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树映射的动力学性质 摘要 树上动力系统主要研究树映射的轨道的渐近性质和拓扑结构近年来，树 映射的动力学性质引起了人们的极大关注，在这一领域，人们做了大量的研 究并取得了一系列的结果本文主要研究树映射的u 一极限集以及交换树映射 的拓扑熵 在第一章，我们简要介绍拓扑动力系统的历史背景和基本概念，以及本文 的写作背景 在第二章，我们主要研究树映射9 和树上非自治离散时间动力系统( a ，t ) 的”极限点集的性质，得到了t ( 1 ) 若 ， 甚。一致收敛于，且p ( ，) = f ( ，) 则对任意lu ( 。，厶) cf ( ，) 且u ( 甄厶) 为t 的连通闭子集 ( 2 ) a ( 9 ) = n 箍。9 “( q ( 口) ) ( 3 ) 若z a ( 9 ) 一硒，则u ( 茁，9 ) 是一个无限的极小集 在第三章，我们主要研究可交换的树映射的拓扑熵我们证明；若树映射 ，g 可交换，且存在g 的周期点z t 及自然数m 2 满足( m ，f ) = 1 ( 对任意 2sfss ) ，使得z 是，的一个m ( n ) 周期点，则，0 9 具有正拓扑熵，其 中s 是t 的端点数 关键词；树映射致收敛u 极限集不可划分周期轨道拓扑熵 皇查兰堡圭兰竺丝圭! 型! 兰!塑壁苎竺丝皇兰兰竺i i t h ed y n a m i c so ft r e em a p s a b s t r a c t d y n 枷c a ls y 8 t e m sg e n e r 8 t e db yt r e em a p 8s t u d ym a i n l yt h e 嘲7 r n p t o t i cp r o p e r t i e 8 a n dt h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r e so fo r b i t 8o ft r e em 印s i nr e c e n ty e a 盯8 ，d y n 眦i c a lp r o p e r t i e s g e n e r a t e db yt r e em a p 8h a eb e e na t t r a c t e de ) c t r e m ea t t e n t i o n i n 七h e 矗e l db ft r e em a p s ， p e o p l eh a v ed o n em a n yr e s e a r c h e sa n da b t a i n e dal o n g8 e r i e so fr e m a r k a b kr e 8 u l t s i n t h i sp a p e r ，w es t u d ym a i l yt h e - l i i i l i ts e t 8o ft r e em 印a n dt h et o p o l o g i c a le n t r o p yo f 0 0 m m u t j n gt r e em a p s i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c eb r i e f l yh i 8 t o r i cb a c k 留o u n da n db a s i cn o t i o n 8o ft o p o 1 0 9 i c ld y n a m i c a l8 y s t e ma n dt h eb a c l 【g r a u n do f 曲i sp a p e r i nc h a p t e rt w o ，w ei i e s t i g a t em a i n l yt h ep r o p e r t i e so ft h eu - l i m i t t sf o rt h et r e e m a pga n dt h en o n a u t o n o m o u 8d i s c r e t e _ t i m ed y n a i 工1 i c 越8 y s t e m 嘛，t ) w 扎a v et h a t ( 1 ) i ff 矗 悬1c 0 v e r g e su n i f o h n l yt o ，a n dp ( ，) = f ( ，) ，t h e nu ( z ，厶) i sac o n n e c t e d d o s e ds u b s e to f ? c o n t a j n i n go n l y 慨dp o 砒8o f ，f o ra n yp o i n tz t ( 2 ) a ( g ) = n 巽。扩( n ( 9 ) ) ( 3 ) i f 茁a 0 ) 一p ( 夕) ，t h e nu ，g ) i sa ni n 丘n i t em i n i m “s e t i nc h a p t e rt h r e e ，w ed i s c u s 8m a i n l yt h et o p o l o g i c a le t r o p yo fc o m m u t i n gt r e em a p s w e8 l l w t h a t i f ，a n d 9a r ec o 衄u t i n g t r e e m 印s a d t h e r e a r e a p e r i o d i c p o i n tz t o f 9 姐ds o m e n a t u r a ln u i r l b e rm 2w i t h ( m ，f ) = 1f o r 跗l y2 茎f s ，8 u c ht h a t 刀i sa 惫m p e r i o d i c p o i n to f ，f o ra n y 七n ，w h e r es i s t h e u m b e ro f t h ee n dp o i n 七so f t t h e n ，o 夕h a 8 p o s 让主v et o p 0 1 0 9 i c 8 le n t r o p y l k e y w o r d s ：t r e em a p 8 ；u n i f o mc o r w e r g e n c e ；小l i m i t8 e t ；n o nd i v i s i b kp e r i o d i c o r b i t ；t o p o i 晒c “e t r o p y 广西大学硕士学位论文口0 0 6 年j 树映射的动力学性质 l 第一章引言 动力系统的研究起源于牛顿的经典力学在牛顿的理论中，一个系统的运动规律完 全由一簇以时间为参数的微分方程所决定，但绝大多数的微分方程不能用已知函数的积 分来表示其通解，这导致微分方程定性理论的研究十九世纪八十年代h p o i n c a 厄( 1 8 5 舡 1 9 1 2 ) 创立的微分方程定性理论，或称微分方程的几何理论，不通过微分方程的显示解而 直接研究解的几何和拓扑性质直到上世纪初，由于非线性振动等实际课题的联系，动 力系统的研究得到了令人瞩目的进展，b i r k l l o 行等人将经典微分方程所定义的动力系统 抽象为拓扑动力系统，使得这一学科在理论上进一步发展l “近几十年来，动力系统已 经成为了一个强大的数学分支，并取得了丰硕的成果，成为现代主流学科一非线眭科学 的一个重要组成部分动力系统的发展沿着两条并行的路线，一方面是发现简单性，即 探索周期性和稳定性；另一方面是揭示复杂性，即研究不确定性及混沌在一个统一的 理论基础上，动力系统又被分成四个各具特色的研究领域t 拓扑动力系统，微分动力系 统，遍历理论及h a m i l t o n 系统吵 拓扑动力系统研究一般的连续系统，在纯粹的意义下研究动力系统最基本的概念和 最广泛的共性一维动力系统是拓扑动力系统研究中的一个重要研究方向一方面，它 为一般系统的研究提供了特例另一方面，由于它自身特有的规律，其本身就是一个有 趣的研究课题1 9 6 4 年，乌克兰数学家s a r k o v s l 【i i 发现了一个关于区间自映射的周期轨 道的周期序关系( 即著名的s a r k o v s l d i 定理) 随后，一维动力系统得到了蓬勃的发展近 些年来，国内外专家在一维动力系统特别是区间、树、图映射的动力学性质方面做了大 量的研究工作，比如围绕周期轨道、u 一极限点集、非游荡点集、拓扑熵等的研究，人们 得到了许多重要的结果【3 0 a 首先，为方便起见，我们给出一些记号和概念本文中，除特别说明外总假定n 表示 正整数集，z + = n u o ) ，n 。= 1 ，2 ，n ) 设( x ，d ) 是个紧致度量空间，a 是x 的子 集，用e o ( x ) 表示x 上的所有的连续自映射的集合，社( a ) ，万，i n t ( a ) ，a a 分别表示集 合a 的基数、闭包、内部、边界设，c o ( x ) ，z x ，r 0 ，记占( z ，r ) = b ( o ，r ，d ) = 可。x ：d ( 掣，z ) o ，存在n ， 使得如果，m ( o ) 以m z + ，则存在o o 在文献【1 8 】中，熊金城证明了 定理d 设，g o ( ，) ，则 ( ，) 0 当且仅当存在一个无限的闭集yc ，及n n 使得p ( y ) = y 且，“i y 是混合的 在本文的第三章中，我们将讨论树映射具有正拓扑熵的条件，得到如下结论： 定理3 l 设， 9 g o ( t ) ，。g = 9 。，且t 有s 个端点如果存在z t 及自然 数m 2 满足( m ，f ) = 1 ( 对任意2 s f s ) ，使得z 是，的一个k m ( n ) 周期点且z 是9 的周期点，那么 ( ，o9 ) o 定理32 设，g o ( t ) ，则 ( ，) o 当且仅当存在一个无限的闭集y c t 及n n 使得p ( y ) = y 且r i v 是混合的 苎皇叁兰丝圭兰竺竺叁! 塑! 兰! 丝堕些竺竺皇兰兰堕：j 2 1 有关的概念 第二章树映射的u 极限集 本文中，除特别说明外，总假设t 表示树( 即不含圈的一维紧致连通的分支流形) t 的一个子集被称为t 的子树，如果它本身是一个树设z t ，用y ( z ) 表示t 一 z ) 的连通分支的数目若y ( z ) = 1 ，则称口为t 的一个端点若y ( z ) 3 ，则称。为t 的 一个分支点用e ( t ) 表示t 的端点的集合，0 表示t 的分支点的集合，称t 一0 的 每个连通分支的闭包为t 的边d 表示t 上的度量设act ，用f 州表示t 的包含 以的最小连通闭子集。若z ，t ，记陋，y 】= z ，) 】 ( z ，】= k 】一 z ，k ) = kv 一 g ) ，( ，g ) = k 引一扛，) ，b ( ) 表示t 一 z ) 含y 的连通分支 定义2 1 1 1 3 】设x 为紧致度量空间，n g o ( x ) n ) 令f 0 = d ，r = ，no 一1o o ，1 ( n n ) 记u ( z ， ) = x ：存在( n k ) cn ，n k ，o 。使得 f n 。( z ) ) ，我们称“j ( z ，厶) 为点z 在系统( 厶，x ) 下的u 一极限集 定义2 2 设x 为紧致度量空间，n g o ( x ) n ) 若对任意e o ，都存在 n ，使得任意n 及任意z x ，都有d ( ，n ( z ) ，( z ) ) 0 ，使得任意“，u x ，当d ( u ，u ) d 时，有 d ( ，( u ) ，( u ) ) ，使得d ( f n 。( z ) ，y ) 0 ，使得任意 “，口x ，当d ( t e ， ) o ，存在 1 ，使得任意 ，d ( 昂。( ，可) e 3 ，d ( r 一l ( z ) ，。) 0 取 托一2 = 凰一l b ( a t 一2 ，t 一2 2 ) ， 则，( 霄) c - 2 一= d ( ，( 耳一) ，a 一。) o 继续下去，我们得到 托= 丑一1 ) 一1 凰一2 ) 甄 苎皇苎兰竺圭竺竺竺圭 ! ! 塑兰2 丝些塾竺丝窒兰兰里 7 且有 勺= d ( ，( 砀+ 。) ，山) o ，巧= 坞+ - 一取石_ 司可，( 瓦) c 巧( o j t 一1 ) 由，n 爿，知，对任意o 一r m i n 矗：0 i t 一1 ) ，存在n ，使得任意n2 及 任意z r ，都有d ( 厶( z ) ，( 2 ) ) 7 2 因为，0 ) u ( z ，n ) n j 岛，所以存在n - ，使得 r ，( 。) 娲，则d ( f n ，+ 1 ( z ) ，( r 。( z ) ) ) n l ，r ( 。) j 而且d ( f n ( z ) ，p ) 7 2 从而p u ( z ，n ) ，与p u ( z ， ) 矛盾断言得证 因为蜀只有s + 1 个端点，所以存在1 i o 由，的一致连续性知，存在o 6 e 4 ，使得任意u ， t ， 当d ( u ，u ) 占时，有d ( ，( 让) ，( u ) ) o ，存在n ，使得任意n ，任意z t ，都有d ( 厶( z ) ，( z ) ) 使得f m ( z ) b ( a ，d ) ，从而存在口a ， 使得d ( ( z ) ，o ) d 所以 d ( f m + ，( z ) ，。) = d ( f 1 m + - ( 。) ，( 。) ) d ( f + - ( 。) ，( f ( 。) ) ) + d ( ，( f l m ( z ) ) ，( 口) ) o 对任意o e 6 ，我们记a b ( z ，) = 撕，蛎，- ，城) ，w ? = u 是o ，n ( 陋，孵”，i n k 假设对任意e ( o ，d ) ，l i ，百丽n w ? o ，则。研对任意固 定 1 ，2 ，) ，取e 。( o ，e ) ，且满足。 o ，则任意n n ，b ( z ，e 。) c b ( z ，e ) ，k 鳙“ ck 蝣】且存在互不相同的o 。p ，蝣“】及互不相同的。n ，使得 ，2 “( n 。) b ( z ，。) 从而对任意k 蚓，k ( ) b ( z ，e ) 再由6 的定义知， 任意n n ，k ( z ) gb ( z ，e ) 所以，存在j 1 ，2 ，七) 及l 凡l n 使得，”( z ) = 。从而，z 。= ，( p ( z ) ) ，“( ( c ，d ) ) c ， 即任意n n ，z 。w 由于z 仨p ( ，) ，所以，任意i ，j n ，i j ，有皿q 又因为只有有限个连 通分支，所以，存在n n ，使得z 。i n t ( ) 从而，存在 0 ，使得b ( z 。，e ) cw 且广( b ( z 。，) ) c ( c ，d ) 根据( i ) ，( i i ) 可得，n ( 日( 。，e ) ) c 陋，d ) 由z 。n ( ，) 知，存在u b ( z 。，e ) 及m n 使得尸( u ) = z 。此时，p ( u ) k d ) 所以， ，”( ，n ( u ) ) = 广( ，“( u ) ) = ，( z 。) = 。，这与【c ，d n ( u 罂。p ( kd 】) ) = o ，矛盾 口 定理2 2 设，g o ( t ) ，则a ( ，) = n 嚣o p ( q ( ，) ) 证明：因为，( a ( ，) ) = a ( ，) cn ( ，) ，所以，a ( ，) cn 器。，n ( n ( ，) ) 任取z n 丞。广( q ( ，) ) 由于，( n ( ，) ) cn ( ，) ，所以，( n 器o p ( q ( 埘) = n 是。，n ( n ( ，) ) = n 罂o ，n ( 埘从而，对任意n n ，存在。n 甚o p ( q ( ，) ) ，使 得，( z 。) = z 。一1 ，其中z o = z 若存在o s t j ，使得甄= q ，则z = ，( 戤) = ，j ( ) = ，卜( ，( ) ) = ，卜( $ ) 从而，z p ( ，) c a ( ，) ；若任意o j ，盈，则存在n n 使得。t d 由引理21 0 知，z 。a ( ，) 从而。z = ，n ( 。) p ( a ( ，) ) = a ( ，) 故总有。a ( ，) ，即a ( ，) ) n 器o ，( q ( ，) ) 口 引理2 1 1 1 2 1 】设，g o ( t ) ，则a ( ，) 是t 的闭子集 皇叁兰竺圭兰竺兰圭f ! ! 竺兰2丝竺竺竺竺皇兰兰竺 1 0 引理2 1 2 卿1 】设t ，是r 一双万一d 的一个连通分支若z ，n n ( ，) ，则任意 n n ，“( z ) gj 引理2 1 3 【6 j 设，e o ( t ) 若z ，t ，满足z 【，( z ) ，引且g k ，( ) 】，则 k n f ( ，) 0 引理21 4 设( o ，6 ) 是t f 而一。的一个连通分支，并给定( o ，6 ) 上的一个定向 使得。 b ，则( n ，6 ) 或为递增型的或为递减型的 证明：假设( o ，6 ) 既不是递增型的又不是递减型的，则存在c ，d ( n ，6 ) ，c d 及 n 1 ，n 2 n ，使得c ，“- ( c ) 6 且n ，“z ( d ) d 由引理2 6 知，“一( c ) 巧i = i 西， 且，“t “：( d ) 亍i ：羽若口 c d 6 ，则由弓l 理2 1 知， c ，d 】n f ( ，n ，n ，) o ；若 n d c 6 ，则由引理2 1 3 知，【c ，d 】n f ( ，n ) o 所以，总有【c ，d 】n p ( ，) o ，矛 盾 引理2 1 5 f 2 1 】设，c 。( 丁) 若z a ( ，) 一f 丽一d ，则d ( z ，) 是一个无限集 口 引理21 6 阮2 3 】设，g o ( x ) ，则z a p ( ，) 的充要条件是z u ( z ，) 且u ( z ，) 为极小集 定理23 设，g o ( t ) 若。a ( ，) 一f 丽，则u ( z ，) 是一个无限的极小集 证明： 设t 一0 有m 个连通分支，轷( 0 ) = k 7 由引理21 1 易知，尸( ，) ca ( ，) 显然我们有，( a ( ，) ) = a ( ，) ，从而，( a ( ，) 一p ( ，) ) = a ( ，) p ( ，) 再由z a ( ，) 一p ( ，) 知，存在z 2 m ，州，0 2 m ，+ 1 ，一，z l a ( ，) 一p ( ，) ，使得，( 墨) = 墨一1 ，i = 2 m + 七7 ，2 刑+ 一1 ，1 且任意0 j 2 m ，+ 7 ，甄o f ，其中o o = z 从而存在t d 的个连 通分支，及互不相同的i ， o ，l ，2 m + 7 ) ，使得耳，。i ，瓢，且q ( 墨，z k ) 由引理2 1 2 知，一p ( ，) 包含q 的连通分支( o ，6 ) 不包含款，假定( o ，6 ) 上的一个 定向使得o 6 ，记口= 。f 根据引理2 1 4 ，我们不妨假设( o ，6 ) 为递增型的区间 断言l ：任意s z + ，广( 陋，6 j ) 两两不交 断言1 的证明：假设存在o s r 使得，i ( ) = a 由厂( g ) ，r ( u ) cw 知，存 在f 1 z + 及u 【口，6 使得，z ( u ) = ，r ( y ) ，所以a = ，l ( ) = ，卜( ，1 1 ( u ) ) = ，卜件- ( “) ， 与( o ，6 ) 为递增型的矛盾断言1 得证 由断言l 易知，d ( ，n ( o ) ，p ( 6 ) ) + 0 ，n 一+ o o ，从而u ( 口，) = u ( 6 ，) 断言2 ：6 u ( a ，) 断言2 的证明：由断言1 ，显然有6 掣p ( ，) ，从而6 p ( ，) p ( ，) 任取p ( 6 ，观) n p ( ，) ，设p f i m ( ，) 若记g = ，”，则口a ( g ) 一p ( 9 ) 且( o ，6 ) 关于g 也是递增 型的区间，从而存在z ( n ，6 ) 及k n 满足1 h 2 ，使得9 h ( z ) 一q 且 z 9 ( z ) 9 b ( z ) - 口下证 6 ，p n 0 ( 口，9 ) 0 用反证法假设 6 ，p 】n d ( o ，9 ) = o 若存在n 1 n 2 n 3 使得9 m ( 6 ) ，g “z ( 6 ) ，9 m ( 6 ) 6 ，p 】，则9 “( hb ) n 6 ，p 】o ， = 1 ，2 ，3 由断言l 知，存在 o 1 ，2 ，3 ) 使得9 “o ( h6 ) c 【6 ，p 】i 从而f 6 ，纠n 0 ( n ，g ) 0 ， 矛盾因此，社( f 6 ，p 】n 0 ( 6 ，9 ) ) 2 所以，存在l n ，使得任意n 1 ，扩( 6 ) 舞【6 ，p 】 因为。 矿，( z ) 9 2 ( z ) o ，1 h 七2 t ，因为9 “+ - ( z ) 6 p g 。州“( 盘) ，所以 9 ”+ 1 2 “+ m 2 ( 曲h 0 ) ，a | ) ) 9 m 2 ( 曲叶1 ( z ) ，9 。”一h ( 口) ) ) g m 2 ( 【6 ，p ) ) 陌，9 m 2 ( 6 ) 】 从而，存在u 9 h ( 。) ，n ，使得9 一“。”z ( u ) = 矿( 。) ，则9 “( z ) = g h + - + ”。( u ) ，与 ( o ，6 ) 关于9 为递增型的区间矛盾故 6 ，p n 0 ( o ，9 ) 0 由6 p ( 9 ) p ( 门，( n ，6 ) n p ( g ) = o 及p 的任意性知，6 u ( a ，9 ) cu ( a ，) 断言 2 得证 断言3 ：6 s a p ( ，) ，即6 为，的强几乎周期点 断言3 的证明；对任意o r ，则存在伽p ( ，) ，使得 伽( b ，夕r ( 。) ) n 9 一“n ( 扩n ( z ) ，a ) 不妨设p 0 p 口( 9 ) ，则9 。( p 0 ) = p o 下证对任意 t n ，d ( 9 4 ( 6 ) ，b ) e 用反证法假设存在t n ，使得9 9 。( 6 ) gb ( 6 ，e ) 广西大学硕士学位论文0 0 0 6 年j 树映射的动力学性质 1 2 如果9 。( 6 ) 噩( z ) ，贝4g 舭( 6 ) 瓦( z k ) b ( 6 ，e ) 所以 9 。蚌n + 1 一“( b “( z ) ，a ) 9 班( g 。“+ 1 ( z ) ，p o ) ) 9 9 。( 【6 ，p o ) 弓9 7 ( ：) ， 从而，存在 【9 2 n ( z ) ，口】，使得+ 2 一“n ( u ) = 矿( 2 ) ，则g h ( z ) = 9 卅一”( u ) ，与( n ，6 ) 关于9 为递增型的区间矛盾 如果9 。( 6 ) 掣露 k ) ，则由断言1 知，g a ( n ) gr ( 6 ) 又因为9 。( a ) 岳( o ，6 ) ，所以。 9 酊( a ) g 已( o ) 从而 g q + 2 n + 一。“( 【9 “( z ) ，】) ) g 舭( b 2 ”+ 1 ( z ) ，p o 】) 39 4 ( 【。，p o ”) o ，p o 】弓z ， 所以，存在 b k ( z ) ，o 】，使得g 。“一一k ( ) = 。，与( 。，6 ) 关于9 为递增型的区间矛 盾 所以任意t n ，d ( 9 舭( 6 ) 加) 0 ； ( 2 ) 存在n n ，使得广有不可戈分的周期轨道 ( 3 ) ，具有周期为ng 2 2 ：奇数七ss ! ，的所有素因子都小于5 + l 且z z + ) 的周期点，其中s 为t 的端点数 引理33 【2 5 】设，g 0 ( t ) 若p 是，的不可划分的周期轨道且是，i p 】的不动 点，则 ( 1 ) 存在f n 及n ，b p ，使得( ，b ) n p = o 且”，f p 】( ( 0 1 6 ) ) ( 2 ) 存在r n 及c p ，使得( c ，) n p = 0 且昂】( 【c ，引) = p 引理3 4 设，g o ( t ) 且s 为t 的任一子树如果，是s 的连通闭子集且 ，( ，) n s 0 ，则，( ，) 3 厶( ，) 证明；设c 厶( ) ，则存在d ，使得厶( d ) = c 若，( d ) s ，则c = a ( d ) = ，( d ) ，( n 若，( d ) 掣s ，因为，( ，) n s 0 ，所以存在u j ，使得，( u ) s 由于，( ，) 是连通集，所以 c ) = a sn f ，( u ) ，( d ) 】c ，( j ) 口 引理3 5 设，9 c o ( t ) 且，0 9 = 9o ，记s 为t 的端点数如果存在自然数 m 2 ，使得( m ，f ) = 1 ( 对任意2sf s ) ，且，9 有一个公共的m 周期轨道，那么 ( ，。9 ) o 证明：设尸是，与g 的公共的m 周期轨道因为对任意2s2ss ，( m ，f ) ：1 ， 所以p 是，的不可划分的周期轨道由引理3 3 知，存在t ，r n 及o ，6 ，c p ，使得 砖( ( n ，6 ) ) 且届( c ，引) = s ，其中s = i p 】，是厶的不动点从而存在u ( o ，6 ) 及 i ，j n ，使得玛( u ) = g ，摇“( 口) = c ，摩2 ( 6 ) = c ，则 塍什( f 。，叫) ) 层”( f 启( n ) ，鲥) 届( 嵋“( 。) ，鲥) = s 且 砖十”( 阻，6 ) 以十( 阻，喜( 6 ) j ) ) 届( 曲，尹。( 6 ) j ) = s ， 从而 搿什”( 【o ，u ) n ，”“( u 扣】) 3s 由引理3 4 知， ，“。+ + ( o ，u 】) n ，。十+ 7 + ( 【让，6 ) s 由于p 也是夕的周期轨道，所以 ( 9 件”卅o ，蚪+ 件( f o ，u ) ) n ( 9 件”卅o ，蚪+ 件j ( m ，纠) ) 耋皇查兰塑圭兰竺竺圭! ! ! ! 兰2 丝些竺竺丝丝兰兰竺 1 5 9 件+ 卅( ，蚪”州( 【o ，u 】) n ，”州( 阻，6 ) ) 39 ”+ ”( s ) s 又因为，o9 = go ，所以 0o ，) ”“钾( f o ，u 】) n0o ，) “”州( 【u ，6 ) = ( g i + ”件o ，”如( 【o ，让】) ) n ( g f 十”州o ，”“件( 【u ，6 】) ) s ， 即( 9 。，) ”州卅含湍流由引理31 知， ( ( 9o ，) + + + ) o 所以， ( ，。9 ) = ( 9 。，) = 熹 ( ( 9 。，) + r + ) 。 口 定理3 1 设，口c o ( t ) 且，0 9 = 9o ，记s 为r 的端点的数目如果存在t 及自然数m 2 满足( m ，c ) = 1 ( 对任意2 l s ) ，使得z 是，的一个m ( n ) 周 期点且z 是g 的周期点，那么 ( ，0 9 ) o 证明：不妨设m 是个素数( 否则，必存在m 的索因子m - 2 ，使得( m ，c ) = 1 ( 对任 意2 f s ) ，用m l 代替m 即可) 设z 在9 的作用下的周期为n 不妨设( ，n ) = 1 ( 否 则，若( ，n ) = d ，分别用，4 与g d 代替，与9 即可) ( 1 ) 若( m ，n ) = 1 ，则考虑f = ，n 及g = 扩此时z 是g 的不动点且( f 。g ) “( z ) = ( f m 。g 2 m ) ( z ) = f 枷( z ) = z 如果存在1 i o 所以， ( ，o9 ) = 矗 ( ( ，0 9 ) “) = 去h ( ( fo g ) ) o ( 2 ) 若( m ，n ) 1 ，则存在r ，d n 使得n = d m 7 且( m ，d ) = 1 若r 2 ，则考虑f = ，m 及g = 旷此时。是f 的周期点也是g 的d m r m 周期点由( ，n ) = 1 知，( d m r _ 2 ，) = 1 由( 1 ) ( 分别用m ，k ，折，一，g ，f 代替( 1 ) 中 的m ，n ，9 ，) 知， ( f 。g ) o 所以，h ( ，。g ) = 击 ( ( ，。9 ) ”) = 击 ( f 。g ) o 若r = 1 ，则考虑f = ，。8 及g = 9 “此时z 是f 的m 周期点也是g 的 m 周期点，从而( f og ) “( 。) = z 设。在fog 的作用下的周期为t ，则t = 1 或 萎皇奎兰塑圭兰竺兰圭f ! ! 些兰!丝壁丝竺兰窒兰竺竺 1 6 者t = m 若t = m ，则由引理3 2 知， ( f og ) 0 若t = 1 ，则任意l 墨t m ，g ( f ( z ) ) = f 卜1 ( ( gof ) ( z ) ) = f 卜1 ( z ) ，即( 。，f 0 ) ，- ，f m 一1 ( z ) ) 是g 的m 周期 轨道，所以 z ，f ( z ) ，f ”“( z ) ) 是f 与g 的公共的m 周期轨道由引理3 5 知， ( fo g ) o 故总有 ( f 。g ) o 所以， ( ，0 9 ) = 南 ( ( 9 。，) 8 ) = 南 ( fo g ) o 口 3 3 树映射的拓扑熵 在本小节，我们得到树映射具有正拓扑熵的一个等价条件 引理3 6 p 8 j 设，c o ( t ) 且r 有s 个端点则，有不可划分的周期轨道当且仅当 存在z t 及自然数m 2 满足( m ，2 ) = 1 ( 对任意2 2 s ) ，使得z ( ，( z ) ，”( z ) ) 类似于区间映射阢7 “6 16 1 ，我们有如下结论 定理3 2 设，g o ( t ) ，则 ( ，) o 当且仅当存在一个无限的闭集yc t 及n n 使得，“( y ) = y 且p l y 是混合的 证明：= 寻) 类似于f 2 7 】的定理6 i 6 的证明 一) 设9 = ，n ，s = y 】则存在z s a s 使得u ( o ，g ) = y 设s 一 。) 包含，( z ) 的连通分支的i 羽包为乃，t 的端点数为s ，记m = s ! 若任意k n ，g m + 1 ( z ) 正，则 a = “j ( g ( ) ，9 ”) c 乃，从而9 ”( a ) = a y ，这与9 i ，是混合的矛盾所以，存在n 使得g “( z ) g 丑，从而z ( g “( z ) ，( z ) ) 又因为任意2 2 s ，( s ! + 1 ，f ) = l ， 即( 女m + 1 ，2 ) = 1 ，所以由引理3 6 知，g 有不可划分的周期轨道，即，n 有不可划分的 周期轨道由引理3 2 知， ( ，) 0 口 广西大学硕士学位论文p 0 0 6 年j 树映射的动力学性质 1 7 参考文献 1 】 g d b i r k h o f f ，d y n a m i c a ls y e s t e m s ，c o l l o q u i 啪p u b l i c a t i o ni x ，a l e r i c a nm a t h e - m a t i c a ls o c i e t 孔p r o v i d e n c e ，r h o d ei s l a n d ，1 9 2 7 【2 】文兰，动力系统简介，数学进展，2 0 0 2 ，3 1 4 ，2 9 3 2 9 4 f 3 】 l it ，y ex d ，c h a i nr e c u r r e n tp o i n to fat r e em a p ，b u u a u s t r a l - m a t ks o c i ， 5 9 ( 1 9 9 9 ) ，1 8 1 1 8 6 4 g u ow j ，z e n gf p a n dh uq y ，p o i n t s w i s ec h a i nr e c u r r e n tm a p so fs p a c ey ， b u l l a u s t r a l m a t h s o c i ，6 7 ( 2 0 0 3 ) ，7 9 8 5 【5 】 z h a n gg r ，z e n gf p p o i n t s w i s ec h a i nr e c u r r e n tm 印so ft h et r e e ，b u l l a u s t r a l m a t h s o c i ，6 9 ( 2 0 0 4 ) ，6 3 6 8 【6 y ex d ，t h ec 衄t e ra n dt h ed e p t ho fc e n t e ro fat r e em a p ，b u 儿a u s r 8 1 m a t h s o c ， 4 8 ( 1 9 9 3 ) ，3 4 7 - 3 5 0 7 a l s e d al 1 a n dy ex i a n g d o n g ，d i 、，i s i o nf o rs t a rm a p sw i t ht h eb r a n c h i n gp o i n t 觳e d 【j 】，a c t a m a mu n j nc 0 m e n 协a e ，1 9 9 3 ，6 2 ( 2 ) ，2 3 7 _ 2 4 8 【8 】 b a l d w i ns a n dl l i b r ej ，p e r i o d so fm a p so nt r e e 埘t ha ub r a n c l lp o i n t sf i ) c e d ， e r g o d t ha n dd y n a m s y s ，1 5 ( 1 9 9 5 ) ，2 3 9 2 4 6 9 黄文，叶向东树映射迭代下的非游荡点集中国科学( a 辑) ，2 0 0 0 ，3 0 ( 8 ) ，6 9 0 一6 9 8 【1 0 】s u nt x ，u l i m i t ss e t sa n dt u r b l e n to ft r e em a p s ，a c t am a t h s i n i c a ，2 0 0 2 ，4 5 ( 2 ) ： 2 5 3 2 6 0 ( i nc h i n e s e ) 【1 1 g ur b ，t h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo ft h en o h w a n d e r i n gs e to fat r e em 印，c h i n e s e a n n m a t h ，1 9 a ( 1 9 9 8 ) ，5 7 7 _ 5 8 2 1 2 】z e n gf p ，m oh ，g u ow j ， u l i m i ts e to fat r e em a p ，n 0 r t h e a s tm a t h j 2 0 0 1 ，1 7 ( 3 ) ，3 3 3 3 3 9 1 3 r o l a n dk e m p o nq l i m i ts e t so fd i s c r e t e t i m ed y n a m i c a ls y s t e m s ，j d 证e q a p p l 2 0 0 2 ，v o l8 ( 1 2 ) ，p p 1 1 2 1 1 1 3 1 1 4 】b l o c kl s ，c o p p e lw a ，d y n a m i c si no n ed i m e n s i o n ，l e c t u r en o t e si nm a t h v 0 1 1 5 1 3 ，s p r i n g e r v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 9 2 1 5 】a d l e rr l ，k o n h e i ma g a dm c a n d r e wm h ，t 0 p o l o g i c a le n t r o p y ，皿a n s a m e r m 8 h s 。c - ，1 9 6 5 ，1 1 4 ( 1 ) ，3 0 9 3 l9 _ 。 兰皇查兰丝圭兰竺丝圭! ! 堕耋! 丝竺苎竺丝皇兰竺竺 1 8 1 6 1j s c 丘n o v a s ja l i n e r o ，o nt o p 。