8 9 8 4 釉食i | j | 峰声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 签名：。趔日期：竺! 生骂 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公 布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论 文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：趔导师签名：刍! 玉垒生日期：型! 蜘 摘要 摘要 众所周知，最优化是人们在工程技术、科学研究和经济管理等诸多领域中经 常遇到的问题在实际应用中，常常需要研究在某些限制条件下，同时考虑多个 目标的最优化问题近几十年来，许多数学工作者致力于多目标最优化理论的研 究，构造对偶模型，给出优化问题的充分条件和必要条件等 i 凸性是一个基本的数学概念，它在许多数学问题中起到重要的作用，尤其早 期最优化理论主要是讨论凸函数的最优化然而，凸性条件的局限性也是十分明 显的，大量的实际问题并不满足凸性条件要求因此，放宽凸性条件限制，推广 凸函数的概念成为具有理论意义和实际应用背景的问题近年来，广义凸函数越 来越受到人们的重视，人们从不同的角度提出了许多广义凸函数的概念，讨论了 这些函数的最优化问题 本文的主要工作是给出广义d 一册口一u n i v e x 函数的概念，讨论它与d 一不 变凸函数，d - u n i v e x 函数，d 一朋口一不变凸函数之间的关系，并通过举例说明 d p r o u n i v e x 函数确实是d 一不变凸函数，d u n i v e x 函数，d 一册口一不变 凸函数概念的真推广进一步在广义d 一册口一u n i v e x 条件下讨论如下多目标规 划问题； ( p ) m i n ，( z ) s t g ( z ) 姜0 ， z x 其中f ：x _ 贴，9 ：x r m ，x 为r n 的非空子集 北京工业大学理学硕士学位论文 本文共分四章，内容如下： 在第一章，介绍本文中所用到的一些基本符号和相关概念。并简要阐述多目 标规划问题和广义凸性的发展背景和研究现状 在第二章，首先给出广义d 一册口一u n i v e x 函数的概念，讨论它与以前文献 中出现的相关概念之间的关系，并在广义d 一所口一u n i v e x 条件下给出多目标规 -1 划问题( p ) 的p a r e t o 最优解存在的充分条件 在第三章，在一定的条件下建立问题( p ) 的m o n d - w e i r 型对偶问题( m w d ) 的弱对偶，强对偶，逆对偶结论以及问题( p ) 的广义m o n d w e i r 型对偶问题 ( g m w d ) 的弱对偶和强对偶结论 在第四章，我们将给出广义d 一加p u n i v e x 条件下原问题( p ) 的另外两种 对偶形式：w o l f e 对偶和混合型对偶，并在这两种对偶形式下给出原问题( p ) 与 相应的对偶问题之间的弱对偶，强对偶，逆对偶结论这些定理推广了近年来一 些文献中的相关结果 关键词：d 一朋p u n i v e x 函数，多目标规划，m o n d w e i r 对偶，广义m o n d - w e i r 对偶，w o l f e 对偶，混合型对偶 i i a b s t r a c t a b s t r a c t a si sw e l lk n o w n ，o p t i m i z a t i o ni st h ep r o b l e mt h a tp e o p l ef r e q u e n t l ye n - c o u n t e r e di nt h ee n g i n e e r i n g ，s c i e n t i f i cr e s e a r c ha n de c o n o m i cm a n a g e m e n tf i e l d s i np r a c t i s e ，w eo f t e nn e e dt os t u d ym u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e m su n d e r s o m ec o n s t r a i n tc o n d i t i o n s i nr e c e n td e c a d e s ，m a n ym a t h e m a t i c i a n sw o r kf o rt h e s t u d y i n go fm u l t i o b je c t i v eo p t i m i z a t i o n ，c o n s t r u c t i n gt h e i rd u a lp r o b l e m s ，a n d o b t a i n i n gt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yo p t i m a lc o n d i t i o n s c o n v e x i t yi sab a s i cm a t h e m a t i c a lc o n c e p ta n dp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei n m a n ym a t h e m a t i c a lp r o b l e m s p a r t i c u l a r l y , t h ep r i m a r yo p t i m i z a t i o nt h e o r yi s t od i s c u s sc o n v e xo p t i m i z a t i o np r o b l e m s h o w e v e r ，t h el i m i t a t i o n so fc o n v e x i t y c o n d i t i o n sa r ea l s ov e r yo b v i o u s ，s i n c eal a r g en u m b e ro fp r a c t i c a lp r o b l e m sa r e n o ts a t i s f i e dw i t hc o n v e x i t yc o n d i t i o n s t h e r e f o r e ，t h er e l a x a t i o no fc o n v e x i t y c o n d i t i o n s ，t h eg e n e r a l i z a t i o no ft h ec o n v e xf u n c t i o nc o n c e p th a v e b o t ht h e o r e t i c a l s i g n i f i c a n c ea n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o nb a c k g r o u n d i nr e c e n ty e a r s ，g e n e r a l i z e d c o n v e xf u n c t i o n sh a v eb e e np a i da ni n c r e a s i n ga m o u n to fa t t e n t i o n p e o p l ep u t f o r w a r dan u m b e ro fg e n e r a l i z e dc o n v e xf u n c t i o n sf r o md i f f e r e n td i r e c t i o n ，a n d a p p l yt h e mt om u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e m i nt h i sp a p e r ，w ew i l li n t r o d u c eg e n e r a l i z e dd 一册口一u n i v e xf u n c t i o n ，a n d d i s c u s st h er e l a t i o n s h i p sa m o n gd i n v e xf u n c t i o n ，d u n i v e xf u n c t i o n ，d 一加p i n v e xf u n c t i o na n dd 一册口一u n i v e xf u n c t i o n w ec l a i mt h a td p 叩p u n i v e x f u n c t i o ni st h eg e n e r a l i z a t i o no fd i n v e xf u n c t i o n ，d u n i v e xf u n c t i o n ，d 一册日一 i i i s t g ( x ) 耋0 ， z x w h e r e 厂：x _ 爬七，g ：x r m ，x 瓞ni san o n e m p t ys u b s e t t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r sa n do r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，w ef i r s tg i v es o m en o t i o n sa n dd e f i n i t i o n s ，a n dt h e nb r i e f l y r e v i e wt h ed e v e l o p m e n t a lb a c k g r o u n da n ds t u d y i n gp r o g r e s s i nc h a p t e rt w o ，w ei n t r o d u c eg e n e r a l i z e dd p 卵目一u n i v e xf u n c t i o n ，a n dd i s - c u s st h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nd 一嘲8 一u n i v e xf u n c t i o na n dt h ek n o w nc o n c e p t s a p p e a r e di nr e c e n tp a p e r s u n d e rg e n e r a l i z e dd j d 叼口一u n i v e x i t ya s s u m p t i o n ， w eg i v et h es u f f i c i e n to p t i m a l i t yc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo ft h ew e a kp a r e t o e f f i c i e n ts o l u t i o no ft h ep r o b l e m( p ) i nc h a p t e rt h r e e ，u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，t h er e s u l t so nt h ew e a k ，s t r o n g a n dc o n v e r s ed u a l i t yo fm o n d w e i rt y p ed u a l i t y ( m w d ) ，a n do nt h ew e a ka n d s t r o n gd u a l i t ya s s e r t i o n so ft h eg e n e r a l i z e dm o n d w e i rt y p ed u a l i t y ( g m w d ) o f t h ep r o b l e m ( p ) a r eo b t a i n e d i nc h a p t e rf o u r ，u n d e rg e n e r a l i z e dd 一册目一u n i v e xc o n d i t i o n ，w ec o n s t r u c t o t h e rt w od u a lt y p e so ft h ep r i m a lp r o b l e m ( p ) ：w o l f et y p ed u a l i t ya n dm i x e d t y p ed u a l i t y , a n do b t a i nt h er e s u l t so nt h ew e a k ，s t r o n ga n dc o n v e r s ed u a l i t yo f i v a b s t r a c t t h et w ot y p e sd u a l i t y o u rr e s u l t sg e n e r a l i z et h er e l a t i v er e s u l t si ns o m er e c e n t p a p e r s k e y w o r d s ： d 一加口一u n i v e xf u n c t i o n ，m u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n g ，m o n d w e i rd u a l i t y , g e n e r a l i z e dm o n d - w e i rd u a l i t y , w o l f ed u a l i t y ，m i x e dt y p ed u a l i t y v 目录 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 第1 章绪论1 1 1 概念与符号1 i 1 2 发展背景3 1 3 本文结构及主要结论7 第2 章 广义d 一朋9 一u n i v e x 函数及其多目标规划9 2 1 引言9 2 2 广义d p r 0 一u n i v e x 函数1 0 2 3 多目标规划的优化充分条件1 4 2 4 本章小结1 8 第3 章m o n d - w e i r 对偶1 9 3 1 引言1 9 3 2 m o n d w e i r 对偶1 9 3 3 广义m o n d w e i r 对偶2 2 3 4 本章小结2 4 第4 章w o l f e 对偶和混合型对偶2 5 4 1 引言2 5 4 2 w o l f e 型对偶2 5 v i i 北京工业大学理学硕士学位论文 、 4 3 混合型对偶2 7 4 4 本章小结2 9 总结3 0 参考文献3 1 攻读硕士期间发表的学术论文? 3 6 致谢一3 7 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 概念与符号 最优化是人们在日常生活中经常遇到的问题例如：农业生产中进行复式耕 种，要使粮食产量最高且施用肥料最少；制定理财计划要在可承受的风险范围内 使获得的收益最大；编制生产计划要按照市场需求，尽力减少工人加班时间和设 备损耗使纯利润最高随着科学技术和计算机技术的不断发展，以及数学理论和方 法在社会各领域的不断渗透，最优化理论和技术将在社会更多方面起到越来越多 的作用 最优化理论中最早开始研究也是最为成熟的理论就是凸优化理论，相关的结 论可见参考文献【1 】随着经济的不断发展，各种类型的优化问题开始呈现在人们 面前譬如，在实际应用中，常常需要研究在某些限制条件下，同时考虑多个目标 的最优化问题例如，制定国家的经济发展规划，在一定条件下就需要考虑以生 产、消费、就业、投资回报率等项为目标的多个目标的最优化问题；建造房屋， 人们通常要考虑选取使抗震强度最大，使用材料总重量最轻和经济成本最低等多 个目标都尽可能好的方案；为合理的使用医院的血库，也会遇到以血液库存量、 血液平均寿命以及血液收集费用等为目标的多个目标的最优化问题；等等这些 例子说明在实际应用中，具有多个目标的最优化问题是广泛和大量存在的 从数学结构来看，上面几个例子都是考虑在一定限制条件下多个目标函数的 优化问题如果我们不考虑这些例子中各种量的实际意义，而仅仅考虑这些量在 问题中所起的作用以及它们之间的关系，我们可以从中归纳出一个共同的模式， 而且我们知道对一个函数f ( x ) 的极大化可以等价地转化为对函数一，( z ) 的极小 化，因此我们主要讨论多目标极小化模型下面，我们将给出多目标极小化问题 的一般模型 以下概念及符号可见参考文献 2 】 北京工业大学理学硕士学位论文 m i n f l ( x 1 ，x 2 ，x n ) m l n s t 通常，我们把模型中的n 个变量x ，z 2 ，z n 叫做所考虑模型的决策变量， m 个数值函数f l ( z , ，x 2 ，z n ) ，m ( z ，z 2 ，z n ) 叫做模型的目标函数，限 制条件夕j ( x l ，x 2 ，x n ) o ，( j = 1 ，2 ，p ) 叫做约束条件，一g j ( x l ，x 2 ，z n ) ， d = 1 ，2 ，p ) 为约束函数 为简化记号，我们把一组决策变量用向量形式记作 z = ( x l ，x 2 ，x n ) 如此，m 个目标函数可简化为 ( z ) ，厶( z ) ，厶( z ) ，约束函数可表为夕j ( 。) 也 可用向量形式来表示m 个目标函数： ，( z ) = ( ( z ) ，如( z ) ， n ( z ) ) 并称为模型的向量目标函数，这样一来，以上多目标规划问题可以简化为如下形 式： ( p - ) m l n 8 t ，( z ) 毋( z ) o ，j = 1 ，2 ，p 定义1 1 1 我们把满足约束条件的点叫做所考虑模型( p - ) 的可行解或可行点， 由所有可行解组成的集合叫做可行域或约束集 下面我们来回顾一个最基本的向量序的定义，并利用向量的自然序来给出一 般多目标极小化问题的几种解的定义 定义1 1 2 设z = ( x i ，x 2 ，z n ) ，y = ( y l ，y 2 ，y n ) 是n 维欧氏空间酞n 中的 两个向量 p 21 = n u 一 引 渤 p 研 厶 以 第l 章绪论 ( 1 ) 若x i = y i ，( i = 1 ，2 ，n ) ，则称向量。等于向量y ，记作x = y ( 2 ) 若x i y i ，( i = 1 ，2 ，n ) ，则称向量x 小于等于向量y ，记作x 耋y 或y 至x ( 3 ) 若t , i y i ，( i = 1 ，2 ，n ) ，并且其中至少有一个是严格不等式，则称向量2 7 小于向量，记作z y 或y z ( 4 ) 若x i y i ，( i = 1 ，2 ，n ) ，则称向量z 严格小于向量y ，记作z z 由上述定义所确定的向量之间的序叫做向量的自然序特别地，当n = 1 时，上 述定义的自然序与实数序是一致的，不过此时“”和“ ”意义相同 定义1 1 3 设x 是模型( p 1 ) 的约束集，f ( x ) 是目标函数，若面x ，并 且不存在z x 使得 ，( z ) ，( 孟) 则称牙是多目标极小化模型的有效解 定义1 1 4 设x r n 是模型( p 1 ) 的约束集，( z ) 是目标函数，若童x ，并 且不存在z x 使得 ，( z ) 0 ，则，( z ) 称为强d w o - u n i v e x ；若p = 0 ，则，( z ) 为d - u n i v e x ；若 p 0 ，则，( z ) 称为弱d p r 0 - u n i v e x 注2 2 1 容易看出，强d p r l 0 一u n i v e x 号d u n i v e x 弓弱d 一册口一u n i v e x 在定义2 2 5 中，当b o 兰1 ，为恒同映射时，d 一卯p u n i v e x 函数退化为 d 一加口一不变凸函数；当p = 0 时，d 一册口一u n i v e x 函数退化为d u n i v e x 函 数；当b o 兰1 ，粕为恒同映射，p = 0 时。d i d 叩口一u n i v e x 函数退化为d 一不变 凸函数，即d 一册p u n i v e x 函数包括了d 一卯p 一不变凸函数，d - u n i v e x 函数 和d 一不变凸函数等作为特例，并且这些推广是非平凡的，参见下述例2 2 1 和例 2 2 2 例2 2 1 存在函数，：它是d p r 0 - u n i v e x 函数但不是d 一朋p 一不变凸函数 设函数，：r 2 _ r 为，( z ) = l z l 对任意的z = ( z 1 ，x 2 ) r 2 ，则( x ) 在点 ( 0 ，o ) 处不可微 取叩：r 2x r 2 _ r 2 为叼( z ，y ) = z 和口：r 2 r 2 _ r 2 为p ( z ，y ) = ( 冈，o ) ， 其中z = ( x l ，z 2 ) ，y = ( 秒l ，抛) 取p = 2 ，b o 兰2 ，九( t ) = 2 t 由方向导数的定义知 ，7 ( o ，7 7 ( z ，o ) ) 、1 1 黑业避芈业 a - 0 + l i m 掣 a + 0 + iz - l ， 于是有b o o ( f ( x ) 一，( o ) ) = 4 1 x l l ，7 ( o ，7 7 ( z ，o ) ) + p l l o ( x ，o ) 1 1 2 = i z - l + 2 x l l = 3 1 x 1 1 从而b o ( ，( z ) 一，( o ) ) 至，7 ( o ，7 ( z ，o ) ) + p l l o ( x ，0 ) 1 1 2 对任意的z r 2 都成立，即 ，在( 0 ，0 ) 点处为d 一册p u n i v e x 函数 下面说明厂在( o ，0 ) 点处不是d 一朋口一不变凸函数假设，在( o ，0 ) 点处 北京工业大学理学硕士学位论文 是d p r 0 一不变凸函数，则应该对任意的z r 2 都有 f ( x ) 一f ( o ) 兰，7 ( o ，叼( z ，o ) ) + p l l a ( z ，o ) 1 1 2 由于f ( x ) - f ( o ) = l z - i ，7 ( o ，叩( z ，0 ) ) + p l l o ( z ，o ) 1 1 2 = 3 1 2 1 1 ，上式即为iz 。l 兰3 对于第一个分量z t 0 的z 是不可能使该不等式成立，故，在( 0 ，0 ) 点处 d 一册p 一不变凸函数 例2 2 2 存在函数：厂：它是d p q b u n i v e x 函数但不是d u n i v e x 函数 取，叩，目如上例中定义，p = - 2 ，b o 三i 1 ，九( 亡) = 2 t 2 ，则b o o ( f ( x ) 一 ，( o ) ) = z 2 ，7 ( o ，刀( z ，o ) ) + p l l o ( x ，o ) 1 1 2 = l x l i 一2 x l l = - i x t l ，从而有b o 九( 厂( z ) 一 ，( o ) ) 至，7 ( o ，7 7 ( z ，o ) ) + p l l o ( x ，o ) 1 1 2 对任意的z r 2 成立，即，在( o ，o ) 点处为 d 一朋口一u n i v e x 函数 下面说明，在( o ，o ) 点处不是d u n i v e x 假设厂在( 0 ，0 ) 点处是d u n i v e x ， 则对任意的z r 2 应有 b o o ( f ( x ) 一，( o ) ) 至，( 0 ，7 7 ( z ，o ) ) 由于b o o ( f ( x ) 一厂( o ) ) = lz 1 2 ，厂7 ( o ，叩( z ，o ) ) = iz i ，上式即为i x l l 2 至i 。- i 但对 于0 i x l l 1 的z ，该不等式显然不能成立，得到矛盾，故厂在( o ，o ) 点处不是 二 d u n i v e x 函数 关于厂是d p r o - u n i v e x 而不是d 一不变凸的例子参见参考文献 1 4 】中 例3 该例中给出的函数在一点处是d 一卯口一不变凸而不是d 一不变凸的由于 d 一册p 一不变凸函数是d p 叩p u n i v e x 函数，所以所给的函数也是d 一卯p u n i v e x 但不是d 一不变凸函数 定义2 2 6 称函数厂：x r 在点u x 处关于b o ，o 为强伪d p z 0 一u n i v e x ， 若存在函数b o ，九，叩，p 以及实数p 使得对于任意的z x ，有 b o ( x ，让) o ( 厂( z ) 一，( u ) ) 耋0 考f l ( 缸，叩( z ，乱) ) + p l l e ( z ，u ) 1 1 2 0 定义2 2 7 称函数f ：x 一酞在点u x 处关于b o ，o 为弱伪d p r 0 一u n i v e x ， 1 2 第2 章广义d 一卯口一u n i v e x 函数及其多目标规划 若存在函数b o ，o ，叩，p 以及实数p 使得对于任意的z x ，有 b o ( x ，u ) o ( ，( z ) 一，( 仳) ) 姜0 = 今f l ( “，叩( z ，u ) ) + p l l o ( x ，u ) 1 1 2 耋0 定义2 2 8 称函数f ：x _ r 在点u x 处关于b o ，o 为弱严格伪d p r 9 一 u n i v e x ，若存在函数6 0 ，o ，叼，p 以及实数p 使得对于任意的z x ，有 b o ( x ，u ) o ( 厂( z ) 一，( u ) ) 0 毒f l ( u ，叩( z ，u ) ) + p l l o ( x ，u ) 1 1 2 0 睢m = 0 铲竺2 ， ，( o ，叼( z ，o ) ) + p l l o ( x , o ) 1 1 2 ： ；i z “一1 ，i z l i 2 ， i2 i z l i - 1 ， 其他 1 3 - 一 。ililililll 2 3 j m ：g j ( x ) = o ) ，j ( x ) = j m ：g j ( x ) o ) 容易看出j ( z ) uj ( x ) = m 对 任意的z d 记酞晕= z 瞅：z 至o ) 为了书写的方便，我们记“”为“ 打的反面，则由定义1 1 4 知点牙d 为( p ) 的弱p a r e t o 有效解，如果厂( z ) 厂( 牙) 对任意x d 都成立 定义2 3 1 p 卅称函数夕在点孟处满足广义s l a t e r 约束规格，若夕在峦处是d 一 不变凸函数，且存在z d 使得劬( z ) 0 ，j j ( 牙) 引理2 3 1 卜叫( f r i t z j o h n 优化必要条件) 设孟是( p ) 的弱p a r e t o 有效解，9 j 对于j ，( 牙) 连续，和9 在孟处方向导数存在，7 ( 牙，叩( z ，雪) ) 和夕7 ( 岔，叼( z ，牙) ) 在x 上关于某个向量值函数为预不变凸函数，则存在r 晕，皿r 罕，f ，口不 全为o ，使得( 孟，享，皿) 满足以下条件 f ，7 ( 叠，叼( z ，孟) ) + # t g ( 牙，叩( z ，牙) ) 至0 ，v z ，x ， 口t 夕( 牙) = 0 ， 夕( 孟) 冬0 注2 3 1 从引理2 3 1 的证明可知，口的取法为当j j ( 牙) 时，乃至o ；当 j ，( 孟) 时，助= 0 一1 4 第2 章广义d 一胛p u n i v e x 函数及其多目标规划 引理2 3 2 ( k a r u s h - k u h n t u c k e r 优化必要条件) 设牙是( p ) 的弱p a r e t o 有效 解，缈对于歹j ( e ) 连续，和9 在牙处方向导数存在， 厂7 ( 牙，叼( z ，牙) ) 和 夕( 牙，7 7 ( z ，牙) ) 在x 上关于某个向量值函数为预不变凸函数，且进一步假设g 在 牙处满足广义s l a t e r 约束规格，则存在享r 晕，f e = l ，( e = ( 1 ，1 ，1 ) 瞅) ，豇嘤使得( 童，享，届) 满足以下条件 霉t ，7 ( 孟，7 7 ( z ，牙) ) + 口t 夕( 牙，叩( 。，孟) ) 至0 ，v z x ，( 2 1 ) 口t 9 ( 牙) = 0 ，( 2 2 ) 夕( 牙) 耋0 ( 2 - 3 ) 证明：由引理2 3 1 知，存在享r 晕，皿r ? 使得( 牙，享，皿) 满足条件( 2 1 ) 一( 2 3 ) ，以下说明手0 反证法，假设享= o ，则口0 ，且( 2 1 ) 式成为 乒t 夕7 ( 牙，卵( z ，牙) ) 至0 ，比x 利用夕在牙点处满足广义s l a t e r 约束规格，存在 z d 使得 缈( 习 0 ；o ( 亡) 0 对任意的t 0 ( 2 - 6 ) 1 5 北京工业大学理学硕士学位论文 b l 至0 ；l ( 亡) 姜0 对任意的t 冬0 以下我们给出问题( p ) 的弱p a r e t o 有效解存在的充分条件 定理2 3 1 设孟是( p ) 的可行点，且存在手r 晕( p e = 1 ) ，皿r ? 使( 2 - 1 ) 式成立，若进一步有 ( i ) p 厂在牙处关于b o ，o 为弱严格伪d 一册p u n i v e x 函数； ( i i ) f i ? 夕在雪处关于b l ，1 为弱伪d p l 叼p u n i v e x 函数； 且p + p l 至0 ，则牙是( p ) 的弱p a r e t o 有效解 证明：反证法假设霉不是( p ) 的弱p a r e t o 有效解，即存在z d ，使 厂( z ) 厂( 牙) 对于享r 牟，p e = 1 ，则易得出p f ( x ) 一f f ( 5 ：) 0 ，由假设条件 ( 2 - 6 ) 我们有 b o ( x ，牙) ( 毒r f ( x ) 一p ，( 牙) ) 0 又因p ，在牙处关于b o ，o 为弱严格伪d 一册口一u n i v e x 函数，从而有 p 厂忙，叼( z ，牙) ) + pi io ( z ，孟) l2 0 注意到皿r ? ，p r g ( 2 ) = 0 ，及当z d 时p r g ( x ) 姜0 ，由假设条件( 2 7 ) 我们 有 b l ( z ，孟) 咖l ( 口r g ( x ) 一口t 夕( 孟) ) 耋0 由已知f t t g 在孟处关于b l ，l 为弱伪d j d 。r 1 0 一u n i v e x 函数，于是 p t 9 7 ( 孟，叩( z ，牙) ) + p 1 | | o ( x ，牙) i2 耋0 从而可得p ，( 牙，7 7 ( z ，厉) ) + 口t 9 7 ( 至，叼( 。，牙) ) + p l l o ( x ，童) j 1 2 + p l i i o ( x ，牙) j j 2 0 由于 p + p l 至0 ，故p ，7 ( 孟，叼( z ，孟) ) + f i t 9 7 ( 孟，7 7 ( z ，牙) ) 0 ，l ( t ) 0 ，对任意的z x 都有o ( x ，牙) 0 ，则牙是( p ) 的弱p a r e t o 有效解 证明：反证法假设孟不是( p ) 的弱p a r e t o 有效解，即存在z d ，使 ( x ) ，( 牙) ，对于专r 晕，p e = 1 ，则易得出p f ( x ) 一p ，( 孟) 0 ，由假设条件 ( 2 6 ) 我们有 b o ( z ，孟) o ( p ，( z ) 一p ，( 牙) ) 0 又因p ，在牙处关于b o ，o 为弱伪d 一册p u n i v e x 函数，从而有 p ，忙，7 7 ( z ，牙) ) + pi lo ( x ，牙) 1 1 2 o ，o ( x ，孟) o ，故p ，( 牙，叼( z ，牙) ) + 口t 夕，( 孟，7 7 ( z ，牙) ) 0 ，这与( 2 1 ) 式相矛盾，所 以2 是( p ) 的弱p a r e t o 有效解证毕 口 1 7 北京工业大学理学硕士学位论文 2 4本章小结 这一章给出广义d 一加p u n i v e x 函数的概念( 定义2 2 5 2 2 8 ) ，讨论这一概 念与之前文章中所给出的相关概念之间的关系，通过举例说明这一类函数的范围 更大最后给出了多目标规划问题( p ) 的优化充分条件( 定理2 3 1 和定理2 3 2 ) 1 8 第3 章m o n d w e i r 对偶 3 1 引言 第3 章m o n d w e i r 对偶 关于非线性向量最优化问题，其对偶理论非常丰富目前讨论较多的有l a 广 g r a n g e 对偶模型、共轭对偶模型等等本章我们将主要讨论原问题( p ) 的m o n d - w e i r 对偶结论 1 9 8 1 年，m o n d 和w e i r 给出了多目标规划问题的一种对偶模型，他们对 l a g r a n g e 对偶模型进行了修改，简化了目标函数，增加了约束条件，并证明了有 效解之间的对偶性这种模型一出来，就引起了广大学者的极大兴趣，我们把这种 对偶模型称为m o n d w e i r 对偶模型随后，有很多学者在做广义凸函数的规划问 题时，都会考虑原问题的m o n d w e i r 对偶特别是a n t c z a k 和m i s h r a 两人分别在 他们的文章中都考虑了所研究问题的m o n d w e i r 对偶( 见参考文献 1 2 ，f 1 3 ， 2 8 卜 【z g ， 3 7 卜 4 2 】等) 本章中，我们将在广义d p r 0 - u n i v e x 函数条件下考虑多目标 规划问题( p ) 的m o n d w e i r 对偶和广义m o n d 。w e i r 对偶结论 3 2m o n d w e i r 对偶 本章我们仍然假设前一章中的( 2 - 6 ) 与( 2 7 ) 成立 关于原问题( p ) 我们考虑它的m o n d w e i r 对偶： ( m w d ) m a x 咖( 可，卢) = y ( y ) s t ( t ，+ p 丁夕7 ) ( 可，叼( z ，可) ) 至0 ，v x d ， u t g ( y ) 兰0 ， f r 晕，c e = 1 ，p 乏? ，y x ( 3 - 1 ) ( 3 - 2 ) ( 3 - 3 ) 记w = ( 可，肛) x r 晕毫? ：( f t 厂7 + p t g ) ( 可，叩( z ，箩) ) 至0 对任意的z d 成立，p 丁夕( 可) 至0 ，r 晕，c e = 1 ，p r ? ) 为( m w d ) 的可行集，记尸k 1 9 北京工业大学理学硕士学位论文 为在x 上的投影对于问题( m w d ) ，弱p a r e t o 有效解( 孟，弓，皿) w 是指 ( 孟，享，口) ( z ，肛) 对任意的( z ，卢) 定理3 2 1 ( 弱对偶) 设牙，( 雪，享，皿) 分别是( p ) 和( m w d ) 的可行点，若进一步 假设 ( i ) 尹，在雪处关于b o ，为弱严格伪d p r # - u n i v e x 函数； ( i i ) f l t g 在雪处关于b l ，l 为弱伪d p l r l 0 - u n i v e x 函数； 且p + p l 至o ，则，( 叠) 厂( 雪) 证明：假设f ( x ) ，( 雪) 对手r 晕，t e = 1 ，易知 f ，( 孟) 一p ，( 雪) 0 由假设条件( 2 6 ) 我们有 b o ( e ，雪) ( p ，( 孟) 一p ，( 雪) ) o 因p 厂在雪处关于b o ，为弱严格伪d p 7 7 0 - u n i v e x 函数，从而有 p ，7 ( 雪，7 7 ( 互，雪) ) + pi i 口( 孟，雪) i2 0 注意到口r ? ，f t t g ( 雪) 至0 ，及当孟d 时f t t g ( 2 , ) 冬0 ，由假设条件( 2 7