（基础数学专业论文）基于随机径向基函数的散乱数据插值方法.pdf

摘要 许多客观实际问题的数据采集都具有一定的随机性，因此刻划随机径向基函数 条件下的函数性质就是一个重要的课题 这篇文章中，我们首先介绍了径向基函数的基本理论以及常用的径向基函数插 值方法，接着从分析热弹性问题中体力荷载项入手，引出了随机径向基函数的概念 即节点为研，的随机径向基函数是指具有下述形式的随机函数： t l s ( x ，0 3 ) = e ( ) 妒( 忪一x j l l ) j = l 其中，驴：r + 一r 是给定的一个一元函数，x r d ，a ，( 甜) 是( q ，f ，p ) 上的随机变 量然后讨论了随机径向基函数插值的存在性、逼近问题及其数字特征即数学期望 和方差并给出了一个具体的例子，得到了当a i ( w ) 服从两点分布时的期望曲面 由于随机变量带入了更多的信息，随机径向基函数作为一类新的径向基函数将 会更有效地反映某类事物变化的本质特点 关键词：散乱数据；随机径向基函数插值；正定函数；数字特征 i a b s t r a c t m a n y d a t ag a t h e r i n go fo b j e c t i v er e a l i t yp r o b l e m sh a sc o n s t a n tr a n d o m n e s s , s oi ti sa ni m p o r t a n tt o p i ct oc h a r a c t e r i z ef u n c t i o np r o p e r t i e si nt h ec o n d i t i o no f r a n d o mr a d i c a lb a s i sf u n c t i o n s i nt h i sp a p e w ef i r s ti n t r o d u c ef u n d a m e n t a l t h e o r y a b o u tr a d i c a lb a s i sf u n c t i o na n dc o m m o n l yu s e dr a d i c a lb a s i sf u n c t i o ni n t e r p o l a t i o nm e t h o d ，t h e nl e a d i n gt ot h ec o n c e p to ft h er a n d o m r a d i c a lb a s i sf u n c t i o n st h r o u g ha n a l y z i n gt h e b o d yf o r c e si nt h e r m o e l a s t i c i t y t h a ti sar a n d o mr a d i c a lb a s i sf u n c t i o nw i t h 规，z 以a si t sn o d e si sar a n d o mf u n c t i o nw i t ht h ef o l l o w i n gf o r m ： s ( x ，u ) = 九 ( ) 驴( 一i 1 1 ) j = l a m o n gw h i c h , 妒：r + r i sa nu n a r yf u n c t i o n , x r d ，a f ( c o ) i sar a n d o mv a r i - a b l ei n ( q ，f ，p ) f u r t h e r m o r ew ed i s c u s st h ee x i s t e n c e 、a p p r o x i m a t i o n p r o b l e m a n dm a t h e m a t i c a lf e a t u r en a m e l ym a t h e m a t i c a le x p e c t a t i o na n dv a r i a n c eo fr a n - d o mr a d i c a lb a s i sf u n c t i o ni n t e r p o l a t i o n , a n da l s og i v ea ne x a m p l eg e t t i n gi t s e x p e c t a t i o ns u r f a c ew h e nh i ( w ) o b e y e st w o - p o i n td i s t r i b u t i o n a san e wr a d i c a lb a s i sf u n c t i o n ，r a n d o mr a d i c a lb a s i sf u n c t i o nw i l lm o r e e f f e c t i v e l yr e f l e c te s s e n t i a lf e a t u r e so fc e r t a i nt h i n g sc h a n g e sb e c a u s e o fm o r ei n - f o r m a t i o nr a n d o mv a r i a b l eb r o u g h t k e yw o r d s ：s c a t t e r e dd a t a ；t h ei n t e r p o l a t i o no fr a n d o mr a d i c a lb a s i sf u n c t i o n ；p o s i t i v ed e f i n i t ef u n c t i o n ；f u n c t i o n a la p p r o x i m a t i o n ；m a t h e m a t i c a lf e a t u r e 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文中 除特别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究 成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确 的声明并表示谢意 学位论文作者签名： 粘主 学位论文版权使用授权书 e t 期：阳d 了、s ， 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅 本人授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文保密的论文在 解密后使用本授权书 学位论文作者签名：矣未互 指导教师签名 日期：q ，r 1 、 1 引言 散乱数据指的是在二维平面上或三维空间甚至多维空间中，无规则的，随机分 布的数据点散乱数据插值是指过一组散乱( 又称非均匀) 分布的数据采样点拟合一 张光滑的曲面此问题对众多科学和工程领域都有重要的实际价值，因为实际中能 够测量或产生的数据经常会是稀疏且不规则分布的插值的目标是重构一个基本的 函数( 曲面) ，以求得任意位置的值，该曲面力争把与散乱点相关的信息光滑地传播 于定义域中的所有位置 散乱数据的来源主要有三种【1 】：( 1 ) 物理量的测量值；( 2 ) 实验结果；( 3 ) 计算结 果它们出现于各种科学和工程应用中，如地质学，大气学，海洋学，测绘学和采矿业 中经常会收集到一些物理量的非均匀测量结果；化学，物理学和工程当中的散乱分 布的实验数据；用有限元法解偏微分方程时其输出中的非均匀分布的计算结果；散 乱数据插值还在计算机图形学和计算机视觉中有着各种各样的应用 早在2 0 世纪6 0 年代，散乱数据的插值问题就已引起了人们的注意近4 0 多年 来，对散乱数据的插值问题，已经有多种算法被提了出来，但只有径向基函数法对散 乱数据插值的结果最令人满意 然而，在运用插值方法解决实际问题时，散乱数据点往往是不确定的，而表现出 某种随机性，这是由于外部环境或条件的影响而产生的在1 9 5 1 年，虽然k r i g e 描 述南非的矿藏分布时，把其分布函数厂( z ) ，x r d 看成是一个随机函数f ( x ) 的实 现但至今没有人对随机径向基函数及其插值做过相应的分析本文就给予其详细 的研究 选取不同的随机激励方式，就会有各种与之相适应的数学模型我们考虑刻划 结构在多点随机激励之下热弹性问题中体力荷载项的随机过程的数学表示问题以 随机过程的观点看，对每一次测量得到的数据进行插值拟合，得到的就是对随机过 程的样本路径的一个逼近 本文从刻划热弹性问题中体力荷载项【2 】在多点随机激励之下的随机过程的数 学表示开始，探讨随机插值问题，进而得到了随机径向基函数的概念事实上，产生 随机径向基函数的背景可以从许多途径获得而随机径向基函数也可以用于诸如随 机曲线以及随机曲面的刻划、时间序列分析等许多方面 由于诸多客观实际问题的数据采集都具有一定的随机性，因此，刻画随机样本 1 基于随机径向基函数的散乱数据插值方法 点条件之下的函数性质就是一个重要的课题实际上，我们以随机分析的观点研究 随机径向基及其插值，它的存在性问题，逼近问题等都有多种意义 本文将针对随机径向基函数插值展开讨论首先介绍了径向基函数的基本理论 以及常用的径向基函数插值方法，接着从分析热弹性问题中体力荷载项入手，引出 了随机径向基函数的概念，然后讨论了随机径向基函数插值的存在性、逼近性问题 及其数字特征数学期望和方差并给出了一个具体的例子，得到了当a f ( u ) 服从两 点分布时的期望曲面 全文共五章本章是对文章所涉及问题的背景以及我们的研究工作的综述其 余各章内容安排如下： 在第二章中，我们探讨径向基函数的有关理论及性质 第三章给出随机径向基函数及其插值的概念，并研究随机径向基函数插值的相 关问题 第四章给出了具体的例子 第五章是对全文的一个总结，并对下一步的研究工作进行一些分析 一2 一 2 径向基函数插值的理论及性质 2 1 径向基函数及其插值 许多实际问题进行数学抽象以后会成为一个各向同性的问题，这样的问题往往 会导出径向基函数的表示 据e m s t e i n 和g w e i s s 【3 】的定义，径向函数( r a d i a lf u n c t i o n ) 就是满足：如 果ii z li i = li 娩i i ，那么妒( 规) = 妒( x 2 ) 的函数驴，即仅依赖于r = l i 的函数( 注： 如未加说明，本文中的范数皆为e u c l i d e a n 范数) 虽然其表述简单，但其内含有的 理论知识却非常丰富，不少专家学者对其进行了深入细致的研究 径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ) 就是这样的函数空间【4 】：给定一个一元函 数必妒：r + 一r ，在定义域x r d 上，所有形如妒( z c ) = 妒( ii z c ii ) 及其线 性组合张成的函数空间称为由函数妒导出的径向基函数空间在一定的条件下，只 要取 x 矗两两不同， 妒( x x f ) ) 就是线性无关的，从而形成径向基函数空间中某 子空间的一组基当 z 矗几乎充满础时， 妒( z z f ) ) 及其线性组合可以逼近几 乎任何函数，不单是从各向同性的问题中产生的函数 定义2 1 1 径向函数( z ) = 驴( i i x ii ) 是正定的( p o s i t i v ed e f i n i t e ) 5 ，6 】，如果对 所有两两不同的点集 x 1 ，i n 】i 副，矩阵a = ( o ( x i 一敬) ) 1 ，k s 竹是正定的 在多元构造逼近论领域，径向基函数受到了越来越多的重视径向基函数 的研究是从径向基函数插值开始的所谓径向基函数插值就是：给定径向函数 驴：r + _ r ，对于一组多元散乱数据 z f ，f j 7 = 】r d r ，寻找如下形式的函数： s ( x ) = e 驴( 忪一x j f1 ) ，x r d 满足插值条件s ( x j ) = f j ，j = 1 ，行 其中，r + 代表正数集合，r dor 代表d + 1 维的乘积空间，靠是节点戈的个 数，j = 1 ，z 是待定系数，妒即为径向基函数 有时为了某种目的还添加上一个多项式项，即寻找形如【7 】 s ( z ) = ea j 妒( 1 l x x j l1 ) + ek 矿 ( 1 ) 0 由古典的三角函数逼近知识知道，e a f x i 可以逼近几乎任何的正函数，所以径向 基函数插值对任何两两不同的数据点都存在唯一解的充分必要条件是：$ ( f ) 几乎 处处非负，且至少在一个正测度上大于零 满足这种性质的函数妒( i | ii ) 称为d 变元的正定函数利用上述关于正定函数 的讨论，就可以得到径向基函数插值b o c h n e r 定理的一个重要定理 定理2 2 2 3 】函数( z ) 是正定函数的充分必要条件是其f o u r i e r 变换圣( f ) 几乎处处非负，且至少在一个正测度上大于零 一般地，函数c a ( x ) = 驴( i i x ii ) ，x r d 是一个正定函数，并不能得到 d + 1 ( z ) = 各1 对数 据 x s ，乃) 各1 进行径向基函数插值时，得到的s ( z ) 与给定的函数厂( z ) 的误差我们 将在下节给出一个定理 设径向基函数妒( 1 l x l l ) 在行维空间广义f o u r i e r 可变换，且妒( z ) = f e 跚d d ( t ) 由g e l f a n d ，当驴( r ) = 一时，多( f ) = c d f i f 一矗一竹d 2 k ，d + ，z 2 k 为方便起见， 一5 一 基于随机径向基函数的散乱数据插值方法 记p ( t ) = l i t l l d 一珂为关于 p ( 1 l x l l ) = i i x l l d 的伴随函数且记广( x ) = e ( z ) 乃， 则有下面的定理： 定理2 3 1 1 7 若厂( z ) 在广义f o u r i e r 变换意义下可写成 厂( x ) = e i ，( f ) d f ， 且 i f ( t ) 1 2 p 。( t ) a t ， 那么 咿比( x ) 一厂木( 比( x ) i i 毛c a , ：- 2 川 其中，c 为常数，兀比= ie a 5 比( z ) e i x j ，侈一( i t ) 戊 i 推论若将定理中条件改成l ，( f ) i c p ( t ) ，且i f ( t ) l e t 存在，那么由估计式 成咖) l a f 咖) l a f c a f , - 2 由此可见，径向基函数插值的收敛性质是非常好的不仅函数本身有较高的收 敛阶，而且各阶偏导数也有很好的收敛速度，或者说它在索伯列夫空间中是收敛的 2 4 径向基函数插值的逼近问题 考虑利用形如式( 1 ) 的函数对f ( x ) 进行逼近 定理2 4 1 1 7 若f ( x ) = f e i 尸( f ) d f ，且j rl l ( t ) l a t qr ，寻找形如如下的函数： 满足 而考虑插值问题 厂( x ) = e a y 妒( 1 l x x j l l ) ， = e a j 妒( 1 l x k x j l l ) a ( x j ) = b i ( x j ) 时，显然，由随机数据插值产生的数学表示就是系数为随机变量的径向基函数： f ( x ，) = e ( 甜) 妒( i i z x j l l ) 用随机过程的语言来说，这个径向基函数实际上就是一个随机过程，它的每个样本 路径都是确定的径向基函数 若上述随机变量均取自一个已有的随机过程，这样得到的表示应是此随机过程 的近似，它对于原来的随机过程的数学特征等许多重要问题都将以不同于确定意义 下的径向基函数情形呈现出来我们的目的就是对随机径向基函数的构造、特性以 及一些重要的逼近性质进行研究 我们更加关注随机数据点的插值逼近问题研究这种数学表示可以帮助我们从 一个新的角度认识有关的随机过程从而关注随机过程的径向基函数或轨道的状态 对整个随机过程的影响，从概率的角度研究其中的联系会更加具有意义 下面，我们将引入随机径向基函数的概念，并研究随机径向基函数对散乱数据 插值的逼近问题 我们将在实随机过程的条件下展开讨论 一8 一 基于随机径向基函数的散乱数据插值方法 3 2 随机径向基函数及其插值的概念 随机函数定义设t 是元素f ，s ，的一个任意集合，我们将称函数吾( f ) 为丁 的变元t 的随机函数( 或称，t 上的随机函数) ，它的数值是一个随机变量 对所有对应于t 的元素的随机变量的总体我们会称之为t 上的随机函数吾( f ) 根据e e 斯鲁茨基，随机函数吾( f ) 将视为已给定的，如果对于t 的每一个t ，变量 吾( f ) 的分布函数 最( z ) = p 吾( f ) 0 由几乎处处非负，可知矩阵 一1 0 基于随机径向基函数的散乱数据插值方法 a = 驴f ( 张) ) 竹竹是对称的，对v c 0 r 以，有二次型 ( a c ，c ) = q c 七咖( 敬) = q c k 妒( 1 l x k x j t l ) j = l k - 1 j = lk = l = ( 2 ) m n 圣n 备n ( 丽1 严e 蚺k 节d w = 一妒( 2 ) ( 张) ) n n l ( 币) 玎。 圣( f ) p k 奶敏一即 = ( 嘉) 以上：c b ( t ) l c ( 硼) 1 2 d 硼 o ， 其中，c ( 硼) = e nc e i ，所以a 是正定的，从而a 是对称正定的 j = l 由于 ( 甜) = e ( ) 咖( 七= 1 ，托) 写成向量形式为 1 = x a 优= 厂优= ( 人1 ( u ) ，a n ( ) ) 1 注意到九f ( 甜) 是关于叫的随机变量，对每一个确定的0 3 ，a f ( ) 仍然是一个确定的 随机变量由a 的性质可知比= a - i f ，从而可唯一确定出s ( x k ，甜) = e 妒f ，即插 j = l 值问题唯一可解【1 3 】 反之，若随机径向基函数插值对任何两两不同的数据点 x f ) 都存在唯一解，由 定理3 3 1 知，矩阵a 是正定的而由经典的三角函数逼近知识知道，i c ( w ) f 2 可以逼 近几乎任何的正函数所以面( f ) 几乎处处非负证毕 3 4 随机径向基函数插值的逼近问题 现在讨论针对散乱数据插值的逼近问题同样考虑利用形如 s ( x ，) = a j ( w ) 妒( 1 l x 一叼1 1 ) 的函数对f ( x ) 进行逼近类似地有下面的定理： 定理3 4 1 若f ( x ) = fe k f ( t d t ，且，i f i t ) l e t o o ，那么当 x j ) 在q 稠 密时，存在函数 玎 s ( x ，) = a y ( w ) 妒( 1l x x | l1 ) ， j = l 使得 i i s ( x ，0 3 ) 一川一o 一1 1 基于随机径向基函数的散乱数据插值方法 证因为i i ，( f ) 协 0 ，存在 g e = f 们。d f ， 其中们。为有限及有限支柱函数，满足 fi f ( t ) 一们e l a t 主， 从而 ii 厂一i i n 时，关于的插值s 满足 i i s ( x ，u ) 一g e ( x ) i i 鸭q 吾， p 所以 i i s ( x ，们) 一f ( x ) i i n 一1 2 4 例子及应用 4 1 随机径向基函数的数字特征 随机变量的数字特征是指与随机变量分布有关的某些数值从概率论知识知 道，随机变量的分布函数虽可完全地描述随机变量的概率规律；但某些数字特征，如 数学期望、方差等则能更集中地反映随机变量的一些特性，而且在许多实际问题中 只需知道它的某些数字特征就足够了随机变量的数字特征在概率论与数理统计的 理论研究和实际应用中都占用重要地位在本章中，我们就从各类数字特征中，举其 重要者进行讨论 数学期望是随机变量的一个重要数字特征，它表示随机变量取值的平均水平， 或者说随机变量的中心位置，从一个角度描述了随机变量但在许多问题中单用数 学期望通常是不够的，往往还要涉及到另一类数字特征，它刻划随机变量的取值与 其中心位置的偏离程度这一特征，其中最重要的是方差值得注意的是，随机变量的 数学特征只反映了随机变量概率分布的某些侧面，一般不能通过它们来确定随机变 量的分布函数 这一章要研究的性质涉及到随机函数及其有关的概念，所以在这里先简单介绍 一下随机变量的数字特征有关内容的进一步了解和严格的讨论可参见有关概率 论，测度论，随机过程及随机函数的书籍【1 4 】 定理4 1 1 设y = g ( x ) 是连续函数，而y = g ( z ) 是随机变量x 的函数， ( 1 ) 若x 是离散型随机变量，分布列为 p ( x = x i ) = p i ，f = 1 ，2 ， 且级数ei g ( x i ) i p i 收敛，则 i = i e y = e g ( x ) = g ( x i ) p i ； i = 1 ( 2 ) 若x 是概率密度为f ( x ) 的连续型随机变量，且积分= l g ( x ) l f ( x ) d x 收 敛，则 e y = e g ( x ) = g ( x ) f ( x ) d x ，一 】3 基于随机径向基函数的散乱数据插值方法 由简单的推导，可得方差公式为 d ( x ) = e x 2 一( e x ) 2 对于随机径向基函数厂( 乃u ) 2 暑( u ) 妒( i i z x j l l ) ，下面我们将研究其数 字特征 由定理4 1 1 知，随机径向基函数的数学期望为： 且 + 2 a i ( w ) a j ( o j ) 妒( 1 l x x , 1 1 ) 妒( 1 l x 一即i i ) ) i = 1j = i + l 以 = 妒2 ( 1 l x 一圳) e a ( 甜) 】 j = 1 n - 1 竹 + 2 驴( 1 l x x f l l ) 4 , ( 1 l x x j l l ) e a i ( w ) a j ( w ) ， e ( 厂( 辑) ) 】2 = 4 ( 1 l x x j l l ) e ( a ( w ) ) 2 j = l 打 = 妒2 ( 1 l x 一勺1 1 ) e ( ( ) ) 】2 f = 1 川 陋 e 即 一 x 妒 闩 i f 即 一 z 妒 匹芦 e = 川 乃 旷 e 倥 即 一 x 步 以旺芦 e= 2 川 影 旷 e 儿 即 一 x 2 妒 碍 n 匹芦 e= 川 入e 即 一 z 驴 以 一 x 驴 玎讲 斟 2+ 基于随机径向基函数的散乱数据插值方法 则随机径向基函数的方差为： d 【厂( 乃甜) 】= e f ( x ，) 】2 一 e ( f ( x ，甜) ) 】2 2 善驴2 ( 1 l z 一- i i ) e 碍( 训一岸e # ( i i z x j l l ) e ( w ) 】2 = e 4 ( 1 l x 一即i i ) e 碍( u ) 】一 e ( ( 叫) ) 】2 ) 歹= 1 4 2 随机径向基函数数字特征的具体表示 上一节，我们给出了随机径向基函数的数学期望及方差的公式表示下面，我们 将就随机变量所服从的常见概率分布，给出随机径向基函数插值的具体数字特征表 示，并用m a t l a b 实现它们相应的期望和误差曲面 在概率论中，主要研究两类随机变量：离散型随机变量与连续性随机变量本文 只考虑一种情况 随机变量a f ( u ) 服从两点分布，即a ，一( 0 1 ) 由概率论知识知 陟( 髟) 】= 驴( 1 l x 一巧i i ) e ( 甜) 】 j = l 以 ：= e 驴( 1 l x x j l l ) p j d f ( x ，甜) 】= 驴2 ( 11 x 一即ii ) e a ( 山) 】一【e ( ( u ) ) 】2 ) j = l n = 妒2 ( 1 1 x x j l l ) p j q 下面，我们选用h a r d y 的m u l t i q u a d r i c 函数：妒( 厂) = ( c 2 + r 2 ) 卢此时，取 c = 0 1 5 ，卢= ；，得妒( r ) = v 0 1 5 2 - 1 - r 2 ，并取数据点的个数为托= 3 6 当分别 取p j = 0 1 5 ，功= 0 3 5 , p j = 0 6 5 ，p j = 0 9 5 时，可获得图1 一图4 的随机曲面，及 图5 图8 的误差曲面而此时的期望曲面如图9 所示 一1 5 基于随机径向基函敷的散乱数据插值万法 5 ：h = 0 1 5 时的误差曲面6 ：n = 0 3 5 时的误差曲面 一鑫一建 叁一一鑫一，；一 i i“ i“。“n 。 | 皇 o 基于随机径向基函敷的散乱敦据插值方法 7 = 所= 0 6 5 时的误差曲面8 ：聊= 0 9 5 时的误差曲面 9 ：期望曲面 我们知避 数学期望表示随机变量取值的平均水平正如图中所示，期望曲面则 表示了随机曲面取值的平均水平，即从另一个角度描述了随机曲面而图中的误差 曲面，则为随机变量对数学期望的偏离程度，即方差 1 7 5 总结与展望 我们通过对热弹性问题中体力荷载项的分析，引入了随机径向基函数的基本概 念，讨论了随机径向基函数插值的存在性、逼近问题以及随机径向基函数的数字特 征本文所提出的随机径向基函数插值方法，对于解决散乱数据的插值问题，比如麦 田、树随风摆动所形成的随机场等实际问题都有极大的帮助同时随机径向基函数 插值的理论与应用的研究对于随机过程的描述，对于具有随机特性客观现实的刻 划，都将是有着重要意义的研究课题，我们将在这方面进一步展开工作 1 8 【1 】 0 】 1 】 2 】 3 】 【1 4 】 参考文献 r f r a n k ea n dg m n i e l s o n , “s c a t t e r e dd a t ai n t e r p o l a t i o na n d a p p l i c a t i o n s ：at u t o r i a l a n ds u r v e y , ”g e o m e t r i cm o d e l l i n g ：m e t h o d sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n m ，h h a g e na n d d o i l e r , e d s ，p p 1 3 1 1 6 0 b e r l i n ：s p r i n g e r - v e r l a g , 1 9 9 1 c h e n ga hd 。c h e nc s ，g o l b e r gmk ，e t a l b e mf o rt h e r m o e l a s t i c i t ya n de l a s t i c i t yw i t hb o d yf o r c e - ar e v i s i ti j e n ga n a lb o u n d a r ye l e m ，2 0 0 1 ( 2 5 ) ：3 7 7 - 3 8 7 e m s t e i na n dg w e i s s i n t r o d u c t i o nt of o u r i e ra n a l y s i so ne u c l i d e a ns p a c e s j p r i n c e t o n , n e w j e r s e y ：p r i n c e t o nu n i v e r s i t yp r e s s , 1 9 7 1 ( 1 4 ) ：1 3 3 1 3 7 吴宗敏径向基函数散乱数据拟合与无网格偏微分方程数值解】工程数学学报，2 0 0 2 1 9 ( 2 ) 1 ：1 2 h w e n d l a n d p i e c e w i s e