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摘要 插值和拟合方法在织物染色配色中的应用研究 摘要 本文针对织物染色配色问题，运用同以往配色不同的数学方法对该问题进行求 解，即从织物染色的配色特点和颜色的混合理论出发，对配色过程中相关问题进行 分析与抽象，并提取主要影响因素，建立了一个基于织物染色的计算机配色模型。 然后在分析印染企业基础数据的基础上，运用插值法得到了单色染料染制小样的 c m y 值与该单色染料的浓度之间的关系。在使模型取得最优解的情况下，得到了 对应的配色系数，并拟合得到染料的各配色系数与参与配色的染料浓度之间的关 系，从而使问题得到了求解。接下来对模型进行验证，最后对模型进行误差分析。 从本文建立的配色模型得出的结果看，该模型在很大程度上能够反映出染料的配方 浓度与小样的c m y 值之间的关系，从而表明了模型的正确性。 本文第一章从研究计算机配色的背景和意义写起，依次对计算机配色的分类、 理论基础以及对各种配色理论进行了概述，然后介绍了基于数学建模方法的计算机 配色的主要操作步骤。第二章主要介绍了配色中使用染料的命名规则及染料的选 择，使我们对染料拼色时的特性有一个大体的了解。本文的第三章重点讲述了三种 不同求解问题的方法插值法、最优化方法和曲线拟合法，为以后求解数学模型 打下了一个基础。从第四章开始，本文进入到了织物染色配色问题的详细处理阶段， 通过建立数学模型并求解数学模型，使问题得到解答。 通过本文的研究，表明了用建立数学模型的方法对配色染料的浓度问题进行求 解是可行的，为织物染色的计算机配色提出了一个新途径。同时，也为织物染色配 色问题提供了新的理论参考，具有一定的理论研究和实际应用价值。 关键词：目标函数；多项式插值；非线性回归；曲线拟合；配色系数 青岛大学硕士学位论文 r e s e a r c ho n a p p l i c a t i o no fi n t e r p o l a t i o na n df i t t i n gm e t h o di nc o l o r m a t c h i n gf o rt e x t i l ed y e i n g a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ep r o b l e mo fc o l o rm a t c h i n gi nt e x t i l ed y e i n gw a sd i s c u s s e db yt h e u s eo fm a t h e m a t i c a lm e t h o d s ，w h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h eo n e su s e db e f o r e t h a ti s ，f r o m t h em a t c h i n gc h a r a c t e r i s t i c si nt e x t i l ed y e i n ga n dt h ec o l o rh y b r i dt h e o r y , s o m ep r o b l e m s r e l a t e dt oc o l o rm a t c h i n gw e r ea n a l y z e da n da b s t r a c t e d e x t r a c t i o no ft h em a i nf a c t o r s c r e a t e dap r e l i m i n a r yc o m p u t e rm a t c h i n gm o d e lb a s e do nt e x t i l ed y e i n g t h e no nt h e b a s i so ft h ea n a l y s i so ft h ed a t af r o m 由e i n ge n t e r p r i s e ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e c m yv a l u eo fs a m p l ef r o mo n ep i g m e n ta n dt h er e c i p ew a sp r e d i c a t e db yu s i n g i n t e r p o l a t i o nm e t h o d s i nt h ec a s eo ft h eo p t i m a ls o l u t i o no ft h em o d e l ，t h eh o m o l o g o u s m a t c h i n gc o e f f i c i e n t sw o u l db ea b t a i n e d t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ev a r i o u sm a t c h i n g c o e f f i c i e n t so fs e v e r a ld y e s t u f f sa n dt h er e c i p ei n v o l v e di nc o l o rm a t c h i n gw a sf i t t e d , a n d t h ep r o b l e mo ft h ew h o l em o d e lw a sa n s w e r e d n e x t , t h em o d e lw a sv e r i f i e d f i n a l l y , t h e e r r o rw a sa n a l y z e d t h er e s u l to fv e r i f i c a t i o ns u g g e s t st h a tt h em o d e lc a nr e f l e c tt h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nd y r e s t u f fc o n c e n t r a t i o na n dt h ec m yv a l u eo ft l l es a m p l e t h u s i ti s c o n c l u d e dt h a tt h em o d e li sc o r r e c t i nc h a p t e rlo ft h i sa r t i c l e t h es t u d yo ft h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c ea b o u t c o m p u t e rc o l o rm a t c h i n gw a sf i r s tr e f e r e d t h e nt h ea r t i c l ei n t r o d u c e db r i e f l yt h e c l a s s i f i c a t i o no fc o m p u t e rc o l o rm a t c h i n g , t h et h e o r e t i c a lb a s i sa n dav a r i e t yo fc o l o r t h e o r i e s n e x t ，i tr e c o m m e n d e dt h em a i ns t e p sa b o u tc o m p u t e rc o l o rm a t c h i n gt h a tw o r e b a s e do nm a t h e m a t i c a lm o d e l i n g c h a p t e r2d e s c r i b e dt h en a m i n gr u l e so fd y e sa n dt h e c h o i c eo fd y e s ，w h i c hm a d eu sh a v eag e n e r a lu n d e r s t a n d i n go ft h ec h a r a c t e r i s t i co ft h e u s e dd y e s i nt h i sp a p e r , c h a p t e r3f o c u s e do nt h r e ed i f f e r e n tw a y sm i n t e r p o l a t i o n ， o p t i m i z a t i o na n dc u r v ef i t t i n gt os o l v et h ep r o b l e r r t t h u s , i tl a i daf o u n d a t i o nt os o l v ea m a t h e m a t i c a lm o d e l f r o mt h eb e g i n n i n go fc h a p t e r4 ，t h ep a p e re n t e r e di n t oad e t a i l e d s t a g et od e a lw i mt h ep r o b l e mo fc o l o rm a t c h i n gi nt e x t i l ed y e i n g m a n yp r o b l e m sw e r e s o l v e dt h r o u g ht h ee s t a b l i s h m e n to fm a t h e m a t i c a lm o d e la n ds o l u t i o no ft h e m a t h e m a t i c a lm o d e l i tc o n c l u d e st h a l 吐l i sm e t h o do fm a t h e m a t i c sm o d e l i n gi sf e a s i b l et ow o r ko u tt h e r e c i p eo ft h r e ek i n d so fd y e s t u f f s t h em e t h o dd i s c u s s e di nt h i sp a p e rw i l ll e a dan e w a p p r o a c ht oc o m p u t e rc o l o rm a t c h i n gi nt e x t i l ed y e i n g a tt h es a m et i m e ，i ta l s op r o v i d e s an e wt h e o r yr e f e r e n c ea b o u tt h ep r o b l e mo fc o l o rm a t c h i n gi nt e x t i l ed y e i n ga n dh a sa c e r t a mp r a c t i c a lv a l u e k e yw o r d s ：o b j e c tf u n c t i o n ；p o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o n ；n o n - l i n e a rr e g r e s s i o n ；c u r v e f i t t i n g ；m a t c h i n gc o e f f i c i e n t 2 青岛大学硕士学位论文 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。文中 依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法律意义上 已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的论文或成 果。 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果。 论文作者签名： 辅日期：刀哆年多月莎日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学校。 学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。本人离校 后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为 青岛大学。 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明。 不保密彤 ( 请在以上方框内打“4 一) 论文作者签名 导师签名： ：牟蔚 厶睇j 日期：卅年舌月分日 日i l i l ：知叶年月孚日 ( 本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及任何个人不得擅自使用) 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究计算机配色的背景和意义 在我国，纺织印染、油漆涂料、陶瓷、塑料及印刷等行业的配色工艺过程大都 沿用传统的人工配色方法。即：依靠配色人员的经验和知识，在接到标样后，对样 品的颜色目测观察、分析，根据以往的经验选择配色用的染料，确定几组配方，再 用这些配方染制小样，同时比较小样与标样间的颜色差异，对配方进行调整。随着 新材料、新染料的不断涌现，人造光源层出不穷，这使得现代配色问题变得更加复 杂，人工配色已不适应现代技术的发展。因此，计算机配色逐渐发展起来。 计算机配色技术的发展大致经历了5 0 多年的历程n 1 。从三十年代国际照明委员 会( c i e ) 确定了x ，y z 三刺激值色度体系开始，到k u b e l k a 和m u n k 发表了光线在 不透明介质中吸收和散射的双常数理论，建立了反射率和着色剂浓度的关系，再到 四十年代美国氰胺公司提出的求解拼色时染料浓度的方程式。到了五十年代末，第 一台模拟式专用计算机c o m i c 诞生，计算一个配方约需1 5 分钟。六十年代，数字 计算机的发展圳使得能够代客配色服务。八十年代初，计算机配色技术开始走向低 谷，之后由于生产批量小、配色工作加重又告复兴。八十年代中期，计算机配色技 术在我国印染行业备受关注阻。如今，我国中型以上的纺织印染企业大都配备了计 算机测配色系统，而且取得了良好的应用效果。 利用计算机对织物进行染色配色，克服了长期以来利用人工进行配色的许多缺 点和不足，使配色程序变得简单、易于操作。计算机配色能够提供合理配方、节约 成本、提高配色效率，而较精确迅速的修正功能更是人工配色不能比拟的。计算机 配色的发展给织物的染色配色问题带来了新生机，值得推广和借鉴。 1 2 计算机配色的分类 计算机配色大致分为色号归档检索、光谱拟合配色和三刺激值配色三种方式嘲。 下面对这三种配色分别作出解释。 1 色号归档检索 色号归档检索，顾名思义就是将色度值编号分类归档。具体来说是对以往生产 的品种按色度值分类后进行编号，并将染料处方、工艺条件等汇编成文件后存入计 算机，需要时凭借输入标样的测色结果或直接输入代码由计算机进行检索，将所有 色差小于指定值的配方输出。这种方法避免了长时间后色样褪色的问题，解决了大 本论文系国家自然科学基金资助项目( n o 6 0 7 4 3 0 0 4 ) l 青岛大学硕士学位论文 量储存实样的麻烦，使配色科学、全面，但对许多新的色泽往往只能提供近似的配 方，仍需凭经验调查。 2 光谱拟合配色 ( 1 ) 无条件等色配色 又名同谱同色配色，这里的“同谱指反射光谱相同，“同色一指颜色相同。 也就是对于任一产品如果其反射光谱与样本的反射光谱相同，就能达到最完善的配 色。光谱范围多指4 0 0 - 7 0 0 r i m ，a 入为2 0 r i m 。而“无条件一则是指要使配得的颜色 与某种指定的颜色有完全相同的反射光谱曲线这种理想匹配，在一切光源下任何观 察者都会肯定“匹配”、“等色 、“同色，是无条件的。 ( 2 ) 半条件等色配色 又名准同谱同色配色，这种配色先将来样的光谱反射率曲线求出，然后求出一 套拼色配方，按照此配方利用最小二乘法得到拼色小样的反射曲线，并使该反射曲 线逼近来样的光谱反射曲线。这种方法颜色虽然匹配得很好，但实际中很难做到。 3 三刺激值配色 三刺激值匹配配色是一种条件等色配色，即三刺激值是有条件的。首先，照明 条件要符合c i e 的几个标准；其次，观察者的配色特性要符合c i e 的标准。尽管配 色结果与来样的反射光谱并不相同，但是只要它们的三刺激值相等，就可达到一定 条件下异谱同色的目的。目前，它是计算机配色的主要方式。 1 3 计算机配色的基础理论 1 3 1 配色的理论基础一k u b e l k a - m u n k 理论 初始配方公式、色料混合物颜色的光学模型和调整配方算法是计算机配色的三 要素。其中，预测任何色料混合物颜色的光学模型是最重要的。各种色料的计算机 配色成功与否主要取决于所应用模型的精确度、实用价值和适应性。至今，应用最 广泛最普遍也最成功的光学模型是pk u b e l k a 和em u n k 于1 9 3 1 年提出的二光通 理论，即通常所称的k u b e l k a - m u n k 理论嘲n 】碡】【9 】。该理论的推导和应用完全基于以下 三个假设。一是关于折射率的问题，样品界面上的折射率必须是一定值。二是光线 在介质内运动时必须被足够地散射，以致成完全扩散的状态n 训。三是光线的运动方 向必须垂直于界面，或者向上或者向下。如图1 1 是k u b e l k a - m u n k 理论的示意图。 2 第一章绪论 i 婚d 。、t ， r i ( 1 一s - k ) d x 图1 1k n b e l k a - m u n k 理论示意图 根据这一理论，在一定染色浓度范围内，可以得到纺织品的染料浓度与分光反 射率之间的关系1 1 如下： 等= 坠2 丛小c1_(1)p 一= l - - _ - ；一= c ， 、 s r 。、1 ， 式中，p 表示可见光的反射率，k 表示不透明物体的吸收系数，s 表示不透明物体的散 射系数，c 表示染料浓度，k 是一个常数。公式1 ( 1 ) 为计算机配色的光学理论基础n 2 1 。 不过纺织品的实际情况未必都能遵守这些假定，特别是染料浓度高的深色织物，k s 值常常发生负的偏离。目前的仪器配色仍以使用u s 函数为主流。 1 3 2 色料混合公式配色理论 色料混合公式配色以光的反射和漫反射原理、色料的反射和吸收特性理论为基 础，因此配色要更加精确m 。当几种色料混合时，有如下关系： 足= 墨+ q k + 喁+ + 巳毛 卜( 2 ) s = 墨+ c l 墨+ c 2 s 2 + + 巳最 1 一( 3 ) 式中k 和s 为膜层总的吸收和散射系数，各色料的单位吸收系数和散射系数分别为 局，恐”墨和研，& 儡，基质的吸收系数和散射系数分别为五和& ，c l 、c 2 矗 为组成膜层的刀种色料的浓度，并且满足公式q + 乞+ + q = l 。由于混合色料的 反射率和颜色只与混合色料的相互比例有关，面与它们的绝对浓度无关，我们可以 采用一种简化思想在纺织品染色膜层中，不管染料配方发生什么变化，其散射 系数基本不变，并等于基质的散射系数们，将上述二公式1 - ( 2 ) 、1 - ( 3 ) 相除简化 后得到 等= 每心) l + 乞售) 2 + 州参 “4 ) 这种简化的原因是对于每个波长只需对应一个参数( 列s ) 来表征一种色料，而不是 3 青岛大学硕士学位论文 用k 和s 两个参数。简化后，再对多个波长处进行最小二乘法逼近，从而计算出各 色料的用量。 1 3 3 三刺激值配色理论 如前所述，玉淞值中的k 表示不透明物体的吸收系数，蹑示不透明物体的散射系 数。根据k u b e i k a 枷烈k 理论，髟阳蜞有加和性，即对于多种染料染制的纺织品， r d s f f 互可表示为x s - l + 窆墨l 肛。其* k o 、岛表示纺织品( 底布) 的吸收系数和散射 系数，飚表示纺织品( 坯布) 的吸收系数和散射系数。由式l 一( 1 ) 已知，磊淞值与染料浓 度c 成一定的线性关系。若在可见光范围内按照不同的波长测量一个点，对于多个染 料配色，可用一个通式n 5 表示。取几个不同的波长，代入通式将得到几个方程。将 这些方程组成一个方程组，就可以求出染料的浓度c 。此外，根据式1 ( 1 ) 可推导出不 同波长下可见光的反射率，从而求出染色色样的三刺激值x 、y 、z 。然后将通过计 算求得的色样的三刺激值x 、y 、z 与配色用的色料的三刺激值进行计算匹配，求出 各色料的用量。具体的计算公式如1 - ( 5 ) 所示。 1 - ( 5 ) 式1 - ( 5 ) 中x 、y 、z 代表三刺激值，a 、b 、c 为各种色料的用量。通过解x 、y 、z 样 色的方程组即可求得口、b 、c 。 实际生产中，三刺激值配色方式成为应用最普遍和最有实用意义的配色方法。 1 4 基于数学建模的计算机配色系统 深入分析计算机配色和织物染色的原理，得出织物布料样本的三拼色值与染料 浓度值之间存在的关系，是我们研究织物染色配色的核心问题。 运用数学建模的方法实现新的计算机配色，其主要的操作步骤为： 1 对织物染色配色过程的分析 织物在染色过程中，会受到各种因素的影响，整个染色工艺在选择上有严格的 要求 。其中染料浓度是一个重要的方面，除此之外还有助剂用量、光线、观察者 的角度以及温度等等n 。3 。由此可以看到，织物染色的配色过程影响因素众多，所以 我们在分析这一过程时一定要分清主要因素与次要因素，把对织物染色的次要因素 排除在外。 2 数学模型的建立 在对整个的染色配色过程进行分析之后，我们会提取出影响织物染色配色过程 4 + p 枷和，乙 _ c 卜 。托针线n 孙” ”“弘 麓一 剐 韧 卸 样 带 色 嘣 创k 第一章绪论 中的主要因素。这些主要因素将是我们建立的数学模型中的参数。数学模型不是原 型的复制品，而是为一定的目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学符号、公式、 图表、算法等刻画客观事物的本质属性与内在规律，是对现实世界的抽象、简化而 又本质的描述。现实对象与数学模型的关系如图1 2 所示。 图1 2现实对象与数学模型的关系 3 模型的求解与分析 对数学模型进行数学上的求解，使用解方程、图解、定理证明、逻辑推理等数 学方法，还有计算机技术的应用，从而得到数学建模目的所要求的结果。雨在织物 染色问题上，我们最想要得到的是染料配置什么样的浓度在混合之后才能够得到样 本所指示的颜色，所以求解的对象为染料的浓度。 模型分析是根据数学建模的目的要求，对求得的结果进行数学上的分析，利用 相关的知识结合实际对象的特点，或进行变量之间的依赖关系分析，或进行稳定性 分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。通过分析，如果数学模 型符合各种性能要求，可以再对模型进行评价、预测、优化等。对我们得到的染料 的浓度与实际样本的浓度相比较，如果两者之间的差别在一定的误差允许的范围 内，则用该数学模型进行配色具有可行性。 4 模型检验 模型分析符合要求后，求解得到的结果是否正确，要经过模型检验，检验它的 合理性和适用性，看它是否符合客观实际。模型检验的方法有两种：一是实际检验， 在客观实际中对模型进行检验，常用试验或实际对象提供的信息来进行检验：二是 逻辑检验，主要是找出矛盾，否定模型删。 以上四个问题，为本课题着力解决的问题。如何分析、如何建模、如何求解、 如何验证，将是织物实际染色配色问题与用数学方法解决染色配色问题的关键步 骤，解决了这四个问题，配色问题迎刃而解。 5 青岛大学硕士学位论文 2 1 染料的特性与命名 第二章染料 能够采用适当方法，使其它物质染成鲜明而坚牢色泽的有机化合物称为染料。 一般来说，染料溶解于水，更确切地说可溶于所应用的介质，或者经过处理后成为 分散状态而被应用。 染料可溶于水、油、有机溶剂等，分子内一般都含有发色基团和助色基团，具 有染着能力强、色泽鲜艳、色谱较齐全的优点。主要用于棉、毛、丝、麻、各种再 生纤维以及合成纤维的染色和印花，也可用于造纸、塑料、皮革、墨水、橡胶制品、 彩色照相材料、食品工业等方面各种纺织纤维的印染。作为纺织品所使用的染料除 应有鲜明的颜色外，还要对染着物具有良好的亲和力( 直接性) 和各项坚牢度，如： 耐水洗、耐皂洗、耐摩擦、耐光、耐汗渍、耐氯漂等。染料按应用性能可分为直接 染料、酸性染料、分散染料、活性染料、还原染料、阳离子染料、冰染染料和缩聚 染料等随。 染料绝大多数分子结构比较复杂，必须有专用的染料名称，来直接反映染料的 颜色和应用性能。通常染料名称由三部分组成，即冠称、色称和尾称，即三段命名 法。第一段为冠称，主要表示染料应用分类属于哪一类。第二段为色称，表示织物 用该染料染色后所得到的颜色名称。第三段为尾称，通常以一定的符号和数字来说 明染料的色光、牢度、性状、染色性能等。例如，活性艳红k _ 2 b p 染料，。活性 为冠称，艳红为色称，k 为高温型活性染料，2 b 表示偏蓝光的程度，p 表示适用于 印花。表明该染料为带蓝光的适于印花的高温型活性艳红染料。 2 2 染料的选择 染整工艺中，配色主要是指三原色染料按不同比例调合成样品颜色的过程，而 参与配色的所有染料中，活性染料表现出巨大的增长优势瞰1 。活性染料是指分子中 含有一个或一个以上的活性基团，在适当条件下和纤维发生化学反应，形成牢固共 价健的染料。活性基对染料的反应性、固色率、染色牢度和染色工艺条件等，起着 非常重要的作用，成为染料的核心部分。另外，活性染料色谱齐全、颜色鲜艳、匀 染性好、成本低廉、应用方便，被广泛应用于棉、麻、丝、毛、粘胶纤维、聚酞胺 纤维等许多纺织材料的印染，在工业生产中大量使用。 选择染料进行混合拼色时，应当选择上染速率相同、颜色不同且以一定的比例 混拼的染料。只有在组合中各染料的物理化学性能一致的前提下，才能使其适合于 6 第二章染料 光学理论。本文的试验样本取自印染企业，该企业的大多数产品采用活性染料对处 理后的棉纤维进行染色。所用的染料按成品颜色的中、深、浅色系分别为： 中色系：极品中三元活性红3 b s 、活性黄3 r s 、活性兰f b n 深色系：虹光深三元活性红c d - 3 b 、活性黄c d - r 、活性丈青c d 浅色系：京仁浅三元活性红s h f c a d 、活性黄s 皿f 4 g r 、活性兰s b r s 实际应用中，每种染料的用量常取决于其强度。染料强度高，染色力高，得色 浓：相反，染色力低，得色浅。要得到同一色泽，强度高的染料用量相对要少。 2 3 染料混合的原则 染料混合又称为非发光色混合，是由染料等光吸收介质的重叠而实现的，遵循 减法混色原则隧。根据k u b e l k a - m u n k 的染料混合理论，当几种染料混合时，总的 吸收与散射等于参与配色的各种染料的吸收与散射之和。也就是说，如果各种染料 之间不起化学作用，那么混合物的吸收系数和散射系数为参与配色的各种染料的吸 收系数和散射系数之和。染料混合时，白光照射在染料上，光谱的某些成分被吸收， 而其它部分被反射或透射，从而表现出某种颜色，每增加一种染料，都要从白光中 减去更多的光谱成分，所以染料混合后颜色变暗，遵循减法混色原理。 减法混色中，三原色通常采用加法混色的三原色r 、g 和b 所对应的补色，即 c ( c y a n ，青色) 、m ( m a g e n t a ，品红) 和y ( y d l o w ，黄色) 。如果有了青色、品红和 黄色这三种色彩，就可以生成所有的颜色，这就是色料的三原色。也就是说，如果 有了这三种色彩的吸光板，调节它们的浓度，就可以制成各种各样的色彩。将三色 重叠起来最暗的地方就是黑色。目前，减法混色广泛应用于彩色印刷、绘画、彩色 胶卷和纺织中。 7 青岛大学硕士学位论文 第三章计算机配色的数学基础 3 1 插值 3 1 1 插值法的产生及定义 在生产实践和科学研究中，常常会遇到大量的函数，这些函数相当一部分是通 过测量或实验得到的。虽然其函数关系) 鼍触) 在某个区间【口，6 】上是客观存在的，但 是却不知道具体的解析式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间【口，纠上一些 离散点上的函数值、导数值等，因此，希望对这样的函数用一个比较简单的函数表 达式来近似地给出整体上的描述。还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过 于复杂而不便于进行理论分析和数值计算，同样希望构造一个既能反映函数的特性 又便于计算的简单函数，近似替代原来的函数。这样，插值法就产生了。插值方法 成为寻找近似函数的方法之一。下面具体给出插值法的定义嘲。 设函数) 啾d 定义在区间【口，6 】上，x o , x l , x 2 , 是【口，6 】上取定的，升1 个互异点， 且仅仅在这些点处函数值弦坝砧为已知，要构造一个函数荆，使得 g ( x i ) - - v i , i = o , 1 ， 3 一( 1 ) 并要求误差币o 稚) 喀的绝对值i r ( x ) l 在区间p ，6 】上任意一点或整个区间【口，6 】上比 较小，即g ( x ) 较好地逼近贝砷。点x o , x b x 2 , 称为插值基点( 节点) 或简称为基点( 节 点) 。基点不一定按其大小顺序排列。【m i n 庐l ， ) ，删m ，如) 】称为插值区间。 删称为求插函数，荆称为插值函数。求俺) 的插值函数的方法称为插值法。 从几何上看，插值法就是求通过给定的时1 个点仇砧i = o , 1 ，的曲线俐， 并用它近似已知曲线y = j k x ) 。 3 1 2 插值法的分类 上面给出了插值方法的定义，用荆作为心的插值函数，除了要求荆在某些 意义上更好地逼近瓜动外，还希望g ) 是较简单的函数，或者便于计算机计算。用 g ( 力作为肛) 的插值函数的方法，通常又称为代数插值法。代数插值法主要包括多项 式插值、分段插值、三角插值、样条插值等随，而多项式插值又分为拉格朗日多项 式插值、牛顿多项式插值等，分段插值分为分段线性插值、分段三次埃尔米特 ( h e r m i t e ) 插值等。具体分类可以用图3 1 表示。 8 第三章计算机配色的数学基础 插值法 r 拉格朗日( l a g r a n g e ) 多项式插值 插值+ 牛顿( n 翻恤n ) 多项式插值 l 内维尔( n e v i l l e ) 迭代插值 h e r m i t e ) 插值 。广利用差分的n e w t o n 公式 8 l 高斯( g 觚鼯) 公式 广分段线性插值 值+ 分段h e n n i t e 插值 l 样条插值 图3 1 插值法的分类 3 1 3 几种插值法简介 3 1 3 1 多项式插值 设已知区间【口，6 】上的实值函数a x ) 在，什1 个相异点黾【口，b l 处的函数值y i = j ( x i ) ， i = o ，l ，要求估算出a x ) 在0 ，6 ) 中某点x 的值。在上述插值法定义中用g o ) 去代 替a x ) 作为其近似值，如果插值函数荆是次数不超过甩的代数多项式，即形如 g ( x ) = a o + a l x + 切f 的多项式( 口i 为实数) ，就称g o ) 为插值多项式，相应的插值法称 为多项式插值法嘲。 要求插值函数酬，就是要确定代数多项式g o ) 确切一埘中的n + 1 个待 定系数a i ( i = o ，l , - - - , n ) ，由公式3 一( 1 ) g ( x i ) = y i 可得方程 l 口o + a l x o + 巴+ x ；o = y o j 口o + 口l 五+ 口2 群+ 耳= 乃3 - ( 2 ) i ； ； l a o + q 而+ 呸+ = 方程3 - ( 2 ) 的系数矩阵为a ，则行列式 d e t ( a ) = 瑶瑶 五芹茸 毛霹露 3 - ( 3 ) 是范德蒙特( v a n d e r m o n d e ) 行列式。当翮芦l ， 互不相同时，行列式3 ( 3 ) 的值不 为零，方程3 一( 2 ) 有唯一解。这表明当n + 1 个节点互不相同时，插值多项式稍是 存在且唯一的。 插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日插值多项式，另一个 是牛顿插值多项式。 9 青岛大学硕士学位论文 拉格朗日插值多项式鲫。 设函数删在区间【口，6 】上有定义，且已知在点a 匀c o x t 础上的值 肋挑，奶，若存在一个次数不超过力的多项式厶l 锄+ 口l 什切使其满足 l 力( x j - - - y k ( k = o ，1 ，一) ，则称厶t 为m ) 的刀次插值多项式。 由基本插值多项式可以得到满足插值条件l - 铆( x k ) - - - - y k 的刀次插值多项式，形如 l ( x ) ：杰f ( x 1 ) ，l ( x ) = 杰厂( h ) n 导 3 一( 4 ) 称3 ( 4 ) 为拧次l a g r a n g e 插值多项式。 牛顿插值多项式嘲： 利用均差可构造n e w t o n 插值多项式。 设工是插值区间【口，6 】上的一点，由x o ，x 作一阶均差得到厂k ，司；丛掣，移 项后得到( 玲号触b m 翔州( x - x o ) ，令n o ( x ) - j ( x o ) 称o 为函数艄的零次插值多项式。 增加一个点x i ，做二阶均差，得厂i 孙 ，：卜列童二逍移项后，整理可得到 j ( x ) = j ( x o ) + j x o , x l 】似询) + j x o , x i , x 2 ( x - x o ) ( x - x o ，令l 瞬b 卜j x o , x d ( x - x o ) 。依次类推 可以得到n ，即： n 怵阿歹1 】似勒w l 规】恤功) l 卜翔，矗】仁粕) ( x - x m 1 ) 其j x o ，。列称为函数删关于点勒芦i ， 的n 阶均差，满足以下关系： j t x o 芦l 函】- ( 巾 - 2 ，卜j x o ，x h - - - o l 】) ( 而1 ) 3 。1 3 2 分段插值 若插值函数g 为分段的多项式，则相应的插值法称为分段插值法。 分段线性插值随： 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线线段连接起来逼近火力。设已知区间 【口，6 】上的，件1 个节点a = x o x l - 6 上的函数值盼吼砧( i = o ，l ，) ，作一个折线 函数职) 满足： ( 1 ) 砸) 是区间【口，6 】上的连续函数； ( 2 ) i ( x ) - - y i ( i = o ，1 ，问： ( 3 ) g ) 在每个小区间阮x i + d 上是线性多项式。 则称聃为厂的分段线性插值函数。 分段三次埃尔米特( h e r m i t e ) 插值随： 分段线性插值函数在节点处的左右导数不相等，因而是间断的，使得，不 够光滑。若在节点嗣( i = o ，l ， ，1 ) 上除已知函数值y i 外还给出导数值，把节点两两 分段，在每一个小段上构造一个导数连续的三次h e r m i t e 插值，得到一个分段三次 h e r m i t e 插值函数同，满足： ( 1 ) 日在区间【口，6 】上具有一阶连续导数： 1 0 第三章计算机配色的数学基础 ( 2 ) 满足插值条件：- ( x i ) = y i ，f ( 毛) = 一( i = 0 ，l ，一； ( 3 ) 在每个小区间阮，x i + l 】( i = o ，l ，力，月是三次多项式。 则称日为的分段三次h e r m i t e 插值多项式。 3 1 3 3 样条插值 1 9 4 6 年舒恩伯特( s c h o e n b e r g ) 首次把样条曲线引入数学中，提出了“样条函数一 这一概念。而今样条函数作为现代数值分析中的一种重要的计算方法，已经应用到 逼近论、数据拟合、数值微分、数值积分等求解中。样条函数插值是具有收敛性和 稳定性以及较高光滑性的插值方法，其中最常用的是三次样条插值方法洲。 定义：给定区间p ，6 】的一个分划a ：a = x o x l 0 ，求一初始可行点一n ，令拓l ，转到( 2 ) 。 ( 2 ) 确定指标集地僻，) = f l g 舡 = o 。 ( 3 ) 若砸? i 却( 空集) ，且l f v 胴临s l ，计算结束，取，= i ；若聊却，但1 1 v l l s l ，令反；v 胴，转到( 6 ) ；若j 却，转到( 4 ) ； “) 在上面的线性规划问题中，令萨p ，求出其最优解b ，瓦1 。 ( 5 ) 若i i i 2 ，计算结束，取，= j 固；否则令d 庐玩，转到( 6 ) 。 ( 6 ) 求出线性搜索问题 ? 髭鼍0 的最优解k ，其中k 矿锄越圳斗碱s ， 令1 坍槭，k = - k + l ，返回( 2 ) 。 1 5 青岛大学硕士学位论文 3 3 曲线拟合 由上述已知从大量数据纯川) ( 间，1 ，m ) 中寻找其函数关系删的近似表达式 尸p ，要求插值曲线严格通过每一个点，即在插值点处的误差为零。但由于实验数 据不可避免的带有误差，甚至是较大的误差，曲线过所有的点会保留数据的误差， 因此，不必要求近似函数y 叩过所有的点，即满足p ( x i ) = v i ( i = o ，l ，m ) 而只要求其 误差r i - - p ( x i ) - y i ( i = o ，1 ，m ) 按某种要求最小，以反映原函数整体的变化趋势，消除局 部波动的影响，这就是曲线拟合问题，这样的函数俐称为拟合函数。 3 3 1 数据的最, j 、- - 乘拟合 在科学实验的统计方法研究中，考虑近似函数荆同所给的一组实验数据点 似砧( i = o ，l ，m ) 的误差，i 印“) 啦( i = o ，1 ，m ) 大小，通常采用误差平方和妻2 来度 量误差n ( i = o ，l ，m ) 的整体大小嘲。 关于最小二乘法的一般做法酬是：对给定数据似i y i ) ( i ：0 ，l ，m ) ，在取定的函数 类m 中，求p ，使误差r i = p ( x i ) - y i ( i = o ，1 ，m ) 的平方和最小，即 彳= 【p ( 而) 一m 】2 = m i n t = o1 = 0 从几何意义上讲，就是寻求与给定点似j ，i ) ( i = o l ，m ) 的距离平方和为最小的曲 线尸纠”( 如图3 4 ) 。函数p 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数施) 的方法 称为曲线拟合的最小二乘法。 图3 4 最小二乘法曲线 3 3 2 多项式拟合 假设给定数据点似j 七) ( i = 0 ，1 ，m ) ，为所有次数不超过月仍5 加) 的多项式构成的 函数类，现求一多项地( x ) = 口o + a t x + + + a a x = 吼矿o 使得 j ：至 只( 而) 一m 2 ：主f 妻，一乃1 2 m i a 3 一( 5 ) 1 6 第三章计算机配色的数学基础 称为多项式拟合嘲，满足3 ( 5 ) 式的p d x ) 称为最小二乘拟合多项式。特别地当n = l 时，称为线性拟合或直线拟合。 3 。3 3 拟合优劣的判定 样本数据的散点图可用于估计总体拟合曲线。根据最小二乘法，使得所有观测 值( x ，与拟合线距离的平方和最小的拟合线就是最优拟合线。拟合的优劣有一系 列的判断参数：均方差( r m s e ) 、残差平方和( s s e ) 、相关系数皿) 、决定系数( d c ) 、 修正的决定系数( a d j u s t e dr - s q u a r e ) 、卡方系数( c l l i s q u a r e ) 和f 统计腰一s t a t i s t i c ) 等。 均方差( r m s e ) ：均方差又称“标准差”，指统计学上各单位标志值与平均数离差 的平方之算术平均数的平方根。它是测定标志变动度的主要指标，可用来描述概率 分布与其数字期望的离散程度，故能反映平均数的代表性。均方差的值越小，则平 均数越具有代表性。其公式为m 嬲：f 妻( 丐一i ) 2 厶。其中溉表示第i 个元素，以为样 本容量，i 为所有元素的平均值。 残差平方和( s s e ) ：拟合直线上的估计值与实际值( 观测值) 的离差平方和。它反 映了因变量中不能被最d , - 乘拟合线解释的那部分差异的大小。残差平方和越小， 表明拟合的程度越好。 相关系数：变量之间相关程度的指标，通常用r 来表示。其取值范围为一l 到+ l ，表示两个变数间相关的密切程度和性质。r 的绝对值愈大表示两个变数愈 密切；当r 取负值时表示两个变量间呈负相关；当r 取正值时表示两个变量间呈正 相关。 决定系数( d c ) ：表示因变量能够被自变量解释的程度，