小波分析及应用课件.ppt

内容简介,小波分析的数学基础小波分析的发展历程小波变换小波分析应用主要参考文献,1.小波分析的数学基础,集合论上定义的三大空间：距离空间、赋范线性空间、Hilbert空间。相关概念及理论：空间可看成是实际物理空间或欧几里德三维空间的推广和抽象化。空间由有确定元素的集合构成，并在这些元素间引入某种关系。距离空间：定义元素之间距离的集合叫距离空间或度量空间；定义元素之间代数运算（向量加法及数与向量乘法）的集合称为线性空间；赋范线性空间：定义了元素范数（向量长度的推广）的线性空间称为赋范线性空间；定义了元素与元素内积（积分运算）的线性空间称为内积空间；如果再引入极限概念，研究其收敛性，这些空间就是完备的；Hilbert空间：完备的内积空间就是Hilbert空间。,1.1距离空间的定义,设R表示一个非空集合，若任意两元素,都按一定的规则与一个实数相对应，且满足以下三公理：（1），当且仅当：时等号成立；（非负性）（2）；（对称性）（3）对R中任意三元素，有：（三角不等式）则称为和的距离，称R为距离空间。,1.2赋范线性空间定义,设为实数（或复数）线性空间，若任意的，都有一个非负的实数与之对应，且满足：（1）；（2）(齐性);（3）（三角不等式）。则称为的范数，称为线性赋范线性空间。,1.3Hilbert空间定义,内积空间定义：设是数域（实或复），是上的线性空间。若对任意的，都有唯一的数与之对应，且满足：（1）（2）（3）（4）且则称为的内积，称为内积空间。其中（1），（2）是对第一变元线性性；（3）为共扼对称性；（4）为正定性。Hibert空间定义：若内积空间按范数完备，则称为Hibert空间。,1.4小波分析的数学基础,首先，小波变换以空间理论为基础的；小波分析是以研究正交、紧支集小波开始的，小波构造及运算规则都与Hilbert空间理论密不可分；小波分析的数学基础课程如下：泛函分析、矩阵分析、数值分析、数理统计。,2.小波分析的发展历程,Fourier变换：1807年由Fourier提出，时域到频域的域变换；1909年A.Haar提出Haar函数系，正交、对称、紧支撑，但不光滑；1936年Littlewood-Paley提出对频率按进行划分；1946年，Gaber提出窗口Fourier变换；1948年Shannon建立信息论，后来发现可用小波基不失真传输编码的存在；1974年，GuidoWeiss和R.Coifman研究函数空间原子分解及重构；1981年Morlet首先提出小波分析的概念；1984年J.Morlet和物理学家A.Grossman第一次提出“Wavelet”一词；1985年Meyer证明了一维小波基的存在，1986年国际上掀起小波研究的热潮；1987年Meyer和Mallat合作提出多分辨分析的框架；1988年Debauchies构造出紧支集有限光滑小波函数（b），发表著名长文；1990年崔锦泰和王建忠构造了单正交样条小波基；1992年经典小波的基本理论已成熟，国内1991年发表第一篇小波论文。,2.1Heisenberg不确定原理,2.2傅立叶分析,2.3窗口傅立叶分析,窗口Fourier变换在点附近局部地测量了频率为的正弦分量，使Foureier在时域与频域内均有局域化功能。,连续窗口Fourier变换如下：,积分核：,窗口Fourier变换的缺陷：一旦选定特定大小的时间窗口，它对整个信号的所有频率是固定不变的，这就不适于处理频率成分随时间变化的瞬变信号。,2.4小波分析的时频特性,在空间中小波函数是一经伸缩和平移得到的一族双窗口函数：,满足下述条件：,（1）具有k阶消失矩：,（2）容许条件：,（3）稳定性条件：,在信号频率降低时，尺度参数a增大，小波的时窗变宽，同时频窗变窄；在信号频率增高时，尺度参数a减小，小波的时窗变窄，同时频窗变宽。,Fourier变换的重要性质之一是其伸缩性。,对于小波有：,在某一尺度a下小波的双窗口宽度如下：,小波基函数的窗口面积不随参数而变，改变对和的伸展或收缩作用刚好相反，因此小波分析的时频窗口大小可以自适应变化！,2.5小波时频窗的自适应变化,2.6小波分析的优越性,Fourier变换：时间到频率的域变换，没有时频局化功能，可离散正交化，有快速算法FFT。窗口Fourier变换：时窗固定的Fourier变换，有时频局域化功能，但性能不好；不能离散正交化。小波变换：时窗-频窗可自适应变化的双窗口变换，时频局域化能力强；有离散正交化（或双正交）有快速算法FWT。变窗口、平移和正交性是分析信号的重要条件！,2.7三种分析方法的一个比喻,我们可以把要分析的全体信号看成为一个信息大厦，而把三种分析方法所用核函数看作为建造这些大厦的用砖，则有如下的一个比喻：傅立叶分析：核函数是正弦波，这是一块很长很长的预制块（理论上无限长），品种、规格均单一，只能用来建造类似长城这样的简单建筑，即不具备局域化能力，只能分析平稳信号。窗口傅立叶分析：核函数是高斯窗包络下缩短了的正弦波，它把傅立叶变换中的长大形预制块截短成长方形的砖头，品种仍然单一，规格增加了，但在使用时只能用一个规格，可以建造不同大小的方形大厦。即初步具备局域化能力，可以分析变化不太剧烈的非平稳随机信号。小波分析：核函数是小波基，它能灵活伸缩变化，这是形状各一、大小不同，可按需求定制的形形色色的砖头，可谓种类、规格繁多，能建筑各种风格的大厦。即具有极其灵活的局域化能力，可以分析各种平稳信号及非平稳随机信号。,小波变换,3.1几点解释,3.2连续小波变换,对于任意函数或信号，其小波变换为：,其逆变换为：,3.3二进小波,如果小波函数满足稳定性条件：,则对于任意j，称为二进小波：,A/B愈接近于1，稳定性越强，当A=B时最稳定。与连续小波比不会损失基本信息，由于其正交性消除空间冗余信息，变换结果更能反映信号本身的性质。,3.4二进小波变换（DyadicWaveletTransform）,为了简化数值计算，尺度沿着二进序列被采样，这样就有了下面的二进小波变换。,3.5多分辨分析（MultiresolutionAnalysis）,3.6小波的Mallat统一构造方法,3.6.1尺度方程：,2019/12/14,21,可编辑,3.6.2小波构造：（Y.MeyerandS.Mallat,1988）,3.7尺度函数的低通滤波器特点,3.8小波函数的带通滤波器特点,3.9正交小波的快速算法Mallat算法,3.10小波分析应用的特性要求,在各种不同的实际应用时，人们通常希望小波具有以下三条性质：(1)对称性:对称性即线性相位，对称性保证小波的滤波特性有线性相移，不会造成信号的失真。从视觉的角度而言，人们对不对称的误差比对对称性的误差更为敏感。(2)正交性:正交性能更好地去除信号的相关性，在提高图像的压缩比和复原图像方面应用比较多。(3)紧支撑:紧支集保证有优良的空间局部性质。在实际应用中，因为计算上的需要，也希望获得有限长滤波器，这就要求小波是紧支撑的。除Haar小波外，同时满足上述三条的二进小波是不存在的，二进小波的正交性和对称性是不相容的。,3.11正交小波的两个特例,(1)光滑连续型小波(LittlewoodPaleyWavelet),（2）突变离散型HaarWavelet,3.12两种基本类型的二进小波,由于小波的正交性与对称性是矛盾的，所以在构造小波基时，必须在二者之间做出取舍。(1)紧支撑正交小波:舍弃对称性就形成了紧支撑正交小波，其典型代表是小波(DebauchiesWavelet)；(2)双正交小波:放松正交性的要求，就得到双正交小波，主要有双正交样条小波（BiorthogonalWavelet)。,3.13常用小波及主要性能,（1）Daubechies小波,（2）Biorthogonal小波,（3）MexicoHat小波（亦称Bubble小波）,（4）几种小波的性能对比,3.14M带小波算法,4.小波分析应用,小波变换在时频平面上，同时具有很好的时间和频率分辨能力，能够分辨多尺度特征信号的细节部分。小波降噪：信号和噪声由于具有不同的奇异性，它们的小波变换系数的传播特性是不同的，据此可以消除噪声，具体有硬阈值和软阈值法；边缘检测：利用二维小波的模极大（双正交样条小波）和零交叉（Bubble小波）可以提取图象的边缘特征信息，小波函数的对称性（线性相位）和紧支撑是这类研究所必须的；数据压缩：利用小波变换的正交性可有效去除图像中的冗余信息，可以进行图像数据的压缩。下面以将介绍我们近几年在小波应用方面所做的一些工作：焊接电弧小波分析仪简介MAG焊焊缝跟踪研究,4.1小波分析应用入门,阅读几本经典的书籍及著名的论文，见所附的参考文献，对小波分析的基本理论脉络有较清晰的认识；小波基已由国际上著名的数学家构造出来，常用小波及尺度函数的滤波器系数可由MATLAB的小波工具箱获得；小波在降噪、边缘检测及数据压缩等方面的算法也可通过MATLAB小波工具箱给出仿真结果；小波分解与重构等基本算法的C语言程序可从公开出版的书籍及网上共享资源中获得。,4.2小波降噪焊接电弧小波分析仪,参见“焊接电弧动态小波分析仪”部分,4.3小波图象处理MAG焊焊缝跟踪研究,参见“基于小波变换的MAG焊图像处理及焊缝跟踪研究”部分,5.主要参考文献,1.杨福生.小波变换的工程分析与应用M.北京：科学出版社，1999.2.I.Daubechies,TenLecturesonWavelets,SIAM,1992.3.S.Mallat,AwaveletTourofSignalprocessing,AcadenicPressLimited,19974.崔锦泰著，程正兴译，小波分析导论，西安交通大学出版，1995。5.G.Strang,T.Q.Naguyen,Waveletsandfilterbanks,Wellesley-Cambridgepress,1996.6.D.Marr,视觉计算理论，科学出版社，7.D.Marr,E.Hildreth,TheoryofEdgeDetection,Proc.R.Soc.LondmB207,187-217(1980).8.D.L.Donoho,De-NoisingbySoft-Thresholding./reports/donoho/9.I.Daubechies,OrthonormalBasesofCompactlySupportedWavelets,CommunicationonPureandAppliedMthematics,Vol.XLI909-986(1988).10.S.G.Mallat,ATheoryMultisolutionSignalDecomposition:TheWaveletRepresentation,IEEETrans.PA