（基础数学专业论文）奇异积分交换子的有界性.pdf

摘要 y6 1 8 4 6 9 摘要 由于奇异积分算子及其交换子是调和分析的重要算子，它们不仅在调和分析理 论中具有重要的地位，而且在偏微分方程等学科中有着极其重要的应用，因此我们选 择这类算子及其交换子作为研究对象，本文致力于这类算子及其交换子有界性及加 权有界性的讨论全文共分四章，第二章至第四章是论文的主要内容 第一章是引言 在第二章中，我们讨论广义c 越d e r 6 n z y g m u n d 算子交换子在h a r d y 型空i 曰上的有 界性，得到两部分结果z 第一部分利用以前不常用的m i n k o w s k i 积分不等式、j e n s e n 不 等式等，来进行某些不等式的缩放，研究了广义c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子和l i p s c h i t z 函 数生成的交换子的特征，得到了p ( t ) 型c a l d e r d n - z y 口n u n d 算子和l i p s c h i t z 函数生成的 交换子在经典h a r d y 空间和h e r z 型h a r d y 空间上的有界性i 第二部分证明了在临界点 情形该交换子是从h a r d y 空间到弱l e h e s g u e 空间以及h e r z 型h a r d y 空间到弱h e r z 空间 有界的这两个问题提出的背景是这样的，y a b u t a 和彭立中分别在f 2 7 】和【2 0 】中引进 了日( t ) 型c a l d e r d n z y g m u n d 算子，关于这类算子的讨论可详见文献【2 7 l ，【2 0 】， 2 8 ， 2 9 ，【3 0 】 等对于交换子的研究，2 0 0 2 年。陆善镇，吴强，杨大春在文献【1 5 】中讨论了标准的 c a l d e r d n z y g m u n d 算子与l i p s c h i t z 函数生成的交换子在h a r d y 型空间上的有界性，本章 主要是受文献【1 5 】中结果的启发，并得到了如下结果： 定理2 1 设b l i p 口( r “) ( o 卢1 ) 若”0 1 + 卢) p 1 ，且1 q = 1 p b ，满足 而ol d ) 出 + o 。，则【6 ，列是从h p ( r ) 到舭( 舻) 有界的 j 0 o p 1 ，i 、 定理2 2 设b l i p 口( 俨) ( o 卢1 ) ，且暑茹d t + o 。，则【6 】卅是从日n ( n + p ( 舻) 到弱工1 ( 舻) 有界的 定理2 3 设b l i p 口( r “) ( o 卢曼1 ) 若0 p + o o ，1 q l ，q 2 + c o ，1 q 2 = l 吼一声n m ( i 一1 q 1 ) ! n n ( 1 1 q 1 ) + 卢，且满足矗器d t o 。，贝i b , t l 是从h 砖。( r ”) 到船，( r n ) 有界的 定理2 , 4 设6 h 跏( 舻) ( 0 芦1 ) 若o p l ，l 口l ，啦 q - c o ，l 愚= l q 1 一p ，钆，且 满足吾器d t 0 0 ，则【6 ，卅是从日麟1 _ 1 ，“) + 口p ( 冗n ) 到鄙 “1 m ) 幅( 矗“) 有界的 第三章中，我们讨论了强奇异积分算子矗与b m o 函数9 生成的交换子函，t b 】的 情形 1 9 9 8 年。李晓春、陆善镇在文献【1 3 l 中讨论了加权h 型h a r d y 空间上的强 奇异积分算子，本章中霾们把文献f 1 3 】中的结论推广到强奇异积分算子磊与b m o 函 数9 生成的交换子h 丑】，并证明了当n = n ( 1 1 g ) 时，囟，孔】是从齐次加权h e r z 型 h a r d y 空间日程( ，u 。) 到齐次加权h e m 空间砖，( u 。，地) 上的有界算子。得到的结 论如下： i i摘要 定理8 1 令0 p s l g o 。，n = n ( 1 一l l q ) ，9 b m o ( r “) ，且u l ，虮a l ，封5 么 1 9 ，t b f l i k ；，( u 。，一。) sc l l l l n j i ：* ：。如。，u 。) 这里g 是与，无关的常数 第四章中，我们给出了o ( 0 型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算予和b m o 函数生成的交换子在 h n z 型h u d y 空间上的有界性及其加权有界性2 0 0 1 年，刘宗光在文献f 1 4 中讨论了 f 6 ，t 1 在h e r z 型h a r d y 空间上的有界性本章受文献 1 4 1 的启发，得到如下结论： 定理4 1 设b b m o ( r n ) ，0 p o 。，1 口 o o ，对于e ( 0 ，1 】有n ( 1 1 q ) n ”( 1 l q ) + ，且f 1 等比 + o 。，则【6 ，别是从日程( r n ) 到砖，( 冗n ) 有界的 定理4 2 设b b m o ( r ”) ，0 p 0 0 ，1 q o o ，对于( o 1 】有8 ( 1 一a q ) sn n ( 1 1 g ) + 岛且f 筹出 + o o ，w i ，w 2 a t ，则扣，卅是从日程f o ( w 1 ，她) 到砖，l ，忱) 有界的 定理4 , 1 1 设6 b m o ( r “) ，0 p 1 ，1 q 0 0 ，对于s ( 0 ，1 】有n = n ( 1 1 q ) + 5 ，且 f 1 磐出 + 。o ，则【6 ，引是从日其o t , p ，。( r n ) 到w 砑，( 舻) 有界的 关键字交换予；l i p s c h i t z 函数；b m o 函数；h a r d y 空间；有界性 摘要 i i i b o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r so f s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r s i ti sw e l lk n o w nt h a tt h es i n g u l a ri n t e g r a l sa n di t s c o m m u t a t o r sp l a yap r o f o u n da n de x t e n s i v e r o l ei nh a r m o n i ca n a l y s i sa n dt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i nt h i st h e s i s ，w ew i l ld i s c u s st h e p r o p e r t i e so ft h i sk i n do fo p e r a t o r sa n di t s c o m m u t a t o r s ，t h i s t h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s c h a p t e r ii st h ei n t r o d u c t i o n ，c h a p t e ri i ，c h a p t e ri l la n dc h a p t e ri va r et h em a i nc o n t e n t so ft h i s t h e s i s c h a p t e r ii si n t r o d u c t i o n i nc h a p t e r i i ，w ed i s c u s st h eb o u n d e d n e s s o f t h ec o m m u t a t o r s o f g e n e r a l i z e dc a l d e r 6 n z y g m u n d o p e r a t o r s i nh a r d y t y p es p a c e s ，a n dt w op a r t so f c o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e d i nf i r s tp a r t ，b ym i n k o w s k i i n t e g r a li n e q u a l i t ya n dj e n s e ni n e q u a l i t ys e l d o mu s e db e f o r et oc o n t r o ls o m ei n e q u a l i t i e s ，w es t u d - i e dt h ec h a r a c t e ro fc o m m u t a t o r sg e n e r a t e db y g e n e r a l i z e dc a l d e r s n z y g r o u n do p e r a t o r sa n dl i p s - c h i t zf u n c t i o n ，a n do b t a i n e dt h eb o u n d e d n e s so ft h ec o m m u t a t o rg e n e r a t e db y 日( ) 一t y p ec a l d e r s n z y g m u n do p e r a t o rt a n dl i p s c h i t zf u n c t i o nbo nh a r d ys p a c e sa n dh e r zt y p eh a r d ys p a c e s i n s e c o n dp a r t ，w ep r o v e dt h a tt h i sc o m m u t a t o ri sb o u n d e df r o mh a r d ys p a c e st ow e a kl e b e s g u e s p a c e sa n df r o mh e r zt y p eh a r d ys p a e e st ow e a kh e r zs p a c e so nc r i t i c a lp o i n t t h eb a c k g r o u n d so f t h et w oq u e s t i o n sa r e8 sf o l l o w i n g ：口( t ) 一t y p ec a l d e r 6 n - z y g m u n do p e r a t o rw a si n t r o d u c e di n 2 7 1b y y a b u t aa n di n 2 0 】b yp e n gl i z h o n g a st os o m es t u d i e so f 日( t ) 一t y p ec a l d e r 6 n z y g m u n d o p e r a t o r ( w ec a ns e ef 2 钉， 2 0 1 ，【2 8 】， 2 讲， a o je t cf o rd e t a i l s ) i n2 0 0 2 ，l us h a n z h e n ，w uq i a n ga n dy a n g d a c h u ns t u d i e dt h eb o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o r sg e n e r a t e db ys t a n d a r dc a l d e r 6 n - z y g m u n do p e r a - t o t sa n dl i p s c h i t zf u n c t i o n so nh a r d y t y p es p a c e si nf 1 5 】b s p i r e db yt h er e s u l t si nf 15 】1 w eo b t a i n t h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s ： t h e o r e m2 1l e tb l i p a ( r ”) ( 0 卢1 ) i f n ( n + 卢) p 曼1 , a n d1 q = 1 v 一卢 ，s u c h t h a t - f 1 器出 慨t h e n 陬啦b o u n d e d f r o mh p ( 蚍郴n ) t h e 。r e m2 2l e tbel i 即( 舻) ( 0 卢s1 ) ，a n dz 1 筹告疵 + m i t h e n 【6 ，卅i sb o u n d e d f r o mh “( n + 口) ( 舻) t ow e a kl 1 ( 形) t h e o r e m2 3l e tb l i p a ( r “) ( o 声1 ) i f0 p + o o ，1 q t ，啦 + o 。，1 啦= l 细一声9 棚_ 1 口z s a 邮_ l q 1 ) + f l , a n ds u c h t h a t 上1 等d t o o , t h e n f 6 矧s b 。u n d e d f r o m 日蛾o r ，, ( 咒“) t o 豫( r “) t h e o r e m2 4 b l i p 口( r “) ( o 卢1 ) i f0 p11 ，1 乳，啦 + o o ，1 曲= i v摘要 垧。一b n ，a n ds u c ht h a tz 1 筹出 刚h e n 【6 卅i s b o u n d e df r o m 硎。枷砖郴1 硎t 。 船5 1 。4 1 ) + 4 ( r n ) i nc h a p t e r i i i ，w ed i s c u s st h ec o m m u t a t o r 曲，t 6 】g e n e r a t e db ys t r o n g l ys i n g u l a ri n t e g r a lo p e r - a t o r 矗a n db m o f u n c t i o ng i n1 9 9 8 ，l ix i a o c h u na n dl us h a n z h e nd i s c u s s e dt h es t r o n g l ys i n g u l a r i n t e g r a lo p e r a t o r si nw e i g h t e dh e r zt y p eh a t d ys p a c e si n 【1 3 ，i nt h i sc h a p t e r ，w ee x t e n dt h ec o n c l u s i o no f 【1 3 t ot h ec o m m u t a t o r 囟，t b 】，i ti sp r o v e dt h a tt h ec o m m u t a t o r s g e n e r a t e db ys t r o n g l y s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r su n db m o f u n c t i o n smb o u n d e df r o mt h eh o m o g e n e o u s w e i g h t e dh e r z - t y p eh a r d ys p a c e sh 程矿冉i ，u 2 ) t ot h eh o m o g e n e o u sw e i g h t e dh e r zs p a c e s 柳，v ( w l ，忱) w h e n 口= n f l 一1 q ) t h ec o n c l u s i o n sa r e a sf o l l o w i n g ： t h e o r e m3 1l e t0 p s l 口 0 0 ，n = n ( 1 1 叮) ，f b m o ( 2 u ) ，a n d u l ，u 2 a l ，t h e n i l 缸t d f l i k 7 ，u 。) sc i l fll h k 箝。( w l , w 2 ) h e r eci sac o n s t a n ti n d e p e n d e n to ff i nc h a p t e r i v ，i ti sp r o v e dt h a tc o m m u t a t o r 【6 ，卅g e n e r a t e db yb m of u n c t i o nba n d g e n e r a l i z e d c a l d e r 6 n - z y g m u n do p e r a t o rt i sb o u n d e do i lh e r zt y p eh a r d y s p a c e sa n dw e i g h t e dh e r zt y p eh a r d y s p a c e s i n2 0 0 1 ，l i uz o n g g u a n gd i s c u s s e dt h eb o u n d e d n e s so fc o m m u t a t o rn t lo fs t a n d a r ds i n g u l a r i n t e g r a lo p e r a t o r si n 【1 4 i n s p i r e db yt h er e s u l t si n 【1 4 1 ，wo b t a i nt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s ： t h e o r e m4 1l e tb b m o ( r “) ，0 p m _ 1 s n 砸一1 q ) 托a n d z 1 两0 ( 0 d t o 砰9 ( 舻) ，1 窖 c o ，t h e r ei s ( o ，l 】s u c ht h a t + ，t h e l l 戤t 1i sb o u n d e df i ：o m 甘崴f o ( 彤。) t h e o r e m4 2l e t b b m o 。( r ) ，0 p o 。，1 9 ，t h e r ei ss ( 0 ，1 】s u c ht h a t n ( 1 一l 口) 曼n n ( 1 1 q ) + s ，f 1 梨出 + ，蛐d u 2 l ，t h e i l1 6 ，卅i sb 。u n d e d f r 。m 日矗景矿o ( u l ，u 2 ) t o 霞芋( t l ，吨) ” t h e o r e m4 3 l e t 6 b m o ( r ) ，0 p 1 , 1 口 0 0 ，t h e r ei s ( 0 ，1 ls u c ht h a t n = n ( 1 一l 口) + e ，一d z l 等出 + c o , t h e n b ，卅i sb o u n d e d f r o m 日r ，。( r - ) t o 砑叫r n ) m n l i m l n ( b a s i em a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rz h a ok 珏i k e yw o r d mc o m m u t a t o r ；l i p s c h i t zf u n c t i o n ；b m of u n c t i o n ；h a r d yt y p e s p a c e ；h e r zs p a c e ； b o u n d e d n e s s 第一章引言 第一章引 言 1 9 5 2 年a pc a l d e r s n 与a z y g m u n d 关于奇异积分的奠基性工作，使调和分析的 研究从一元走向多元建立在c a l d e r s n z y g m u n d 奇异积分理论基础上的交换子、乘子 等的有界性问题也随之取得了丰富的成果五十多年来，对新算子和新空间的研究使 调和分析发展到了一个新的阶段，尤其在算子、交换子的有界性方面，许多作者取得 了丰富的成果 众所周知，调和分析中一些经典算子与b m o 函数和l i p s c h i t z 函数生成的交换子 在偏微分方程中有着广泛的应用，因此研究交换子的有界性是一个很有意义的问题 人们已经证明了由标准的c a l d e r d n - z y g m u n d 奇异积分算子与b m o 函数和l i p s c h i t z 函 数类生成的交换子在护( 酽) 空间，h a r d y 空间和h e r z 型h a r d y 空间上的有界性，并证 明了其在端点情形是从h a r d y 型空间到弱l e b e s g u e 空间或弱h e r z 空间有界的从以上 对标准c a l d e r d n - z y g m u n d 奇异积分算子交换子有界性的研究中我们发现t 算子与不同 函数空间的函数生成的交换子所表现出来的性质有很大差异，我们主要通过研究算 子与b m o 函数生成的交换子和与l i p s c h i t z 函数类生成的交换子在性质上的不同来体 现其差异所以研究算子与b m o 函数和l i p s c h i t z 函数类生成的交换子的有界性问题 就有着非常重要的意义 近年来，围绕奇异积分算子的交换子的有界性已经有了丰富的成果，对于标准的 c a l d e r d n - z y g m u n d 奇异积分算子的交换子鸭t l ，1 9 7 6 年，c o i f m a n ，r o c h h e r g ，w e i s s ，在文献 【3 】中证明了当1 p 0 使 得； a ) 怍0 ，耵) l 冬口i z v | - “； b ) 对于$ ，$ o ，9 舻，当2 i z 一= c o l l 一z o i 时，有 扣，”) 一k ( x o ，) l + i 0 ，2 ) 一k ( v ，z o ) i c 0 ( i x o 一。i i z o v 1 ) j j ：o 目i 1 第一章引言 其中口( t ) 是定义在【o + m ) 上的非负非降函数，满足矗学疵 + o o ，且口( o ) = 0 ， e ( 2 t ) c o ( o c ) t ( x ) = fk ( x ，口) ，( ) d y ，a e zgs u p p f 他们引进这类算子是有较深刻的微分方程背景的- 对口( 幻型c a l d e r 6 n z y g m u n d 算 子的一些研究可以参见文献 2 7 1 、1 2 0 、1 2 8 1 、 2 0 】、 3 0 1 等本文致力于口( t ) 型 c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子的交换子的有界性的研究和强奇异积分算子与b m o 函数生成 的交换子的有界性的研究 对于口( f ) 型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子和l i p s c h i t z 函数生成的交换子，2 0 0 2 年，陆善 镇、吴强、杨大春在文献【1 5 】中讨论了标准的c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子与l i p s c h l t z 函数生 成的交换子在h a r d y 型空间上的有界性，然而对于p ( t ) 型c a l d e r d n z y g m u n d 算子的交 换子在h a r d y 癸空间上的有界性还没有讨论，也有一定的难度为了填补这一空白， 受文献 1 5 j 中结论的启发，我们利用以前不常用的m i n k o w s k i 积分不等式、j e n s e n 不 等式等，来进行某些不等式的缩放。得到了口( t ) 塑c a l d e r 6 n + z y g m u n d 算子和l i p s c h i t z 函数生成的交换子在经典h a r d y 空间和白m 型h w d y 空间上的有界性，并且在临界点 的情形证明了该交换子是从h a r d y 空间到弱l e b e , s g u e 空间以及从h e r z 型h a r d y 空间到 弱h e r z 空间有界的 定理2 。l 设b l i p 口( r “) ( o 芦1 ) 若扣+ 口) p 兰1 ，且1 q = z p 一声加，满足 三等d t + o o ，则溉明是从h p ( r r ) 到l q ( r “) 有界的 j 0 o 定理2 2 设6 l i p a ( r n ) ( o 卢1 ) ，且f 1 箬碧出 + 0 0 ，则h 卅是从日n ( n + 口) ( r n ) 到弱工t ( r n ) 有界的 推论2 3 1 设6 蜥( 舻) ( o 卢1 ) ，器d t 十，则陋，明是从工“坩( 矗”) 到 b m o ( r n ) 有界的 定理2 s 设b l i p 0 ( r n ) ( 0 口s1 ) 若0 p + c o ，1 口l ，口2 + c o ，1 ，q 2 = l q l 一# n , n ( 1 1 q 1 ) 口 n ( 1 - 1 q 1 ) + # ，且满足f 1 筹斑 o o ，则【6 ，司是从删唔9 ( 舻) 到期y ( r ”) 有界的 定理2 4 设b l i p 口( 舻) ( o 卢1 ) 若0 ( p s1 , 1 们，q 2 + c o ，1 口2 = 1 q i 一n ，且 满足 1 黎d t c o l 则慨卅是从日躲l 一- 肺) 旭9 ( 咒n ) 到蒯1 一t 抽) 帽，( 舻) 有界的 相对于奇异积分算子来说，人们对强奇异积分算子及其交换子的讨论比较少尤 其在讨论强奇异积分交换子时，对于其核和b m o 函数在内的不等式的缩放都加大了 问题讨论的难度1 9 9 8 年，李晓春、陆善镇在文献【l 3 】中讨论了强奇异积分算子在 加权h e r z 型h a r d y 空间上的有界性对于强奇异积分算子和b m o 函数生成的交换子 在加权h e r z 型h a r d y 空间上的有界性仍然没有人对其作出讨论，在这里我们对这一 部分内容作出了讨论，利用点态估计，m i n k o w s l d 积分不等式、j e n s e n 不等式、h 6 i d e r 第一章引言 3 不等式等把文献f 1 3 】中的结论推广到强奇异积分算子和b m o 函数生成的交换子，并 且证明了它在加权h e r z 型h a r d y 空间上的有界性： 定理3 1 令0 p s l g ，a = n ( 1 1 g ) ，g b m o ( r ) ，且u l ，她a l ，那么 l i k ，列川础t ，扣。，。，) c l l i l l n k 笋。( 。，。：) 这里c 是与，无关的常数 对于o ( 0 型c v a d e r 6 n ，z y g m u n d 算子和b m o 函数生成的交换子。相对于日( t ) 型 c a l d e r 6 n - z y g r o u n d 算子和l i p s c h i t z 函数生成的交换子，就又增加了一定的难度，一般 来说讨论伴随b m o 函数的交换子会难一些，2 0 0 1 年，刘宗光在文献【1 4 】中讨论了 标准c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子和b m o 函数生成的交换子眠t 1 在h e r z 型h a r d y 空间上 的有界性但对于口( t ) 型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子和b m o 函数生成的交换子在h e r z 型 h a r d y 空阁上的有界性仍然没有讨论，这里我们不仅把文献( 1 4 j 中的结论推广到8 ( ) 型c m d e r 6 u - z y g r o u n d 算子和b m o 函数生成的交换子，而且证明了它在t t e r z 型h a r d y 空 间上的加权有界性； 定理4 1 设b b m o ( 舻) ，0 p o o ，1 q o 。，对于s ( 0 ，1 】有n ( 1 一l l q ) sn n ( 1 一l l q ) + e ，且f 1 纂d t + m ，则瞅q 是从剧唔字，。( 酽) 到砖，( r r ) 有界的。 定理4 2 设6 b m o ( r n ) ，0 p o o ，1 q 0 0 ，对于6 ( 0 ，1 】有n ( 1 一l l q ) sn n ( 1 1 g ) 十毛且f 1 万o ( i 0 出 + 触，c o , 2 a l ，则f 6 ，司是从日露f t 。扣l ，地) 到砖，9 t ，眈) 有界的 巨+ 啦 | l 有 埘的界畦有籽咿 ? 矸 q 列 ”盖= 却略 加日 咿趴眦用陋跏删 4 ( 理出 魍盟舻 ，如 4第二章交换子在h a r d y 塑空间中的有界性 第二章交换子在h a r d y 型空间中的有界性 2 1 引言与主要结果 近年来。奇异积分算子及其交换子都得到了广泛的研究，并取得了丰硕的成果， 尤其是随着一些空间的分解理论的建立，使得它们在一些空间上的有界性问题得到解 决但对于y a b u t a 和彭立中分别在【2 7 1 和1 2 0 中引进的8 ( t ) 型c a l d e r 6 n - z y g m t m d 算子的 交换子的讨论不多，但他们弓进这类算子是有较深刻的微分方程背景的；通过对口( t ) 型c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子的一些研究可以看到它要相对复杂一些，也有一定的难度( 详 见文献f 2 7 】、【2 0 j 、f 2 8 、 2 9 】、 3 0 】等) 2 0 0 2 年，陆瞢镇、吴强、杨大春在文献【1 5 】中 讨论了标准的c a l d e r d n - z y g m t m d 算子与l i p s c h i t z 函数生成的交换子在h m d y 型空间上 的有界性，本文主要是受文献【1 5 j 中结果的启发，利用1 2 前不常用的m i n k o w s k i 积分不 等式、j e n s e n 不等式等，来进行某些不等式的缩放，研究了广义c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子 和l i p s c h i t z 函数生成的交换子的特征，得到了8 ( ) 型c a l d e r 6 n 。z y g m u n d 算子和l i p s c h l t z 函数生成的交换子在经典h a r d y 空间和h e r z 型h a r d y 空间上的有界性，并且在l | 箭界点 的情形证明了该交换子是从h a r d y 空间到弱l e b e s g u e 空间以及从h e r z 型h a r d y 空间到 弱h e r z 空间有界的 本章中我们得到主要结论如下： 定理2 1 设6 l i p 日( r n ) ( o ps 1 ) 若n 机+ 口) p l ，且1 q = l i p 一口n ，满足 上1 等出 + 。，则段列是从且，( 冗n ) 到三。( 丑n ) 有界的 定理2 2 设6 l i p p ( 舻) ( 。 p 1 ) ，且上1 器d t + 。，则【b ，t 】是从h 州n + 口) ( r n ) 到弱- ( 舻) 有界的 定理2 3 设b l i p a ( r “) ( o 口1 ) 若0 p + o o ，1 啦，啦 + o o ，l 愚= 1 q l 一芦b ， n ( 1 - 1 q 。) a n ( 1 1 口1 ) + 鼠且满足( 1 器出 o o ，则 6 ，列是从日如t 9 ( 矗n ) 到豫( 兄n ) 有界的 定理2 4 设b l i p 口( 冗”) ( o 卢冬1 ) 若0 p 1 ，1 啦，啦 + c o ，l q 2 = 1 q l 一卢加， 且满足f 1 爵o ( o 万啦 0 使 得； a ) i ( z ，训s g k y l 一“； b ) 对于。，$ d ，y 舻，当2 l z z oj i v z oj 时，有 女扣，) 一k ( x o ，p ) i + 陋( ”，。) 一k ( ”，o ) i c o ( 1 2 0 z l i z o y 1 ) l $ o 一9 l n 其中o ( 0 是定义在【0 ，+ o o ) 上的非负非降函数，满足片华出 o , l i p s c h i t z 空间工 p 卢( 胛) 定义为； l 锄( r ”) 2 ，：l l f l l l 咖( ”) - 。溉。一f ( ! ，) l 1 9 7 - - p 尸 1 时，l i p t z ( r “) 只包含常数。此时【6 ，t 】- 0 是平凡的因此在以后 的讨论中我们限制0 卢1 其次，为后面定理的证明，介绍以下关于p i e s z 位势算子厶和它在l e b 。g l l 。空间 上的有界性结果( 详见文献【2 3 j ) 定义2 2 3 设0 q n , r i e s z 位势算子l 定义为。 础) = 厶器i x 由 l ( 川z ) = - 土罴= 由 j m一r ” 6 第= 章 交换子在h a r d y 型空间中的有界性 引理2 2 1 设0 n ，1 p q o 。，l l q = l i p a 加则有 i i x 。( f ) l l gsc l l f l l ， 对于交换子【6 ，? j 在l e b e s g u e 空间的有界性，有如下的结果： 命题2 2 - 1 设b l i p 口( r ”) = - ( z p l q ) ) ，l p 口 o 。，则交换子【b ，卅是( p ，l 。) 有界的 证明对，l q ( r n ) ，有 l i b , t f l = l ( 。，) ( 6 ( 2 ) 一b ( y ) ) f ( y ) d y l i 女( z ，) i j 6 ( 。) 一6 ( 口) i i i ( f ) l d y 硎驯k 即( m ) f z v r ”i m ) 胁= c f l b f l l i p d ( 月。) o ( f d ( $ ) 因此 i i b ，卅，口硎圳l 帆( m ) l l h , ( i f l ) l l 口 由引理2 2 ，1 可得 1 1 1 , - ( i f l ) l l 。c l l f l l ， 所以 | l 【6 ，明f l l a c l l f l l ， 对于在本文的证明中起到较关键作用的m i n k o w e h 积分不等式，我们把它写为如 下的引理( 详见文献( 8 】) 引理2 2 2 设p 和p 均为矗有限测度，1 p o o ，如果，( 。，) 是，“p 可测的，则 f f 他，f ) 咖驯p ) ! i f f ) l l l 啪) 咖和) 显然当p = 1 时即为f u b i n i 定理 为证明本章的前两个定理，需要空间的分解定理，它是研究算子有界性的有效工 具 首先回顾一下h a r d y 空间的原子分解理论，如下几个定义、引理详见文献 4 1 、 【1 6 】、 2 4 】用b ( z o ，r ) 表示以。o 点为中心半径为r 的球 定义2 2 4 设0 0 ，使得s u p p n c b ( x o , r ) = z 舻：l 一z o ， ； ( 2 ) l l a l hsi b ( x o ，r ) 1 1 2 1 p ； ( 3 ) j ；nn ( z ) 一出= 0 ，当m 如( 1 p 一1 ) 】时； 其中 司表示不超过s 的最大整数， 第二章交换子在h a r d y 型空间中的有界性 引理2 2 3 设0 ( p l ，月n 上的分布，属于h v ( r “) 当且仅当存在缸2 ) 原子a j 和 常数，j z 满足器一o 。m p o o 使得分解，= e j 一。q 在分布意义下成立，并且 有 ， o o 、l 9 。( 川岫 舭 、j = 一 。 下面介绍h e r z 型h a r d y 空间的原子分解理论，以下几个定义、引理详见文献【1 7 1 、 【1 0 】等 定义2 2 5 设( 舻) 是r n 的分布空间，设女z ，e k = b 6 b “，甩瓢= x e 。表 示集合甄的特征函数，其中b k = 忙舻：吲2 设o r ，0 p ，口曼o o ( i ) 齐次h e r z 空间断，( 伊) 定义为 砰。( 舻) = ，：，工 o 。( 矽 o ) ) ，i l f l l k ：，( m ) ) 其中 r 。 、1 i v i l f l l j ：；, p ( d ) = 2 i i x k l l ，( 、t = - c m 7 ( i i ) 非齐次h e r z 空间研，( 舻) 定义为 k 孑9 ( r “) = ，：，e 工。( 兄“) ，i l l l l k ；- ，( r 一) o o 其中 i i f l l k ；，( r n ) = ( 1 l l x b o l l ：+ 2 脚i l f x , q l z , 。) 1 i n k = l 显然，对所有的0 p ( o 。和r ，有霹9 ( r n ) = 础，( 兄n ) = l v ( r n ) 以及 群p , p ( 舻) = l 1 t - ( 舻) 因此，h 一空间是l e b e s g u e 空间的推广，并且齐次h e r z 空 间包含了加幂权的l e b e s g u e 空间 对于交换子在h e r z 空间的有界性，注意到 6 ，t l ( x ) o i i b l l 。椭如( ( z ) ，再由文献 【1 2 】中的定理2 3 和2 4 ，可得如下的命题： 命题2 2 2 设b l i p 8 ( 冠“) ( o 口兰1 ) 如果0 p 0 0 ，i 虬，啦 0 0 ，1 q 2 = 1 q x b n ，一n q 2 n n ( 1 1 q 2 ) ，则l b , 卅是从如，( 冗“) 到j 咯，( 舻) 有界和从j 锯( r “) 到耳啬，俾“) 有界的 定义2 2 8 设( 舻) 是r “的分布空间，a f t ) 是，的主极大函数( 详见文献【2 4 】) 等，对于a r , 0 p ，口 o o ( i ) 定义齐次h e r z 型h a r d y 空间日聊( 舻) 为t h 霹，( 置“) = ，s ( r “) ：g ( ，) 砰，( r “) ) 进一步我们定义半范数 i i f l i h ：z ，( ) = i i g ( ) i i 麻；一( r n ) 8第二章交换子在h a r d y 型空闻中的有界性 ( i i ) 定义非齐次h e r z 型h a r d y 空间日增，一( r “) 为： 日j 曙，9 ( 冗n ) = f s ( r “) ：g ( ，) 瑶，p ( r “) ) 进一步我们定义半范数 i i ，i h 耳；r ( * ) = i i g c f ) i i k ： ，( r n ) 显然。当0