（概率论与数理统计专业论文）基于blackscholes金融市场的连续时间最优资产组合选择.pdf

论文题目： 箍于a c k 心c h o l c s 金融市场的 连续时闯最优资产组合选撵 专监名称：概率论与数壤统计 论文作者：谢树香 摆导教师：隧景祺教授 摘要 本文罄先奔露了革瘸羯鼢k o 嚣i t z 模鍪纛亵数辩霆多周籀攘蘩，阐述 k o w i t z 模型中衡量风险与收益的数学工具以及涟续时间模型的研究进展；详 细讨论了b l a c k s c h o l e s 金融市场的觅餐利与无摩擦、几何布朗逡动等基本假设 条舞，绘窭关予菇验资产期望缓长攀稔为漂移率瓣数学涯鞠；然嚣翻弱嚣代鞍 论和随机分析理论知识，掏建连续时间资产组合选撵模型，刻画了模型中的交翳 策略与财富过程，并实现积分上限从酱通时间到停时拓展以后的髓枫积分性斌 羧着谤论7 陡辍最霞羧潮论孛豹蘧爹蒗德停史鬟刘，潮蘑b c l l 毪黼淼理爨究最後 策略和8 一檄优策略，并考虑了连续时间投资策略的最优停时问题；最后考虑了 有消费韵投资组合选择随题，证明了带场风险价格避程是一个有界过程，利用 ￥i k o ￥( 搪7 2 条辞擒逢滋一令等秘鞅溯发，势详缎论证7 “溥夔遵程投资策 略”的可容许条件。 关键词： b s 衾融黍璐，最偬资产缢合，举鞅，停砖，簸优( s 一最优) 策略 a b s h a c l 1 i n e ：g o 魏鼬则轴蛀雠o p 娃脚引斌f o l i os e l 鳅越 b 鹤e do nb l a c k 冬c h o l c sf i n a n c cm a r l 【c t m 蝴o r ：p f o b a b i l i t y 弧e o r y 蛐dm a 鼬锄a t i 璐s t 撕s t i c s n 毫黼e ： e 轴h 蟠a 裙 1 1 u p e r v i s o r ：o uj i n g q i ( p r o f e s s o r ) a b s 缸毽c 耋 i n 出i sp a p e r ，w ei n 仃i ，d u do n e - p e r i o dm a f k o w i t zm o d e la n dd j s c r c t et j m e m 堪| i _ 尹吧f i o dm o d e l ，w ee x p 越至a l 聪l h e 堇羲嚣氆e 氆建缘目垂o o 差f 酝妊娠a 珏dg a 主n u 程d e f 氆。 g e n e r a l t l i n g0 fb l a c k s c h o l e sf i n 粕c ei i i a r k c t 舳曲e w o r l 【 w e 柚a l y z e ds o m eb a s 毒c 勰蛐m p t i ss u c ha sn 册一曲i 仃a g e ，n o 小颤c t i o na n dg m e 舡yb r d w nm o t i o n 、v c 秘o v e daf e s 毽赴a b o 啦瞧e 嚣砖e c 耋i 嚣c 磁瓣攘瞻o f 瘟藩熊辩t 。l 矬ks 黝d 争l 蓬，辩 u dt h em e t h o do fm o d e mm a r t i n g a l ea n ds t o c h a s t i c 柚a l y s i st h c o f yt o lu pa c o n 蛀n ”加sl i m ep o 哪嘶o l c c t i o nm o d e l ，w e 柚s t l i d i c di n v c s t i l l e n ts 油t c g y 蝴d w 避壤o 辐纽攮e 瑚1 强糖w c 沁l s c 纛姻f 幽糊醛自隧髓s 静馥蔽薹co 掰氆鑫l s i 叩p i n gm l 。，柚d 眦s m d i e do p l i m a l ( o r 嚣一哪i m 啦s 柏把g yb yt l l e 峭co f b e l 溉蛐p f i n d p l e a tl a s t ，w ei n 鼬c c do o 栅婶t i 佃p 燃瞄j l i t oo 吖埘g l n 囊l 辨畦馘 o 壤。d e l ，w ep l 粥嬲攮鑫l 糖m 糕h l | 主曛弘e 豁i s $ 穗畦l 瓣yp 。c 醛。w 女 c 0 璐咖c l c d 瓤c q u i v a l e n tm a n 妯g a l cm e 鹪u r cb yt h cu o fn o v i k o vc o n d i 娃o n 。w b d e m 姗s 咖e dt h c p 彻匠辐i 蛐s 妇t c 盱f o r “蜩剐t i 烨c 璐a n dp 删i f b i i o s | f a # 豁”。 酗r 珊碟s ： b l 撼“；睦o l e s 轴强舶a d b 嗡 吣擅噩釉事豳莲玲涮鳅i 冁， s 啪i 。m a n i l i g c ，s “聊曲g - t 油e ， o p t i n l a i ( 占一o p t i m 蝴s 仃a t 甥y i l 第一章资产缀赍理论 第一章资产组合理论概述 资产缀合选择理论p o r t f o l i os e l e e t i o nt l l e o r y ) 爻称为蘸券缀含理论或投 资分散理论。它以现代鞅论秘随机最优控制理论为核心，以金融为例谖，主要研 究蕊样在米来收菔不确定的情况下，对有限资产进行投资，使得回报翠最大和风 陵疆，j 、。这一海越一煮楚数理金融擎研究懿主要鞭壤之一，螽者本覆上是围绕着 控制风险和效用墩优化这嚣个主题咸开的，蕊最优投资畿略是是实现风险最小积 收益最大的关键问题。 这一章首先综述了前入的研究工作，简黉描述了单周期模型和离散时间多周 鬟模整。套缨了溉r 靶渊i t z 模黧孛餐薰疑蹬每牧益豹数学王其戳及这模登豹往 缺点；接黄介绍了连续时间模溅薪近的研究情提以及本文的主要研究内容、方法 和结构安排。 l 。l 资产缀合理论的超源与意义 1 1 。l 历变背景 不确定往懑想源予1 9 整纪3 。年代f i 熊e r 等入辩实物瓷产豹分析。f i s h e r 认为，未来资产收益的举确定饯可用缀率分农来箍述。融s c h 城、珏i e k s 等学嚣 的一系列研究表明：投资者的投资偏好可视为对资产未寐收益概率分布矩的偏 好，并可糟驽谴方差空阉静无差异秘线来表示。同时，饱们还发现“犬数定律” 在瓴食多静风险瓷产懿投资中会发撵蔡秘俘惩。 在此熬础上，美国经济学家胁勰也妞k 嘴i t z ( 1 9 2 7 予1 9 5 2 霉善次提 出投资组合选择理论，他通过澍投资赣效用函数的分析，建立起投资收菔与投资 菇羧之蠲瓣数学攘登，海瑗代瓷产缝会理论葵定了纂穑。这一理论酶出现标恚着 金融学从一门描述性蛉辩学开始向金融数学转变。 m a r k o w i t z 在投资组合选择臼一文中，假设投资终端时刻为一个露定常 第一章磷产组台理诡 数，对诞券泰场鲍最栏投资瓣遂进行了舞刨性熬璎突，第一次明确缝麸风黢资产 夔l | 殳夔攀与风险乏阑豹关系出发，耀数学工其绘蝰了在一定鼹险承平睾按不溪魄 铡投瓷多秘涯券默傻期望收盏达至最大瓣投资方法，癌憩弓l 发了第一次“孥憝衡 革命”。抛r k 铡i t z 本人墩霆隽在金融经济举理论中豹这一先驱犍工佟嚣与另耩 位美国经济学家黔r t 潍舞。艇i l l e r ( 1 9 2 3 一) 秘鬻i l l i 黼rs h 馘p e ( 1 3 4 一) 起获褥1 9 9 0 笨的诺哭零经济学奖。 1 1 2 现实意义 对投资缀会瑗谂的深入磺究袁着深透懿淫论恭实践意义。对予充满不确定性 与嶷照殓性熬金融枣场瑟害，麓a r 融i t z 掰构建瓣这一投资缀合瑾论懿金融数学 摸擞事实上隽投资者罨找最伐授炎缀合提供了爨裙酌健却是强有力懿瑗论支撑， 这一悬怒羼寒残努爨代金融理论熬藩石之一。 就我国目前酌金融市场而言，随着经济的发展，国民疑济的分配格局己经发 生了显著变化，居民丽幅着如何更有效地对自身金融资产进行合理分配的问题。 对投资缀合理论的深入研究，有助于为投资耆在现实生活中其体做出可行的金融 决策提供理论依据，因此具有相当履要的理论指导意义。 就理论的发展完罄面蠢，1 1 8 r 妇i t z 采用数学上蛇方差工具刻藏风险，取褥 了很好的求解结果，识毕竟方差作为风睑的度量在实际应用中还存在慰限 雯，邑 有众多学者在这方面进行7 改进，摆关文献可参阕【4 5 】、【5 8 5 9 l 、【6 9 】等。 另一方颟，妞k 脯i t z 只研究了单髑期模型，两现实中人雷】往缝要处理多阶段投 资缎合阅题。离散时阀多周期情形已取褥突破n ”，搏随黄金融理论磅究懿雄邀 和现代数学的发膜，髓翦嗣内处对连续时阈模型鳃涤入礤究方兴未艾，成为一个 推动投资组仑理论向越发展的最具涯力的耨课题。 1 2m 甜k 州i t z 模型的简单回顾 1 2 。l 最翠静萃周羯模蓬 胁k 洲i t z 模型考虑的怒这样的问题；如果一名投资者为减少风险前同时 一2 一 第一章资产组合理论 对多种股票进行投资，那么怎样的投资组合将是最好? 为回答这一问题， m a r k o w i t z 把资产的价格变化量视为随机变量，以它的均值来衡量收益，以它的 方差来衡量投资风险。风险代表的是收益率波动的不确定性。从而，m a r k o w i t z 模型又称为均值一方差分析模型( 简记为m v 模型) 。这一模型的出现使得金融 研究由定性分析时代开始走向定量分析时代。 m a r k o w i t z 把投资组合中各种股票之间的比例作为变量，那么求解收益一定 的风险最小的投资组合问题就被归结为一个线性约束下的二次规划问题。 在m a r k o w i t z 单周期模型中，假设市场中存在d 种资产，资产在初始时刻的 价格为】s 。= ( 岛，s ；，s ：) ，在终端时刻的价格为s ，= ( s ：，s ；，s ? ) ，即一个周期 之后的资产价格。第j 种资产的回报率，定义为 ，- 掣( h 玑d ) s 6 、 一。 它是一个随机变量，第，种资产占总投资资金的比例为石j 从而有：i 。石j _ 1 ， 当市场有卖空限制时，o 万，s 1 ；而当市场无卖空限制时，厅，可取到负值。另 一方面，因为每种资产的回报率r ( ，= 1 ，2 ，d ) 是随机变量，显然有投资组合 的总收益为，= y ：r | 篁l 由于惭k 明i t z 把方差作为风险的溅度，所以闯题转化为在某一给定的平均 回报水平下，寻找一个投资组合策略石，使得方差达到最小。对于单周期模型， 可以导出以下的二次规划问题： 坳砌r ( ，) = e ( ，2 ) 一# d j j e ( r ) = ， 万= 1 ，厅o j d m a r k 佩i t z 通过对模型进行求解分析，给出了有效边界函数的表达式。有效 边界实际上是投资者的决策方案集。m a r k o w i t z 又进一步指出，把收益作为参量， 它与求得的最小风险相应的标准差之间的关系，形成双曲线的一支；再根据投资 第一章资产组台理论 者的偏好，就可进行投资决策。i l a r k o w i t z 将他的理论研究成果收集在1 9 5 9 簪出 叛戆专麓资产缀合选择：投蜜静窍效分教纯摊1 一警孛。 胁k o 霄i t z 模型作为资产组合理论形成的开创性工作，其解释问题和解决问 题的优越健是突出的。蕊结来讲，燕要表现在： 1 、搦示了未来收益不确定情况下投资者韵行为准刚，邋过收益与风除闯的 替换关系确定有效边界，将其与投资者的效用函数结合，建立了投资者的行为理 论，隽叛詹的涯券定价理论羹定了蕊蘸。 2 、明确了收益和风险的度量，使对不确定性的描述称为可能，利用概率和 线性规划方法求解，使模型具有可搽作性。 3 、囊收益率骧获燕态分布，域程在一些特定鹩效用函数下，投资者静瓶堡 效用能完全由收益率的均值和方羞来表示或者近似程度很高。 l 。2 2 褒教翼重阉多周期搂型豹鹅逡 在离散时间多周期模型中，所有的假设条件与单周期模戳所描述的基本一 致。不同的是，对于多周期模型，这魑随机变量殿该由其均值向量和协方麓矩阵 表窭l 魄魏，簇莰我稍瑗在舂掰令鬻凝戆瓷产强羰率熬囊溺数据，它餐胃餐俸是 将固定的投资生命期 r 】等分为州个小的时间馘间，每个数据代表着每一小的 时阕区闽的终止时刻瓣瀵测僮。邓， ( o r 】；u ( b ，】，= o ，气= f ，i 一。= 吖啪，f = 1 t 2 ，埘。 浚繁j 个资产在第f 赣( 鄢专辩瓤) 鹃徐鞲兔彰，烫 j 蠢矗静资产组裁鹣投资 组合在第i 个周期的回报率可用向擞r k ，l i ，” 表示，其中第，个资产粳第f 瘊獒鏊掇攀鸯， 儿学跏，m h 玑d ) 由此，棚周期的资产网报率的全部观测数据可以融以下矩阵表出： 第一章资产缎合理论 ，”，”r ” ，r 。，“ ，。，。2 ，。 m 周期的资产回报攀的均馕尚量记为；= ， r ，其中万= 去善r # 。 棚应的方麓协方差筑阵可以雩为：q = 矿) 2 。冀中， = 砉静一刁( 万) 吼九m ，g 从而，随机变量可以由均值肉量和摆廒的穷差协方蒺矩薅表暴，记必q ) 。 相应子投资组合石的收螽定义为z = 露r r 其中 万= h r ，= h ”，川， ：的均值与方差为： 嚣；) = 嚣，r ) = 矿暑( ，) = 矿； 妇，( ：) = 豫办) = 鼢 同样地，由于在r k o - i t z 投资组合逡择模型中，方差成为风险的测度，所 以最优投资组合也就是要在一个给定的平均回报水平的约束之下，使锝上述的 方差达至最小。这就导出了以下阉题： 磁拜矿劬 1 “矿7 叫，杰：1 石j o l卜l 离散霉雩瓣多瘸黎穰鹫的构造萤然不滩，但注意弱当卅较大对，模型的计算十 分豳难，不仅需要计算m 个方差和翌蝉个协方蓑，焉且述要孵决虫方麓矩辉 繁一章辫声缀合理论 产生的大型二次规划问题。这问题的真派解决是资产组合理论创藏近半个世纪 之后，我们将谯后文介绍。 单周期横激和离散对阙多周期模受戳殿后来的连续时褥模型，冀本质的研究 思想是一致的、互通的。也就是要寻找一个最优投资缀台策略，使得在一个给定 弱平均收益承警下，最小纯风殓；或者建令绘定麴风险拳乎下，簸大纯终端髓 窝的期望效藤。连续时阊耩型是从现实生活中的离散情形下提炼丽成。两种模型 从不同的角度研究资产组合选择问题，造缝时间模型熨有利于应用前沿的数学工 其震开理论磷炎，褥弱豹磷究结果可戳菠过来襄发亵教对闽模型豹辑突。本文研 究的是连续时间资产组合选择模型。 l 。3 犀内外研究进袋 r k o w i t z 在1 9 5 2 年的绘出了单周期模型均值方差问题的解析解，为现 钱羧赉缀合分撵豹谤究葵定了基穑。筠壤一方差努辑瓣蘧本矮上簸爨投资缀会选 择问题，是投资组合理论的第一个突破麟。然而，k 渊i t z 的均饿一方差分析 问题只考虑了单周期模型。受这一理论的崩发，随后有众多豹学者通过不懈努力， 进一步推广黧多稠蘩鹰毅辩阗嚣连续醣鬻模鳖，褥餮了缀多瀑亮静缝栗，将该毽 论进行推广、澈进、发展和巍簪。使得投资组合理论进步拓展并得到广泛应用。 大体可分为以下三个阶段 l 。3 1 蓬谂形成耪瓣的搽裳 6 0 年代中期，s h 8 r p e ，l i n t n e r 和m o s s i n 进一步发现在均衡市场中，收益 攀与最验骞一今线挂美系。提出了炎零资产定蛰摸燮( 晒i t 8 l 轰s s e t 羚i c i 嚣g d e l 简称c 涨模型) ，冀核心是确定簿个股票和整个市场的相关性。这是单周 期下研究最优化问题取得的第一个理论成果。 孙b e r t 。a 轴r t 髓( 1 髓9 ，1 9 7 l ，1 9 7 2 在连续瓣阕金融篌蘩方瑟完成7 震要的先驱性工作。值得一提的是他所采用的研究方法。他在研究绦定一预期水 平的投资者财富的期望效用最大化问题时，采用随机勘态规划和偏微分方程理论 寒研究最蕊瀵费授资缝合瀚疆，稚导窭了糖关熬鞋j 器( 秘蝴i l t 德0 8 c o b i b e l l 雕燃) 蕈一章羹产缎套理论 方糗的解糖解。 时至今日，r o b e r t ，cm e r t o n 的许多想法和缡果的影响在每一个勰生溉券 市场以及 芷券交易所中都能够见到。m e r t o n 所建立的这一金融模型被后来的许多 磷炎者新聚震。这方面靛穗关研究戒莱可参觅洳r t o n 早期羽两籍最重瑟静论文， 分别是1 9 7 1 年发表在连续时间模型里的最优消费帮证券投资缀合规则3 钉_ 苇畦 1 9 7 3 年发寝的理性期权定价理论“。1 9 9 0 年m e r t o n 的著作连续时间鑫融 学”稚一书串，更是汇慧了诲多穗关豹骈究工作。 l 7 0 年黼提出了著名瀚“鸯效露场籁邋”。鸯效漆螽籁说事安上是美予 理财行为的一个环境假设。必须说明的是，宠全资本市场所侧重的是资本市场的 纯粹性，怒理论推导所赖于进行的逻辑前撮。而有效市场假说则侧重予金融市场 上德惠豹露效经，帮涯券赞撂缒否有簸事蟪、及辩继爱浚垒帮静糖关绩惠。赘场 的信息如果不受扭曲，能够及时地、妪确地充分反映全部相关信息的资本市场是 有效的资本市场；反之，不能及时地、正确地反映企部相关信息的资本市场不是 枣效豹资本泰场。 瞻等人在其。鸯效帝场霰滋”熬基懿上，滠骥了在一令运作我攀黪露场 中，资本价格过程是一个下鞅。换句话说，将来的收益状况是不可预测的。这一 工作为后来众多学者研究取褥的突破性进展，特剐怒b 1 a c k 唷c h o l e s 公式的创立 蠼下了扶笔。 1 3 。2 推广摹爨逐步竞燕 1 9 7 3 簪，f i s h e rb 1 8 e k 釉m ”o n8 c h o l e s 发展了“期权及公司债务定徐“h 。 他们利用饔利推瑷和穗机分析中的i t 6 公式导出了一个完攘的期权定价公式，后 来称秀b 1 8 e k s e h o l e s 公式，逡一公式翡褥来是峦8 l a c k 撵密了游遂，褥s c h o l e s 成功求解了耀应的随枫微分方程丽产生的。 在b l a c k s c h o l e s 袋式出现之后，金融数学以前所朱肖的遴度发展起来。许 多现代的数学工其，如随机徽积分、鞅方法、凸分析、随机最优控制、多元统计 分掇、数学趣划、瑗捉诗舞方滚等学辩在金融理谂奄窭戥审发挥着关键稼趸。许 多数学家和金融学家都投入到众融数举的研究之中，为金融数学的发展作出了攫 第一章舞产缀台理逢 鬻贡献。而金融数学的发展，在很大程度上也促进了随机分析、随机控制理论的 发展和逐步完酱。 r t o n 对b l a c k s c h o l e s 模型的定价公式散了究管和多方面的推广，著将 他们利用期权来估价公司负债的思想发展成“未定权赫分析”( c o n t i n g e n tc l a i m a n a l y 3 i s ) 。魄如，对于欧茂买入期毅，港记矮权的徐燕必￥，投瓷期限为t ， 终端时亥股票市价为鼻，执行价格为k ，则 y = 岱一k ) + 。 这楚一种只有列了t 时亥才能确定其真藏获益大小的随机变量，称为或有债权或 来定权益，一般情形下，来定权益的一个麓要用途就悬帮助各类投资者在风险逖 越瓣生产襄黧荔活动孛避簿套期缳毽，戳嚣避风验，宅瞧捧藏了嚣 l 蓼缀漉孬熬金 融工程的主要数学基础。 受c 0 五觏r o s s 子1 9 7 6 年提出构风险中性定价艨怨豹影响，h a r r i s o n _ 帮 融e p s 予1 9 循年撵出了霭鞅方法刻画瑟褰翻市场窝不完全市场，弗出等徐赣溅 腹对期权进彳亍定价和套期保值。 在i 娓n 鞋i sl ( a r a t z a s & s t e v 鞠e 。s b r e 张1 9 9 l 会著熬一本萋名懿数学类 研究生教材农朗运动与随辘徽积分批。中的第5 。8 节l l ； 录了有关随枧微积分 襁经济上的威用，详细讨论了b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式以及由m 时t o n 创立韵 簸撬溃费与投资缀会豹一般毽论。 多周期离散时间均傻一方差投资级愉选择的研究目前已经较为完善。2 0 0 0 年，d i l 蚰l i 等将均值一方麓投资组合选撵闯题推广别彩周期模型。其中d u 雒l i 释篝鞠一秘珏g 淑2 国豹谂文秘1 怼这瀚惩貔骚究敬褥了突酸霞避震，德靠疆 用多目标最优化方法，假设各个时间点的回报率是互棚独立的，并鼠将终端财富 的期望和方羲褫为竞争目标( c o 呻e t i n g 曲j e c t i v e s ，两者以一种特殊的方式 缝合寇来露产懋了霹题孛懿苹一嚣标“成本”。其重要特色是弓l 入了袋入式手法， 将原本动态规划不能直接娥理的特殊成本豳数转化为可以用动态规划方法得出 明确最优解的情形上去。 第一章资产组合理论 1 - 4 连续时间资产组合理论的研究近况 关于离散时间资产组合理论的研究已经比较完善。然而，实际研究中往往需 要在时间连续变化的情形下考察，利用连续时间情形下的结果来指导实际的投资 决策。 对连续时间模型，按照研究的视角不同，大体可以分为两种： 一种是市场有体制转换的连续时间投资组合问题，这种情形考虑了市场自身 特征的不连续性，如熊市、牛市等因素的影响。由于投资者的决策也随市场特征 的改变而改变，因此可以转化为半连续甚至是离散时闻的投资组合选择问题。例 如，最近，g y i n 和x y z h o u 等研究了带市场体制转换的均值一方差投资组合 问题n ”，研究该类市场中的资产特征，用一个带随机漂移和扩散系数的过程来 刻画股票，引入卖空限制，研究给定未定权益的均值方差对冲。他们利用极限过 程理论中的测度弱收敛方法，在状态为有限集合的前提下，根据m a r k o v 链的状态 转移率的性质和无穷可分性原理，对状态空间进行必要的剖分。然后从极限过程 最优控制的角度研究离散时间妞k o w i t z 均值一方差资产组合选择问题，阐述投 资组合策略的渐进最优性，并且揭示其与连续时间模型的关联，论证了连续时间 模型研究的必要性和可行性。 另一种是假设市场中资产的价格过程连续演变，投资者能连续地采取投资决 策，此类连续时间瓷产组合选择问题是本文研究的主要类型。这方面已经有了一 些新近的研究成果。比如，j i a n m i n gx i a ( 2 0 0 4 ) 考虑了不完全市场中的多个投 资者的联合投资问题n “，刻划了p a r e t o 最优的协作投资博弈策略。而对于有破 产限制的连续资产价格的均值一方差投资组合问题，他引入二次部分对冲的思 想，从理论推导上解释了均值一方差准则虽有不足，但在实践中仍然被广泛采用 的原因哪! 。 对连续时问资产组合选择问题的深入研究方面，孙o n g f e il i ( 2 0 0 3 、2 0 0 4 ) 等在b 1 8 c k s c h o l e s 金融市场模式下，用在险收益( e 8 n l i n g - a t - r i s k ) ”kl 姗、 在险资本( c a p i t 8 l a t _ r i s k ) 、在险价值( v a l u e - a t - r i s k ) 哪代替方差作 为风险的测度，从不同角度研究了动态投资决策的连续时间m a r k o w i t z 均值一方 9 第一章蛊产组合理论 差模挺，褥出“均傻一e a r ”帮“均僮一e a r ”意义节的最优常数褥谖整资产缝赍 投资策略以及有效边界的屈式表达式。 对连续时间的完全市场模型的研究还有k o r n 、t r a u t m 8 n 和b i e l e s k i 等人。 b i e l e s 醚e t8 l ( 麴e 3 ) 乳1 研究了连续薅游有酸产限带下酶完全枣场模鼙，在 这种限制之下，将均值一方差投资组合问题转化为多耳标最优化阀题，始且，对 于给定的初始禀赋，寻找出其有效前沿所应该满足的条件。 1 5 本文研究的主要内容及方法 本文首先介绍了单周期m 8 r k 洲i t z 模型和粥散时间多周期模型，阐述 妞奴i t z 援墼孛键蠢菇羧与收益戆数学工具班及连续瓣瓣模墼豹硪究涟震；煞 二章详细讨论了b 1 8 c k _ s c h o l e s 金融市场的纛套利姆无摩擦、几何布朗运动等綦 本假设条件，给出了关于风险资产期望增长帛恰为潦移率的数学_ i 难明；第三章在 援a 拣零穗o l e s 金融枣场懿基本鬏设下，琴l 照瑗代鞅论移藏瓠分耨理论知谖，稳建 连续时间资产组合选择模型，刻画了模型中的交易策略与爨| 富过穰，并实现积分 上限从普通时间到停时拓展以詹的随机积分饿质；第四章讨论了随机最优控制论 孛瓣戆撬最耄| | 己箨受援剐，琴鬟狳l l m 黼原理辑究最饶繁珞饔一最优策略，势考 虑了连续时间投资策略的最优j 降对闯鼷；最厝一章考虑了脊消费的投资缀合选择 闯趣，证明了市场风险价格过耩是一个有界过程，利用v i k o v ( 1 9 7 2 ) 条件构造 丞一令等徐赣溺覆，势嚣详维谂涯了“消费过程投瓷策略”静霹容诲条箨。 本文嚣薅篇章熬大致箍秘安接如下； 第二章b h c k i s e h o l e s 金融市场框絮磷究； 勰三章连续时间资产组合选择模型； 第四章投资策略的随机簸优停止方法； 第五章有消费的域优资产组合选择。 一1 0 第二章b s 众歉枣矮攥檠辑巍 第二章b s 金融市场框架研究 上个世纪5 0 年代初期，m a r k o w i t z 模型的刨囊标志着金融学从一门描述瞧 瓣科学开始羯定量努掇转变，翔采说这楚垒融数学发疑史生熬第一次“华尔餐鼙 命”，那么1 9 7 3 年出现的转l a c k s c h o l e s 公式则弓l 发了第二次“肇尔街革命”。 自此，惫融界以前所束有的速度接受数学模型和数学工具，于是出现了数学、 金貔、诗舞穗嚣垒球经济豹疆会，在攘羲絮蔹交荔遮猛发袋弱溺露，骧 b 1 a c k s c h o l e 8 模型的基本市场设置为背景进行各豢金融研究也蘧勃发展起来， 取得了一系列关于连续横溅和相应的解析方法、金融市场的风险分析及对冲策略 等方瑟懿褒究瘫莱。 在这一摩中，我们先介绍本文将用到的基础知识，引入相关的定义和基本假 设，阐述本文中用到的记号及其意义。接着描述一般b 1 a e k _ s c h o l e s 金融市场 模型的基本骰设条律，扶数学上论证遮一市绣模式审酶凡个重要特征：无套零l 、 无摩擦、几何布朗运动，并且给出了若干风险资产期攫增长率恰为漂移率的数学 诞甥。 2 。l 概念鞠记号 在本文中，假设( n ，蕊p ) 为一个带拶代数流f = ( 遵l 。，的究备概率空闯， 其中时刻r 彤) 为投资爨大生命期期限，= 3 0 = 彩，蝎。仃一代数遗代表意 刘孵掰f 为止所能获褥的众融市场的全部信怠，丽投资者的所有决策都是基予麓 所提供的信息。 壹霾土，“菇= 随) l 谢楚关于霉遮旋鹣蘧筏遥程”意昧着对乎往意静确定 的当前时刻；，随机过程并在i 时刻以前的运动轨道( 行为) 能够党全确定下来， 嚣显，逯嚣菇豹苓确定瞧，瞧帮蘧撬设，哭菝蓑予；辩蘩之露鹣j l 乏寒发震，纛奄 第二掌b s 盎融市蝻框架研巍 瓣劐；之裁豹霉为涎关。 定义2 。1 1 毒连续流 假设( q ，s ，黔必一个豢代数滚鳇概率空翘，= ( 3 ；羔。必一个摹壤l 降黪毒 的予扩一代数流，令3 。= 盯u 3 。) ，如果对一切的f o ，露霉+ = n 。冬。= 3 ， 称，为右连续的。 定义2 1 2 通常条件 一个流f = 。) 。称为完备的，蒋包含一切p 一零概集。如果个流 ，= ( 3 。) 。既完备又右连续，则称f = ( 3 ，) ，。满足通常条件。 定义2 1 3 循序过程 随机过程x = ( 置x 甜称为必于3 。适应的，如果对于v f 仨科，墨是关于墨可 溯酌随视交餐。进一步地，称置= ( 置) 。r 为循序可澜过稷，如果对g ，并 在q x 鹣q t 为3 ，x b t 葑一霹测t 熬幕过獠置= ( 瓤。怒右( 教) 连续适瘦过 程，剃宅为援彦过程弧。 强行文越沽起见，巍皱如下豇点约定； l 、攘本文艇有睫檄变囊豹记号上，一摄忽峪捧裂蕊捩态豹楚规囊变元掰冬铀， 例如，把随机变量y o ，曲簿单地记为x ，两把髓帆变爨族( ，蝴：f ，搿芒啦戆 记为随机过程y 。 2 、我们把“几乎处处”简单地记为口直。 3 、用，l 删表示示饿函数，即 钿= 器= 4 ，零文中，着戳连表示帮朗运动。翼| j 关于媳的积分指酌怒i t 6 黼视积分。 第二章b s 金融市场框架研究 5 、记号一”表示向量或矩阵的转置。记号引”表示求导数。 6 、瞰1 b e r t 空间中的连续线性泛函的内积记为( 。) 。由内积诱导的概率空间 ( q ，s ，p ) 上的范数( 模) 记为| i | | 。彤表示雅维e u c l i d 空间。 2 2b s 金融市场的基本假设 在b l a c k s c h o l e s 金融市场模型中，对市场的基本假设有： l 、交易连续进行； 2 、不存在套利机会： 3 、借贷利率相同为常数； 4 、无借贷限制； 5 、所有证券无限可分； 6 、市场无摩擦； 7 、标的资产价格服从几何布朗运动。 市场无摩擦，也就是无交易费用和税收，且无卖空限制通常所说的卖空是 指“先卖后买”。投资者从他人那里借来证券，以供最初交易之用，在合同规定 的时间里，购买回同等数量韵同种证券归还出借者。 可以看到，以上假设使得金融市场处在一种理想化的环境之中，这对连续时 间金融模型的理论研究是相当有利的。一方面，在期权定价研究中，b l a c k s c h 0 1 e s ( 1 9 7 3 ) 在这一市场框架下，借助随机分析理论方法，成功求解了一个用 于期权定价的随机微分方程，得到期权定价公式，即b 1 a c k - s c h 0 1 e s 公式。另一 方面。在最优投资问题研究中，许多连续时闯模型的研究在这市场模式下能够 得到很好的结果。 除了理论研究的方便以外，b 1 8 c k s c h o l e s 金融市场模型在实践中也被广泛 第二章b s 金融市场框架研究 采用，因为在b 1 a c k s c h o l e s 模型中，仅有波动率这一参数不能从市场直接观测 得来的。实际从业人员可以以某种确定方式从期权价格推导出波动率，反之，也 能从波动率推导出期权价格。通过计算所谓的“波动率微笑( v o l a t i l i t ys m i l e ) ” 1 曲线，可以清楚地看出隐含波动率与执行价格的函数关系。 本文从第三章开始，将在基于b l a c k s c h o l e s 金融市场的基本假设下，研 究连续时间最优资产组合选择问题。下面先从数学的角度分析模型假设中的三个 重要市场特征，分别是：无套利假设、无摩擦市场、几何布朗运动。 2 3 无套利与无摩擦 2 3 1 无套利市场 套利( a r b i t r a g e ) 是指人们利用暂时存在的不合理价格关系，通过同时买 进和卖出相同或相关的金融衍生产品而赚取其中的价差收益的行为。 b l a c k - s c h o l e 3 模型中假设金融市场无套利。一个完善的金融市场是不存在 套利机会的，而市场无套利条件等价于存在金融商品的某种支付定价泛函，它由 市场上的股票、证券之类的基础证券的价格来决定，而期权等衍生证券的价格就 可以经由定价泛函用基础证券的价格来确定。在无套利机会的模型中，不存在无 风硷的利润( “免费午餐”) 。从而，模型中不允许存在这样一种策略，使得投资 者能以恒为正值的概率获取利润，而以恒为o 的概率惹上损失。 资产定价基本定理协1 表明，“市场无套利给定概率空间( q 墨p ) ，记觋 为等价鞅测度族，则对于折现的价格过程i = ( 羹l 。r ， i q 嘶，豇酽( 叫3 i ) = j 州f o 。” 对于无摩擦市场而言，市场无套利等价于风险中性概率测度族非空。而在市 场无套利的假设下，市场完备等价于风险中性测度是唯一的。在完备市场中，任 何未定权益可对冲。 如果投资者采用自融资交易策略( s e l f f i n a n c i n gt r a d i n gs t r a t e g y ) ， 一1 4 第二章b s 金融市璃糕辩研究 即投资糟仅将现在拥有的全部资产用予再投资，既未消耗墩未增加新的投资资 金。建数学语言表达，霉疆理解为； 糟我们用随机积分e 瓦碱袭示投资者采取策略石= ( 辑，3 ，) 。时，在她f 】时 褥区麓熬翡资本积累，覆投资缝含在l 嚣蓊赘懿赛f = 毒e 燹l j 投荚予繁旗耳魏 成本过程( 包括交易成本、信息成本) 为： c ：= x ? 一霹= ”s l 一毫霍礤。 我们称策略帮戆自融资的，当且仅当掣= 0 。 皴栗我键把自融资交荔簧蜷豹全体记兔辨，器么零l 熊爨融资霰设，我饕】霉 以重新用数学语言怒义无套利条件。 “称市场是有套制的，若萎硝s f ，3 报应予霜的财富过程x ，“。 鬈= o ，尹0 7 砷= 毛p ( 鬟； 嘭 。”。 “称市场是无套刹的，若v 芹曩s f ，以及棚殿于石的财富过程x ，s t 嚣= 辑p f 国= l 等p 群= 嘭= l ” 2 3 。2 无摩擦市场 泛摩擦市场( 杼i e 专i o n l e s s 蔼嚣k e t 心蹩撩缓无或奉，又无限裁的姿产交易 市场。成本鲡交易成本、管理成本、信息成本、皴产成本等；限希9 如卖空嘏制( 如 要求保证金) 、交易策略限制、买瀵整数量股限制、买卖有价蒺和数量限制婚。 溉摩擦市场为磷究提供了一个理想静经济环境，没有税赋，没有交荔成本 帮漉韵 生差异，没裔信息不对称，更不用说涮发障碍所导致的资金流动受黻。这 样的市场中任何一种证券都有良好的替代品。即都可以被缀基础证券所复制。 露糖无摩擦假设是金融经济学中“一份定搏”残立豹藏提，“一份定律” 捂的魑丽一种商品袋辘有一种均餐价格，不毹存在两种价格。一旦存在两种价格， 就出现了套利机会，理论上任何一个套利者都会尽可能建立暇太的套利头寸，瞬 阗就懿褥徐羞平噬，让论格重回垮舞。 诧外，我雷 看劐这种均衡价格的实现完全怒个市场选择的结果，均衡的打破 第二章b s 金融市场框架研究 是自然的，均衡的重建更是自然的，如果市场本身的摩擦没有消除，即使最初人 为地将不同市场的价格定为一致，上市价格走势也会不一样，最终还会形成差别 显著的两个甚至多个价格，因为没有套利机制能够使它们同价。 2 4 几何布朗运动 我们知道，在b 1 a c k s c h 0 1 e s 市场模型中，用布朗运动描述噪声，用几何 布朗运动描述风险资产的价格过程。下面我们先给出一维标准布朗运动以及几何 布朗运动的定义。 定义2 4 1 布朗运动 实值随机过程口= ( 置l 。r 称为( 一维) 标准布朗运动，如果它满足以下条件： 1 、零初值性：v 。q ，风 ) = o ； 2 、独立增量性：，o f l f 2 ，随机变量气一& ，吼一& 。相互独立； 3 、正态性：，s o 4 一只一( o ， 一s i ) ； 4 、连续性；v 国q 卜+ 旦( 国) 是上的连续函数。 直观上，由布朗运动的定义可知，最+ ，一且独立于随机路径过去的历史，即 信息3 对置。一置的概率分布没有贡献，这正是布朗运动具有马氏性的直观含 义。 在b 1 a c k s c h 。l e s 市场中，假设市场中风险资产的价格过程s = ) | 。服从 几何布朗运动。下面先给出几何布朗运动的定义。 定义2 4 2 几何布朗运动 令s 表示f 时刻的风险资产的价格，其初始价格为品，且在( o ，) 连续，称 墨三茎星= ! 垒壁主垫燕矍矍整 一 掺楱过程s = 缓l 。鼹扶足餐梅甥运旗，懿聚s ，瀵足皴下鹣骧撬微分方程： 舔t = 弘s 廖百s 。鹉| 其中p 和盯为常数，马为布朗运动。 证明：令 g ( 墨，f ) = 1 i l ( s ) ， ( 置茹o ，v o ) 菇橼魏资产酶对数徐格，舞| j 由i t 6 弓| 疆宥 撼= 嚣( 砖) 十署汹) + 量雾毽2 ) 勰+ 詈鸺) 鹕 = 匮( 鹏) + 吾( 一毒) 口毽2 ) 卜+ 蚤( 啦，鹤 = ( 芦一譬 硪+ 啦 瓤玲融= ( 芦一爿t + 鸭 潲唧陋分媳 眩。 移率为p 爿，波动牢舻，因此 k ，一珏媛，一 ( 牟一譬) ；，秽 逶篷诗算，褥密冀靛裁蘩篷为； 啦m 唧肛分爿= 磊矿 豫z ， 由此，在几何布朗运动的假设下，期攥价格的增长率为。 第二章b s 金融市场框架研究 推论2 4 1 我们称s = ) t ：。为漂移率为p ，波动率为盯的几何布朗运动，如果对任意 非负的 ，屯，有 ( f ) 随机变量! 争与f z 时刻以前的任何价格均独立； 似( ( 辞以 。 证明：利用( 2 1 ) 有， 监： & ：。p 爿，。一一)=e、7e 、。7 由布朗运动的正态性，知 气+ 。一民( o f 2 ) ，故( f ) 得证- 进一步，有 - o s 等 礼g f 岛e = ( 一譬 忡( 一气) 服从正态分布， ，十剐= ( 卢一譬 乞 哳 崦酬吨舭 1 8 一 第三章连续时问资产组合选择模型 第三章连续时间资产组合选择模型 现实生活中，许多投资者并不能事前预知他们所持有的资产组合在将来的什 么时刻终结。那么对于投资者而言，一个自然的问题是：在终止时刻不确定的情 形下，如何选择一个有效的投资策略，使得在非可料随机时间( 停时) 作用下 投资收益的期望效用达到最大? 为了回答这样的问题，本章首先在b l a c k s c h o l e s 金融市场框架下，利用鞅 论和随机分析理论知识，构建连续时间投资组合模型。在这一模型中，投资的终 止时间不必恒为一个确定常数，而可队是一个随机变量或更一般的随机过程。 然后我们讨论了可允许交易策略和财富过程的鞅性质。最后考虑了停时作用 下的随机积分性质，讨论了积分上限从普通时间到停时扩张以后的积分性质。 3 1 模型构造 3 1 1 概率空间( q3 p ) 给定完全概率空间( g3 p ) 及其上满足通常条件的信息流 f = ( 3 1 ) 耐 其中，叠代表直到时刻f 为止的全部市场信息。并且 3 。= 盯u 3 ，) ，3 0 = 。，q ) 对于vr e 彤，【0 ，r 】表示投资生命期。 定义 曰= 扛= ( 耳，砰，掣) 7 ，3 l ，o r 、馁定最验炎产熬牧益率鸯蕊翔蠡过毽 k = ( 詹，衍，) r ，叠，o r 】。 鞋及攒述波动辜麴扩数逶程( 褰差楚藩 件= l 剧，3 l ，o sr o ，v f e r 。， f 7 口，f s i 悟1 1 2 o f s r ； ( a 5 ) 、风险市场价格引为 七f = ( 吼) 。1 队一r ? 其中，j 表示每一分量为l 的d 维列向量，即 j = ( 1 扣，1 ) 7 。 3 2 交易策略与财富过程 用“窟) 表示初始财富工扛 o ) 的自融资交易策略，其中石= ( ，1 ，2 ，一) 是一个可料过程。用癣o = 1 ，2 ，d ；o f m ) 表示投资者在f 时刻拥有第f 种资 产的份额。我们把石称为投资组合过程( p o r t f 0 1 i op r o c e s s e s ) 。 假设b l ( b 1 ) 、假设资产连续交易； ( b 2 ) 、关于o ，r ) 的财富过程z = ( 五) 。是满足下式的 墨) 一适应过程 五= x + i ：碱o f r ( 3 2 ) ( b 3 ) 、关于s 的等价鞅测度族记为皴，在b l a c k _ s c h o l e s 金融市场框架下，假 定当吼a 时，市场无套乖j 。 引理3 2 1 满足( 3 。2 ) 的财富过程所构成的随机过程族： z ( x ) = p ：j = ( 墨) i 。r ，五= 凰+ e 瓦魍，凰= x ，置o ，o t r 】 - 2 3 第三意连续时阕赍产缎台选择楱整 是一令凸集。其参 薹鹰令慰塞过程菇均为嚣受鼹罄鞅，势显v q 毁，茗是q 下的上鞅。 证明：馏，y z ( 嚣) ，v 五e 【o ，蛆，易知，z x + ( 1 一冀) y z o ) ，敝z x ) 是凸集- ：墨= 茂+ 撼，且s = ( 篷) 雠删是严正拳鞅， j 。数易姆锻菇囊) ，蠢盖必严正半鞍，缀食定义3 。l 。3 瑟定义3 。1 5 知盖为躲受局部鞅。避一步，由定义3 tl 。l 积定义3 1 。2 知( 置) 。；，是q 下 的上鞅。 定义3 。2 。l 蚜篷一方差蠢效 称财富过程堂毫z o ) 为均傻一方麓有效，若对手任意的停时f ，不存谯 另一个财富过程并售z “) ，使褥 e 嚣p f 且 鼢陵】墨胁降 势曼，上蔼嚣式串銎步鬻令黻到严梅不等等。 定义3 。2 2 可允诲策略集 交易策路( t r a d i n gs t r 8 t e g y ) 可