（应用数学专业论文）一些非线性发展方程精确解的研究.pdf

北京化t 大学硕一i ：学位论文 一些非线性发展方程精确解的研究 摘要 非线性发展方程在很多领域都有很重要的作用，对这类方程的求解是 一个热门的研究课题，当今国际与国内有很多的学者在从事这方面的研 究。对各种线性偏微分方程的求解，如波动方程、热传导方程、位势方程、 麦克斯威电磁场方程等，已经有了有效的解决方法。但是，由于非线性理 论极为复杂，对于非线性方程的求解还很困难，而叠加原理对此不成立， 傅立叶级数展开、拉普拉斯变换而又都不适用，所以一般只能用数值方法 求解。对于非线性偏微分方程一般很难求得方程的精确解，而且目前这方 面的研究还不是很多。因此研究此类非线性方程的求解很有必要。 本文正是以非线性发展方程的行波解为基础，探讨了几种重要的求解 精确解的方法，并求出一些新的非线性发展方程的孤立波解和精确解。具 体主要完成了以下两方面的工作： 一、分析比较了s i n e c o s i n e 方法、扩展的s i n e c o s i n e 方法的优缺点， 并应用扩展的s i n e c o s i n e 方法研究了如下几个非线性发展方程： k 1 e i n g o r d o n 型方程、r l w 型方程、b o u s s i n e s q 型方程、k d v 方程的第 一种变化型、k d v 方程的第二种变化型、k d v 方程的第三种变化型、以 及k d v 方程的第四种变化型。本文运用扩展的s i n e c o s i n e 方法成功的得 出了它们的紧孤立子解，所得的解不仅囊括了一些已知的解，而且还包含 一些新的精确解。 二、分析比较了s i n e c o s i n e 方法和t a l l l l 方法的优缺点，并应用t a m l 方法求解了如下几个非线性发展方程：b o u s s i n e s q 型方程、修正的 b o u s s i n e s q 方程组、5 阶的b o u s s i n e s q 、多孔介质方程以及f i s h e r 方程。 之所以选择这几个方程，是因为目前对这几个方程的研究和求解还没有后 者比较少，所以十分有意义。本文运用t a n l l 方法，通过一些必要的变换 以及利用数学软件的辅助计算来处理复杂的代数运算，不仅首次得到了许 多新的精确解，而且还将所能求解方程的范围推广到了更高阶。 北京化工大学硕上学位论文 关键词：非线性发展方程，t a n h 方法，s i n e c o s i n e 方法，行波解，精确解 i i 北京化t 人学硕l ：学位论义 t h er e s e a r c ho fe x a c ts o l u t i o n sf o rs o m e n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s a b s t r a c t t h en o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o ni s v e 巧i m p o r t a n ti nm a n ya r e a s ， s o l v i n gt h e s ee q u a t i o n si sa l w a y sap o p u l a rr e s e a r c hs u b j e c t n o w a d a y s ，m a n y s c h o l a r sa r ei n t e r e s t e di nt h i sp r o b l e m l o t so fe 硒c i e n tm e t h o d sh a v eb e e n p r o p o s e dt o s 0 1 v et h e l i n e a rp a r t i a l e q u a t i o n s ， s u c ha sw a v ee q u a t i o n s ， h e a t c o n d u c te q u a t i o n s ， p o t e n t i a le q u a t i o n s a n dm a x w e nf i e l de q u a t i o n s h o w e v e r ，b e c a u s eo ft h ec o m p l i c a t i o no ft h ei l o n l i n e a rt h e o r y ，i ti sn o te a s yt o s o l v et h e s ee q u a t i o n s t h ep 订n c i p l eo fs u p e 叩o s i t i o n ，t t l ef o u r i e rs e r i e se x p a n d a n dt h el a p l a c et r a n s f o mm e t h o da r en o ts u i t a b l ef o rs 0 1 v i n gn o n l i n e a r e q u a t i o n s s ow eu s u a l l yu s et h en u m e r i c a lm e t h o dt os o l v et h e s ee q u a t i o n s g e n e r a l l ys p e a b n g ，i t sd i f ! e i c u l tt o 丘n dt h ee x a c ts o l u t i o n sa n dt h e r ea r ef e w r e s e a r c h e so nt h i ss u b j e c tc a nb ef o u n d ，s oi t sv e 叮a t t r a c t i v et os t u d yo nh o w t os o l v et h en o n l i n e a re q u a t i o n s t bg e tt h et r a v e l i n gs o l u t i o n so ft h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，w e s t u d ys o m ep o w e m lm e t h o d sf o rs o l v i n gt h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s f i n a l l y w eo b t a i nm a i l yn e ws o l i t a 巧s 0 1 u t i o n sa n de x a c ts o l u t i o n s f i r s t l y w e c o m p a r et h ea d v a n t a g ea n dt h ed i s a d v a m a g eb e t w e e nt h es i n e c o s i n em e t h o d a n dt h ee x t e n ds i n e - c o s i n em e t h o d t h e nw ea p p l yt h ee x t e n ds i n e c o s i n e m e t h o dt ot h ef o l l o w i n gn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s ：t h ek l e i n g o r d o n t y p e e q u a t i o n 、t h er l w - t y p ee q u a t i o n 、t h eb o u s s i n e s q t y p ee q u a t i o n 、av a r i a n to f t h ek d v e q u a t i o n 、as e c o n dv 撕a n to f t h ek d v e q u a t i o n 、at h i r dv a r i a n to ft h e k d ve q u a t i o na n daf o u r t hv a r i a n to ft h ek d ve q u a t i o n b yu s i n gt h ee x t e n d s i n e c o s i n em e t h o d ，w eg a i nm e i rc o m p a c t o ns o l u t i o n ss u c c e s s 几1 1 y t h e r e s u l t si n c l u d en o to n l ys o m ek n o w nr e s u l t s ，b u ta l s os o m eb r a n d n e we x a c t s o l u t i o n s s e c o n d l y ，w ec o m p a r et h ea d v a n t a g ea n dt h ed i s a d v a n t a g eb e t w e e n i i i 北京化工大学硕上学位论文 t h es i n e c o s i n em e t h o da n dt h et a n hm e t h o d t h et a n hm e t h o di sa p p l i e dt ot h e f 0 1 l o w i n g n o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s ： t h e b o u s s i n e s qe q u a t i o n ， t h e m o d i f i e db o u s s i n e s q e q u a t i o n ，m e f i r ho r d e rb o u s s i n e s qe q u a t i o n ，p o m s m e d i u me q u a t i o na n dt h ef i s h e r se q u a t i o n s i ti sv e r ym e a n i n g 如1w es t l l d y t h e s ee q u a t i o n s ，b e c a u s er e s e a r c h e r sp a i n e dn oo rv e 巧f e wa t t e n t i o n so nt h e m b yu s i n gs o m en e c e s s a 巧t r a n s f o n n i n gt e c l u l i q u ea n dt h et a n hm e t h o d ，w e d e a lw i t ht h et e d i o u sa l g e b r a i cc a l c u l a t i o nw i t ht h ea i do fm a t h e m a t i cs o f h a r e a sar e s u l t ，w en o to n l yo b t a i nm a n ye x a c ts o l u t i o n s ，b u ta l s oe x t e n dt h e m e t h o dt os o l v ee q u a t i o n sw i t hh i 曲e ro r d e r k e yw o r d s ：n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ，t a n hm e t h o d ，s i n e c o s i n e m e t h o d ，t r a v e l i n gs o l u t i o n s ，e x a c ts o l u t i o n s 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：盗佳。丝 日期： 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文 的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北 京化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在上年解密后适用 本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授 权书。 作者签名：丛缒垄 日期： 坦星：垒：乞 导师签名：丝牡日期：吐上墨二 北京化工大学硕上学位论文 第一章绪论 非线性科学及其复杂性的研究是2 1 世纪世界科学研究和技术发展的主流之一。它 所关注的是复杂的相互作用。随着科学技术的发展，在自然科学和社会科学领域中广 泛存在着的非线性问题，越来越引起人们的关注。时至今日，非线性科学的研究范围 究竟有多大还没有共同的标准。从1 9 世纪末庞加莱( h p o i n c a r e ) 为非线性科学提出许 多新的思想理论和方法，非线性科学随着数学、物理学的进步已经经历了一个多世纪 的发展。近二三十年非线性科学由于计算机的广泛应用而更加繁荣起来，并且对众多 学科和技术应用领域产生了巨大的影响。 非线性现象广泛存在于自然界中，线性行为只是在平衡状态附近的近似结果。实 际的机械系统、电子系统、通信系统、自动控制系统、电力系统中都存在着各种非线 性因素，如电场力、磁场力等作用力的非线性、非线性本构关系等材料的非线性、电 子器件的特性的非线性等。因此，工程实际中的系统绝大多数都是非线性系统。在许 多情况下，线性理论并不能解释出现在非线性系统中的像自激振荡、参数振荡、多频 响应、超谐和亚谐振荡、内共振、跳跃、同步和混沌等复杂的现象，而这些实际现象 在现代工程技术中愈来愈频繁地出现。今天和明天的科学家和工程师，假如想切实分 析和有效地解决一些有一定难度的科学和技术问题，又想回避非线性科学、回避非线 性现象而仅仅囿于线性方法与“线性思维肯定是不可能的了。 1 1 非线性发展方程 实际上，真实的世界就是一个非线性的世界，线性方程只是对它的一种近似。 通 常物理学里的非线性发展方程包括非线性常微分方程，、非线性偏微分方程，、非线性差 分方程( 又称为非线性映射或非线性迭代，它通常是非线性常微分方程或非线性偏微分 方程的离散形式) 和函数方程( 一个函数自身或多个函数之间满足的一个函数关系式) 盘蟹 守。 非线性发展方程的一般形式为： 日t ( 五f ，“，掰，掰，材。，掰时，掰f f ，- ) = o ，七= o ，1 ，2 ，拂， ( 1 一1 ) 其中工= ( 工i ，x 2 ，x 3 ，工。) 是空间变量，f 是时间变量，“= ( “l ，“2 ，“3 ，”，) ， 北京化t 大学硕1 ：学位论文 “j ( x ，f ) 是未知函数，h 。是给定的函数关系，h ，”，表示“对x ，t 的导数，n ，j ，m 是自然数。 许多非线性发展方程都来源于物理和流体力学模型，例如著名的k d v 方程： f + 6 “，+ “。= 0 ，m k d v 方程：“，+ “，+ “。= 0 ，b u r g e r s 方程：“f + “，= 6 “曩，r l w 方程：“，+ “，= 施删等等。其中k o r t e w e 哥d ev r i e s 方程是最重要的一类展现了孤立 波现象的发展方程之一，它是由k o r t e w e g 和d e e s 在研究浅水波的运动时得到的。 1 2 非线性发展方程的研究现状 对于非线性问题，除极个别情形外，都是求不出精确解析解的。过去，人们常常 采用丢掉非线性项即所谓的线性化方法来求解问题的近似解，这在一定程度上解决了 问题。但是随着非线性项的丢弃，必然掩盖了实际问题的一些现象，甚至可能是一些 重要现象，使人们无法了解其中的规律。例如自激振动就必须用非线性方程来描述。 因此，随着科学技术的迅速发展，人们越来越不满足这种状况。 自4 0 年代以来，许多科学家从事非线性问题的研究，目前非线性问题已为人们普 遍关注。非线性问题的研究通常可归结为非线性发展方程来描述，因而如何得到它们的 精确解对研究相关的非线性问题非常重要。研究非线性问题的方法，大体上分为定性 和定量两类。所谓定性方法是指，在难以求出精确解的情况下，依据基础数学的理论 知识对解的适定性( 存在性、稳定性或唯一性) 分析研究。目前，这方面的研究成果 和文献非常多。 就定量方面而言，基本上有数值法和解析法两条路子。数值法通过差分、有限元、 边界元等离散化途径，将问题归结为求线性代数方程组的数值解。由于有强大的计算 机作后盾，此法在使用上很有效，应用非常广泛。但是人们仍然期望获得解析解，这 是因为：( 1 ) 对于数值法所得到的一大堆离散数据不便于分析研究，不能使人们清楚 地了解物理现象规律；( 2 ) 解析法给出了解的明确的表达式，可以方便地用于实际问 题的分析：如果没有解析法作依据，就无法克服计算中的各种困难，甚至无法判断所 得到的结果是否正确合理。 解析法是指利用各种手段求出问题的精确解析表达式或一定意义下的近似表达 式，目前已知的求解方法包括：试探函数法、摄动法u 峭1 、级数展开法、行波解、相似 变换和自相似解、特殊变换法等。一个求近似解析解的行之有效的方法就是摄动方法， 也称小参数法。我国力学界早就开始研究和应用摄动方法，在摄动方法的研究方面也 有着重要的贡献。在 1 6 忡对摄动方法做出了详细的讲解。 2 北京化丁人学坝j j 学位论义 1 3 求非线性发展方程精确解的研究现状和主要成果 一般来说，求出方程( 1 1 ) 的所有解是不可能的，这是因为在求解的过程中附有一 些约束条件，由于方程的非线性性，求解线性方程所用的很多方法如线性积分变换、 迭加原理等大都不适用。因此，通常所说的求解是求方程( 1 1 ) 满足一定的初( 边) 值条件 或约束条件的特解，而孤立波解和相似解是最具代表性的特解。能否求出非线性发展 方程的解，在很大程度上取决于是否有切实可行的求解方法，所以求解和求解方法的 发展构成了精确解研究中的一个有机整体。 求非线性发展方程的精确解是一个极具挑战性的问题。这些精确解的得到能够帮 助物理学家和工程技术人员更为精确的研究波的传播规律和检验数值解的精确度。多 年来，许多数学家和物理学家已经做了大量的工作，但是由于非线性发展方程的极度 复杂性使得大量重要方程无法求出精确解或即使能够求出，也需要运用很多的技巧， 至今尚无一个普遍适用的方法，因此，具有重要物理意义的新解还有待于进一步构造 和发现。值得庆幸的是，经过多年不断的努力，数学家和物理学家发现在孤立子理论中 有一系列构造精确解的有效方法，至今比较成功的系统求解的方法主要有散射反演法 、h 沛t a 方法哺1 、b 犯l 【1 u n d 变换法1 和齐次平衡法。其中散射反演法核心是将非线性 发展方程转化为三个线性方程求解；h i r o t a 方法和b 沁k l u n d 变换法是建立不同方程的 解之间联系或同一方程不同解之间联系的一种变换方法；齐次平衡法又称拟解法，是 最近求解非线性发展方程孤波解的一种有效方法，可用其求解一大批非线性发展方程。 在这些方法影响的基础上人们得到了一批新的具有更为丰富的形式的精确解。 近几年来发展起来的求解非线性方程的逆算符方法一a d o m i a i l 方法u 俨埔1 又称为分 解法，也得到广泛的研究和应用。它是由美国数学家g e o r 西ea d o m i a l l 提出和发展起来 的一个有效的求解线性、非线性数学物理方程的近似解析解的数学方法，其特点是适用 范围广，计算过程简单，收敛速度快，对处理强非线性问题既不需要借助线性、摄动、 迭代或简化模型方程等途经，也不需要数值方法( 如差分法、有限元法、边界元法等) 。 分解法的基本精神主要包含三层意思：一是把一个方程的真解分解为若干个解分量之 和，设法分别求出各阶解分量，然后让这些解分量之和以任意所需的高精度逼近真解； 二是把整个方程恰当地分解为若干部分，主要按照算符分解为线性、非线性、确定及 随机性各部分。原则上可以任意地分解，但要讲究技巧，如所选的确定项线性算符是 北京化工大学硕一l ：学位论文 可逆的，从而易于求得该线性算符相应方程的部分解，然后利用己知初值或边值条件， 从中设法找出方程中的其余部分解与部分解之间的关系。最主要的是，使其中高阶解 分量只取决于低阶解分量，以便可以由低阶分量按一定规则推出任意高阶解分量。三 是对非线性方程中最重要的非线性项( 函数) 提出巧妙的方法，产生一个与其等价的 多项式，用一个特殊的有规律可求的多项式替代非线性函数，即a d o m i a n 多项式。该 多项式只由前面低阶的解分量及非线性函数来共同确定。 基于上述类似的思想，近几年来出现了许多简单且适用性强的求解方法，例如 s i n e c o s i n e 方法，扩展的s i n e c o s i n e 方法等1 8 ，2 沪4 2 3 新的求解方法不断涌现? r o s 胁a u 和h y m a n 等人心副研究了一类广义k d v 方程，即k ( m ，n ) 方程： + ( “) ，+ ( “”) 。= o ， 聊 o ，1 刀3( 1 2 ) 并且介绍了一系列带有紧支集的孤立波解，他们称之为紧孤立波解。这种解在有限区 间外为o ，是一种比孤立波还要强的局部行波解且具有类似孤立解的性质，如碰撞后波 形不变、没有能量损失。由于孤立波解在应用中的重要作用，已经引起了广泛的研究， 越来越多的人开始研究孤立波解以及寻找求解孤立波解的有效方法，例如 1 8 3 2 。 w a z w a z n 卵中给出了非线性色散方程k ( m ，n ) ： “，一 ”) ，+ ( “) 。= o ，删 l ，刀 1 ( 1 - 3 ) 孤立波形式的精确解。w a z w a z 瞳叩又研究了非线性色散方程k ( m ，n ) ： 辑+ ( 掰) ，+ ( 拓“) 。= o ， 珑 1 ，嚣 1( 1 4 ) 并且得到了新的带有紧支集结构的特殊孤立波解。在文献 1 8 2 0 ， 2 2 2 7 的研究中 还揭示了非线性色散可以压缩孤立波并产生出带有有限波长的孤立子。 w a z w a z n 7 1 中，作者考虑了如下几个问题： ( i ) e i n g o r d o n 型方程：“盯+ 口 ”) 。+ ( “”) 一= o ( i i ) r l w 型方程：“，+ 铡，一 ”) 缸= o ( i i i ) b o u s s i n e s q 型方程：“疗一“。一( 肿1 ) 曩一 “( “”) 。 。= 0 ( i v ) k d v 方程的第一变化型：“，+ 口 肿1 ) ，一 “ ”) 。】，= o ( v ) l 姐v 方程的第二变化型：+ 口 肘1 ) ，+ 陋4 ) 。】，= 0 ( v i ) k d v 方程的第三变化型：吩+ 鲫0 ”) ，+ 阻( 掰”) 。 ，= 0 ( v i i ) k d v 方程的第四变化型：“。+ 伽”“。+ “。】，= 0 他在以往的研究成果的基础上，用s i n e c o s i n e 方法，即先假设方程的解的形式为： r 一 ，、j 欠s i n p ( x c f ) 】) ，i 工一c fl 竺， “协，f j21 lo ，其他， 4 北京化工人学硕f ：学位论文 或 毗力：扣c o s l 从卜甜) 】) ，卜甜i 云， io ，其他， 然后将该假设解代入要求解的方程，通过方程中各项的系数可以得到一个代数方程组。 求解该代数方程组即确定假设解中的各未知参数，从而得到了方程的具有紧支集和非 紧支集结构的解。 尚亚东口门提出了一种新的称为扩展的s i n e c o s i n e 的方法，并用这种方法研究了非 线性色散方程。他的主要思想是假设方程具有如下形式的行波解： “( x ，f ) = ( 孝) = q ( v ( 纠， 善= 石一甜 其中，口，( f = 0 ，1 ，2 ，n ) 是待定常数，v ( 善) 满足非线性常微分方程 v 一老= 占伍万，咖咄 然后通过对原方程做适当的变换，将该假设解代入原方程，通过比较同阶项确定口，的 值，进而来求解方程。 这也是一种简单而又有效的求紧孤立波解的方法。在【2 1 】中，尚亚东用该方法得 到了许多新的特殊孤波解。目前寻找非线性发展方程的孤波解已成为孤立子理论中的 一个十分活跃的研究领域，不断有许多新的研究成果的产生。 此外，w m a l f l i e t 口硼1 中提出的t a l l l l 方法也是一种应用便捷且适用性极强的数值方 法。这种方法的基本思想是基于绝大多数有物理意义的非线性方程的孤波解都可以表 示成t a n h 函数的多项式形式。所以这种方法的主要思想是假设方程的解的形式可以表 示为 “( x ，f ) = “( 孝) = q 】r 7 善= 石一甜 其中】，= t a i l h ( 肜) ( 或c o t h ( f ) ) 。同样通过将该猜测解代入要求解的方程，匹配各阶系 数来确定出未知参数m ，口，o = 1 ，2 ，m ) ，c 等。本文将会在第三章详细介绍该方法的 理论思想和应用。运用该方法可以将微分方程求解问题转化为代数方程求解，进而沟通 了与微分方程的联系，因而可以将其应用到一大批非线性发展方程的求解。 总之，求非线性方程的精确解已经是一个热门的研究课题，目前国际与国内有很 多的学者都在从事这方面的研究。虽然非线性发展方程求解方法各种各样，但目前尚 5 北京化工人学硕十学位论文 无一本专著能够论述精确解的所有方法，新的求解方法还在不断出现。 1 4 本文的主要工作 本文主要运用现有的孤立子理论和方法，如s i n e c o s i n e 、扩展的s i n e c o s i n e 方法和 t a n h 展开方法等，研究一些具有重要物理背景的非线性发展方程，在已有工作的基础 上，寻找它们新的孤立子解及其精确解： 在第二章中，本文简要介绍和分析比较了s i n e c o s i n e 方法和扩展的s i n e - c o s i n e 的 基本思想。并将扩展的s i n e c o s i n e 方法应用在w a z w a z n 7 1 中所涉及的七个非线性方程 的求解中。通过对一些非线性发展方程作行波变换以及一些变换技巧的运用，并借助 数学软件的辅助计算功能来处理复杂的运算，本文成功求解了所研究的方程。所得的 精确解不仅涵盖了w a z w a z n 刀中的结果，还包含了许多得出的新解。 在第三章中，本文详细介绍t a i l l l 方法的基本思想和重要应用，并简要比较了t a l l l l 方法和s i n e - c o s i n e 方法的优缺点。特别是本文用t a i l h 方法研究了几个具有特殊形式， 且目前还没有相关研究或者研究甚少的方程，即： ( i ) b o u s s i n e s q 型方程：“f f 一“囊+ ( “2 ) 。“糊= o 伍雌胁一s q 方程 麓羔嚣 ( i i i ) 五阶的b o u s s i n e s q 方程：“f + “觥+ 1 0 “工“属+ 1 0 甜“脚+ 2 0 “2 “，= o ( i v ) 多孔介质方程：辑= ”) 盥+ ”) ， 以及 ( v ) f i s h e r 方程：甜，= 甜。+ ( “”) ，+ “( 1 一”) 所以对它们的求解非常有意义。通过做一些必要的变换和数学软件的辅助计算，本文 巧妙便捷地解决了当t a n h 方法中的m 值是分数时的情形，并求出了许多以上非线性方 程的新解，而且将可被求解的多孔介质方程的范围推广到了更高阶。 6 北京化t 人学硕 ：学位论文 第二章用扩展的s i n e c o s i n e 方法求解非线性发展方程的紧孤立 波解 本章中将详细讨论扩展的s i n e c o s i n e 函数展开方法在以下的非线性发展方程中的 应用： ( i ) e i n - g o r d o n 型方程：”。+ 口 ”) 。+ 6 ”) 一= 0 ( i i ) r l w 型方程：“，+ 伽，一 “) 时= o ( i i i ) b o u s s i n e s q 型方程：“玎一“。一( “肘1 ) 。一 “( “”) 。】。= o ( i v ) k d v 方程的第一变化型：蚝+ 口 肿1 ) ，_ “似4 ) 。】，= o ( v ) k d v 方程的第二变化型：+ 口( “胂1 ) ，+ 【“”( “) 。 ，= 0 ( v i ) k d v 方程的第三变化型：坼+ 伽( “) ，+ 掰似”) 。】，= 0 ( v i i ) k d v 方程的第四变化型：咋+ 伽”“，+ 【“”“。】，= 0 并求得了它们的孤立波解。在 17 】中w a 删a z 用s i i l e c o s i n e 也研究了如上七个方程的求 解，本章中得到的解不仅包含许多w 删a z n 7 1 中的解，还包括许多新的紧孤立波形式的 解。 下面首先介绍一下惭a z n 7 3 中提出的s i n e c o s i l l e 方法和尚亚东盟门中的扩展的 s i n e - c o s i n e 方法。 2 1s i n e c o s i n e 方法和扩展的s i n e c o s i n e 方法 扩展的s i n e c o s i n e 方法是一种特殊的s i n e c o s i n e 方法，所以用它可以得到更多丰 富的s i n e c o s i n e 形式的解。但是它的适用范围依旧没有s i n e c o s i n e 方法广。在本章的 第六节将通过对b o u s s i n e s q 方程的求解，来具体给出这两种方法的比较。 2 1 1 s i n e c o s i n e 方法 考虑非线性发展方程： 尸( “，材，“f ，“矗，“可，“，f ，) = o ， 其中p 是关于变元“，“，“，“。，“埘，“”，的多项式。 为了找到行波解，设 7 ( 2 1 ) 北京化工人学硕 ：学位论文 “( x ，f ) = “( 孝) ，善= x c f ( 2 - 2 ) 其中c 表示波速。在此基础上，使用如下变换： 昙一丢，嘉暑，昙= 壶，昙= 暑 c 2 瓦一c 琵，萨- c 虿，瓦2 琵丽2 万 坦弓) 将( 2 2 ) ，( 2 3 ) 代入方程( 2 1 ) ，进而方程( 2 1 ) 可以简化为： 尸( “，“，“。，) = o ， ( 2 4 ) w 删a z 2 1 3 中提出了名为s i n e c o s i n e 的方法，这种方法的基本思想是假设方程 ( 2 4 ) 具有如下的形式的孤立波解 吣：卜矾肌刊) ) ，i x 叫i 吾， ( 2 - 5 ) i o ，其他， 或 吣： ( 枷( 工一酬) ，i x 叫i 寿， ( 2 6 ) i o ，其他， 此处以( 2 6 ) 为例，令f = x c f ，从而可得 “( f ) = 五c o s 卢( 孝) ， 翟三篆笺删纠。廊 协7 ， ( “”) f = 一力珊s i n ( 孝) c o s 妒叫( 卢喀) ， “) 拦= 一刀2 2 2 刀c o s 印( 孝) + ，彬2 肛矿( 刀一1 ) c o s 妒一2 ( 孝) ， 将( 2 7 ) 代入到要求解的方程( 2 4 ) 中，匹配同阶系数，从而可以确定( 2 7 ) 中的 未知系数旯，进而可以得到方程( 2 _ 4 ) 的s i n e 或c o s i n e 形式的解。 2 1 2 扩展的s i n e c o s i n e 方法 尚亚东瞳提出的s i n e - c o s i n e 方法基本思想是假设行波约化后的非线性常微分方程 ( 2 4 ) 有如下形式的解 “( f ) = “( 工，f ) = 口( 纠， ( 2 8 ) f = o 其中口，( 滓o ，1 ，2 ，n ) 是任意常数，1 ，= v ( 善) 是一个满足如下一阶常微分方程的待定 函数 北京化t 大学硕上学位论文 ，：尝：f 厮，口，6 尺，g ：1 ( 2 9 ) a 芒 。 平衡常数n 可以通过分析首项来选择。将( 2 8 ) ， ( 2 9 ) 待入方程( 2 4 ) ，可以得 到一组关于口，口，6 ，后，缈的非线性代数方程组，通过使用m a t h 锄a t i c a 或m a p l e 等数学 计算软件，可以求解这些方程组。对于方程( 2 9 ) ，可以得到它的如下七种形式的基 本解： ，( 伊伽1 1 1 1 拓( 孝+ 舢口 0 ，6 啪= 1 ， ( 2 - 1 0 - 1 ) v ( 伊三s i n 历( 孝吲，训，6 o 户l ， ( 2 1 0 - 2 ) y ( 伊三c o s 历( f 圳，”啪 o ，占= 1 ， ( 2 1 0 5 ) 1 ，( 孝) = c ts i n 历( 孝+ 彘) + c 2c 。s 伍( 善+ 彘) ， ( 2 1 0 6 ) 口= o ，6 o ，6 = o ，占= 1 ， ( 2 1 0 7 ) 其中彘是一个任意实数。通过对( 2 8 ) 式和以上七个基本解的应用，可以得到非线性 方程( 2 1 ) 的精确解 2 2j e 线性k i e i n g o r d o n 型方程的精确解 首先考虑一维的非线性c i n g o r d o n 方程： “+ a ”) 盯+ ”) 一= o ， 口， o ( 2 - 1 1 ) 其中口，是任意的常数，”( x ，f ) 表示未知的函数。 对方程( 2 1 1 ) 引入行波变换啦d = 以0 ，善= x d ，则有 c 2 “嚣+ 口( “”) 曩+ ( “”) 瞄= o 对方程两边积分两次，并取积分后所得常数项为o ，可得 9 ( 2 1 2 ) 北京化工大学硕士学位论文 c 2 “+ a ”+ ( “”) 。= o 为求解方程( 2 1 3 ) ，使用如下变换： 上 “( f ) = ( 伊( 孝) ) ”1 将( 2 1 4 ) 代入方程( 2 。1 3 ) ，可以得到 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) c 2 南m 缈告+ 啬妒( 艄卅羔伊川舻0 ( 2 彤) 一一2 方程两边乘以伊( 孝) ) 川，可以化简为 咖( 绀们绀啬( m 孙啬础眺) o ( 2 1 6 ) 下面我们使用扩展的s i n e c o s i n e 方程来求解方程。首先设方程( 2 16 ) 有如下形 式的解 缈( 孝) = 口o + 口1 1 ，( 孝) ( 2 1 7 ) 其中y ( 善) 是方程( 2 - 9 ) 的解，将方程( 2 1 7 ) 代入( 2 1 6 ) ，可以得到如下代数方程组： c 2 口一。2 口+ 番口1 2 删， 幽t 砌以口+ 羔印t 脚， 印。2 州高+ 高 口1 2 6 一o ， 为了得到非奇异的解，令q 0 。求解方程( 2 - 1 8 ) ，可得 ：一旦，6 ：一哗，口，：士j 哗( 2 - 1 9 ) ” 口( 以+ 1 )以2 1 ( 力+ 1 ) 口d 夕 这里，口 o ，口 0 ，c o 是任意常数。 结合方程( 2 1 0 2 ) ，( 2 1 0 3 ) ，( 2 1 4 ) 、( 2 1 7 ) 以及( 2 1 9 ) ，可求得如下的解： 1 0 北京化工人学倾17 学位论文 “( x ，f ) = “( z ，f ) = “( 工，f ) = “( x ，f ) = ( 志n s i n t 居等”卅制产 一志摆刊吲蒜腰 协2 。， 其他 ( 志计s i n c 居孚卜叶洲产 一焘店鲰叫蝴南店 协2 ) 其他 ( 蒜卜c 居等”叶驯r ， ( 蒜p 居等沪叶驯r 0 ，一 ”叶酬高佬 其他 ( 2 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) 其中( 2 - 2 0 ) 、( 2 - 2 1 ) 是用扩展的s i n e - c o s i n e 得到的新解，解( 2 - 2 2 ) 、( 2 2 3 ) 则包含了w a z w a z 在 1 7 中得到的解。 他万i 其 一、，竺棚2 一 磊 北京化工火学硕t 学位论文 2 3 非线性r l w 型方程的精确解 考虑一维的r l w 方程 “f + 口( “”) 。一( “”) 船= o 口 0 ( 2 2 4 ) 其中掰“f ) 是未知函数。类似于以上的分析，通过行波变换可将方程( 2 2 4 ) 转化为 一c “f + 口似”) f 一( 甜“) 搿= o 对方程两边积分，并取积分后所得常数项为o ，可得 ( 2 2 5 ) 一洲+ 伽“一( “”) 菇= 0 ( 2 - 2 6 ) 与以上的分析方法相同，此处假设方程( 2 2 6 ) 具有如下形式的解 l “( f ) = ( 缈( f ) ) ”1 p ( 孝) = 盘o + 口1 1 ，( 孝) 将方程( 2 2 7 ) 代入( 2 2 6 ) 可以得到 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 一c 而卅叩飞) + 斋烈删舭鲁 洲锄。_ o ( 2 2 9 ) h 一2 上式两边同时乘以矽州( 孝) ，可得 吖艏) + 叩2 ( 卅南( m 孙三孵) ( 孵矿- o ( 2 - 3 0 ) 将( 2 - 2 8 ) 代入( 2 3 0 ) ，可得一组有关口o ，q ，口，口，6 ，c 的代数方程组 强+ 口；口+ 南口i ! 删， 吖”2 印- 卅斋哪肛。 砰高+ 志卜。 1 2 ( 2 3 1 ) 求解方程( 2 3 1 ) ，可得 口02 ，z c 北京化t 大学硕一 ：学位论文 口( 胛+ 1 ) 6 = 一 ( 甩一1 ) 2 口 口l = ( ，z 一1 ) ( 以+ 1 ) ( 2 3 2 ) 其中，口 o ，口 o ，c o 是任意常数。结合方程( 2 1 0 2 ) ，( 2 1 0 3 ) ，( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) 以及( 2 3 2 ) ，可以得到如下四组周期解， “( x ，f ) = 掰( 石，f ) = “( 石，f ) = 0 ， ) * 叫居等旷卅 万万 2 ( ，l 一1 ) 、上r i h 3 ，l 万 2 ( 玎一1 ) ( 蒜) s i n 2 c o ， 咖t 层字”卅 等c h 眍( 卜卅耶蒜 其他 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) c舻 一j 剃 、j 妇彘 一、， l “n 一玎 一，l 一口 ，_ - | 川 、lrj 彘 一- c 一+刀一胛 一，l 一口 ，l 上 、，j 1 j、， 北京化- 丁大学硕上学位论文 ( 蒜 c o s 2 c 层等沪叶钔，r 忙- c r 肛南后 q 3 6 其他 其中解( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 是本文中得到的新解，而解( 2 3 5 ) 、( 2 3 6 ) 则包含了w 删a z 1 中得到的解。 2 4b o u s s i n e s q 型方程的精确解 本节将考虑如下b o u s s i n e s q 型方程的精确解 “盯一“。一( “”+ 1 ) 。一 “( “”) 曩】。= o ( 2 3 7 ) 与以上分析方法相同，对方程( 2 3 7 ) 作行波变换并积分，可将方程( 2 3 7 ) 简化为 ( c 2 1 ) 一“”一( “”) 彭= 0 此处假设方程( 2 3 8 ) 具有如下形式的解， l “( 孝) = ( 伊( 孝) ) ” 和 伊( 孝) = 口o + 口1 y ( 孝) 将( 2 3 9 ) ，( 2 4 0 ) 代入( 2 3 8 ) 中可得 求解方程( 2 4 1 ) 得， k 聋嚣 = c 2 1 ，6 = 一1 ( 2 3 8 ) ( 2 - 3 9 ) ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) b o 时，c 是任意的实数，满足口。+ 口。石= o 的实数，因此可得如下具有紧支 1 4 集结构的周期解 “( 石，f ) = ( x ，f ) = 北京化t 人学顾1 ：学位论文 三l ( c 2 1 ) ” 1 + s i n ( z c f + 磊) i 一三驰刮蝴等 ( 2 - 4 3 ) 其他 1 1 ( c 2 1 ) “ 1 一s i n ( 石一c f + 彘) i 一等筇叫三 其他 2 ( c 2 1 ) s i n 2