（逻辑学专业论文）从无穷到连续统假设.pdf

摘要 无穷是人类科学史上引起广泛讨论的一个概念，从开始坚持潜无穷到实无 穷的确立，人们用了几千年。而对无穷性质的进一步把握是在公理集合论建立以 后。 希尔伯特在巴黎数学大会上的著名演讲数学问题中列举了2 3 个数学问 题，其中第一个就是“2 = n l 吗? ”可以证明实数的基数就是2 o ，这样自然数有 多少子集合的问题就转化为实数有多少的问题，或者直线上点有多少的问题，这 个问题因此被称为连续统假设。公理集合论的建立为讨论连续统假设提供了有 力的工具。 因为连续统问题是一个基础的问题，长期以来一直是数理逻辑的一个中心 问题。连续统问题的最终解决将给数学带来重大影响。对此很多数学家投入了大 量的精力。 1 9 3 8 年，哥德尔证明了：如果z f c 是一致的，月j j z f c 推不出，c h 。这是连续统 假设的相对一致性结果。 1 9 6 3 年科恩证明了：如果z f c 是一致的，则有2 鄹c f c h 。这就是连续统假设 的独立性结果。 本文介绍了实无穷的确立、连续统假设的提出以及迄今为止的研究成果，并 对人的认识过程提出自己的看法。 【关键词】无穷公理集合论连续通假设相对一致性独立性认识过程 【中图分类号 b 8 1 a b s t r a c t i n f i n i t ei sac o n c e p tu n d e rb r o a d l y & s c u s s i o ni nt h es c i e n u f i cl u s t o r y p e o p l es p e n t t h o u s a n do fy e a r st ot h ee s t a b l i s h m e n tf r o ml a t e n ti n f i n i t yt or e a li n f i n i t y b u tf u r t h e r u n d e r s t a n d i n gt ot h eq u a l i t yo fi n f i m t ec o m e sa f t e re s t a b h s h m e n to fa x i o ms e tt h e o r y i - h l b e r tl i s t e d2 3m a t hp r o b l e m si nt h ef a m o u sl e c t u r e m a t hp r o b l e m d u r i n gt h e p a n sm a t hc o n f e r e n c e 。t h ef i r s to n ei s i s2 = n l ? ，i tc a l lb ep r o v e dc a r d i n a ln u m b e r o fr e a ln u m b e ri s 缈t h e nt h ep r o b l e mo fh o wm a n ys u b s e ti st r a n s f o r m e di n t oh o w m a n y r e a ln u m b e r , o rt h eq u e s t i o no fh o wm a n yp o i n t si nab e e l i n e s ot h i sp r o b l e mi s c a l l e dc o n t m u u mh y p o t h e s i s t h ee s t a b l i s h m e n to fa x i o ms e tt h e o r yp r o v i d e sp o w e r f u l i n s t r u m e n tt o & s e u s st h ec o n t i n u u mh y p o t h e s i s b e c a u s ec o n t i n u u mh y p o t h e s i si s af u n d a m e n t a lp r o b l e m , i ti sa l w a y sac e n t r a lp r o b l e mo fm a t h e m a t m a ll o g i cf o rl o n g t i m e t h ef i n a ls o l u t i o no fc o n t i n u u mh y p o t h e s i sw o u l db n n gg r e a ti n f l u e n c et ot h e m a t h ；8 0m a n ys c i e n t i s t sd e v o t ea b u n d a n c eo fe n e r g yi n t ot h i sp r o b l e m g e d e lp r o v e di n1 9 3 8t h a ti fz f ci sc o n s i s t e n t t h e nz f cc a l ln o tr e a s o n e d ，c h t i n si st h er e s u l to f r e l a t i v e l yc o n s i s t c o h e np r o v e dt h a tf f z f ci sc o n s i s t e n t ，t h e nz f o z c hi n1 9 6 3 t h i si st h er e s u l to f i n d e p e n d e n c e t h e t h e m e i n t r o d u c e s t h e e s t a b h s h m e n t o f m f i n l t e ，t h er a t s e o f c o n t i n u u m h y p o t h e s i sa n dt h er e s e a r c hr e s u l ts of a r , a tt h es a m et i m er a a s ea u t h o r so p i n i o nt op e o p l e s c o g n i z ep r o c e s s 2 第一章从无穷到公理集合论 i , i 从潜无穷到实无穷 从古希腊时期以来，无穷这一概念就引起了引起一些数学家和哲学家的关 注。毕达哥拉斯学派将空间看作无限可分的，德谟克利特认为原子为数无穷。柏 拉图接受了他们的观点，没有清楚的将具体与抽象区别，认为无穷既存在于观念 之中，也存在于感觉世界之中。亚里士多德曾提出过要把“潜在无穷”和“真实的 无穷”加以区别，这样便得出了所谓的“潜无穷”和“实无穷”的概念。所谓“潜 无穷”是把“无穷”作为一种变化着、成长着、不断地产生出来的东西来理解，它 永远在构造中但永远没有构造完毕。从这种意义上看，这种无穷的集合总体只是 一种潜在而不是一种实在。所谓“实无穷”是把无穷集合的总体本身作为一种现 成单位来考虑，它是已经构造完毕了的东西。亚里士多德抱着归纳的科学态度， 决不超越心里可描述清楚地东西，这样他就否定了实无穷的存在，在他那里，无 限这个词只表示一种潜无穷。他这样做也与他的信条：“不可知的存在只是一种 潜在”相一致，凡是超越理解能力之上的事物，都超越现实的王国之外。他认为 全体整数的集合是潜在的无穷而不是实在的无穷，因为在给任何一个数加上l 以 后才能得出一个新的数，而这种过程是没有穷尽的。因此，在扩大的方向上则总 能设想一个比指定的数更大的数的存在。可见，这种“无穷大”和“全体自然数 的无穷集合”是潜在的，它们就像时间那样，包含在“正在成为”的过程中。亚里 士多德主张根据常识来把握数学概念。他说过：“数学中的必然性，在某些地方跟 在大自然支配下而存在的万物的必然性相像。因为一条直线是一条直线，所以三 角形的内角和必然等于两直角。”由此可见，亚里士多德从“潜无穷”的观点来理 解和把握“无穷大”和无穷集合总体的存在性，完全渗透着他自己的哲学观点。 亚里士多德对无穷总体的这种哲学理解，一直为众多的数学家所沿袭。例 如，高斯在给友人的信中指出：“至于你的证明，我不得不极力反对你把无穷当作 一种完成的东西来使用，因为这在数学上是决不能承认的。无穷只不过是言语上 的一个比喻，是一句陈述语的简略形式。就是说，自极限存在使得某些比例数能 够任意地接近它，而其他量则可能增大到超越一切极限。只要有限的人不误 把无穷当作某种固定的东西，只要他不凭借心灵中后天的习惯而把无穷著作某 种有限制的东西，那么就不会出现什么矛盾。”1 9 世纪上半叶，柯西给出了极限概 念的精确描述。在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的珲论。 正是这1 9 世纪发展起来的极限理论相当完美的解决了微积分珲论所遇到的逻辑 3 困难。这就不得不让人们思考如何面对潜无穷。如果继续仅仅承认潜无穷，那么 就必须把导数、积分等概念当作超越于可理解之物之上的推断加以排斥，从而事 实上把数学思想局限于直观上合理的范围之内。特别是到了1 9 世纪下半叶数学 家对微积分进行严格处理时，否认“实无穷”的概念就更不行了。例如，魏尔斯 特拉斯对f c x ) 在询的某一区间内“连续”的定义是：若对一个任意正数8 ，可以求 出包含x o 的一个区间，使得对这个区间中所有值，差，( 力一f ( x o ) 的绝对值小于一。 上述定义中的任给的s 和求的都是在实数集合中去“给”和“求找”的。这样，使 用魏尔斯特拉斯的方法的前提就是要承认有一个无穷的实数集合实实在在地存 在着，其中每一个元素都已构造完毕。只有这样才有可能让我们去“任选一个s ， 存在一个区间”，否则如果其元素尚在构造之中的话，那么我们就有可能选不出 欲选的8 ，从而使该方法失效。 康托在自己超穷集合论的研究工作中，深深感到在数学中要完全排斥“实无 穷”的概念是不可能的，必须对它予以肯定。因为很多最基本的数学概念，如一 切正整数，圆周上的一切点，【0 ，1 上的所有数等等，事实上都是实无穷性的概 念。又如实数理论中戴德金分割和康托尔基本序列都是建立在“实无穷”概念基 础之上的。极限论事实上也是建立在“实无穷”的概念之上的。康托尔还指出，数 学证明中应用“实无穷”观念由来已久，并且也是不可避免的。在他之前数学家 拉格朗日、勒让德、狄利克雷、柯西、魏尔斯特拉斯、波尔察诺等人在证明中都 使用过。 正因为如此，康托在其集合论中把无穷集合总体理解为一个已经构造完毕 的东西，也即反潮流地把无穷理解为实无穷。他在关于无穷线性点集中指 出：“我们传统上把无穷看作无限制地增加或是与之密切关联的一个收敛序列的 形式，这是1 7 世纪所取得的。与此相反，我把无穷理解为具有某种完成了的东西 的确定形式，是某种不但能有数学表示而且可用数来定义的东西。这种无穷 的概念是和我所珍视的传统相违背的，和我自己的愿望更相违背，我是被迫接受 这种观点的。可是多年的思考和尝试表明这种结论是逻辑上的必然，由于这个缘 故，我自信没有什么持之有据的反对意见是我无法对付的。” 与很多数学家相比，康托的独创性在于运用“一一对应”来比较无穷集合的 大小。早在中世纪，人们已经注意到这样的事实：如果从两个同心圆出发画射线， 那么射线就在这两个圆的点与点之间建立了一一对应，然而两圆的周长是不一 样的。1 6 世纪，伽俐略还举例说，可以在两个不同长的线段a b 与c d 之间建立一一 对应，从而想象出它们具自同样的点。他又注意到正整数可以和它们的平方构成 一一对应，只要使每个正整数同它们的平方对应起来就行了。但这导致无穷大的 不同的“数量级”，伽俐略以为这足不可能的，因为所有无穷大都一样大。不仅是 伽俐略，在康托之前的数学家大多不赞成在无穷集之间使用一对应的比较手 4 段，因为它将出现部分等于全体的矛盾。康托认为，一个无穷集合能够和它的部 分构成一一对应不是什么坏事，它恰恰反应了无穷集合的一个本质特征。整体不 能与部分构成一一对应是有穷的性质，而有穷和无穷是有本质差别的，不能把有 穷的性质简单搬到无穷上来。对康托来说，如果一个集合能够和它的一部分构成 一一对应，它就是无穷的。在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数， 他将其称为可数集。又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也 是可数集。后来当他又证明了代数数2 集合也是可数集时，一个很自然的想法是 无穷集是清一色的，都是可数集。但出乎意料的是，他在1 8 7 3 年证明了实数集的 势大于自然数集。这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数 与超越数3 相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：。点缀在平面上的 代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成。”当他得出这一结论 时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已。而在当时，人们所接受的证明方 法都是构造性的，即证明一个事物，必须将它构造出来，康托的这一成果对这一 思想也构成了很大的冲击。从这一成果中康托意识到无穷集之间存在着差别，有 着不同的数量级，可分为不同的层次。他所要做的下一步工作是证明在所有的无 穷集之间还存在着无穷多个层次。他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学 说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超穷数”。他用希伯莱 字母表中第一个字母k 来表示超穷数，最终他建立了关于无穷的所谓k 谱系，它 可以无限延长下去。就这样他创造了一种新的超穷数理论，描绘出一幅无穷王国 的完整图景。 康托认为必须不含任何武断和偏见地去研究实无穷，他确信用抽象的数学 语言及具体的物理语言所表明的物质的性质都确证了超穷数的存在性。在他看 来，正象有穷数借助有穷多个对象的真实集合获得了客观存在性一样，对超穷数 也可以引出同样的结论，因为它们也是从无穷多个对象的真实集合中抽象出来 的，具体地说，康托尔曾列举宇宙中全体原子的集合是实在的，来说明实无穷集 合的存在性。超穷数的实在性在物珲世界中的物质、空间及具体对象的无穷性 中有着自然的反映，从而我们应该肯定超穷数的客观实在性。他认为，数学除了 有“外部真实性”之外，还有“内在真实性”，即数学对象在逻辑上的相容性。他 认为，逻辑上的相容性保证了数学对象的“可能性”。 1 8 7 4 年，他考虑了能否建立平面上的点和直线上的点之间的一一对应。从 直观上说，平面上的点显然要比线上的点要多得多。康托自己起初也是这样认 识的。但三年后，康托宣布：不仅甲面和直线之间可以建立一一对应，而且一般 的n 维连续空间也可以建立一一对应! 这一结果足出人意外的。就连康托本人也 觉得“简直不能相信”。然而这又足明摆着的事实，它说明直观足靠不住的，只自 靠珲性才能发现真珲，避免谬误。 5 康托的这些看起来荒诞不经但经得住逻辑考验的结论，在当时遭到了不少 大数学家的抵制，因为他们大多都认为：无限是不能先于有限而设定下来的， 只能通过有限的经验世界界，慢慢想着法子来建构起来。有人嘲笑集合论是一 种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”。 作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了 前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的。当回头看这段历史 时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧。 前后经过2 0 余年，康托的工作才最终获世界公认，并赢得极大赞誉。罗素称赞 说：“c a n t o r 的工作可能是这个时代所能夸耀的最伟大的成就。”希尔伯特称其超 限理论为“数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类智力的最美的表 现之一。”康托集合论的提出标志了近代数学的开端。他的观点中，无穷集合是 被看作一个现实的，完成的，存在着的整体，是可认识，可抓住的东西。他的无 穷集合理论令世人耳目一新。极限理论、实数理论使微积分学建立在严格的逻辑 基础之上，而实数论又可在自然数论和无穷集合论的基础上发展起来，进一步自 然数论完全可在集合论中推出。这样一来，实数论的一致性就归于集合论的一致 性，归结到集合论，看来数学绝对严格的目的要达到了。1 9 0 0 年在世界数学家大 会上，著名数学家庞加莱郑重宣布：“现在我们可以说，数学最终的严格性基础已 经确立了。” 1 2 可数集合与更大的无穷集合 人类最初接触的数是自然数，自然数1 0 ，1 ，2 3 也是最简单的一个无穷集 合，一般用甜来表示自然数集合。如果一个集合可以和自然数建立起以一对应关 系，那它就是可数的。在自然数概念之后人们逐渐有了整数、有理数、无理数、 实数等概念，他们的大小也成了一个有趣的问题。看上去自然数比整数、有珲数 要少很多数，但是通过证明，人们发现了整数、有理数、代数数的势( 基数) 都 是和自然数的势相等的，也就是他们的势都是，关于可数集合，人们得到一些 结论：可数集合的任何无穷子集都是可数集合，可数集合与有穷集合之并是可数 的，可数个可数集之并仍然足可数的5 。 数的概念一直在发展，人们发现很多数的势都是可数的，那么实数的势是 不足可数的呢? 康托在和戴德金的通信中提出了这个问题。随后他对此作出了 回答：实数的势是不可数的。在该证明中，康托首先证明的是( 0 ，1 】的势是不可数 的，然后通过函数，( 曲= a + ( b a ) x ，( a ) ) a v y e d o r a ( f ) z ( y ，z ) ) 力 这些公理的意义如下： 公理1 ：一个集合是由其中的元素决定的。两个集合相等，当且仅当他们的 元素相等。 公理2 ：有一个集合j ，对于任何集合y ，y 都不属于工，这里的地就是空集合。 由外延公理得知，空集合是唯一的，用。表示。 公理3 ：对任意两个集合五y ，都唯一的存在集合k y 。由无序对公理以及外 延公理可以定义有序对。对任意两个集合j ，y ，定义集合z ，y ) 为 ( 工l ，k y ” 公理4 ：对任意集合x ，都存在一个集合y ，它是x 的所有子集组成的集合，称 为工的幂集合，记作以曲。 公理5 ：对于任意集合工，存在一个集合y ，它恰好是j 中的所有元素组成的集 合，记作u 工。 公理6 ：对任意非空集合x ，根据性质m ( h ) 得到的元素也组成一个集合。 公理7 ：公式了涉中y ) 是公式母( 中 y ) a 弘m o ，z ) - + z = 力) 的缩写，意指存 在唯一自钞使得m ( z ，y ) 成立。公式3 u 柚( ，力是公式：l u ( uex am o ，z ) ) 的缩写。这 一公理说明，对于一个集合石，其中的元素在某个函数下的像也组成一个集合。需 要说明的是，公理7 能够得到公理6 。 公理8 ：这一公理说明，存在一个集合，它的元素有无穷多个。在这个公理当 中，如果取y 为d ，那么它就保证所有自然数组成一个集合，并且它是一个无穷集 合。 公理9 ：对于任何一个非空集合j ，存在一个集合y ，y 属于j ，但y 中的任意元 素都不属于工，这样的y 称为x 的极小元。 公理1 0 ：选择公理是一个在数学上和逻辑上都非常重要的公理，它有着众多 的等价形式。如果不应用选择公理，许多重要结论，都无法得出。 第二章连续统假设的提出和人们已经取得 的成果 2 1 连续统假设的提出 如前所述，无穷基数构成了一个k 序列，其中的第一个是全体自然数的基 数，紧跟在后面的是一个不可数无穷基数托。又由康托定理， 2 ，这样可 以立即得到 k l 2 ( ) 康托认为，在( ) 式中等号成立。可以证明，连续统的势和自然数的幂集p ( 曲的势 相等，也是2 峋8 。因此康托的这一设想认为实数有m 个，但又无法证明，因此这一 猜想被称为连续统假设( c o n t i n u u mh y p o t h e s i s ，缩写为c h ) 。如果这一猜想成立， 也就是m = 2 l o ，由于蝻是紧跟在后面的第一个不可数无穷基数，那么实数集 的任一个子集合要么是有穷的，要么是可数无穷的，要么就是和实数等势的。 1 9 0 8 年，豪斯道夫提出对任意序数，2 - = k 。i ，这被称为广义连续统假 设( g e n e r a lc o n t i n u u mh y p o t h e s i s ，缩写为g c 哟，广义连续统假设还可以用如下 形式来表示：对于任意无穷基数k ，不存在无穷基数l ，使得k a 掣成立。 在1 9 0 0 年的巴黎第二次国际数学大会上，希尔伯特作了著名的数学问题 的演讲，震动了际数学界，使这次大会成为数学史上的一个重要路程碑。美国数 学家w e y l 说“希尔伯特就像一个穿杂色衣服的风笛手，用那甜蜜的笛声诱惑了如 此众多的老鼠，跟着他跳进了数学的深河。”大批的数学家投入到解决希尔伯特 问题的激流中来。在这次演讲中，希尔伯特对康托的的连续统假设做出了高度评 价，并将它列为了自己提出的2 3 个数学问题的第一个。 连续统假设虽然从集合论中提出，但它在数学的很多分支里有着众多的等价 命题和推论9 。从这些数学分支的实践来看，承认连续统假设和广义连续统假设， 对许多命题的证明是有益的，但这并不能说明连续统假设是成立的，而且，如果 有一天人们发现连续统假设的某个推论是错误的，那么相应地也就可以说明连 续统假设是不成立的，这至今仍是研究连续统假设的一个路向。连续统假设的成 立与否对于相关的数学分支也会产生重大的影响。 希尔伯特指出：“只要一门科学分支能够提出大量问题，它就充满着牛命力， 而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。”连续统假设的提出为集合论的研 究注入了新的生命力，许多数学家投入了大量精力进行研究，取得了很多重要 1 2 成果。这一问题提出的最主要意义就是吸引了许多优秀的数学家投身集合论的 研究，在研究当中最突出的成果是哥德尔证明了如果压是一致的，那么c h 相对 于z f 也是一致的和科恩的c h 是独立于z f 的。相应的，在得到这两个结果的过程 中哥德尔发展了内模型方法，科思发展了力迫法，这两种方法成为了证明一致性 和独立性结论的主要方法。 如果连续统假设成立，那么所有实数的无穷子集合，或者与自然数组成的集 合相等或者与全体实数的集合相等，因此这一定理的证明将在可数集合和连续 统之间架起一道新的桥梁。因为连续统问题是这样一个基础的问题，长期以来一 直是数理逻辑的一个中心问题。连续统问题的最终解决将给数学带来重大影响。 连续统假设及广义连续统假设反映了最理想的大基数产生的方法，也就是 一个接一个由幂集的基数产生出来。但是，这种理想的情况现在还无法证明，而 与它不同或矛盾的情形也不可能得到否定。因此，这种种特殊大基数的存在性能 得到更加特殊的结果，而且对数学本身产生了不可忽视的影响。虽然这些大基数 极为玄乎，可是由它们可以推出许多重要的数学结果。因此我们不得不重视它， 而它们的存在性作为公理就是大基数公理。可以料到这些大基数公理同原来的 一些公理是矛盾的。比如，可构造公理就蕴涵可测基数不存在。大基数公理对数 学问题的重要性可以由下面问题的解决看出：拓扑学中一个著名的几十年末解 决的正规莫尔空间猜想归结为可测基数的存在问题，而象过去局限于z f c 系统的 证明是没有希望的。 2 2 对c h 的研究成果 连续统假设提出后，康托自己在1 8 8 3 年提出，他可以在不久的将来证明连续 统假设，遗憾的是，直到他1 9 1 8 年去世，也没有公布他的证明。也许是他发现自 己的证明存在问题。康托之后，希尔伯特也投入了对连续统假设的证明，他提出 了一个大纲，认为根据他的大纲就能证明连续统假设，但是后人在这份大纲中发 现了一个错误的前提“自然数的每一子集合都是递归集合o 。这样导致希尔伯 特的方法也宣告失败。 今天看来，希尔伯特的方法失败的原因，正如他自己所说的那样：“是在不充 分的前提或不正确的意义下寻找问题问题的解答，因此不能成功。”希尔伯特的 失败，给数学家提出了新的任务，就是在给出的条件和意义下，证明原来的命题 是不能解决的。 1 9 7 5 年国际数学界评估整个2 0 世纪对希尔伯特的2 3 个问题的所获得的成果 的时候，人们发现1 9 3 8 年，哥德尔证明了连续统假设和z f 集合论公理系统的相 对一致性。1 9 6 3 年，美国数学家科恩证明了连续假设窈公珲集合论系统是彼此独 1 3 立的。因此，连续统假设不能在z f 公理体系内证明其正确性与否。连续统假设在 这个意义上已获解决。下面我们就介绍一下这两位数学家的成果。 2 3 哥德尔的相对一致性结论 1 9 3 0 年，哥德尔完成博士论文论逻辑演算的完全性。他在论文中证明了 谓词演算的完全性定理：对于任意给定的语句集合s ，s 是一致的当且仅当s 是 有模型的1 2 。这一定理在形式系统与数学模型之间架起了一座桥梁，后来成为当 代模型论的基本定理之一。 哥德尔在1 9 3 5 年发现可构成集满足集合论的所有公理，也就是为z f 公理系 统找到了一个模型，可构成集的构造方法如下： 对于任意给定的集合s 和集合论公式a k f l 如) ，其中工为自由出现的变 元， ，岛看作在其中出现的参量，没有其他变元在其中自由出现。任取s 1 ，s ne s ，把公式中 ，岛替换为5 l ，s n ，并把a 中出现的每一个v y 的量词替换为v y s 。每一个形式为专的量词替换为3 y s 。a 0 a 中所有的全称量词仅在s 中变化， 仅取s 中的任意元素，a 中所有的存在量词仅取a 中的某些元素，这样获得结果记 为a j o l ，品) ，这样的集合 x l x sa a ，( 卸，品) l 为s 的一个可定义子集合。 定义l = u 。o nj 】l f ( 口) ，其中的m ) 归纳定义如下：州o ) = 0 ，m ( o t ) = u m ( 3 ) 。 对于给定的肘( ，m ( a + 1 ) 仅仅包含肘( o ) 的可定义子集合。 由以上定义，可以得到： m t = i o m 2 = g ，i g l l m 3 = g ， a l ，“d l ，( g ，( o j 对于给定的自然数n ，可以获得集合 厶，容易看出以下性质成立： ( 1 ) m 0cm l ，m lcm 2 ，m 2cm 3 ，可以用数学归纳法证明，对于自然数m 、n ， 如果m n ，则 m - ( 2 ) 0 e m l ，1 m 2 ，2 m 3 ，一般的有n 厶+ l ； ( 3 ) m 0 ，m i ，m 2 ，m 3 都是传递的，一般的， 厶是传递的 相应的应用超穷归纳法可以得到： ( 1 ) 对于任意序数口，卢，如果a 卢，则肘。 m p , ( 2 ) 对于任意序数口，口 毛+ i ，当 是极限序数时，l 厶 1 4 ( 3 ) 对于任意序数口，是传递的。 对于一个集合z 而言，如果存在序数口，使得j 缸成立，则称工是可构成的。 “一切集合是可构成的”，这称为可构成性公理1 3 。哥德尔通过引入这一公理 证明了广义连续统假设的相对一致性”。 2 4z f 的公理在l 中成立 在z f 中证明所有z f 的公理都在l 中成立。 1 、外延公理在l 中成立。 外延公理在l 中成立就是说，对l 中的任意元素，如果zex 当且仅当z y ，那 么工= y 。 首先证明l 是传递的。设工el ，即有序数口，工 如，又设zex ，由肘。定义， 有z u i 归 口 ，因j 眨肘。，这样可得z l ，l 是传递的。 由l 的传递性，五yel ，y zel ( z j + z 力易得工= y 。假设j y ，则一 定有z ，使得z 工且z y 或者z y 且z 彗工，不妨设zex r z y ，由l 的传递性可 得z l ，由前提则得z e y ，矛盾。因j 比并= y 2 、空集合存在公理在l 中成立。 这是显然成立的，由g m l 既可得g l 。 3 、无序对集合公理在l 中成立。 设工 毛，y ，口，。此时，工，y 都在 知中，从而有 工，y l = z l z 晦a q = x vz = ) ) ，由此 工，y e 知+ l ， x , y l l 4 、幂集合公理在l 中成立。 对任一集合工，令p ( 曲是j 的幂集，p l ( 曲= x l rcx a y 纠。考察集合y p l ( 力。 令沙为使得y c 成立的最小的序数口，由替换公理，s = 1 口( y ) i y 凡( 曲 是一 个集合，令卢= s u p ( a l 口e s ，因此，若y p l ( 柚，则y 嗨a 令s 1 = 1 ) ，m p v u ( u e 妇- y h 曲) j ，显然s le 轨l ，且s l - p t ( 曲，由凡( 曲为可构成的可得 幂集合公理在l 中成立。 5 、并集合公理在l 中成立。 设x 肘。，由此有 z i z 知a 3 y ( r x a y e 嗨az y ) l 在肘。l 中，因此并集 合公理在l 中成立。 6 、分离公理在l 中成立。 如前所述，分离公理在z f 中可以由替换公理模式得到，因此，只需证明替换 公理模式在l 中成立既可。 7 、替换公珲模式在l 中成立。 替换公理在l 中成立，也就足证明：a ( x ，y ；t l ，“) 足一z f 公式，赴是指相应 1 5 的相对公式，如果 l ，a l 定义l 中的一个函数y = 烈曲( 即由工l 茁了l ，其 中) ，= “x ) ) ，则妒对于“l 的值域往l 中。即令v = ( 烈z ) l z “a “l l 有v l 。为 此先正有w l ，使得y c w 。 对于每1 ，有x “，似曲l 。令g 为使得烈力收成立的最小口，令 卢= s u p g ( x ) i x “l ，显然有vc 和， 知l ，取j | l 知为集合w 即得。 其次，证明v l ，由上述w ，不妨假定u ，t t ，“均在w 中，由莱文海姆斯寇伦 定理作可构成壳，即el ，因此有某7 ，使得，帆，对于任意给定的集 合x , y ，即有： a “y ；t t ，如) 营a - e ( x ，y ；t l ，靠) 由之前的说明就有 v = y l y ，a3 x ( x u a ) a 矿( 工，y ；“，如) 在上式中，定义v 的所有变元都是限制在帆中的，因此有v = m ，l ，这样1 1 l ，从 而就获得了替换公理在l 中成立。 8 、无穷公理在l 中成立。 首先证明ue 肘。，甜为无穷集合，无穷公理在l 中成立。 9 、正则公理在l 中成立。 运用超穷归纳法，可以证明每一可构成集合都是良基的。即可得正则公理 在l 中成立。 2 5 可构成公理在l 中成立 在给出c h 在l 中成立的时候，需要用到以下命题：每一个集合都是可构成 的，b 1 v x ( xed 或者说y x 丑r ( x 毛) ，这一命题一般被称为可构成公理。通常人 们用y 表示所有集合的类，而l 是所有可构成集合的类，很显然有l v ，而可 构成公理则说每一个集合都是可构成的，这样就有vel ，因此可构成公理也 用v = 骧示。 本节的目的是在z f 中证明( y = d ，亦即证明( v x q t r ( x 肘。) ) ，也就是证 明v = 脏l 中成立。由类的相对化就是刻画它的公式的相对化所定义的类就 有俨= f x l x = x a x l ) ，即v t = l 。因为v = x l x 工 ，且( y = d 等价于v l = l t , ， 这样只需证明l li - - - l a l j 可。 对于给定的公式a ( 抽，粕) ，变元x l ，而在其中自由出现，并且无其他变元 在其中自由出现，若对于任意的y ，h s ，都有 a f y l ，h ) ha ，( ) ，l ，h ) 1 6 其中也为a 中所有量词替换为受囿于s 的相应的量词，则称a 扛l ，而) 为绝对 的，a 表示的概念( 或者关系、运算) 也是绝对的。 考察l 构造过程中所使用的基本概念、运算、关系以及他们的特征。一共有 如下1 5 个： ( 1 h y ( 2 h = y ( 3 h y ( 4 h = o ( 5 ) z = x , y j ( 6 k = 对于其中每一个公式a 都有( ，r ) a ，则称s 是可满足的。 可满足的也称为有模型的。详细内容请参阅一阶逻辑和一阶理论，叶峰，中国社会科学出版 社，1 9 9 4 年第l 版。 ”v x ( xed 或者说v 妇缸j j i f 。) ，这一命题一般被称为可构成公理。通常人们用y 表示所有集 合的类，而l 是所有可构成集合的类，很显然有lev ，而可构成公理则说每一个集合都是可构成 的，这样就有ye 厶因此可构成公理也用v = l 表示。 “参阅连续统假设，张锦文、王雪山著，辽宁教育出版社，1 9 8 9 年4 月第一版。第2 1 8 2 2 2 页 ”数学哲学，【美】保罗贝纳塞拉夫希拉里普特南编，朱水林应制夷凌康源张玉纲 译，商务印书馆，2 0 0 3 年2 月第l 版，第5 5 l 页。 “数学哲学，【美】保罗贝纳塞拉夫希拉里普特南编，朱水林应制夷凌康源张玉纲 译，商务印书馆，2 0 0 3 年2 月第1 版，第5 5 5 页。 1 7 如一个语句集满足的公式，都是可以从该语句集中推演出来的，则称该语句集为完全的 博所有有关自然数的性质都是z f 的内定理，因而z f 包含初等数论。 悖一直线与另外两直