图形变换与齐次坐标课件.ppt

图形变换是计算机图形学基础内容之一几何变换，投影变换，视窗变换线性变换，属性不变，拓扑关系不变。作用：把用户坐标系与设备坐标系联系起来；可由简单图形生成复杂图形；可用二维图形表示三维形体；动态显示。,图形变换和齐次坐标,图形的几何变换,几何变换：图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。几何变换的两种形式：1.图形不变，坐标系改变；2.图形改变，坐标系不变。,二维图形变换,1.平移变换从点Px,y平移到点Px,yx=x+my=y+n,P(x,y),P(xy),m,n,X,Y,2旋转变换,一个点绕原点的旋转，逆时针方向为正。,3比例变换,P(x,y),P(x,y),x=x*sxy=y*sy,Sx=Sy：均匀缩放。Sx=Sy1，放大Sx=Sy1,沿三个轴向等比例缩小当0s1,沿三个轴向等比例放大（轴向比例变换与全比例变换的关系）,对称变换在二维变换下，对称变换是以线和点为基准，在三维变换下，对称变换则是以面、线、点为基准的。对称于XOY平面xyz1=xy-z1=xyz1对称于YOZ平面xyz1=-xyz1=xyz1对称于XOZ平面xyz1=x-yz1=xyz1,那么，分别对称于X、Y、Z轴和坐标原点的变换矩阵是什么？平移变换是指空间上的立体从一个位置移动到另一个位置时，其形状大小均不发生改变的变换。xyz1=x+dxy+dyz+dz1=,旋转变换绕X轴变换空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐标不变，只是Y、Z坐标发生相应的变化。x=xy=cos(+)=y*cos-z*sinz=sin(+)=y*sin+z*cos,X,Y,Z,(x,y),(xy),Y,Z,O,O,(xy),(x,y),矩阵表示为：,绕Y轴旋转此时，Y坐标不变，X，Z坐标相应变化。x=sin(+)=x*cos+z*siny=yz=cos(+)=z*cos-x*sin,X,Y,Z,(x,y),(xy),X,Z,O,O,矩阵表示为,绕Z轴旋转此时，Z坐标不变，X，Y坐标相应变化。x=cos(+)=x*cos-y*siny=sin(+)=x*sin+y*cosz=z,X,Y,Z,(x,y),(xy),X,Y,O,O,矩阵表示为：,组合变换：空间一点绕空间任一轴线的旋转变换。要通过将几个基本的变换组合在一起，得到该组合变换。假定空间任一直线的方向矢量分别为：(l,m,n)并经过原点,(l,m,n),(x,y,z),(x,y,z),X,Y,Z,O,N,能否转换成绕X、Y或Z轴旋转的变换？ON绕Z轴旋转2到XOZ平面上，然后再绕Y轴旋转1，即可与Z轴重合。,O,N,2,1,X,Y,Z,这样，可得空间上任一点绕ON轴旋转的变换过程如下：1）首先通过两次旋转，使ON轴与Z轴重合；2）然后使点绕Z轴旋转角；3）最后通过与1）相反的旋转，使ON轴回到原来的位置。假设，绕Z轴的旋转-2矩阵为T1绕Y轴的旋转-1矩阵为T2绕Z轴的旋转矩阵为T3绕Y轴的旋转1矩阵为T4绕Z轴的旋转2矩阵为T5,则总体变换矩阵为：T=T1T2T3T4T5由上推导可看出，只要能求出1、2的值，即可通过上式获得绕ON轴的变换矩阵。由于矢量（001）绕Y轴旋转1，再绕Z轴旋转2即可与ON轴重合。即：,lmn1=sin1cos2sin1sin2cos11l=sin1cos2m=sin1sin2n=cos1从而通过上式即可得到1、2的值。问题：当任一轴线的端点不在原点时，此时应如何计算变换矩阵？,绕任意轴的旋转变换,基本思想：因任意轴不是坐标轴，应设法旋转该轴，使之与某一坐标轴重合，然后进行旋转角的变换，最后按逆过程，恢复该轴的原始位置。,绕任意轴的旋转变换,（1）将空间直线平移，使之通过坐标原点,T=,0100,0010,-X1-Y1-Z11,1000,（2）绕x轴旋转角使之位于XOZ平面内,直线段L在YOZ平面上的投影LL2=B2+C2Sin=B/Lcos=C/L,绕任意轴的旋转变换,0cossin0,0-sincos0,0001,1000,Rx=,(3)绕y轴顺时针旋转角(使之与Z轴重合)由于绕x轴旋转时，x坐标不变,A,L,L,Sin=A/Lcos=L/L,L2-A2=B2+C2=L2,绕任意轴的旋转变换,0100,-sin0cos0,0001,cos0sin0,Ry=,-sincos00,0010,0001,cossin00,Rz=,(4)绕z轴旋转角,绕任意轴的旋转变换,(5)绕y轴逆时针旋转角(使之位于XOZ平面内),sin0cos0,0001,Ry=,cos0-sin0,0100,(6)绕x轴顺时针旋转(使之恢复通过原点的直线),0sincos0,0001,Rx=,1000,0cos-sin0,绕任意轴的旋转变换,(7)平移使坐标原点返回到它原始位置,0010,X1y1z11,T=,1000,0100,因此，绕空间任意轴旋转角的变换矩阵,R=T.Rx.Ry.Rz.Ry.Rx.T,绕任意轴的旋转变换,作业,已知平