（应用数学专业论文）广义kdvburgers方程初边值问题解的渐近行为.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：必犯磊 日期： 矿7 年乡月罗口日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 如磊 日期口7 年岁月歹口日 导师签名： 困 i _ - _ _ t d - - 一 日期如尹箩月歹口日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回恿途塞逞銮卮溢厦；旦圭生i 旦二生 旦三生蕉鱼! 作者签名：姚磊 日期矿7 年争月如日 导师签名： 日规认9 岁。日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文讨论了如下广义k o r t e w e g - d ev i r e s - b u r g e r s 方程( 以下简称为k d v - b u r g e r s 方程) 的初边值问题： t + ，( u ) 霉= 乱霉霉jt 正$ 霉霉， u ( x ，t ) l z ；0 = u 一，t 0 ， u c 。，z ，i t ：。= u 。c z ，= ： z r + ，t 0 ， 其中f ( u ) 为定义在r 上的光滑严格凸函数，u 士为给定的常数在u 一 u + 的假 设条件下，我们讨论了问题( i ) 解的整体存在性及t o o 时解的渐近行为。具体而 言：对于初边值问题( i ) ，根据特征速度，7 ( t 士) 的不同符号，按照参考文献【1 4 】的想 法，可将问题分为下列五种情形： ( 1 ) ，7 ( u 一) ，( t + ) 0 ， ( 2 ) ，( t 一) ，( t + ) = 0 ， ( 3 ) ，( t 一) 0 ，7 m + ) ， ( 4 ) 0 = ，7 ( u 一) ，7 ( t + ) ， ( 5 ) 0 f t ( t 一) ，7 ( t + ) 对于情形( 4 ) 和( 5 ) ，在对初值作适当的限制或者当，( t 1 ) 满足某种增长条件时，得 到解的整体存在，且当t _ o o 时，s u p 1 u c x ，t ) 一r ( z ，t ) l _ o ，其中t ( x ，t ) 为下面无 粘b u r g e r s 方程的r i e m a n n 问题： 7 t + ，( r ) 霉= 0 ， r ( z ，- 1 ) = r 寄( z ) i 叭 = _ z z ， n 仉 1 ，、 ， o p z z t 叫 职0 ： 蹦 j | 的稀疏波解： z ，7 ( t 正一) + 1 ) ， 一1 ( 南) ， ，7 ( u 一) ( 亡+ 1 ) z ，7 ( “+ ) + 1 ) ， ，7 ( u + ) + 1 ) 0 ， ，z = 0 ， ，$ 一c o ， ( i ) w h e r e ，( u ) i sas m o o t hs t r i c t l yc o n v e xf u n c t i o nd e f i n e do nr a n du 士a r et w og i v e n c o n s t a n t s u n d e rt h ea s s u m p t i o no fu 一 u + ，w es t u d yt h eg l o b a le x i s t e n c ea n d a s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h es o l u t i o na s 亡_ o of o r ( i ) ，i e ，f o rt h ei n i t i a l - b o u n d a r y p r o b l e m ( i ) ，a si n 1 4 ，t h es i g n so f t h ec h a r a c t e r i s t i cs p e e d s ，7 士) d i v i d et h ea s y m p - t o t i cs t a t ei n t of i v ec a s e s ： ( 1 ) ，( u 一) ，7 ( 乱+ ) 0 ， ( 2 ) ，7 ( t 一) ，( t + ) = 0 ， ( 3 ) ，7 ( t 一) 0 ，7 ( u + ) ， ( 4 ) 0 = ，托一) ，7 m + ) ， ( 5 ) 0 ，7 ( t 一) ，( u + ) f o rc a s e s ( 4 ) a n d ( 5 ) ，w eg e tt h eg l o b a le x i s t e n c e ，w i t hs o m es u i t a b l er e s t r i c t i o nt o t h ei n i t i a ld a t ao r ，( u ) s a t i s f y i n gc e r t a i ng r o w t hc o n d i t i o nf o rl a r g eu m o r e o v e r ， s u pl u ( z ，t ) 一r ( x ，t ) i _ 0 ，a st _ o o ，w h e r er ( x ，t ) i st h er a r e f a c t i o nw a v es o l u t i o n x e r + o ft h er i e m a n np r o b l e m i i i ， ， l “ 叭凡卜邳j 弋 吨 八i = l i 叫 如 饥 i i = i l 霉 o d b - 量 ， 幻 幻 十 奶 奶 毗 以 “ ， q n 1 ，、 ， o p z z 峨仁 ： 纵 j | 动 仉 文 = r = p d ， 一 + 甄 n “ w h e r e u 一， r ( z ，亡) = ( ，) 1 ( 南) ， 0 ，u 士为给定的常数 方程u t + ，m ) 霉= u 船一z 王称为广义k d v - b u r g e r s 方程，其中k o r t e w e g - d e - v r i e s 方程u t + u u z + t 上z 霉卫= 0 由d j k o r t e w e g 和g d ev r i 鹤于1 8 9 5 年 在研究弱非线性方程中提出的，它描述了浅水的波面上波的传播现象( 见参考文献 【1 2 】) k d v 方程具有很好的数学性质，因此，对这类问题的研究有重要的理论意义 和应用价值，也是人们长期关心的焦点问题，并获得了一系列的重要结果( 见参考文 献【1 ，3 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 8 】) 各种各样的广义k d v 方程的初值问题，行波解结构等问 题都有许多人研究( 见参考文献【5 ，6 ，1 9 ，2 1 】) 下面回顾一下前人在这个问题及相关问题上所作的工作情况 关于b u r g e r s 方程的c a u c h y 问题和初边值问题的研究，已经有了如下的一些 结果： i i i n 和o l e i n i k 8 】首先在1 9 6 0 年研究了如下粘性b u r g e r s 方程的c a u c h y 问 题： fu t + ，( u ) 霉= p t b 霉，p 0 。( z ，亡) r 之+ ， ( 1 1 ) l 让( z ，t ) i t ；02u o ( x ) 一t l 圭，z 一士o o 解的大时间行为在参考文献【8 】中，作者用极值原理证明了问题( 1 1 ) 在亡_ o o 时解渐近收敛到下面的无粘b u r g e r s 方程的黎曼问题- u t + ，( u ) 卫= 0 ， u i t ：。= u 予c z ，_ t ：二，：三： 1 2 l z 0 d 咄 脚 脚 ， 力 力 斗 z z 弘 u u ，iii_l_i-jliil_【 的解 以川，电坳 z ，7 ( u 一) t ， ，7 ( u 一) t z ，( u + ) 亡， ( 1 3 ) z ，7 ( t 正+ ) t - 一，、i ， n i s h i h a r a 在参考文献【1 6 】也曾用l 2 能量方法研究过问题( 1 1 ) ，在u 一 0 ， 其中f ( u ) 为r 上的光滑凸函数，在t 一 u + 的假设条件下得出如下结果， 根据特征速度，( u 士) 的符号将渐近状态分为五种情形。 i ( 1 ) ，7 一) ，7 ( t 十) 0 ， ( 2 ) ，7 一) ，7 ( u + ) = 0 ， ( 3 ) ，7 ( u 一) 0 ，7 ( u + ) ， ( 4 ) 0 = ，7 ( u 一) 厂( t + ) ， ( 5 ) 0 0 ，p 可正可负，当耗散项居于主导地位时 相对于p 较大时) ，它以指数形 式趋于零( _ o o ，荨= z d t ，d 为彳亍波速度，且为常数) ；当色散项居于主导地 位时，它以振荡形式趋与零( 一o o ) ； i i ) a 0 ， lu ( x ，t ) i ：o = u o ( z ) ，z r ， ( 1 7 ) 其中e 0 和o e 是实数，d = d d x 当，( u ) 在某种光滑和增长条件下，作者运用能 量方法和半群理论的方法得到了解的存在性更进一步，运用补偿列紧的方法。假 如q 和e 满足一些关系，就存在子序列，( o t k ，e 七) 一( o ，o ) ，使得相应的解收敛到单 个守恒律饥+ d f ( u ) = 0 的解 3 z a w a n g 和c j z h u ( 见参考文献【1 9 】) 讨论了如下形式的广义k d v - b u r g e r s 方程的c a u c h y 问题： fu t + ，( 牡) 霉= p u 霉z + 6 u 霉霉霉，z r ，t 0 ， ( 1 6 ) 【u ( z ，t ) i t - o = u o ( x ) 一u - l - ，z _ 4 - 0 0 ， 3 其中弘 0 ，6 酞为常数，( u ) 是一个光滑严格凸函数当t 一 u + 时，在初值的 h 1 范数和稀疏波的强度u + 一u 一都很小的假设条件下，c a u c h y 问题( 1 6 ) 存在唯 一整体解，并且当t _ d o 时，s u pi u ( x ，t ) 一u r ( z t ) i o ，其中u r ( z t ) 为r i e m a n n 霉r 问题( 1 2 ) 的解 r d u a n 和h j z h a o 在【5 】最近也研究过问题( 1 6 ) ，当，( u ) 在某种光滑和增 长条件下，在没有对初始扰动和稀疏波的强度作小性假设的情况下，得到了稀疏波 的整体稳定性 更多关于广义k d v - b u r g e r s 方程的c a u c h y 问题研究，可参阅参考文献【2 ，3 ， 1 0 ，1 7 】- 然而关于广义k d v - b u r g e r s 方程初边值问题( i ) 的大时间行为至今为止尚无人 研究过本文运用l 2 一能量方法对问题( i ) 在u 一 u + 的情形下进行了研究，在对 初值作适当的小性限制或者使，( u ) 满足某种增长性条件，对情形( 4 ) 和( 5 ) 均得 到了初边值问题( i ) 存在唯一解u ( x ，t ) ，当t o o ，u ( z ，芒) 收敛于稀疏波r ( x ，t ) l r + 在本文中，由于广义k d v - b u r g e r s 方程中三阶项t 船霉的出现，极值原理在问题( i ) 中不再成立了，而极值原理在得到单个抛物方程相关问题解的整体稳定性结果中起 到本质的作用，于是我们在第一节中考虑小初值的情形为了得到大初值时问题( i ) 存在唯一整体解，并且渐近趋于稀疏波，进一步要求，( t ) 满足增长条件：i f i t ( t ) i c ( 1 + i u l ) 在，( u ) 满足这个条件下，我们可以不用对初始扰动作小性假设，就可 以得到问题( i ) 解的整体稳定性结果，这些都将在第二章中给予详细证明在第三章 中我们猜测问题( i ) 在情形( 1 ) 时静态解整体存在，并且满足指数衰减，进而得到 在小初值时初边值问题( i ) 在该情形存在唯一解t ( z ，亡) ，当t 一，u ( z ，t ) 收敛于 静态解( z ) ，其中矽( z ) 满足( 3 2 ) 顺便说一下，我们在第二章第一节中用不同于 【5 ，9 ，1 4 ，1 9 1 方法构造稀疏波 记号：本文所采用的数学符号绝大部分是标准的，但为了本篇文章的完整性，补充 几点。 1 在不引起混淆的情况下，我们用c ，c 来表示常数，并且在不同的地方同一 个字母“c ”或“c 一可以表示不同的常数 2 p ( r + ) ( 1 p 0 0 ) 为通常意义下定义在r + = ( 0 ，o o ) 上的p 空间，定义 ，、；1 范数l i f l l p ( r + ) = ( i ，( z ) i pd x ) ，1 冬p 0 ， u ( x ，t ) l z ；0 = u 一，亡0 ， u c z ，t ，l t - - - o - - “0 c z ，= ：二乞 由于边界效应的产生，根据特征速度，( u 士) 的符号可将问题分为五种情形( 见参考 文献【1 4 ，2 0 ，2 2 1 ) , ( 1 ) ，7 ( u 一) ，7 ( 让+ ) 0 ， ( 2 ) ，7 ( u 一) ，7 ( 牡+ ) = 0 ， ( 3 ) ，( u 一) 0 ，7 ( t + ) ， ( 4 ) 0 = ，( t 一) ，7 ( u + ) ， ( 5 ) 0 + ， r r z 嘶 = = 祝d 西 一 + 而 西 西 ，l【 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s c a u c h y 问题( 2 1 3 ) 的解叫( z ，) 满足如下的性质( 见参考文献【7 ，1 3 1 ) 引理2 1 1 对于1 p 。o ，t 0 ，w ( x ，t ) 满足： ( i ) 当，7 ( u 一) 0 时，0 w ( o ，t ) 一u 一c p h ( ( z ) e c ( 1 + ) ；当，7 ( t 一) = 0 时，w ( o ，亡) = 札一 ( i i ) i ( o ，亡) i c p h ( f i ) e 一。( 1 + 们， i t 如( o ，t ) i c p h ( 雹) e c ( 1 + ( i i i ) | | 叫( t ) 一r ( t ) i i l p ( r + ) c ( 1 + t ) 一孟+ 筇1 ( i v ) 1 1 w z ) i l l p ( r + ) c p h ( f i ) ( 1 + t ) 一1 + ；，0 伽霉霍 ) i l l p ( r + ) c p h ( f i ) ( 1 + t ) 一1 + 毒， iw 霉z ( t ) 1 l 驴( r + ) c p h ( f i ) ( 1 + t ) - ；+ 毒 ( v ) 叫霉( z ，t ) 0 ，z i p + 这里h ( f i ) 是色= 芋的函数，并满足霞l i m 。h ( f i ) = 0 ，q ，c 和c 是不依赖于孟 的正常数 如果特征速度满足，( t 一) 0 ，硼( z ，t ) 就不满足( i ) 中的边界条件，即w ( o ，t ) t 一因此我们需要在边界z = 0 处对w ( x ，t ) 作修改修改后的光滑近似函数彬( z ，t ) 定义为( 见参考文献【1 5 1 ) ： 虽三莒兰兰三二三二二。二三，r二二0 c 2 1 6 ， 冗( z ：= 一等粉+ 妒t + ( ，( + 妒) 一，( ) ) 霉一亿霉 ( 2 1 7 ) 利用引理2 1 1 ，直接计算可得到关于w ( z ，t ) 和r ( z ，亡) 的估计： 引理2 1 2 对于1 p o o ，t 0 ，w ( x ，亡) 和冗( z ，亡) 满足： ( i ) i i w ( 0 一r ( 0 1 1 驴( r + ) c ( 1 + 亡) 一+ 历1 ( i i ) i i w 霉( t ) l l l p ( r + ) q ( 面) ( 1 + t ) 一1 + ；，i i 帆写( t ) i i p ( r + ) q ( 面) ( 1 + 亡) - 1 + 写1 ， i i z 霉( t ) l i p ( r + ) c p h ( f i ) ( 1 + t ) 一+ 专 ( i i i ) v ( z ，亡) 0 ，z r + ( i v ) i i r ( t ) l l l p ( r + ) c p h ( f i ) ( 1 + 矿2 + ； 令 u ( z ，亡) = w ( z ，t ) - t - 口( z ，t ) ， 此时问题( i ) 转化为下面的问题： 仇4 - ( i ( v + w ) 一i ( w v ( o ，t ) = 0 ，亡0 ， t ，( z ，0 ) = ( z ) ：= u o ( x 一钉霉一帆霉4 - 兄( z ，t ) ，z r + ，t 0 ， ) ， z 之+ 对于0 0 ，使得问题( 2 1 8 ) 存 在唯一解v ( x ，亡) x ( o ，t 1 ) ，满足8 u ，p i h 。2 1 1 r o l l h 。，其中t 1 仅依赖于i i v o l l 日。 r 1 0 ，t d 证明 问题( 2 1 8 ) 可以写成为下面的积分形式： u ( z ，t ) = z g ( z ，y ，) ( 秒) d 可一o 。z g ( x , y , t - - t ) 【( ，( w + 口) 一，( v 矿) ) v + p + v v 一兄 ， r ) l d y d r ， 其中 g ，= 丽1 唧( 一掣) 一唧( 一掣) 运用标准的方法，例如b r o u w e r 不动点定理，我们能够证明该局部存在性命题( 见 【4 】) 命题2 1 5 ( 先验估计) 假设? 3 0 h 1 ，且u ( z ，t ) 是问题( 2 1 8 ) 在命题2 1 4 中得 到的解，满足下面的先验假设： ( 丁) 2 扼s 【u 。，o 刀 1 1 u ( t ) 0 备t ) 醴， 根据s o b o l e v 不等式可知： l i v l l c 6 l ， 0 6 1 0 ，z r + ( i v ) l i r ( 0 1 i l ，( r + ) c ( 1 + t ) 一2 + ；， 这里c 是不依赖于t 的正常数 ， 证明同引理2 1 2 对于0 0 ，z r + ，等式( 2 2 4 ) 左端 第二项估计如下： v ( f ( v + w ) 一，( ) ) 善d x = 上+ 一( ，( s 肛删) t ，) 霉+ ( ，( 卅卟胛) - ，卿) 肌) 如 = ( ， + w ) 一l ( w ) 一，7 ( w ) 可) 儿如 = 扳，( 咄出 0 ， ( 2 2 5 ) 其中p 3 介于和移+ w 之间 ( 2 2 4 ) 的右边估计如下： 一时wxxxvdx=+如奎1叶wljj r jd z + 三j ( + 帆 ( 2 2 6 ) 一【+ + 叶 r + 以及 上+ r v d x _ 三1 1 踯) 1 1 + 扣 ) 1 1 1 1 酬1 2 ( 2 2 7 ) 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 把( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) 代入到( 2 2 4 ) 中，得到 三丢上+ t ，2 如+ 三上+ 记如+ 三磋( 。一 1 1i + 嚷出+ 扣踯) i | + 扣即) 1 1 1 1 ) i | 2 ( 2 2 8 ) 将( 2 2 8 ) 在 0 ，t 】上关于t 积分，并利用引理2 2 1 得： f tr t i i - , , ( t ) 1 1 2 + i l v x ( ) 1 1 2d r + ( o ， r ) d r j 0 j o c ( 1 l v o l l 2 + 1 ) + c ( 1 - - i - 7 ) 一2 1 1 0 t ，( 丁) 胁 ( 2 2 9 ) ， 特别地，我们有 i i u ( t ) 1 1 2 c ( i l v o l l 2 + 1 ) + c ( 1 + 丁) 一 l l v ( 1 - ) 1 1 2 d t ( 2 2 1 0 ) ，0 对( 2 2 i 0 ) 应用g r o n w a l l 不等式，得到 i i v ( 圳1 2 c ( 1 1 2 + 1 ) ) 唧( c o 。( 1 州- 2 d 丁) c ( 1 1 o l l 2 + 1 ) ( 2 2 1 1 ) 把( 2 2 1 1 ) 代入到( 2 2 9 ) 的最后一项，得到 f t t t i i v ( t ) 1 1 2 + i i ( 丁) 0 2 打+ 记( o ，r ) d r c ( i l v o l l 2 + 1 ) ) (2212)j 0- ，o 一 下面，将( 2 1 8 ) 1 两边乘以( 一卫) ，得： ( 丢) 。+ ：譬一c t ，2 一( 三谑霉) 霉 = v x 霉( ，( 钐+ w ) 一，( w ) ) z 一譬( 冗一船) ( 2 2 1 3 ) 将( 2 2 1 3 ) 在r + 上关于z 积分，并利用( 2 1 8 ) 中的边界条件，得到 三爰上+ 如+ 上+ 记霉d x + 互1 2 霉( 。，t ) 2 ( ，( 口+ w ) 一i c w ) ) 霉d z + ( 霉零一冗) 嚣d z (2214)jr + j n + 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 2 2 1 4 ) 右边的第一项关于t 在 0 ，t 】上积分之后可写成 以以+ z ( ，( 口+ w ) 一，( ) ) 霉d x d r = o l + 霉，铷+ ) 出d 丁+ f 0 2 z + 霉( ，铷+ w ) 一，( w ) ) w z d x d r ： + 如 f 2 2 1 5 、 由，所满足的增长条件：i f ”( u ) i c ( 1 + l u l ) ，w 的有界性，引理2 2 1 ，；2 2 1 2 ； 和c a u c h y - s c h w a r t z 不等式正如参考文献【5 】中的方法，估计以如下： 一 7 也= o 。l 4 v x x ( ，如+ w ) 一，( ) ) 如打 j o o 。上+ 磋霉d z 打+ c 。上+ ( ，p + w ) 一( ) ) 。孵出打 - i _ 去z 。上+ 虻x d x d r - f c m 剑s u 训p l 器( f 丝警j 2 ) z 。 去o ( ，i 一眦 j 1 o 上+ 霉如打+ c ( 1 + i l v l l l 器) 2f o ( 1 + 丁) - 2 i m 丁) 再咿 去z 上+ 磋z 出打+ c ( 1 + i i u i i l 昂) 2 利用( 2 1 6 ) 和( 2 1 8 ) 中的边界条件，分步积分可得 tb b 七w ) v z d x d r l w 2 zv 2 d x d r ，r + 0 峨( 丁) 慨愀丁) | | 2 打 ( 2 2 1 6 ) = 互1z 。上+ ( 记) 霉，b + w ) d z 打 = 一j i 0 。上+ 磋尸 + ) + w ) d x d r 一丢，( t t 一) 记( 。，r ) 打 = 一斯z + ( 妒( + w ) 州2 八口+ w ) ) a z a r 一云1 ( u 堋( 0 丁) 打 = 一三( 如+ 以) 一三z ，( u 一) 诧( 。，丁) d 丁 ( 2 2 1 7 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由于i f ”( u ) i c ( 1 + i u i ) 以及w 的有界性，可以估计以如下 以i = 。上+ ( 妒( + w ) d x d t c o f , 蚓3 ( 1 + i 勘i ) d x d r = c o + i i 如打+ c o 。上+ 硼l 如打 = j 5 + j b ( 2 2 1 8 ) 利用( 2 1 8 ) 中的边界条件，( 2 2 1 2 ) 和c a u c h y - s c h w a r t z ，分步积分可得 以- - c f o 上+ 磋i i d z 打= c o 。上+ 远( i i ) d z 打 = 一c o l + 移( 1 阢如打+ c o 。( 口i i ) i 铲 d r = - 2 cl 。上+ 钐王i i 如打 j 1 o 。上+ 记$ 如打+ c o 。1 1 琵1 1 ( r ) 1 1 2 d z 打 i af o 。上+ 记z d z 打+ c i i 羔昂 五= c o f , + i i 如打c f o 。o o 蝥o 川i 打c z 。i i 0 2 0 o 打 1 o i i z i l 2 打+ c o 。o 1 1 4 打 ( 2 2 2 0 ) 由( 2 2 1 9 ) 和( 2 2 2 0 ) 得 也i 去i i 川2 打+ c o 。o 1 1 4 打+ c 悒器 ( 2 2 2 1 ) 由i f ( u ) i c ( 1 + i u i ) ，w 的有界性，引理2 2 1 和( 2 2 1 2 ) 以及c a u c h y - s c h w a r t z 得 1 9 i 以i c l 毗i ( 1 - i - i v l ) d x d r ，0 f ti i w z l l i i 珊i i d - r + cf ti i , i i l i i w i ii i u l i d t j0 0 cf ti l v x l l 2 打+ c l t1 1 1 1 1 1 i i i i w z l l l l t j i l d r j0j q c z 。i i v 霉1 1 2 打1 。i i z i l 2 打 百1z 。i i 1 1 2 打+ d 将( 2 2 2 1 ) 和( 2 2 2 2 ) 代入( 2 2 1 7 ) ，并利用( 2 2 1 2 ) 得 i 以i 未z 。i i 钉艘1 1 2 打+ c z i i v z l l 4 打+ c ( 1 + i i t ，i i l 嚣) 2 将( 2 2 1 6 ) 和( 2 2 2 3 ) 代入( 2 2 1 5 ) 得 l z 上+ 霉( ，。+ ) 一，( 比如打1 五1 小霉1 1 2 打+ c o i l v x l l 4 打+ c ( 1 + i i i i 圳2 ( 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 3 ) ( 2 2 2 4 ) 上+ ( 儿x 霉- r ) 秽船如：1 + 记霉出+ c 上+ 吧霉出+ c 上+ 舻如( 2 2 2 5 ) 于是有 ( 霉霉一r ) 霉d ：r , d r i 1z 2 上+ 铂z 打+ c o 上+ 吆扣打+ gz f r + r 2d x 打( 2 2 舶) 对( 2 2 1 4 ) 关于t 在【o ，t 】上积分，把( 2 2 2 4 ) 和( 2 2 2 6 ) 代入到积分之后的式 2 0 子中，并利用引理2 2 1 ，得到 ，t，c i i v z ( t ) 1 1 2 + i i 霉( 丁) 1 1 2 d - r + 口霉2 霉( o ，t ) d t j0j0 i l v o z l | 2 + c ( 1 + l i v l l l 嚣) 2 + c 1 1 1 1 2 l i 0 2 d t ( 2 2 2 7 ) 特别的，有 i i v 害( t ) 1 1 2 i l v o z l l 2 + c ( 1 + i l 移l i l 昂) 2 d r + c o i | 2 0 1 1 2 d r ( 2 2 2 8 ) 由( 2 2 1 2 ) ，对( 2 2 2 8 ) 用g r o n w a l l 不等式可得 l i v z ( t ) 1 1 2 c l l v o z l l 2 + c ( i + l l v l l l 磊) 2 ( 2 2 2 9 ) 将( 2 2 2 9 ) 代入到( 2 2 2 7 ) 右边最后一项，并利用( 2 2 1 2 ) 可得 ，t 1 t i i v 霉( t ) 1 1 2 + _ 1 1 霉( 7 - ) 0 2 d t + 噍( o ，t ) 打 j 00 c l l v o 霉1 1 2 + c ( i + l l v l l l r , ) 2 ( 2 2 3 0 ) 因为i i v l l l i i v = ( t ) l l l l v l l ，由( 2 2 1 2 ) 和( 2 2 3 0 ) 可得 i i v l l l c ( 1 l v o l i + 1 ) l l v o 霉