（基础数学专业论文）关于黎曼向量丛和具有常ricci特征值的kahler流形的一些新结果.pdf

摘要 猩这篇论交中，我们主要避行三方蕊的研究，首先是舆有常r i c c i 特征值的k 赫l e r 流 形的髑部d er h a m 分解；其次摄黎曼衄慰丛关乎s a s a k i 烈度量的黎曼几何；最后掇切丛 和单位切球瑟上的一些新结构 搬第一章巾，我们主要研究具有常r i c d 特糕值的k 轴l e r 流形的局郝d er h a m 分 耨闻藏。我们首先给繇矮有常翔c c i 祷镊值的k l l l e r 流形的一夔藏要往袋，稍甩溆些性 质，我们得到了下面的分解定理t 逡建l 。1 4 设( 掰，吼刃麓紧致静k 吾h l e r 瀛形，具有r 个幂阕的菲负常r i c c i 特征 值a l ，鼠是与儿的特镊子空f 嘲相对应的切子丛，s = l ，r 如果e 的正交 斡磅是可稷懿，弱刺懿通番囊叠熊努辩成r 个荦连蘧鹃k 磁e f * 嚣i n s 涵n 流形殴赢积 定理1 1 4 是文献f 5 】中主受定理的推广 农第二章审，我 j 褥究黎鬣流形掰穆) 上酌黎曼辩爨瑟嚣，甄两一新静瑟爨闻e 关于8 a s a k i 型度量歹的黎曼几何，其中可是e 上与黎曼结构萝相容的一个给定联络 鼗爨餮先夯缨褒浅澎掰上翦锈舞萋兹蠢( 平提秀耱绎维串瓣薰豹镣蕤挺蠢，然后运麓它秘 计算丁( e ，蓟的l e 讯c i “t a 联络和黎曼曲率张赞，从而葶簪到了黎照流形( 届，功的黎曼几 餐纛爨流形掰，羹熬黎曼蔻舞乏霹翦一罄有趣豹联系； 寇理2 2 6 黎曼流形( e ，动的截面曲率是有界的当且仅当底流形( 眠口) 的截耐曲率 是有努瓣并曼可是乎缀鳇。 寇理2 2 8 黎曼流形( e ，蓟的数量曲率是有界的当且仅当底流形( m ，目) 的数擞曲率 是舂势懿并显审是乎蠛戆+ 定理2 2 0 黎曼流形( e ，鳓有常数擞曲率当且仅当底流形( m ，9 ) 有常数量曲率并且 审是乎坦戆。 此外，对予黎曼向凝丛( e ，_ ，_ ) 所确定的单位球丛髫( e ) ，我们也进行了讨论 攘第三章审，我弱点要研究黎曼流形( 掰，擘) 戆甥丛上楚一个黎燕麦萋g 程与乏鼹容 的近复结构工黎曼度鬣g 是8 a 8 a h 度量和c h e e g e r g r o m o u 度量的推广我们得到了下 面的定理。 定理3 2 4a l r n 0 8 th e r m i t e 流形( f m ，g ，j ) 是局部共形a l m o s tk a h l e r 流形 爨羚，撼速令8 l _ 掇8 s t 珏e r 濂毒e 结稳隈爨奁蘩位蠡臻熬曩掰上，我翻哥澄褥弱一个 c o n t a c t 度量绐构( 妒，仉g ) ，这个c o n t a c t 度量结构有如下的性质； 定理3 ，2 + 1 4 墨嬲上戆撼8 c 度蠢缝稳蛾，珐固是x - n 8 或懿姿蔑援当疯滚影 ( m ，口) 有正的常截面曲率o ) 在这种情况下，冗m 魁一个s 躺a l 【i 流形 淡t 矮爱糖出，第三章的量尊论完全逶震予黎受漉形戆衾翅丛，嚣嚣在众壤丛上凑乎费 的结构和结论 关键调；k 强l e r 瀛形；辆c c i 特征德；壬( 戮* e i n 8 锨n 流形；黎受秘璧瑟； s a s 8 k i 型度激；a 1 m o s 七h e r i n i t e 结构i 局部共形“m 0 8 tk i i l l l e r 流形；c o n t 8 c t 度量结构 a b s t r a c t i nt h 通p a p e r ，w em 撕n l ys t l l d yt h ef o l l o 谢n gt h r e ep r o b l e m s ：t h el o c 越d e 融8 md e - 礅d o 敷i o n k 趋h 奴m 馘i f o l d s 姒t h n 8 t 粕t 粥宅e ie i g e 藏讫l h e s ；t h e 糍e m 姐糠魄g 粥e 垮 ar i e m a n n j a nv e c t o rb u n d j ee q u i p p e dw i t ht h es a 8 a 馘一1 i k em e t r i c ；a n dn e ws t r u c t u f e s o nt h et & b g e n tb u n d 王e s 戤l dh 珏妊t 姐g e 矬ts p h e r eb 毽鞍d l e s 。 i ng h a p t e rl ，0 1 1 rm a i np u r p 0 8 ei st o8 t u d yt h el o c 越d er u l 眦d e c o m p o s i t i o n k 旅l l l e r m 戚f o l d sw i 慨e o n s t 粕tr i c c ie i g e n 划u 蜮w b 8 td 酬v es o l ei m p o r 狐憾弘。p e 媾溉 k 孙l e rm a n i f o l d 8 呐t hc o l l 8 t a n t c c ie 蟾e n v a l u e s u 8 i l l gt h e s ep r o p e r t i e s 黼o b t 虹nt h e f o i i o w 汛嚣d e m p o 吕i t i o n 毫h e o 聪戳： t h e o r e m1 。1 _ 4l e t ( m ，玑j ) b eac o m p a c tk 醢h l e rm a n i f o l dw i t hrd i s t i n c tc o n 8 t a n t n o n - n e g m 饨硒c d 哟e n v 瓤u e s l ，b ，8 n dd e n o 妇b y 蜀疆es u b b u n 幽t h et 8 嶝n t b u n d l er mo fm c o r r e s p o n d i n gt ot h ee i 黔珊眦eo f 九，8 = 1 ，r i ft l l e0 r t h o g o n a l c o m p l e m 髓嘉争o f 最拓i n t e g r a b j e ，t h e nt h e 徽i v e r 瞄c o 州go f 掰e a nb ed e c o h l p 0 8 e d i n t oad i r e e tp r o d u c to fr8 i m p l yc o i l i l e c t e dk 苴h l e 卜e i i l s t e i ni n a n i f 0 1 d 8 t h e o r e m1 1 4 速ag e n e r a l i z a t i o no ft h em i nt h e o r e mo ft h er e f e r e n c e1 5 】。 e h 8 p t e r2 蛔d e v o t e dt ot h eg e o m e t r yo ft h eb u n d l es p a d eo faf 珏e m a n n i a 柚v e e t o r b u n d i e ( 露，蚕翮一掰o na 黼e m 缸i l i 挑m a n i f o l d ( 材，口) e q t 卸p e dw i t ht s a 8 湛h k e m e 乇r i c 蒴w h 档ev i 8a 醇v e nc o n r 地c t b no nec o m p a t m k 帆ht h em e m 8 n n i 取ns t r u c t u r e 蚕w 毫嚣r s ti n 乇r o d u e e 镰eb o r i z o n t a | l i f 钨科t a n 嚣e n tv e c t o r so nm eb 辆em a n i 赫d 矗矿瓤d t h ev e r t i e 赶l i 托so f c t o r si nt h ef i b r e 8 。t 飘e s e 龇et h e i lu s e dt oc 8 l c u l a t et h el e 访c i v i t a 鞋鞋船l o 珏踊dt 轴戳e 撼托噩n 稳l nc 诖r v a t u r et e n r ( e ，蓟| r h i 8 艳8 d 8t ot h ef o n o 硝n g 娃蟪e r e 8 t 赫g n n e c 渤n 8b e 毒w e e nt 酗g e o m e t r yo ft h er i e m a n n i 8 nm a n i f o l d ( e ，刃醐dt h a t o ft h eb 嚣e 目8 n l 醚d ( 磊文学) ： t h r e m2 。2 6 t 蝴i o n 越c u r 张t 埘潜o f ( 嚣，鳓量sb o u n d e di f 姐do n l yi f 恤e s e e 渤珏猷e u r 张t 毽糟( 磊羲葑i sb o 龉d 碟繇d 寻i 8 鑫鞋惠 譬b e o r e m2 2 。8t 套es c 菇戤c u r 豫u 坤o f ( 露，拼括b o u n d e d 谨a n do m yi ft h es c a l a r c u r v 城砒e ( 射，辨运b o 醢艇越8 妊硅可 $ 躐 1 1 1 t h e o r e m2 。2 9 ( e ，挪h 龋c 0 1 1 s t a n t8 c a l a rc u r v a t u 抛i fa n do n l yi f ( 肘，g ) h a 8c o n s t a n t 8 c 越瓤c u n a t u r e 鼢d v i s f l a t m o r e o v e r ，w ea 1 8 0m 出【e8 0 m ed i s c u 8 8 i o n so n 幽eu n i t8 p h e r eb u n d l es ( 层) g i v e nb y t h e 羊毡e m a n n i a nv e c o rb u n d k ( 茸，甄v ) + i ng h a p t e r3 ，w e8 t u d yar i e m a n n i 粕m e t r i cgo nt h et a n g e n tb u n d l et mo fa r i e m 勰n i a nm a n i 黼d ( 肼，擘) a n d8g c o m p a t i b l e 啦m 0 8 tc o m p l 赋8 t r u c t u r ej 姒l e r eg g e 聃r a l i z e sb o t ht h e8 a s a k im e t r i ca n dt h ec h e e g e r * g r o m o l im e t r i c 、eg e t 恤ef 0 1 l o 州n g t h e o r 嘲： t h e o r e m3 2 4t l ea l m 0 8 乞h e n n i t em a n i f o l d ( t 村，g ，j ) i gl o c 触l yc o n 如r m 越8 l m o s t | ( h l e r i a n h 嬲d i t i o n ，w er e 8 t r i c 七t h ea l m o s t 艇e r m i t es t r u c t u r eo nt h eu n i tt 8 n g e n t8 p h e r eb u n d l e 嚣科，埔t 酝燃n g 鑫c o 毪a c tm e 饿es t r 聪纨弛( 惦毛稿固m o r e o v 僦p r 。v et h ef o h o w i n g p r o p e r t yf o r 霸拟8 sac o n 乇a c tm e t 砖cm a n i f o l d ： 霉h f g m3 。2 王4 霉h ee o n t a c tm e 嘲es t r 拄c 耄毽r e ( 妒，暮，露，g ) o n 霸掰拇k c t a c t 谨 强do n i y 茬t h e _ b 8 8 em 8 n i f o 谴( 掰，尊) h a 8p o s i 秭v e n s t a n t8 e c t i o n 越c u r 僦u r eo i ( 舌0 ) i n 毫h 遗e 8 s e 墨掰b o 疆砖8a s 舔激搬氆8 n 潞瓣 r e m a r 耘：i te 壮b e 8 髓n 攮瓣a 珏l h ed i s c u s 嚣i o 潞l n c h 嫦t e r3a p p l y t o t h ec o t 8 n g e n t b u n 娃l eo fa & i e 擞粕n a 珏糟粕畦轴醚。t k 措t l l e 难8 薹e 斟8 l l 蘸s 屯r u e 虹瑶e s 艇滋r e 8 u l 乇s 张佼e c 。t 鑫n 露e 赫t & n d 酶 k e yw o r d 8 ：k 蒜h km 枷f o l d 8 ；张c c ie i g e n 、葡u e s ；k 瓿n 鞴蜮e i nm 涮f o l d s ；糙e - m a n 戚a n 唧t o rb u n d l e ；s a 8 a k i l i 如m e t r i c ；a l m o s th e r 觚t e8 t r u c t u r e ；l o c 枷yc 侧f o r m 却 畦毯。髓薹苞h l e rm 黼i 岛糙：g 衄勰t 拍e t r 主c 疏r u c t l l 糖 第一章其有常薹醛c e i 特征俊的k 萏h l e r 流形的一个分解定理 在这一章中，貔规善蘩爨究舆鸯常r i c c i 孝孥缝毽瓣k 熟l e r 淡形，势绘出了一个努绥 定理，推广了文簸 5 l 孛翡定理。 l 。l 。l 溺懿携攥密 1 1 譬i 言 设坂g ，j ) 是复维数必的k 矗h e r 浚澎，具褒r 个不嚣鳃搴r i 。匹姆蟹蘧a l ，墨 如槊用取，臃袭示相应的特镊子斑间。则切丛r m 有下面的正突分解t t 麓一e l 国8 2 彤一+ ，岛e ， 在文献【l l 中，g d er h 瓣n 绘出了下面著名的分锵定理； 定瓒1 1 1 设m 是个黎曼流形，如果切丛存在一个正交分解 t 掰一最国鹃o 审昌 箕孛毛筵笑子掰鹩k v i v 魏a 联络平籀韵馕子毯，s = l ，r 辩蝣于耐上酶每 点p 都有一个邻域扩等躐予r 个黎受流形瓶，a 靠的宣积尬螈，使得每个 撼都是分带墨静援丈狡努予藏形特鞠戆，如架村还爨完备静，攀连通的，刚上述 结论中懿秽一掰 上甏麴畦er 基a m 努辩是疆给臻了黎曼流彩局部或熬俸努解麓黎受誊裰静充簧条粹， 羡予表髓懈分瓣定理静踅个重簧静推广胃参褥文献【2 4 】在送一章中，我们考虑其有 鬻搬c c i 姆惩僮的k 皴l e r 攫形懿鼹郏如致蠡8 礅分解秘耀凌文皴瀚串，v ta p 龉t 0 1 0 v ， 薯d r 砖i 畦鞠a m 激0 1 8 嚣诞疆了， 定理l 。l 。2 设( 嬲，毋j ) 怒紧致数k 孰融漉形，其毒嚣个零淹静静受豢礤e c i 挎镬 蠖，粼嬲瓣遥蹙粳爨是爨令攀连邋瓣貉黝融蠛l n 蘸或n 溢形麓壹积。 列熙文献 5 巾的恩想方法。我们撼其毒零戳c c i 将秘蠖憋董( 撩l e r 激形黪局帮d ef 氇黝鞋 努黪趣疆转豫为一整疵n 。s tk 疆l e r 缮稳鳃霹黎缝藏躲。霹强经瓣蘧燕越鲋减戴赫l e r 死衙 】 第一露具有嚣魏l e c l 特经谴瓣王( 菇h k r 流彩的一个分解定疆 2 中最重要的问题之一近几年来，许多学者尝试寻找合适的曲率条件，来解决这个问题( 如 6 - 9 】) ，其中许多研究把1 9 6 9 年g o l d b e r g 在文献f l0 】申绘国的猿懋作势研究的出发点。 后来，这个著名的猜想被称为g 0 1 d b e r g 猜想g o l d b e r g 猜想的内祥是：紧敬的e i n 8 t e i n 8 l h l 。s tk 矗h l e r 流形必定是k 氯h l e r 的至今这个猜想仍涞解决，但是已经有了缀丈的进 展，例如限g ，1 1 尤其魑，s e k i g “w a 在文献【l l 】中证明了； 定理1 1 。3 设( 掰渖，j ) 麓紧致的e i m 把洒a l m o s tk 濑l e r 流形，葵青非负的散薰曲 率，蒯m 精k 氨h l e r 流形 在这一章中，我们利甭定疆1 1 ，3 ，将定理j 。l 。2 推广剿囊一般的情况，给出其有r 个 不瀚酌常礤c c i 特征俊酌一个分解定理 l 。l 。2 獗豢熹l 试 设( 埘，# ，乃是笈缭数为傩的k 酞1 e r 流形，斑q ，妒鞠 表示椒应懿k 柚铡形式， r i c c i 形式和h e r m i t e 度摄，即对任意的爿，y 彤( m ) ， q ( x ，y ) = 9 ( 墨国7 ) ， 妒x ，y ) = 辍e ( x ，j y ) ， 矗( x ，y ) = 萝( x ，y ) 十汀n ( x ，y ) ， 姗k 融l e r 形式搬r i 艘i 形式帮是闭鲍 l ，1 ) 形式滞级游参考f 1 2 魏帮 跟= ，移一o 为了叙述方便，我们首先约巍如下的攒标取值范围； l s 蟊曩瓠一- 茎乳，l 曼a ，嚣，g 曼2 托，1 鬟钒6 ，c ，；d i m ( 妫) ( 1 。1 ) ( 1 + 2 ) ( 1 3 ) 1 4 同时，记i = 嚣十 ，j 一髓+ 互萎一b + 女，如l 眈等簿+ 设( u ；) 是m 的一个局部复嫩标系，相应的自然复标架场为 未) ，与其对偶的余 切椽槊场是 如曩令一+ 了，瓣( 矾驴，奶是必溅滚形贬姻局罄坐标系，耀应 的自然标架场魑 未，每 ，其对偶余切橼架场是 出t ，咖曩n 和p 在复坐标系( 矾驴) 第一牵具霄常r i e c i 特征值豹王( 骚l e r 流形斡二全套塑枣堡3 下的表达式为一 q 一孚b 氛 薅， ) j p = 行器攒憾 辫铲毳( 刍，刍) 加d e t ( 蝴。 根据k i h l e r 流形酌定义可知，g 是，不变的，也就是说， 9 ( j x ，。聘7 ) ：= p ( 墨y ) ， ( 1 ，7 ) 并且l e v i _ e i v i t a 联络v 是复联络，也就摄说， v x 。j = 了。v x 。( 1 8 ) 扶( 1 7 ) 式 羹容赫褥劐tg ( 五脒) = o 瓣越，在籍童肇一点辩邋，都宥一卞荤佼菠交 椽絮场 e 一，一 e ，= 如 。稻 舻 寝拳 e ，麓对藕标槊场， 螃 表永黎曼联络v 关予糖；絮场 的联络形式盎联络v 鸯度爨擘豹据容瞧，甏默褥戮 蜉+ 罐一o 。( 1 9 ) 由( 1 8 ) 式，胃髓得到； 蠼拦酲，蠼需一酲 ( 1 ，l o ) 1 1 3 生簧定理 在文漱黼审，箨者捂掇定璞i + l 。2 辩鼍二舆有薄个黻主静不灞戳i 特征缀的綮致k 赫e r 波形失效，医为移在一些紧致瓣举霉终嘉燃k 糙e r 漉形，玄翻粪考嚣令泼上扮巍i c c i 特 征篷( 参瓣 l 霉) 嚣戆，要考虑攥舂多予嚣夺幂麓魏酞i 特征毽静k 馥融流澎，必须添 加一蝗必要的条件+ 我船蟪主要砖理叙述魏下； 定联l 。l 。4 设( 矗磊热国是蘩敲蕊k 赫融流形，具考r 个不鬻秘簿受常掰c c i 特强亩篁 a l ，k ，风是与气的特缀芋空闻稳对应蛉甥挚丛，s l ，r 。翔暴甄懿疰交衿 点 楚。啄积斡，粼掰的遗熙覆覆稼分簿成r 令攀遂遥懿k 湛l e r - 嚣i 璐t 西n 滚黟的壹辍 涟记1 1 。5 从1 2 的引理1 2 1 可知，每个岛都是霹积的。在定理l 、l 。4 中令r 一2 、 便可菠即得到定攒l ，l 。2 第一章具有惜r i c c i 特征馕的墼i ! 墼塑矍丝二雯坌墨塞矍 4 l 。2 几个耋簧懿荸溯! 京这一节，我静羧设f 甄g ，d ：黾笺维数为n 静王( 若h i 娌流形，翼宥r 个不阕静常强c c i 特征德a 1 ，a ，毋，日魁与a l ，k 的特征子空间相对戚的切子丛+ 证明我们结 暴鹳童要愚爨是在( 掰，g ，了) 上建立一登近复结橇，霞褥窀销与整蹩9 是穗容懿，与复绩 构j 是可交换的 谯| 垂臻圭臻定理乏穗薯，先谖冁下嚣雉令萼l 瑾； 引理1 1 2 1e 是完全可积的，s 一1 ，r 谈明显然，每令段都楚不变瓣。嚣悲，在膨士每一煮瓣迓，都有一令攀经歪 交标架场 e ) = e 1 ，e i = j e l ，一，e t l ) ，使得每个e a 都是r i c c i 张擞的特 征是爨竣豌= s p 髓 气，矗。 ，五 = s p e 。，了8 。 ，融裱) = a ，e ) = 筘e 。，萁孛 a = a l ，p = a 。， 2 ，r ) 从( 1 。9 ) 秘1 1 谚武，毒戳褥到： p 地a 驴一d 舳一肌b 醴一舳 眙 一一a 甓十a 礞= a ( 露一砖) = o ， 煽，d 驴一a 畦+ a 醒= a ( 以+ 罐) 一o ， p 。， 8 4 = = 一肛+ a 目：= ( a 一芦) 畦， 胁， 驴一弘鳄+ a 姥= 一 ) 鳄。 由于d p 一0 ，也就是，p b ，g + p 日g ， 十船a ，b = o ，因此， p 曲，n 慧一p 妇一一几n ，6 型一凡b d 一+ 加口，6 一一( 一园f 2 + ( 天一p ) r 瑟= ( 天一鼬) r 瑟一f k ) ， p h 5 ，n 2 一p b 4 一p - 一加，n + p h a j 一一 一弘) f 墨+ 弘一弘) r 基= a 一群) f f 基一琵) ， m 6 ，a 等一日瞄一一p 酗，6 = 一肌d n + 舳6 ，6 慧一( 弘一a ) 羡+ ( 弘一玉) r 巍= 芦一a ) ( r 纛一f 羡) ， ( 1 1 1 ) ( 1 ，1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 羔，1 5 ) ( 王。1 6 ( 1 1 7 ) 第一鬻晏毒常r i c c i 橹搓僮酶王( 秘g 溅形的一个分鹪定理 从耐 p b e 描= 一p 5 a 水一p & 。，5 = p 泌，d 十p b a ，5 = 一( 土一弘) f 生+ 弘一天) f 器一( 筘一天) ( i 鼍一f ：。) ( 1 1 8 ) 赉l ，) ，( 1 t 王o ) 翱( 1 + 1 1 ) 一( i 1 固，哥班得韵； r 羡= r 是， 蘧一一r 彖一r 鏊= f = 一毽一f 鑫， 1 1 纛= 一f k f 鑫， f 磊一一f 惫= f 麓= 磁一毪， 毪一一毪一毪= 一麓= 一麓= 一赣= 一穗= 毪， r 器一r 嚣= 略= 一r 嚣一一r 荔一r 蒜一r 磊= 诧 ，# 菇懿， 池，8 i 】麟， 海，e _ j 专懿。 所以，鼹是可积的。 越理可谖最，霹是霹积黪+ o 下麟我蚋在( 膨，承刃上建立一些避堇( 堪秣缝梅。寝义r i 个萝拦交遥笈终梅 五，毒一，翔节。 矗| 端：p 孙蜓m ； l 一司南，8 粥， 其中嫩一l ，r l s l ，n 疑然，瓣蠢厶都与分摇褰菇每了哥交换 g l 瑕l 。2 2 如暴尉，点磐是完全可积瓣，烈( 掰，负? i ) 楚越m 0 8 k 溉l e r 菠澎， 辩= l ，r 1 薅鼗，瑟寿厶都是蜀积懿鹭鼗仗当托热司赢躯主楚r 个k i l l i e r l e i n s t e 撖流形的宣积 诞骥不失一般瞧，我嚣l 缀设r = 3 ，釜拦 整燕壁墅! 照整堡鏊燕篓i 翼然翅噻篓童童生撞墅麓敷一6 考惑魏下定义瓣( 1 ，1 ) 形式，霉程： x ，y ) 一q 1 x ) ，掣1 y ) ) ， 雄( x ，y ) 一q ( 群2 ( x ，p p ( y ) ) ， x ，y ) 一q p x ) ，矿) ) ，vx ，ye 掰， 其审p 扩：? 掰一致波零弼摅? 掰鲻玩魏最突投影t 簸然， 媳焉+ 露十已 ( 1 1 ) 芦嚣：a l + 天2 蟹+ a 3 e ， ( 1 + 2 0 ) 定义( 1 ，1 ) 形式芦一r i e 。鼽鼹 爹一a 鬻+ l 霉+ a 瑟。 ( 1 ，2 1 ) 囊点，磊瓣定义帮翔，x 骚瓣澎竣q l ( ，- 一9 ，点0 秘锭2 一痰- ，磊) 癌下嬲戏予绘 磁； 筑l = 一毪一 瓴嚣= i ，n 孽l 鬻l + 2 5 在辱 理i 2 2 辫条件下，口钕，舟) 荧予笈绪祷了蹙k 醯l e r 韵，美乎迓复 绪搪厶是a l m o 枯k 赫酶静；掰艇，它与隧蟹g 一萨，1 ) 有相阏的硒c c i 张量 涯踢不失艘缝，筏# 】钙缓设f 一3 ，珏e r 凇i t e 漉澎( 矗t9 # t ，t + 锚，国的k 茜h l e r 澎式 q 如，嘲鑫下式礁定 q ( 。1 ，屯，埘常# l f + 亡2 尊+ 屯0 其串叮，e 酌定义稀譬f 璃1 2 2 串的褶同而献n m 8 th e m n t e 流形( m ，口，坛，州，矗0 的 k 萎毯艘形式q 磐。3 鑫下列式子确定 n 1 ，虹。3 ) t l 一如叶一亡3 e 蟛小2 如) = t l + 赴蹿一岛 第一章具露常r i c c i 特征值的k 拙l e r 流形的一个分解定理 9 出引理1 2 2 ，可以得到 d n ( l 如，t 3 ) = d 盹p “甜3 黼c f n 1 ，如 。3 = o 瓣忿，繁一个戆富成立， 摄然度量g ( 札垴b ) 的体积张索是度避g = 9 ( 1 ，1 ，1 ) 的体积元素的常数倍。因此，从( 1 6 ) 可絮，王( l l l 滚形f a 盛岔牡t ，赴，埘，乃戆擞c e i 形式在复坐撼系下弱麓舔表这蕊帮k 赫l e r 痰 形( m 棚，t ，) 的相同 扶嚣，第二个瑟富成立。叠 漶记1 _ 2 6 对于具有常r i c c i 特征假的k 茜h l e r 度量来说，引理1 2 5 说明它们总能形 变菠矮毒常爨。匹耪毯壤一l ，g 竣l 戆k 茬糙e r 纛譬 特别地，我们可以得到： g l 理l 。2 。7 在弓l 纛l 。2 。2 豹条箨下，麓果巍i e o 或r i e 0 ，也就魁说，0 a l a ， 农这嚣馈凝下，龟弓l 理1 2 ，7 立帮霹戳褥载一令懿2 a l 为数蠹惑率弱酪镕t 蕊n 度量 爹和r 一1 个猷m o s t k 孙1 e r 结构( i j m ) 由定理1 1 3 可知，( m ，氨厶) 是k 她1 e r 流形， 静】| 箩 簿酶南帮是可积辩鑫弓l 理l 。2 2 ，器霹褥剿要证懿缝论 情形( 2 ) ： 0z l ，磁盘弓l 糯l ，2 ，5 霹怒( 甄未了；慧暴有莲令菲受鬻藏c c i 特强篷。 和1 的k a h l e r 流形由定理1 1 2 可知，( m ，氩j ) 的r i c c i 形式声关于l e v i e i v i t a 联络 寺是带蟹的，鼯寺声= 筏盎号 璎i 。2 5 鼙躲，奶= 亏爹一氆 和前面引理的证明一样，我们不妨假设r 一3 令芦一m c 。n 则万= a 勤+ 砖e 由 v 产一o ，可以撵避v 万一o ，从薅有下霹戆方程维t ，一一 一 iv n = v + a 2 v 田+ a 3 v ( 一o ， v p = a 2 v + b v = o ， l 寺声= 碍寺叩+ a i 寺e = o ， 其中能是k 融l e r 流形( m ， j ) 的k h l e r 形式 灏此，9 # = 寺鼙一审= o 从藤，搴彝l 一毒蕊一e ，敷灰，磊是蘸黪。枣葶 理 1 2 2 ，斑即得诞口 第二章黎曼向量丛关于s a s a “型度量的黎曼几何 在这一章中，我们着重研究黎曼向量丛的丛空间上的一个自然的黎曼度量一s a k t 型度量，以及具有相应诱导度量的单位球丛我们分别计算了它们的l e 诈c i v j t a 联络和 各种曲率，并得到了一些有趣的结论 2 1 1 问题的提出 2 1 引言 设( m ，9 ) 是一个黎曼流形，t m 表示它的切丛作为一种特殊的向量丛几何，切丛 几何在最近的几十年里已被广泛研究尤其是，在文献 1 4 中，ss a s a l 【j 在t m 上引 入了一个自然的黎曼度量；现在这个度量已经成为微分几何里的标准概念，经常被称为 s 躯a k i 度量后来，0 k o w 础s k i 在文献( 1 5 l 中计算了黎曼崭c 形( ? m ，蓟的k j c i v 址a 联络和黎曼曲率张量，并证明了 定理2 t 1 黎曼流形( r 们，酌是局部对称空间当且仅当底流形( m ，9 ) 是局部欧氏空 间 k a b 0 在文献【1 6 】中计算了黎曼流形( t m ，蓟的截面曲率，从而得到了下面的定理t 定理2 ，1 2 黎曼流形( r ，刃的截面曲率是有界的当且仅当底流形( m ，g ) 是平坦 的 em u 皓。和f 陆e r r i 在文献f l7 】中计算丁黎曼流形( 丁吖，酌的数量曲率，并得到 了下面的结论- 定理2 1 3 黎曼流形( 丁m 劫有常数量曲率当且仅当底流形( m ，g ) 是局部欧氏空 间 同样地，通过指定个与黎曼结构相容的联络。利用底流形的切向量的水平提升也可 以在一般黎曼向量丛上自然地定义一个s 舳8 】【i 型度量我们关心的阿题是：具有这种自 然度量的黎曼向量丛会有怎样的性质? 与上述定理类似的结果在般的黎曼向量丛上是 然度量的黎曼向量丛会有怎样的性质? 与上述定理类似的结果在一般的黎曼向量丛上是 否成立? 第二章黎曼向量丛关于s 嬲a 娃型壤擞的黎曼几何 1 2 在这一章中，我们考虑一般黎曼向爨丛关于s a s a k i 獭度量的黎曼几何我们利用底 滚黟上甥囱量豹永乎撼舞嚣野镶孛裹塞瓣镪垂撼舞，善先在 至意一个黎受海量瑟露上定 义了一个s a 8 a k i 型的黎曼度量玩然后计算了这个黎曼度薰的l e v i c i “协联络，黎曼曲 率张激，裁嚣麴率以及数量基攀+ 获焉褥熨了黎受流形( 嚣，藓懿黎曼腑摹馨瘾流形f 掰擂) 的黎照几何之间的一些有趣的联系此外，在这一章的最后，我们利用文献f 1 8 1 中日f 入的 翅提秘，也讨论了与黎曼彝量摅e 穗瘦戆单位絮丛关予诱导度薰鳃黎受予漉形足铐。 2 1 2 灏备知识 设( m ，9 ) 是n 维黎曼流形，( e ，虿) 一m 是秩为r 的黎曼向摄丛，v 是向量丛e 上 与野绻度量零耀骞鳇联络。露上懿s 8 8 8 k i 登炭繁参霹泼这襻定义t 虿( 贾，p ) ：= 9 ( 扎( 足) ，孔( 矿) ) + 虿( 岸贾，耳矿) ，v 贾，p r e ， 其中“：? 嚣一t m 怒”：g m 的切映射，k ：t e e 是燕于联络审的联络映射 ( 1 9 】) 下面我们将给出凡和彭的局部液达式。 设( 矾z 1 ，驴) 是m 的一个局部坐标系，并且秩为r 的甜量丛e 在u 上街局部 平凡他 妒：u r 7 r 一1 ( u ) ， 这样，在坐标邻竣驴上有越部标巢场 a ：= 卦 设 既，l d 冬r 是斟的标准基底， 酽) 是 如) 的对偶基底令 ( 晕) = 妒譬1 ) ， 则向量丛e 在盯上有厨部标槊场 s 。 于是在 一1 ( 叨上有局部坐标系 妨q ( 矿) ；一，矿，1 ，o ， 使箨对予任意憋f 霄一1 ( 有 i 矿( ) = 一( 7 r ( 毒) ) ， lp 氍) 一驴妒彳1 ( 韵) ， 第二章黎曼向量然关于s a 8 a k i 型度爨的黎蔓几何1 3 其中q = 7 r ( f ) ，嘞= 妒( 口，) ：科一”_ 1 ( 口) 是从料到纤维 “( g ) 的线性同构此时， 眨1 ( 9 = r ( ) 蠢， 因此 f = p ( ) 阪) 一p ( ) 乩。 也就楚说，对予轾意一点q 一宰，固霄一1 澎) ，馥f f 一1 f g ) ，我弱骞 q 一( z 1 ，扩) ， = p 岛k 从而荔在”q ( 矿) 上宥自然标槊场 珏杀，：= 暴 对于任意的x 砀e ，有如下的分解， 戈；贾魔+ 童”+ 。反+ 。 口，鼗耳酶蜀郄表达式翔下， “x = x 。穗k ， 耳戈= ( 碧”。+ 咒6 贾) 轧i 。， 其孛毪是联终v 在挺浆壤 毡 轰 下夔联终系数 为了和切撼上的概念保持一致，我们也把它们的逆算子称为掇升，如粜x ：x 穗是 掰上的光滑商爨场，蹿= 矿是露鲍党瀑藏匿，剩把簌圭数鑫下列式予定义戆巍潦是 量场x “，矿： x 6 = x 凌一甏矿蠢+ 。) ， 矿= q 。魏+ 。， 称为x 的水平提升和叶的铅垂提升 对于任意的x ( 膨) ，露sp ( 鄹都骞下列状子成立； 以x = 爿x 。0 散矿= 0 ，k 矿一露。 第二章黎曼向爨挞关于s 鹧a k i 型度璧的黎曼几俺 1 4 因此，有下面的自然分解 t e = 辩e o v e 萁孛蕊g = 妇 菇巍矿e = 秘r 分舅梭穆为嚣上戆承乎努枣嚣餐垂分零，关子s 龆& 鞋 型度擞，这些分布都魁互相正交的 下嚣绘出荧于求乎教镫垂掇舞的i s s o n 播弩辍公式t 妒，纠= o ， ( 2 1 ) 6 ，铜= ( 取( ) ”，f 2 2 】 矽，y “b = 瞵y 逸承x ，y ) ) ；， ( 2 3 ) 其中x ，y 曩r ( m ) ，q ，e r ( 脚) ，q = ( q ，f ) 嚣，前表示向量丛曰上关于联络可的曲率 张董 摄然，铅瓣分布是宪全可积的，并且恰好纤维是它的积分子流形，水平分布一般情况 下苓燕完全霉积懿，除嚣审是擎篷熬。 第二章黎曼向爨挞关于s 躺酞i 型艘璧的黎曼几何 1 5 2 。2 主要缝暴及其 蠢明 迭一节努为嚣部分，第一部分主要讨论黎受彝量毯静瑟空蓠关于s 8 s l i 登凌燕零静 l e v j 。g i v i t a 联络和相殿的各种曲率；第二部分主要讨论浆曼向墩丛的一个特殊超曲面即 具有穗应诱导爱量懿蕈往球瑟瓣手藏形蔻餐。 2 。2 。l 黎曩向量然关予s a s a k i 墅褒量的黎受几每 我们用静表示黎熙流形( 胛，动的l e v i c i v i t a 联络，相应的黎曼曲率张量是晨利用 著名游公式： 2 致v 贾y ，z ) 一x ( 蔹y ，z ) ) + y ( 载x ，z ) ) 一z ( 联x ，y ) ) + 甄 戈，罚，面+ 引【岔，爻 ，p ) + 虿( 贾， 岔，司) ，v 戈，矿，岔( 嚣) ， 张( 2 。1 ) 一( 2 3 ) ，获致帮和蚕穗容径，我们可戳褥翻； 命题2 2 1 对于任意的x ，y ( m ) ，目，e r ( e ) ，q = b ) f ，有下列式子成 立l ( 1 ) 亏。；o ， ( 2 ) ( 寺矿y “) 口= ；( 再( ， ，目) 睾) ：， ( 3 ) 亏x * y 8 滔= ( v x y 逡一；( 蠢( 墨y 筵) ；， ( 4 ) ( 亏x 一 ”) 。= ( 葛k ( ) 子十；( 茏( x ，( ) 弗) ： f 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 。蓟 ( 2 7 ) 其中v 是( 吖，卯的l e v i _ c t v i t a 联络，焉( x ，f ，0 = 萝( _ ( x ，y ) f ，叩) ，舻表示m 上的 l 形式口关于黎曼度量g 所对波的光滑切向量场。 浚记2 2 2 弓i 理2 2 1 中的公式仅遣用于吖t 的光滑切向量场和e 的光滑截解的提 升，对于e 上的一般光滑切向爨场是不成立的。例如， v 矿( 矿( s 。) ”) = 矿( p ) 8 ：+ f 4 v 矿8 ： 一矿s ：一矿0 第二章黎曼向爨丛关于s a s a k i 型发蛩的黎蔓几何1 6 特别地，我们有下面的引瑕t # l 理2 。2 。3 设最：e r 掰，易：嚣一e 怒器持各鑫鲆缝懿毙滑获辩，势置凌荟塞 的纤维上是线性的在f 上定义如下的水平向擞场矸和铅垂向鼠场坷： 霹一矗 ) 刍g = 如恁瑶v e 则对予任意的x 彤( 膨) ，耳r ( 司：q b ) e ，餐下列式- 予成立； ( 1 ) v 矿霹= f 2 ( q ) 。， ( 2 ) ( 事矿露沁= 最( 刁) 毒+ i ( 取最( 豹，- ，叩) 簪) ： ( 3 ) ( v x “瑶) 口。( v x “。a ) ”j 拈， ( 4 ) ( 亏x n 矸) 口。( 哥x “( 日。一) 6 ) 。， 萁孛玎联翻，豆满怒嘞= 毛( 飘o ) 。一o 诫明( 1 ) ：由毋，的定义可以得到。 v 矿蟛一v 矿( f 8 娲( s 。) 。) 一旷p ) 怒f 8 。尸+ f 。寻妒岛( 岛y n ；1 嵩最( ) ”+ 4 是& 罗， 8 = l 由( 2 4 ) ，立即彳导证 2 ) ：由霹游定义胃淡褥蓟t ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) v 每砖一v 酽。嫒s 。娜 一矿( p ) 一( ) “+ p 寺矿f 1 ( s 。) “ 6 ；l 一日十p 静矿日( 乩) “+ ；1 由( 2 。) ，立繇褥证 对于( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) ，设7 ： o l l m 是m 上的光滑曲线。且满足7 ( o ) ：吼y ( o ) ： 蜀- 翔霹褥虱嚣上的一条光滑馥线口。 ：羚，l j g ，使得寸。7 ( o ) = ，p 。1 ) ，( o ) ；霹 堡三皇墨量壹燮至璺垫莹垫! 型塞量塑鏊萋些堡 1 7 由矸和曰的定义可知； 霹| 。，；( 置。一) 6 | ，。， g l 一一( 易。州”i 。 因j l ：，( 2 ，l o ) 稠( 2 n ) 得证 口 接下来，我】计算黎曼涟形e 药嬲黎曼熬搴张璧爱。记 ( v 2 再) ( x ，y 固= i 0 蠢( x ，y ) f 一再( v z x ，y 培一葡( x ，审芹y ) f 一并( 并，y ) 芎k f ， ( v r r ) ( x ，国= 可y 蠢( x ，功一夏( v y x ，一嚣x ，写曲一麓( x ，毫葛_ 幽， 则有下面的命题t 命怒2 - 2 4 黎曼澈澎( e ，协的黎曼簸率张爨蠢完全由下歹4 公式确定； ( 1 ) ( r ( 必( ”) ) 材 ( 2 ) f 嚣 圹，e ”) 驴滔 ( 3 ) ( 兄( x “，r ) ) 勺 f 4 ) ( 露( x 6 ， 驴) 。 ( 5 ) ( r ( x “，y “) ) o ( 6 ) ( r ( x “，y “) z “) 。 = 鞭五，。拳i 琵鼋互，妨拳，毛哥) 誊 一：瓦( 蠢( z ，e ，露) 雄，e ) 弁 ：， 。 ；面( x ，( ，卢) 弗一；再( 斟( x ，f ，p ) 带，f ，e ) 串j “， i 滁2 黑固斧。 ：墙 + 傺( 该竭，+ 鼹) ) 誊l = 丙( x ，y ) 肛+ ；五僻( k ，_ “) 带，x ) i 夏佩矾稍y ) 小 ；( 陬砩点埘撵 一i 瓦两陇，专国) 毒 ， 1、 = r ( x ，y ) 岩+ ：蓖( x ，；盖( 互y ) ) 摊 + i 再m 。怎再( 五z ) o 带+ ；万汹怎取墨y ) 旬群 6 + ；( 瓦驰涨) 心 其中x ，誓z 万膨父臻a p r ( 目，q 。( g ，0 露 第二章黎曼向擞丛关于s a 8 8 k i 型虞繁的黎受儿何 证明利用曲率张嫩的定义 矗( x ，y ) z = v 童v 哥z v 矿v 贾z v 唪，功z ( 1 ) ：获( 2 。1 ) ，2 4 ) 窝( 2 1 2 ) ，立帮莓涯。 ( 3 ) ：从( 2 2 ) ，( 2 4 ) 和( 2 1 2 ) ，可以得到 菇( x 6 ， ”) 矿= 一移p 亏，“矿， 定义姨射最：露一，掰絮下； 默( 曲= ；霹( x ，t ，舻) 带，v e 则由( 2 7 ) 可知 寺x 。：( 黾弘y + ；霹。 由于妤p ( 巩肛) ko 和( 2 9 ) ， 歌6 r m ”= 点”砷一一( f l ( ( ) + 扭账卜怎扩) “ 获嚣褥证。 ( 2 ) ：由( 3 ) 和第一b i a n c h i 恒等式 袁( 矿，r ) z “= 蠢( z “，r ，) 矿一元( z “，矿) r ， 窒鼙霹证。 ( 4