（基础数学专业论文）远程概周期函数在微分方程中的应用.pdf

摘要 本文利用远程概周期函数的基本理论和性质以及b a n a c h 压缩映像原理，研究了 某些微分方程的远程概周期解问题 果 引言简述了概周期理论的发展过程及现状，介绍了当前国内外的研究动态和成 第一章首先介绍了概周期函数和远程概周期函数的基本概念和性质，主要研究 了线性和拟线性常微分方程的远程概周期解问题 第二章主要研究了受迫摆方程的双远程概周期解问题证明了方程 x ”+ 口x 舻d = 厂( f ，力在相应定义域内远程概周期解的存在唯一性，进而证明受 = i 迫舫程在区域 一矧， 三，刳上各存在一个远程概周期解 第三章主要研究了受迫摆方程的远程概周期解问题通过研究d u f f i n g 方程 i j + 砂一砂= p ( t ) 的远程概周期解的存在唯一性，利用远程概周期函数的性质和 b a n a c h 压缩映像原理研究了受迫摆方程夕+ 砂+ a s i n y = p ( t ) 的远程概周期解问题， 证明了解的存在性及在某条件下的唯一性问题 关键词：远程概周期函数；微分方程；格林函数；d u f f i n g 方程# 受迫 摆方程 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h er e m o t e l ya l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n so fs o m e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yt h ef u n d a m e n t a lt h e o r ya n dq u a l i 够o ft h er e m o t e l ya l m o s t p e r i o d i cf u n c t i o n sa n db a n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l e t h ei n t r o d u c t i o ni n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n ta n dc u r r e n ts i t u a t i o no ft h ea l m o s t p e r i o d i ct h e o r y , a n dt h eb a c k g r o u n d ，a n dt h en e w e s tr e s u l t s f i r s tw ei n t r o d u c et h ef u n d a m e n t a lt h e o r ya n dq u a l i t yo fa l m o s tp e r i o d i ca n d r e m o t e l ya l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n s t h e nw ed os o m ew o r ka b o u tr e m o t e l ya l m o s t p e r i o d i cs o l u t i o n so f l i n e a ra n dq u a s i - l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e r2w ed i s c u s st w oe x i s t e n c e so f t h er e m o t e l ya l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n s w e f r e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s si nr e g i o no ft h ee q u a t i o n x + 口x o 卜力= f ( t ，x j ，t h e nf r e dt h ef o r c e dp e n d u l u me q u a t i o n 歹l l 甜m 。s tp e r i o d i cs o m o nr e 驴c t o 一三号 a n a 匮，等 i nc h a p t e r3w e s t u d yt h er e m o t e l ya l m o s tp e r i o d i cp r o b l e m so ft h ef o r c e dp 叩d u l u m e q u a t i o n w es t u d yt h er e m o t e l ya l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h ef o r c e dp e l l d u l u m e q u a t i o nj ) + e p + a s i ny = p b ys t u d y i n gt h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h e r e m o t e l ya l m o s tp e r i o d i c ：o l u t i o n so fd u f f i n ge q u a t i o n j ；+ 矽一砂= p ( ，) ，t h o u g ht h eq u a l i t yo ft h er e m o t e l ya l m o s tp e r i o d i cf u n c t i q n sa n d b a n a c hc o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l e ，f m d i n gt h ee x i s t e n c ea n dt h eu n i q u e n e s s u n d e rs o m ec o n d i t i o n k e y w o r d s ：r e m o t e l ya l m o s tp e r i o d i c f u n c t i o n s ；d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；g r e e n f u n c t i o n ；d u f f i n ge q u a t i o n ；f o r c e dp e n d u l u me q u a t i o n ； 学位论文独创性声明、学位论文知识产权权属声明 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果文中依 法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可论文内容未包含法律意义上已属 于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成果 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果 论文作者签名： 协日期：妒7 年期3 j 日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学校学 校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利本人离校后发 表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为青岛 大学 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明 不保密酣 ( 请在以上方框内打“4 ) 论文作者签名： 恤沁 导师签名： z j 事豸忆 1 日期：p 7 年s 月3f 日 日期：砷年f 月歹日 引畜 引言 周期函数是实际问题中数据的一种理论上的理想状态，实际问题中的数据总是 有误差的，还会受到某些于扰。这些有误差的、受到某些干扰的周期函数在数学上 就可称之为概周期函数在自然科学和社会科学中，概周期现象和周期现象相比较， 概周期现象是更容易见到的一种现象例如，天体力学、机械振动、电力系统、生 态学系统、经济学领域以及工程技术中出现振荡现象的诲许多多实际闻题往往都可 归结为寻求以微分方程为数学模型的周期解或概周期解，其中有些问题( 诸如天体 运转、生态环境以及市场供需规律等) 考查其概周期现象有时比考查其周期现象更 切合实际而在理论上，全体周期函数在往何范数下都构不成b a n a c h 空闯，两概周 期函数全体在上确界范数下构成b a n a c h 空间因此，讨论微分方程解的概周期性质 有更重要的现实意义 在研究概周期阀题时，有时可以从相应周期阀遂已有的结论中得到启示，但蠹 于概周期性和周期性的差异，周期问题的许多结果却很难直接推广到概周期的情况， 因此有必要建立一套研究概周期问题的理论和方法 概餍揍蘧数理论在函数基本性质方面其发展过程的主要特点是其函数蕊爨不断 扩大，从概周期函数到渐进概周期函数，荐到弱概周期函数，直到1 9 9 2 年张传义提 出了伪概周期函数，每一次函数的扩展都大大拓展了概周期函数的应用范围和对微 分方程的求解 自从b o h r 在1 9 2 4 。1 9 2 6 年间在研究傅里叶级数时建立了概周期函数的理论以 来，在上世纪2 0 年代、3 0 年代经过一些数学家的努力，b o h r 的理论有了进一步的 发展，其中包括在群上的调和分析的理论以及1 9 3 3 年患b o c h n e r 所建立的b a n a c h 空间的向量值概周期聪数的理论。往后的发展则和常微分方程，稳定性理论，动力 系统以及偏微分方程有更密切的联系 由予研究实际问题的需要以及其它数学分支发展的推动，上世纪5 0 - 7 0 年代国 内外对概周期微分方程的研究普遍受到重视，概周期微分方程的理论也有了较大的 发展19 7 4 年出版的f i n k 的专著( a l m o s tp e r i o d i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ) ) 对此作了 概括性总结关于b o h r 概周期函数我们可以从两个不同的角度来看待：一方面，概 周期丞数是一类具有独特结构性质的连续遁数，是纯周期蘧数的推广；另一方面， 青岛大学硕士学位论文 概周期函数可看成是一致收敛的三角多项式序列的极限从而概周期函数理论的建 立，为我们开辟了一个道路，使我们髓够研究一类广泛的一般三焦级数，甚至指数 级数。 随后，概周期函数的经典理论又在几个方面得到了推广其中一个主要方面就 是概周期型函数，即渐进概周期函数秘，2 l ，弱概周期函数f 雏1 9 9 2 年，z h a n 9 1 4 1 提 出了伪概周期蒲数的概念，并研究了它在微分方程定性理论中的应用。所有这些工 作丰富了概周期函数理论及其应用。 1 9 8 4 年d o n a l ds a r a s o n 提出了复值远程概周期函数空间的概念，证明了复值远 程概周期透数空闻是翻复值概周期函数类和复值缓慢振荡函数类生成的盂土有界复 值一致连续函数空间的闭子代数。 2 第一章某些微分方程的远程概周期解 1 1 背景介绍 第一章某些微分方程的远程概周期解 概周期函数在积分方程微分方程中都有重要的应用，c h e 5 详细的讨论了 概周期函数在几类微分方程中的应用 近年来，具有逐段常变量的微分方程已经越来越多的引起了人们的关注，此类 方程是由c c o o k e 和j w i e n e r 6 ，7 】等人首先提出并研究的，并且发现此方程在生物 问题和双曲动力系统方面有重要应用 8 】这类方程在单位长的区间内具有连续系统 的性质，解在任二区间端点的连续性又诱导了解在这些点的值得回复关系，进而他 们结合了微分方程和差分方程的性质，因此他们是连续和离散的统一在【9 ，1 0 ，1 1 】 中，作者们还就这类方程的振动性，周期解和广义解等方面进行了讨论，一些数学 工作者们把概周期函数应用到这类方程中，利用此类微分方程对应的差分方程的概 周期型序列解讨论此类微分方程概周期型解的存在性 1 2 概周期函数理论的基本知识 概周期函数理论是由丹麦数学家b o h r 在研究f o u r i e r 级数时于1 9 2 4 - 1 9 2 6 年间 提出的因为全体周期函数在任何范数下都构不成b a n a c h 空间，而概周期匮数全体 依上确界范数便构成一个b a n a c h 空间，所以概周期函数比周期函数的应用要广泛的 多事实上，当一个系统出现两个周期不可公度的干扰因素时，总要引入概周期解因 此，在近代微分方程理论中引入概周期是必然的b o h r 的工作后来得到了广泛的推 广和完善c o r d u n e a n u t l 2 l 和f i n k t l 3 】分别在1 9 6 8 年和1 9 7 4 年对概周期函数的理论 及应用进行了系统的总结，全面阐述了概周期函数理论及它与其它领域的联系，如 与群伦，微分方程等方面 下面我们先介绍b o h r 意义下概周期函数的定义 考虑定义在r = ( o o ，) 上的复值或实值连续函数f ( t ) ，记为f ( t ) c ( 乒，c ) 或 厂( ，) c ( r ，r ) ，c ( r ，d 衰示c ( 足，o 或c ( r ，尺) 定义1 2 11 1 4 1 称八r ) 是b o h r 概周期的，如果对任给g 0 ，集合 r ( 厂，g ) = r ；沙( ，+ f ) 一厂o ) i 0 ，存在，= l ( e ) 0 ，使得在每个长度为，的区间内至 少有一个f = f ( s ) t ( f ，s ) ，使l 厂o + f ) 一f ( t ) l 0 ，则它们的商八乡( ，) 也是概周期函数 性质1 2 5 n 4 1 设六9 ) ( 刀= 1 , 2 ，) 都是概周期的，又序列以( f ) ) 在尺上一致收敛 于函数( f ) ，则厂( f ) 是概周期函数 。 性质1 2 6 1 3 1 设概周期函数( f ) 可微，其导函数厂( f ) 是概周期的当且仅当 ，0 ) 在r 上一致连续 性质1 2 7 n 3 1 设加) 是概周期函数，其不定积分f ( r ) = r 厂( j ) d s 是概周期 的当且仅当f ( t ) 有界 关于概周期函数的b o h r 定义及其基本性质等些古典结果可在任一本概周期 函数的书中找到，例如，可参看f i n k 或l e v i t e n 的专著【1 3 ，”1 4 第一章某些微分方程的远程概周期解 1 3 远程概周期函数理论的基本知识 定义1 3 1 f 1 6 1 7 1 函数g c ( r ) 称为是概周期的，若对v 占 0 ，存在| f 0 ，使 得任意长为l 的区间内都包含一个数f ，有 j g ( t + t ) - g ( t ) i 0 丁( 厂，占) = 卜黜l l f l i m s mu p | 丸+ 彳) 一丸) l 0 ， 第一章某些微分方程的远程概周期解 t ( f ，占) nt ( g ，占) 是非空相对稠密 性质1 3 7 坞1 舳( r x ) 和见重p ( 尺x ) 是c 似x ) 的平移不变的闭子空间 性质1 3 8u 3 1 若f ( t ) r a p ( r xx ) ，f ( x ) ：x 一】，是从x 到】厂的一致连续函 数，则我们有f ( 厂9 ) ) r a p ( r x d 性质1 3 9 1 3 1 如果( ，) s o ( r x ) ，且矽( ，) 可微，则( f ) 一致连续当且仅当 7 ( f ) c o ( r 幻 定理1 3 1 0 0 9 , 2 0 , z q ( b a n a c h 压缩映像原理) 完备的度量空间上的压缩映像必 有唯一的不动点 性质1 3 1 1 堪1 令剃p ( q r ) ，如果g r a p ( r ) ”而g ( 力q ，q ， 则厂。( g x ) r a p ( r ) ” 1 4 线性常微分方程的远程概周期解 考虑非自治方程 ，百d x = a ( t ) x + f ( 1 。1 ) 以及齐次方程 百d x = a ( t ) x ( 1 禾2 ) 其中，彳( f ) 是珂力维的在r 上的连续函数，而且列向量f = ( z ， ，z ) 也是连续 函数，定义l 例为上确界范数 定义1 4 1 方程( 1 4 2 ) 满足指数二分法是指存在映射p c c 糟，正常数 吼，k s ，i = 1 , 2 ，使得 l y ( t ) p y 卅( s ) i 0 ，且令 n = u z e c 一： z - x 。o ) i 口，r 果ge r a p ( f 2 r ) ”使得 i g ( z ，f ) 一g ( z 一，叫l l z - z l ( z ，z q ，f r ) ，( 1 多2 ) 其中l 0 ，r o 例 m i n l ( k t o i + 七2 o 2 ) 厶a ( k i o t + k 2 a 2 ) i i g i i ) ，则方程 3 第一章某些微分方程的远程概周期解 ( 1 5 1 ) 存在唯一的远程概周期解x ，使得对所以的，r 都有x ( t ) q ，且当一0 时，i i y - y 0 i i - o 证明通过构造近似序列，采用归纳的方法设x ( 七是方程 譬锄+ f + 的胪枷娴 ( 1 5 3 ) 的有界解，首先证明x 七存在，x 见4 p ( r ) ”，且x 七( 尺) cq ，k = 0 , 1 ，2 ， 当七= 0 时结论成立，1 岌设当k l 时结论成立， 由性质1 3 i i 知， g 。( x 扣1 x o 见4 尸( r ) ”，则由定理1 4 2 ，方程( 1 5 3 ) 有唯一的解x ( r a p ( r ) ” 由( 1 4 1 ) 和( 1 5 3 ) 型攀：么( f ) ( x 一x ) + 心。( w ( k - 1 ) x 1 ) a t 由定理( 1 4 2 ) 中关于有界解的证明，有0 x ”一x 们 l - ( k 。o 1 + k ：i o ：) i u i i g i i ， 再由0 i i m i n 1 i ( k i o r i + k 2 o 2 ) 厶a ( k ii o l + 七2 o 2 ) i i g i ，故x ( r ) cq 因为 鱼垡竺：；兰竺尘：4 ( f ) ( x ( m ) 一x ( t ) + ( g 。( x ( d ，) 一g 。t - 1 ) 功， a t 有 l i x 仕“爿仲l i - ( k l 。 l + k 2 o ：) 1 1 l l g 。( x 仕i ) - g 。( x ( k - 1 ) x ，) | l ， 再由( 1 5 2 ) 式，上式 ( 毛吼+ 如仃：) 川三i p 七一x 扣1 0 = a l l x 似) - x o 一忙口i i x o ) - 8 9 青岛大学硕士学位论文 其中，0 口= ( k l o l + 七21 0 2 ) 陋陋 p a p ( r ) ”中是柯西列 由于剃p ( r ) ”是b 锄c h 空间，当七专a o 时，存在一x 剐尸( r ) ”，使得l x ”- x - o 由( 1 5 3 ) 知，x 是( 1 5 1 ) 的解，因此当_ o 时，有l l y - y 。0 专o 利用反证法，可得该解是唯一的，不再赘述 1 0 第二章受迫摆方程的双远程概周期解 第二章受迫摆方程的双远程概周期解 2 1 记号与主要结论 考虑受迫摆方程 舅+ 诚+ b s i n x = p o ) ， 其中，a , b 是正实数，且口2 4 b ，p ( t ) 见4 尸( 尺) 将( 木) 式改写为 并且考虑 ( 水) 碧+ a 莺+ b x = b ( x - s i n 砷+ p ( f ) ， ( 2 1 1 ) 戈+ 西一h = 6 ( x + s i n ( x - r e ) ) + p ( t ) ( 2 1 2 ) 对于如下方程的有界值问题 x 伽) + 口，x 伽。) = 厂p ，x ) ， 一j x s ， ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 其中乃，= l ，刀是实系数，f ：r 2 一r 是连续函数，s 是c ( r ) 的一个给定子集 定义集合q 为 q = 扣棚) 娥s 刊u pi ) ( f ) | b ，七= 0 l ，) ， 其中d k 是常数 定理2 1 1 方程 x ”+ 口x 伽吖) = p ( ，) ( 2 1 5 ) 满足多项式x ”+ 口x ”的所有零点_ ，j - - 1 9 9 拧都是非零实数，p ( f ) 是有界的 连续函数，如果函数烈，) 是远程概周期函数，那么方程( 2 1 5 ) 的解x o ) 也是远程 青岛大学硕士学位论文 概周期函数，其中x s 1 定理2 1 2 若多项式x 一+ 口j x ”7 的所有零点乃，j = 1 ，刀都是非零实数， j = l 方程 一 x 一+ 口，x ( 卜d = f ( t j ，“( f ) 、1 一 j = l ( 2 1 6 ) 满足条件：存在c 肛1 ( r ) 的凸的闭的有界子集q 和有界闭子集s ，其中墨包含在集 合snq 中，使得对v u q ，问题 弹 工o + 口，x o 吖) = f ( t ，甜( ，”， 一j 。、， j , d x s l ， ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 存在唯一的解，f ( t ，x ) 对x 满足工一条件，展p l f ( t ，x ) - f ( t ，夕) i l x - y l ， 并且s u pi f ( t ，x ) i - l a i 岛，其中，f ( ，o o ) ，h d o ，l y l d o ，l k i ，d o 晕正数， t e ( - - j 而且材o ) r a p ( r ) f ) q ，那么方程( 2 1 3 ) 有唯一的远程概周期解 x ( t ) r a p ( r ) n q 定理2 1 3 若s u pl p ( r ) l b ，并且满足上述假设条件，则方程( 木) 至少存在 f e ( ，) 两个远程概周期解x i ( t ) 、x 2 0 ) ，使得 s u p ，i x 。o ) i 詈，s ，u p 卜2 ( f ) 一万i i 7 ， ( 2 1 8 ) f e ( 。) ，e ，) z 并r x ：( t ) r a p ( r ) ，x ：( f ) r a p ( r ) 2 2 定理证明 一些数学工作者们在这一方面做了许多研究，在主要定理的证明之前，我们首 先介绍几个重要引理 青岛大学硕士学位论文 引理2 2 1 瞄l 若存在c 加1 ( 尺) 的凸的闭的有界子集q 和有界闭子集墨，其中 墨包含在集合snq 中，使得对v ”q ，问题 斗 x 伽) + 口，x 伽= ( r ，材o ) ) ， j ， j = l x s l ， 存在唯一的解，则有界值问题( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 的解是存在的 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 引理2 2 2 瞄1 设多项式刀+ 口刀一的所有零点乃，= l ，刀都是非零实 数，p ( t ) 是有界的连续函数，则方程 一 x ( ”) + 口，x ( ”力= p ( f ) 一， 置l 有唯一的有界解x o ) ，使得 ( 2 1 5 ) s u p 弘梆i p 却胪 yf p 却( 奶”l _ 两p ， ( 2 2 1 ) s u pi ) ( ，) i 丝l a i - h 一扩l ， 其中a 是上述特征多项式的谱半径，满足 a m i n m a x o a 。i + l , - - , l a 川i + 1 ，k 1 ) ， 一( 1 ，l 口i i 一懒i i ) ，一。吼i 卧一，l 老1 ) 】， q 名卫 且p = s u pi p ( r ) i 当上述多项式的零点是负数( 或正数) 时，( 2 2 1 ) 中的积分号，代表l ( 或 引理2 2 3 【”l 若方程( 2 1 3 ) 有有界解x o ) ，使得s u pi x ( r ) i 冬d o ，摹中d o t e ( - - ，) 青岛大学硕士学位论文 是正数，f ( t ，x ) 是关于，的概周期函数，对h d o ，且对x 满足一 条件，即 l f ( t ，x ) - f ( t ，y ) i l i x - y t ， 其中，( 嘲，) ，i x i - d o ，酬d o ，l l a 1 ， 则x o ) 是概周期解，l i l _ x ( t ) ，x o ) ，x 州( ，) 在尺上一致连续且是概周期函数 注| 1 2 3 l ： 方程( 2 1 5 ) 的解的形式为x ( f ) = p 却卜如一秒f p 一印p ( f ) ( 出) ” 注2 ：多项式彤+ 口刀一7 的所有零点以，歹= l ，刀都是非零实数，经计算可得， l g 却妒妙j p ( 纠i = 附m y h 却( 训。1 i 南 定理2 1 1 的证明根据引理2 2 2 可知，方程( 2 1 5 ) 有唯一的有界解x o ) ， 由注l ， x ( t ) - - 口却p 椭f i e 一却p o ) ( 出) ”， x ( f + 口) = e 却p 如。枷，i e 一印p o + 口) ( 出) ”，口是任意常数， i x ( t + 口) 一x o ) l - i p 却p 如一 弘p 一砷瞄( ，+ f ) 一p ( f ) 】( 衍) ”l 南i p ( f 叫r ) | ， 因为函数p ( f ) 是远程概周期函数， 翻l i r a s u p i x ( f + 口) 一x ( f ) i g ， 因此x ( t ) r a p ( r ) 定理证毕 定理2 1 2 的证明由引理2 2 1 和2 1 1 ，方程( 2 1 6 ) 存在有界解x ( ) ， 且s u pf x ( r ) l d o ，e ( ，) 1 4 第二章受迫摆方程的双远程概周期解 如果材( f ) 是远程概周期函数，并且满足l 厂( ，x ) - f ( t ，力l _ 0 ， x-sinx：三一一1maxlx 8 1 1 1 x l， = 一一一 ， h s 风。 2 青岛大学硕士学位论文 m 悱a d o x 1 一c o s 叫 1 ， 由条件 s u pi p ( ，) i 6 ， 有 川麟i 一洫卅6 ( 三一) ， 扛b m a x l 1 - - c o s 叫 6 令x 。o ) 是方程( 2 1 1 ) 的解，x 2 0 ) 一万是方程( 2 1 2 ) 的解，即x 2 ( f ) 也是方 程( 2 1 1 ) 的解，则( 宰) 式至少有两个远程概周期解分别满足( 2 1 8 ) 式 1 6 第三章受迫摆方程的远程概周期解 第三章受迫摆方程的远程概周期解 在非线性振动理论中，d u f f i n g 方程是经典的方程，而摆方程是d u f f i n g 方程 中实际背景最强的非线性方程，因而关于摆方程的研究很受重视 2 5 , 2 6 1 ，成果也比较 丰富 2 7 , 2 8 , 2 9 , 2 4 1 ，而对于该方程的解的远程概周期性质的研究还未见报道受上述工 作的启发，本文将对受迫摆方程j j + 矽+ a s h y = p 的解的远程概周期性质进行讨 论 3 1 线性d u f f i n g 方程的远程概周期解 为了讨论受迫摆方程的远程概周期解问题，首先研究线性d u f f i n g 方程 髫+ 磁一k = 厂( d ( 3 1 1 ) 的远程概周期解问题 定理3 1 1若厂( f ) 是远程概周期函数，则方程( 3 1 1 ) 有唯一的远程概周 期解 证明设函数 x ( ，) = g ( ，s ) o ) d s 是方程( 3 1 1 ) 唯一的有界解，其中，g ( f 一一去卜r 卜砷q i ，。= 乒+ 等 下证x ( ，) 删p ( r ，r ) x p ，= 一主【- 争s 叫卜叫f 爿p c s ，西 1 7 青岛大学硕士学位论文 令 有 这时 + f ) 一x 纠= l 去矿十一小+ f | i 儿妞+ l e ；( - o - t - lf g 炳l = l - 曼矿耐岍叫几协+ 笠咖i f - 叫g 协一， 砝善坼m 忏。g + 强扩巾。叫 = l 一! 主【- 善。_ f 卜巾叶i 厂g + f ) c 函+ _ j 2 1 v e 要。- 卜小吖i ，g x 舀一 ! 2 - - 7 e 2 非m j 忉枷b 矿州h i 肚l = 万1 矿a _ 川 + f ) 一x ( ，】= i _ p g ) 厂g + f 胁一，么g 沙g + r + p g 沙g 协 一p g 沙g + f 必一p g 沙g + f + p g 矿g 协i 肚小叫+ 脚肛小叫 同理可得， 弘t = 曼伊凼= 曼“扣) 凼 11 写冈 1 8 第三章受迫摆方程的远程概周期解 陟去南 l 一i ，一二l + ) 珈) i 五1 冈1 盹+ f ) 矾h _ 1 6 同1 协川矾) l = 吉( 熹+ 击) | 肛小删 i r i l i 。m 。s u p l 工o + f ) 一x 纠m i 糨s u p l f ( t + r ) 一s ( q 其中，m = 吉( 瓦b + 而1 ) 是常数 x q ) e a e ( r ，r ) ，即定理证毕 3 2 受迫摆方程的远程概周期解， 通过对线性d u f f i n g 方程的远程概周期解的研究，现在讨论受迫摆方程 5 + a y c + n s i n x = f ( t )( 3 2 1 ) 的远程概周期解，其中巾) 是远程概周期函数本文中定义函数的范数为上确界范 数 引理3 2 11 ： 9 1 若f ( t ) c ( r ) nl ( r ) ，则( 3 1 1 ) 有唯一的解x c 1 ( r ) ， 满e ：1 1 4 1 匀m 耻i i p 咖p 瑚。= 碍 定理3 2 2 设口o ，厂o ) 是远程概周期函数，使 ! l s l l s l l r 刀，则存在，o 使 得方程( 3 2 1 ) 有唯一的远程概周期解x c 1 ( 晨) 并且满足 - - 三+ s x ( t ) 孚一 青岛大学硕士学位论文 证明 由条件，存在常数彳，满足l 俨a 刀， 存在常数u ，满足o u 彳 考虑空间 q = 长r 4 尸( r ，r ) ，l k 一万8 r u 由远程概周期函数的性质知，空间q 为完备的度量空间 现考虑映射t x = 材，其中u 为方程 订+ 硼一n u = 一弧一刀s i n x + o ) 的远程概周期解，其中函数厂( f ) ，x ，以及s i n x 均为r 上的远程概周期函数 映射z 将q 映入r a p ( r ，r ) ，再由定理3 1 ，映射丁的不动点对应着方程( 3 2 1 ) 的远程概周期解，并且满足忙一万忆u 下证映射丁将q 映入它本身 对任意给定的q 中的元素x ，有一u x - - 万u ，因为函数伊( 善) = 一刀孝一n s i n 善为单 调递减的，所以有 力万一疗u + n s i n u ，就+ n s i n x 刀万+ n u n s i n u( 3 2 2 ) 其中常数万+ u 和万一u 分别是方程 西+ 口西l 一万q = - n ( r c + u ) 和 觑+ a d 0 2 一r l ( 0 2 = - n ( z r u ) 的远程概周期解 通过引理3 2 1 比较0 ) 2 = 万一u ，“( ) 及q = n + u 的大小 由不等式( 3 2 2 ) 及条件l 卅i r 力，有万一u 材( r ) 万+ u 成立 现已经证明r ( q ) cq ，只需再证映射丁是压缩映射 对任意的 ，x 2 q ，t x i = “l ，t x 2 = ”2 差d = ”l 一”2 是方程 孑+ 甜一，耐= 一刀( x l 一工2 ) 一n ( s i n x i - s i n x 2 ) 的解 第三章受迫摆方程的远程概周期解 酌丁x i + x 2m 舢半姗嘶半 o 有 4 巩一a ：0 矿= i 卜，一材：i l r s 丢l l 一疗( 而一x ：) 一刀( s i n 毛一s i i l x ：) o p = i i x l x 2 + s i n x l - s i n x 26 p = x 。- x 2 + 2 c o s 半咖孚k ( 1 + c o s 半) o x t - x 2 矿 _ ( 1 - c o s u ) h x l x 20 r - k l l x l 吖20 矿 其中0 k = l c o s u 1 ，所以映射丁的不动点就是方程( 3 2 1 ) 的远程概周期解 令彳一刀，u 一至2 ，因为不动点是唯一的，所以在球睁一万o 三内不存在其他远程概 周期解定理证毕 结论 结论皇口- 己 1 若齐次方程i d x ：彳o ) x 满足指数二分法，且函数f 见重尸( r ) 一，则非自治方程 讲 警= 彳( f ) x + f 有唯一的有界解石，且石r a p ( r ) ” 2 拟线性常微分方程譬：a ( t ) x + f + 郎。( 】，) 在一定条件下存在唯一的远程概 a f 周期解x 3 d u f f i n g 方程夕+ 巧，一砂= p 0 ) 存在唯一的远程概周期解 4 受迫摆方程萝+ 矽+ 口s i n y = p ( ，) 存在概周期解，在条4 牛1 1 y 石l l l 车下概周期 解是唯一的 5 方程x ”+ 口x 舻7 = o ，工) 在相应定义域内存在唯一的远程概周期解进而 受迫舫程在区域b 舟巨爿上各存在一个远程概周期解 青岛大学硕士学位论文 -_-_-_-_-_-一 参考文献 【l 】m f r e c h e t l o sf o n c t i o n s a s y m p t o t i q u e m e n tp r e s q u e - p e d o d i q u e s m c r a c a d s c i p a r i s ，1 9 4 1 。 2 1 3 ：5 2 0 - 5 2 2 【2 】m f r e c h e t l e sf o n c t i o n sa s y m p t o t i q u e m e n tp r e s q u e - p e r i o d i q u e s m r e v s c i 1 9 4 1 ，7 9 ：3 4 1 3 5 4 【3 】w e e b e r l e i n a b s t r a c te r g o d i ct h e o r e m sa n dw e a k l ya l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n s 1 v 1 t r a n sa m e r m a t h s o c ，1 9 4 9 ，6 9 ：2 1 7 - 2 4 0 【4 】c z h a n g p s e u d oa l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s m t h e s i s ，t h eu n i v e r s i t yo f w e s t e r no n t a r i o ，1 9 9 2 【5 】c h e a l m o s tp e r i o d i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m h i g h e re d u c a t i o np r e s s ，b e i j i n g , 1 9 9 2 ( i nc h i n e s e ) ： l - 2 4 6 【6 】k c o o k ea n dj w i e n e r r e t a r t e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp i e c e w i s ec o n s t a n td e l a u s j j m a t h a p p l 19 8 4 ，9 9 ：2 6 5 - 2 9 7 【7 】m s h a ha n dj w i e n e r a d v a n c e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp i e c e w i s ec o n s t a n ta r g u m e n t d e v i a t i o n s i n t e m e t j m a t h s o c 19 8 3 ，6 ：6 71 7 7 0 i s s b u s e n b e r ga n dk c o o k e m o d e l so f v e r t i c a l l yt r a n s m i t t e dd i s e a s ew i t hs e q u e n t i a l - c o n t i r a l o u s d y n a m i c s i nn o n l i n e a rp h e n o m e n ai nm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s m a c a d e m i cp r e s s ，n e w r k 1 9 8 2 ，1 7 9 - 1 8 7 【9 】a r a f i a b i z a d e h , j w i e n e ra n dj m x u o s c i l l a t o r ya n dp e r i o d i cs o l u t i o n so f d e l a yd i f f e r e 彤i a l e q u a t i o n sw i t hp i e c e w i s ec o n s t a n ta r g u m e n t m p r o c a m e r m a t h s o c 19 8 7 ，9 9 ：6 7 3 - 6 7 9 1 0 1k c o o k ea n dj - w i e n e r as u r v e yo f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hp i e c e w i s ec o n s t a n ta r g u m e n t l e c t u r en o t e si nm a t h e m a t i c s m ，v 0 1 1 4 7 5 ，s p r i n g - v e d a g , b e d i n 1 9 9 1 ，1 1 5 【11 】j w i e n e r g e n e r a l i z e ds o l u t i o n so f f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m w o r l ds c r e n t i f i c 1 9 9 3 ：2 5 3 1 【1 2 】c c o r d u n e a n u a l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n s m c h e l s e ap u b l i s h i n gc