（基础数学专业论文）分圆域的一些问题研究.pdf

摘要 本文主要研究了分圆多项式的系数、单调性以及戴德金z e t a 函数在特殊 点的值。主要内容如下： 1 介绍了分圆多项式、戴德金z e t a 函数等的一些有关定义及性质。 2 讨论了分圆多项式的系数及单调性，主要证明了：对任意的f 0 ，我 们有 c e 2 r n ( 七) l n ，k n ) = z ， 其中叻k ( 七) 为2 f 几次分网多项式的k 次项系数。同时证明了：若佗3 ，则 当z l 时( 茁) 严格递增；当茁 - 1 时，垂。( z ) 严格递减。 3 研究了戴德金z e t a 函数在特殊点的值，得到下面的定理成立： 如果k = q ( 白。旷m ) 是p x p 2 p t 次分圆域，k + 是它的极大实子域，其 中p l ，见，a 为互不相同的奇素数，则 ( 1 ) 对任意的奇正整数n ，有 成立。 ，r ，。，1h 、2 掣妣m l p 2 p c ；7 7 , ) 白( 1 一亿) 白+ ( 1 一n ) = 三二一二竺；丝兰型 d ( 2 ，扎) 兀d 慨，礼) i = 1 ( 2 ) 对任意的偶正整数作，有 2 垃掣( 卉( 1 一露) ) d e t m ( p 1 优p t ；n ) i k + ( 1 一订) = 兰兰r 一 b d ( 2 ，n ) nd 慨，n ) i = - i 成立，其中 6 = 1 - 妒( p l 纯鼽) p 1 优鼽) ”1 一 ( 一1 ) r + 1 ( 鼽。a ，p r ) ”1 r = ll g l d 2 1a n ds t r i c t l y d e c r e a s i n gf o rz - - 1 。 3 w es t l l d yt h ed e t e r m i n a n t a lf o r m u l af o rt h es p e c i a lv a l u e so ft h ed e d e k i n d z e t af u n c t i o n o ft h ec y d o t o m i cf i e l d w ep r o v et h eb e l o wt h e o r e m ：i fk= q ( 白l 妒俄) i sp i p 2 p t t hc y c l o t o m i cf i e l da n dk + i si t sm a x i m a lr e a ls u b f i e l d ， w h e r ep l ，p 2 ，p ta r ed i s t i n c to d dp r i m e s ，t h e n ( 1 ) f o ra n yp o s i t i v eo d di n t e g e rn ，w eh a v e 鲫刊胁( 1 一哟：竺竺型掣竺型 d ( 2 ，7 1 , ) 1 7d ( p i ，n ) ( 2 ) f o ra n yp o s i t i v ee v e ni n t e g e rmw eh a v e 2 啦掣( 卉( 1 一露一1 ) ) 如t m l p 2 白+ ( 1 一n ) = j 曼- 一 b d ( 2 ，礼) 1 7d ( 鼽，竹) i = l 一一 w h e r e t 6 = 1 - v ，( p t p 2 a ) ( p 1 沈a r 一一 ( 一1 ) r + 1 ( p l 。p 圮p 。) ”1 r 葚ll s t l 如 0 s t k e y w o r d s ：c y c l o t o m i cp o l y n o m i a l ；c o e f f i c i e n t ；m o n o t o n i c i t y ；b e r n o u l l in u m b e r ； d 证c i l i e tl - f u n c t i o n ；d e d e k i n oz e t af u n c t i o n 学位论文独创性声明 本人郑重声明： i 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表 或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版； 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查 阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标 题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i no u rp a p e r , w em a i n l yd i s c u s st h ec o e f f i c i e n t so ft h ec y c l o t o m i cp o l y n o m i a l s a n dt h e i rm o n o t o n i c i t y , a n dg i v et h ef o r m u l a ef o rs p e c i a lv a l u e so fz e t af u n c t i o n so f s o m ec y c l o t o m i cf i e l d s c y c l o t o m i cp o l y n o m i a l sa l em u c hr e s e a r c h e dt o p i c l e t ( z ) b en t hc y c l e - t o m i cp o l y n o m i a la n d 蛋。( z ) = ( i ) z i n1 8 8 3 ，m i g o t t i 1 】s h o w e dt h a ta l l d w ( 七) o ，l i i n1 9 9 6 ，t yl a i na n d 砭h l e u n g 2 】d e t e r m i n e da l lt h e c o - e f f i c i e n t s 钾( 七) i nas i m p l ea n de x p l i c i tw a y o nt h eo t h e rh a n d ，i n1 8 9 5 ，a s b a n gg a v eac l a s s i cr e s u l t ：l d ( t ) i p 一1f o ra l lia n df o ra n yo d dp d m e s p 口 r s i s t e rm a r i o nb e i t e rp u tf o r w a r di n1 9 7 1t h ec o n j e c t u r et h a t i nf a c t l r ( i ) l 0 + 1 ) 2f o ra l li a n df o ra n yo d dp r i m e sp qr a n dt h a tt h i s b o u n di sb e s tp o s s i b l e t h i sc o n j e c t u r er e m a i n su n s o l v e d ，f o rs o m er e c e n tp r o g r e s s s e c 【3 】，i n2 0 0 3 ，g e r m a d yb a c h m ap r o v e d ：i fp口r a l eo d dp r i m e s ，l e tq a n dr + ，0 矿，r ab et h ei n v e r s e so fqa n drm o d u l op ，r e s p e c t i v e l y , s e t a = m i n ( 矿，r ，p q ，p 一矿) ，a n dl e tbt h er e l a t i o na b q r 兰l ( m o dp ) ，t h e nw e h a v eo p 妒( 詹) r a i n 学+ o ，p 一6 ) a n d u p q r ( ) r a i n 孚+ o ，6 ) f r o mt h i s c o n c l u s i o n 。h ed e d u c e d ：i f p q 0a n dt h a tt h e r ea r e i n f i n i t e l ym a n yn s u c ht h a tl o g a ( 竹) e x p ( 器) o n t h eo t h e rh a n d ，i ti sk n o w n t h a t l o g a ( n ) 0 i n 【1 2 ，f u m i oh a z a m as h o w e dt h a tt h e r ed i d e x i s ta l li n t e g e rm a t r i xm 0 ；n ) r e l a t e dw i t ht h ed e d e k i n dz e t af u n c t i o no fq ( 厶) a t 8 = l 一竹f o re a c h o d d p r i m e p a n d f o r a n y p o s i t i v e i n t e g e r n h o w e v e r , i n 【1 2 1 ，t h e r e i sas m a l lc c e f f i c i e n t - m i s t a k eo ft h er e s u l t l e tk = q ( ( m ) b et h er u t hc y c l o t o m i c r i d s ，k + i t sm a x i m a lr e a ls u b f i e l d l e t 缸s ) d e n o t et h ed e d e k i n dz e t af u n c t i o no f k i n 【1 7 1 ，t h ea u t h o ro b t a i n e dt h ee x p l i c i tf o r m u l af o rt h ev a l u e s 白+ ( 1 一n ) a n d 白( 1 一n ) l 缸+ ( 1 二仃) r e s p e c t i v e l yf o rm = 矿a n dp 口( w h e r ep ，qa l eo d dp r i m e n u m b e r s la n df o ra n yp o s i t i v ei m e g e r 竹i td e v e l o p st h er e s u l to ff u m i oh a z a m aa n d c o r r e c t sh i ss m a l lm i s t a k e i nt h ec h a p t e r4o fo u r p a p e r , b a s i n go i lt h er e s u l t so f 1 2 j a n d 【1 7 1 ，w e e s t a b l i s h t h e f o r m u l a f o r t h e v a l u e s 奴+ ( 1 - n ) a n d 白0 - 0 白+ ( 1 - - n ) f o rm = p l p 2 p t ( w h e r ep 1 ，p 2 ，p ta r ed i s t i n c to d dp r i m e sa n dti sa ni n t e g e r n o tl e s st h a n2 、 一2 一 c h a p t e r2 p r e l i m i n a r i e s 2 1c y c l o t o m i cp o l y n o m i a l s t h e n t hc y c l o t o m i cp o l y n o m i a l 峨( z ) i sd e f i n e db y w h e f c 厶= e 簪 圣。 ) = i i ( z 一露) 0 l ，j ；n 1 p r o p o s j 畸帆2 1 1 l e t 佗b eap o s i t i v ei n t e g e ra n d ( z ) t h e 位 c y c l o t o r i l i 。倒y “o m i a l t h e nw eh a v e ( 1 ) 扩一1 = 兀钆( z ) ； d j 竹 ( 2 1t h ec o e f f i c i e n t so f ( 茹) a l ei n t e g e r s ； ( 3 ) t h ed e g r e eo f 西。( z ) i s 妒( n ) ； ( 4 ) 圣。 ) i si r r e d u c i b l ei nz m n l ；煎 一( ：) ：n 矗 一姥) 、 k 1 m ( k ：；：尚 一如。袅州吨17袭17，(z-qh i i += 扛一( ；) = 8 h 仕箍d 。 卅“( k 善1 ；i in d ( x - 砖) = n ( 功 2d l n 尽 曲) 2 骚( 姊。 如( 箍1 即 t h i sc o m p l e t e st h ep r o o f ( 2 ) w ep r o v e t h i sp a r tb yi n d u c t i o n0 1 1n c l e a r l y 圣l ( 。) = z 一1 z f 司 一3 一 a s s u m e t h a t ( 2 ) i s t r u e f o r a l l k n a n d l e t ，( z ) = n 圣d 0 ) ，t h e n i ( x ) z k l d l “ d n b yt h ei n d u c t i o nh y p o t h e s i sa n dx n 一1 = 歹( z ) 垂。( o ) b y ( 1 ) ，o nt h eo t h e rh a n d , z 什一l z b _ a n d ，( z ) z 扛】i sm o n i c c o n s e q u e n t l yt h ed i v i s i o na l g o r i t h m i nz k 】i m p l i e st h a tz ”一1 = f ( x ) h ( x ) + r ( 写) f o rs o m e ( z ) ，r ( z ) z 【叫a n d d e g r ( x ) 1 i so d d , t h e n4 ) 2 n 扛) = 圣h ( 一茹) ( 2 ) i f pi sp r i m e ，t h e n 晰，= 鬻椰p i n ；阻 一5 一 p r o o f ( 1 ) f o r n 1 i s o d d w c h a v e 圣2 。( z ) = i - i ( x 4 一1 ) 一( 警 蹦一1 ) “( 舞) d nd l n s i n c eni so d da n d d l n ，2 一n ) = 一p ( 警) s o 圣。p ) = 毛h ”x z 硝d 一- 1 1 ) 一( 器) = l - i ( x a + 1 ) 一( ：) d l nd l “ n o w s u p p o s e t h a t n h a s 七( 0 ) d i s t i n c t p r i m e f a c t o r s t h e n t h e n u m b e r o f d f o r w h i c h p ( 芸) 0 i s2 w h i c h i s a l lc v c n i n t e g e r s o ( 2 ) n o t et h a t 量2 。 ) = i - i ( x d + 1 ) ”( ；) = ( 一1 ) 2 i - i ( z 4 + 1 ) ”( ：) = i i ( 一z 4 1 1 p ( ：) = n ( ( 一z ) 4 一1 ) “( ) d l - 一圣。( - - x ) 圣m 0 ) = n ( z 4 1 ) ”( 警) d i 册 = 兀( z 8 一1 ) “( 譬) 1 1 ( 一一1 ) ”( 等) d l p nd h m p 洱( p 国= 1 = 垂。( 矿) 兀( z 4 1 ) ”( 警) a l n n 加，d ) = l i fd l 册，( 鼽d ) = 1a n dp i n ，t h e np ( 等) = 0 ，s o ( z d 一1 广警) = 1 d i n , 扫，d ) = l i fd i p n ，d ) = 1a n d ( p ，佗) = 1 ，t h e np ( 警) = 肛( p ) p ( 嚣) = 一( 等) ，s o n ( z 8 1 ) ”( 警) = n ( 4 1 ) 一p ( 0 ) = l 西。( z ) ( 绱：l 咖 一6 一 f r o ma b o v ed i s c u s s i o n , w ec a ng e tt h er e s u l te a s i l y 2 2b e r n o u l l in u m b e r s ，d i r i c h l e tl - f u n c t i o n sa n dd e d e k i n dz e t a f u n c t i o n s t h eo r d i n a r yb e r n o u l l in u m b e r s 风a r ed e f i n e db y 去= 薹玩暑 s o m er e s u l t so fb ja r es h o w ni nb e l o wt a b l e ： nol 234 i 5l6 f 78 l 9i1 0l1 11 2 0 i 玩 l l1 o 一矗l 0l 一击10l 刍l0l 矗l0 l 一器l 26 - tt 雨一万了2 。， w e h a v e 风= 0 i f n i s o d da n d n 1 w ed e f i n et h eb e r n o u l l ip o l y n o m i a l s 且k ( z ) b yt h ee x p a n s i o n 万tetx=妻眦爵tnet 1 一z 0 。o n o n e h a n d , w e h a v e o nt h eo t h e rh a n d , l 乍1m 创m ) m 1 a t 丽幺孤= r 一 击m e - 1 萎风( 寄) 掣击风( 寄) 峄 d 【= uk = 0 m 一1 三【m 扣1 鼠( 等) 堵， 脚a = o 。 警= 为= o o 眦焉f 可一2 三可2 4 l 叫币 8 0w eh a v ea n o t h e re x p r e s s i o no f 上k ( z ) ： 风o ) = 。1 m - 1 玩( 等) ， f o r a n y i n t e g e r m 0 i fxi sad i r i c h l e tc h a r a c t e rm o dn ，t h eg e n e r a l i z e db e r n o u l l in u m b e r s 玩，xa r ed e - f i n e d b y 一- _ = x ( a ) 一t e a t = n 瓠= o 叼t n n o t e t h a t w h e n x = 1 ，w e h a v e 薹o o 筹= 塞篙= 差= 矗+ t 8 0 取，1 = b n ( 1 ) f o r 仃1a n d 玩。1 = 晶f o r n 2 m - 1 u 8 1 n g 风，12 岛( 1 ) 锄d 风( z ) = 胗- 1 三玩( 等) ，w cc 锄似蜘n e 鼠，lb y 一8 一 = = = 锱 击筹 删 。一m 晶 m 脚 以 扩 l i 艮 f o r a n y i n t e g e r m 0 i na d d i t i o n ，d i r e c t l yf r o mt h ed e f i n i t i o n ，w ec a nf i n dt h ee x p r e s s i o n 玩，x - 胪1 x ( 。) 风( 景) ， s i n c e 。x a t e a t = 斋量nx ( a ) 豁 ：寺苎x ( n ) 主风( 丙a ，节n t = ( n “一1 x ( a b 、。a t ”r f o r a n yn u m b e rf i e l dk ，d e d e k i n dz e t af u n c t i o n ( ( s ) o fki sd e f i n e db y 缸( s ) = ( “ w h e r eni st h r o u g ho u ta l ln o n z e r o i n t e g e ri d e a l so fka n dn ( a 、= n k q ( a ) l e t xb ea d - c h a r a c t e r m o d m 。w h e n ，m ) l 。w es e t x ( n ) = 0 。n e x t w c d e f i n ed i r i c h l e tl - f u n c t i o na s o o l ( s ，x ) = x ( n ) n 。 ，l = l o o i f x = x oa n d x o i s a t r i v i a l d - c h a r a c t e r m o d m ，w e h a v e 5 ( 8 ，x o ) = n - - 。i n ( 。器1 w i l e nr e ( s ) 1 ，w e h a v e l ( s ，x ) = ( 1 - x f r ) v 1 ) 。1 ， 一o 一 = i i ( 1 一x ( v ) p - 。) 一1 慨m ) = i i f 面n d x = 仃一f ma n dxi si n d u c e db yx w h i c hi ti sap r i m i t i v ec h a r a c t e rm o d m t h e n l ( 8 ，x ) =1 7 ( 1 一x ( v ) v “) - 1 0 ，m ) = l = l - i ( 1 一x ( 2 棚1 ) - 1 0 ，m ) = l = 1 7 ( 1 一x p 加1 ) 一1 7 ( 1 一r 0 汩1 ) 尹 p i m = r ( 8 ，矿) 1 7 ( 1 一x ( p ) p 1 ) s o w ec 觚e a s i l y h a v e l ( s ，x 0 ) = ( ( s ) n ( 1 一p 1 ) p h f o ra n ya b e ln u m b e rf i e l dk ，t h et h e o r e mb e l o wt e l l su st h a td e d e k i n dz e t a f u n c t i o n ( k ( 8 ) i sa p r o d u c t o f s o m e d i r i c h l e t l - f u n c t i o n s o f p r i m i t i v e c h a r a c t e r s l e t m b c t h e c o n d u c t o r o f k ，t h e n c h a r a c t e r ) ( o f k c a n b er e g a r d e d 勰a d c h a r a c t e r m o d 札l e tk d e n o t et h es e to fa l lc h a r a c t e r so fk a n d 矿d e n o t et h ep r i m i t i v ec h a r a c t e r a s s o c i a t e dw i t hx t h e o r e m2 2 5i fki sa b e ln u m b e rf i e l d ，t h e n 白( s ) = nl ( 8 尉) = i il ( s ，x t ) x 耳砭r x x o t h e o r e m 2 2 6w e h a v e l ( 1 一x ) = 一鼠，x n ( n = 1 ，2 ，3 ) t h e p r o o f o f a b o v e t w o t h e o r 盯n sc a n b e f i n d e d i n 【1 4 】o r 【1 6 一1 0 一 c h a p t e r3 c h a r a c t e r i z a t i o no fc y c l o t o m i c p o l y n o m i a l s 3 1o nc o e f f i c i e n t so fc y c i o t o m i cp o l y n o m i a l s i n 1 9 8 7 ，j s u z u k ip r o v e dt h a t c h ( 七) fn ，后n ) ：= z i nt h i ss e c f i o n , w ed e v e l o pt h er e s u l to fj s u z u k ia n dp r o v et h a tf o ra n yi n t e g e rl 0 ，w e h a v e 0 2 l n ( 七) in ，南n = z f r o mt h e o r e m2 1 4 ，w ec l r le a s i l yi n f e rt h a t 唪。( 正) = ( “) f o ra n y f 0 ，s o i np a r t i c u l a r , 删= 州0 却i 。f # - l l 七；- 蚴船，= p 乒芝竺。 l e t7 r ( z ) d e n o t et h en u m b e ro fp r i m e sw h i c ha l en o tm o r et h a nz ，t h e nw e h a v e l e m m a3 1 1 1 1 8 1 i fni sl a r g ee n o u g h ，w eh a v e 丌( 2 n ) 一丌( 仃p 酉l 0 9 2 去 2 2 n 2 鼽 1 122 n 一1n 一1nn 二- 。黯 凯 = 吼叫一 t 蓦 孰 h f o r a n yp r i m ep ，i te x i s t s 勺s u c ht h a t t h e n w e h a v e f o r 扎5 w e h a v e 矿s 2 n 矿 ( 孙鼎：蕃嘉 = 兀p 袅t ( 【务卜2 垮1 ) = np 嘉t ( 【务卜2 【毒1 1 1声基- ( f 劳卜2 f 劳1 ) = i - p t pi - ip ( 唧一2 ，s 甄压i p s 缸 n 少兀p p ， p s 、丽压；p s 警 n p 2 n w h e r e t h e l a s t i n e q u a l i t y i s f r o m 挚 一2 【；l ia n d ( 警】一2 【；】= 0 w h e n - 警 p n t h e n f o r n 25 ，w e h a v e 2 觚2 un 庐兀pnp p 、疬、甄 p s 挚 n p 2 n 孙1 7 少丌p1 7p 芦s 、互i 、甄 p 孥 n 芦2 ” 凯( 孰)i - i pi - i p p 1 璺以；却妄警“ p 茎轨 ( 2 礼) 2 t h 。1 1 7 p1 7 弘 压 蜓警 n p s 孰 一1 2 一 旦矿 硅。 盎| 矿 塾矿 卜 。戮羚、气。，删 w ea s s e r tt h a t p 2 警e5 0 ) 以i p s 警 l e t = 甄，b = 警，a n d0 1 = 睦 ，o 2 = 刍1 ，一，8 k = 刍 ，w h e r e 胡 d e n o t e st h el e a s ti n t e g e rw h i c hi sn o tl e s st h a nz t h e n d 1 n 2 钆， a n d 刍+ 1 = 2 互雨b + 1 托1 + 1 s o 钆s2 l z k + 1 l e tmb et h el a r g e s ti n t e g e rs u c ht h a ta m g ，t h e na m + l ga n d o m s2 a m + l n w e k n o w 口1 2 ，s ob 2 a 1 t h e n h e n c ew eh a v e ”p d p 6 ( n ，b 】u 廷l ( a k ，2 a k 】 p p a m p s 2 d ，i 一1 勺s 2 一lf t l p 2 a l u s i n g n p _ 2 n ps ( 习 。2 c n q 喇卜。 w h e r et h el a s ti n e q u a l i t yc a n b ep r o v e de a s i l yb yi n d u c t i o n w eh a v e n 。蜓6 p 2 2 一1 ) 2 2 ( “”1 ) 2 2 札一1 ) 2 2 ( j ；r + i ；i 岛+ + ) 2 ( n 5 0 ) p 2 警5 0 ) 以i p 警 一1 3 一 p s ! 型：! ：2 ：兰：1 2 i ：j ：j ：= ! ：翟! ：翟：! ： t h e n w e h a v e 。 2 凯 ( 2 n ) 风1 2 警p 伽s o ) n 2 知一警。( 2 n ) 一( 、压i + 1 ) = 2 了i t n ( 轨) 一( 历。+ 1 ( n 5 0 ) n p s 2 n b yi n d u c t i o n , w eh a v ens2 n t h e n 2 n = ( 距磊) 6 2 - ( 2 - 一锈m 厕 ：2 ( 2 n 一1 9 ( 2 巾i ) 2 ；n ( 1 一器) = 2 击件 p ( 轨) 。( 嘲。( 砷 n m 衄 v b ，2 ) 。t h e ni r ( 印1 ) 一 丌妇1 ) l s s 一1 s ow cc a nf i n d8 1p r i m e sp 2 ， ) 3 ，一，p 和s u c ht h a t2 p x m 岛i f8 i sc v e n ，l e tm = p 1 仇g ，o t h e r w i s el e tm p l 如b yt h eo b s e r v a t i o n 帆 p ：d i m ，d 如， s o w ec 锄i n f e r t h a t 西。( 。) 三生掣三竽型( 仇甜x p + 1 ) 兰( 1 + 霉+ - + 庐一1 ) ( 1 一矿l 一一矽- 1 ) ( r o o dx p + 1 ) n l 兰o 。0 ) + ( 1 一s ) 妒( m 甜z “+ 1 ) j = o t h ea b o v ee q u a l i t ys h o w st h a td 。溉) = 1 一s s i n c en 2 m 0 5 ) = ( - 1 ) p 。n 。0 5 ) = 8 1 o nn o t i n gt h a t 日鸭( z ) = 圣2 ( z 2 ) = + 1a n d8 4 ( 1 ) = 0 。t h er e s u l tf o l l o w s c a s e2f o rz = 1 g i v e na n yi n t e g e rt 2 ，f r o mc o r o l l a r y3 1 2 ，j 0 n ，w h e nn n ow ch a v el ，r ( 2 n ) 一7 r ( n ) i t l e tp lb ea n yp r i m ea n dp l m n 茁 0 ，2 ) ，