（控制科学与工程专业论文）非线性系统建模及预测控制若干问题研究.pdf

浙江大学博士学位论文 摘要 模型预测控n i ( m p c ) ，是指一类根据动态模型对系统未来行为进行预测和优 化的控制策略。基于线性预测模型的线性m p c 算法可以有效控制具有弱非线性 的或工作在平衡点附近的强非线性动态系统，已被广泛应用于各种有约束多变量 工业过程。然而，对那些具有严重非线性且工作范围很宽的复杂工业过程，无法 用线性模型来精确拟合其系统特性，更无法准确预测其未来行为，因而需要使用 非线性模型及相应的预测控制策略。本文针对一类具有非线性特性的复杂被控对 象，研究其建模方法及相应的多步预测和控制量寻优策略。 本文提出了三种非线性实验建模方法，包括在线的模糊建模、可存线修正的 离线模糊神经网络建模，以及完全离线的基于最小二乘支持向量机( l s s v m l 的 建模方法。在控制策略方面，使用了基于分支定界原理的离散寻优方法和基于非 线性模型线性化的，“义预测控n 4 ( g p c ) 算法。本文还基于种稳定广义预测控制 ( s g p c ) 结构，求出其控制器的滚动最优控制律，给出并证明了该系统的闭环稳 定性条件。本文的主要内容包括： 1 基于一种s g p c 结构，以参考信号为优化变量对目标函数进行寻优，求 出了控制器的滚动最优控制律，该控制律可以无静差地跟踪常数设定 值。文中给出并证明了s g p c 闭环控制系统的稳定性条件。通过数值仿 真，将s g p c 与广义预测控制器做了性能比较，结果表明，s g p c 彳i 仅 适用于非最小相位、开环不稳定、具有未知时滞和阶次的系统，而且适 用于具有近似相消的零极点的被控对象。 2 针对一类具有严重非线性的复杂被控对蒙，提出一种基于在线模糊建模 和离散优化的非线性预测控制算法。算法由两部分组成：第一部分采用 模糊聚类和线性辨识方法在线建立系统的t - s 模糊预测模型；第二部分 基于分支定界法的基本原理对控制量进行离散寻优，从而实现对象的非 线性预测控制。在模糊建模过程中，采用了无监督模糊竞争学习算法并 引入丢弃准则以确保模糊模型可以即时跟踪系统动态。该算法也被推j 1 到多变量系统。将提出的算法应用于两个具有不同程度非线性的s i s o 过程模型及一个m i m o 过程模型，仿真结果说明了该算法的有效性。 浙江大学博士学位论文 3 针对一类具有严重非线性的复杂被控对象，提出两种基于t - s 模糊模型 的预测控制算法。利用被控系统的采样数据集，用模糊聚类法初始化模 型参数，并用后向传播算法进行离线学习，得到系统的离线t - s 模糊模 型。该离线模型的后件参数在实时控制过程中可以根据实时采集的新信 息被在线修i 卜，以提高模型精度。基于已经得到的模糊模型，第一种算 法，直接基于非线性模型，使用分支定界优化方法搜索最优控制序列； 第二种算法，在系统运行的每个采样周期，将非线性t - s 模糊模型局部 动态线性化，从而得到系统的线性输入输出关系，并用广义预测控制策 略实现被控对象的预测控制。在一个具有强非线性的系统模型上，将所 提出的两种算法做了仿真比较，仿真结果说明了各自的特点和有效性。 4 针对具有不同程度非线性的工业被控对象，提出了两种基于l s s v m 建 模的预测控制算法。对于具有弱非线性的系统，用具有线性核函数的 l s s v m 进行建模，并将所得模型转化为线性输入输出关系。列具有严 重非线性的被控对象，首先用具有r b f 核函数的l s s v m 离线建立被控 对象的非线性模型，然后在系统运行的每一个采样周期，将离线模型关 于当前采样点线性化，得到系统的在线输入输出线性关系。基于得到的 线性模型，两种算法均采用广义预测控制算法来实现埘被控系统的预测 控制。将两种算法分别应用到两种具有不同程度非线性的工业过程模型， 仿真结果说明了算法的有效性和优越性。 5 以e f p t 过程装置中的锅炉水温为被控对象，构造了“个温度计算机控 制实验系统，并将前面提出的两种建模及预测控制算法应用到该系统中。 在验证两种算法有效性的同时，对两种算法中的建模方法进 j 二了比较。 最后是全文的总结及展望。 关键词：非线性系统、模型预测控制、模糊建模、最小二乘支持向量机建模、离 散寻优、广义预测控制、稳定广义预测控制、温度计算枫控制实验系统 浙江大学博士学位论支 a b s t r a c t m o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o l ( m p c ) r e f e r st oac l a s so fc o n t r o ls t r a t e g i e s ，i nw h i c ha d y n a m i cp r o c e s sm o d e li su s e dt op r e d i c ta n do p t i m i z ep r o c e s sp e r f o r m a n c e l i n e a r m p cb a s e do nt h el i n e a rp r e d i c t i v em o d e lc a nb eu s e dt oc o n t r o lt h ed y n a m i cp r o c e s s w i mw e a kn o n - l i n e a r i t yo rw o r k i n gn e a rt h ee q u i l i b r i u mp o i n t ，m a dh a sb e e na p p l i e d e x t e n s i v e l yi n t o v a r i o u sc o n s t r a i n e dm t d t i v a r i a b l e i n d u s t r i a l p r o c e s s e s h o w e v e r ， l i n e a rp r e d i c t i v em o d e lc a l ln o tb eu s e dt oa p p r o x i m a t ea n dp r e d i c tt h ep e r f o r m a n c eo f t h ec o m p l i c a t e dp r o c e s sw h i c hi sh i g h l yn o n l i n e a ra n do p e r a t e si naw i d er a n g e ，s o n o n l i n e a rd y n a m i cm o d e la n dt h er e l e v a n tm p cs t r a t e g yb , r en e c e s s a r y t h ep u r p o s e o ft h i s p a p e ri s t o s t u d y t h en o n l i n e a rm o d e l i n gm e t h o da n dt h ec o r r e s p o n d i n g m u l t i s t e pp r e d i c t i v e c o n t r o l s t r a t e g y f o raf a m i l yo fc o m p l e xp l a n t sw i t hs t r o n g n o n l i n e a r i t y t h r e en o n l i n e a re m p i r i c a lm o d e l i n gm e t h o d s ，i n c l u d i n go n l i n ef u z z ym o d e l i n g ， o i f - l i n ef u z z y n e u r a lm o d e l i n gw i t ho n 1 i n em o d i f i c a t i o na n do f f - l i n el e a s ts q u a r e s s u p p o r t v e c t o rm a c h i n e s ( l s s v m ) b a s e dm o d e l i n ga r ep r e s e n t e d ，a n dt w os t r a t e g i e s f o ro p t i m i z i n gt h ec o n t r o la c t i o ni n c l u d i n gad i s c r e t eo p t i m i z a t i o nm e t h o da n dt h e g e n e r a l i z e dp r e d i c t i v ec o n t r o l ( g p c ) a r es t u d i e di nt h i sp a p e r i na d d i t i o n ，ar e c e d i n g h o r i z o n o p t i m a l c o n t r o l1 a wi s d e v e l o p e d f o ras t a b l eg e n e r a l i z e dp r e d i c t i v e c o n t r o l l e r ( s g p c ) ，a n dt h ec l o s e d - l o o ps t a b i l i t yc o n d i t i o ni sg i v e na n dp r o v e d t h e m a i nc o n t e n t sa r e d e p i c t e da sf o l l o w s ： 1 b a s e do nas g p cc o n f i g u r a t i o n ，ar e c e d i n gh o r i z o no p t i m a lc o n t r o l l a w w h i c hc a nt r a c kc o n s t a n ts e tp o i n tf r e e o f f s e ti sd e v e l o p e db yo p t i m i z i n gt h e o b j e c t i v e f u n c t i o no v e rt h ef u t u r er e f e r e n c e s i g n a l s t h ec l o s e d l o o p s t a b i l i t yc o n d i t i o n i sg i v e na n d p r o v e d ，a n d t h e nt h ep e r f o r m a n c eo fs g p ci s c o m p a r e dw i t ht h a to f g p c b y n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s t h es i m u l a t i o nr e s u l t s s h o wt h a ts g p ci sa p p l i c a b l en o to n l yt ot h en o n m i n i m u m p h a s e ，o p e n 。l o o p u n s t a b l ep l a n tw i t hu n k n o w nd e a d t i m ea n du n k n o w no r d e r , b u ta l s ot ot h e p l a n tw i t hz e r o sa n dp o l e sw h i c h c a nb en e a r l yc a n c e l l e d 浙江大学博士学位论文 2 an o n l i n e a r p r e d i c t i v e c o n t r o l a l g o r i t h mb a s e do nt h ef u z z ym o d e li s p r e s e n t e df o rac l a s so fc o m p l e xs y s t e m sw i t hs e v e r en o n l i n e a r i t y i no r d e r i oi m p l e m e n tn o n l i n e a rp r e d i c t i v ec o n t r o lf o rt h ec o n t r o l l e d p l a n t ，at - s f u z z yp r e d i c t i v em o d e li sb u i l to n l i n eb yu s i n gf u z z yc l u s t e r i n ga n dl i n e a r i d e n t i f i c a t i o n ，m a dd i s c r e t eo p t i m i z a t i o no f t h ec o n t r o la c t i o ni sc a r r i e do n t a c c o r d i n gt ot h ep r i n c i p l eo f b r a n c ha n db o u n dm e t h o d i nt h ep r o c e s so f f u z z ym o d e l i n g ，t h et m s u p e r v i s e df u z z yc o m p e t i t i v el e a r n i n ga l g o r i t h ma n d a d i s c a r d i n gc r i t e r i al i r e i n t r o d u c e dt oe n s u r et h a tt h es y s t e md y n a m i c sc a r l b et r a c k e di n - t i m eb yt h ef u z z ym o d e l t h ep r e s e n t e da l g o r i t h mi sa l s o g e n e r a l i z e dt ot h em u l t i v a r i a b l es y s t e m t h ep r e s e n t e da l g o r i t h mi sa p p l i e d t ot w os i s om o d e l sw h i c hp o s s e s sv a r i o u sd e g r e eo fn o n l i n e a r i t y , a n da m i m on o n l i n e a rm o d e l t h es i m u l a t i o nr e s u l t sd e m o n s t r a t et h e e f f e c t i v e n e s sa n dm e r i t so f t h eo b t a i n e da l g o r i t h m 3 t w o p r e d i c t i v ec o n t r 0 1a l g o r i t h m sb a s e do nt - sf u z z ym o d e la r ep r e s e n t e d f o raf a m i l yo fc o m p l e xs y s t e m sw i t h s t r o n gn o n l i n e a r i t y u s i n g t h e s a m p i i n g d a ms e to ft h ec o n t r o l l e d p l a n t ，t h e m o d e l p a r a m e t e r s a r e i n i t i a l i z e d b yf u z z yc l u s t e r i n g ，l e a r n e du s i n gb a c k - p r o p a g a t i o na l g o r i t h m o f f - l i n e ，a n d i fn e c e s s a r y t h e y c a nb er e c t i f i e do n - l i n et o i m p r o v et h e p r e d i c t i v ep r e c i s i o n i nt h e p r o c e s s o fr e a l t i m ec o n t r 0 1 b a s e do f ft h e o b t a i n e df u z z ym o d e l ，t h ef i r s ta l g o r i t h mo p t i m i z e st h ec o n t r o la c t i o nu s i n g t h eb & bm e t h o d i nt h es e c o n da l g o r i t h m ，t h ef u z z ym o d e li sl o c a l l ya n d d y n a m i c a l l yl i n e a r i z e d t oo b t a i nal i n e a rt r a n s f e rf u n c t i o nm o d e lo ft h e c o n t r o l l e dp l a n ta tc u r r e n ts a m p l i n gi n s t a n t ，a n dt h e n ，t h eg p cs t r a t e g yi s e m p l o y e dt oi m p l e m e n to p t i m i z a t i o no ft h ec o n t r o la c t i o n t h ep r e s e n t e d a l g o r i t h m sa r ec o m p a r e dw i t he a c h o t h e ro nap hn e u t r a l i z a t i o np r o c e s s m o d e la n dt h es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h ee f f e c t i v e n e s sa n dm e r i t so fb o t h t h ea l g o r i t h m s 4 u s e df o ri n d u s t r i a l p r o c e s s w i t hd i f f e r e n td e g r e eo fn o n - l i n e a r i t y , t w o p r e d i c t i v ec o n t r o la l g o r i t h m sb a s e do nl s s v mm o d e la r ep r e s e n t e d f o r t h ew e a k l yn o n l i n e a rs y s t e m ，t h es y s t e mm o d e li sb u i l tb yu s i n gl s s v m w i t hl i n e a rk e m e lf i m c t i o n a n dt h e nt h eo b t a i n e dl i n e a rl s s v mm o d e l i s t r a n s f o r m e di n t ol i n e a r i n p u t - o u t p u t r e l a t i o nf o rt h ec o n t r o l l e d s y s t e m ， h o w e v e r , f o rt h es t r o n g l y n o n l i n e a r s y s t e m ，t h eo f f - l i n e m o d e lo ft h e c o n t r o l l e ds y s t e mi sb u i l tb y u s i n gl s - s v m w i t hr b fk e r n e l t h eo b t a i n e d 浙江大学博士学位论文 n o n - l i n e a rl s - - s v mm o d e li sl i n e a r i z e da te a c hs a m p l i n gi n s t a n to f s y s t e m r u n n i n g ，a f t e rw h i c ht h eo n - l i n el i n e a ri n p u t - o u t p u tm o d e lo ft h es y s t e mi s b u i l t b a s e do nt h eo b t a i n e dl i n e a ri n p u t - o u t p u t m o d e l ，t h eg p ca l g o r i t h mi s e m p l o y e dt oi m p l e m e n tp r e d i c t i v ec o n t r 0 1f o rt h ec o n t r o l l e dp l a n ti nb o t h a l g o r i t h m s ，t w op r e s e n t e da l g o r i t h m sa r ei m p l e m e n t e di nt w od i f f e r e n t i n d u s t r i a lp r o c e s sm o d e l sr e s p e c t i v e l ya n dt h es i m u l a t i o nr e s u l t sr e v e a lt h e e f f e c t i v e n e s sa n dm e r i to f b o t h a l g o r i t h m s 5 u s i n gt h eb o i l e ri nt h ee f p tp r o c e s s c o n t r o le x p e r i m e n t a ls y s t e ma st h e c o n t r o l l e d p l a n t ，ac o m p u t e r - c o n t r o l l e ds y s t e m f o r t e m p e r a t u r e i s c o n s t r u c t e da n dt w op r e s e n t e da l g o r i t h m sa r e 印p l l e di n t ot h ep l a n t t h e e f f e c t i v e n e s so fb o t ha l g o r i t h m si sd e m o n s t r a t e da n dt h em o d e l i n gm e t h o d s i nt h e ma r ea l s oc o m p a r e dw i t he a c ho t h e r t h ec o n c l u s i o na n d p e r s p e c t i v ea r eg i v e n a tt h ee n do f t h ed i s s e r t a t i o n k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs y s t e m ；m o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o l ；f u z z ym o d e l i n g ；l e a s ts q u a r e s s u p p o r t v e c t o rm a c h i n e s ；d i s c r e t e o p t i m i z a t i o n ；g e n e r a l i z e dp r e d i c t i v ec o n t r o l ；s t a b l e g e n e r a l i z e dp r e d i c t i v ec o n t r o l ；c o m p u t e r - c o n t r o l l e re x p e r i m e n t a ls y s t e m f o rt e m p e r a t u r e 浙江犬学博士学位论文 浙江大学博士学位论文 第一章绪论 本章对预测控制的历史背景、基本原理及数学表达进行了回顾，简要地总结 了预测控制在稳定性、鲁棒性、可行性方面的主要理论成果，以及建立预测模型 的主要方法。另外还对m p c 和经典控制方法进行了比较。 1 1 历史回顾 模型预测控制( m p c ) 是一种背景比较复杂的控制策略。它的最初思想可追溯 到2 0 世纪6 0 年代，p r o p o i ( 1 9 6 3 ) 在开环最优反馈的背景下，提出了一种滚动时 域控制策略。真正意义上的m p c 诞生于7 0 年代中期到8 0 年代巾期。其中最有 代表性的是模型预测启发控制( m p h c ) ( r i c h a l e t ，1 9 7 6 ) 、动态矩阵控制算法 ( d m c ) ( c u l t e r , 1 9 8 0 ) 和模型算法控制( m a c ) ( r o u h a n i ，1 9 8 2 ) 。它们一般被应用于有 约束的多变量化工过程( m e h r a ，1 9 8 2 ；c u t l e r , 1 9 8 7 ；a r k u n ，1 9 8 6 ) 。另外，m p c 还有 一个独立发展的分支，包括y d s t i e ( 1 9 8 2 ) 的扩展时域自适应控制( e h a c ) 、 p e t e r k “1 9 8 4 ) 的基于予贞测的自调整控制和c l a r k e ( 1 9 8 7 ) 的广义预测控制( g p c ) 等， 它们都是基于自适应控制的背景，而日多见于输入输出模型描述的系统。 以上的m p c 算法在工业过程中得到了广泛的应用，但它们所具有的非参数 化表达形式或自适应控制背景，使研究人员很难对其稳定性和鲁棒性等理论进行 分析。b i t m e a d ( 1 9 9 0 ) 从高斯二次最优的角度分析了m p c 的特点，并指出当时的 线性m p c 不具有稳定性。从9 0 年代，学者们开始关注基于状态空间表达的m p c 理论研究，并且取得了一定的进展( m i c h a e l ，1 9 9 8 ；c a m a c h o ，1 9 9 8 ；r a w l i n g s ，2 0 0 0 ； m a y n e ，2 0 0 0 ；m a c i e i o w s k i ，2 0 0 2 ) 。 r i c h a l e t ( 1 9 9 3 ) 和q i n ( 1 9 9 7 ；2 0 0 3 ) 全面地总结了m p c 在工业过程中的应用。 浙江大学博士学位论文 1 2 基本原理和数学表达 1 2 1m p c 基本原理 m p c 的算法形式多样，但其基本原理都是相同的，都是在每个采样周期， 以系统当前状态为起点，在线求解有限时域开环最优问题，得到一个最优控制序 列，并将该序列的第一个控制量应用到被控系统。作为一种有限时域滚动优化控 制策略，m p c 具有三个基本要素，预狈4 模型、滚动优化和反馈校正。 预测模型是指一类能够显式地拟合被控系统特性的动态模型，无论采用何种 表达形式，只要它能根据历史信息和未来输入预测系统未来行为，就可以作为预 测模型。由于m p c 是基于预测对系统行为进行优化，因此预测模型的精度刈 m p c 系统的性能具有直接影响。 滚动优化是指在每个采样周期，都基于系统的当前状态及预测模型，按照给 定的有限时域r 标函数优化过程性能，找出最优控制序列，并将该序列的第一元 素施加给被控对象。每个采样周期的f 1 标( 奄j 数形式相对统一，但它们包含的绝对 时间区域是不同的，足滚动向前的。 反馈校难用于补偿模型预测误差和其它扰动。模型失配和外部扰动通常会给 系统带来不确定性，由于m p c 的有限时域开环优化本质，这螳不确定性会降低 系统性能，甚至使系统不稳定。反馈校正可以在定程度上对这些不确定性进行 补偿。 图1 1m p c 原理框陶 浙江大学博士学位论文 m p c 系统的组成见图1 1 。其中，y 是系统当前输出，y ，是根据设定值和y 求得的参考轨迹，y 。是预测模型的直接输出，y ，是经反馈校正后的预测输出， 虚线部分将y 。与y 之间的偏差e 反馈给预测器以便进行反馈校正。图中各部分 的作用如下： 参考轨迹：它对改善闭环系统的动念特性及鲁棒性起重要作用，根据y 和 设定值生成的y ，是从系统当前输出到设定值的一条光滑轨迹； 滚动优化：在每个采样周期，求解有限时域优化问题，并将求出的最优 控制序列中对应当前时刻的部分应用于被控对象； 预测模型和预测器：基于模型和系统信息求出预测值助，并根据过 去的预测偏差信息，对其进行反馈校正，得到校l 卜后的预测输出y ，。 1 2 2数学表达 a 系统描述 本节我们在离散状态空削方程的基础上介绍m p c 的数学表达。考虑如卜系 统， x ( k + 1 ) = ，( x ( ) ，“( t ) )( 1 1 ) 其中，x ( k ) r ”是k 时刻的状态向量，u ( k ) r 是控制输入向量， 厂：r ”r ”斗r ”。不失+ 般性，假设原点x = 0 ，“= 0 是厂( ) 的一个平衡点，即 f ( o ，0 ) = 0 。 该系统服从如下形式的输入和状态约束， “( j i ) ( 1 2 a ) x ( t ) 嚣( 1 2 b ) 是系统状态的可行解集合，是控制输入的町行解集合。通常，是皿”中的 凸的紧集，是r ”中的凸的、闭集，矽和都包含原点。 b 有限时域滚动优化 考虑系统( 1 1 ) ，使其在约束( 1 2 ) 下，达到某种预定的指标( 例如， 态驱动至原点或某平衡状态x ，) ，提出以下有限时域优化问题， 尹( x ，女) ：定义目标函数 女+ _ v l v ( x ，女，订( - ) ；m ，) ：= 工( i ( f + 1 ) ，玎( f ) ) + f ( x ( 女+ ) ) 将某些状 ( 1 4 ) 浙江大学博士学位论文 并给定以下约束， i ( 七+ 1 ) = ，( i ( 七) ，玎( 七) )i ( 七) = z 玎( t ) u ，v x 七，k + 1 ，k + m 一1 万( t ) = 百( 七十m 一1 ) ，v x k + m ，k + n 一1 ) i ( t ) ，v t t ，k + n ) i ( 岔+ ) x ，c f 1 5 a ) ( 1 5 b ) ( 1 5 c ) ( 1 5 d ) n 5 e ) 注：为区分实际系统变量和系统模型中的相应变量，我们给预测模型中的变量加 上一个上横杠( 例如i ，牙) 。 ( ) 是以z 为初始点，由虱- ；( x ，j i ) ，吖，) 驱动，得 到的方程( 1 5 a ) 的解。由于此处求解的是有限时域优化问题，所以即使在没有扰 动存在的情况下，i ( ) 与实际系统的状态轨迹x ( ) 也是不同的。 和分别是预测时域和控制时域。 式( 1 4 ) 中的函数t 4 1 称为阶段目标函数，一般用它来体现系统控制的预定 目标。上一般取为2 一范数形式，例如： l ( x ，“) = ( 膏一t ) 。q ( i x ，) + ( 订一“，) 。e ( 玎- u ，)( 1 6 ) 其中，x s 和u ，u 分别是状态和控制输入的设定值，q 和r 是正定对称权 矩阵。 式( 1 4 ) 中的函数f ( ) 是终端惩罚函数，用来惩罚终端时刻k + n 的状态与状 态设定值( 或设定区域) 的偏离。f ( ) 的一般形式为 f ( x ( k + ) ) = x ( 女+ ) 。p ，x ( + ) 其中，p ，为终端加权矩阵。 式( 1 ，5 e ) 中，x ，为终端约束集，即要求控制量在有限时域n 内，将状态由x 驱动至，内。 式( 1 5 c ) 实际上并不是一个约束条件，它要求超过控制时域后，控制量将保 持不变，等于控制时域中的最后一个值。 为实现所谓的有限时域滚动优化控制策略，我们基丁当前时刻新的系统信息 ( x ，k ) ，用数学规划方法寻找满足控制、状态及终端约束的控制序列 一d 一 浙江大学博士学位论文 h - o ( - ；( x ，女) ，m ，) ( 后面简写为h - o ( ；( x ，女) ) ) ，即 百o ( - ；( x ，女) ) = “o ( 七；( x ，女) ) ，, o ( 十l ；( x ，) ) ，“o ( + m 一1 ；( x ，) ) ) ， 使有限时域目标函数矿最小，并将- 0 序列中的第一个值施加给被控系统，即系 统的闭环控制律由下式定义， ( x ，k ) ：= 玎“( 女；( x ，i ) ) = “o ( x ，女) ( 1 7 ) 相应得到最优目标函数值矿( x ，k ，u o ( x ，) ；m ，n ) ，以后简写为妒( 女) ，表示 从k 时刻的初始状态x 开始，求解开环优化问题得到的最优目标函数值。 到了下一个采样周期，将根据新的系统信息( 艽( 女+ 1 ) ，k - 4 - 1 ) 重复上一采样周期 的操作，从而实现滚动时域控制。 1 3m p c 的稳定性、鲁棒性和可行性 在上节中，我们介绍了基于离散状态空间方程的m p c 的数学表达。如果考 虑无约束情况，并将控制和预测时域取为无穷大，离散时问线性定常系统的m p c 问题就转化为线性二次调节( l q r ) 问题。该问题在六、七十年代被广泛研究，通 过求解代数r i c c a t i 方程，可得到一个静态的状态反馈控制律。在加权矩阵9 和月 分别为正定和半正定的前提下，该控制律可以保证系统闭环稳定性。如果考虑有 约束情况，其它条件不变，则要求解无限时域一次规化问题，但在合理的有限时 间内求解无限维规划一般来说是不实际的。如果再进一步，缩短预测和控制时域， 就得到有限时域规划问题，求解有限维二次规划问题是可以实现的。但是，有限 时域滚动优化控制通常存在三个问题：可行性，稳定性和鲁棒性。 1 3 。1稳定性 稳定性分析是m p c 研究中的一个主要理论问题。在对m p c 进行稳定性分 析的过程巾，大多数文献采用了相似的方法( m a y n e ，2 0 0 0 ) 。它们都选取最优目 标函数矿o ( 女) ( 参见1 2 节) 作为l y a p u n o v 函数，并对其它三个要索( 终端惩罚函数 f ( ) ，终端约束集x ，和xr 内的局部稳定控制器k ，( ) ) 进行适当的选择，从而建 立m p c 算法的稳定性理论。f ( ) 和x ，显式地出现在m p c 问题的数学表达中， 而k 小) 则被隐式使用。 浙江大学博士学位论文 a 终端等式约束 k e e r t h i ( 1 9 8 8 ) 最早尝试在m p c 的数学表达中加入终端等式约束，为以后的 m p c 稳定性分析提供了理论基础。他通过设置终端等式约束x ，= 0 ，即要求 系统状态在预测时域内达到状态空间中的原点，从而证明了时变、有约束、非线 性离散系统的m p c 的稳定性。另外，c l a r k e ( 1 9 9 1 ) 设定约束要求预测时域以外的 输出与参考信号相等，从而证明了离散线性时不变系统的稳定性；m o s c a ( 1 9 9 0 ) 通过设定零终端约束证明了基于线性输入输出模型的系统的稳定性； k o u v a r i t a k i s ( 1 9 9 2 ) 在将控制系统结构做巧妙变换的基础上，通过对参考信号设定 等式约束，建立了个稳定的类广义预测控制系统。 m a y n e ( 1 9 9 0 ) 通过设定终端等式约束，最早建立了非线性m p c 的稳定性理 论。g e n c e l i ( 1 9 9 3 ) 和r a w l i n g s ( 1 9 9 3 ) 也使用j ，相司的方法证明了基于不同表达形 式的非线性m p c 的稳定性。 一般来说，使用终端等式约束相当于没置目标函数中的终端加权矩阵为无穷 大，从而减小了控制器的可行区域。对于有约束系统，终端等式约束会使可行区 域变得非常小。 b 终端不等式约束( 或终端约束集1 终端等式约束方法奠定了m p c 稳定性理论的基础，但是，要在有限时域内 将系统从初始状态驱动至某一状态点，这对于大部分状态空间点来说都是不呵能 的，也即m p c 的初始可行区域是非常小的。 m i c h a l s k aa n dm a y n e ( 1 9 9 3 ) 通过在m p c 表达中引入不等式约束( 即要求在 预测时域内将系统预测行为驱动至一个区域，而不是一个点) ，分析了有约束 连续系统的稳定性。假设系统在原点附近的近似线性化系统是可镇定的，适当选 择，并要求存在最小时间，保证初始状态空间内的任意点可被驱动至 z ，。在满足以上条件的前提下，先用m p c 算法在有限时间内将初始状态驱动 至，然后在x ，内采用局部线性状态反馈控制器k 疋) 将状态驱动至原点，从 而保证有约束连续非线性系统的m p c 的闭环稳定性。这利t 方法又称为“双模式 浙江大学博士学位论文 m p c ”，这种双模式方法在以后的稳定m p c 算法巾也经常被使用，例如c h e n ( 1 9 9 8 ) 的准无限时域预测控制。 c 终端惩罚函数 终端惩罚函数通常与终端约束集一起被使用。通过适当选择终端约束集x ， 和终端惩罚函数，( ) ，使有限时域目标函数嵋( 女) 等于或逼近无限时域目标函数 碟( ) ，从而建立m p c 系统稳定性，例如s c o k a e r t ( 1 9 9 8 ) 、c h e n ( 1 9 9 8 ) 和l e e ( 2 0 0 3 ) 。 也有单独使用终端惩罚函数的情况。例如，b i t m e a d ( 1 9 9 0 ) 选择终端惩罚函数 为，( x ( 七+ ) ) = ( 1 2 ) x ( k + ) 7 只x ( + n ) ( 其巾p r 是逆序求解r i c c a t i 差分方程 得到的终端值) ，从而建立了线性无约束m p c 系统的稳定性。该结论可以被推广 到非线性系统。另外，l e e ( l e e & k w o n ，1 9 9 8 ) 对于有约束和尤约束的线性系统， 给出了保证系统稳定性的终端加权矩阵的线性矩阵不等式( l m i ) 条件，并指出 一些经典的无限时域m p c ( r a w l i n g s ，1 9 9 3 ；z h e n g & m o r a r i ，1 9 9 5 ) 可归结为该文 中控制器的特殊情况。 m a y n e ( 2 0 0 0 ) 对m p c 的稳定性理论做了详尽的总结，并给出了四个稳定性充 分条件，为多数情况f 的m p c 稳定性分析提供了统一的框架。 1 3 。2鲁棒性 m p c 的本质是根据对系统未来状态的预测来优化系统行为，因此m p c 的控 制性能在很大程度上依赖于预测模型的精度。可是，由于实际系统与过程模型之 间的模型失配，状态估计误差以及外部r 扰等因素引起的建模不确定性，会使 m p c 系统性能变差，甚至不稳定。尽管m p c 可以通过反馈校正策略减少对模型 的依赖性，并对系统性能有所改善，但这并不能完全解决不确定性引起的性能降 低和稳定性问题。一般来说，在不考虑建模不确定性的情况下，要提高m p c 系 统的稳定性，就需要增加预测时域；而在考虑不确定性的情况f ，要提高m p c 系统的稳定性( 即鲁棒稳定性) ，就需要对模型结构和滤波器进行设计 ( c l a r k ，1 9 9 1 ) 。 鲁棒m p c 是一类预测控制算法，它们可以在考虑系统不确定性的前提下， 确保m p c 的可行性和鲁棒稳定性。鲁棒m p c 大致采用两类方法建立鲁棒稳定 浙江大学博士学位论文 性。 一类足不再以唯一的模型预测系统行为，而是根据系统的不确定性给出 个模型的集合，找出其中性能最差( 预测偏差最大) 的模型，进而通过将该模型的 预测行为与期望行为之间的偏差最小化( m i n m a x 优化方法) ，柬求得最优控制 量。c a m p o ( 1 9 8 7 ) 、z h e n g ( 1 9 9 3 ) 和g e n c e l i ( 1 9 9 5 ) 在基于有限脉冲响应模型的m p c 系统的鲁棒稳定性分析中采用了m i n ，m a x 优化方法；而l e e ( 1 9 9 7 ) 采用m i n m a x 优化证明了基于离散状态空间方程并具有多面体模型不确定性的m p c 系统的鲁 棒稳定性，另外l e e ( 2 0 0 0 ) 还将该方法用于状态空间方程中的b 矩阵具有时变参 数不确定性的系统的鲁棒稳定性分析。由于在线实现r a i n m a x 优化需要丰h 当大 的计算量，k a t h a r e ( 1 9 9 6 ) 、c a s a v o