（基础数学专业论文）不确定时滞系统的鲁棒h∞状态反馈控制.pdf

摘要 鲁棒控制问题是控制理论中的一个十分活跃的研究领域，它丰富的理论 和先进的方法为解决当今科技领域中层出不穷的控制问题提供了卓有成效 的工具，取得了一系列的研究成果，并且在一些工程领域中获得了成功的应 用特别是线性矩阵不等式方法的提出，为许多控制问题的分析和求解提供 了有效的工具鲁棒控制理论结合系统模型参数不确定性和外部扰动不确定 性的考虑，弥补了现代控制理论中需要对象精确数学模型的缺陷，使得系统 的分析和综合方法更加有效本文给出了线性不确定时变时滞系统的数学模 型，研究了连续系统和离散系统鲁棒控制问题依据内容，本文共分为三个部 分： 第一部分是前言，主要介绍了鲁棒控制的研究意义和发展现状 第二部分分析了一类连续线性不确定时滞系统的鲁棒如控制器的设 计，基于线性矩阵不等式方法，给出了状态反馈控制其存在的充分条件，同时 利用矩阵的各种变换性质和s c h u r 牢 性质，将所得到的充分条件转化为线性 矩阵不等式形式 第三部分中着重分析了离散时滞系统，基于二次稳定性理论，利用线性 矩阵不等式方法，讨论了有记忆的状态反馈控制问题，得到了状态反馈控制 器的设计方法 关键词：时滞系统，鲁棒如控制，l y a p u n o v 函数，二次稳定性，非脆弱 控制，线性矩阵不等式 a b s t r a c t t h ep r o b l e mo fr o b u s t 如c o n t r o li sa l la c t i v ef i e l di nt h es t u d yo fc o n t r 0 1 i t sa b u n d a n tt h e o r ya n da d v a n c e da p p r o a c h e sp r o v i d e de f f e c t i v ef a c i l i t i e st o r e s o l v et h ec o n t r o l l i n gp r o b l e m sw h i c he m e r g e sc o n t i n u o u s l yi nt h es c i e n t i f i c a n dt e c h n o l o g i c a lf i e l dn o w a d a y s a tt h es a m et i m e ，w ea c q u i r eas u c c e s s i o n o fa c h i e v e m e n t sa n dm a n ys u c c e s s f u la p p l i c a t i o n sw e r eo b t a i n e di ns o m ee n g i - n e e r i n gs c i e n c e t h ei n t r o d u c t i o no ft h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) o f f e r s a ne f f e c t i v ei n s t r u m e n tt or e s o l v et h ea n a l y s i so fm a n yc o n t r o l l i n gp r o b l e m s t h et h e o r yo fr o b u s t 比c o n t r o lc o n s i d e r st h ec o m b i n a t i o no ft h eu n c e r t a i n t y o fp a r a m e t e r sa n dt h ee x t e r n a ld i s t u r b a n c e ，c o m p e n s a t e dt h ed e f e c to fr e q u i r - i n gp r e c i o u sm a t h e m a t i c a lm o d e l b e c a u s eo ft h et h e o r yo fr o b u s t 如c o n t r o l ， t h ea n a l y s i sa n di n t e g r a t i o no ft h es y s t e m sg e tm o r ee f f e c t i v ea n dp r a c t i c a l s i n c et h et i m ed e l a yi sf r e q u e n t l yas o u r c eo fi n s t a b i l i t ya n de n c o u n t e r e d i nv a r i o u se n g i n e e r i n gs y s t e m ss u c ha 8c h e m i c a lp r o c e s s e s ，l o n gt r a n s m i s s i o n l i n e si np n e u m a t i cs y s t e m s ，e t c ，t h es t u d yo ft i m ed e l a ys y s t e m sh a sr 争 c e i v e dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o no v e rt h ep a s ty e a r s i nt h i sp a p e r ，w ep r e s e n t t h em a t h e m a t i c a lm o d e lf o rt h eu n c e r t a i nt i m e - v a r y i n gl i n e a rs y s t e m s w e d i s c u s st h er o b u s th c o n t r o lf o rc o n t i n u o u su n c e r t a i nt i m e - v a r y i n ga n dt h e d i s c r e t et i m eu n c e r t a i ns y s t e m s a c c o r d i n gt ot h e c o n t e n t ，w es e p a r a t et h i s p a p e ri n t ot h r e ec o n t e n t s ： s e c t i o n1 ：w er e c o m m e n dt h es i g n i f i c a n c ea n da c t u a l i t yo ft h er o b u s t 冠c o n t r o li nt h ei n t r o d u c t i o n s e c t i o n2 ：i nt h i ss e c t i o n ，w ed i s c u s st h ep r o b l e mo fr o b u s ta n dn o n - f r a g i l e h o oc o n t r o lf o ru n c e r t a i nt i m e - v a r y i n gl i n e a rs y s t e m sw i t hd e l a y b a s e do n t h em e t h o do fl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t y ( l m i ) ，w eg e tt h ee x i s t e n c eo ft h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o no fn o n f r a g i l ec o n t r o l l e r a tt h es a l t l e t i m e ，u s i n gt h e s c h u rc o m p l e m e n t sa n ds o m et r a n s f o r m a t i o no fm a t r i x ，w et r a n s f o r mt h e i i o b t a i n e ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nt oa nl m if o r m s e c t i o n3 ：w ed i s c u s st h er o b u s th o oc o n t r o lf o rac l a s so fd i s c r e t et i m e u n c e r t a i ns y s t e m si nt h i ss e c t i o n b a s e do nt h eq u a d r a t i cs t a b i l i t yt h e o r y a n dt h ep r o p e r t i e so fm a t r i xi n e q u a l i t y , t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rar o b u s t h c o n t r o l l e rw a sd e r i v e d k e y w o r d s ： u n c e r t a i nt i m e - v a r y i n gl i n e a rs y s t e m s ，r o b u s ta n dn o n - f r a g i l eh o oc o n t r o l ，t h eq u a d r a t i cs t a b i l i t yt h e o r y , l y a p u n o vf u n c t i o n ，l i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t y , u n c e r t a i ns y s t e m s i i i 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文不确定时滞系统的鲁棒比状 态反馈控制，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独 立进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或 撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均己在文 中以明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：帐 日期：听、6 、l 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 不确定时滞系统的鲁棒瓦状态反馈控制系本人在曲阜师范大学攻 读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归 曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完 全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有 关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲 阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的 全部或部分内容 作者签名：搬日期：。不多、， 导师签名：孔【蜘逼 2 日期矽” 第一章绪论 1 1 鲁棒如控制的研究意义及发展现状 随着现代科学技术的进步和发展，控制理论要解决的问题越来越广泛， 越来越复杂为了扩大控制理论的应用范围，鲁棒控制理论得到了长足的发 展不确定性与时滞是工业过程中普遍存在的现象，是导致系统不稳定和性 能恶化的主要因素，因此近年来人们开始关注不确定时滞系统的研究，特别 是对不确定时滞系统的鲁棒控制的研究已经取得了一些成果 鲁棒控制就是在设计阶段充分考虑被控对象的各种不确定性，进而设计 具有一定鲁棒性的控制器，即基于不确定的非精确模型设计控制器在实际 工业控制中，各种工业生产过程，生产设备以及其他众多的被控对象，其动态 特性一般都难以用精确的数学模型来描述，有时即使能够获得被控对象的精 确数学模型，但是由于过于复杂，使得难以对其进行有效的控制性能分析和 综合，因此必须进行适当的简化另一方面，随着生产过程中工作条件和环境 的变化，控制系统中元器件的老化和损坏，被控对象本身的特性也会随之而 发生变化，所有这些使得描述被控对象的数学模型和实际对象之间不可避免 的具有误差鲁棒控制理论集合系统模型参数不确定性和外部扰动不确定性 的考虑，研究系统的鲁棒性能分析和综合问题，弥补了现代控制理论中需要 对象精确数学模型的缺陷，使得系统的分析和综合方法更加有效，实用 在各类工业系统中，模型的不确定性和时滞现象是普遍存在的对这类 系统的分析和综合问题一直是控制理论和控制工程领域中的研究热点，鲁 棒如控制就是其中之一在实际应用中往往要求控制系统具备稳定性且 满足相应的性能指标，而影响系统稳定的最主要的因素包括时滞和不确定 性j 关于不确定时滞系统的研究，已经取得了很多有意义的结论【文献1 3 】 上世纪8 0 年代，m a c f a r l a n e 提出了系统完整性概念，即系统在故障存在的情 况下，依然能够保持稳定性这个概念后来被称为容错控制的一个基本目 标，尤其是以可靠控制为代表的被动容错控制可靠控制有多种不同的实现 1 方法，如鲁棒极点配制方法，和飓控制设计等，它们都是通过设计固定的 控制器，使得系统对扰动和故障不敏感，从这个性质上讲，可靠控制和鲁棒控 制是一致的然而当控制器本身实现过程中由子仪器精度不够和舍入误差等 因素的影响，控制器参数会发生一定的变化，这会破坏系统的稳定性也会使 性能下降，也就是说控制其本身是脆弱的，因此关予鲁棒非脆弱控制器的设 计阕题受到了禹内外众多学者的关注文献阁利用r i c c a t i ：不等式方法设计 了非脆弱如控制器，文献f 7 】则运用了线性矩阵不等式的方法，文献【8 】设计 了非线性时滞系统的非脆弱保成本控制器，文献【1 1 1 中首次提出了非脆弱控 制器的思想，文献 1 2 1 研究了时滞为常数的的多时滞系统的鲁棒非脆弱控制 器的设计h a d d a d 等运熠二次型的l y a p u n o v 上界法将露定结构的琶控制器 综合方法扩展到非脆弱输出反馈喝控制器设计中去，但是仅给出了控制器 参数拥有相同乘性控制器参数摄动的情形下的控制器设计方法，文献 1 3 1 研 究了一类具有仿射不确定的时变系统，应用l m i 方法给出了非脆弱状态反 馈飓控制器设计的方法，但是含有非凸的优化阏题。文献 2 0 】中研究了离散 时闻线性不确定状态时滞系统嚣鲁棒如控制，得到了时滞无关的镇定控制 刿据，文献【2 1 】中针对不确定多状态时滞系统研究了鲁棒滤波器，在保证 系统渐近稳定和如性能时，得到了一个设计稳定稳定性滤波器的判据，文 献 1 5 1 中研究了带参数不确定和状态时滞的离散时间线性系统的鲁棒如控 制问题，雩导到了无记忆状态反馈控制器，文献f 2 2 2 笔中研究了具有不确定丞 数扰动静薯窭线性系统的控制问题 2 第二章连续时滞系统的非脆弱比控制 在各类工业系统中，时滞现象是极其普遍的，如长管道进料或者皮带传 输，极缓慢的过程或者复杂的在线分析仪均存在时滞现象此外，对许多大时 间常数的系统，也常用适当的小时间常数加纯滞后环节来近似，这都可以归 结为时滞系统模型。因此，通信系统，传送系统，化工过程系统，环境系统，电 力系统等都是典型的时滞系统 时滞的存在使得系统的分析和综合变得更加复杂和困难，同时时滞的存 在往往也是系统不稳定和系统性能变差的根源正是由于时滞系统在实际中 的的大量存在，以及时滞系统分析和控制的困难性，使得时滞系统的分析一 直是控制理论和控制工程领域研究的一个热点闳题本章基于l y a p u n o v 稳 定性理论，采用线性矩阵不等式这个有效工其，分祈了一类线性不确定时滞 系统的鲁棒风状态反馈控制 2 。2 基本概念和标注 稳定性就是指系统抵御外部干扰以保持理想工作状态的能力；而鲁棒性 就是系统在内部结构发生扰动的情况下，抵御外部干扰的保持能力，或者说 是稳定性的强壮性。当一个系统的稳定性和鲁棒性存在一定离题的时候，可 以逶过附加控制机制来改善这些性质。然而，当控制手段被弓 入之后，控制 手段本身所发生的各种偏差和失误带来的不确定性，也就成为系统的又一干 扰因素如何克服由这一新型干扰引起的偏差，就成了所谓的控制系统( 控制 器) 的非脆弱性问题。 为了能够更好的理躲文章，先给出一些基本概念 3 定义2 1 考虑一个广义系统，它的状态空间描述为： 寤耋a x + 嚣l o + 岛铭 名= 岛z + d l l w + d 1 2 t y = c 2 x + d 2 t w + d 2 2 u 其中，x 酝舻为状态变量，钍矽为控制输入向量，y f 为输出向量， 甜r q 是夕 部扰动，这里考虑的外部扰动是不确定的假定系统的状态是可 以直接测量得到的，要求设计一个状态反馈控制器钍= k x 使得相应的闭环系 统 圣盔( a + 岛k ) x + b l o a z 一( 岛+ d 1 2 k ) x + d 1 1 w 是渐近稳定的，且闭环传递溺数死。满足 l | 死善峙= | | ( q + d 1 2 k ) s i 一a 岛确】。最d l l 0 ，可以求系统的状态反馈? 一次优五k 控制器，考虑到 l l 死zl | 0 ，向量函数髫( 毒) ：p ，翻一 舻可积，则有下面不等式成立： ( 7x ( s ) d s ) r n ( 7 。( 8 ) 凼) s 矿7x t ( s ) n x ( s ) d s ，t 一仃j t - #j t - a 标注以下标注将在本文中通篇使用。凰表示所有非负实数集，舻表 示7 1 , 维实数空间，对一给定的向量或矩阵x ，x ? 表示它的转置，本文中用k 表 示mxm 的单位矩阵，用鼠表示只( 惫) ，a o ( a o ) 表示a 为芷定( 负定) 矩 阵，对于对称矩阵众，分别用a m 黜( 锄和a r n i n ( a ) 表示a 豁最大和最小特征馕， i l 。l l 表示向量z 的e u c l i d 范数，而l lzi | 2 为向量搿的l 2 0 ，o 。) 范数 2 3系统模型 在这部分我们考虑鲣下不确定时变时滞系统： f 击( t ) 一( a + a a ) x ( t ) + ( a d + a a a ) x ( t d 0 ) ) + ( b 十a b ) u ( t ) + ( d 十a d ) w ( t ) z ( t ) = ( c 固x ( t ) ( 侥a c a ) z ( t 一蠢0 ) ) ( e a e ) u ( t ) ( g s ) 搿( 圣j 1 z ( s ) = ( s ) ，3 卜盯 o 】 ( 2 1 ) x ( t ) 帮为系统状态交量，牡( 苟舻为系统控制输入商量，留r p 为属 于l 2 o ，+ 。】的干扰输入向量，z ( t ) 帮为控制输出向量，a ，如，b ，aq ，d ，刀， g 分别为适当维数豹常数矩阵，假设所有酶南量都是可测的，时滞满足 0 曼d ( t ) 0 2 4 求解控制器 在这一部分，我们主要研究控制器的求解 6 玩巩阢 、l ， 、llif， 1 2 毋 邑 ，、 l i 中 其 将要寻找的状态反馈控制器( 2 4 ) 带入系统模型( 2 1 ) m 可得到下面闭环 系统： ， f 惫( t ) = j , k x ( t ) + a d z ( t d ( 舌) ) - 4 - d ( t ) k ) ：氏礤) + 嘲川) + 础) q 其中 a k = a + a 十( b + a b ) ( k4 - a k ) a d = a d + a a d d = d + a d 嘞= c + a c 十( 霹+ a e ) ( k + a k ) 劬= 吼+ a 吼 艿= g + a g 为了得出控制器，我们需隳下面基本引理 ( 2 ) & l 0 ，勘一3 2 1 s 5 1 & 2 0 ( 3 ) $ 2 2 0 ，最l 一曲2 对乳l 0 证明 由于s 是对称的，因此有是l = 踞，铙2 = 踢，岛t = 蹋。应用分 块矩阵的初等运算，可以得到 毛 s 2 t s 嚣 ( 一二州： 7 0 岛l s 五1 岛2 价等)式 2 2 = 一 c i | 雅 是 鄹 | l & s | | 阵 最 觯 峨 赫 属 对 降 的 称 定 对 给 为 予 均 对 _ = 0 4 ，珏c 脚 胤如 理 孛心 醒 舯 、llili， 最 岛， ， 韪 & i 、 、l， 0 f 幽傅f - - 5 2 1 蹬 o & 2 一岛l 甜 结论( 1 ) 和结论 一研2 蹭l 歹 j i j o 、t | 0 ，闭环系统( 2 王) 渐近稳定且满足 lz ( k ) 1 2 7l l ( 是) 1 1 2 8 2 2 ， j 7 & 如 惜 蝴 母 靳仁k 卜惭 、，t11_r l，l， 也参洲、叫隈 l 一， o 明 ，；弋汪 褂 谳 、l，7 2 o & ， 0 ，f； 、llli|， 2 2 研 ， l 风 & ，fii ， o ，j，i，l 掰 酽 ，-ll。1。 的充分条件是存在对称正定矩阵p 和q 使得下式成立： 醵p 专p a x 七q p a 壶p 蚤强? ， l 囊著p一( 1 一声) q o 露 | 护p 0 , - ，、d i萨 【良馥 露一jj 0 ( 2 7 ) y ( z ) ) 一z ( 舌) r p z ( 舌) 十7 。( 下) ? q z ( 7 ) 打 ( 2 8 ) r q 一篇) 。 偿9 ， 矿 ( 亡) ) = 瘤( 芒) ? p z ) + 霉 ) ? p 圣( t ) + 劣( z ) r q x ( t ) + ( 1 一蠢 ) ) 髫 一d ) ) r q x ( t d 0 ) ) 亿( z ( 右) ) = 圣( 亡) 丁p $ ( 亡) 十z ) r p 圣( 妨+ 。) t q 。( 圣) + ( 1 一多) 。擘一露( ) ) t q x ( t c f l 譬) ) 0 ( z ： ，) ? ( 五茹p + a p 善p d 彭q 一。l r 一d a p ，q ) ( g 。：。亡，) 。 下一步假定零初始条件，并且引入性能指标 ， j = 【z t ( ) 名( t ) 一3 , 2 u t ( t ) u ) 】出( 2 1 1 ) ，o 则对任意非零的向量u ( z ) l 2 o ，o o ) ， ， j z t ) z ( 亡) 一，y 2 叫t ( ) u ) + 矿( z ( t ) ) 】出 0 ，o o 【z t ( t ) z ( t ) 一，y 2 u t ( ) u ) + 记( z ) ) 】出 ，o 把亿 ( t ) ) 代入上式，令 可以得出 ( ( t ) = 其中z 的表达式为 式中 l ( ，( t ) z t ( t - d ( 踟护) ( 2 1 2 ) ，i o o j e t ( t ) 认( t ) 出 j 0 f日p d e + 兹岛p d + 铭g l z = if i t 孑p + 四苏四岛一( 1 一z ) q四g 护p + 8 e k舒e a 一7 2 i + 舒e h = f i t p + p a k + 礤民+ q 由z o 可得对于任意的非零的u ( 亡) l 2 f o ，+ 。) ，都有 iz ( t ) j 1 2 7l l “心) l2 1 0 因此，当z o 时系统( 2 1 ) 在控制a ( 2 4 ) t 是渐近稳定的，并且满 足如范数约束条件利用s c h u r 卒b 性质，z o ，控制器增益摄动k 满 足( 2 5 ) ，如果存在正定矩阵x ，y 和矩阵使得下式成立 巩 ( d + a d ) t 呀 x ( d + d )踢x 一，y 2 i伊0 0 u 3 0 00 一y 0 ( 2 1 3 ) 则存在非脆弱状态反馈控制器( 2 4 ) 使得系统渐近稳定，并且满足巩范数 有界约束条件，即 1 1 名( 亡) | 1 2 ，yl lu ( z ) l2 其中 巩= x ( a + a a ) r + ( a + a ) x + i 矿r ( b + b ) + ( b + b ) w 7 + ( 1 一p ) 一1 久d s 五子 巩= w t ( e + a e ) t + x ( g + a c ) t + ( 1 一p ) 一1 a d y 露 = - i + ( 1 一p ) 一1 岛y 露 w = p ，x = p 一，y = q _ 1 证明 利用矩阵的s c h u r 性质和矩阵变换不等式( 2 7 ) 等价于下式 五k p + p a kp a dp d g 蕞 i 蕊p- ( 1 一z ) q 0 铹0 d t p0 7 2 1伊0 e ke d g10 1 000 一q 一1 1 1 0 重复利用矩阵的变换可以将上式变换为 p ( d 十a d ) 礤- 1 - p j t d q 。1 砑 一，y 2 ， 木 ：i c 。蛰 一，+ 岛q _ 1 四 再次利用矩阵的s c h u r 性质和矩阵变换可以得出上式等价于 p 一1 五乏+ 2 k p 一1 + a d q 一1 a 手d + a dp 一1 礤+ a d q 一1 露 其中宰表示相关位置的转置又因为 一，y 2 j ，i e 木 蟹 一，+ 岛q 一1 四 w = k p ，x = p ，y = q 一1 则可以得到( 2 1 3 ) 定理证毕 2 5本章小结 1 0 0 一q 一1 0 。 孔 。 i q - 1 ) 本章利用线性矩阵不等式方法分析了一类连续线性不确定时滞系统的鲁 棒比控制器的设计由上述的分析和结论可知矩阵( 2 1 3 ) 是关于x ，y 和彬的 线性矩阵不等式形式因此，这个线性时变系统的如状态反馈控制器中 的k 可以由k = w x 一1 得到 1 2 第三章离散时滞系统的鲁棒砜控制 3 1引言 近年来，线性系统的鲁棒控制理论研究取得了很大的进展，连续时间时 滞系统的鲁棒控制研究已经取得了很多成果，而随着计算机技术在各个领域 中的应用，即使是连续系统得到的记过也经常需要离散化，然后再进行处理 因此，对离散时间时滞系统这种广泛存在于实际工程和应用的问题引起了学 者们的关注，并且取得了一些有益的研究成果在本章节中，我们考虑了一 类离散时滞不确定系统的鲁棒鼠。控制器设计方法，基于二次稳定性理论，利 用线性矩阵不等式的方法，讨论了有记忆的状态反馈控制问题，得到了稳定 性存在的充分条件和状态反馈控制器的设计方法 3 2 基本概念和引理 定义3 1 考虑系统 x ( k - f1 ) = ，( 。( 七) ，x ( k z ) ，k ) 如果存在y ( z ( 七) ，七) 和正数a 1 ，q 2 ，口3 以及k 类函数1 ( r ) ，咖2 ( r ) 使得 ( 1 ) 0 1 1 1 ( lx ( k ) l i ) y ( 七) ，k ) q 2 也 ( 2 ) y ( z ( 尼) ，尼) | ( 3 ) m o l 3 | ix ( k ) i | 2 则系统是二次稳定的 考虑由以下状态方程描述的不确定离散系统 ( 3 1 ) z ( 七+ 1 ) = ( a + a a ) x ( k ) + ( b + b ) 缸( 后) ( 3 2 ) 其中：z ( 忌) 舻为系统状态向量，让( 忌) 为系统控制输入向量，a 和b 是适 当维数的常数矩阵，a 和a b 是适当维数的不确定矩阵，假定其具有以下形 式： ( ab ) = 。f ( 局易) 1 3 其中：d ，噩和易是适当维数的常数矩阵，它们反映了不确定性的结构， f 席x j 满足 f r f j 的未知矩阵，两且是时变的 对上述不确定离散系统，定义一个性能指标 j = 【? ( 七) q z ( 怒) + ，( 南) r 让( 克) 】 ( 3 3 ) k - - - - 0 其中：q 帮r 是给定的对称正定加权矩阵 定义3 2 对系统( 3 2 ) 和性能指标( 3 3 ) ，若存在一个矩阵k 和一个正定对 称矩阵p ，使得对所有菲零的。( 妨帮所有满足条件的不确定矩阵f ，有 x t ( 惫) 陋+ b k 十d f ( e i + e 2 k ) t p a + b k + d f ( e l + e 2 k ) l x ( k ) 一z t ( k ) p x ( k ) 十z t ( q + k t r k ) x ( k ) o ，且 由弓| 理3 。3 还可以褥出， a o 。且d c a 一1 b o ，使得 a z p a p t o ，使得 一x 似4 - x t x ) 0 ，使得a t p a p + t 0 当且仅当 对上式左边的矩阵分 可得其等价于 ( _ 舻p - 1 一二二? ) i p _ 一p ，a - ? 1 一一a + p - i p 1 p 一1 t p 一1 、) 。p 一1 一一十一一7 记x = p 一1 就可以得出弓| 毽的结论 引理3 5 【2 6 】对给定适送维数的矩阵m 和，其中y 是对称的，则对所 有满足矿f 矿f 的矩阵f ，不等式 y 十朋f + ? f r m ? o 使得 s 2 p 2 m m ? s y4 - n ? n 0 令 y ( z ( 七) ) ，k ) = x t ( 愚) p z ( 惫) + k 。- l l z r ( 1 ) 踟( i )( 3 9 ) 则y ( 茹( 奄) ，惫) 芷定，且满足定义l 中的条件( 王) ，把它作为系统( 3 7 ) 的l y a p l m o v 函 数当u ( 庇) 一o 时，l y a p u n o v i 菊数( 3 9 ) 沿闭环系统( 3 7 ) 的前向差分为： 一( 。，e 奄，。r 嵇一；，) ( p 君a t - p a p + sb z a p t 召p b s ) ( 茹墨：磅) 耻t a t p a - p + s a t p b s 卜 一p 一1ab0 a r p0j b t0 一s0 01 0 一s 一1 1 8 o ( 3 + 圭o ) 褥幂l l 魇s c h u r ； | 性质，得上式等价于翰 o g 一王，2 ，3 ，4 ) ，使得 壬量+ 马踢e 30 o o o 0 o o 0 o 0 0 0e 4 0oo o 研0 ( g 3 k ) r 四 0 鳄( g 3 三) ? 0-、 v ， 000o 则有( 3 1 3 ) 成立 q i0 00 0e 2 100 0 0 3 10 0009 4 i 尊_ 1 1 000 0 ；1 1 00 00 g i l l 0 0 0 0 ；1 j + 0 ( 3 。1 3 ) 遥00 0 避00 0 磷00 0 000 磋 + 0g 100 00岛0 0g s kg 3 l0 0 铙00 0 + 3 1 4 ) 我们记 矾一h - f 也就是说 甄= 最岛e 30 0 0 00 0 o 0 0 000e 4 s l j0 ，00 0e 2 100 00e a l0 0 00s 龟l e t0 0 0 e t0 0 0 e t0 0 0 0 00 酸 一p 一1 + 叁1 蜀霹a 1 + b l ka 2 + b 1 lb 2 ( a l 盛叼z ( a 2 + b 1 l ) t 因此式( 3 1 4 ) 可以改写成 避+ 0o00 研0 ( g 3 k ) ? g i 0 砑( g 3 l ) t 0 gooo p o o o s s f l l 000 0 i 1 1 00 00 g i l l 0 0 0 0s i l i 2 2 o o o s 一1 0 g l 00 0a g 20 0g 3 kg 3 l0 0 g 毒0 0 o 应用s c h u r ：衬 性质，上式等价于 一p 一1 十q 鼠霹a 1 十召1 ka 2 + b 1 l 岛0 0 00 ( 盖；+ 君l k ) ( a 2 十b l 三) t ( 玩) ? o o o o p 0 0 l g l 0 一s o o 0i 鳄0 g 3 贸) ? 00-0凹( g 3 l ) t jo0o 0 一s 一1 0 0 o o 000 一1 ，0 0 00 g 2 00 一皇l 0 g 3 k g a l 000 0 6 3 1 在上式两边同时左乘和右乘对称矩阵 再令 g d i a g i ，p ，s ，i ) ， x p ，y = s ，m = k p ，n = l s ， 就可以得到线性矩阵不等式( 3 1 1 ) 总结：本章根籀二次稳定性理论，利用线性矩阵不等式方法分析了_ 类 不确定离散时滞系统，得出控制器( 3 6 ) 中= m x ，l 一y 2 3 0 ( 3 参考文献： 【l 】苏宏页，王景成时变时滞不确定系统的鲁棒输出反馈控制，自动化学 报，1 9 9 9 ，2 5 ( 4 ) ：5 1 3 。 2 】李东虎，邵惠鹤时变不确定离散时滞系统的如鲁棒控制，控制理论与 应用，2 0 0 3 ，2 0 ( 1 ) ：1 3 9 【3 】陈东彦，许立滨一类离散时滞不确定系统的鲁棒控制，电机与控制学 报，2 0 0 2 ，6 ( 4 ) ：3 1 7 4 】史桂刚，廖副成时变时滞不确定系统的鲁棒控制，北京科技大学学报， 2 0 0 6 ，2 8 ( 9 ) ：8 7 5 【5 】刘湘黔，徐洪泽线性不确定动态时滞系统的鲁棒镇定，北方交通大学 学报，2 0 0 3 ，2 7 ( 2 ) ：1 8 【6 】y a n ggh ，w a n gjl n o n - f r a g i l eh o oc o n t r o lf o rl i n e a rs y s t e m sw i t h m u l t i p l i c a t i v ec o n t r o l l e rg a i nv a r i a t i o n 【j 】a u t o m a t i c a ，2 0 0 1 ，3 7 ( 5 ) ：7 2 4 7 3 7 【7 1w a n gw u ，y a n gf u w e n r o b u s t 如c o n t r o lf o rl i n e a rt i m e - d e l a yu n c e r - t a i ns y s t e m sw i t hc o n t r o l l e rg a i nv a r i a t i o n s 【j 】a c t aa u t o m a t i cs i n i c a ， 2 0 0 2 ，2 8 ( 6 ) ：1 0 4 3 1 0 4 6 【8 】x i en ，t a n ggy d e l a y - d e p e n d e n tn o n - f r a g i l eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l f o rn o n l i n e a rt i m e - d e l a ys y s t e m s 【j 】n o n l i u e a r a n a l y s i s ，2 0 0 6 ，6 4 ( 9 ) ： 2 0 8 4 2 0 9 7 【9 】w a n gw u ，y a n gf u w e n r o b u s ta n dn o n - f r a g i l eh o oc o n t r o lf o rd i s c r e t e t i m eu n c e r t a i nl i n e a rs y s t e m s 【j 】c o n t r o le n g i n e e ro fc h i n a ，2 0 0 5 ，1 2 ( 4 ) ： 3 3 5 3 3 8 2 4 【10 】x i el 。o u t p u tf e e d b a c k 如c o n t r o lo fs y s t e m sw i t hp a r a m e t e ru n c e r - t a i n t , 翻i n tjc o n t r o l ，1 9 9 6 ，6 3 ( 4 ) ：7 4 1 7 5 0 f 11 】k e e llh 。b h a t aa c h a r y y asp r o b u s t ，f r a g i l e ，o r o p t i m a l 【j 1 。i e e e t r a n s a c t i o n so na u t o m a t i cc o n t r o l ，1 9 9 7 ，4 2 ( 8 ) ：1 0 8 9 11 0 5 【1 2 】z h a n gq i n g l i n g ，l i ug u o y i r o b u s tf r a g i l ec o n t r o l l e rf o r c l a s so fl i n e a r t i m e - d e l a ys y s t e m s 【j 】c o n t r o la n dd e c i s i o n ，2 0 0 6 ，2 1 ( 5 ) ：5 5 9 5 6 2 1 3 】x us ，y a n gc 。h o os t a t ef e e d b a c kc o n t r o lf o rd i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m s 【j 】i e e et r a n sa u t o m a tc o n t r o l ，2 0 0 0 ，4 5 (