（应用数学专业论文）一类多维非线性抛物方程解的存在性与blowup.pdf

哈尔滨1 + 程大学硬+ 学位论文 摘要 本文研究以下非线性抛物方程的初边值问题 蚱- a u ，= o r 肋 ) 日( ) ，x q r 0 ( 1 ) - i 1 4 l ，1 0 = u o ( x ) ，x q ，t 0 ( 2 ) u l m = 0 ，t 0 ( 3 ) 解的存在性其中，q c r “为适当光滑的有界域，c 为得到问题( 1 ) 一( 3 ) 整体广义解的存在性及唯一性，对盯。( 5 ) ( 1 fsh ) ，f ( u ) 做如下假设 ( i ) q ，f c ，3 k ，使卤( s ) = 盯。( s ) - k s - o r , ( 0 ) 非减， ( ：)3 , 4 ，a 。及口 o ，使4 l s l 4s l 盘( s h a l s l 4 ( q ) 3 b ，b y o r ，使- - i f ( u ) i 0 ( 1 ) i = l 材i ，。o = u o ( x ) ，x f 2 ，t 0( 2 ) “l = 0 ，t 0( 3 ) qcr ”i sap r o p r i a t eb o u n d e dd o m a i na n d 厂c a n dt h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o ni se s t a b l i s h e d w h e n 盯，0 ) ( 1 i 疗) ，厂似) s a t i s f y ( h 1 )o r ，f c ，3 k ，s a t i s f y 参( s ) = 盯，( s ) 一k s 一盯，( 0 ) i sn o td e c r e a s i n g f u n c t i o n 。 ( 日2 )刊，a i a n d o r o ，s a t i s f ya i 阿协( j ) l a l s l 。 ( 日3 )3 b ，b ia n d ，s a t i s f yi 厂( “) i 8 1 1 7 + b w h e r e 1 y 0 或在0 点的右侧某个有限区间存在对于线性方程来说，例如热传导 方程，只要初值适当光滑。其初值问题的解也必具有适当的光滑性，而且对 于，0 解是整体存在的，但对非线性方程来说情况则不同，一般地，非线性 抛物方程初值问题的整体古典解通常只能在时自j ，的一个局部范围中存在， 即使对于充分光滑的初值也是如此：相应地，解的爆破( b l o w - u p ) 有时也指代 “整体不存在性”即“解的最大区i 8 j 是有界的”尽管后者的概念在某种意义 下更宽泛一些，是指解在有限时问内会失去正则性，产生奇性( 解本身或某些 导数趋于无穷) 偏微分方程的基本问题之一是研究各种初边值问题的解的存在性，而退 化的和其它奇性的方程一般都不具有古典解，s o b o l e v 空间引入为求解初边 值问题提供了有效的途径研究这类方程的第一步就是选取适合于方程特点 的s o b o l e v 空间或其它类型的函数空例来定义广义解，在远为广泛的函数类 中寻求方程的解，比直接求古典解容易的多如果在这样选取的函数空间中， 解不仅是存在的而且是唯一的，那么这就是一个理想的函数空问在得到弱 解后，在进一步讨论这些解是否具有更高的光滑性，是否也是古典解，这就 是所谓的萨则性问题无论是从理论上还是从应用上总是希望能找到使解唯 一的最弱的函数空自j ，同样也希望知道解最好的萨则性如何，函数空| 日j 的选 取还用于对各种逼近问题作必要的先验估计，也是进一步研究解的性质的基 础研究解的整体存在性的意义是非常明显的，对一些重要的方程的解的整 体性念( 例如解的稳定性等) 的研究以及有关的数值求解方法的讨论，都要以 解的整体存在性为前提 解的爆破理论首先是在上世纪四、五十年代s e m e n o v 链式反应，绝热燃 烧和爆炸理论的研究中提出的自七十年代起，随着气体动力学、激光核聚 变和燃烧等领域的深入研究，非线性发展方程解的爆炸理论引起了研究者的 极大兴趣解在有限时刻爆破是指解或其某些导数的某种范数在有限时问变 成无界的，经典意义下的爆破是指逐点爆破现在仍然没有完整的一般化理 哈尔滨i 稃人学硕十学付论文 论，但是对于各类特定的模型都有了许多相应的研究和绪论，现今爆破理论 仍然是一个有发展空| 日j 的课题最典型的爆破模型是 “一= u ”，工r ”，f 0 u ( x ，o ) = u o ( x ) ，工r ” 2 0 世纪6 0 年代，f u j i t a 对这个模型做了丌创性的工作，其中p 1 ， 为维l a p l a c e 算子他的兴趣在于非负解对于固定的时日j f 在无穷远处的 衰减性，从而初值是非负的，且非线性项有定义，他证明了如下结果：定理 ( 9 ) p c ( n ) = 1 + 亩 ( a ) 如果i 0 时刚的存 在性和， 0 后某个有限区问的存在性在一般的文献中，用“爆破”来指 “全局非存在性”，即表示“解的极大存在区i 日j 是有限的”而“有限时| 日j 爆破”意指解或解的导数在有限时l 日j 内，在某个范数意义下变成无界事实 上，古典意义下的爆破是指“逐点爆破”，即解在空i 日j 区域的某点处无界( 如 果区域是无界的，可能也包括无穷远处的点) 让我们回到上述爆破问题在这之后，关于此结果有了进一步研究首 先当不存在整体解时，解实际上是逐点爆破的其次，人们的兴趣在于具有 很小初值的情形，实际上l e v i n e 在 1 中证明了只要初值u o ( x ) 很大，满足 嘉i l l u ( ：+ i ( 地 孤卧t l o ( 埘d x 则对于任意时问都不存在整体解( 即u “n h ) ，其中。 v ，= c 岳去，寺 哈尔滨i w - 人学硕十学仲论文 在定理( f ) 中，p c ( n ) 叫做爆破问题的临界指数( 当p 2 + 口，无需要对u ( x ，0 ) 加以进一步的限制就能得到一个非负的全局解： 而对于2 p l 时解在怕“( q ) 中衰减行为和长时间性，在特征值下讨论系统的动力 行为及在h i ( q ) 的拓扑之下，迸一步研究紧全局吸引子的存在性f 由于非 经典扩散方程广泛出现在非牛顿流体土壤力学、热传导和渗透流理论等领域， 因此它有极为重要的应用价值，从而引起国内外的数学、物理及生物工程方 面的工作者的广泛关注 ct r u e s d e l la n dwn o l ltwt i n g 及jcp e t e ra n dmeg u r t i n 在 5 3 中，对项。及一般的a ( x ，t ) a u ，的背景作了详尽解释，文 5 4 结合r i e m a n 哈尔滨- 程大学硕十学位论文 函数与压缩映像原理，研究方程 “埘+ u 脚= f ( x ，t ，“，u 埘) 的初边值问题古典解存在唯一性问题，以及对任意维湿气迁移方程 口9 ( x ，t ) u 一。，+ 包( 鼻，t ) u 叫+ c ( x ，t ) u - = f ( x ，t ，“，d u ，d 2 ) 在初边值条件下，利用二阶椭圆的结果，结合压缩映像原理解决了解的存在 唯一性及光滑性，且在特别情形下讨论一类解的渐进性和b l o w - u p 文 5 4 及 5 5 研究方程 a 4 x x t c u f = d ( x ，t ) u + e ( t ) u ，+ f ( t ) u 。+ q ( x ，t ) + a ( t ) x 及更一般的方程 a ( t ) a u ，一c ( t ) u ，= g ( u ，功+ e ( x ，t ) v u + f ( x ，t ) a u 边值问题在解存在唯一下，讨论其解渐进行为和b l o w u p 现象，得到了相应 问题的新结果 文 5 6 研究了一类半线性热方程的初值问题 “，一a u = u 7 驴 1 ) u ( x ，o ) = 妒( r ) 非负古典解与上，解的整体存在性，非存在性与b l o w - u p 首先，利用归一化 的高斯函数得到了一些新的解的非整体存在的充分条件，这些条件对古典解 与解是普遍适用的；然后又讨论了某些非负整体解的存在性本文不但得 到了一些新的结果，而且还简化和统一了某些已知的结果总之，目前的研 究取得了很大的成果m “m u ，为进一步研究提供了坚实的理论基础 文 5 7 中，刘亚成用g a l e r k i n 方法研究了多维非线性s o b l e v g a l p e r n 方程的初边值问题 q - a u 。= o r ，( ) 。 j l i z ，i f l 0 = 甜o ( x ) 甜i m = 0 及相应的初值问题，并做了假设，而当一( s ) ( 1sf 盯) 有界时，存在唯一整体 强解还证明了非负初边值解的非负性，讨论了解的渐近性质及b l o w u p 8 哈尔滨t 稃大学硕士学位论文 郭柏灵与苗长兴在文献 5 8 中研究了方程h ，一a u ，= ( 甜) + d i v o ( u ) 的 初边值问题，为了得到此问题的整体2 9 强解的存在性，他们要求f ( u 1 满足 如下增长条件 l 厂( 甜) i 彳l 甜j 7 + 占，1 ， 0 ( 卜1 ) 甜l f 。o = “o ( x ) ，工q ，r 0 ( 1 2 ) 甜 = 0 ，f 0 ( 卜3 ) 的初边值问题其中，q c r ”为适当光滑的有界域，f c 本文主要结果 如下：为得到问题( 1 - 1 ) 一( 1 - 3 ) 的整体广义解的存在性和唯一性，对 q ( s ) ( 1 i 厅) ，f ( u ) 做如下假设 ( h 1 )仃，f c ，3 k ，使子。o ) = 盯，( s ) 一缸- - ( 7 ，( 0 ) 非减， ( h ：)拟，a 1 及口 o ，使a , i 1 4 i 舌o m 爿f 爿4 ( 日，) 3 b ，且及，使l 厂 ) i b 川7 + 且 其中 l ， o o ，珂= 4 1 ，s 刍41 这里，女，4 ，a 。，b ，b 。及口，均为常数，而当盯j ( s ) ( 1 i 玎) ， ) 有界时， 存在唯一整体强解本文还证明了对应非负初边值解的非负性，讨论了解的 渐近性质及b l o w u p 对一维情形，考虑了更为广泛的边界条件，证明了只 要盯( j ) ，厂( “) 下方有界，即可得到整体强解的存在唯一性，并详细讨论了 解的光滑性 9 哈尔滨f 科人学硕+ 学仲论文 本文中t 用”表示p ( q ) 模，f ( q ) 模又简记为”8 ，wk , p 模用”忆，表 示及( ”，v ) = 量u v d x 1 0 f l 合尔滨i 拌人学硕十学竹论文 第2 章问题( 1 1 ) ( 1 3 ) 广义解的存在性及正则性 2 1 整体广义解的存在定理 非线性发展方程的未知函数都是空间变量j 与时| b j 变量f 的函数而一 般柬说，x ，f 在方程中的地位是不同的，如可微性与光滑性的要求是不同的， 所以应该引进相应的函数空| 日j 以适应各种需要。 定义1 设q c r ”，0 t o o ，is p ，1 g o o ，则 l q ( o ，7 ；( q ) ) = f 。，圳r 恻b 。，础 m 且删，= ( 眠讲础) i 定义2 设q c r ”，0 t ，1 p o o ，则 r ( o ，丁；( q ) ) 2 “( 一t ) le s s 。s u ；p ，l l 叱( n ， 且1 1 1 1 t 。，。n ”2 ：e s s 。s ：u ，；p ，l l “0 ，t n ， 定义3设q c r ”，0 t s0 0 ，k2 1 ，1 p c o ，1 g ，则 ( o ，t ；w ( q ) ) = i ( 上，t ) lj ：匕。，。，讲 m j 且陋幢，。= ( f 陋l 1 。，斫) ； 定义4 设q c r ”，0 t 0 0 ，k 1 ，1 p o o ，贝0 r ( o ，t ；w t ”( q ) ) = u ( x ，t ) le s ss u p ，n ， 0 s ，s ， 且删舢朋n ，2e 船罂m n ， 哈尔滨i 群人学硕十学竹论文 定义5 设q cr ”，0 t o o ，所1 ，1 蔓p ，q 0 0 ，姐) 表示“对f 的f 阶 广。义导数，则 “4 ( 0 ，t ；l ( q ) ) = u ( x , o i l q ( o ，r ；( q ) ) ，0 s ，m 且m 吖；m 。= 羔i - - 0 i i o ：“i i ， 定义6 设q c r 4 ，0 0 1 。u ( x ，f ) p ( o ，丁；何：( q ) n 4 “( q ) ) ，“，( x ，) r ( o ，丁；硝( q ) ) 2 。对一切审( x ，) c ( 【o ，】；剜( a ) n w k “( q ) ) ，成立 【( “，妒) + ( v “，v 妒) + ( 仃，( “_ ) ，吼) + ( 厂( “) ，妒) 】斫= 0 3 。“k = u o ( 工) 于：( q ) nw 。”。( q ) 取圳( q ) n w 4 “( q ) 的一组基 ( 工) ) ，设问题( 1 一1 ) 一( 卜3 ) 的近似解为 ( x ，f ) = 口( ，) q ( 工) n = 1 , 2 ， 其中q ( 工) 为问题一a c a s = 乃q ，珊，k = 0 的特征函数系已知 ， 在( q ) 中构成f 交完备系，由g a l e r k i n 方法，口，。( ，) 应满足如下非线性常微分方程 组的初值i 口j 题 哈尔滨卑人学硕十学侍论文 * ，。) + ( v “ 擘，v a j ，) = 一( o r ，( “ ) ，) + ( ( ”) 彩，) j = i n n t 0 ) = a f n ( 2 1 ) ( z - z ) 为应用先给出 h 6 l d e f 不等式如果l p - o ，1 p ，1 + ! ：1 ) 舯锄= 路扣龆丽格+ 器眦 积分，即得 说明：h l i l d e r 不等式对于多个函数情形可以推广，如 若“( x ) ”( q ) ，v ( x ) ( q ) ，w ( 工) u ( t u ) ，一1 + 一1 + ! ：l ，贝q j 。u v w d x - o ，则有 哈尔滨i 稃人学硕十学付论文 a f t ) c t e 2 。c 。e 2 7 0 f t 引理2 1 设仃，( s ) ( 1 i ”) ，( ”) 满足 ( i ) ，( 2 ) ( 工) n o ( n ) n w 。4 “( q ) ，并选取a ，使“。( z ，0 ) 一”o ( x ) 于 ：( q ) n w 岫“( q ) ，则有估计 胁m i l 2 + h i l 2 矽r 巨善n 0 只( 冲z l l v ”e 3 0 s ，t ( 2 3 其中f ( s ) = r 一( z ) d z 本文如e ，m ，邶，等均为与无关的常数 证明将( 2 1 ) 乘口0 ( f ) ，对s 求和可得， ( 甜m ，甜m ) + ( v f ，v u ，) = 一( o - ，( “ ) ，“帆，) + ( 厂( “) ，酣肿) 即得 i i , “, 1 1 2 + i i v “m i t 2 + 丢喜n 胁帆协 = ( f ( u ) ，。) i f f ( f ( u ) ，u ，) 用h f l d e r 不等式得 i l u “, 1 1 2 + i i v u “, 1 1 2 + 暑喜l 诒帆烤 s 扣蚶+ m + 脚讲h u s 吉i i v “。8 2 + m + 三。厂( “，) 2 + 三l k 。0 2 l hf ( u 。) 的连续性知i 似。) j j 有界，则对，积分得 ：【扣m 卜扣mu 2 肼+ 喜f n 胁帆皿 1 4 呤尔滨f 。群人学硕十学位论文 s n f o 盹( o ) 胁+ m ： 由( 何) ，( 峨) 可得4 h ”1 f o ) h “。，从而 j n f ( “帆( o ) ) 出- c4 0 1 “。，( o ) r 出c 。n $ 1 由此即得 ：( 川1 2 + i v 。阻r e 。 喜n 聊帆胁竭 又山 脚帆r 出三l 帕帆皿 可得 0 v u 0 。+ l 局0 ，t 定理2 1 设正( s ) ( 1 i 茎聆) ，厂0 ) 满足 ( 1 ) ，( ：) ，“。( 工) h o ( n ) n w l 4 “( q ) ，则问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 存在整体广义 解u ( x ，t ) 证明由仃，f ( u ) c 知，问题( 2 一1 ) 一( 2 2 ) 存在局部解，又出引理 0 ，( 2 - 1 ) ，( 2 - 2 ) 存在【0 ，t 】上的整体解。( 工，) 由引理( 2 1 ) ， 缸。 于r ( o ，t ；4 ( n ) n w 驯( q ) ) ，缸。 于l 2 ( o ，丁；：( q ) ) 分别有界，故存在 u ( x ，) 及扛。( x ，f ) ) 的子序列( 仍记为) 如。( x ，) ) ，使 “( 工，) _ u ( x ，f ) 于 r ( o ，t ；1 4 o ( n ) n 缈“+ ( q ) ) 弱叫叟敛， m ( x ，f ) 一，( x ，) 于 2 ( o ，疋h g ( q ) ) 弱收敛 又由 哈尔演i 。稃人学硕十学何论文 n p 帆) l 了a + l 出爿i a + l 0 卜帆r 出c 。船， 知e 似) j 于p ( o ，7 ；( q ) ) 有界，从而存在石( _ ，) ，使 占， ) 一z 于r ( o ，t ；l “( q ) ) 弱叫芟敛 义f ( u 。) 有界， f ( u 。) 一( “) 弱收敛 二j ：( 2 - 1 ) 两边同乘任一( ，) c ，对s = 1 , 2 ，n ( n ) 求和，对l 积分 令n - 4 , 0 0 取极限可得 n ( 妒) + ( v v 伊) + ( ，吼) + 窆正( o ) l 吼出+ ( 厂( “) ，伊) 协 = 一窆1 ：眈，织。边( 2 - 4 ) f 、 o 对v 妒中= d ，( t ) c o 。( x ) ，从而对v 妒中= u m 成立，从而对妒= 也 t 恤i jt l 成立。即有 2 j ：( zu x j ) d r = l i 甜( o ) 1 1 2 + l l v 甜( o ) 1 1 2 一i i , ( r ) 1 1 2 一l i v “( r ) 1 1 2 2 窆吒( o ) j ：l 出击一2j ：( ) ，“) 击 ( 2 5 ) 由仃。( s ) 单调非减，用单调算子方法( 如见 5 9 ) ，可证z = 舌，( “。) ，带入( 2 4 ) 可知u ( x ，) 即为( 1 1 ) 一( 卜3 ) 的广义解 定理2 2 ( 广义解的唯一性) 在定理2 1 的条件下，问题的广义解还是 唯一的 证明设越，p 为问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的二个广义解，则对 1 6 哈尔滨i 羊e f ! 人学硕十学付论文 有 v 伊c ( 【o ，明；酬( q ) f l w 。”( q ) ) ( “，妒) + ( v u ，v ( p ) ” = 一( 盯，( ，。) ，吼) + ( 厂( 甜) ，伊) ，l i ( u ，伊) + ( v v ，v 妒) h = 一( 仃，( ) ，吼) + ( 厂( v ) ，妒) 二式相减，著取妒= 0 3 = “一v ，有 ( q ，0 9 ) + ( v c o , ，v c o ) = 一( d j ( “k ) - c r ，( v ) ，“ 一v ) + ( ( ) 一( v ) ，c o ) 由子，( 5 ) 非减可得 瓦d 删2 + t l v 1 1 2 = 一2 ( 子，( “。) 一子，( k ) ，z ， 一2 k l l v 埘1 1 2 + u ( z ，) 一，( v ) ，c o ) 扣1 1 2 + i i v 甜1 1 2 - 2 k l l v 脚1 1 2 + 2 ( 厂【“+ 口( v u ) c o ，c o ) 一2 k l l w o l l 2 + c h 2 令一2 t = c o ，x , 上k h o 到，积分并利用珊满足齐次初始条件，得 由g r o n w a l l 不等式得 h 2 + i i v 珊1 1 2 2 c o ( j ： o l l 2 + 1 1 w , 1 1 2w r 2 + l l w , 1 1 2 = o ，c a = 0 哈尔滨l 稃人学硕十学何论文 故 “= v 2 2 广义解的正则性 定理2 3 ( 广义解的萨则性) 在定理2 1 条件下，若玩( j ) ( 1 f s 撵) ，材) 可导且有界，则有 “，( x ，f ) r ( o ，丁；j 【，；( q ) ) ( 2 6 ) 证明首先，在本定理假设下，有盯：( s ) 2 0 将( 2 1 ) 乘口0 ( ，) ，对j 求和可得 ( u ，“，) + ( v u m ，v u m ) = 一( o r ，( ) ，”帆，) + ( ( “) ，“m ) 即 令t = 0 可得 0 2 + u v u 。0 2 月 = 一( o r ， 眠) ，“脚) + ( _ 厂( “”) ，“) ，i i ( o ) 1 1 2 + m 。( o ) 1 1 2 = 一( 盯，似帆( o ) ) ，“帆，( o ) ) + ( ( “w ( o ) ) ，m ( o ) ) ，l i 鸠( 0 v ”，( o ) j j ：+ | + 七m 。( o ) h h j v “。( o ) l l + m 。( o ) j 1 2 由此可得i l v “。( o ) l l 与l l u 。( o ) 6 对一致有界 将( 2 1 ) 对f 求导，乘口0 ( f ) ，对s 求和可得 丢舡。8 2 + l i v ”。8 2 】+ 2 喜n 子j ( “批出一2 ( 铷w ) i i n i ，u n t ) 一2 k i l v 甜。卜c 2 i | 2 _ g 哈尔滨f 科人学硕十学付论文 “j 此町得肛。旷+ l l v - 。0 2 e 及( 2 6 ) 2 3 本章小结 首先给出了本文广义解的定义，然后在初始条件下证明了问题 ( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的广义解的存在性及唯一性接着，根据广义解的存在讨论了解 的正则性，并给出证明 1 9 哈尔滨i 拌人学硕十学伸论文 第3 章问题( 1 - 1 ) 一( 1 - 3 ) 整体强解的存在性 为研究整体强解，仍耿问题 一a c o j = 乃q ，珊，i m 2 0 的特征函数系 q ( 工) 构造问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的近似解“，( x ，) 已知 o j ， 在 2 ( q ) 中构成正交完备系，当q c 2 时，q ( x ) c 2 ( q ) n ：( q ) c h 2 ( q ) c j f ，2 ( q ) n h ：( q ) ， e o j 在叫( q ) 中稠密， 脚， 在2 ( q ) 中的闭线性扩张为 2 ( q ) n 4 ( q ) 由g a l e r k i n 方法，口州( ，) 应满足如下非线性常微分方程组 的初值问题 ( , m ，) 一( a u m ，v ，) = ( 盯，( ) ，) + ( ( “) ，珊。) j = l 纠2 n ( x ，o ) = c o 廖) s = l ，2 ，n 3 1 模估计引理及其证明 ( 3 - 1 ) ( 3 - 2 ) 引理( s o b o l e v 嵌入定理) 设q 是一三型域，而q ”则表示r ”的任一维 超平面与q 之交( 但规定q ”= q ) 于是函数甜吖( q ) ( p 1 ) 具有下列属性 ( 以下用带下标的字母c 表示与p ，七，q 有关的常数) i ) 如果疗 p kj “( q ”) ，当拧一p k 肌盯，日车，并且 门一仞 i i i i m ) s c 。i i i i 旷，( p 2 1 ) ( 3 3 ) 在p = 1 的情形上式对甩一p k 1 7 1 茎n 也成立 ；皇兰薹! 垒垒兰堡当兰! ! 鎏圣 ； i i ) 如果疗= p kj i l u l l p ) s c i l u l l ，( p 2 1 ) 对1 m 疗与任意q 成 立；( 但此时g 与9 也有关) ；且在p = i 的情形，i t 还等( 价) 于c ( 孬) 中一+ 函数，同时 s u p l ( x ) f 蔓c ，旷，f n ， ( 3 4 ) i i i ) 如果n p k ju 等( 价) 于c ( f i ) 中一函数，并且 s 。u p l 越o ) l - p ( k - y ) j 当月一p ( 七一小所s 以g i ；m 而p ，邮，时， 呻i d a t ( x 1 c 6 i l u l l 旷，l n ) ( p 1 ) ( 3 5 ) j e n 在p = 1 的情形，_ l ：式x c n p ( k 一，) s m s 疗也成立 b ) 玎= p ( 七一，) js u p i d a n ( x ) i c 6 胪呻) ( p 1 ) 对l m 疗与任意q j e l 2 成立( 但此时c 3 也与g 有关) ，在p = l 的情形“等( 价) 于c 7 ( 豆) 中一函数， 并且 s 。u p 。 d 。u ( x ) | 讣u w r , o , ( 邮，) 3 6 c ) 疗 p ( k 一，) j u e c 7 ( 孬) ，并且刊d 4 ”协) l - c ，i i “忆，i n ，( h y 1 成 哈尔滨i 群人中硕十付论文 立 即在所指出的情况，l ，( q ) 分别是矿一( q ) 与c 7 ( 孬) 的子类，并且 嵌入算子是连续的 4 由于l ，( q ) 中的函数是几乎处处在q 上是确定的，因此上面所讨论 的“的在低维子集q ”上的值如何确定，需要解释：首先证明，于相应情况估 计式| l u l l p 。，- c n i v i p ( q ) ( p - - - d 与s u p0 8 ( 工) f - c o l l 1 l ，。) ( p21 ) 对 l ，c 孑( 月”) 成立，然后对任一“”( q ) 取序列) cc o ( r ”) 依范数逼近 于h ，由已经得到的估计式即见，此序列于( q ”) 或矿w ( q ”) 中对所有q 一致收敛，且极限与似) 如何选取无关，它即取为“在各个q ”上的值 又在上述中，q ”可以是q 中任何充分光滑的脚维流形，各个还可以位 于边界上= 打一1 ) 为了讨论这种一般情形，只须做变量变换逐处局部将 之变平 5 。这里指出，为证明定理，由以上说明，归结于就实值的甜c ( 西) ( 或 一样地c o ( r ”) ) 来证明在相应情况下，。c 4 1 1 u l l 胪恤l ( p 1 ) 及 s 。u p “( x ) i c ，i i “恤，成立( 稠定义连续性算子的扩张定理) 又由假设q 有 界，故根据h s l d e r 不等式即知，在证明时只须考虑q 取最大值的情形 h 一印 顺便指出，由不等式刊d 。( x s c o i l “一( n ，( p - - 1 ) 就肌= 胛，g = 南 j e i j ， p 、n 一， ( 最大可能值) ，h = ，写出( d 7 表示一般，阶微分算子) 眇“h 。， c 1 l “h 懈，( p 】) 式中数目七，p ，g 问的关系 l y l七 g打p 疗 可由一量纲分析法确定即出现在不等式两边的运算的纲应相等：每出现一 2 2 哈尔滨f 稃人擘硕十付论丈 次微分运算纲即减少二而对于升若干次方来积分的运算，纲为陔方次的倒 聍 数这是确定口的最大可能值的方便记忆方法 下面证明定理，以下个别命题还含有重要的精确结果 命题1 “矿t ”( q ) ，1 p 1 时) 用h 6 1 d e r 不等式得 n s u ，p i 百o p - p 施 n 百n p - p 出 哈尔演1 种人y 硕i - 7 付论文 + 并( i 与出痧( j ，斟i ( r 删 川h 6 1 d e r ，f i 等式，墩：行一1 f ：s u p 。0 r j 二足得 从n 川ii ( 3 - 8 ) 州焉出s n i = l ( f ， 删嚣出 s u 出i 。i p - p 艘。) ，二 川搿出 + n p - p ( 川焉出) 等喜( i ：斟出) ；扣i i - p 。) f i l 山h f l d e r 不等式有 川筹= 川翮出洲i ，( 川焉出) _ 一 l o ) 将( 3 - 1 0 ) 代入( 3 - 9 ) ，即得 化简h i j 得 1 j 此， ，= 珂t 奇形得证 t l fj t j ( 3 1 0 ) 去估计( 3 - 8 ) 右端的第一个秘分，自 ( ls u p i 忏a p - p 施，广” ( 3 - 1 1 ) 嚣 、-，j 卜一， 、 出 卜 ，坫 ，；i、 p ，、l g 一 p一， 竺呷 、， 出矍叩 r l ，f。l g 一 型即 、 出生w r 以 ，。k 哈尔演i 群人学硕卜r 似论史 蔓c 。 ( f ，l “i ：d 。) 二? ：( n “，+ 0 考0 ：z c ：卜- z ， 川并”，i i - 一p ， p k ( n = 肚) ，p 1 材( q ”) ，q = 二( q 任 恋) ，m = 胛或一一i ，并且估计式( 3 - 3 ) 成立；当p = 1 而行= k 时，i 等( 价) j 。一连续函数并有估计( 3 - 4 ) 成立 证明如n p k ，首先用命题1 于“及其女一1 阶导数，即见嵌入算子： w “r ( q ) c n - p