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中文摘要 摘要:本文将源于统计物理学中的渗流理论在数理金融学中股票市场相结合,并 且利用概率论中的p o i s s o n 过程和p o i s s o n 分布,对股票价格的收敛性进行分析 第一部分,首先介绍了金融数学的一些基本知识金融数学作为一门新兴的学 科,正在广泛的应用于经济和金融等各个学科接着,渗流及数理金融学中的基本 概念然后应用证券市场中的股票价格过程,通过建立相应的模型,构造出股价 的随机过程,再利用价格过程的特征函数,研究股价过程的概率分布的收敛问题, 文中分别对股价在临界点附近前后两种情况进行了讨论然后,对模型进行深化, 把停时的内容应用到模型中去,得到类似的结论。 第二部分,在第一部分的基础上根据概率论中的p o i s s o n 过程,p o i s s o n 分布 和渗流理论,研究证卷市场中的股票价格波动过程,通过建立相应的金融收益模 型,构造出股价的随机过程再利用价格过程的特征函数,研究股价过程概率分 布的收敛问题同时文中还讨论了在不同时段内股价波动的性质和状态 关键词:p o i s s o n 过程:p o i s s o n 分布:渗流理论;b l a c k - s c h o l e s 公式:特征函 数 分类号:0 2 1 1 9 a b s t r a c t :i nt h i sp a p e r , i tc o m b i n e st h ep e r c o l a t i o nt h e o r y , w h i c hc o m eo ft h e s t a t i c a lp h y s i c sw i t ht h es t o c km a r k e ti nm a t h e m a t i c a lf i n a n c e ,i td i s c u s st h ea n a l y s i so n c o n v e r g e n c eo fs t o c kp r i c ei nas t o c km a r k e tw i t hp o i s s o np r o $ sa n da n dp o i s s o n d i s t r i b u t i o n i np a r to n e ,a tf i r s t , l e ti i si n t r o d u c es o m eb a s i ck n o w l e d g eo ff i n a n c i a l m a t h e m a t i c s f i n a n c i a lm a t h e m a t i c si san e wm e r g i n gs u b j e c t , a n di ti sw i d e l yu s e di n e c o n o m i c sa n df i n a n c e t h e nw ei n t r o d u c et h eb a s i cc o n c e p t i o n so f p e r c o l a t i o na n dm a t h e m a t i c a lf i n a n c e a sd i s c u s s i n gt h ep r i c eo ft h es t o c km a r k g tw i t ht h ep e r c o l a t i o no fp r o b a b i l i t yt h e o r y t h es t o c h a s t i cp r o c e s so ft h ep r i c ei sc o n s t r u c t e dw i t hc o r r e s p o n d e n tm o d e l ,t h e nt h e d i s t r i b u t i o no ft h es t o c kp r i c ci sd e s c r i b e db yc h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n w ed i s c u s st h e s t o c k 嘶c eb e f o r et h ec r i t i c a lp o i n ta n da f t e rt h ec r i t i c a lp o i n t i np a r tt w o ,a tt h eb a s i co fp a r to n e ,i ti n v e s t i g a t e st h ef l u c t u a t i o no fp r i c e p r o c e s si nas t o c km a r k a tw i t hp o i s s o np r o c e s s , p o i s s o nd i s t r i b u t i o na n dp e r c o l a t i o n t h e o r y , a n dc o n s t r u c tt h ec o r r e s p o n d i n gr a n d o mp r i c ep r o c e s s a c c o r d i n gt o t h e c h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o no ft h es t o c kp r i c e ,w es t u d yt h ec o n v e r g e n c eo ft h ep r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o nf u rt h es t o c kp r i c ep r o c e s s , a n dd i s c u s st h ep r o p e r t i e so f f l u c t u a t i o n sf o rt h e s t o c kp r i c e k e y w o r d s :p o i s s o np r o c e s s ;p o i s s o nd i s t r i b u t i o n ;p e r c o l a t i o nt h e o r y c l a s s n o ;0 2 11 9 致谢 本论文的工作是在我的导师王军副教授的悉心指导下完成的,王军剐教授严 谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢三年来 王军老师对我的关心和指导。三年来,无论是在研究生的课程学习当中,还是在 论文的选题,研究和定稿当中,王老师自始至终给了我无私的关怀和大力的帮助 两年多的研究生生活之中,王老师渊博的知识,严谨的治学态度和认真负责的工 作态度使我受益匪浅,并将受益终身而跟随王老师学习以及课题研究也为我以 后工作的发展打下良好的基础。在此,向王老师表示衷心的感谢。 感谢我的父母对我多年的教育与培养,在我遇到各种困难时,他们总是在积 极地鼓励我,支持我,给与我精神上的支持和物质上的帮助,使我能够全身心的 投入到课题研究中去。 两年多的研究生生活使我学习了很多新的知识,使我有了新的人生目标,感 谢所有在学习中帮助过我的老师,感谢帮助过我的所有同学。 感谢我同门的师弟师妹,和他们共同学习的过程中,收获颇多 感谢各位学者,专家在百忙之中审阅我的文章,并给出批评意见。 韭塞奎通太竺醒生位 i 幺 塞!j l直 1 引言 伴随着经济的快速发展,各种研究金融的工具不断产生而金融数学是最近发 展起来的新兴边缘学科,是数学与金融学的交叉主要运用现代数学理论和方法 ( 如:随机分析、随机最优控制、组合分析、非线性分析、多元统计分析,数学规 划、现代计算方法等) 对金融( 除银行功能之外,还包括投资,债券、基金、股票、 期货、期权等金融工具和市场) 的理论和实践进行数量的分析研究金融数学已 成为发展最快的应用数学分支之一 金融市场上的波动现象一般可归结为随机的问题,倒如我们常常假设股票价 格的波动服从莱随机过程,象几何布朗运动,然后进行随机分析。但是金融市场 多数情况下并不满足稳定的假设,时常出现异常的波动。近些年来的最新研究成 果自回归条件异方差模型可以较好地派上用场另外随机最优控制和随机微分方 程这些较晚发展起来的数学工具。已在大多数金融领域得到应用 在这里,我们将把概率论中的渗流理论知识应用到构造股票价格过程模型中 去,研究股票价格过程的波动和收敛的极限状态,最终利用特征函数证明了所构 造的股票价格过程的模型收敛到被大家广泛接受的b l a c k - s c h o l e s 公式 6 韭塞銮道太堂碾堂位童丘塞2 刭囝涟菹堡盈盟避基俭搔过捏噍魏毽进在筮圭匠 2 利用渗流理论对股票价格过程收敛性进行分析 韭塞窑墟太堂亟堂垃盈塞 2 型围洼逋理i 幺盟股基俭搔照程蝗塑性进短筮蚯 2 1 绪论 2 1 1 选题背景 金融数学 1 】 2 是一个新兴的边缘科学,是指运用数学理论和方法,研究金 融运行规律的一门新兴边缘学科,其核心问题是在不确定多期条件下的证券组合 选择和资产定价理论 早在1 9 9 0 年,法国的数学家巴歇里,在他的博士论文中“投机的理论”中, 把股票描述为布朗运动 3 3 ,这也是第一次给布朗运动以严格的数学描述,这一理 论为以金融数学的发展特别是现在期权理论的建立奠定了基础 金融数学这一学科的名称直到2 0 世纪8 0 年代末期才出现,它是马克维姿的证券组 合理论( h k o w i t z1 9 9 0 年诺贝尔经济学奖) 和斯科尔斯一一默顿的期权定价理 论( m s c h o l e r - r j l e r t o n 1 9 9 7 年获诺贝尔经济学奖) ,这两次华尔街革命的直 接产物国际称其为数理金融学 金融数学作为一门边缘学科,应用大量的数学理论和方法研究,解决金融中 一些重大理论问题,实际应用问题和一些金融创新的定价问题等,由于金融问题 的复杂性,所用到的数学知识,除基础知识外,大量的运用现代数学理论和方法 目前从事金融数学研究的主要有如下三类人:概率论和随机分析学者,随 机控制论学者和数理统计学者。近年来,一些从事统计物理和非线性科学研究学 者也被吸引到经济和金融领域。他们将本学科的研究方法移植到经济系统和金融 复杂性的研究中来,尝试揭示金融市场这一白适应复杂系统的演变规律。他们新 近提出了“经济物理学”这一新概念 对于股票价格过程的研究是金融数学 1 】 2 研究的内容之一,随着证券股票 市场的不断发展和完善,越来越多的人用一些新的数学工具来对股票价格进分析 和研究渗流理论是概率论的一个重要分支,它多用于统计物理学 4 中,由于渗 流模型所研究的粒子之间的相互作用与股票市场上的投资人之间的互相影响有相 通之处,而投资人之问的相互影响又是影响股票价格的关键因素,因此我们将应 用渗流理论来刻画股价的波动,并建立相应的模型来分析股票价格过程 5 假设在某一股票市场中,某个投资人发出买入或者卖出股票的信息后此信息 经过渗流链传给其他投资人,因此会影响这些投资人买入或者卖出股票的决策, 这样就会引起股票价格的变化如果考虑足( 足是随机变量) 个不同的交易区域( 如: 不同的省或市) ,每个交易区域以一定的规律会各自发出买进或卖出的消息,消息 经渗流链在本区域内进行传播,各个区域的人会受到影响采取相应的交易决策【6 】, 进而影响股票价格在此基础上,构造股票价格过程,并最终证明了所建价格过程 s 的特征函数收敛到对于股票价格波动和期权问题的研究都有重要理论意义和实际 的b l a c k - s c h o l c s 公式【7 】 2 1 2 边渗流 考虑d 维空间z 。,z 4 是向量 善;“,而,) 的集合,在这里d l ,对于j ,我们记薯为x 的第f 个 坐标 定义1 1 d 6 力= k 一咒i 为x 到y 的距离 定义1 2j ( o ,力= m 为原点到x 的距离 通过在鼬,) = l ,即两点z ,y 的距离为l 的一对点上加上边后,可以 看成一个d 维的立体格点图,并记为,所有边记为,= ( z 4 ,) 其 定义1 3 如果6 0 ,) ,) = l ,则称两点x ,_ ) ,为连通的,记为( x ,y ) 接下来,介绍传播概率 8 对于肛g 满足0 p s l ,p + q = l ,中所有边以概率p 为开的以g 为闭的, 且各边是相互独立的取q = 1 - i 。一 o i ,其中样本点记为搿= ( 缈o ) :口e e 4 ) ,则有 m ( 口) = o 代表e 是闭的,o s ( e ) = l 代表p 是开的把f 记为q 的子集生成的盯代数,p 为( q d 上的测度 9 ,则砟= 兀以,这里以是 o l ,上的b e r n o u l l i 测度,且有 以( 国o ) = o ) = g ,以( m 0 ) = 1 ) = p 根据边的不同,对于每条边p 的概率空间 ( q f ,p ,) ,这里p ,= n 总,且有以( 国( e ) = o ) = g q ) ,以( m q ) = 1 ) = p o ) t t e i 定义1 4 x o ,岛,而, ,是不同的顶点薯,弓构成的序列,满足 岛= 如,k 。) ,则称为而到的一条路径,其长度为疗考虑的一个部分中的边和 顶点,图中相通的部分称为一个开串,c c 力为包含x 的一个开串,i c ( x ) l 为串上点 的个数 定义1 5i c m = o o ,称渗流发生 定义1 6o ( p ) = 砟q c i = m ) 称为边渗流的渗流概率 引理i 1 存在只,满足o p 见 这里以称为边渗流的临界点 定义1 7 以= s u p p :日( p ) = 0 ) 韭塞篁煎叁堂亟堂盈监奎2 型旦盗远堡j 幺过腔墓盆搔过程蝗筮挂进缸盆蚯 在应用于实际物理模型中还有连续渗流和格点渗流等,下面做一下简单的介 绍 首先,介绍连续渗流 7 的有关概念: 设( q ,f ,) 为一个概率空间,考虑二维实数空间r 2 ,用b 2 表示酞2 中的b o r e l 集的盯代数,用表示b 2 上所有计数测度的集合,用它把有限测度对应到有界 b o r e l 集,并且单点的测度至多为1 ,构造的矿代数n = 伽n :( 一) = t ) ,其 中,a b 2 , k 为整数 定义1 8 一个点过程 8 z 即为由概率空间( g f ,) 到饥) 的可测映射点过 程x 称为强度( 或密度) 为五的齐次波松过程,如果它满足: ( i ) 对于互不相交的b o r e l 集4 ,4 ,4 ,随机变量x ( 4 ) j | ( 4 ) ,x ( 4 ) 相互独立 ( i i ) 对于任意有界的b o r e l 集a e b 2 ,k 0 p ( y ( 4 ) = 七) - - - - - p 。矾椰( 矿,( 4 ) ,七f ) 其中,“) 表示孵的l e b e s u g e 测度c 9 点过程x 非齐次波松过程,如果它满足: ( i ) 对于互不相交的4 ,4 ,4 ,随机变量石( 4 ) ,x ( 4 ) ,j ( 4 ) ,相互独立 ( i i ) 存在一个测度函数a :r 2 哼f o 叫对于任何有界的b o r e l 集,有 p ( x ( a ) = k ) = p _ j a 帕4 ( ( _ j a o ) d 吩七! ) 由此可见,当a o ) = 五,即为强度为五的齐次波松过程e 3 1 1 1 考虑畎2 上强度为名的齐次波松过程,记为 墨:,e d ,对于每个f ,以五为 球心,l 为半径作二维闭球,记作s ,我们所感兴趣的是的球 我们称二维闭球墨,s ,相连接,如果墨n s ,o ,若存在一列球瓯,墨:,& 满 足晶= 墨,& = s ,蜀与晶+ i ( ,;l ,2 ,k - 1 ) 相邻接则记墨付s ,一个球申,( 渗流连 接串) 碱:f e ,u e d ) 指所有的i ,e j 满足性质置s ,的最大的二维闭球集合, 用球心的集合表示串,通常记为c ,串的大小即为属于它球的个数,用i c i 表示 如下图示: 以只表示强度为a 的齐次波松过程的概率测度,用易表示相应得数学期望,c ( 曲 表示r 2 包含工的串,c ( 功;m 时,称渗流发生,c 称为无穷渗流连接串 1 2 】 类似于边渗流,( 句;只q c ( 叫= o o ) 称为渗流概率 引理1 2 令而为任意的波松点,岛是以为中心,以1 为半径作二维闭球, 用c ( 墨) 表示& 内的波松点的个数,则有 c ( 品) o 有 易【c ( b 月( z ) ) l = x l s 月o ) i 以舻( 因此有 只( c ( b r ( z ” 鸭协z 2 ) = l 则有 c ( b r 0 ) ) 1 ) 使得 c ( 晶) c b 甩( z o ) ) n j 成立,由此完成了引理 1 3 证明 2 i 3b l a c k - s c h o l c s 公式与价格过程 对于股票价格过程的研究是金融数学 f l 2 研究的内容之一,其中股票价格 b l a c k - s c h o l e s 公式被广泛接受和应用,它对股票价格波动的研究和期权问题的研 究都有重要的理论意义和实际意义 定义1 9s ( f ) = ( s ,品( ,) ,晶( ,) ) ,其中o ) 表示第种股票在时刻t 的 价格,记s = 墨:f = 0 , 1 ,d 表示一个价格过程【5 】,通常,若取s ( t ) ;墨,即 可以表示某一支股票的价格过程 一个典型的随机动态的价格过程是如下给出的; s ( f ) = s ( o ) c x p 【c r ( j ) d 以f ) + 【( j ) 出 其中,函数盯0 ) 描述了股票价格一定的波动,声( 曲为一个趋向函数,并把上 式称为股票价格的b l a c k - s c h o l e s 公式 “ 2 2 股票价格过程的收敛性分析 2 2 1 二维边渗流与停时 北塞交逼太堂塑土堂位淦塞2 型田浚遴堡淦盟股瑟俭搭过程噍夔挂进红盆扼 参见参考文献 8 在一个二维格点图上,原点记为口,考虑z 2 的全部边,即全 部z 2 中紧邻的点对 占2 皇 ( ,屯) ;薯z 2 , k - x 2 i = 1 ) 设有相互独立同分布的随机变量族 t b ;b e b 2 ,其中 ,( r s = 1 ) = 易段巩= o ) = i - p ( o s p s l ) ,( 我们如果把仉= l 看成是边b 开,= o 看成是边b 为闭,渗流的一个重要 问题就是从原点出发,能否找到一条通路达到无穷较形式地,记 “o ) 叁 x z 2 ;j ,l o 及而,焉,“= 椎得 i x i 一粕l - l ,而且存在仇 m ) ) = l ,对o i s l 成立 匕( p ) 皇剐c ( o ) l = 叫l c ( o ) i 指c ( 帅元素的个数,如下图所示: n , rl 、 圈2 显然,匕( d 对p 递增,当p = o 时,p - ( 竹= 0 ,当咿= l 时,巳( ,) = l 问题是对 o 0 2 2 2 模型建立 在股票市场中,不同区域会在某天早上一开盘时会受到利好、利空或中立的 市场消息,这些消息会经过渗流模型传播,从而影响投资人的行为,进而影响股 价的波动。现在考虑有置个不同区域,x 是一随机变量且服从参数为五的p o s s i o n 分布 1 5 ;设交易时间t a = l ,2 n ,( t 可以表示某一天) ,且它们相互独立 在每一天内,我们假设每个区域f 0 玉i k ) 以概率口发出买入的消息,以概率发 出卖出的消息,以卜口一口保持中立下面我们来分析一下,并给出适当定义 韭塞銮煎太堂亟土堂位监塞2 型厦连逾堡淦越股墓俭搔过程蝗筮焦进短筮赶 对于区域i ( 1 s i j 【) ,假设所有投资者站在一个边长为n 的正方形的格点上, 发出消息的投资者站在原点0 处,其他投资者站在其它格点上假设相邻格点以概 率p 为开,以概率l - p 关闭。这样受到消息的格点的集合为b ( n ) ,设其个数为c _ m , 当原点处的投资者发出卖的消息时,也有同样的假设 假设某天t ,站在原点的投资者发出卖的消息,定义: g ( r ) = + l ; 如果站在原点的投资者发出买的消息 g ( o - - 一l : 如果站在原点的投资者发出卖的消息 g ( f ) = 0 ; 如果站在原点的投资者发出中立的消息 这样: p ( g ( t = + 1 ) = 峨e ( g ( o = - t ) = 卢;且诂( 1 ) g ( 2 ) g ( 呻 是相互独立的,对于 某区域f ( 1 f s k ) 我们定义: ( 印) = g ( t ) c m o ) ,2 ( 2 1 ) 这是以实施行为的投资者占总人数的比例来定义的,从某种意义上来讲能影 响股票的价格。如果定义第t 天的股票价格为墨,由于每个地区置是否发出消息 服从参数为九的柏松分布。此l l 寸有 墨,艮。= 唧p 二( 4 ) ( 2 2 ) 其中c ( o o ,巩 o 使得y n 札时,有; , 一占哥 易【c 】,2 尼 等 乓【g 】2 口( p ) 2 一占 ( 2 4 ) 韭塞奎邋太堂醒圭堂焦盈塞 2 捌旦澄近壁童幺盟避基俭揸过程蝗筮缝进短盆短 同理,对于随机变量( c 赫,2 ) 2 仍有以上结果 通常情况下,我们不是研究每一天的股票价格,丽是研究某一对间段内的股 价,为此,我们可以把时间分成一些时间带,每一段时间为“”( 0 占 1 1 2 ) , 设瓦t 矿“”,而且假设在每个时间带 【l ,五l 阮+ l ,五+ 瓦1 阢+ 五+ 瓦。+ l ,五+ 疋+ 瓦】 内口,卢和,的值都是变化的。设初始概率岛 n ,各时问带的概率为p i 根 据式( 2 4 ) 存在充分大的m ,对于 i 2 ) 有: p p c 一瓴- p o ) n 4 j 耳 c t ,m 2 1 玎1 ,砟 气2 l l n a ( 2 p c 等砟h ,帆2 2q ,q c t 2 ,m 4 乏吃 ( 2 6 ) 式中c l ,c 2 为两个正常数我们再假设: 7 , = p o + ( 豉一p o ) n 。 p 2 = p o + 地- p o ) n 。 ; p i = p o + ( 2 t 1 ) ( 见一只d ) ,疗2 ; 只,2 ,= b 一( 只一p o ) n 4 p 1 2 = p c + p c p o ) n 1 即后2 + i ,已经达到了渗流概率,对所有仇= 见+ ( 见一p o ) ,矿,我们如 果假定矿,2 一“2 = n 2 ,即t n 1 2 时,渗流没有发生;t 乏n 1 2 时,渗流开始发 生,股价开始有较大的波动下面我们将对达到渗流临界值之前和渗流i i 岛界值之后 分别进行讨论 第一步:当f 【l ,正+ 五+ 一,:一】时,对于适当的峨可使得: e ( ) = 一历易f o 】,2 = l 石( 1 s f s 酌 ( 2 7 ) 髟【( 或) 2 】= + 历髟【c 2 】,4 = l ,;( 1 s f 固 ( 2 8 ) 第二步:当七玎1 2 + 1 ,时,对于适当的口,卢可使得。 日) 】= 一历耳【g 】,2 = l 虱l f s 趵 1 4 ( 2 9 ) 【( ) 2 】= + 历【c 2 】,= l 再= “l s f 勋 ( 2 1 0 ) 现在首先研究速随机变量( 吒) 石的特征函数,根据( 2 7 ) - ( 2 1 0 ) 有 当k 2 时: 研e 。似) 厢】= l + 咧) 】,石一z 2 研( ) 2 2 7 1 + 0 ( i ,二) = l + i z n + o ( 1 n 、 n n ) 佗1 1 ) 当t 矿2 + i 时( 即渗流已经发生) 印制庙】= 1 + 咧) 蛎一z 2 剐以) 2 2 ”+ 。( 1 ,一而 ;l + ( i z 一1 ,2 2 2 c ) ,厅+ o ( 1 ,竹i ) ( 2 1 2 ) 以上都是对于离散的情况进行的讨论,但我们知道股票价格是连续的时间内变化 的,为了进一步研究股价的分布情况,我们把离散的情况连续化 i 爱0 s l 当渊k + 疋+ 瓦d + l ,互+ l + 瓦。,j ,定义 趔砷= :“矗竺( 以) ; ( 2 1 3 ) 下面就分成两种情况进行讨论: ( 一) 当0 【五+ 五+ 砟,:】, 根据式( 2 1 2 ) 有 耳e 圳,一j = 一lh n - , 2 取“扫:似) ,石) p 。 - i - l :i 2 研既娩_ ! = :似) ,石) 】广脚一 = ( 1 + 枇,甩+ d ( i ,而护吨“。w o + & q z z a c 2 ) l n + o ( 1 n 石n ) ) ! ”h + “l , 两边取对数,得到 l o g e 口蜘p 】= ( 吒+ 巴+ + r e n ) l o g ( 1 + ,a 彩,栉+ d ( 1 ,h 磊) ) + ( 【珊卜( + + + 7 ,2 ) ) i o 甜+ ( 廖一:2 c 2 ) n + o ( 1 n c r n ) ) h i 2 :l 口i z 2 n + ( n s 一1 ,2 x 蟊一:2 c 1 2 ) l n + o ( 1 _ ) = 九拓,2 + 凡o l 2 ) ( 拓一z 2 c ,2 ) + d ( 1 ,- ) 所以当露趋于无穷大时t 耐町的特征函数的极限为 i i m 一e c x p 酬” = e x p f z a e s - c a u s ( s - i 2 ) z 2 2 ) ( 2 2 0 ) 由上面的( 一) ( 二) 归纳而得,对于任意的0 j i ,硝帕的特征函数的极限为 l i m 。脚 蠡趟肿 = e x p z z s - _ f r 2 ( s ) ( s - i 2 ) z 2 2 ( 2 2 1 ) 式中= 凡,且当0 j i ,2 时矿2 = 砜于是得知式( 2 2 1 ) 的特征函数与b l a c k - s c h o l e s 公式 北塞奎煎太堂亟土堂位垃塞2 拟目援疆理硷越股墓盐搔过程蝗筮挂进往盆班 s ( ,) 。s ( o ) e x p j :“s ) 邪( d + i :【曲z 盘 , 的特征函数相同,这就证明了耐町的特征函数收敛到b l a c k - s c h o l e s 公式的特征函 数 2 2 4 把停时应用于模型中 下面把停时应用于模型中,深化模型构造,并加以分析,以得到更好的结论。 同样的,假设某天t ,站在原点的投资者发出卖的消息,定义: g ( f ) = + l : 如果站在原点的投资者发出买的消息 g ( f ) = - i ; 如果站在原点的投资者发出卖的消息 g ( t ) = 0 ; 如果站在原点的投资者发出中立的消息 这样: p ( g ( t = + 1 ) = 口,尸【g ( f ) = 一1 ) = ;且岳( 1 ) ,g ( 2 ) g ( h ) ) 是相互独立的,我们 定义: 似) = g ( t ) c n ( 0 ) ,2 此时 s , s , ,。- - e x p c ( o j , ) 其中c ( o c 1 ) 为市场深度参数可以通过历史数据加以待定。 此时得到: 墨= 瓯c x p 2 。瓴) 式中& 为初始股票价格 对于o 6 1 2 ,坝= e - 构造停时互,:,定义如下: 五= m i n p 1 ;二 墨= m t 组p 1 ;:三+ 。 站4 ) 五= m i n o 1 ;翌。 n 在各个时间带b ,霸l k + t ,互+ 互l 阢+ 疋+ 瓦。+ l ,瓦+ 瓦+ 瓦1 内,构造 概率序列瓴) p t = + ( 以- p o ) n 1 1 7 拙塞至煎态堂亟堂僮j 幺塞2 剩厦浚速型硷越娃墓逾搔过摆蝗鱼健进笸金短 段= p 0 + 3 ( p c p 0 ) 矿 i 仇= p o + ( 2 k 一1 ) ( 见一如) 矿 ; 以- 脂= 砟一( 以一“) 矿 p 扣+ i 。p c + : ( 肛一“) 即i 之n 1 1 2 + 1 ,已经达到了渗流概率,对所有p = 以+ 慨一p 口) 矿我们如果假 定矿2 “7 2 = n 2 ,即t n 2 时,渗流没有发生;t 4 2 时,渗流开始发生,股 价开始有较大的波动。这样a = 1 2 6 。 根据有t n 正+ 五+ 巧,】时 p ) 】= 一卢) e 1 妒= 1 1 d - 有 目) 2 】= 缸+ 卢坶2 】) = l 而 当芝一2 + 1 ,时,对于适当的口,夕可使得: e k 咋) j = ( 口一p ) 易f j 2 = 1 万 乜【( 咋) 2 卜陋+ 所b 阱】) = c 把离散的时问连续化,设0 s 一7 ”,2 “) = p ( 矸0 w t 一一一) + p ( w “n m + l ,一) = p ( 一一,。一目矸。口一。,。j l i i i ”) + p ( 讳0 州,一,卦州m 一研- 吒。,“。“。l 一n 1 ,”“) 韭盘囊童龟盘堂勇_ 基锄红屯蔓| 酲应燃硷越礁墓垃搔过握蝗敛蛙进短筮蚯 协。一矿靴) + 缸+ ( 矿+ n 1 7 押) i n + 知 。2 n 。_ 0 所以一o ,只需要考虑的情况根据,有 当k s 1 2 时; e i e 4 0 ) , r - = l + 矗叫) 】石一二2 占瞧) 2 1 2 # + o ( i i n 、,r n n ) = l + 拓,打+ o ( 1 ,疗;) 当k n 2 2 + i 时( 即渗流已经发生) 球q 7 石j = i + 恕研( q ) 蛎,- z :艇瓴) 2 2 n + o ( 1 ,一石) 2 l + ( i z - l 2 a z c ) n + o o n 4 i ) 下面就分两种情况讨论j i 的情况。 ( 一) 当o l 2 时 ,昱p 钟l 露= t j = n e 【e 嗍7 何】p 坷e ” ,而】 ”1 + “,2 ” = ( i + i z n + o o , w - o ) ( 1 怕+ ”“胆 l + ( 彘一i 2 2 2 e ) i n + “1 ,l 一) ) 1 州怕“,t ” 所以 l o g e e 掣i 互= 气】 = ( 气+ 吃+ ,2 ) l o g ( i - i - 切n + o ( i n 百) ) ( n 8 一( 吒+ 呸+ r , a 1 2 ) ) l o g o + ( i z 一1 2 2 2 c ) 馆+ o ( 1 n j f f ) 一2 i z n + ( 【脚】一n 2 ) ( 钯一1 2 2 2 0 n + o ( i c a ) ) = 钯2 + 0 1 2 ) ( i z 一1 2 2 2 e ) + o ( i 万) ) = z c 2 ( s - 1 2 ) z 2 + o ( i , - 神) 由此得到 怒l o g e f e 彬】= e 4 - 州门矿lj 一 l l : 圈3 2 0 韭盖皇0 匣太兰擅贮量雯盟监奎 2 剩围遂速堡盈型股墓盆搔过程蝗筮挂进短盆蚯 其收敛情况极限状态如上图所示 以上通过模型的构造和分析,从理论上说明我们所建立的价格过程模型是合理的, 并对股票价格过程的概率分布进行了分析这个价格过程模型对股票价格波动的 研究具有理论意义和实际意义 韭塞窑耍太兰亟土星毽垃塞基王q i q b 过程狸筮查酸避墨垃搔垃程 3 基于p o is s o n 过程和分布的股票价格过程 韭塞窑通太堂亟堂位论塞基王q i q n 过程塑盆查毂救器俭接过程 3 1 绪论 3 1 1 选题背景 根据概率论中的p o i s s o n 过程,p o i s s o n 分布和渗流理论,研究证卷市场中的 股票价格波动过程,通过建立相应的金融收益 2 2 3 模型,构造出股价的随机过 程再利用价格过程的特征函数,研究股价过程概率分布的收敛问题同时文中 还讨论了在不同时段内股价波动的性质和状态对于股票价格波动过程的研究具 有着重要的理论意义和实际意义 1 ,其中股票价格b l a c k - s c h o l e s 公式被广 泛接受和应用在这部分中中,我们将应用概率论中p o i s s o n 过程,p o i s s o n 分布 和渗流理论 8 3 来构造和刻画股价的波动,并根据所建立的股价模型来研究股票 价格波动的性质在第五章中,我们证明了所建立价格过程的特征函数收敛到 b l a c k - s c h o l e s 公式所对应的特征函数,这就说明价格过程概率分布的极限状态 与b l a c k - s c h o l e s 公式的概率分布相同假设在某一股票市场中,股票价的格波 动是由投资者的投资行为所决定的,对某一股票而言。如果买入的数量超出卖出 的数量,则可以认为此时这只股票的价格被低估了,因此这只股票的价格将上升。 同理可以讨论相反的情况 3 1 2p o i s s o n 过程的基本概念 定义4 1 随机过程 f ,t o 称为计数过程 3 3 ,如果川表示在时间区问( o , t 】 中发生的某种时间( 因事件的发生为时间轴上的一个点,所以人们也把事件称作 点) 的数目因此,一个基数过程必须满足: ( 1 ) m 取非负整数值; ( 2 ) 若j ,则m m ; ( 3 ) m 在r + = 【o ,o o ) 上右连续且逐段取常数; ( 4 ) 对于j t ,j 。皇l m 等于时间仅f 】中发生的事件数 说计数过程 m ,f o ) 具有独立增量,如果它在任意有限多个互不相交的时间 区间中发生的时间数相互独立说计数过程 m ,t 0 ) 具有平稳增量,如果在任意 时间区间中发生的事件数的概率分布只依赖于这区间的长度,丽与其位置无关, 就是说,对任意o 0 ,增量 和 。,。有相同的概率分布 定义4 2 计数过程 | ,t o ) 称为强度( 或速率) 为a 的齐次p o i s s o n 过程, 如果它满足下列条件: ( 1 ) p ( 0 = o ) = 1 - 北塞塞煎盔堂亟堂位j 金奎3基王q i q g 过程塑筮叠酸蝗墓盐搭过程 ( 2 ) 具有独立增量 ( 3 ) 对任意的o s s 0 ,如果 ( 1 ) 0 = o : ( 2 ) 过程又平稳与独立增量; ( 3 ) ,( m = 1 ) = a h + “厅) ; ( 4 ) ,( 1 ) = d ( 定义4 4 计数过程 m ,t o 称为非平稳或非齐次p o i s s o n 过程,有强度函数 a ( t 1 ,f 0 ,如果它满足下列条件 ( 1 ) o = 0 ( 即仍从时刻0 开始计数) ( 2 ) m ,t o 具有独立增量 ( 3 ) p ( 一m 2 ) = 口( d ( 4 ) p ( j v 0 一m = 1 ) = 五( f ) + d ( 彬 若另 m ( f ) 。j : o 油 则可以证明 p n 。一n | = 曲 = e x p 一册o + d 一呶f ” f ( m ( f + 曲一m o ) ) r i n != o 1 2 明虬一m 具有均值为m ( t + s ) - m ( t ) 的p o i s s o n 分布 非齐次p o i s s o n 过程的重要性在于不再要求平稳增量性,从而允许事件在某些 时刻的可能性较之另一些时刻来得大 当强度) 有界时,可以将非齐次p o i s s o n 过程看作一个齐次p o i s s o n 过程的 随机取样具体说就是:设且满足 。 五( t ) 五,对一切r 0 且考虑一个强度为丑的齐次p o i s s o n 过程设此过程在时刻t 发生的事件以概率 五( f ) 五被计数,则被计数的事件构成的过程就是具有强度函数砸) 非齐次p o i s s o n 过程 定义4 5 称随机过程 r ,f 0 为复合p o i s s o n 过程,若誓= :每,其中m 是p o i s s o n 过程,虢, 1 ) 是独立、同分布的随机变量序列,且 m ,t o ) 与 磊, l 相互独立 引理4 1 】:= :。己为复合p o i s s o n i 螺,则 ( 1 ) z 是一个独立增量过程; ( 2 ) z 的特征函数为 西( f ) = c x p m ( m f ( ) 一1 ) 其中m f “) e 五l 雕,_ ,s = i ) 是随机变量序列的特征函数,且是事件的到达率 证明:( 1 ) 令0 s ,o t i t m ,则 气= 2 磊 气一k ;k 磊 k = l ,m p 根据 ,f 0 1 和 磊,h 1 ) 的假设,不难看出r 是一个独立增量过程 ( 2 ) 吼( f ) = o = e p 卢7 m i n , ;甩) 以 = 功 = 二以e x 咖二l ,磊) i m = 吣( 柳”n ! = 觑e x 肋:。磊) 扣。似广,一! m = 彤) 4 一( 甜r ,疗! = 二 f ( 矿( 刀y ,力! = 瓴p 删如一1 ) ) 3 。2 基于p o i s s o n 过程和分布的股票价格过程的模型 3 2 1 模型构造 设在股票市场中,假设交易次数,服从参数为丑的齐次p o i s s o n 过程,即在 时刻t 已发生股票交易的次数为m 这里我们假定发生交易的时刻是随机的,则 在时刻t 之前恰好发生t 次股票交易的概率为以m = 七) 进一步地。假设在每次 交易中有j 个独立区域同时进行交易,其中,为一随机变量且服从参数为厶的 p o i s s o n 分布而且不同区域在交易时会收到利好、利空或中立的市场消息,这些 消息会经过渗流模型加以传播,从而影响投资人的行为,进而影响股价的波动 下面我们根据渗流理论来构造模型首先,假设二维格点上相邻格点以一定的概 率p 为开,以l p 为闭,这样就以中心格点( 例如,原点) 为中

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