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c l 一空间的端点，暴露点，可微点 摘要 b a n a c h 空间的单位球的凸性研究是b a n a c h 空间的几何理论的重要部分，按 b a n a c h 空间的凸性分类，一种极端情况是。一致凸性”，而另一种极端情况便是。平 坦性”众所周知，前者是类非常有用的空间，这类理论和应用研究成果已经组成 个庞大而完备的体系关于“平坦性”研究，也早已引起众多数学家的兴趣( 例如， 见 5 】， 1 1 】， 1 2 】， 1 3 】， 1 9 】等) 本文的主要目的就是讨论。平坦性”空间 的范数的g a t e a u x 可微点和f r & h e t 可微点的几何和拓扑特征 我们称b a n a c h 空间x 为c 厶空间，如果b x 可以表示为单位球面上任意极 大凸子集的均衡凸包，即b x = c o ( ho 一日) ，其中日是s x 的任意个极大凸子 集而如果罗x = 历( 日u 一日) ，称x 为几乎c l 空间 本文主要讨论了c l 空间和几乎c l 空间中的g a t e a u x 可微点和f r 6 c h e t 可 微点的几何拓扑性质确切地说，令m 为c l 空间单位球面上任意个极大凸子 集，c k 代表由m 所生成的锥，则x 的所有g a t e a u x 可微点的集合是u n - s c m ， 且所有的f r 6 c h e t 的可僦点的集合是ui n t ( c m ) ，( 其中，n - s ( c m ) 是c k 的所以非 支撑点的集合) 关键词：c l 空间和几乎c l 空间；端点；可微点 c l 空间的端点，暴露点，可微点 a b s t r a c t t h es t u d yo fc o n v e x i t yo fb a n a c hs p a c e sh a sp l a y e da l li m p o r t a n tp a r ti nb a n a c h s p a c e s s p e a k i n go fc l a s s i f i c a t i o no fb a n a c hs p a c e sb yc o n v e x i t y , w es h o u l dm e n t i o n h e r et h a tt h e r ea r et w oe x t r e m ec l a s s e s ：o n ei st h ec l a s so fu n i f o r m l yc o n v e xb a n a c h s p a c e sa n dt h eo t h e ri st h a to ff l a ts p a c e s i ti sw e l l - k n o w nt h a tt h ef o r m e ri sav e r y u s e f u lc l a s so fb a n a c hs p a c e s r e s u l t so ft h e o r e t i c a lr e s e a r c ha n dt h e i ra p p l i c a t i o n s h a v es p r e a daw i d ev a r i a t yo ft o p i c si nb o t hl i n e a ra n dn o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s t h es t u d yo fv a r i o u sp r o p e r t i e so fc l - s p a c e sh a sa l s ob r o u g h tm a t h e m a t i c i a n sg r e a t a t t e n t i o n ( s e e ，f o ri n s t a n c e ，【5 】，【1 1 】。【l z ，【1 3 ，【19 】) t h ea i mo f t h i sp a p e rd e v o t e s t os t u d yap r o p e r t yo fg e o m e t r i ca n dt o p o l o g i c a ln a t u r eo fg a t e a u xd i f f e r e n t i a b i l i t ya n d f r c h e td i f f e r e n t i a b i l i t yp o i n t so ft h ef l a ts p a c e s ar e a lo rc o m p l e xb a n a c hs p a c ei ss a i dt ob eac l - s p a c ei fi t su n i tb a ui st h e a b s o l u t e l yc o n v e xh u l lo fe v e r ym a x i m a lc o n v e xs u b s e to ft h eu n i ts p h e r e i ft h eu n i t b a l li st h ec l o s e da b s o l u t e l yc o n v e xh u l lo fe v e r ym a x i m a lc o n v e xs u b s e to ft h eu n i t s p h e r e ，w es a yt h a tt h es p a c ei sd j la l m o s tc l - s p a e t h i sp a p e rp r e s e n t sap r o p e r t yo fg e o m e t r i ca n dt o p o l o g i c a ln a t u r eo fg a t e a u x d i f f e r e n t i a b i l i t yp o i n t sa n df r d c h e td i f f e r e n t i a b i l i t yp o i n t so fa l m o s tc l s p a c e s m o r e p r e c i s e l y , i fw ed e n o t eb ym am a x i m a lc o n v e xs e to ft h eu n i ts p h e r eo fac l s p a c ex a n db yc mt h ec o n eg e n e r a t e db ym ，t h e na l lg a t e a u xd i f f e r e n t i a b i l i t yp o i n t so fx a r ej u s t j n - s ( c m ) ，a n da l lf r d c h e td i f f e r e n t i a b i l i t yp o i n t so fxa x eui n t ( c m ) ，( w h e r e n - s ( c m )d e n o t e st h en o n - s u p p o r tp o i n t ss e to fc m ) k e yw o r d s ：c l - s p a c ea n da l m o s tc l - s p a c e ，e x t r e m ep o i n t ，d i f f e r e n t i a b i l i t yp o i n t 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成 果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论 文而产生的权利和责任。 声明人( 签名) ；夸叙 曩年j 只| 矸b 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量 复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘 要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密() 。 ( 请在以上相应括号内打 ) 作者签名：聋敢 翩骼3 嬲 日期：卅年钿牌日 嗍。7 刚蚰 c l 空间的端点，暴露点，可微点 第一章引言 b a n a c h 空间的单位球的凸性研究是b a n a c h 空间的l 何理论的重要部分，按 b a n a c h 空间的凸性分类，一种极端情况是。致凸性”，而另一种极端情况便是。平 坦性”众所周知，前者是类非常有用的空间，这类理论和应用研究成果已经组成 个庞大而完备的体系关于。平坦性”研究，也早已引起众多数学家的兴趣( 例如， 见 5 】， 1 1 】，【1 2 】，【l a ，【1 9 】等) 本文的主要目的就是讨论。平坦性”空间 的范数的g a t e a u x 可微点和f r 6 c h e t 可僦点的几何和拓扑特征 如无特辫矗兑明本文中我们记x 为实b a n a c h 空间，b x ，毁，x 分别代表x 的 闭单位球，单位球面和对偶空间用e x p ( b x ) ，s e z p ( 点k ) 指单位球的暴露点集和强 暴露点集给定x 的子集a ，我们用e x t a 和c o a 分别表示a 的端点集和凸包， a 的均衡凸包和闭凸包分别记为c o ( au a ) 和历( a ) 设k 是x 的凸子集，c k 表示由k 所生成的锥，即c k = u a oa k 我们用n - s ( k ) 和i n t ( k ) 分别表示k 的非支撑点集和k 的内部 b a n a c h 空间的单位球的凸性研究，最早是有j c l a r k s o n 在1 9 3 6 年讨论向量 测度空间的r a d o n - n i k o d y m 定理足开始的尔后，人们又讨论了各种凸性，它们 在最佳逼近及不动点理论中有着重要的应用，本文将各种常见的凸性的定义以及它 们之间的关系归纳如下： 定义1 1线性空间x 的子集a 称为凸的，如果对于任意的z ，y a 及 t o ，1 】，都有亡z + ( 1 一t ) y a c l 空间的端点，暴露点，可微点 2 定义1 2b a n a c h 空间x 称为致凸的，如果对任意的e 0 ，存在a 0 ， 使得当z ，y ，0 啦2i i 1 一a 时，有忙一训 0 ，z 吸， 存在a = a ( ，z ) 0 ，使得当y s x ，i l 字0 1 一a 时，有忙一圳 0 ，z s x ， 存在a = a ( e ，z ) 0 ，使得当x l ，x 2 毁，忙一x l + 2 x 2 i 0 ，使得当z ，可戥，z y = a l z ，i l 兰笋i l 1 一入时 有i 入1 i ( z + ，可) 此时，泛函z 称为c 的暴露泛函，且在x o 处 c l 一空间的端点，暴露点，可微点 暴露c ； i i ) 我们说x o c 是c 的强暴露点，若存在矿x + o ) 使得当扛，。n ) _ s u p c z 时，有z n x o ，其中 z n ) 是c 中任意个序列此时，z 是c 的强 暴露泛函，且在x o 处强暴露c ； i i i ) 特殊地，若ccx + ，我们可以类似地定义c 的w 一暴露点和w - 强暴 露点只要在匕述定义i ) 和i i ) 中，分别令z x 代替z + x + 定义2 4设x 是个b a n a c h 空间且c 是x 的非空凸子集，称z c 是c 的端点，若c z ) 仍然是个凸集 得 由定义2 3 ，定义2 4 ，很容易得到强暴露点都是暴露点，暴露点都是端点 在( 几乎) c 厶空间，端点和极大凸子集有如下关系 性质2 5设f 为s k 的个极大凸子集，则存在z + e x t ( b x ) ，使 f = z b x ：( z + ，z ) = 1 ) 证明由h a h n - b a n a c h 定理知：存在y + 上k ，使得对于任意的z e 有( y + ，z ) = 1 ，令f = z b x ：( z ，f ) = 1 ) ，则f 是个w + 紧凸集，这 是因为：对于任意的y ，z f ，和0 t 1 ，有 ( 纫+ + ( 1 一t ) z ，f ) = t ( y ，f ) + ( 1 一) ( z + ，f ) = 1 所以f 为凸集又因为昵cf ，且咙_ 矿可所以对于任意的z e 有 ( y + ，z ) = l i m a a ( 珐，多) = 1 因此y + f + ，所以p 是个w 。紧凸集 7 c l 一空间的端点，暴露点，可微点 8 由k r e i n - m i l m a n 定理知道，存在z ；e x t f 最后只须证明；z ；e x t b x ， 即可 否则，存在z ：b x ，z ；b x 使得端= t x ：+ ( 1 一芒) z ；，其中0 t 1 因为，对任意的z f ，有( z 6 ，z ) = 1 ，即： ( z ：+ ( 1 一t ) z ；，z ) = ( z ；，z ) + ( 1 一t ) ( z ；，z ) = 1 所以有( x 1 ，z ) = ( x 2 ，z ) = 1 因此得到z i f ，z ；f 。与z ；e x t ( f ) 相矛 盾，得证 引理2 6设l 为线性空间，a 为己中凸集，：g o a ，则z o 为a 的端点的充分必要条件是：对l 中任意非零元素z ，有2 7 0 + z ，3 7 0 一z 不全在a 中 性质2 7 在c o 空间中，我们可以得到：e x t ( b c z ) = e x t ( 且。) = s e x p ( b t 。) 证明 由前面的引理2 6 ，很容易得到。 e x t ( b c ；) = e z t ( b l ，) = oa c o ( fu o ) ) 】- - - - c 则对于任意的x i n t s ( x 、f ，有| | x 0 | i = 1 所以对于任意的y c ，则存在j 0 使 得z o + t y c ，其中0 oa c o ( fu - f ) ，因此s p a n f = x 令e = c o ( fu o ) ) 现假设n ( e ) = 0 有前面的引理2 1 2 ，则有个闭超平面h 使得ech 所以 a f f ( e ) ca f t ( h ) 又因为a f f ( e ) = x ，a f f ( h ) = h 所以xch ，得出矛盾因 此n ( e ) o 则存在x o ( e ) ，使得u a o 入( e x o ) 在x 中稠密于是，对 于任意的y e ，存在6 0 ，使得 x o + t y u 入( e z o ) ， 则此时有： 所以 z o t y ua ( e z o ) ， x o ( x ，z + t y ) = 0z + t yl l ， ( z + ，z 一亡可) = | iz 一亡秒i i z o + 亡! ，i i + i iz o t 可i l 一2l iz o t ( z ，x o4 - t y ) + ( z + ，x o t 可) 一2 ( z ，x o ) = = = _ _ _ - - 。- 。_ 。_ 1 _ 。_ _ 。一 亡 ( x ，x o + t y + z o 一亡y 一2 x o ) = = = 。_ _ _ - _ _ - i _ _ - _ - _ - 。_ _ _ _ - i _ 。- - _ _ - _ 。_ _ _ - - 。- _ _ - _ 一 t =0 有前面的引理2 1 3 可知，x 在z o 处g a t e a u x 可微再有引理2 1 l 知，矿为 w + 暴露点 1 2 c l 一空间的端点，暴露点，可微点 前面两个定理给出了叫+ 强暴露点，w + 一暴露点和极大凸子集之间的关系， 我们利用前面的两个定理分析下面的例子 例子对于f 1 空间，有e x t ( b ( t 。) ) = e x t ( b t 。) = z + = ( 士1 ) 墨1 ) 令x = ( 1 ，1 ，1 ) ，则存在z 使得( x + ，z ) = 1 所以有墨1z ( i ) = 1 ，x ( i ) 0 令f = z ：z ( i ) 0 ，i - = 1z ( ) = 1 ) ，则有c d ( fu o ) ) = z ：z ( z ) 0 ，i = - 1z ( i ) 1 ) 令c = u ：1n c o ( fu o ) 因为z n ( c ) 的 充分必要条件是， u 墨1n ( c x ) 在中稠密因此n ( c ) = z c ：z ( i ) 0 ，i = 1 ，2 ， 定理2 1 51 ) 若x 为可分的c 厶空间。f 为吸的极大凸子集的 充分必要条件是：存在矿e w - e x p ( s x ) 使得对于任意的x e 有( z ，z ) = 1 2 ) x 为( 几乎) c 厶空间，设z ，y + ，使得 f 1 = z 5 x ：( z ，x ) = 1 ) ， 易= z ，( y + ，x ) = 1 ) 为的两个极大凸子集，则有l | x + 士y i l = 2 1 3 c l 一空间的端点，暴露点，可微点 第三章c 厶空间的端点，暴露点，可微点 3 1 主要定理 设x 是c k 空间，令m 代表x 单位球面上的个极大凸子集，c m 代表 由m 所生成的锥，则x 的所有g a t e a u x 可微点的集合是u n - s ( c m ) ，耳所有的 f r d c h e t 可微点的集合是ui n t ( c m ) ，( 其中，n s ( c m ) 是所有的c m 非支撑点的 集合) 下面把详细的结果罗列如下。 ， 定理3 1 1设x 是实几乎c k 空问，且g 是j s 支的所有的极大凸 子集的集合，则 i ) 范数的所有的g a t e a u x 可微点的集合是u m 9n - k c ) ； i i ) 范数的所有的f r 百c h e t 可僦点的集合是u m 9i n t ( c m ) 推论实几乎c 厶空间的f r d c h e t 可微点集是个开集 定理3 1 2设x 是几乎c o 空间，则取的每个端点是b x ”的 端点 定理3 1 3设x 是可分的几乎c 厶空间，则 i ) z s x 是上k 的w + 一暴露点的充分必要条件是。m 兰 z b x ： ( z ，x ) = 1 ) 是毁的极大凸子集 另外，若x 是c l - 空间并且满足b x 是它的端点的闭凸包，则 1 4 c l 空间的端点，暴露点，可微点 i i ) 三k 的每个端点是上k 的w 一暴露点 3 2 端点，暴露点的性质 在给出上述定理的详细证明之前，我们先回忆下将要用到的定义和性质 定义3 2 1设x 是个b a n a c h 空间且c 是x 的非空凸子集点 z x 被称为c 的支撑点，若存在z x 且z 0 使得 ( z ，写) = s u p c ( z ，y ) 三s u p c x 此时，矿称为c 的支撑泛函，记n 4 c ) 是c 的所有非支撑点的集合； 定义3 2 2设x 是个b a n a c hg n l | c 是x 的非空凸子集称函数 ，：c _ r 舯凸函数，若- 厂满足： 厂陋+ ( 1 一t ) y 】t ，( z ) + ( 1 一亡) ，( 可) ，其 中z ，y c ，0 0 ，当1 1 2 1 1 1 对于任意的a 0 ( 否则， 1 0z ；+ 入z 0 ( z ；+ a z + ，z o ) = 1 则有z ；+ 蛔训知i i = 硝) 现在令0 0 ，有 l iz ；一z ；j i = 2 令妒是训1 i 的个选择，使得对于任意的r 0 有妒( 研) = z ： 则很明显妒在z o 处不是范- 范连续的，因此z o 不是范数的可微点 推论实几乎c 上广空间的f r d c h e t 可微点集是个开集 定理3 3 2设x 是几乎c l 空间，则b x 的每个端点是巩的 端点 1 9 c l 空间的端点，暴露点。可微点 证明令z o 是三k 的个端点记使得 z b x ：( 矿，z ) = 1 ) 为跌 的极大凸子集的所有的矿e x t b x 的集合为e 有c 厶空间的定义知，对于 趺的每个极大凸子集m ，有z o mu m ，因此，对于任意的z e 有 i ( z ，x o ) b1 另方面，b x 是e 的w - 闭凸包，再由k r e i n - m i l m a n 定理 知口x 的所有端点都属于e 的w 一闭凸包因此我们可以得到对于正k 的任意 个端点都满足l ( z + ，z o ) i = 1 在由上面的性质3 2 1 2 告诉我们对于b x 的每 个端点z 。都有i 如。，z o ) i _ 1 则可以得到我们的结论z o 是b x ”的个端 点 定理3 3 3设x 是可分的几乎c i 广空间，则 i ) 矿s x 是b x 的w 一暴露点的充分必要条件是tm 三扛b x ： ( z ，z ) = 1 ) 是的极大凸子集 另外j 若x 是c i 广空间并且满足三k 是它的端点的闭凸包，则 i i ) 石k 。的每个端点是b x 的w + 暴露点 证明i ) 设m 是趺的极大凸子集因为c 0 ( mu m ) 在b x 中稠 密，则闭凸集d 三历( mu ( o ) ) = c o ( mu ( o ) 不包含在任何一个闭超平面内 这又因为x 是可分空间，所以n - s ( d ) 0 定理3 3 1 是说z 上坟且满足 m = z b x ：( z ，z ) = 1 ) 是巩，的w 一暴露点 相反地，设z ；是b 支的伽+ - 暴露点且x o j s 支在z ；处w 一暴露b x 则 有性质3 2 1 0 知，d g i ix oj l = x 0 令m = oa m 至少有个非支撑点，其中m = z b x ：( z ，z ) = 1 ) 由定理3 3 2 知，三k c l 一空间的端点，暴露点，可微点 的每个端点是b x 一的端点因此，对取的每个端点均有i 扛，z ) l = 1 令 e 士= z 是b x 的端点：扛+ ，x ) = 士1 ) ，则c o ( e + ue 一) 在b x 中稠密，因此， c o ( mu m ) 在b x 中稠密因此闭锥c 0 不包含在任何个闭超平面中由x 的可分性可知n - s ( c m ) 函 3 4 注意事项 关于上述的定理下面给出几点说明，以便更好的利用定理 说明3 4 1如果没有可分这假定，定理3 3 3 是不成立的例如，任意 个不可数集r ，1 ( r ) 是c o 空间并且具有r n p ( 因此具有k m p ) ，但是对于 & - ( r ) 的极大凸子集m ，n - s ( c m ) = 0 ，因此玩一( r ) 没有w 一暴露点 说明3 4 2设x 是个( 几乎) c l - 空间利用上述定理，很容易得到 个空间的可僦点，下面给出几个例子 例子3 4 2 1令x = c n ，6 】，则 士况：t a ，h i 是x 。的w 一暴 露点因此5 支的每个极大凸子集m 有如下形式： m 三 毛= z b x ：z ( 亡) = 1 ) 或者 m 三m t = z b x ：z ( 亡) = - 1 ， 对于某个t a ，6 】因此 2 1 c l 空间的端点，暴露点，可微点 或者 n - s ( c m , ) = u a oa z 毁：1 = z ( 亡) z ( 5 ) ，对于任意的s t ) n - s ( c m , ) = u a o 入 z s x ：1 = x ( t ) oa z m ：x ( i ) 0 ，对于任意的i ) 例子3 4 2 3设x = c o 则 土e n ) 器1 是b x 的w 一暴露点注意 c o 是个a s p l u n d 空间则存在召x 的w - 强暴露点( 当然，包含在 士e n ) 中) ，则可以推出 土e 竹) 是b x 的w + 一强暴露点因此，在c o 中，g a t e a u x 可 微点和f r d c h e t 可微点是相同的，它们构成c 0 的个稠开子集 说明3 4 3自然地会引出一些问题在定理3 3 2 中，若x 是f r d c h e t - 空间，则b x 的每个端点是b x ”的端点 问题3 4 3 1若x 是兀乎c 【广空间，上述问题是否成立? 定理3 3 告诉我们x 是可分的c l 一空间且b x 是它的端点的闭凸包则 b x 的每个端点是6 k 的w 一暴露点 c l 一空间的端点，暴露点。可微点 问题3 4 3 2如果去掉b x 是它的端点的闭凸包这假设，定理3 3 是 否仍成立? 问题3 4 3 3在a s p l u n dc l - 空间， b x 的叫一暴露点是否是叫 强暴露点? 问题3 4 3 4设x 是个几乎c 工广空间或是c l 空间若x 是一 个a s p l u n d 空间，则取的每个端点是个暴露点，w 一暴露点，强暴露点还 是w 一强暴露点? 问题3 4 3 5设x 是个( 几乎) c l - 空间若x 具有r n p 性质， b x 的每个端点是暴露点还是强暴露点? c l 一空间的端点，暴露点，可微点 参考文献 【1 】a b h a n s e na n da l i m a ，t h es t r u c t u r eo ff i n i t ed i m e n s i o n a lb a n a c hs p a c e s w i t ht h e3 2i n t e r s e c t i o np r o p e r t i e s ，a c t am a t h 1 4 6 ( 1 9 8 1 ) ，1 2 3 【2 】2 a l i m a ，i n t e r s e c t i o np r o p e r t i e so fb a l l si ns p a c e so fc o m p a c to p e r a t o r s ，a n n i n s t f o u r i e r ( g r e n b o b l e ) ，2 8 ：3 ( 1 9 7 8 ) ，3 5 6 5 【3 】c o n g x i nw ua n dl i x i nc h e n g ，an o t eo nd i f f e r e n t i a b i l i t yo fc o n v e xf u n c - t i o n s ，p r o c a m e r m a t h s o c 1 2 1 ( 1 9 9 4 ) ，1 0 5 7 - 1 0 6 2 【4 】g g o d e f r o y , r e n o r m i n g so fb a n a c hs p a c e s ，h a n d b o o ko ft h eg e o m e t r yo f b a n a c hs p a c e s ，v 0 1 i ，7 8 1 8 3 5 ，n o r t h - h o l l a n d ，a m s t e r d a m ，2 0 0 1 【5 】g l 6 p e z ，m m a t i na n dr r a y 毛，r e a lb a n a c hs p a c e sw i t hn u m e r i c a li n d e x 1 ，b u l l l o n d o nm a t h s o c 3 1 ( 1 9 9 9 ) ，2 0 7 - 2 1 2 6 】j a c l a r k s o n ，u n i f o r m l yc o n v e xs p a c e s ，t r a n s a m e r m a t h s o c 4 0 ( 1 9 3 6 ) ， 3 9 6 - 4 1 4 【7 】j d i e s t d ，g e o m e t r y o fb a n a c hs p a c e s - s e l e c t e dt o p i c s ，l e c t u r en o t e si n m a t h e m a t i c s ，v 0 1 4 8 5 ，s p r i n g e r v e r l a g ，b e r l i n n e wy o r k ，1 9 7 5 【8 】j d i e s t d ，s e q u e n c e sa n ds e r i e si nb a n a c hs p a c e s g r a d u a t et e x t si nm a t h - e m a t i c s ，9 2 ，s p r i n g e r v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 8 4 9 1 9 j d i e s t e la n dj j u h l ，v e c t o rm e a s u r e s ，m a t h e m a t i c a ls u r v e y s ，n o 1 5 ， a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , p r o v i d e n c e ，r i ，1 9 7 5 1 0 】m d a c o s t a ，o p e r a t o rt h a ta t t a i ni t sn u m e r i c a lr a d i u sa n dc l - s p a c e s ，e x - t r a c t am a t h 5 ( 1 9 9 0 ) ，1 3 8 1 4 0 c l 空间的端点，暴露点，可微点 【1 1 】m m a r t i n ，as u r v e ro nt h en u m e r i c a li n d e xo fab a n a c hs p a c e ，e x t r a c t a m a t h 1 5 ，( 1 9 9 1 ) ，p p 2 6 5 - 2 7 6 【1 2 】m m a r t i n ，b a n a c hs p a c e sh a v i n gt h er n pa n dn u m e r i c a li n d e x1 ，p r o c a m e r m a t h s o e 1 3 1 ( 2 0 0 3 ) ，3 4 0 7 - 3 4 1 0 【1 3 】m m a r t i na n dr p r a f a e l ，o nc l - s p a c e sa n da l m o s tc l - s p a c e s ，a r k m a t 4 2 ( 2 0 0 4 ) 1 0 7 1 1 8 【1 4 】p p p h e l p s ，s o m et o p o g i c a lp r o p e r t i e so fs u p p o r tp o i n t so fc o n v e xs e t s ，i s r a c l j m a t h ，1 3 ( 1 9 7 2 ) 3 2 7 - 3 3 6 【1 5 】r p r o b e r t ，c o n v e xf u n c t i o n s ，m o n o t o n eo p e r a t o r sa n dd i f f e r e n t i a b i l i t y , s p r i n g e r - v e r l a gb e r l i n gh e i d e l b r gn e wy o r k ( 1 9 8 9 ) 【1 6 r b h o l m e s ，g e o m e t r i cf u n c t i o n a la n a l y s i sa n di t sa p p l i c a t i o n ，s p r i n g e r - v e r l e g ，1 9 7 【17 】r d e v i l l e ，g g o d e f r o ya n dv z i z l e r ，s m o o t h n e s sa n dr e n o r m i n g si nb a n a n c h s p a c e s ，p i t m a nm o n o g r a p h sa n ds u r v e y si np u r ea n da p p h e dm a t h e m a t i c s ， 6 4 l o n g m a ns c i t e c h j o h nw i l e y s o n s ，i n c ，n e wy o r k ，1 9 9 3 【1 8 】r e f h l l e r t o n ，g e o m e t r i c a lc h a r a c t e r i z a t i o n so fc e r t a i nf u n c t i o ns p a c e s ，i n p r o c i n t e r n a t s y m p o s l i n e s rs p a c e s ( j e r n u s a l e m ，1 9 6 0 ) ，p p 2 2 7 - 2 3 6 ，j e t - n u s a l e ma c a d e m i cp r e s s ，j e r n u s a l e m ；p e r g a m m o np r e s s ，o x f o r d ，1 9 6 1 【1 9 】s d u t t aa n dt s s r k r a o ，o nw e a k * - e x t r e m ep o i n t si nb a n a c hs p a c e s ， j c o n v e xa n a l 1 0 ( 2 0 0 3 ) 5 3