（道路与铁道工程专业论文）设层间功能层的水泥混凝土路面面层应力分析.pdf

摘要 水泥混凝土路面是普通广泛使用的一种路面形式，具有强度高，稳定性好，使用寿 命长，维修养护费用少等优点，引起了道路工程界的广泛重视。但由于水泥混凝土路面 面层和基层之间的接触不良是导致路面损坏的主要原因，设冕层间功能层可以很好的缓 解这个问题。现行的公路水泥混凝土路面设计规范中有对水泥混凝土路面结构设计方法 做了详细的规定，但是并没有考虑面层和基层之间的协调设计。同时考虑面层和基层的 疲劳对水泥混凝土路面结构设计具有重要意义。 本文首先阐述了有限元方法，为以后有限元方法的应用提供了理论依据。采用有限 元软件对不同的层间接触状况下面层荷载应力进行分析，得出层间接触状况对面层荷载 应力有较大的影响。在最不利层问接触状况下，分析不同参数对面层荷载应力的影响规 律，在设置了层间功能层后，面层荷载应力略有增大，基层荷载应力略有减小。在规律 分析的基础上，通过大量的均匀设计计算，回归出刚性基层和半刚性基层水泥混凝土路 面面层荷载应力实用计算公式。并根据面层的荷载应力公式和疲劳方程，分别推导出刚 性基层和半刚性基层水泥混凝土路面面层的轴载换算公式以及疲劳应力系数。对设置层 间功能层的刚性和半刚性水泥混凝土路面温度应力进行计算，分析了不同变量对其温度 应力的影响，得出影响规律。相比面层的温度翘曲应力，基层的温度翘曲应力很小。通 过均匀设计计算和公式回归，得出刚性和半刚性水泥混凝土路面面层的温度应力实用计 算公式。通过对面层荷载应力的分析，得出面层厚度和基层厚度之间的协调设计，并提 出同时考虑面层和基层疲劳的水泥混凝土路面结构设计方法。 关键宇：水泥混凝土路面，路面结构设计方法，荷载应力，温度应力，有限元方法 a b s t r a c t c e m e mc o n c r e t ep a v e m e mi saw i d e l yu s e df o r mo fr o a d ，、 ，i t i li l i g hi n t e n s i t y ，g o o d s t a b i l i t y ，l o n gl i f e ，l o wm a i n t e n a n c ec o s t s ，s u c ha sr e p a i rm a n ya d v a n t a g e s n o wm o r ea n d m o r ea t t e n t i o na r ep a y i n gt ot h i sr o a d t h ei m p e r f e c tc o n t a c tb e t w e e nt h ec e m e mc o n c r e t e p a v e m e n ta n dt h eb a s el a y e ri so n e o ft h em a i nr e a s o n sf o rt h ep a v e m e n ts u r f a c ed a m a g e t h e f u n c t i o n a l l a y e r o f a s p h a l t i s u n d o u b t e d l y s e tt os o l v et h i s p r o b l e m t h ee x i s t i n g s p e c i f i c a t i o n so fc e m e n tp a v e m e n td e s i g nf o rh i g h w a yd e t a i l s t h es t r u c t u r eo fc e m e n t c o n c r e t ep a v e m e n td e s i g nm e t h o d ，b u td i dn o tc o n s i d e rt h ec o o r d i n a t i o no fs t r u c t u r ed e s i g n t h i sp a p e ra n a l y s i sd e s c r i b e df e m ( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) ，p r o v i d e st h e o r e t i c a lb a s i st o t h ef e m u s ea n s y st oa n a l y s e ss u r f a c ec o u r s el o a ds t r e s si nd i f f e r e n ti n t e r f a c e i ti sf o u n d t h a tt h e i n t e r l a y e ra f f e c tl o a ds t r e s so fp a v e m e n tg r e a t l y a t t h ew o r s e c a s ei n t e r f a c e c o n d i t i o n ，a n a l y s e st h ei n f l u e n c el a wo fd i f f e r e n tp a r a m e t e r st ot h el o a ds t r e s so fs u r f a c e l o a d b a s e do nt h er e s u l to fi n f l u e n c el a w , o b t a i nt h ep r a c t i c a lf o r m u l ao fs u r f a c ec o u r s el o a d s t r e s so ft h er i g i da n ds e m i r i g i db a s ec o u r s eo fc e m e n tc o n c r e t ep a v e m e n ts t r u c t u r ew i t h f u n c t i o nl a y e rb yr e g r e s s i o nm e t h o d f o r m u l ao fa x l el o a dc o n v e r s i o na n df a t i g u es t r e s s c o e f f i c i e n t so fs u r f a c ec o u r s el o a ds t r e s so ft h es e m i - r i g i da n dr i g i db a s ec o u r s ea r eo b t a i n e d r e s p e c t i v e l yb yf a t i g u ee q u a t i o n sa n df o r m u l ao fl o a ds t r e s s a n a l y s e st h et h e r m a ls t r e s so f r i g i da n ds e m i - r i g i db a s ec o u r s e 、析mf u n c t i o nl a y e r , o b t a i nt h ei n f l u e n c el a wo fd i f f e r e n t p a r a m e t e r st ot h et h e r m a ls t r e s s t h et h e r m a ls t r e s so fb a s ec o u r s ei sv e r ys m a l lc o m p a r aw i t h t h et h e r m a ls t r e s so fs u r f a c ec o u r s e f i n a l l yo b t a i nt h ep r a c t i c a lf o r m u l ao ft h e r m a ls t r e s so f t h e r i g i db a s ea n ds e m i - r i g i db a s ec o u r s eo fc e m e n tc o n c r e t ep a v e m e n tb yr e g r e s s i o n m e t h o d b a s e do nt h ea n a l y s e so ft h es u r f a c ec o u r s el o a ds t r e s s ，g e tt h i c k n e s so fs u r f a c el a y e r t h i c k n e s sa n dt h eg r a s s r o o t sc o o r d i n a t i o nb e t w e e nt h ed e s i g n ，a n dc o m et ot h ed e s i g nm e t h o d o fc e m e n tp a v e m e n ts t r u c t u r e k e y w o r d s ：c o n c r e t ep a v e m e n t ，d e s i g nm e t h o do fp a v e m e n ts t r u c t u r e ，l o a d i n gs t r e s s ， t e m p e r a t u r es t r e s s ， f i n i t ee l e m e n tm e t h o d i i 长安大学硕士学位论文 1 1问题的提出 第一章绪论 上世纪5 0 年代，由于国家投资建设很有限，水泥相对紧缺，修建的混凝土路面的 里程很少；6 0 年代底，全国公路仅有水泥混凝土路面2 0 0 k m ，占公路里程的0 9 ；7 0 年代末，浙江、广东、江苏等省首先启动修筑水泥混凝土路面。与此同时，一些研究单 位也开始系统地开展水泥混凝土路面技术的研究；到8 0 年代，随着我国经济的快速发 展，人民生活水平逐步提高，对交通的需求日益扩大，尤其是以汽车工业为代表重工业 的发展，水泥混凝土路面因其强度高、施工方便、维修养护费用低，从而开始了快速发 展。随着修筑里程的增长，实际施工经验的积累，科学研究的逐步深入，水泥混凝土路 面的修筑技术逐渐改进，修筑质量不断提高，加上水泥混凝土路面适用性较强，能比较 好地满足现代化交通的要求，且水泥材料供应方便，因此，水泥混凝土路面得开始了较 快的发展。自2 0 世纪8 0 年代中期以来，我国开始兴建水泥混凝土高速公路，1 0 年来，” 陆续投入使用的高速公路主要有京石、京津塘、济大、广深、沪宁、哈大等2 0 多条线 路，总里程达到了1 1 万公里。高速公路的建设与使用，为车辆快速、高效、安全、舒 适地运行提供了优良的条件，标志着我国的公路交通事业和科学研究水平进入了一个快 速发展的时代。 毒! 在我国“七五 重点建设的公路中，比如南京一杭州二级公路全长2 5 8 k m ，全部使 用水泥混凝土路面；大同一运城二级公路连续铺筑水泥混凝土路面长度达1 5 3 k m ，占里 程的2 6 ，南京一上海二级公路铺筑水泥混凝土路面9 0 k m ，占全长达到3 4 ；合肥一 南京一级公路安徽路段8 7 k m ，均为水泥混凝土路面，占全长达到7 9 ；新乡一郑州段 一级公路为7 0 k m ；阿城一哈尔滨一级公路为3 4 k m ，均铺筑的是水泥混凝土路面。在县 道、乡道上也修建了很多水泥混凝土路面，其中以广东省为最。9 0 年代初期，水泥混凝 土路面的发展速度更迅速，到了1 9 9 6 年，铺筑里程达到5 6 6 2 5 k r n ，占高级、次高级路 面总里程的1 3 3 ；6 年内平均每年铺筑达到了7 4 7 6 k m 。近3 0 年以来，水泥混凝土路 面里程在我国路面总里程中所占的比例逐步提高。其中，跨入新世纪以后，水泥混凝土 路面更是得到了巨大的发展，预计到2 0 0 5 年底，水泥混凝土路面总里程将达到8 万多 公里，约占路面总里程的3 0 左右。 3 0 多年以来，水泥混凝土路面里程所占的百分比增长大约6 3 倍，与沥青混凝土路 第一章绪论 面相比，水泥混凝上路面虽然具有一些缺陷，如平整度较差、产生噪声大、维修养护比 较困难等。但伴随滑模施工技术、水泥混凝土表面平整度的改造技术、快速凝结水泥技 术和同步碎石技术等的发展，水泥混凝土路面的固有缺陷得到了一定程度的缓解。特别 是我国的水泥资源比较韦富，公路建设要充分考虑到本地材料的优势，减少对沥青材料 的进口。因此完善水泥混凝土路面设计体系，逐步提高水泥混凝土路面使用性能对我国 非常重要。 ， 对于刚性基层和半刚性基层水泥混凝土路面，路面板的破坏形式有所不同，刚性基 层水泥混凝土路面的破坏形式主要是由温度翘曲应力与荷载应力综合作用造成的板角 断裂，而半刚性基层水泥混凝土路面结构的破坏主要是由脱空引起的，同时与路基的稳 定性及基层的稳定性有密切关系。因此，为了增加路面结构的承载力，进行面层和基层 之间的协调设计是十分必要的。 水泥混凝土路面是路面的主要形式之一，相比于沥青路面，具有承载力较高、耐久 性较好和维修养护较少等优点。然而，水泥混凝土路面修复很困难：面板断裂之后，开 挖修补比较困难，养护期影响交通，工作量非常大。在基层上设置层间功能层修筑水泥 混凝土路面，能有效地改善水泥混凝土路面的层间接触条件，减小路面早期病害、降低 养护周期、延长路面的使用寿命。因此开展设置层间功能层的水泥混凝土路面结构应力 分析和结构协调设计研究具有重要意义。 1 2 国内外研究现状 1 2 1 国外研究现状 自从2 0 世纪初，水泥混凝土路面得到广泛的使用，因此，刚性水泥混凝土路面的 荷载应力分析一直都是科学家关注的重要研究内容。c o l d e r 与a t g o l d b e c k ( 1 9 2 0 ) 根据 材料力学的原理，最早提出了刚性水泥混凝土路面的荷载应力计算方法。 h m w e s t e r g a a r d ( 1 9 2 5 ) 最早应用w i n k l e 地基上的无限大或者半无限大弹性薄板模型，推 演出了由于轮载作用引起的混凝土路面板荷载应力的实用计算公式，此后经过许多次试 验的修正和理论上的不断完善，w e s t e r g a a r d 荷载应力实用计算公式在刚性水泥混凝土路 面和机场刚性水泥混凝土路面设计中得到了广泛应用【l3 1 。a h a h o g g 和h 0 1 1 ( 1 9 3 8 ) 提出 了弹性半空间无限大地基上水泥混凝土路面板的荷载应力分析计算的方法。g p i c d e t t 和 g k r a y ( 1 9 5 1 ) 绘制了刚性水泥混凝土路面在不同轴载条件下的弯矩影响图和挠度影响 2 长安人学硕士学位论文 图，以此来分析一些复杂的轴载情况。随着计算机技术的快速发展和有限单元法的应用， 使得水泥混凝土路面的荷载应力分析方法得到进一步发展，张佑启和z i e n k i e w i c z ( 1 9 6 5 ) 率先提出了弹性地基板的有限元方法； s k w a n g 、y h h u a n g 、e b e r h a r d t 、s t w a n g 等 人先后将有限元方法应用在了水泥混凝土路面，分析w i n k l e r 地基、弹性半空间体地基、 层状地基上的混凝土路面的挠度与应力，探讨了接缝传荷能力和地基部分脱空等情况的 路面板应力计算分析方法。同时还出现了众多可以分析研究和应用于工程设计的计算机 软件，例如波特兰水泥协会发明的j s l a b 程序、i l l i n o i s 大学发明的i l l i s l a b 程序、 y h h u a n g 发明的k e n s l a b s 程序等。伴随计算机内存的逐渐增大，计算速度的逐步 增快，近年来更多的运用了三维有限元方法与程序分析出了混凝土路面的应力，特别是 对设置传力杆接缝及板底与基层顶面处的应力状况进行了分析研究【2 2 1 。 有关水泥混凝土路面温度变形与温度应力的应用研究，开始于上世纪2 0 年代初期。 w e s t e r g a a r d ( 1 9 2 5 ) 首先提出了混凝土路面表面温度变化引起温度应力的分析方法，导出 了至今仍在应用的温度应力实用计算公式。b r a d b u r y ( 19 3 8 ) 根据w e s t e r g a a r d 温度应力实套 用计算公式绘出温度应力系数曲线图，使得计算方法进一步简化。j t h o m l i n s o n ( 1 9 4 0 ) 假定路面项面温度随时间呈正弦曲线变化，根据s t i m o s h e n k o 的温度应力实用计算公 式，导出了温度沿路面板厚度呈非线性变化时，可分别计算出路面板伸缩变形完全受到 约束，翘曲变形完全受到约束以及两者同时完全受到约束的温度应力实用计算公式。而 后，r k g h o s h ( 1 9 6 0 ) 提出一种全新的计算方法，考虑到w i n k l e r 地基上的矩形路面板在 正温度梯度作用下中部向上拱起时，由于板的自重而引起的温度翘曲应力【1 7 】。 a n h a n n a ( 1 9 7 1 ) 也提出了与之相类似的方法，采用刚性地基上圆板的假定，导出了在正 温度梯度作用下由于自重而产生的翘曲应力的实用计算公式。x e s h i ，t e f w a 和 s a t a n ( 1 9 9 3 ) 禾1 j 用薄板理论，得到p a s t e m a k 地基上水泥混凝土路面板的温度应力解， 研究表明w i n k l e r 地基上的温度应力解只是p a s t e m a k 地基上应力解的特殊情况，且后者 的假定条件比前者更符合实际的情况。在有限元法应用于荷载应力的同时，y h h u a n g 也应用有限元法计算了w i n k l e r 地基板的温度翘曲应力，并编写了计算程序，用于计算 在考虑地基部分脱空时板的翘曲应力。 除此之外，国外也开展了对于水泥混凝土路面结构分析理论和设计方法的研究，从 w e s t e r g a a r d 起至今有7 0 多年的历史。在这期间，通过不断的理论分析、大量的试验验 证和实践经验的总结，在水泥混凝土的结构特性与性能、结构分析理论与方法、结构设 计方法与参数分析等方面，取得了一定的成绩。美国联邦公路局k e l l e r h o l d 与l o e r s o n 第一章绪论 详细证明了在重交通下设置有传力杆接缝的水泥混凝土路面的结构设计方法：美国各州 公路工作者协会( a a s h t o ) 提出了基于概率统计的可靠度设计方法；美国i l l i n o i s 大 学的b a l l o n b 与t e x a s 大学的z o g e r l i n 提出了为防止疲劳应力产生横向开裂的设计方法； l o s b e r g 等人以屈服线理论为基础，进一步发展了混凝土路面结构的极限承载力理论。 在轴载对路面的影响方面，k i l a r e k i 对超载车辆的影响及超载限值进行研究；奥地利维 也纳技术大学k n o f l a c h e r 研究了车辆超载对道路养护维修的影响。在结构设计形式方面， 目前国外大都采用复合式结构，基层一般采用的是水硬性结合料处治的稳定性基层。 1 9 8 8 年以来，美国陆军工程兵部队和1 3 个州使用排水基层，并且在混凝土面层下铺设 排水基层己成为其中9 个州的标准规范。 1 2 4 国内研究现状 我国对于水泥混凝土路面荷载应力的分析，通常采用的是半无限地基上无限大路面 板的解析解和w e s t e r g a a r d 的板边和边角计算公式。1 9 7 6 年，中山大学用应有限元法计 算了w i n k l e r 地基上9 块铰接板上的飞机轮载应力。1 9 7 8 年，姚祖康等提出了采用有限 元位移法计算分析两种地基上四边均为自由板的挠度与应力，并同王秉纲教授应用有限 元法的程序绘制了供车辆荷载使用的应力计算图。于此同时，朱照宏也提出了在半无限 地基上无限大路面板的挠度与应力的数值解，及双层弹性地基板上无限大路面板挠度与 应力解析解。1 9 7 9 年，姚炳卿等应用有限元位移法对w i n k l e r 地基板的精度作了详细分 析，并探讨了在半无限地基板上的有限元分析中关于反对称性的利用问题；姚祖康和邓 学均则分别分析了相邻板之间具有传荷能力时荷载应力的计算方法；邓学均分析了半无 限地基板在板角受到荷载时地基反力的不同处理方法对计算结果影响。1 9 8 1 年，姚祖康 等对水泥混凝土路面荷载应力计算的准确性进行了试验验证，试验结果表明通过调整地 基的回弹模量，使地基的回弹模量比路面板实测结果提高2 3 倍，结果板中和板边受到 荷载时弹性半无限地基板的有限元解析解( 位移法) 同实测的挠度曲线和应变曲线相吻 合，而边角受荷时w i n k l e r 地基板的有限元解析解与实测挠度曲线和应变曲线相差很大 1 9 】。1 9 8 4 年，王秉纲根据h e n c k y 理论，使用h a n k e l 变换法求得了弹性地基中厚板轴对 称课题的理论解析解。1 9 8 7 年，房英武、王秉纲等运用双三角级数有限元方法、样条有 限元方法以及样条半解析元法，分别对简支边界及四边自由的w i n k l e r 地基矩形板和弹 性半空间地基矩形板进行力学分析，算出了这两种地基上有限尺寸路面板的力学计算问 题。1 9 8 9 年，郑健龙等以双参数地基板上的有限尺寸r e i s s n e r 板作为刚性水泥混凝土路 4 长安火学硕1 ：学位论文 面的力学模型，用解析解方法对路面弯沉及应力进行了计算，并编写了计算机程序。1 9 9 6 年，姚祖康等针对我国普遍使用的半刚性基层提出了新模量修正公式。1 9 9 9 年，尤占平 等根据弹性三维理论和薄板理论，运用有限元法对地基板上水泥混凝土路面板的力学特 性进行了分析，提出了地基上方不同填土高度时相对应的补强措施，并提出了路面板厚 度、路面板弹性模量、路面板长度及基层模量的建议值，并对地基周围回填土提出要求。 2 0 0 0 年，王虎等将连续配筋水泥混凝土路面看成w i n k l e r 地基上四边自由无限长复合材 料层结合板结构，求解得到了横向局部荷载作用下路面挠度和应力的解析解。2 0 0 0 年， 王虎运用傅里叶变换和三角级数法算出w i n k l e r 地基上无限大板受到等距离荷载作用下 的精确解析解，得到的结果与w e s t e r g a a r d 公式计算结果完全一致。2 0 0 5 年，王春玲、 黄义运用双重f o u r i e r 变换，求解得到弹性半空间体受到任意竖向荷载作用的静力积分 变换解析解，并和四边自由矩形板的弯曲解析解相结合，得到弹性半空间地基上四边自 由矩形板受任意竖向荷载作用下的弯曲解析解1 4 0 。 本文在已有应力分析的基础上，重点对设置层间功能层的水泥混凝土路面面层应力 矗 进行了计算分析。 1 3 本文主要研究内容 本文基于水泥混凝土结构设计方法，参考公路水泥混凝土路面设计规范。，分析水 泥混凝土路面最不利荷载位置情况下的荷载应力和温度应力，并考虑水泥混凝土路面长 期性能，引入耐久性设计系数，从而得到基于层间功能层的水泥混凝土路面结构设计方 法。为达到以上目标，本文主要研究内容为： 1 水泥混凝土路面有限元方法数值模拟 在进行荷载应力分析和温度应力分析时，要应用有限元方法。通过公式推导的方 法，深入探讨不同有限元方法的基本原理和有关应用公式，从而为本文有限元分析提供 理论基础。 2 设置层间功能层的水泥混凝土路面荷载应力分析 应用a n s y s 软件，建立半刚性基层和刚性基层水泥混凝土路面结构有限元模型，分 析材料和结构参数对荷载应力的影响，并应用均匀设计的方法，得出大量影响面层 荷载应力的不同影响参数组合的结果，回归分析出在最不利荷位情况下的面层荷载应力 实用计算公式，并在此公式基础上，回归出不同轴载及轴轮型下面层荷载应力的实 第一章绪论 用计算公式。 3 设置层间功能层的水泥混凝土路面温度应力分析 应用与荷载应力相同的有限元方法，分析出各不同材料和结构参数对面层温度应力 的影响规律，并应用均匀设计得出的大量计算结果，回归出最不利情况下的面层温度应 力公式。 4 基于层间功能层的水泥混凝土路面结构协调设计 基于利用有限元方法分析出的荷载应力和温度应力分析结果，推导出面层的轴载换 算和疲劳应力系数，得出面层厚度和基层厚度之间的协调设计，并提出同时考虑面层和 基层疲劳的水泥混凝土路面结构设计方法。 6 长安大学硕一l ：学位论文 第二章水泥混凝土路面有限元分析方法 2 1 有限元分析方法概述 有限元法是一种数值计算解析解的方法。这种方法的本质是将固体连续介质分散成 有限个结构单元后组成集合体，以此将拥有无限多个自由度的连续介质问题变成有限个 节点自由度的问题进行解答。在每个结构单元内，假定位移场或者应力场，运用变分原 理建立起代数方程组，从而以节点处的广义位移或者是广义应力为基本变量进行求解。 根据基本变量的类型的差别，有限元法可以分成位移法、力法及混合法。 运用位移法有限元法分析弹性地基板的解析计算过程如下所示： ( 1 ) 结构的模型化，即为将结构物抽象成为相应的力学模型。水泥混凝土路面板可 以理想的转化为弹性地基上的薄板弯曲问题。 ( 2 ) 结构的离散化，即把假想的线将结构划分成有限个单元，各单元之相互间仅仅 在边界上的节点互相连接。 ( 3 ) 确定单元的位移模式，并运用基本未知节点位移表示出来，该位移模式可以唯 一地决定单元的应变及应力状态，而且可以满足结构连续性的条件。 ( 4 ) 分析计算各个单元的刚度矩阵。 ( 5 ) 分析计算各个单元的地基刚度矩阵。 ( 6 ) 荷载与约束的处理，将作用在边界上的荷载，根据静力等效原则移动至相应的 节点上，组成节点荷载矩阵扩) ，并且根据结构受力及其平衡情况，决定边界条件和对 称条件。 ( 7 ) 将所有单元的刚度矩阵组成结构总刚度矩阵，并且算出整个结构的平衡方程为： k i x 爷 = 扩 ( 2 1 ) ( 8 ) 选择合适的分析计算方法，解答线性方程组，从而求得各单元节点位移$ 。 ( 9 ) 根据各节点位移p ，解答出各单元的应力及内力，在薄板弯曲的问题中，即求 由应力合成的内力矩阵似) 。 2 2 水泥混凝土路面有限元分析方法 将水泥混凝土路面板假定为弹性地基板上的小挠度弹性薄板，应用弹性薄板单元对 7 第二二章水泥混凝_ 十路面有限元分析方法 水泥混凝土路面的应力和位移进行有限元方法进行分析。因此，首先简单的讨论弹性地 基上的小挠度薄板问题，而后求解出水泥混凝土路面结构问题有限元方法的原理和有关 重要公式。 2 2 1 基本理论 板中弯矩与挠度的关系用矩阵形式可表示为： 或： 叫讣焉 非怫焉 1 p 。 卢。 1 oo 0 o 1 一。 2 似 = 【d 肛 1 g 。 。 1 o0 o o 1 一。 2 ，口 = a 2 w 叙2 a 2 w 砂2 2 生 叙砂 a 2 w 叙2 a 2 w ( 2 2 ) ”制 汜3 ， 矿立坳 2 长安大学硕上学位论文 意选取的，但必须保证在计算时，计算机的程序结构要紧凑，总刚度矩阵带宽比较小， 所占机器内存小。 在有限元方法中，替代连续薄板的是离散的四边形薄板单元，它们只会在节点处连 接。因此作用在节点上的各种荷载，比如体积力、面积力、力矩等非节点荷载，都需要 转化成作用在节点上的荷载。常用的方法为根据静力等效原则将上述各种非节点力转移 到节点上去。 在有限元方法中，计算分析弹性薄板问题的原理与结构力学中的位移法大致相同， 此时，基本变量是节点位移，包含一个线位移( 挠度w ) 以及两个角位移( 绕x 轴的转角 p ，、和绕y 轴的转角a ，) 。线位移以z 轴正方向为正，角位移则以右手螺旋规则标出的 矢量沿坐标轴的方向为正。 矩形薄板单元节点位移的正向及其相应的节点力和在直梁中一样，根据小位移的假 定，由几何关系知8 ，= 罢及砂= 一芸。在一个不受支承的节点f ，位移可以表示为： 料 叫引 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 表3 1 单元节点力与节点位移 节点力m 鲫是在节点f 处、沿。方向作用的节点力矩，它和弯矩m ，在，处的数值 9 嵋塑砂，翔嵋信罡 怠， 第二章水泥混凝十路面有限元分析方法 m “并没有简单的关系，而且它的因次也和m ，的因次不同。 取弹性地基板的单元为矩形薄板单元，一个矩形薄板单元在四个角节点上各有三个 自由度，共1 2 个自由度。故挠度w 的表达式应含有1 2 个参数，现取如下的位移模式： 该节点的节点位移可以用列阵表示为： ( 俗 y = h 9 “0 f w j o 掣0 朋w m o 。0 炒w p 0 印0 弦】 ( 2 7 ) 在节点f ( - 口，一6 ) ，应该有： 2a l 一口口2 一b a 3 + 口2 a 4 + a b a 5 + 6 2 a 6 一a 3 a 7 一a 2 b a 8 一a b 2 a 9 一b a l o + a 3 b a l l + a b 3 口1 2 哈= 口3 - 口口5 埸” 砌”3 如旷也“一3 口6 2 口1 2 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 吨= ( 爿电一4 - b a 5 + 3 a 2 a 7 + 2 a b a s + b 2 a 9 - 3 a 2 _ 6 3 口l ： 汜 在节点j f 、m 、p ，也各有与式( 2 8 ) 式( 2 1 0 ) 类似的三个方程。由这1 2 个 方程联立求解，得出口j ( f = 1 , 2 ，1 2 ) ，经整理后得： ：22笫拦o,+nj川wj+nxjo即。j+n 0n0n0n0n0 弦叱臼一帆 亿 + mx m 七哪聊+ pp + 叩警+l j p 归 式中：m 、n x , 、n 印是插值函数( 或称为形函数) ，它们都是x 和y 的四次多项式。 则表达式( 2 6 ) 可以表示为： w = 【 8 ( 2 1 2 ) 式中：【】= 【。鲋n f n j n 掣弦，埘朋p n 印n 妒j ；其他符号同前。 显然，薄板的变形可以由其中面挠度w 表示。在( 2 8 ) 式中，前3 项口l + 口2 x + a 3 y 表示薄板的刚体位移，其中口。表示薄板在z 方向的平移，a ：和c 1 ，分别代表薄板单元绕y 轴以及x 轴的刚体转动。 而式中c 1 4 x 2 + 口5 x y + a 。y 2 代表薄板弯曲时的常应变( 常曲率和常扭率) 项，因为由 l o 删 h 辚 长安人学硕士学位论文 它们得到的曲率和扭率都是常数，即 一塑： ：一害 ：一生：口5 a一一x 22 - 2 a 4 ：一萨= - 2 a 6 ：一一o x o y 。- 2 口5 由于( 2 8 ) 式所表示的位移模式包含了刚体位移和常应变，所以它完全满足收敛 性中完备性的要求。 现在来探讨相邻单元之间的位移连续性的条件。从( 2 8 ) 式可知，在x = c o n s t 或 y = c o n s t 的边界上w 是三次曲线，即可以通过两端节点的4 个参数唯一地确定。以耖边 黼y 是拖w 可以由以= 仨) ，他= 罢) ，这四个数唯一地确定， 因此在单元交界上的w 连续的。既然以j 边为共同边界的两个相邻单元在i 点和点具 有相同的上述四个变量，两个单元的这个边界将成为完全相同的一根三次曲线，因而保 证了这两个单元之间的挠度w 及转角0 。的连续。 另一方面，在 ，边界上以= b ) 也是x 的三次函数，亦必须要满足四个条件才 可以确兢醌当只帆= 鸭= ，两低不能唯一地确定沿扩边界 三次变化的转角，即单元之间法向导数的连续性要求一般是不能保证的( 非协调) 。因 此，在 边的相邻单元并不是在整个共同边界上都具有相同的0 ，而具有一定的差异。因 此，现有的实际计算可以表明：当单元逐渐取小值的时候，有限元解还是可以逐步收敛 的。 2 2 3 薄板的刚度矩阵 将式( 3 1 2 ) 代入式( 3 5 ) 。可将单元的形变用节点位移来表示： z - - a 2 w 缸2 a 2 w 砂2 ，0 2 w z 一 叙砂 = 陋广 单元的弯矩用节点位移来表示为： ( 2 1 3 ) 第二章水泥混凝土路面有限元分析方法 似) = 【d p 舱) 8 = p 。 式中 b 、 s 见驯。 ( 2 1 4 ) 2 2 4 单兀刚厦矩阵( 虚功原理) 根据虚位移原理，外荷载在虚位移上的虚功，应该等于整个弹性体内应力在虚应变 上的虚功。 p y 扩) = 脾+ 厂p 溉纰 ( 2 1 5 ) 将虚位移原理应用于矩形薄板单元，其虚功方程为： 眙y ) 时= 胍厂江砂 ( 2 1 6 ) 因： + = 陋】y 似) = d p ) 。 则：扩 。= 肛r d i g k d y 8 。) ( 2 1 7 ) 或者写成 扩 。= k 怡y 其中：k 】= 肛】7 【d i b k c 咖为单元刚度矩阵或薄板的劲度矩阵船引。 2 2 5 地基刚度矩阵 、 水泥混凝土路面的力学分析通常采用温克勒地基和弹性半空间地基两种模式，下面 分别推导这两种地基模式的地基刚度矩阵。地基反力与相应的虚位移如图2 2 所示。 材“ “ 图2 2 地基反力与相应的虚位移 ( 1 ) 温克勒地基 设单元l ，腩角点发生虚位移，则： 扩= 臼二p e p 二日二w ? p 二日二w ：a 二p 五) ( 2 1 8 ) 此时，节点力扩九在虚位移上的虚功为( p ) 7 扩广，板中某微元面积出方的内力在 1 长安人学硕士学位论文 虚应变上的虚功为( 矿) 。出砂，板底某微元面积上的地基反力在虚位移上的虚功为 w p d x d y = k w + w d x d y ( 2 1 9 ) 以上各式中，p 为单位面积上的地基反力，后为地基反应模量，其余符号同前。因此， 虚功方程为： 怡y _ y 扩广一j ，扣) k o w 细吵= ， 扫咖 ( 2 2 0 ) ，、疗 r n r 因： w = 阻 。 w = 【怡广 w = 阻】+ y似 = 【d p 。 代入可得： 扩 。= ( 舯r d i s i 出+ + k 。肛r 【k 方蛤 。 ( 2 2 1 ) 也可简写为： 扩y = 】+ k ， 。 ( 2 2 2 ) 式中医，】为矩形薄板的地基刚度矩阵1 ，5 6 1 。 对温克勒地基的处理，还可以采用一种简化的方法，即在薄板划分成单元之后，把 每个节点范围内的地基当作为弹性支柱，并且以节点处的挠度作为弹性支柱的压缩量。 肇 地基反力来自于假定的弹性支柱，作用于四个节点( 如图2 3 所示) ： 白y = q ， q j g ， g 七 f 嵋 i ：k o o b t l r y ， 【w 女 图2 3 单元的节点成降与节点反力 在求解方程时，将地基反力也作为一种节点力，施加子单元节点，可得到： ( 2 2 3 ) 第二章水泥混凝土路面有限元分析方法 扩y 一妇 8 = k y 将式( 2 2 3 ) 代入，整理后可得： 扩y = 医弦) 8 + 七。a b w f h 蚴 将式中等号右边第二项也写成节点位移与刚度矩阵形式： k ，r = 1对称 0 0 1 o 0 0 0 0 0 o 七。口6 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 由此可见，在形成包括薄板与地基在内的总刚度矩阵时，只需在薄板刚度矩阵的主 ， 对角元与竖向位移w 相关的元素项i j h _ = k o a b 即可。这种处理方法比较简单，对于边界不 受约束的弹性地基板，在挠度比较均匀的情况下，不会产生过大的误差。但是对于地基 支承不均匀，特别是边界受约束的弹性地基板，则误差可能较大。 ( 2 ) 弹性半空间地基 假定水泥混凝土路面为弹性半空间地基上的薄板，进行有限元分析时，其地基刚度 矩阵的建立，可以采用布辛尼斯克公式。假定在节点i 四周的地基反力是均匀分布的， 由该反力荷载引起的任意点的挠度可写成为： 峰2 了2 脚一 亿2 6 ， 当x = y = 0 ，即反力荷载作用于单元中心时， 彬，= ，e( 2 2 7 ) 式中： 长安大学硕士学位论文 式中： f，=垒翮一ejllo：)l；口n 耻差a 7 也。； 6 1 + 一l + l n 口j ，+ 却 以，为胛点离i 点的距离。 由于弹性半空间体表面各节点处的力对各点的垂直位移都有影响。 w l = 置只l + 最e 2 + + 只互。 = 只疋l + 最e 2 + + 只n 2 。 = 鼻e l + b e 2 + + 只c 可运用矩阵计算，即： 则： 加 = k p ) 式中：k 卜一地基柔度矩阵。 由此得：p ) = k 】卅 w = c ，l 。 w ) 式中：k ，卜一地基刚度矩阵。 ， = ( 【k 】3 。，。+ k ， ，。，。) 占 此时，地基刚度矩阵的形式为： 1 5 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) e最；只 ，、【1j 行 一 晰凡如； 2 2 2 r e ；c互e；c m； 第二章水泥混凝七路面有限元分析方泫 | - k ，7 ： lj 3 n * 3 n 2 2 6 何载矩1 5 军 矩形薄板单元上，与各个节点位移相应的节点荷载，可用矩阵表示为： 职 8 = z ，l 乙z 乙乙z 。l z p 乙乙 7 ( 2 3 2 ) 如一矩形单元在z 方向作用有分别荷载g ) ，则传给节点的荷载为： 埘= 肛】7 9 g ，y 胁 ( 2 3 3 ) 下面来推导荷载与节点位移的关系式。设有法向集中荷载尸作用在矩形单元i 、j 、 m 、p 上任意点g ，y ) 。假象该单元发生虚位移，其中g ，y ) 点相应的虚位移为： 杪寸= 和寸 而节点位移的相应虚位移为豁广。按照静力等效的原则，节点荷载与原载荷载在上 述虚位移上的虚功相等，可得： 眙y e ：扩r p ( 2 “) 式中p 为点g ，y ) 处的集中荷载。 因扩 = 【怡y 代入得： 眙r 8 ：怡y ) p ( 2 3 s ) 根据矩阵乘积的逆序法则，上式可化为： 眙y ) r 泳) e ：昭r ) r 【】7 p ( 2 3 6 ) 1 6 n u n u o o o o o o o 0 o o o 如o o如o o o o 0 o 0 o 0 o o 0 0 0 o 0 0 o oo o酯o o 0 o 0 0 0 o 0 o 0 0 0 0 o o o 0 o o 0 o o k o o k o o如o o如o o 长安大学硕士学位论文 由于矩阵眙y ) r 是任意的，等式两边与它相乘的矩阵应当相等，于是得： 俅y = 【】7 尸 而当单元体上沿法向作用分别荷载g g ，y ) ( 面积荷载) 时， 埘= 肛】7 q ( x ，少皿砂 2 3 本章小结 ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 1 论述了有限元不同的三种方法，并详细分析了位移法的计算过程。 2 阐述求解水泥混凝土路面结构问题的有限元方法的基本原理和有关主要公式， 为后续章节应力分析计算提供理论基础。 1 7 第三章设层间功能层的水泥混凝十路面面层荷载应力分析 第三章设层间功能层的水泥混凝土路面面层荷载应力分析 3 1 概述 3 1 1 计算理论与方法 进行水泥混凝土路面应力分析时，多层路面结构需按不同的假设简化为各种力学模 型，采用相应的理论进行计算。它们可以分为弹性地基板理论和弹性层状体系理论。弹 性层状体系理论应用于水泥混凝土路面时，存在难以考虑接缝边界条件不足的问题。因 此水泥混凝土路面应力分析主要采用弹性地基板理论。 混凝土面层强度高，刚度大，挠度小，因此可看作小挠度薄板，弹性地基薄板理论 除弹性力学的基本假设外，还引入了如下一些假设：( 1 ) 变形前后板中面的法线始终垂 直于板中面，称为直法线假设，即横向剪切应变亿1 z y = 0 ；( 2 ) 垂直于板中面的法线长 度变形前后保持不变，即8 ：= 0 ；( 3 ) 板内平行于中面的各面互不挤压，即吁0 ：( 4 ) 板中面各点无平行于中面的位移，即u o = 0 ，v o = 0 。 弹性地基板理论是目前世界很多国家混凝土路面设计时所依据的力学计算理论，按 地基假设的不同可分为w i n k l e r 地基板、弹性半空间地基板等。这些理论在用于荷载应 力计算时均采用了一些假定，而这些假定与路面结构的实际情况有一定差距。有限单元 法的出现和发展，为弹性地基板的应力分析提供了强有力的工具，使板许多复杂的边界 问题得到解决。 3 1 2 有限元软件的选用 目前国内经常使用的有限元软件包括a l g o r 、m a r c 、a n s y s 、m s c n a s t r a n 等，其各有相应的优缺点及其适用性。本文采用的有限元软件为a n s y s ，此软件融和结 构、流体、电场、磁场、声场和耦合场分析于一身，包括3 个步骤：前处理模块，分析 计算模块以及后处理模块。前处理模块可以方便有效地建立有限元三维模型。在施加荷 载进行求解的过程中，包括位移、力、温度在内的任何荷载都可以直接加在任何几何实 体伤或是有限元实体上。荷载可以用具体数值表示，亦可以用与时间或者坐标有关的任 意函数表示。后处理模块可以使用彩色等值线显示、梯度显示、立体切片显示等图形方 式将计算结果显示出来也可以使用图表、曲线形式显示或输出等将计算结果表示出 来。这款有限元软件不仅仅拥有结构静力分析、结构动力学分析、结构非线性分析、动 力学分析、热分析等，而且还具备优化设计、建立子结构模型等高级功能。本文利用 1 8 长安大学硕l 二