（计算机应用技术专业论文）混合序列的若干极限性质.pdf

摘餮 摘要 概率极限理论是概率论的l ：要分支之，也是概率论的其他分支和数理统计的重 要基础。前苏联著名的概率统计专家k o l m o g o r o v 曾说过：概率论的价值只有通过概 率极限定瑾才能被揭示，没有极限定理就不可能去理解概率论中的基本概念的真正含 义经典的极限理论是概率论发展史上重要的成果，而对随机变量序列的极限定理的 研究是近代概率极限理论研究中的热门方向之一，本硕士论文的主要工作也是对此进 行磷究， 隧桃变量的楣依性概念不仅早已在概率论耪数理统计的某些分支中被提了出来 ( 撇在马氏链、随机场理论和时间序列分析中) ，丽虽也出现在许多实际闯趱中虽然 独立性假设在某些对候是合理的，健要验证一个样本的独斑性却是很困难的，丽在某 些实际阆题中，样本并非是独立的观察值。壶此可见，研究非独立的随机变量序列有 蒜十分深亥l 的理论鞠实际意义。关予混合糕最随枫变量酌经典的极蔽理论被系统遣讨 论予陆传荣和林赢炎的专著混合棚依变量的极限理论( 1 9 9 7 ) 中。参混合的定义由 b r a d l e y ( 1 9 9 0 ) 引入p 一混合的定义是由z h a n g 和w a n g ( 1 9 9 9 ) 引入本硕士论文就是 对这甄类穗蔹璇枫变量熬极限性矮进行了深入的研究。 第一章我们研究了茹混会麓机变量痔列的强极限理论在第一章第一节我们主要 利用芦混合序列的r o s e n t h a l 型最大值不等式，研究了芦混合阵列加权和的三1 收敛 饿，裱概率收敛性，几乎处处收敛性，及竞全收敛性之闻的等徐关系，并在弱一组条件 下证明了上述足种收敛性对予参混合阵戮总成立，所得结采，雄广了行独支隧梳变量 阵歹| j 相应的缔果。 在第一章的第二节中，我 f 】讨论了蚕混合序列的强收敛性；m a r c i n k i e w i c z 强大数 定律，三级数定理，收敛速度等此结果改进了哭群英教授( 2 0 0 1 ) 的结果，去掉了结论 中的魄q 弦因子，使其达舞? 与独立一祥的筵采。 第二章我们研究了妒一混合隧爹变量序列的强极限理论。在第二章第一节我们剃题 p 一混合序列的r o s e n t h a l 型最大值不等式，讨论了p 一混合序列的强收敛性；m a r c i n k i e w i c z 强大数定律，三级数定理等使其达到了与独立一样的结采 在第二拳酌第二节孛，我 j 褥羯了矿混合随概变量序列鹣h g j e c k 一戳蟛型不 等式和c h u n g 型强大数律，使其达到了与独立样的结果 第三章我们研究了p 一混合阵列的强极限理论在本章中我们利用矿混合序歹l j 的 r o s e n t h a l 型最大值不等式，讨论了圹混合阵列舷权和豹若千收敛蛙阂题，不仅把蓠 人所褥维果推；。裂了p 一混合阵列情形，并且改进了一些裰关的结果。新褥结采，推广 了行独立随机变爨阵列相应的结果，且得到了n a ，矿混合随机交量阵列加权和完全 收敛缝的一些接论。 荚键词：多混会阵列；声混合窿列；圹混合序列；尹一混含阵列。 一薹一 桂林工学院学徒论文 a b s t r a c t p r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r yi so n eo ft h ei m p o r t a n tb r a n c h e sa n da l s oi sa ne s s e n t i a l t h e o r i t i c a lf o u n d a t i o no fs c i e n c eo fp r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s t h ef a m o u sp r o b a b i l i t y s c h o l a rk o l m o g o r o vf r o mp r e v i o u ss o v i e tu n i o n s a i d ：o n l yp r o b a b i l i t yl i m i tt h e o r yc a n r e v e a lt h ee p i s t e m o l o g i c a lv a l u eo fp r o b a b i l i t y w i t h o u ti t ，y o uc o u l d n tu n d e r s t a n d t h er e a lm e a n i n go ft h ef u n d a m e n t a lc o n c e p t i o n si np r o b a b i l i t y ”c l a s s i c a ll i m i tt h e o r y i sa s i g n i f i c a n ta c h i e v e m e n ti nt h ep r o g r e s so fp r o b a b i l i t y s t r o n gc o n v e r g e n c eh a s b e c o m et h em o s ti m p o r t a n ta n dp o p u l a rd i r e c t i o ni nt h ec u r r e n ts t u d yo fp r o b a b i l i t y l i m i tt h e o r y s o m es i g n i f i c a n tr e s u l t sh a v eb e e nr e a c h e dt h r o u g hd e e pr e s e a r c hi nt h i s d i s s e r t a t i o n 。 t h ed e p e n d e n c eo fr a n d o mv a r i a b l e sa sac o n c e p ti sd e v e l o p e dn o to n l yi ns o m e b r a n c h e so fp r o b a b i l i t yt h e o r ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s ，s u c ha sm a r k o vc h a i n s ，r a n - d o mf i e l dt h e o r ya n dt i m es e r i e sa n a l y s i s ，e t c ，b u ta l s oa p p e a r si nm a n yp r a c t i c a lp r o b - l e m s a l t h o u g ht h ea s s u m p t i o no fi n d e p e n d e n c ei sr e a s o n a b l es o m e t i m e s ，i ti sd i f f i c u l tt o c h e c kt h ei n d e p e n d e n c eo fas a m p l e m o r e o v e r ，i nm a n y p r a c t i c a lp r o b l e m s ，t h es a m p l e s a r en o ti n d e p e n d e n to b s e r v a t i o n s 。h e n c eo n ec a l ls e et h a t ，t h es t u d yo nd e p e n d e n tr a n - d o r av a r i a b l e sh a sm o m e n t o u ss i g n i f i c a n c e t h e c l a s s i c a ll i m i tt h e o r e m so fp r o b a b i l i t y t h e o r yf o ras e q u e n c eo fm i x i n gd e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sw a sd i s c u s s e ds y s t e m - a t i c a l l yi nl i na n dl u ，sm o n o g r a p h ”l i m i tt h e o r yo nm i x i n gd e p e n d e n tr a n d o m v a r i a b l e s ( 1 9 9 7 ) t h ed e f i n i t i o no f 西w a si n t r o d u c e db yb r a d l e y ( 1 0 9 0 ) t h ed e f i n i t i o n o fp w a si n t r o d u c e db yz h a n ga n d w a n g ( 1 9 9 9 ) s o m es i g n i f i c a n tr e s u l t so fs t r o n gl i m i t t h e o r yf o ras e q u e n c eo fd e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sh a v e b e e nr e a c h e dt h r o u g hd e e p r e s e a r c hi nt h et w od i s s e r t a t i o n i nc h a p t e ro n e ，w ei n v e s t i g a t et h es t r o n gl i m i tt h e o r e m sf o r 多- m i x i n gr a n d o m v a r i a b l e ss e q u e n c e s i nt h es e c t i o nlo fc h a p t e ro n e ，w eu s ear o s e n t h a l - t y p ei n e q u a l - i t yo fp a r t i a ls u h i sf o r 卢一m i x i n gr a n d o mv a r i a b l e s ，a n ds t u d yt h ee q u i v a l e n c e sb e t w e e n l lc o n v e r g e n c e ，c o n v e r g e n c ei np r o b a b i l i t y , a l m o s ts u r ea n dc o m p l e t ec o n v e r g e n c eo f w e i g h t e ds u i n sf o ra r r a y so fr o w w i s e 多一m i x i n gr a n d o mv a r i a b l e s ，u n d e rc e r t a i nc o n d i - t i o n sa n dt h ei n v a r i a b l ee x i s t e n c ea r ep r o v e do ft h ea b o v ee q u i v a l e n c e sf o r 声一m 龇 r a n d o mv a r i a b l e s ，o u rr e s u l t se x t e n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so fa r r a y so fr o w w i s e i n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s i nt h es e c t i o n2o fc h a p t e ro n e ，w ed i s c u s ss t r o n gc o n v e r g e n c ef o r m i x i n gr a n d o m s e q u e n c e s t h e s er e s u l t sa r es a m et ot h o s eo fi n d e p e n d e n ts e q u e n c e s ，a n de x t e n dt h e m a r c i n k i e w i c z - z y g m u n ds t o n gl a wa n dt h et h r e es e r i e st h e o r e ma n ds t r o n gc o n v e r g e n c e r a t e ，e t c t h i sr e s u l t si m p r o v e dt h i sr e s u l t so fw u ( 2 0 0 1 ) a n dw i t h o u tt h el o g 叼nf a c t o r i nt h e 4 一l l i nc h a p t e rt w o ，w ei n v e s t i g a t et h es t r o n gl i m i t st h e o r e mf o rp - - m i x i n gr a n d o m v r i 幽 e ss 鹎u e 鼓c e s 。i nt h es e c t i o n 羔o fc h a p t e ro n e ，w eu s e8 r o s e n t h a l - t y p ei n e q u a l i t y o fp a r t i a l8 u r n sf o rp 一m i x i n gr a n d o mv a r i a b l e s ，w ed i s c u s ss t r o n gc o n v e r g e n c ef o r m i x i n gr a n d o ms e q u e n c e s t h e s er e s u l t sa r es a m e t ot h o s eo fi n d e p e n d e n ts e q u e n c e s 氇珏d 憾e 珏d 也em a r e i n k e w i e z - z y g m u n ds t o n gl a wa n dt h et h r e es e r i e st h e o r e ma n d s t r o n gc o n v e r g e n c er a t e , e t c i nt h es e c t i o 牲2o fc h a p t e rt w o ，w eo b t a i nt h eh 毛j e c k l 晒n y ii n e q u a l i t ya n d t h r e e s e r i e st h e o r e ma n dc h u n g ，ss t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r s f o rp - - m i x i n gr a n d o mv a r i a b l e s t h e s er e s u l ta r ec o n s i s t e n tw i t ht h a tf o ri n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l es e q u e n c e i nc h a p t e rt h r e e w ei n v e s t i g a t et h es t r o n gl i m i t st h e o r e m f o rw e i g h t e ds l i m sf o r a r r a y so fr o w w i s ep 一m i x i n gr a n d o mv a r i a b l e s o u r r e s u l t se x t e n dt h ec o r r e s p o n d l n g r e s t l i t so fa r r a y so fr o w w i s ei n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s ，a n ds o m ec o m p l e t e c o n v e 卜 g e 珏e e r o 珏a r i e sf o rw e i g h t e ds u m sf o ra r r a y so fr o w w i s en a a n d 矿。m i x i n gr a n d o m v a r i a b l e s 。 k e yw o r d s ：参一m i x i n ga r r a y ；# 3 一m i x i n gr a n d o mv a r i a b l e s ；p 一一m 啦r a n d o m v a r i a b l e s ；p “- m i x i n ga r r a y i i i 桂林工学院硕士学位论文 研究生学位论文独创性声明和版权使用授权说明 独创性声明 本人声明：所呈交的论文是我个人在吴群英教授指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得桂林工学院或其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料对论文的完成提供过帮助的有关人员已在论文中作了明确的说明并致以了谢 意。 学位论文作者( 签字) 馑叁叁 签字日期：号毋奠么j l 版权使用授权说明 本人完全了解桂林工学院关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：按照学校要 求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提 供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文： 在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵 守此规定) 学位论文作者( 签字) ： 指导教师签字： 签字日期： 蜀录 引言 概率论极限理论是概率论的主要分支之一，是概率论的其他分支和数理统计的重 要基础前苏联著名的概率论学者k o l m o g o r o 和g n e d e n k 0 在评论概率论极限理论时 曾经说过：概率论的认识论的价值只有通过极限定理论才能被揭示，没有极限定理就 不可能去理解概率论的基本概念的真正含义极限理论的基本内容是每概率统计工 作者磐须掌握的知识与工具1 9 世纪2 0 年代以前，中心极限定瑗是概率论研究的中 心谍题。经典极限理论是概率论发展史上的重要成果。近代极限理论的研究至今方兴 未艾，它不仅深化了经典理论的许多重要的基本结果，也极大地拓展了自己的研究领 域这些都是和概率论其他分支以及数理统计的最新发展相联系的 对于随机变量序列有很多的收敛性质，如：依分布收敛，几乎处处收敛，依概率 收敛，l 口收敛和完全收敛性，这些收敛性质前人都进行了深入的研究，得到很多的 蕈要结论关予独立随机变量的经典极限理论被系统地讨论于( a l m o s ts u r ec o n v e r - g e n c e 1 1 ( 1 9 7 4 ) 和( l i m i tt h e o r e m so fp r o b a b i l i t yt h e o r ys e q u e n c e so fi n d e p e n d e n t r a n d o mv a r i a b l e s ) ) 2 1 ( 1 9 9 9 ) 中 随机变量的相依性概念不仅早己在概率论和数理统计的某些分支中被提了出来 ( 如在马氏链、随机场理论和时闻序列分析中) ，丽且也出现了许多实际阀题中。虽然独 立性假设在某些时候是合理的，但要验证一个样本的独立性却是很困难的，而在某些 实际闯题中，样本并非是独立的观察值。由此可觅，研究非独立的随机变量殍列有着 十分深刻的理论和实际意义关于混会相依随机变量的经典的极限理论被系统地讨论 于陆传荣和林正炎的专著混合相依变量的极限理论 z 1 ( 1 9 9 7 ) 中 声混合1 9 9 0 年才由b r a d l e y 4 1 弓l 入，通过定义可以知道声混合穿列是一类极为广 泛的相依随机序列，对其进行研究是很有价值的，文献f 4 l 、1 5 】研究了它们的弱极限定 理。文献| 6 1 6 、7 】讨论了它们的部分和的收敛性质，但所需的矩条件过强，且还都要要求 某个级数收敛的条件最近吴群荚教授在文献隆王l 】中讨论它的完全收敛性、郝分和及 加权和的收敛性质获得了几乎与独立情形一样的b a u m 和k a t z 定理、m a r c i n k i e w i c z 强大数律、三级数定理及不变原理等收敛性质g a n 1 2 l 得到了它的一些几乎处处收敛 的性质。对于西混合阵列的研究撩对来说比较少，目前存在的文献有邱德华1 1 3 】、a n n a k u c z m a s z e w s k a a 4 1 因此对其研究还是很有意义的 自1 9 9 9 年z h a n g 和w 妇d 1 5 j 给出了p 一混合随机序列的定义以来，已经引起了 很多学者的关注由于它是一类极为广泛的相依混合序歹| l ，对其进行研究是很有价值 的。z h a n g 依次讨论了若收敛定理1 1 5 l ( 1 9 9 9 ) ，随机场的中心极限定理【1 6 】( 2 0 0 0 ) ，完 全收敛性( 2 0 0 0 ) ；蔡光辉讨论了它的完全收敛性( 2 0 0 0 ) ，随机场的矩不等式和强大数 律中的收敛速度 l 司( 2 0 0 6 ) ，滑动平均过程的完全收敛性：王建峰 1 嘲得到了它的最大 值r o s e n t h a l 型矩不等式对于p 一阵列的研究耳前还未见成果报告 本硕士学位论文主要在前人的研究基础上，进一步讨论了随机变量序列的收敛性 质和阵列的收敛性质重点研究了上述两种比较广泛的随梳变量穿列的几乎处处收敛 一l 一 桂林丁学院学健论文 性质和阵列的各种收敛性质之间的关系，论文的主要结构如下： 本文第一章我嬲研究了参混合隧视变攮序列盼强极限璎论。在第一章第节我稍 主要利用混合序列的r o s e n t h a l 型最大值不等式，研究了声混合阵列加权和的己l 收敛性，依概率收敛性，几乎处处收敛性，及完全收敛性之间的等价关系，并在另一组 条件下谖硬了述凡率收敛往对子蚕混台阵列总成立，爨褥结果，接广了嚣独立醚凝 变量阵列相应豹结果。 在第章的第二节中，我们讨论t 声混合序列的强收敛性；m a r c i n k i e w i c z 强大数 定建，三级数邈理，收敛速度等。就绻栗改进了吴群荚教授i n ( 2 0 0 1 的缝暴，去掉了 结论中的l o g 川札因子，使其达到了与独立一样的结果 第二章我们研究了p 一混合随机变量序列的强极限理论在第二章第节我们利淆 尹一混合序列豹r o s e n t h a l 墼最大值不等式，讨论了p 一混合】事列豹强收敛性；m a x c i n k i e w i c z 强大数定律，三级数定理等使其达到了与独立一样的结果 在第二章酌第二节中，我翻得到了矿混合随规变量序剐的h 磊j e c k r 恣n y i 型不 等式和c h u n g 型强大数律，使其达到了与独立一样的结果 第三章我们研究了p 一混合阵列的强极限理论在本章中我们利用p 一混含序列的 r o s e n f f h a i 型最大鏊不等式，讨论了矿混合阵捌掘权藕豹若干收敛性阏题，不仅恕蘸 入艇 导结果推广到7p 一混合阵捌情形，并且改进了一些相美的结果所萼导结果，推广 了行独立随机变量阵列相应的结果，且得到了n a ，矿混合随机变量阵列加权和完全 毂敛性的一些接论。 一2 - 第一奄多混合序列若于极限性质 - - i i i iiiiiiiiiiiiiiiiiiillllli _ _ i m l n l l l l 1i i i i i i i ii i ii _ _ - 第一章痧混合序列若干极限性质 l 。1 痧混合阵列加权和的收敛性 蔓。1 。l霉l 言与孽l 蓬 些线形统计的磷究是基予随机变量阵刿加权和的随机样本，例如最小均方估计， 非参数回归函数估计等因此研究随机变量阵列加权和的强大数律，完全收敛性，依 概论收敛性等在概率撮羧褒论耩数理统计串是非常重要懿， 对于独立随机变量序列，c h u n g 1 9 ( 1 9 4 7 ) 给爨了如下强大数律( s l l n ) ： 定理i i a 设 ；n 1 为独立随机变量序列，段k = o ，n 波1 且 蓥掣 0 ，有 垒糕 0 ， 有 p ( i x 一c l ) o o n = l 此时，我们记为溉二o ，这个定义是毒h s u 和r o b b i n s 2 2 l 首先绘出的 定义1 1 3 1 2 3 l 设 x ，；n 1 ) 是概率空问( q ，a ，矽) 上的r v 如果存在集 a a ，p ( a ) = 0 ，使得当w a 8 时，有l i r a 五。( u ) = x ( ) ，则称x 。几乎必然收敛 于x ，记为墨骂x 对0 p o 。，令厶一 x ：x 是r v r e i x i p 0 ，成立 l i mp i 溉一x | 之g = 0 ， n + 别称 x 。 依概率收敛于r 总x ，记为五。0x 。 在本硕士论文中，我们将用到下面一些常用的概率不等式和重要引理1 2 3 0 ： g 不等式e i x + y i r 冬g ( e i x i + e i y i ) ，其中g = 1 ，若0 rsl ；g = 2 r ， 若r 王 j e n s e n 不等式对任意0 o ，p ( i x i z ) 兰笋 k r o n e c k e r 孳| 理设f 和 磊 是两实数序列，0 a n 善o o ，三嚣收敛，那么 嚣一0 b o r e l - c a n t e l l i 引理 ( i ) 若ep ( a n ) o 。，则p i a n ，i o ) 黑0 ( i i ) 若 a n 相互独立，p ( a ) = ，则p a ，i o 端l 。 接下来我们将给出这一节要用到的一个重要弓l 理： 号l 理l 。王。3 1 2 4 1 设 咒；i l 为一个多混合序列满足e 托一0 , e i x l i p o o ，p 2 ，v i 1 则存在一个仅与p 和芦( ) 有关的正常数c c ( p ，卢( ) ) ，我们有： 一5 一 ( 1 1 8 ) 溉 e 竹谳 + 甄 g 佧 e 0 ，则定理中的 相应结论仍成立 1 1 3主要结果的证明 定理1 1 1 的证明( i i ) 辛( i i i ) 令( i v ) 显然。下证( i ) 辛( i i ) ，令k 未 j ( 1 焉i | 冬 l | q ) ，磊f 圭矧| | r ) 。 则只须证 t n = l p ( im a x l s i s 知g 竹七驯 s ) s ) 州i 垮器 一c - 时i z 1 嗣毡峨l l z , l ，江m 踺 冈她埘每一 0 ，凌引理l 。1 ，1 互残| ；誊蠹丕鲰| ；量溯| ；蒌蔓蚕鲰素罨毫1 c 嚣| 俐氛d s 秽薹n = l 董i = i 渊 工1 6 秽呈叁渊。 又知 墨蒌笺靛露一砜蠢) ) 2 ) ， ( 1 。l 。2 羔) 一? 一 桂林工学院学德论文 惠i i 。9 ) 知+ e i ，銎甄量i 吐竹知磊硝篓c e 墨ei a t i g 叁删 又融( i ) 和( 王。1 2 2 ) 褥 奄再 篓g i = i i e l ，璎群a n k y 如l l 熨s 七n 昌 ” 一im a x l 。泰：， l 帮n 一1 l 嚣ll m 她a x e ：l 所以幽( 1 。王。2 1 ) 和( 1 1 。2 3 ) 知 ( i ) 净i i ) 得证 辩证i v ) 冷( i ) + 新以 住黛l 蠢( 一磊惫羹 _ o 1 d + e i l 婴蠹三詹磊“叫o p ( | ，要曼占划 拈。o ， i 露( ，墨至蚤n 触( 知一蹴跏2 竖g 眈付2 t 霹t 拨此鏖王。王。王o ) 有 再结台i v ) ，可知 又豳( 1 1 。2 5 ) 知 e l t ( 鼍一聪；) | 2 秽2 邬吲2 _ o 。 i = 1i = 1 lm a x ( l t s k 、舞一线是) | p o ， 七o = 1 | e m s ，x 。溉叠_ 0 + 。l s k 苎! 摇= 工 嚣| ，銎篓若瓠蠢( 溉舞一_ o 蹶以窿程。羔。2 r ) ( 1 。1 。2 8 ) 熊 i 譬l 。耋巍聂锄奄| il = 矧，m 躐a x 脯a 毫x k 一联，鎏蠹善冁蠢舔纛) it 嚣| 。m 她a x 。a n 七( 嚣奄一露) l + | 露，嚣受吾 一8 寿| 一0 。 ( 1 。1 ，2 2 ) ( 1 1 。2 3 ( 1 1 2 4 ) ( 王。1 2 5 ) ( 1 1 2 6 ) 堇。羔。2 7 ) ( 1 1 ，2 8 1 1 。2 9 ) 第一章多混食序捌著予极觳性质 所以( i ) 成立，至此定理l 。圭1 得证 定理王王。2 豹证鲷继续沿孽定瑗1 1 。王麴记号，i i ) 净避) ( i v ) 显然。则只须 证( i ) ，( i i ) 先证( i ) ，由( 1 1 1 2 ) 及g 不等式知 濒以 tk e l ，戮苔散溉t se k = l 蚓r 露i x , i o m 野f 知知乌0 l 避曼乙知竹知凶 。 k = t 再证( i i ) 由于l n 牲 碥t i 1 ，lst 竖，他1 ，1 墨r 2 ，则 o ok k 匹磙蚓阡匹| 嘲瞪 ( 1 1 3 0 ) 剐蠢( i ) 类觳于定瑗重1 。1 的证瞬，可褥 ，婺至若风卫。 ( 1 1 3 1 ) 雯l j 定理1 1 2 证毕。 注1 1 2 式( 1 1 1 2 ) 是比式( 1 1 1 0 ) 更强的条件，这是因为当isr 2 时，有 k 匹a 2 i e i x t 1 2 】8 匹蚓r e t y t i r 卜匹l 嘲限 n = li = in = li = 1n = i l 推论圭圭王的证鹾壶雩l 理圭1 2 立静翦祷， 一一 2 嚣) 墨c p ( i x l z ) ， 并置记为 墨 0 及n 1 有p ( i x n l z ) sc p ( i x j 茹) ，则对v p o ，耽 0 ，有： e i i p ，( 1 i t ) c e i x i 辟，( i l t ) + t 口p ( j x f2t ) 】 e i x n l p j ( i 溉l t ) sc e i x i p 川i t ) 1 2 2 主要定理和结论 定理1 2 1设 ；佗芝1 ) 是卢混合序列，若v a r x n 0 ，记 砖) = k ，l k l c ) ，如果 p ( i x i c ) o o ， l 越2 ) n - - - - 1 昱砖 0 上非降， ( i i ) 南和咧磐均在嚣闻艨0 主非增，蠢有e 蒜= 0 + 姥辩 酝；嚣王 是鬻鼗戮，满是0 蠡鞋善嚣曩鬻 0 ，可褥下霹重簧接论： 推论1 2 1 设 赫；佗1 ) 是声混合序列，0 to o ，嚣警 0 0 ，0 ps2 ， 且当羔 p 冬2 时，e x = 0 ，贝 j 1 冠州0a s 。 k = l 涟1 2 。1 庭瑷1 2 。1 一至。2 ，3 达瑙了猿囊情彩嚣结巢。这些缮粱改逶了癸群英 | 逮 中定理隆5 l 的缡聚去掉了定理中的l o d 豫因子。 定理1 2 4 设a n ；佗1 ) 和 k ；n21 ) 为两歹i j 正数序列，且kt 令= 舞 令 j 麓；簿重 楚每涅合隧规变量，还淹是 蕊 x ，定义n ( x = c a r d n ：c n 冬 蓼，茹置羔 芬r 渊d y d t ， 剿存在鑫r ，使褥 忱 簖魄置一呶哪0 & 矗 摧论1 2 ，2 在定遴1 2 ，4 的条襻下，若燕竺e ，嚣1 ，并置灞是 ( i i i ) z 删( 知 鬈) c p ( x l z )( 1 2 6 ) e l x l r o o ，0 r 墨2 ， ( 1 2 7 ) 且当l r 墨2 时， 雳一0 ( 1 2 8 ) ( 1 。2 9 ) 注1 2 3 吴群英教授证明了当0 0 及 r t , 1 ，有( 王。2 。鳞式成立，有 e i x l r s ) sp ( s ：u p ni s k 一& l 主) + p ( r s a 却 | 一魏| 量) _ n 知，t n n七芝t l s2 0 漉p ( 哪m a s xi s 毫- - , , c l q v一是| 量) “s 辩sz 由引理1 1 3 的( 1 1 6 ) 得：p ( s u pl 瓯一i s ) c ( x ) 一0 ，m 0 0 ) 故 一】2 一 s毪0 叶 造 魄 住：l 蛞 s&绍 吠 i i 鼍 n：i 有 m 纵 第一帮多混合序别蔫干极限性壤 一e x n 8 。收敛 n = l 定理王。2 。i 谖毕。 定理羔。2 2 麴谖明 由多混合序列豹性壤知x 一x 卅墨i c ) 是参混合序列， 再内( 1 。2 3 ) 及定理差。2 王褥 囱此及( 1 2 ，2 ) 褥 由1 2 。1 ) 得 所以幽b o r e l - c a n t e l l i 2 2 弓1 理得 南此及( 1 , 2 ，1 0 ) 褥 o o 那j 麓鑫s 收敛 燃1 定理1 2 。3 的证明 由k r o n e c k e r 2 2 】引理，要证( 1 2 。5 ) 只需证明 髭i i s 。收敛。 n = l ( 1 2 1 0 ) ( 1 2 。1 2 ) ( 1 2 。1 3 ) ( 1 2 。1 4 ) 因为 x ； 还是痧混合序列，由定理1 2 2 ，我们只需对它验证( 1 2 差) - ( 王2 。3 ) 成立鞠可，其中c 一羔。壹鲰缸) 当茗 0 酎是不藏豹，有 剐赫胁拯鼎眺鬻， i 甄； a n 所以蠢曼譬群， e p l 恐l 翘o o 。 ( 1 2 。1 5 ) 簇设对某个稚，鬣数瓢髫) 满是条件瓣，剩在嚣阑矧魏中 揣希，蓦糕黟；丽s 葫两砑舔丽葫丽 一重3 一 s 氆 h - 、碟 历一 踏 械 s a 0 n x 哦 莳 k 戳 锥1 l i i ，佧?、砖 灏k 残 姆戚 0 | f 犯。群 举 氍 p 耐 s氇矗 棘 桂林】：学院学位论文 _ _ _ _ _ - - _ _ - _ 煳i i i i i nmll!ll 对于满足条件( i i ) 的蜘( 嚣) ，在同一区间中，由于鲰 ) z 2 不增，所以z 2 l g , , c x ) 甄( ) ，区 l i t ，无论鲰( 。) 满足) 或( i i ) 都有 对任n ，由g 不等式有 故 蓦糕。 e ( 嬲叩) 2 e ( x i s m t s d 。) ) ( 1 2 。1 6 ) 又由( 1 2 1 3 ) ， e x 2 4 蛳，= 霹d p 羞b 蜘( k ) d p 志( 焉) ， l x l l 8 n| x ；| s 鲰 由此及曩号篙学 。褥由此及渊 镪) c e n ( x ) 0 0 。 n = ln = l n = l 由岛不等式，j e n s e n 不等式翱引理1 1 3 ，得 嚣 垒隧坐二壁翌 白城 妒嚣| 磅) 一瞬| 尹 笋莒| 赫矧赫| 岛) | 梦 梦莒| 置；l 哥j ( | 焉| 冬) p ( 蠼p ( x ) ) 凹x p z ( x 蕊魄) 蜮厂魏矿1 嘏t ) d t j o f c n 蛎p 上护q ( x t ) m 耋跞p z 邶矧m = 爹z 矿l 西懒；点鹰p 冬p 2 f o t p - l ( x 站z 掣d 础。 簸簧一个不等式 霄= 熙 n ：e n t r t ：t e n