（概率论与数理统计专业论文）常利率风险模型中的最优分红问题.pdf

摘要 精算数学是源自金融、保险企业的管理而产生的应用数学，而风险理论则是 精算数学中最具有理论性的组成部分最初的风险理论主要是研究保险公司所关 心的几个精算量，例如破产概率、破产时、破产前余额、破产赤字等在过去的几 十年里，在研究上述几个精算量方面取得了丰硕的成果然而，这些精算量仅仅 代表了公司所面临的风险，随着金融保险市场的蓬勃发展，相对于风险来说，保 险公司越来越关心它们的收益，其中最具有代表性的收益是公司破产之前总的分 红量。所谓的分红是指将公司部分收益( 盈余) 分配给股东或初始准备金的提供 者可以看到总的分红量的大小代表着公司的效益，同时也象征了它的竞争力 因此，相对于破产概率来说，保险公司会更关心它们的分红量。很自然，这时公司 就会面临着一个问题，既如何选择最优的分红策略使得破产前总的折现分红量达 到最大鉴于这种实际的需求，最优分红问题已经成为风险理论中研究的最热点 问题 最优分红问题的研究已具有很长的历史，最初是由f i n e t t i 在1 9 5 7 年第十 五届国际精算会议上提出的当时，f i n e t t i 研究了一类简单的离散时间的随机 游动，证明了最优的分红策略是存在的，并且可以表示成一种上界为常数的边界 策略随后，在f i n e t t i 的结果基础之上，许多文献研究了更一般的离散时间的 随机模型，证明了所谓的带状策略是最优的分红策略形式对于连续时间的风险 模型，一直到1 9 6 9 年才由g e r b e r 首次研究最优分红问题。g e r b e r 考虑的是 古典复合泊松风险模型，证明了最优的分红策略形式是一种带状策略；特别地， 当索赔大小服从指数分布的时候，这种策略就简化为边界策略在随后的几十年 内，由于数学工具的缺乏，最优分红问题的研究没有更实质性的进展。直到二十世 纪九十年代，精算学家开始把随机控制理论应用到风险问题中，从而使分红问题 的研究得到了突破性进展其中，具有代表性的文献为a s s u m s e na n dt a k s a r ( 1 9 9 7 ) 其作者通过h j b 方程的方法得到了带漂移的布朗运动模型下的最优分 红策略：当对分红率没有限制的时候，最优的分红策略形式为边界策略；当分红率 i 摘要 有常数上界的时候，最优的分红策略形式为临界策略。在此之后，许多文献相继 利用随机控制理论来研究最优分红问题，例如，a z c u ea n dm u l e r ( 2 0 0 5 ) ， g e r b e ra n ds h i u ( 2 0 0 6 b ) ，s c h m i d l i ( 2 0 0 6 ，2 0 0 8 ) 和a l b r e c h e ra n d t h o n h a u s e r ( 2 0 0 8 ) 。其中，a z c u ea n dm u l e r 在古典风险模型中同时考虑 最优分红和最优再保险问题，利用h j b 方程粘性解的理论证明了最优的分红策略 形式是带状策略。g e r b e ra n ds h i u 研究了古典风险模型中分红率有限制的情 况，证明了对于服从指数分布的索赔，最优的分红策略为临界策略。而s c h m i d l i 则采用了h j b 方程非粘性解的方法，重新讨论了古典风险模型中的最优分红问 题，分别研究了分红率有限制和没有限制两种情况下的最优策略，得到了更一般 更全面的结果 a l b r e c h e ra n dt h o n h a u s e r 利用h j b 方程粘性解的理论 研究了古典带常利率风险模型中的最优分红策略，证明了对于一般的索赔分布， 最优的分红策略形式为带状策略；对于指数分布索赔，最优分红策略的形式则简 化为边界策略另外，也有一些文献利用随机过程理论和随机控制理论相结合的 方法研究边界策略是最优的分红策略的条件，例如， a v r a me ta 1 ( 2 0 0 7 ) 和 l o e f f e n ( 2 0 0 8 ) 。他们研究的模型为普负的l 6 v y 过程，利用该过程的波动理 论，他们给出了最优的分红策略形式为边界策略的充分条件。 关于最优分红问题的研究已经有半个多世纪了，但仅仅对于带漂移的布朗运 动风险模型研究的比较完善。对于其它风险模型，尤其是带跳的风险模型，仍然有 许多重要的问题等待我们去解决。在过去的几十年里，人们喜欢用带漂移的布朗 运动和古典复合泊松过程去刻画公司的盈余过程，这两类风险模型都具有平稳独 立增量性的特点，因此很多问题容易懈决但最近十几年，随着金融事业的蓬勃发 展，保险与金融的结合已经成为必然的趋势，因此对保险公司来说，只考虑上述两 类风险模型是不切实际的。为了使模型更贴近于实际情况，我们可以把模型进行 推广因此，在本论文中，我们研究常利率风险模型。这类风险模型也是风险理论 中一类重要的模型，如果将公司的盈余投资到无风险资产，例如储蓄或者债券， 用常利率风险模型来刻画投资后的盈余过程是比较合理的 基于上述理论和研究背景，我的博士学位论文主要致力于以下几个方面的研 究：古典带常利率风险模型的最优分红问题、相应的扩散近似风险模型的最优分 摘要 红问题以及带有资金注入的常利率风险模型的最优分红问题本篇论文的结构和 内容安排如下： 第一章，主要介绍最优分红的准则、研究的背景以及论文的主要内容，同时 介绍在本论文中起到关键作用的函数一合流超几何函数以及他们的主要性质 第二章，讨论古典带常利率风险模型中分红率没有限制的情况下边界策略的 最优性首先，利用过程的强马尔科夫性，得到了所有边界策略下分红价值函数 的表达式其次，讨论了在所有的边界策略中最优的边界策略再次，利用h j b 方程的方法讨论了该最优的边界策略在所有可行策略中的最优性，给出了最优分 红策略形式为该边界策略的条件。最后，利用所得到的结论，证明了在索赔大小 服从指数分布的情况下，所找到的最优的边界策略的确在所有可行策略中是最优 的。另外，在本章最后一节，我们还讨论了在没有折现的情况下，破产前总分红的 分布：为一个在零点的退化分布和一个指数分布的混合分布 第三章，研究古典带常利率风险模型中分红率有限制的情况下最优的分红策 略首先，我们假定分红是按照某动力分红率支出的，该分红率被一个正常数所控 制利用随机控制理论中的动态规划原理，我们推导出了最大分红价值函数所满 足的h j b 方程其次，利用h j b 方程和此价值函数的性质，我们构造了一种可 行的分红策略。然后，利用最优性验证定理，我们证明了所构造的策略在所有的可 行策略中是最优的。该最优的分红策略形式为：把区间1 0 ，。o ) 分成两个集合4 和b ，当盈余过程处在集合a 的时候，没有分红支出，即分红率为零；当盈余 过程处在集合b 的时候，分红以最大分红率连续支出。另外，我们还考虑了索赔 大小服从指数分布的情况，对于这类特殊分布，最优的分红策略形式简化为一个 临界策略。最后，我们讨论了在临界策略下，破产时的拉普拉斯变换，在指数索赔 的情况下得到了明确的表达式 第四章，研究古典带常利率风险模型的一个扩散近似风险模型一带常利率 的漂移布朗运动风险模型对于该风险模型，当对分红没有限制的时候，结合c a i e ta 1 ( 2 0 0 6 ) 和s h r e v ee ta 1 ( 1 9 8 4 ) 两篇文章的结果，可以证明在所有的 可行策略中最优的分红策略为一个边界策略在本章中我们将讨论分红有限制的 情况。我们假定分红率不会超过一个固定的正常数首先，我们只考虑临界分红策 i v摘 要 略。利用概率的方法，得到了临界策略下分红价值函数的表达式。然后，在所有的 临界策略中我们找到了最优的临界水平最后，利用h j b 方程的方法，我们证 明了最优的临界策略的确在所有的可行策略中是最优的另外，在本章最后一节 我们还讨论了在临界策略下，破产时的拉普拉斯变换，得到了明确的表达式。 第五章，我们研究带有分红支出和资金注入的古典带常利率风险模型。我们 假定保险公司是不允许破产的，股东或分红受益人应当通过资金注入的方法使得 公司的资产保持非负。对于这个模型，我们试图找到一种可行的策略使得折现分 红和处罚折现注入资金的差的期望最大利用随机控制理论，我们首先推导出最 大价值函数所满足的h j b 方程然后，通过h j b 方程和此价值函数的凹性我 们找到了最优的分红支出和资金注入策略。此最优策略为：当分红率被某一个正 常数所控制的时候，最优的分红策略为一个临界策略；当对分红率没有限制的时 候，最优的分红策略为一个边界策略。对于这两种情况，最优的资金注入策略都为 当公司出现负资产的时候，立即注入资金使得公司的资产恢复到零。 第六章，对本论文进行概括性的总结，同时指出在本论文基础之上，我们将 要开展的工作。 关键词：常利率最优分红边界策略临界策略超几何函数 a b s t r a c t a c t u a r i a lm a t h e m a t i c so r i g i n a t e sf r o mt h em a n a g e m e n to fi n s u r a n c ea n df i n a n c ec o m p a n i e s ，w h i l er i s kt h e o r yi st h em o s ti m p o r t a n t c o m p o n e n to ft h ea c t u a r i a lm a t h e m a t i c s t h ei n i t i a ls t u d yo fr i s k t h e o r ym a i n l yf o c u s e do ns e v e r a li m p o r t a n ta c t u a r i a lv a r i a b l e s ，f o r e x a m p l e ，t h ep r o b a b i l i t yo fr u i n ，t h et i m eo fr u i n ，t h es u r p l u si m - m e d i a t e l yp r i o rt or u i n ，t h ed e f i c i ta tr u i na n ds oo n d u r i n gt h e p a s tf e wd e c a d e s w eh a v em a d er e m a r k a b l ep r o g r e s si ns t u d y i n gt h e a b o v e - m e n t i o n e da c t u a r i a lv a r i a b l e s h o w e v e r ，t h e s ea c t u a r i a lv a r i a b l e so n l yr e p r e s e n tt h er i s k sf a c e db yi n s u r a n c ea n df i n a n c ec o m p a n i e s w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h ef i n a n c em a r k e t ，i n s u r a n c ea n d f i n a n c ec o m p a n i e sc a r em o r ea b o u tt h e i ry i e l d a m o n ga l lt h ey i e l d ， t h et o t a ld i v i d e n d sb e f o r et h et i m eo fr u i ni st h em o s tr e p r e s e n t a t i v e y i e l df o rt h ec o m p a n y t h es o - c a l l e dd i v i d e n d sa r ep a y m e n t sm a d e b yac o r p o r a t i o nt oi t ss h a r e h o l d e r s w ec a ns e et h a tt h ea m o u n t o ft h et o t a ld i v i d e n d sr e p r e s e n t st h ec o m p a n y sb e n e f i ta n da l s oa s y m b o lo ft h ec o m p a n y sc o m p e t i t i v e n e s s t h e r e f o r e ，c o m p a r e dw i t h t h ep r o b a b i l i t yo fr u i n ，t h ei n s u r e rc o n c e r nm o r ea b o u tt h ea m o u n to f d i v i d e n d s t h e n ，i ti sn a t u r a lt h a tt h ec o m p a n y w i l lf a c eap r o b l e m o fc h o o s i n ga no p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yt om a x i m i z et h ee x p e c t e d c u m u l a t e dd i s c o u n t e dd i v i d e n dp a y m e n t sb e f o r et h et i m eo fr u i n i n v i e wo ft h er e q u i r e m e n to fp r a c t i t i o n e r s ，t h eo p t i m a ld i v i d e n dp r o b - l e mh a sb e c o m eaw i d e l yd i s c u s s e dt o p i c t h ep r o b l e mo ff i n d i n gt h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yh a sal o n g h i s t o r y i tw a sf i r s tp r e s e n t e db yf i n e t t ia tt h e1 5 t hi n t e r n a t i o n a l v v i a b s t r a c t c o n g r e s so fa c t u a r i e si nn e wy o r kc i t yi n1 9 5 7 h ec o n s i d e r e da d i s c r e t et i m er a n d o mw a l kw i t ht h ea g g r e g a t eg a i np e ru n i tt i m ei s + 1o r - 1a n dp r o v e dt h a tt h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yi sab a r r i e r s t r a t e g yw i t hac o n s t a n tb a r r i e rl e v e l f u r t h e r m o r e ，h ea l s os h o w e d h o wt od e t e r m i n et h eo p t i m a ll e v e l s u b s e q u e n t l y , o nt h eb a s i so f f i n e t t i sr e s u l t s ，m a n ya u t h o r sc o n s i d e r e dm o r eg e n e r a ld i s c r e t et i m e r i s km o d e l sa n dp r o v e dt h es o c a l l e db a n ds t r a t e g yi st h eo p t i m a ld i v - i d e n ds t r a t e g y f o rt h ec o n t i n u o u st i m er i s km o d e l s ，t h ep r o b l e m o ff i n d i n gt h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yw a st r e a t e db yg e r b e ri n 19 6 9 h ec o n s i d e r e dac l a s s i c a lc o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e la n d p r o v e dt h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yi sab a n ds t r a t e g y f o re x p o - n e n t i a l l yd i s t r i b u t e dc l a i ms i z e s ，h es h o w e dt h a tt h i sb a n ds t r a t e g y s i m p l i f i e st oab a r r i e rs t r a t e g y d u r i n gt h en e x tf e wd e c a d e s ，b e c a u s e o ft h el a c ko fm a t h e m a t i c a lt o o l s ，n 0s u b s t a n t i a lr e s u l t sh a v eb e e n a c h i e v e da b o u tt h eo p t i m a ld i v i d e n dp r o b l e m s a n dt h e n ，i n1 9 9 0 s ， a c a d e m i c i a n sa p p l i e dt h es t o c h a s t i cc o n t r o lt h e o r yt ot h er i s kt h e o r y a n dm a d eab r e a k t h r o u g hi no p t i m a ld i v i d e n ds t u d i e s a m o n gt h e l i t e r a t u r e s ，t h em o s tr e p r e s e n t a t i v el i t e r a t u r ei sa s m u s s e na n dt a k - s a r ( 19 9 7 ) t h ea u t h o r sf o u n dt h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yf o rt h e b r o w n i a nm o t i o nw i t hd r i f tr i s km o d e lb yh j be q u a t i o n ：w h e nt h e d i v i d e n dr a t ei sr e s t r i c t e db yap o s i t i v ec o n s t a n t ，t h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yi sf o r m e db yat h r e s h o l ds t r a t e g y ；w h e nt h ed i v i d e n d r a t ei su n r e s t r i c t e d ，t h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yi sf o r m e db yab a r - r i e rs t r a t e g y a f t e rt h a t ，t h e r ei sac o n s i d e r a b l ea m o u n to fl i t e r a t u r e s o ns t u d y i n go p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yu s i n gs t o c h a s t i cc o n t r o l ，f o re x - a m p l e ，a z c u ea n dm u l e r ( 2 0 0 5 ) ，g e r b e ra n ds h i u ( 2 0 0 6 b ) ，s c h m i d l i ( 2 0 0 6 ，2 0 0 8 ) a n da l b r e c h e ra n dt h o n h a u s e r ( 2 0 0 8 ) a z c u ea n d m u l e r f o u n dad y n a m i cc h o i c eo fb o t ht h er e i n s u r a n c ep o l i c ya n dt h ed i v - i d e n dd i s t r i b u t i o ns t r a t e g yt h a tm a x i m i z e st h ec u m u l a t i v ee x p e c t e d d i s c o u n t e dd i v i d e n dp a y m e n t si nac l a s s i c a lr i s km o d e l t h e yc h a r a c t e r i z e dt h em a x i m a ld i v i d e n d v a l u ef u n c t i o na st h es m a l l e s t v i s c o s i t ys o l u t i o no ft h ea s s o c i a t e dh a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a ne q u a t i o n a n dp r o v e dt h a tt h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yi sf o r m e db yab a n d s t r a t e g y g e r b e ra n ds h i up o s t u l a t e dab o u n d e d d i v i d e n dr a t ei nt h e c o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e l t h e ys h o w e dt h a tf o rt h ec a s eo fa n e x p o n e n t i a lc l a i ma m o u n td i s t r i b u t i o n ，t h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yi sat h r e s h o l ds t r a t e g y s c h m i d l ir e - d e r i v e dt h eo p t i m m d i v i d e n d s t r a t e g yf o rac l a s s i c a lr i s km o d e l ，h es t u d i e di t f o rb o t hr e s t r i c t e d d i v i d e n dp a y m e n t sc a s ea n du n r e s t r i c t e dd i v i d e n dp a y m e n t sc a s e b y h j be q u a t i o n ，h eo b t a i n e dg o o dr e s u l t s a l b r e c h e ra n dt h o n h a u s e r d i s c u s s e dt h i sd t i m a lr o b l e m 。, n e r a l i z e ds e t t i n gincludingdiscussedt h i so p t i m a lp r o b l e mi nag e n e r a n z e os e z u n gl n c l u u l l t ga a c o n s t a n tf o r c eo fi n t e r e s ti nt h er i s km o d e l t h e yi d e n t i f i e dt h em a x - i m a ld i v i d e n d v a l u ef u n c t i o ni nt h es e to fv i s c o s i t ys o l u t i o n so ft h e a s s o c i a t e dh a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a ne q u a t i o na n dd e r i v e dt h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yi nt h i sr i s km o d e lw i t hi n t e r e s t ，w h i c hi nt h e g e n e r a lc a s ei sa g a i no fb a n dt y p ea n d f o re x p o n e n t i a lc l a i ms i z e sc o l - l a p s e st oa b a r r i e rs t r a t e g y i na d d i t i o n ，t h e r ea r es o m el i t e r a t u r e s w h i c hc o m b i n es t o c h a s t i cp r o c e s st h e o r ya n ds t o c h a s t i cc o n t r o lt h e - o r yt os t u d yt h eo p t i m a l i t yo fb a r r i e rs t r a t e g i e s ，f o re x a m p l e ，a v r a m e ta 1 ( 2 0 0 7 ) a n dl o e f f e n ( 2 0 0 8 ) t h e yc o n s i d e r e dt h eo p t i m a ld i v i d e n dp r o b l e mi nas p e c t r a l l yn e g a t i v el v yp r o c e s s d r a w i n go nt h e f l u c t u a t i o nt h e o r yo fs p e c t r a l l yn e g a t i v el v yp r o c e s s e st h e yg a v ea n e x p l i c i ta n a l y t i c a ld e s c r i p t i o no ft h eo p t i m a ls t r a t e g yi nt h es e t o f b a r r i e rs t r a t e g i e s s u b s e q u e n t l yt h e yi n v e s t i g a t e dw h e nt h ed i v i d e n d p o l i c yt h a ti so p t i m a la m o n ga l la d m i s s i b l eo n e st a k e st h ef o r mo fa b a r r i e rs t r a t e g y v i i i a b s t r a c t i nt h ea c t u a r i a ll i t e r a t u r e ，t h es t u d yo fo p t i m a ld i v i d e n dp r o b 1 e m sh a s1 a s t e df o rm o r et h a nh a l fac e n t u r y b u to n l yi nt h eb r o w - n i a nm o t i o nw i t hd r i f ts e t t i n g ，w eo b t a i nb e t t e rr e s u l t s f o ro t h e r r i s km o d e l s ，e s p e c i a l l yf o rr i s km o d e l sw i t hj u m p s ，t h e r ea r es t i l l m a n yi m p o r t a n ti s s u e sr e m a i nt ob es o l v e d i nt h ep a s tf e wd e c a d e s ， m a n ya c a d e m i c i a n su s et h eb r o w n i a nm o t i o nw i t hd r i f ta n dc l a s s i c a l c o m p o u n dp o i s s o np r o c e s st op o r t r a yt h ec o m p a n y ss u r p l u sp r o c e s s b o t ht h et w or i s km o d e l sh a v es t a t i o n a r yi n d e p e n d e n ti n c r e m e n t s ，s o m a n yp r o b l e m sa r ee a s i e rt os o l v e h o w e v e r w i t ht h ev i g o r o u sd e - 1 一一 一一 1 v e l o p m e n to ft h ef i n a n c em a r k e t ，t h ec o m b i n a t i o no fi n s u r a n c ew i t h f i n a n c ei sa ni n e v i t a b l et r e n d t h e r e f o r e ，i tt u r n so u tt h a ts t a t i o n a r y i n d e p e n d e n ti n c r e m e n ti sn o tar e a l i s t i ca s s u m p t i o nf o rc e r t a i na r e a s o fi n s u r a n c e i no r d e rt om a k et h em o d e lm o r er e a s o n a b l yr e a l i s t i c w ec a nm o d i f yo ri m p r o v et h em o d e l t h e r e f o r e ，i nt h i st h e s i s ，w e c o n s i d e rr i s km o d e l sw i t hc o n s t a n tf o r c e t h i st y p eo fr i s km o d e li s a l s oa ni m p o r t a n tc l a s so fm o d e l si nt h er i s kt h e o r y i ft h es u r p l u s i si n v e s t e di nar i s k - f r e ea s s e t ，f o re x a m p l e ，d e p o s i t so rb o n d s ，i ti s r e a s o n a b l et oa s s u m et h a ti t sr e t u r no ni n v e s t m e n tw i l lr e m a i nc o n s t a n t o nt h eb a s i so ft h e s et h e o r ya n d b a c k g r o u n d ，m yd o c t o r a ld i s s e r t a t i o ni sm a i n l yd e v o t e dt ot h e d e v e l o p m e n to ft h ef o l l o w i n ga s p e c t s ： t h e p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g y 。 c l a s s i c a 。r i s km o d e lwiththeo p t x m a ld i v i d e n ds t r a t e g gi nac l a s s i c a lr i s km o d e lw i t hac o n s t a n t f o r c eo fi n t e r e s t ；t h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yi nt h ec o r r e s p o n d i n g d i f f u s i o , p p r o x i m a t i o r i s k) d e ldt h e p t i m a g 1 yrisl(11 u s l o na p p r o x l m a t i o nr i s km o d e la n dt h eo d t i m a ls t r a t e g yi nar iskwithd i v i d e n dp a y m e n t sa n d p i t a li n j e c t i o n s t h econt(model w i t hd i v i d e n dp a y m e n t sa n dc a p i t a li n j e c t i o n st h ec o n t e n t s a n ds t r u c t u r eo ft h ed i s s e r t a t i o na r eo r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ab r i e fo v e r v i e wo ft h eo p t i m i z a t i o nc r i t e r i aa n d t h eb a c k g r o u n d f o l l o w i n gt h a ti st h em a i n b o d yo ft h i sd i s s e r t a t i o n a b s t r a c t i x a n dt h ei n t r o d u c t i o no fc o n f l u e n th y p e r g e o m e t r i cf u n c t i o n s i nc h a p t e r2 ，w e i n v e s t i g a t et h eo p t i m a l i t yo ft h eb a r r i e rs t r a t e g y f o rac l a s s i c a lr i s km o d e lw i t hac o n s t a n tf o r c eo fi n t e r e s t b ys t r o n g m a r k o vp r o p e r t y , w ed e r i v et h ee x p r e s s i o n sf o rt h ed i v i d e n d v a l u e f u n c t i o nw i t hab a r r i e rs t r a t e g y t h e nw eg i v ea ne x p l i c i ta n a l y t i c a l d e s c r i p t i o no ft h eo p t i m a ls t r a t e g yi nt h es e to fb a r r i e rs t r a t e g i e s a n d t h e n ，b yh j be q u a t i o n ，w eg i v et w oc o n d i t i o n su n d e r w h i c ht h e o p t i m a lb a r r i e rs t r a t e g yb et h eo p t i m a ls t r a t e g ya m o n ga l la d m i s s i b l ep o l i c i e sf o rg e n e r a lc l a i md i s t r i b u t i o n s w h e nc l a i ms i z e sa r e e x p o n e n t i a l l yd i s t r i b u t e d ，i ti ss h o w nt h a tt h eo p t i m a ld i v i d e n dp o l i c yi sab a r r i e rs t r a t e g ya n dt h em a x i m a ld i v i d e n d v a l u ef u n c t i o ni s ac o n c a v ef u n c t i o n f i n a l l y ，s o m ek n o w nr e s u l t sr e l a t i n gt ot h ed i s - t r i b u t i o no fa g g r e g a t ed i v i d e n d sb e f o r er u i na r ee x t e n d e d i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a t e g yi nt h er e - s t r i c t e dd i v i d e n dr a t es e t t i n gi nac o m p o u n dp o i s s o nr i s kp r o c e s sw i t h ac o n s t a n tf o r c eo fi n t e r e s t f i r s t ，w ea s s u m et h a td i v i d e n d sa r ep a i d a tad y n a m i cr a t ea n dt h i sr a t ei sb o u n d e d b y ap o s i t i v ec o n s t a n t b y s t o c h a s t i cc o n t r o lt h e o r y , w ed e r i v et h eh j be q u a t i o nf o rt h em a x - i m a ld i v i d e n d v a l u ef u n c t i o n t h e n ，b yt h eh j be q u a t i o na n dt h e p r o p e r t i e so ft h ev a l u ef u n c t i o n ，w ec o n s t r u c ta na d m i s s i b l es t r a t e g y w es h o wt h a tt h ea d m i s s i b l es t r a t e g yi si n d e e do p t i m a la m o n ga l l a d m i s s i b l eo n e s t h i so p t i m a ls t r a t e g yi sd e s c r i b e da sf o l l o w s ：w e s p l i tt h ei n t e r v a l 0 ，c n ) ) i n t ot w os u b s e t sa a n db w h e nt h es u r p l u s i si nt h es u b s e ta n od i v i d e n d sa r ep a i d ；w h e nt h es u r p l u si si nt h e s u b s e tb ，d i v i d e n d sa r ep a i da tt h em a x i m a ld i v i d e n dr a t e f o rt h e c a s eo fa ne x p o n e n t i a lc l a i ma m o u n td i s t r i b u t i o n ，i ti ss h o w nt h a t t h eo p t i m a ld i v i d e n ds t r a